정답 및 해설

1  [정답] ③

곡선 [eqn: y=x left (x-1 right ) left (x-2a right )``]에서 [eqn: a> {1}over{2}``]이므로 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 도형은 아래 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE~int_{0}^{2a}{x left (x-1 right ) left (x-2a right )dx}``]

[eqn: = int_{0}^{2a}{ left {x^3 - left (2a+1 right ) x^2 +2ax right }dx}``]

[eqn: = left [ {1}over{4} x^4 - {1}over{3} left (2a+1 right ) x^3 + ax^2 right ]_0^2a``]

[eqn: = 4a^4 - {16}over{3}a^4 - {8}over{3}a^3 + 4a^3``]

[eqn: = - {4}over{3}a^4 + {4}over{3}a^3 =0``]

[eqn: a^3 left (a-1 right )=0``]

[eqn: THEREFORE~a=1~ left ( BECAUSE`` a> {1}over{2} right )``]

2 ②

곡선 [eqn: y=x(x-2) ^{2}] 과 직선 [eqn: y=mx] 의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x(x-2) ^{2} =mx,x(x ^{2} -4x+4-m)=0]

[eqn: THEREFORE x=0]또는 [eqn: x=2- sqrt {m}] 또는 [eqn: x=2+ sqrt {m}]

곡선 [eqn: y=x(x-2) ^{2}]과 직선 [eqn: y=mx]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x(x-2) ^{2} =mx,x(x ^{2} -4x+4-m)=0]

[eqn: THEREFORE x=0] 또는 [eqn: x=2- sqrt {m}] 또는 [eqn: x=2+ sqrt {m}]

곡선 [eqn: y=x(x-2) ^{2}]과 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같으므로

[eqn: int _{0} ^{2+ sqrt {m}} {LEFT { x(x-2) ^{2} -mx RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{0} ^{2+ sqrt {m}} {LEFT { x ^{3} -4x ^{2} +(4-m)x RIGHT }} dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {4} over {3} x ^{3} + {1} over {2} (4-m)x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2+ sqrt {m}}]

[eqn: = {1} over {4} (2+ sqrt {m} ) ^{4} - {4} over {3} (2+ sqrt {m} ) ^{3} + {1} over {2} (4-m)(2+ sqrt {m} ) ^{2}]

[eqn: =- {1} over {12} (2+ sqrt {m} ) ^{2} (3m+4 sqrt {m} -4)]

[eqn: =- {1} over {12} (2+ sqrt {m} ) ^{3} (3 sqrt {m} -2)=0]

[eqn: (BECAUSE 3m+4 sqrt {m} -4=( sqrt {m} +2)(3 sqrt {m} -2))]

이 때, [eqn: 2+ sqrt {m} >0]이므로 [eqn: 3 sqrt {m} -2=0]

[eqn: sqrt {m} = {2} over {3} ````` THEREFORE m= {4} over {9}]

3 [정답] ③

[풀이전략]

접선의 방정식을 구한 후 접점의 [eqn: x]좌표를 구하여 넓이를 구한다.

이때, 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)] 및 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b][eqn: (a <b)]로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S= int _{ a} ^{b } { LEFT | f(x)-g(x)RIGHT | }dx]이다.

[풀이]

접선의 방정식을 [eqn: y=kx][eqn: (k > 0)]라 하면 [eqn: x^2}+1=kx]에서

[eqn: x^2}-kx+1=0] …… ㉠

㉠의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=0]이므로

[eqn: k^2}-4=0]    [eqn: therefore] [eqn: k=2]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y=2x]이고,

[eqn: x^2}+1=2x], [eqn: (x-1)^2}=0]에서

[eqn: x=1]이므로 접점의 [eqn: x]좌표는 1이다.

이때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]]에서 [eqn: 2x LEQx^2}+1]

이므로 구하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= int _{0} ^{1} {} LEFT { (x ^{2}+1)-2x RIGHT } dx]

[eqn: =int _{ 0} ^{1 } {(x^2}-2x+1)dx }]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2}+x RIGHT ]_0^1]

[eqn: ={ 1} over {3 }-1+1]

[eqn: ={ 1} over {3 }]

4  [정답] ③

곡선 [eqn: y= 2 sqrt{x+1 }``]과 직선 [eqn: y=x+1``]의 교점의 [eqn: y``]좌표는

[eqn: y^2 = 4y ,~ y left (y-4 right )=0``]

[eqn: THEREFORE~y=0``] 또는 [eqn: y=4``]

따라서 구하는 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = it int_{0}^{4}{ left { y - 1- left ({y^2}over{4} -1 right ) right }dy``]

[eqn: = int_{0}^{4}{ left (y- {y^2}over{4} right )dy}``]

[eqn: = left [ {1}over{2}y^2 - {1}over{12}y^3 right ]_0^4``]

[eqn: = 8- {64}over{12}= {8}over{3}``]

5  [정답] ③

곡선 [eqn: y=x^2``]과 직선 [eqn: y= {3}over{2}x+1``]의 교점의 [eqn: ``]좌표는

[eqn: x^2 = {3}over{2}x+1 ,~ 2x^2 - 3x-2=0``]

[eqn: left (2x+1 right ) left (x-2 right )=0``]

[eqn: THEREFORE~x= - {1}over{2}``] 또는 [eqn: x=2``]

따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = it int_{- {1}over{2}}^{2}{ left ({3}over{2}x+1-x^2 right ) dx}``]

즉, [eqn: \S``]는 곡선 [eqn: y=-x^2 +{3}over{2}x +1 = - left (x- {3}over{4} right )^2 + {25}over{16}``]와

[eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 대칭축 [eqn: x= {3}over{4}``]에 의하여

이등분된다.

[eqn: THEREFORE~a= {3}over{4}``]

6 [정답] ⑤

해설

[eqn: int _{ 2} ^{ 3} { LEFT | f(x-1)RIGHT | }dx]의 값은 함수 [eqn: y=f(x-1)`]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두

직선 [eqn: x=2], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같고 이는 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형

의 넓이와 같다.

[eqn: THEREFORE~ int _{ 2} ^{3 } { LEFT | f(x-1)RIGHT | }dx= int _{ 1} ^{2 } { LEFT | f(x)RIGHT | }dx]

[eqn: =int _{ 1} ^{2 }{ LEFT { -f(x) RIGHT } }dx]

[eqn: =-int _{1 } ^{ 2} {f(x) }dx]

[eqn: =3]

7 [정답] ④

해설

[eqn: y=x ^{3} +x``]의 그래프와 역함수

[eqn: y=rmg LEFT ( itx RIGHT ) ``]의 그래프는 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이고, [eqn: y=x ^{3} +x``]에서 [eqn: x=1``]일 때 [eqn: y=2``], [eqn: x=2``]일 때 [eqn: y=10``]이므로 [eqn: rmg LEFT ( 2 RIGHT ) =1``], [eqn: rmg LEFT ( 10 RIGHT ) =2``]이다.

따라서 [eqn: int _{2} ^{10} {rmg LEFT ( itx RIGHT ) `dx} ``]의 값은 그림에서 어두운 부분의 넓이와 같으므로

[eqn: int _{2} ^{10} {rmg LEFT ( itx RIGHT ) `dx}][eqn: =2 TIMES 10- LEFT { 1 TIMES 2+ int _{1} ^{2} {LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) `dx} RIGHT }]
[eqn: =20-2- LEFT [ {1} over {4} x ^{4} + {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2}]
[eqn: =18- LEFT ( 4+2- {1} over {4} - {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = {51} over {4}]

8 [정답] ④

해설

[eqn: y=x ^{2} -x``]의 그래프를 이용하여 나타내면 그림과 같다.

그림과 같이 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분을 각각 [eqn: rm A,````B``]라 하면 두 부분 [eqn: rm A,````B``]의 넓이가 같으므로

[eqn: int _{0} ^{k} {LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) dx= LEFT [ {x ^{3}} over {3} - {x ^{2}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{k} `= {k ^{3}} over {3} - {k ^{2}} over {2} ```}]

[eqn: = {k ^{2}} over {3} LEFT ( k- {3} over {2} RIGHT ) =0``]

[eqn: THEREFORE k= {3} over {2} LEFT ( BECAUSE k>1 RIGHT ) ``]

9 [정답] ③

해설

곡선 [eqn: y=x^2 -4x+k]는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이므로 닫힌 구간 [eqn: [0,~2]]에서 곡선 [eqn: y=x^2 -4x+k]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 두 부분의 넓이는 같다.

즉,

[eqn: int_0^2 (x^2 -4x+k)dx =0]

[eqn: left[ 1over3 x^3 -2x^2 +kx right]_0^2 =0]

[eqn: 8over3 -8 +2k=0]

[eqn: therefore] [eqn: k= 8over3]

10  [정답] [eqn: 2``]

[eqn: \S_{it n} = it int_{0}^{{2}over{n}}{x left (x- {1}over{n} right )^2 dx}``]

[eqn: = int_{0}^{{2}over{n}}{ left (x^3 - {2}over{n} x^2 + {1}over{n^2} x right )dx``]

[eqn: = left [ {1}over{4}x^4 - {2}over{3n} x^3 + {1}over{2n^2} x^2 right ]_0^{{2}over{n}}``]

[eqn: = {4}over{n^4}- {16}over{3n^4} + {2}over{n^4}``]

[eqn: = {12-16+6}over{3n^4}= {2}over{3n^4}``]

[eqn: THEREFORE~lim_{n->inf}{ left (3n^4 +4n^3 right ) \S_{it n} = it lim_{n->inf}{{6n^4 +8n^3}over{3n^4}}``]

[eqn: = {6}over{3}=2``]

11  [정답] ③

삼각형 [eqn: \OAB``]는 직각삼각형이므로 원의 반지름의 길이 [eqn: r``]는

[eqn: r= {1}over{2} bar \OB = {1}over{2} sqrt{2^2 +2^2}= sqrt{2}``]

위의 그림에서 넓이 [eqn: \S_2``]는

[eqn: \S_2 = ``](반원의 넓이)[eqn: -``](직각삼각형 [eqn: \OAB``]의 넓이)

[eqn: = {1}over{2}pi left (sqrt{2} right )^2 - {1}over{2}× 2×2``]

[eqn: = pi -2``]

위의 그림에서 넓이 [eqn: \S_1``]은

[eqn: \S_1 = int_{0}^{2}{{1}over{2} it x^2 dx}``]

[eqn: = left [ {1}over{6}x^3 right ]_0^2 = {4}over{3}``]

따라서 구하는 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = S_1 +S_2``]

[eqn: = pi - 2+ {4}over{3}= pi - {2}over{3}``]

12   [정답] ④

부채꼴의 호의 길이 [eqn: l``]은 [eqn: l = 2×4 = 8``]이므로 점 [eqn: \P``]는 점 [eqn: \O``]를

출발하여 [eqn: 12``]초 후에 부채꼴의 둘레를 한 바퀴 돌아 점 [eqn: \O``]로 돌아온다. 이때, [eqn: f left (t right )``]의 그래프는 아래 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE~int_{0}^{16}{f left (t right )dt}``]

[eqn: = {1}over{2}×2×2 + 8×2 + {1}over{2}×2×2 + {1}over{2}×2×2+2 ×2``]

[eqn: = 2+16+2+2+4``]

[eqn: = 26``]

13 [정답] ②

해설

좌표평면에서 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: 2a``]라 하고 곡선의 꼭짓점이 원점에 오도록 하면 곡선은 점 [eqn: LEFT ( a,~a RIGHT ) ``]를 지난다.

따라서 곡선의 방정식을 [eqn: y=kx ^{2} ``]이라 하면

[eqn: a=ka ^{2} ``]에서 [eqn: k= {1} over {a} ``]이다.

이때, [eqn: S _{1}][eqn: =2 int _{0} ^{a} {LEFT ( a- {1} over {a} x ^{2} RIGHT ) `dx} ``]
[eqn: =2 LEFT [ ax- {1} over {3a} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{a}]
[eqn: =2 LEFT ( a ^{2} - {1} over {3} a ^{2} RIGHT )]
[eqn: = {4} over {3} a ^{2}]

[eqn: S _{2} = LEFT ( 2a RIGHT ) ^{2} -S _{1} =4a ^{2} - {4} over {3} a ^{2} = {8} over {3} a ^{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {S _{2}} over {S _{1}} = {{8} over {3} a ^{2}} over {{4} over {3} a ^{2}} =2]

14 [정답] ②

닫힌 구간 [eqn: [-1,~1]]에서 [eqn: f(x) geq 0]이고,

함수 [eqn: f(x)+f(-x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { LEFT [ f(x)- LEFT { -f(-x) RIGHT } RIGHT ] }dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} { LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } }dx]

[eqn: ={ 1} over { 2} int _{ -1} ^{ 1} { LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } }dx]

[eqn: ={ 1} over {2 } TIMES2 int _{ -1} ^{1 } { f(x)}dx=30]

15 [정답] ④

해설

출발한 지 [eqn: t]초 후의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

[eqn: x(t)][eqn: =0+ int _{ 0} ^{t } {(6-4t) }dt][eqn: =LEFT [ 6t-2t^2 RIGHT ]_0^t]

[eqn: =6t-2t^2][eqn: =-2t(t-3)]

따라서 [eqn: x(t)=0]에서 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=3]이므로 [eqn: 3]초 후 다시 원점을 지난다.

점 [eqn: rmP]가 다시 원점을 지날 때까지 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s=int _{ 0} ^{3 } { LEFT | 6-4t}RIGHT | }dt]

[eqn: =2 int _{ 0} ^{ { 3} over {2 } } { (3-2t)}dt+ int _{ { 3} over {2 } } ^{ 3} {(2t-3) }dt]

[eqn: =2 LEFT [ 3t-t^2 RIGHT ]_0^{ { 3} over {2 }}+2 LEFT [ t^2}-3t RIGHT ]_{{3} over {2 }}^3]

[eqn: =2 left( { 9} over {2 }- { 9} over {4 }right)+2 left(9-9-{ 9} over {4 }+{ 9} over {2 }right)]

[eqn: =9]

[다른 풀이]

속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 다음 그림과 같고

[eqn: int _{ 0} ^{ { 3} over {2 } } { LEFT | 6-4t}RIGHT | }dt][eqn: =int _{ { 3} over {2 } } ^{3 } { LEFT | 6-4t}RIGHT | }dt]

즉, 어두운 두 부분의 넓이가 같으므로

[eqn: t=3]일 때 다시 원점을 지난다.

출발 후 [eqn: 3]초 동안 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s]는 어두운 두 부분의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: s= { 1} over {2 } TIMES { 3} over {2 }TIMES6TIMES2][eqn: =9]

16 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) ``]의 부호가 바뀔 때, 움직이는 방향이 바뀌므로 [eqn: t=a``]와 [eqn: t=b``]에서 바뀐다. (참)

ㄴ. [eqn: int _{a} ^{c} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt} =0``]이므로 [eqn: t=a``]에서 [eqn: t=c``]까지의 위치의 변화량은 [eqn: 0``]이다.
따라서 [eqn: t=a``]일 때와 [eqn: t=c``]일 때 점 [eqn: rmP``]의 위치는 같다. (참)

ㄷ. [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=c``]까지 점 [eqn: rmP``]의 이동거리는
[eqn: int _{0} ^{c} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt}]
[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt} + int _{a} ^{b} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt} + int _{b} ^{c} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt}]
[eqn: =3 int _{0} ^{a} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt}]
[eqn: LEFT ( BECAUSE ~ int _{0} ^{a} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt= int _{a} ^{b} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt=} int _{b} ^{c} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | `dt}} RIGHT )]
[eqn: =3 int _{0} ^{a} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt} ``][eqn: LEFT ( ` RIGHT .][eqn: THEREFORE] [eqn: 0 LEQ t LEQ a``]에서 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) GEQ 0][eqn: LEFT. ` RIGHT )] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

17 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: t=a`]일 때, 물체 [eqn: rmA]의 높이는 [eqn: 0+ int _{ 0} ^{ a} {f(t) }dt],

즉 [eqn: int _{ 0} ^{ a} {f(t) }dt]이고, 물체 [eqn: rmB]의 높이는 [eqn: 0+ int _{ 0} ^{ a} {g(t) }dt],

즉 [eqn: int _{ 0} ^{ a} {g(t) }dt]이다.

그런데 그림에서 [eqn: int _{ 0} ^{ a} {g(t) }dt < int _{ 0} ^{a } {f(t) }dt] 이므로 물체 [eqn: rmA]는 물체 [eqn: rmB]

보다 높은 위치에 있다. (참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 두 물체 [eqn: rmA,~rmB]의 높이의 차는

[eqn: LEFT | int _{ 0} ^{t } { LEFT { f(t)-g(t) RIGHT }dt } RIGHT |]이다.

이때, [eqn: h(t)=f(t)-g(t)]라 하면 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~b RIGHT ]]에서

[eqn: g(t) LEQf(t)]이고 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ b,~c RIGHT ]]에서 [eqn: f(t) LEQg(t)]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{t } {h(t) }dt]는 [eqn: t=b]까지 증가하다가 [eqn: t=b]부터 감소한다.

따라서 [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]의 높이의 차가 최대이다. (참)

ㄷ. [eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: rmA]의 높이는 [eqn: int _{ 0} ^{ c} {f(t) }dt]이고 물체 [eqn: rmB]의 높이는

[eqn: int _{ 0} ^{c } { g(t)}dt]이다.

그런데 [eqn: int _{ 0} ^{ c} {f(t) }dt = int _{ 0} ^{c } {g(t) }dt]이므로 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]는 같은

높이에 있다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

18 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: v _{P} LEFT ( t RIGHT ) GEQ 0``]이므로 점 [eqn: rm P``]는 한 방향으로 진행한다.

한편, [eqn: v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) =t LEFT ( t-1 RIGHT ) ``]이므로 점 [eqn: rm Q``]는 [eqn: 0<t<1``]일 때, 점 [eqn: rm P``]와 다른 방향으로 움직이고, [eqn: t>1``]일 때, 점 [eqn: rm P``]와 같은 방향으로 움직인다.

그러므로 출발한 후 [eqn: 1``]초 동안 서로 다른 방향으로 움직인다.(참)

ㄴ. 점 [eqn: rm P,````Q``]의 위치를 [eqn: s _{P} LEFT ( t RIGHT ) ,````s _{Q} LEFT ( t RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: s _{P} LEFT ( t RIGHT ) =0+ int _{0} ^{t} {tdt= LEFT [ {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{t} = {1} over {2} t ^{2} ``}]

[eqn: s _{Q} LEFT ( t RIGHT ) =0+ int _{0} ^{t} {LEFT ( t ^{2} -t RIGHT ) dt= LEFT [ {t ^{3}} over {3} - {t ^{2}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{t} = {t ^{3}} over {3} - {t ^{2}} over {2} ``}]

이때, [eqn: s _{P} LEFT ( t RIGHT ) =s _{Q} LEFT ( t RIGHT ) ``]에서

[eqn: {t ^{2}} over {2} = {t ^{3}} over {3} - {t ^{2}} over {2} ``]

[eqn: {1} over {3} t ^{2} LEFT ( t-3 RIGHT ) =0``]

[eqn: THEREFORE t=0``] 또는 [eqn: t=3``]

그러므로 두 점 [eqn: rm P,````Q``]는 출발한 후 [eqn: t=3``]일 때 한 번 만난다.(참)

ㄷ. ㄴ에서 처음으로 만나는 시각은 [eqn: t=3``]이므로 [eqn: t``]의 범위는 [eqn: 0<t LEQ 3``]

한편, 두 점 [eqn: rm P,````Q``] 사이의 거리를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =s _{P} LEFT ( t RIGHT ) -s _{Q} LEFT ( t RIGHT ) = {t ^{2}} over {2} - LEFT ( {t ^{3}} over {3} - {t ^{2}} over {2} RIGHT ) =- {t ^{3}} over {3} +t ^{2} ``]

이 때, [eqn: f`' LEFT ( t RIGHT ) =-t ^{2} +2t=-t LEFT ( t-2 RIGHT ) ``]이므로 [eqn: t=2``]에서 극대이고 최대이다.

그러므로 구하는 거리의 최댓값은

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {4} over {3} ``](거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

19 [정답] ⑤

ㄱ. [eqn: 0<t<7]일 때, [eqn: f(t) geq 0]이므로 점 [eqn: rmP]는 방향을 바꾸지 않는다.

(거짓)

ㄴ. 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 시각 [eqn: t_1]에서의 위치는 각각 [eqn: int _{ 0} ^{t_1 } {f(t)dt },~int _{ 0} ^{t_1 } {g(t)dt }]이다.

[eqn: 0<t_1 <7]일 때, [eqn: int _{ 0} ^{t_1 } {f(t)dt }`>int _{ 0} ^{t_1 } {g(t)dt }]

[eqn: t_1 =7]일 때, [eqn: int _{ 0} ^{t_1 } {f(t)dt }`=int _{ 0} ^{t_1 } {g(t)dt }]

그러므로 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 원점을 출발한 다음 오직 한 번 만난다.  (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: 0<t<7]일 때, 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리보다 항상 길다. 따라서 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 가장 멀리 떨어져 있을 때는

[eqn: int _{ 0} ^{t } { LEFT { f(t)-g(t) RIGHT }dt }]의 값이 최대일 때이다.

그림에서 [eqn: 3<t<4]인 범위에서 두 그래프의 교점의 [eqn: t]좌표를 [eqn: t_2]라 하면 [eqn: int _{ 0} ^{t_2 } { LEFT { f(t)-g(t) RIGHT }dt }]의 값은 최대이다.  (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

20 [정답] ⑤

해설

그림의 세 부분 [eqn: rmA,``B,``C]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,``S _{2} ,``S _{3}]이라 하자.

[eqn: int _{0} ^{b} {LEFT { v _{P} LEFT ( t RIGHT ) -v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt} = int _{0} ^{b} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}]에서

[eqn: S _{1} +S _{3} =S _{2} +S _{3}]	[eqn: therefore`S _{1} =S _{2}]

또, 두 점이 [eqn: t=b]까지 움직인 거리가 같으므로

[eqn: int _{0} ^{b} {LEFT | v _{P} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt} = int _{0} ^{b} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}]

에서

[eqn: S _{1} +S _{2} =S _{3} +S _{2}]	[eqn: therefore`S _{1} =S _{3}]

ㄱ. 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{b} {LEFT | v _{P} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt=S _{1} +S _{2} =2S _{1} =2S _{3} =2 int _{0} ^{a} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}] (참)

ㄴ. 두 점이 반대 방향으로 움직이는 시각은 [eqn: 0 LEQ t LEQ a]이므로 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT | v _{P} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt} <S _{1}]

즉, [eqn: int _{0} ^{a} {LEFT | v _{P} LEFT ( t RIGHT ) dt RIGHT | < int _{0} ^{a} {LEFT | v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}}] (참)

ㄷ. [eqn: t=b]일 때, 두 점 사이의 거리는

[eqn: int _{0} ^{b} {v _{P} LEFT ( t RIGHT ) dt} - int _{0} ^{b} {v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) dt} `= int _{0} ^{b} {LEFT { v _{P} LEFT ( t RIGHT ) -v _{Q} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt}]

[eqn: =2S _{1} = int _{0} ^{b} {LEFT | v _{P} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}]

즉, 출발한 후 [eqn: t=b]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리와 같다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.