정답 및 해설

1  [정답] ④

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(2x-6)dx}``]

[eqn: =x ^{2} -6x+C``](단, [eqn: C``] 는 적분상수)

[eqn: y=f(x)``]의 그래프가 직선 [eqn: x=1``]에 접하므로

방정식 [eqn: x ^{2} -6x+C=1``]

즉, 방정식 [eqn: x ^{2} -6x+C-1=0``]이 중근을 갖는다.

이 방정식의 판별식을 [eqn: D~``]라고 하면

[eqn: {D} over {4} =9-(C-1)=0``````````````` THEREFORE C=10``]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} -6x+10``]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4-12+10=2``]

2 ④

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]이므로

[eqn: -xf(-x)=-xf(x)]이다.

즉,[eqn: int _{-2} ^{2} {} xf(x)dx=0]이고, [eqn: int _{-2} ^{2} {} f(x)dx=2 int _{0} ^{2} {f(x)dx}]이다.

[eqn: THEREFORE int _{-2} ^{2} {} (2+3x)f(x)dx]

[eqn: =2 int _{-2} ^{2} {f(x)dx+3 int _{-2} ^{2} {xf(x)dx}}]

[eqn: =4 int _{0} ^{2} {f(x)dx+3 BULLET 0}]

[eqn: =4 BULLET 4=16]

3   [정답] ④

[eqn: LEFT | x-1 RIGHT | = {cases{``x-1&````` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )#````-x+1&````` LEFT ( x LEQ 1 RIGHT )}}``]이므로

[eqn: int _{-2} ^{2} {} ` LEFT | x-1` RIGHT | (3x+1)`dx``]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {(-x+1)} `(3x+1)`dx+ int _{1} ^{2} {(x-1)} `(3x+1)`dx``]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {(-3x ^{2} +} `2x+1)`dx+ int _{1} ^{2} {(3x ^{2} -} `2x-1)`dx``]

[eqn: = LEFT [ {matrix{`#`}} -x ^{3} +x ^{2} +x RIGHT ] _{-2} ^{1 _{}} + LEFT [ {matrix{`#`}} x ^{3} -x ^{2} -x RIGHT ] _{1} ^{2}``]

[eqn: =(-1+1+1)-(8+4-2)+(8-4-2)-(1-1-1)``]

[eqn: =-6``]

4 [정답] [eqn: 4``]

해설

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)``]	[eqn: cdots~]㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=y=0``]을 대입하면

[eqn: f(0)=f(0)+f(0)``]에서 [eqn: f(0)=0``]

또 ㉠의 양변에 [eqn: y``]대신에 [eqn: -x``]를 대입하면

[eqn: f(0)=f(x)+f(-x)``=0``]에서

[eqn: f(-x)=-f(x)``]

[eqn: therefore~int_-2^2{`` LEFT { 1-f(x) RIGHT }`dx } =int_-2^2{``1`dx}+int_-2^2{``f(x)`dx}``]

[eqn: =LEFT [ pile{#}x`` RIGHT ]_-2^2 -0=2-(-2)=4``]

5  [정답] ②

모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)``]이므로

[eqn: int _{-a} ^{````a} {f(x)dx=0}``]

[eqn: int _{-2} ^{1} {} `f(x)dx= int _{-2} ^{-1} {} `f(x)dx+ int _{-1} ^{```1} {} `f(x)dx``]

[eqn: = int _{-2} ^{-1} {} `f(x)dx=-2``]

[eqn: THEREFORE int _{-2} ^{```4} {} `f(x)dx= int _{-2} ^{-1} {} `f(x)dx+ int _{-1} ^{```4} {} `f(x)dx``]

[eqn: =(-2)+8=6``]

6  [정답] ①

[eqn: f(0)=-1``]이므로

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx-1``] (단, [eqn: a != 0,````a,````b``]는 상수)로 놓을 수 있다.

한편[eqn: int _{-1} ^{1} {} f(x)dx= int _{0} ^{1} {} f(x)dx= int _{-1} ^{0} {} f(x)dx``] 에서
[eqn: int _{-1} ^{0} {} f(x)dx+ int _{0} ^{1} {} f(x)dx= int _{0} ^{1} {} f(x)dx= int _{-1} ^{0} {} f(x)dx``]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{1} {} f(x)dx= int _{-1} ^{0} {} f(x)dx=0``]

[eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx & = int _{0} ^{1} {} (ax ^{2} +bx-1)dx``]

[eqn: = LEFT [ {a} over {3} x ^{3} + {b} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{0} ^{1}``]

[eqn: = {a} over {3} + {b} over {2} -1=0``]             …… ㉠

[eqn: int _{-1} ^{0} {} f(x)dx & = int _{-1} ^{0} {} (ax ^{2} +bx-1)dx``]

[eqn: = LEFT [ {a} over {3} x ^{3} + {b} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{-1} ^{0}``]

[eqn: = {a} over {3} - {b} over {2} -1=0``]             …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=3,```b=0``]

따라서[eqn: ```f(x)=3x ^{2} -1``]이므로 [eqn: f(2)=3 TIMES 2 ^{2} -1=11``]

7   [정답] [eqn: 5``]

[eqn: int _{1} ^{x} {(x-1)f(t)dt=x ^{3} -3x+ {1} over {2} int _{1} ^{2} {f(t)dt} ``}``]       …… ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=2``]를 대입하면

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt=2+ {1} over {2} int _{1} ^{2} {f(t)dt} ``}``]

[eqn: THEREFORE int _{1} ^{2} {f(t)dt=4}``]                             …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: (x-1) int _{1} ^{x} {f(t)dt=x ^{3} -3x+2}``]

양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt+(x-1)f(x)=3x ^{2} -3}``]

양변에 [eqn: x=2``]를 대입하여 정리하면

[eqn: int _{1} ^{2} {f(t)dt=9-f(2)}``]                       …… ㉢

㉡, ㉢에서  [eqn: 4=9-f(2)``]

[eqn: THEREFORE f(2)=5``]

8  [정답] ①

[eqn: f(x)``]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)``]라 하면

[eqn: lim _{x-> 2} {{1} over {x ^{2} -4} int _{2} ^{x} {f(t)dt``}}``]

[eqn: = lim _{x -> 2} {{1} over {x+2} BULLET } {F`(x)-F`(2)} over {x-2}``]

[eqn: = {1} over {4} F``` prime (2)= {1} over {4} f(2)``]

[eqn: f(x)=x ^{3} +4x ^{2} -5x+2``]에서

[eqn: f(2)=8+16-10+2=16``]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x -> 2} {{1} over {x ^{2} -4} int _{2} ^{x} {f(t)dt``} = {1} over {4} f(2)=4}``]

9 [정답] ③

[eqn: f(x)= x^10 + 9x+1]에서 [eqn: f`'(x)=10x^9 +9]이다.

[eqn: lim _{ x->0} `{ {1} over {x} int_{0}^{x} {( x-t-1) f`'(t) } dt]

[eqn: =lim _{ x->0} `{ {1} over {x} left{ int_{0}^{x} { xf`'(t) } dt- int_{0}^{x} {( t+1) f`'(t) } dt right}]

[eqn: =lim _{ x->0} `{ {1} over {x} left{ x int_{0}^{x} { f`'(t) } dt- int_{0}^{x} {( t+1) f`'(t) } dt right}]

[eqn: =lim _{ x->0} `{ int_{0}^{x} { f`'(t) } dt- lim _{ x->0} `{ 1 over x } int_{0}^{x} {( t+1) f`'(t) } dt]

이 때 [eqn: lim _{ x->0} `{ int_{0}^{x} { f`'(t) } dt= lim_{x->0} `left{ f(x)-f(0) right}=0]이고,

함수 [eqn: (t+1)f`'(t)]의 부정적분의 하나를 [eqn: F(t)]라 하면

[eqn: lim _{ x->0} `{ 1 over x } int_{0}^{x} {( t+1) f`'(t) } dt = lim_{x->0} `{ {F(x) - F(0)} over {x}}= F`'(0) = f`'(0)]이다.

[eqn: therefore] (주어진 식)[eqn: =-f`'(0)=-9]

10  [정답] ⑤

[eqn: lim _{n-> INF } {{n(1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} + CDOTS +n ^{4} )} over {(1+2+3+ CDOTS n)(1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + CDOTS +n ^{3} )}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4}} over {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} BULLET {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}}}``]

[eqn: = { int _{0} ^{1} {x ^{4} dx}} over { int _{0} ^{1} {xdx TIMES int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}}} = {LEFT [ {1} over {5} x ^{5} RIGHT ] _{0} ^{1}} over {LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} TIMES LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1}}``]

[eqn: = {{1} over {5}} over {{1} over {2} TIMES {1} over {4}} = {8} over {5}``]

11 [정답] ④

해설

선분 [eqn: rmAB``]를 [eqn: (n+k)``:``k``]로 외분하는 점이 [eqn: {rmP}_k``]이므로

수직선에서 [eqn: rmA(0)`,`] [eqn: rmB(1)``]로 놓고 점 [eqn: {rmP}_k``]의 좌표를 [eqn: x``]라 하면

[eqn: x= {1cdot(n+k)-0cdotk}over{(n+k)-k} = 1+ k overn``]

따라서 [eqn: bar{{rmAP}_k} =1 + k overn``]이므로

[eqn: S_k = pi` LEFT ( 1+ k overn RIGHT )^2``]

[eqn: therefore~lim_{n``->~``inf}{`1overn`sum_k=1^n{``S_k}} =lim_{n``->~``inf}{`1overn`sum_k=1^n{``pi` LEFT ( 1+ k overn RIGHT )^2 }}```]

[eqn: ``=pilim_{n``->~``inf}{``sum_k=1^n`` LEFT ( 1+ k overn RIGHT )^2 `cdot 1overn}]

[eqn: ``=pilim_{n``->~``inf}{``sum_k=1^n`` LEFT ( 1+ 2-1 overn k RIGHT )^2 `cdot 2-1overn}]

[eqn: ``=pi`int_1^2{``x^2``dx}``]

12 [정답] ④

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left( {na+(b-a)k} over {n} right ) {b-a} over {n} }]

[eqn: =lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left(a+ {(b-a)k} over {n} right ) {b-a} over {n} }]

[eqn: = int_{a}^{b} {f(x)}dx] (정적분의 정의)

ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left( b-{(b-a)k} over {n} right ) {a-b} over {n} }]

[eqn: =lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left( b+{(a-b)k} over {n} right ) {a-b} over {n} }]

[eqn: = int_{b}^{a} {f(x)}dx]

[eqn: =- int_{a}^{b} {f(x)}dx]

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left( {{a+b} over {2} +{(b-a)k} over {2n} right ) {b-a} over {n} }]

[eqn: =lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left( {{a+b} over {2} +{ left(b-{a+b} over {2} right )k} over {n} right ) {b-{a+b}over{2}} over {n} }cdot2]

[eqn: =2 int_{a+b over 2}^{b} {f(x)}dx= int_{a}^{b} {f(x)}dx]

[eqn: (because~y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x= a+b over 2]에 대하여 대칭이다.)

따라서 [eqn: int_{a}^{b} {f(x)}dx]와 항상 같은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

13 [정답] ③

해설

[eqn: x _{k} = {k} over {n} ``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {n} LEFT { {2f(x _{k-1} )+f(x _{k} )} over {3} RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { 2 lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( x _{k-1} RIGHT ) {1} over {n} + lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( x _{k} RIGHT ) {1} over {n}}} RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { 2 lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) {1} over {n} + lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}} RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { 2 lim _{n -> INF } {sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} + lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}} RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { 2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}} RIGHT } ``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx``} = int _{0} ^{1} {(x ^{3} +1)dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +x RIGHT ] _{0} ^{1} = {5} over {4} -0= {5} over {4} ``]

14 [정답] ④

정적분의 정의에 의하여

[eqn: lim _{n-> inf} { `sum_{k=1}^{n} {f left(k over n right) 1 over n }} = int _{0}^{1} {f(x)}dx]

[eqn: lim _{n-> inf} { `sum_{k=1}^{n} {f left(k-1 over n right) 1 over n }}=lim _{n-> inf} { `sum_{k=0}^{n-1} {f left(k over n right) 1 over n }} = int_{0}^{1} {f(x)} dx]이다.

[eqn: therefore~A=lim _{ n->inf}`{sum_{k=1}^{n} { f left( k over n right) 1 over n +lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} f left( k-1 over n right) {1} over {n}]

[eqn: =lim _{ n->inf}`{sum_{k=1}^{n} { f left( k over n right) 1 over n +lim _{ n->inf}` {sum_{k=0}^{n-1} f left( k over n right) {1} over {n}]

[eqn: = int_{0}^{1} {f(x)} dx + int_{0}^{1} {f(x)} dx]

[eqn: = 2int_{0}^{1} {f(x)} dx]

[eqn: =2 int_{0}^{1} {(3x^2 + 2x + 1)} dx]

[eqn: =2 left[ pile{`#`} x^3 + x^2 + x right]_{0}^{1} =6]

같은 방법으로

[eqn: B=lim _{ n->inf}` {sum_{k=1}^{n} { f left( k over n right) 1overn -lim _{ n->inf}` {sum_{k=0}^{n-1} f left( k over n right) }{1} over {n}]

[eqn: = int_{0}^{1} {f(x)} dx - int_{0}^{1} {f(x)} dx=0]

[eqn: therefore~A^2 + B^2 = 36]

15 [정답] [eqn: 5]

[eqn: x_k+1 - x_k = 1 over n ,~x_k = k over n]이므로

[eqn: lim_{n -> inf} ` sum_{k=0}^{n-1} { (-x_k `^4 +x_k `^3 cdot x_k+1 )]

[eqn: =lim_{n -> inf} ` sum_{k=0}^{n-1} { x_k `^3 ( x_k+1 - x_k )]

[eqn: =lim_{n -> inf} ` sum_{k=0}^{n-1} { left( k over n right) ^3 {1 over n}]

[eqn: = int_{0}^{1} {x^3 } dx= 1 over 4]

[eqn: therefore~p+q=4+1=5]

16  [정답] ④

[eqn: f(t)= lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1+ {t+1} over {n} k RIGHT ) ^{2} cdot` {t+1} over {n}} ``]

[eqn: = int _{-1} ^{t} {x ^{2} dx}``]

이므로 [eqn: f(t)= LEFT [ {x ^{3}} over {3} RIGHT ] _{-1} ^{t} = {t ^{3} +1} over {3}``]

[eqn: THEREFORE f(x)= {x ^{3} +1} over {3}``]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -x-2} = lim _{x -> -1} {{x ^{3} +1} over {3(x ^{2} -x-2)}} ``}``]

[eqn: = lim _{x-> -1} {} {(x+1)(x ^{2} -x+1)} over {3(x+1)(x-2)}``]

[eqn: = lim _{x -> -1} {} {x ^{2} -x+1} over {3(x-2)}``]

[eqn: =- {1} over {3}``]

17 [정답] ①

해설

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ x<1``]일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) dt+ int _{x} ^{1} {LEFT ( t-x RIGHT ) dt} ``}]

[eqn: = LEFT [ xt- {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{x} + LEFT [ {1} over {2} t ^{2} -xt RIGHT ] _{x} ^{1} ``]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} -x RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} x ^{2} -x ^{2} RIGHT ) ``]

[eqn: =x ^{2} -x+ {1} over {2} ``]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1``]일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{1} {LEFT ( x-t RIGHT ) dt``}]

[eqn: = LEFT [ xt- {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} =x- {1} over {2} ``]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} -x+ {1} over {2} RIGHT ) dx+ int _{1} ^{2} {LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) dx``}}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} x RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} - {1} over {2} x RIGHT ] _{1} ^{2} ``]

[eqn: = LEFT ( {1} over {3} - {1} over {2} + {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( 2-1 RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} - {1} over {2} RIGHT ) ``]

[eqn: = {4} over {3} ``]

18  [정답] ②

[eqn: f(x)= int _{-2} ^{x} {(|``t-1``|-1)dt``}``]에서

(ⅰ) [eqn: x<1``]일 때

[eqn: f(x)= int _{-2} ^{x} {(|``t-1``|-1)dt``}``]

[eqn: = int _{-2} ^{x} {(-t)dt= LEFT [ - {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{-2} ^{x} ``}``]

[eqn: =- {1} over {2} x ^{2} +2``]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1``]일 때

[eqn: f(x)= int _{-2} ^{x} {(|``t-1``|-1)dt``}``]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {(-t)dt+ int _{1} ^{x} {(t-2)dt}}``]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{-2} ^{1} + LEFT [ {1} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{1} ^{x}``]

[eqn: =- {1} over {2} +2+ {1} over {2} x ^{2} -2x+ {3} over {2}``]

[eqn: = {1} over {2} x ^{2} -2x+3``]

[eqn: = {1} over {2} (x-2) ^{2} +1``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 아래와 같다.

ㄱ. [eqn: x<1``]일 때 [eqn: f(x)=- {1} over {2} x ^{2} +2``]이므로 [eqn: f(0)=2``] (참)

ㄴ. 위의 그래프에서 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 극댓값 [eqn: 2``], [eqn: x=2``]에서 극솟값 [eqn: 1``]을 갖는다. (참)

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 음의 실근 한 개와 두 개의 허근을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

19 [정답] ④

ㄱ. [eqn: f(x)= int_{0}^{x} { ( t-|`t-1`|)}dt]에서 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)=x- |`x-1`|]

[eqn: therefore~f`'(1)=1~](참)

ㄴ. [eqn: f` prime (x)=x-|`x-1`|= {cases{~~1~~~`(x geq 1)#2x-1~`(x<1)}}]

이므로 [eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: 2x-1=0,~~therefore`x= 1 over 2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값을 갖지 않는다. (거짓)

ㄷ. ㄴ에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= 1 over 2]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: therefore~f left( 1 over 2 right)= int_{0}^{ 1 over 2} { {(t-|`t-1`|)dt]

[eqn: = int_{0}^{ 1 over 2} { {(t+t-1)dt]

[eqn: = int_{0}^{ 1 over 2} { {(2t-1)dt]

[eqn: = left [pile {`#`} t^2 -t right] _{0} ^ { 1 over 2} = - 1 over4] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[참고]

함수 [eqn: f(x)]를 구하면 다음과 같다.

(i) [eqn: x geq1]일 때,

[eqn: f(x)= int_{0}^{x} { ( t-|`t-1`|)}dt= int_{0}^{ 1 } { {(2t-1)dt + int_{1}^{x} {1} dt= x-1]

(ii) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: f(x)= int_{0}^{x} { ( t-|`t-1`|)}dt= int_{0}^{ x } { {(2t-1)dt = x^2 -x]

20 [정답] ③

해설

조건 ㈎, ㈏에서 함수 [eqn: f`(x)]는 주기가 [eqn: 4]인 주기함수이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: int from 1 to 2 `f`(x)dx]와 같은 값을 가지려면[eqn: int _{1+4n} ^{2+4n} {} `f`(x)dx] ([eqn: n`]는 정수)의 꼴이어야 한다.

[eqn: 2006=2+4․501], [eqn: 2005=1+4․501] 이므로

[eqn: int from 1 to 2 `f`(x)dx = int from 2005 to 2006 ` f`(x)dx]

21 [정답] [eqn: 11``]

해설

모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x-2 RIGHT ) ``]이므로

[eqn: f LEFT ( x+4 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) ``]

따라서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 주기가 [eqn: 4``]인 주기함수이다.

[eqn: int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=3``}]이므로 임의의 실수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: int _{n} ^{4+n} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=3``}]

[eqn: int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=1``}]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{0} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx``}}}]

[eqn: =3-1=2``]

[eqn: THEREFORE int _{2000} ^{2014} {f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{2000} ^{2004} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2004} ^{2008} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2008} ^{2012} {f LEFT ( x RIGHT ) dx``}}}}]

[eqn: + int _{2012} ^{2014} {f LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: =3 TIMES 3+ int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx``}]

[eqn: =9+2=11``]

22 [정답] ②

해설

[eqn: int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx``}]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}} ``]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x+2 RIGHT ) dx}} ``]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{-2} ^{0} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +3x ^{2} +2x+1 RIGHT } dx}} ``]

[eqn: =2 int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{-2} ^{0} {LEFT { 3x ^{2} +2x+1 RIGHT } dx}} ``]

[eqn: =2 int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT )} dx+ LEFT [ x ^{3} +x ^{2} +x RIGHT ] _{-2} ^{0} ``]

[eqn: =2 int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+6``}]

따라서 [eqn: 1=2 int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+6``}]이므로

[eqn: int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=- {5} over {2} ``}]

23 [정답] ②

해설

[eqn: a _{n+1} b _{n+1} = int _{n} ^{n+2} {a _{n} xdx TIMES int _{n+1} ^{n+3} {{y-1} over {a _{n}}} dy``}]

[eqn: = int _{n} ^{n+2} {xdx TIMES int _{n} ^{n+2} {ydy``}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{n} ^{n+2} TIMES LEFT [ {1} over {2} y ^{2} RIGHT ] _{n} ^{n+2} ``]

[eqn: =4 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} ``]

따라서 [eqn: a _{1} =2,````b _{1} =2``]이므로

[eqn: a _{n} b _{n} =4n ^{2} ``]

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {{1} over {n ^{5}} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k} b _{k} RIGHT ) ^{2} = lim _{n-> INF } {{1} over {n ^{5}} sum _{k=1} ^{n} 16k ^{4} ``}}]

[eqn: = lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} 16 LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4} CDOT {1} over {n} ``}]

[eqn: =16 int _{0} ^{1} {x ^{4} dx``}]

[eqn: =16 LEFT [ {x ^{5}} over {5} RIGHT ] _{0} ^{1} =16 LEFT ( {1} over {5} -0 RIGHT ) = {16} over {5} ``]

24   [정답] ⑤

[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{2n+1} +2x-1} over {x ^{2n} +1}} ``]

[eqn: = {cases{2x-1&( LEFT | x RIGHT | <1)#```````1&(x=1)#-2&(x=-1)#```````x&( LEFT | x RIGHT | >1)}}``]

의 그래프는 아래 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: lim _{h -> +0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h} = lim _{h -> +0} {} {(1+h)-1} over {h} =1``]

[eqn: lim _{h -> -0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {LEFT { 2(1+h)-1 RIGHT } -1} over {h}``]

[eqn: = lim _{h-> -0} {{2h} over {h} =2}``]

에서 [eqn: lim _{h -> +0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h} != lim _{h -> -0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h}``]

이므로 [eqn: f` prime (1)``]은 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{2} {} `f(x)dx= int _{0} ^{1} {(2x-1)dx+ int _{1} ^{2} {xdx}}``]

[eqn: = LEFT [ x ^{2} -x RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2}``]

[eqn: =(1-1)+(2- {1} over {2} )``]

[eqn: = {3} over {2}``] (참)

ㄷ. [eqn: LEFT | x RIGHT | >1``]일 때, [eqn: f(x)``]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: a>2``]일 때, [eqn: int _{2} ^{a} {f(x)dx=- int _{-a} ^{-2} {f(x)dx}}``]

[eqn: THEREFORE int _{2} ^{a} {f(x)dx+ int _{-a} ^{-2} {f(x)dx} =0}``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ,  ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: LEFT | x RIGHT | >1``]일 때, [eqn: f(x)=x``]이므로

[eqn: int _{2} ^{a} {f(x)dx+ int _{-a} ^{-2} {f(x)dx}}``]

[eqn: = int _{2} ^{a} {xdx+ int _{-a} ^{-2} {xdx}}``]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{a} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-a} ^{-2}``]

[eqn: = {1} over {2} a ^{2} -2+2- {1} over {2} a ^{2}``]

[eqn: =0``]

25  [정답] ③

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)``]라 하면 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`'(x)< g`'(x)``], 즉 [eqn: h prime (x)=f` prime (x)-g` prime (x)<0``]이므로 함수 [eqn: h(x)``]는 감소함수이다.

또한, [eqn: f(2)=g(2)``]이므로 [eqn: h(2)=f(2)-g(2)=0``]

따라서 [eqn: x<2``]일 때 [eqn: h(x)>0,``````x>2``]일 때 [eqn: h(x)<0``]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |} dx``]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx=3``]

[eqn: int _{2} ^{5} {|`f(x)-g(x)`|dx}``]

[eqn: =- int _{2} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx=12``]

[eqn: int _{2} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx=-12``]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx``]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx+ int _{2} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx``]

[eqn: =3-12=-9``]

26 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: g`(x)= int _{ 0} ^{x } {f`(t)dt``]에서

[eqn: g`'`(x)= d over dx int _{ 0} ^{x } {f`(t)dt = f`(x)``]이므로

[eqn: g`'`(alpha)= f`(alpha)=0``] (참)

ㄴ. [eqn: g`'`(x)=f`(x)``]이고 [eqn: f`(0)=f`(alpha)=0``]이므로 함수 [eqn: g`(x)``]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: g`(x)``]의 극댓값은 [eqn: g`(0)``]이고

[eqn: g`(0)= int _{ 0} ^{0 } {f`(t) }dt =0``] (참)

ㄷ. 함수 [eqn: y= g`(x)``]의 그래프가 그림과 같으므로 방정식 [eqn: g`(x)=0``]은 서로 다른 두 개의 실근을 갖고, 그 두 개의 실근 중 하나는 [eqn: 0``]이고 다른 하나를 [eqn: beta``]라 하면 [eqn: alpha`<`beta``]이다.

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: alpha``]보다 크다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

[다른풀이] ㄷ. [eqn: f`(x)= ax`(x-alpha)``][eqn: (a`>`0)``]라 하면

[eqn: g`(x)= int _{ 0} ^{x } {f`(t)dt``][eqn: = int _{ 0} ^{x } {at`(t-alpha)dt``]

[eqn: = left[ a over3 t^3 - {a alpha}over2`t^2 right]_0^x``]

[eqn: = a over3`x^3 - {a alpha }over 2`x^2``]

[eqn: = a over 6 `x^2 (2x-3alpha)``]

이므로 [eqn: g`(x)=0``]의 근은 [eqn: 0``](중근)과 [eqn: 3over2`alpha``]이다.

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 3over2 `alpha``]이므로 [eqn: alpha``]보다 크다. (참)

27 [정답] ③

해설

[eqn: f(x)`g(x)=g(x)+2x^3 +2x^2``]에서

[eqn: LEFT { f(x)-1 RIGHT }`g(x)=2x^3 +2x^2``]	[eqn: cdots~]㉠

다항함수 [eqn: f(x)``]의 최고차항의 차수를 [eqn: n``]이라 하면

함수 [eqn: g(x)``]의 최고차항의 차수는 [eqn: n+1`,`]

[eqn: LEFT { f(x)-1 RIGHT }`g(x)``]의 최고차항의 차수는 [eqn: n+(n+1)`]이므로

[eqn: n+(n+1)=3``]에서 [eqn: n=1``]이다.

따라서 [eqn: g(x)``]는 이차함수이고 [eqn: g(0)=0``]이므로

[eqn: g(x)=ax^2 +bx``]([eqn: a!=0`])이라 하면

[eqn: f(x)=g`'(x)=2ax+b``]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: (2ax+b-1)(ax^2 +bx)=2x^3 +2x^2``]

[eqn: therefore~2a^2 x^2 +(3ab-a)x^2 +b(b-1)x =2x^3 +2x^2``]	[eqn: cdots~]㉡

㉡이 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 성립하므로

[eqn: 2a^2 =2`,`] [eqn: 3ab-a=2`,`] [eqn: b(b-1)=0``]에서 [eqn: a=b=1``]

따라서 [eqn: g(x)=x^2 +x``]이므로 [eqn: f(x)=2x+1``]

[eqn: therefore~f(1)=2+1=3``]

28 [정답] [eqn: 7``]

해설

구간 [eqn: LEFT ( a,````b RIGHT ) ``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 감소하므로 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) <0``], 구간 [eqn: LEFT ( b,````c RIGHT ) ``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 증가하므로 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) >0``]이다.

[eqn: THEREFORE int _{a} ^{c} {LEFT | f`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx= int _{a} ^{b} {LEFT { -f`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx+ int _{b} ^{c} {f`' LEFT ( x RIGHT ) dx``}}}]

[eqn: =- LEFT { f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } + LEFT { f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT } ``]

[eqn: =f LEFT ( a RIGHT ) +f LEFT ( c RIGHT ) -2f LEFT ( b RIGHT ) ``]

[eqn: =13-2 TIMES 3``]

[eqn: =7``]

29 [정답] [eqn: 11``]

해설

㈎에 의하여 [eqn: LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) CDOT f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } '=2f`' LEFT ( t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) ``]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2 int _{1} ^{x} {f`' LEFT ( t RIGHT ) CDOT f LEFT ( t RIGHT ) dt``}]

[eqn: = LEFT [ LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ] _{1} ^{x} ``]

[eqn: = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} - LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} ``]

㈏에 의하여 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) ``]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +k``][eqn: (``]단, [eqn: k``]는 상수[eqn: )``]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +k RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 1+k RIGHT ) ^{2} ``]

㈐에 의하여

[eqn: lim _{x-> 1} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} = lim _{x-> 1} {{LEFT ( x ^{2} +k RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 1+k RIGHT ) ^{2}} over {x-1} ``}}]

[eqn: = lim _{x-> 1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2k+1 RIGHT )} over {x-1} ``}]

[eqn: =2 LEFT ( 2+2k RIGHT ) ``]

[eqn: =4+4k``]

[eqn: =16``]

[eqn: THEREFORE k=3``]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3,````g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +6x ^{2} -7``]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT ) =4- LEFT ( -7 RIGHT ) =11``]

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b``]라 하면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =2x+a``]

㈎에 의해

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) CDOT f`' LEFT ( x RIGHT ) ``]

[eqn: =2 LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) LEFT ( 2x+a RIGHT ) ``]

[eqn: =4x ^{3} +6ax ^{2} +2 LEFT ( a ^{2} +2b RIGHT ) x+2ab``]

이 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =0``]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2ax ^{3} + LEFT ( a ^{2} +2b RIGHT ) x ^{2} +2abx- LEFT { 1+2a+ LEFT ( a ^{2} +2b RIGHT ) +2ab RIGHT } ``````]

㈏에 의해 [eqn: a=0``]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2bx ^{2} - LEFT ( 1+2b RIGHT ) ``]

∴ [eqn: g prime (x)=4x ^{3} +4bx]

㈐에 의해

[eqn: lim _{x -> 1} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} = lim _{x -> 1} {{g(x)-g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} ( BECAUSE g(1)=0)``}}]

[eqn: =g`'(1)]

[eqn: =4+4b``]

[eqn: =16``]

[eqn: THEREFORE b=3``]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3,````g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +6x ^{2} -7``]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT ) =4- LEFT ( -7 RIGHT ) =11``]

30 [정답] ⑤

해설

[eqn: int _{-2} ^{0} {x ^{2} f LEFT ( x+1 RIGHT ) dx``}]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx``}]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) dx+ int _{0} ^{1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( -x+1 RIGHT ) dx``}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +x RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{2} +x ^{3} - {3} over {2} x ^{2} +x RIGHT ] _{0} ^{1} ``]

[eqn: = LEFT ( - {1} over {4} - {1} over {3} + {1} over {2} +1 RIGHT ) + LEFT ( - {1} over {4} +1- {3} over {2} +1 RIGHT ) ``]

[eqn: = {7} over {6} ``]

[다른 풀이]

[eqn: int _{-2} ^{0} {x ^{2} f LEFT ( x+1 RIGHT ) dx``}]

[eqn: = int _{-2} ^{-1} {x ^{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) dx+ int _{-1} ^{0} {x ^{2} CDOT LEFT ( -x RIGHT ) dx``}}]

[eqn: LEFT [ {1} over {4} x ^{4} + {2} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{-2} ^{-1} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{-1} ^{0} ``]

[eqn: = LEFT ( {1} over {4} - {2} over {3} RIGHT ) - LEFT ( 4- {16} over {3} RIGHT ) + {1} over {4} ``]

[eqn: = {7} over {6} ``]

31 [정답] ④

해설

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +b``]는 [eqn: x=1``]에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=A,```` int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=B``}}]라 하면

[eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx``}}]

[eqn: THEREFORE A=2,````A+B=5``]

따라서 [eqn: B= int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=3``}]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=6``}]

32 [정답] ①

[eqn: F(x)= int {x^2 f(x) } dx]의 양변을 미분하면

[eqn: F`'(x)=x^2 f(x)~~~cdotscdots~㉠]

[eqn: G(x)= int{ (x+2)f(x)}dx]의 양변을 미분하면

[eqn: G`'(x)=(x+2)f(x)~~~cdotscdots~㉡]

[eqn: ㉠-㉡]을 하면

[eqn: F`'(x)-G`'(x)=x^2 f(x) -(x+2)f(x)]

[eqn: =(x^2 -x-2)f(x)]

[eqn: =(x+1)(x-2)f(x)]

[eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]

따라서 함수 [eqn: g(x)=F(x) - G(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고 [eqn: x=2]에서 극소이다.

[eqn: therefore~alpha-beta=-1-2=-3]

33 [정답] ②

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: F`'(x)=f(x)=x^3 -3x+a]

[eqn: f`'(x)=3x^2 -3]이므로 [eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= +-`1]에서 극값을 갖는다.

사차함수 [eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가져야 하므로 도함수 [eqn: f(x)]의 부호가 한 번만 바뀌어야 한다. 즉, 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그래프 중의 하나이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 부호가 같거나 극댓값 또는 극솟값이 [eqn: 0]이어야 한다.

[eqn: f(-1) cdot f(1) = (2+a)(-2+a) geq 0]에서 [eqn: a leq-2] 또는 [eqn: a geq 2]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

34 [정답] ⑤

[eqn: f(x)= x^3 - 3x^2 -1]에서 [eqn: f`'(x) = 3x^2 - 6x= 3x(x-2)]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: 1<x< alpha]일 때 [eqn: f(x) < 0,~ alpha< x<4]일 때 [eqn: f(x)>0]이므로

[eqn: b-a= int_{alpha}^{4} {|`f(x)`|`dx - int_{1}^{alpha} {|`f(x)`|`dx]

[eqn: =int_{alpha}^{4} {f(x)dx+ int_{1}^{alpha} {f(x)dx]

[eqn: =int_{1}^{4} {f(x)dx=c]

[eqn: c=int_{1}^{4} {(x^3 - 3x^2 -1 )}dx]

[eqn: = left [ pile {`#`} x^4 over 4 - x^3 -x right ]_{1}^{4}]

[eqn: =(4^3 - 4^3 -4) - left( 1 over 4 -1-1 right) = - 9 over 4 <0]

[eqn: a>0,~b>0]이고 [eqn: b-a<0]에서 [eqn: 0<b<a]

따라서 [eqn: c<b<a]이다.

35 [정답] ②

함수 [eqn: y=f(x)]와 함수 [eqn: y=f(2-x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: int_{0}^{2} { f(x)} dx = int_{0}^{2} {f(2-x) } dx]가 성립한다.

[eqn: therefore~int_{0}^{2} {f(x)} dx = int_{0}^{2} { left{ 3x^2 - 6x + 1 - f(2-x) right} } dx]

[eqn: =int_{0}^{2} {(3x^2 - 6x+1)} dx - int_{0}^{2} { f(2-x)} dx]

[eqn: int_{0}^{2} { f(x)} dx + int_{0}^{2} {f(2-x) } dx = int_{0}^{2} {(3x^2 - 6x +1)} dx]

따라서 [eqn: 2int_{0}^{2} { f(x)} dx= int_{0}^{2} {(3x^2 - 6x+1)} dx]

[eqn: = left[ pile{`#`} x^3 - 3x^2 + x right]_{0}^{2} = -2]

이므로 [eqn: int_{0}^{2} { f(x)} dx =-1]

[참고]

함수 [eqn: f(x)]의 존재성

[eqn: f(x)= 3 over 2 (x+1) ^2 - 7]이면 [eqn: f(2-x)= 3 over 2 (x-3) ^2 - 7]이므로

[eqn: f(x) + f(2-x) = 3x^2 - 6x +1]