정답 및 해설

1  [정답] ②

[eqn: {1} over {n} =h``]라 하면 [eqn: n`->` INF ``]일 때 [eqn: h -> `0``]이므로

[eqn: lim _{n-> INF } {`n LEFT [ f LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {3} over {n} RIGHT ) RIGHT ] = lim _{h-> 0} {{f(1+2h)-f(1-3h)} over {h}}}``]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(1+2h)-f(1)-f(1-3h)+f(1)} over {h}}``]

[eqn: = lim _{h -> 0} {LEFT { {f(1+2h)-f(1)} over {2h} BULLET 2- {f(1-3h)-f(1)} over {-3h} BULLET (-3) RIGHT }}``]

[eqn: =2f` prime (1)+3f` prime (1)=5f` prime (1)=-5``]

2  [정답] ②

함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{3} +ax+1&(x GEQ 1)#-bx ^{2} +4&(x LEQ 1)}} ``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 미분가능하려면 [eqn: x=1``]에서 연속이어야 하므로 [eqn: lim _{x-> 1-0} {f(x)} = lim _{x-> 1+0} {f(x)} =f(1)``]

즉, [eqn: -b+4=1+a+1``]     [eqn: THEREFORE a+b=2``]  ⋯⋯㉠

또, [eqn: x=1``]에서 미분계수가 존재하므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {{f(x)-f(1)} over {x-1} =} lim _{x-> 1-0} {{(-bx ^{2} +4)-(-b+4)} over {x-1}} =-2b``]

[eqn: lim _{x -> 1+0} {{f(x)-f(1)} over {x-1} =} lim _{x -> 1+0} {{(x ^{3} +ax+1)-(1+a+1)} over {x-1}} =3+a``]

에서 [eqn: f`prime(1)=-2b=3+a``]      [eqn: THEREFORE a+2b=-3``]⋯⋯㉡

㉠ , ㉡에서 [eqn: a=7`,`````b=-5``]

[eqn: THEREFORE f(-1)=-(-5) BULLET (-1) ^{2} +4=9``]

3   [정답] ⑤

[eqn: lim _{x -> 1} {{x ^{3} f(1)-f(x ^{2} )} over {x-1}}``][eqn: = lim _{x -> 1} {{x ^{3} f(1)-f(1)+f(1)-f(x ^{2} )} over {x-1}}``]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{x ^{3} f(1)-f(1)} over {x-1} - lim _{x -> 1} {{f(x ^{2} )-f(1)} over {x-1}}}``]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{(x ^{3} -1)f(1)} over {x-1} - lim _{x -> 1} {{f(x ^{2} )-f(1)} over {x ^{2} -1} (x+1)}}``]

[eqn: = lim _{x -> 1} {(x ^{2} +x+1)f(1)- lim _{x -> 1} {{f(x ^{2} )-f(1)} over {x ^{2} -1} (x+1)}}``]

[eqn: =3f(1)-2f`prime(1)=3`times`2-2`times`1=4``]

4  [정답] [eqn: 11``]

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)-1} over {x} =-4``}``]에서 [eqn: f(0)=1`,```f` prime (0)=-4``]

[eqn: lim _{x -> 0} {{g(x)+2} over {x} =3``}``]에서 [eqn: g(0)=-2`,````g` prime (0)=3``]

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)g(x)+2} over {x} = lim _{x -> 0} {{f(x)g(x)-f(0)g(0)} over {x}} ``}``]

[eqn: = lim _{x -> 0} {{f(x)g(x)-f(0)g(x)+f(0)g(x)-f(0)g(0)} over {x}} ``]

[eqn: = lim _{x -> 0} {{"{"f(x)-f(0)"}"g(x)} over {x} + lim _{x -> 0} {{f(0)"{"g(x)-g(0)"}"} over {x}} ``}``]

[eqn: = lim _{x -> 0} {{f(x)-f(0)} over {x} BULLET lim _{x -> 0} {g(x)} +f(0) BULLET lim _{x -> 0} {{g(x)-g(0)} over {x}} ``}``]

[eqn: =f`prime(0)g(0)+f(0)g`prime(0)``]

[eqn: =(-4)`times`(-2)+1`times3=11``]

5  [정답] ②

[eqn: f(x)``]가 삼차식이고 [eqn: f(-3)=f(2)=0`,```f`prime(2)=0``]이므로

[eqn: f(x)=k(x-2) ^{2} (x+3)``]     (단, [eqn: k`!=`0``])

[eqn: f` prime (x)=2k(x-2)(x+3)+k(x-2) ^{2} =k(x-2)(3x+4)``]

[eqn: f`prime(a)=0``]이므로 [eqn: (a-2)(3a+4)=0``]

[eqn: THEREFORE `a=2``]또는 [eqn: a=- {4} over {3} ``]

이때, [eqn: a``]는 음수이므로 [eqn: a=- {4} over {3} ``]

6  [정답] ⑤

[eqn: f'(1)=0``]이므로

[eqn: f'(x)=A(x-1)(x-alpha)~(단,~A≠0)``]

[eqn: =A"{"x^2 -(1+alpha)x+alpha"}"``]          ……㉠

라 하자.

삼차식 [eqn: f(x)``]는 [eqn: f'(x)``]를 인수로 갖고, [eqn: f'(x)``]는 [eqn: (x-1)``]을 인수로 가지므로 [eqn: f'(1)=0,~f(1)=0``]이다. 그러므로

[eqn: f(x)=B(x-1)^2 (x-alpha)~(단,```B≠0)``]

[eqn: =B(x^2 -2x+1)(x-alpha)``]

[eqn: f'(x)=B(2x-2)(x-alpha)+B(x^2 -2x+1)``]

그런데 ㉠에서 [eqn: f'(alpha)=0``]이므로

[eqn: f'(alpha)=B(alpha-1)^2 =0~~~∴~alpha=1``]

[eqn: f(x)=B(x-1)^3``]이고 [eqn: f(0)=-2``]에서 [eqn: B=2``]

따라서 [eqn: f(x)=2(x-1)^3``]이므로 [eqn: f(2)=2``]

7 [정답] ②

해설

ㄱ. [eqn: f(x)= LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h-> +0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> +0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {h} over {h}``]

[eqn: ``=1``]

[eqn: lim _{h -> -0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {-h} over {h}``]

[eqn: ``=`-1``]

따라서 [eqn: lim _{h -> +0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} != lim _{h -> -0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} ``]이므로

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄴ. [eqn: f(x)=x` LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h-> 0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> 0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h-> 0} {} {f(h)} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> 0} {} {h` LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> 0} {` LEFT | ``h`` RIGHT |}``]

[eqn: ``=0``]

따라서 [eqn: f` prime (0)=0``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: f(x)=x+ LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h-> +0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> +0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {h+ LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {h+h} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> +0} {} {2h} over {h}``]

[eqn: ``=2``]

[eqn: lim _{h -> `-0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {f(h)-0} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {h+ LEFT | ``h`` RIGHT |} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h -> -0} {} {h-h} over {h}``]

[eqn: ``=0``]

따라서 [eqn: lim _{h -> `+0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} != lim _{h -> -0} {} {f(0+h)-f(0)} over {h} ``]이므로

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

그러므로 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수는 ㄴ이다.

8 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: f(0)=0``]이므로

[eqn: lim _{x-> 0} {} {f(x)-f(0)} over {x-0} = lim _{x-> 0} {} {f(x)} over {x}``]
[eqn: = lim _{x-> 0} {} g(x)``]

[eqn: =g(0)~( BECAUSE ``g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 연속[eqn: )``]

[eqn: =0``]

따라서 [eqn: f` prime (0)=0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

ㄴ. | 반례 | [eqn: f(x)=x` LEFT | ``x`` RIGHT | ``]라 하면
[eqn: f(0)=0``], [eqn: g(x)= {cases{` LEFT | ``x`` RIGHT | ~&(`x != 0)#`~0~~&(`x=0`)}} ``]은 [eqn: x=0``]에서 연속이지만

[eqn: lim _{x -> +0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0} = lim _{x -> +0} {} {LEFT | ``x`` RIGHT |} over {x} = lim _{x -> +0} {} {x} over {x} =1``]

[eqn: lim _{x -> -0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0} = lim _{x -> -0} {} {LEFT | ``x`` RIGHT |} over {x} = lim _{x -> -0} {} {-x} over {x} =`-1``]

따라서 [eqn: lim _{x -> +0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0} != lim _{x -> -0} {} {g(x)-g(0)} over {x-0}``]

이므로 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄷ. [eqn: xg(x)=h(x)``]라 하면

[eqn: lim _{x -> 0} {} {h(x)-h(0)} over {x-0} = lim _{x -> 0} {} {xg(x)-0·g(0)} over {x-0}``]

[eqn: `= lim _{x -> 0} {} {xg(x)} over {x}``]

[eqn: `= lim _{x-> 0} {} g(x)``]

[eqn: `=g(0)``]

[eqn: `=0``]

따라서 [eqn: h` prime (0)=0``]이므로 [eqn: h(x)=xg(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수는 ㄱ, ㄷ이다.

9   [정답] ②

주어진 [eqn: y=f(x)``]의 그래프에서 [eqn: f(0)=0``]이고

[eqn: lim_x->-0 f(x)=lim_x->+0 f(x)=1``]이므로 [eqn: lim_x->0 f(x)=1``]이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 불연속이므로 [eqn: f'(0)``]의 값은 존재하지 않는다.

ㄱ. 함수 [eqn: y=x-2f(x)``]에서

[eqn: lim_x->0 {x-2f(x)-"{"0-2f(0)"}"}overx-0``]

[eqn: = lim_x->0 {x-2f(x)+2f(0)}overx-0``]

[eqn: =lim_x->0 left{1-2· {f(x)-f(0)}overx-0 right``]

그런데 [eqn: f'(0)``]의 값이 존재하지 않으므로

[eqn: lim_x->0 {f(x)-f(0)}overx-0``]의 극한이 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: y=x-2f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=xf(x)``]에서

[eqn: lim_x->0 {xf(x)-0·f(0)}overx-0 =lim_x->0 {xf(x)}overx = lim_x->0 f(x)``]

[eqn: lim_x->0 f(x)=1``]이므로 함수 [eqn: y=xf(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=｜x｜f(x)``]에서

[eqn: lim_x->+0 {｜x｜f(x)=0·f(0)}overx-0 = lim_x->+0 {xf(x)}overx``]

[eqn: =lim_x->+0 f(x)=1``]

[eqn: lim_x->-0 {｜x｜f(x)-0·f(0)}overx-0 =lim_x->-0 {-xf(x)}overx``]

[eqn: lim_x->-0 "{"-f(x)"}"=`-1``]

이므로 함수 [eqn: y=｜x｜f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

따라서 [eqn: x=0``]에서 미분가능한 함수는 ㄴ뿐이다.

10  [정답] ③

[eqn: f'(1)=3``]이므로 [eqn: lim_x->4 {f left( x over4 right)-f(1)}over { x over4 -1} =3``]

[eqn: f(4x)=4f(x),~f(x)=4f left( x over4 right),~f(4)=4f(1)``]

[eqn: ∴f'(4)= lim_x->4 {f(x)-f(4)}overx-4 =lim_x->4 {4left{ f left( x over4 right)-f(1) right}}over{4 left( x over4 -1right)``]

[eqn: =f'(1)=3``]

11  [정답] ①

ㄱ. [eqn: lim_h->0 "{"f(c+h)-f(c)"}"``]

[eqn: =lim_h->0 {f(c+h)-f(c)}overh ·h``]

[eqn: =lim_h->0 {f(c+h)-f(c)}overh × lim_h->0 `h``]

[eqn: =f'(c)·0=0``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=c``]에서 연속이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)=｜x｜``]의 경우 [eqn: x=0``]에서

[eqn: lim_h->0 {f(h)-f(-h)}over2h = lim_h->0 {｜h｜-｜h｜}over2h =0``]

이지만 함수 [eqn: f(x)=｜x｜``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=｜x-1｜``]의 경우

[eqn: lim_h->0 {f(1+h^2 )-f(1)}overh^2``]

[eqn: =lim_h->0 {｜h^2 ｜}overh^2 =lim_h->0 h^2 overh^2 =1``]

이지만 함수 [eqn: f(x)=｜x-1｜``]은 [eqn: x=1``]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

12 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1)} over {h} =0``]이므로 [eqn: f` prime (1)=0``]
함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 미분가능하므로 [eqn: x=1``]에서 연속이다.
[eqn: THEREFORE `` lim _{x-> 1} {} f(x)=f(1)``](참)

ㄴ. [eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1)} over {h} =0``]이므로 [eqn: f` prime (1)=0``]
[eqn: THEREFORE `` lim _{h -> 0} {} `` {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} ````]
[eqn: =` lim _{h-> 0} {} {f(1+h)-f(1)-f(1-h)+f(1)} over {2h}``]
[eqn: = {1} over {2} f` prime (1)+ {1} over {2} f` prime (1)``]
[eqn: =f` prime (1)=0``](참)

ㄷ. [eqn: f(x)= LEFT | ``x-1`` RIGHT | ``]일 때,
[eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} = lim _{h -> 0} {} {LEFT | ``1+h-1`` RIGHT | ``-`` LEFT | ``1-h-1`` RIGHT |} over {2h}``]
[eqn: = lim _{h-> 0} {} {LEFT | ``h`` RIGHT | ``-`` LEFT | ``-h`` RIGHT |} over {2h} =0``]
[eqn: THEREFORE `` lim _{h-> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} =0``](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

13 ②

ㄱ. (반례) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `x` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: lim _{h` -> `+0} {{f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( -h RIGHT )} over {2h}} = lim _{h`-> `-0} {{f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( -h RIGHT )} over {2h}} =0``]이지만

[eqn: x=0``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `x` RIGHT | ``]는 미분가능하지 않으므로 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ``]이 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( h RIGHT )} over {h}} =0``]에서 (분모)[eqn: -> 0``]이므로 (분자)[eqn: -> 0``]이다.

즉, [eqn: lim _{h` -> `0} {f LEFT ( h RIGHT )} =0``]이고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 연속함수이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]

따라서 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( h RIGHT ) -0} over {h-0}} = lim _{h`-> `0} {{f LEFT ( h RIGHT )} over {h}} =0``]이므로

[eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0``] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `x` RIGHT | ``]라 하면

[eqn: LEFT | `f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) ` RIGHT | LEQ LEFT | `2h` RIGHT | ``]이지만 [eqn: x=0``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `x` RIGHT | ``]는 미분가능하지 않으므로 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ``]이 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

14  [정답] ②

해설

[eqn: f`prime(x)=8x^3 -12x^2 +2kx=2x(4x^2 -6x+k)``]

이때, [eqn: f`prime(x)=0``]이 하나의 실근과 두 허근을 갖거나 중근과 다른 한 실근을 가질 때, [eqn: y=f(x)``]의 극값은 한 개다.

(ⅰ) [eqn: 4x^2 -6x+k=0``]이 [eqn: x=0``]을 근으로 갖는 경우
즉, [eqn: k=0``]이면 [eqn: f`prime(x)=4x^2 (2x-3)=0``]을 만족하는 [eqn: x``]의 값은 [eqn: 0``]과 [eqn: 3over2``]이다.
그런데 [eqn: x=0``]의 좌우에서 [eqn: f`prime(x)``]의 부호가 변하지 않으므로 극값이 아니다.
그러므로 [eqn: x= 3over2``]일 때만 [eqn: f(x)``]는 극값을 하나만 갖는다.

[eqn: therefore~k=0``]

(ⅱ) [eqn: 4x^2 -6x+k=0``]이 [eqn: x=0``]을 근으로 갖지 않는 경우
즉, [eqn: k ne0``]이면 [eqn: y=f(x)``]가 [eqn: x=0``]에서 극값을 하나 가지므로 방정식 [eqn: 4x^2 -6x+k=0``]은 허근 또는 중근을 갖는다.
[eqn: D over4 =9-4k le0``]에서 [eqn: k ge 9over4``]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: 0``]이다.

15  [정답] ①

해설

[eqn: f(x)=x^4 -8kx^3 +18kx^2``]에서

[eqn: f`prime(x)``][eqn: =4x^3 -24kx^2 +36kx``]
[eqn: =4x(x^2 -6kx+9k)``]

이때, [eqn: f(x)``]가 극댓값을 갖지 않으려면 [eqn: f`prime(x)=0``]이 하나의 실근과 두 허근을 갖거나 하나의 실근과 중근을 가져야 한다. 또는 삼중근을 가져야 한다.

[eqn: f`prime(x)=0``]에서 [eqn: x=0``]이 근이므로 이차방정식 [eqn: x^2 -6kx+9k=0``]이 두 허근을 갖거나 중근을 가지면 된다.

따라서 이차방정식 [eqn: x^2 -6kx+9k=0``]의 판별식 [eqn: D overt =9k^2 -9k le0``]에서 [eqn: 0le k le1``]

또, [eqn: x^2 -6kx+9k=0``]이 [eqn: x=0``]을 근으로 가지면 [eqn: k=0``]이고 [eqn: f`prime(x)=4x^3``]이므로 [eqn: x=0``]에서 극솟값만을 가지므로 [eqn: x=0``]을 근으로 가져도 된다.

[eqn: therefore~0le k le1``]

16  [정답] ⑤

해설

[eqn: y=2x-10``]에서 거리가 최소가 되는 곡선 위의 점을 [eqn: rmP``]라 하면 점 [eqn: rmP``]는 직선 [eqn: y=2x-10``]을 평행이동한 직선과 곡선의 접점이므로 점 [eqn: rmP``]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2``]이다.

[eqn: y`prime= 1over4 (x-1)^3 =2``]에서

[eqn: (x-1)^3 =8,~x^3 -3x^2 +3x-9=0``]

[eqn: (x-3)(x^2 +3)=0``]	[eqn: therefore~x=3``]

또한 [eqn: x=3``]일 때의 함숫값은 [eqn: y= 1over16 (3-1)^4 =1``]이므로 점 [eqn: rmP``]의 좌표는 [eqn: (3,~1)``]이다.

따라서 점 [eqn: rmP(3,~1)``]에서 직선 [eqn: 2x-y-10=0``]까지의 거리는

[eqn: {|``2cdot3 -1-10``|}over{root{2^2 +(-1)^2}}= 5over root5 =root5``]

그러므로 곡선 [eqn: y= 1over16 (x-1)^4``]위의 점에서 직선 [eqn: y=2x-10``]까지의 거리의 최솟값은 [eqn: root5``]이다.

17  [정답] [eqn: 13``]

해설

[eqn: f`prime(x)=3x^2 -2(a+2)x+a``]이므로 점 [eqn: (t,~f(t))``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-left{t^3 -(a+2)t^2 +at right}=left{3t^2 -2(a+2)t+a right}(x-t)``]

[eqn: x=0``]일 때, [eqn: y=g(t)``]이므로

[eqn: g(t)-left{t^3 -(a+2)t^2 +at right}=left{3t^2 -2(a+2)t+a right}(-t)``]

[eqn: therefore~g(t)=-2t^3 +(a+2)t^2``]

[eqn: g`prime(t)=-6t^2 +2(a+2)t``]이므로 이차함수 [eqn: g`prime(t)``]가 [eqn: 0<t<5``]에서 [eqn: g`prime(t)>0``]이려면 [eqn: g`prime(0)ge0,~g`prime(5)ge0``]이어야 한다.

[eqn: g`prime(0)=0``]이고 [eqn: g`prime(5)=-150+10(a+2)ge0``]이므로

[eqn: a ge13``]

따라서 구하는 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 13``]이다.

18 [정답] ①

해설

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하자

두 곡선이 점 [eqn: rmP]에서 만나므로 [eqn: x=t]에서의 함숫값이 서로 같다.

즉, [eqn: t^3 = -t^2 +5t +k]	[eqn: cdotscdots]㉠

점 [eqn: rmP]에서 공통인 접선을 가지므로 [eqn: x=t]에서의 미분계수가 서로 같다.

즉, [eqn: 3t^2 = -2t +5]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉡에서 [eqn: 3t^2 +2t-5 =0], [eqn: (t-1)(3t+5) =0]	[eqn: therefore] [eqn: t=1] ([eqn: because] [eqn: t>0])

[eqn: t=1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: k=-3]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (1,~1)]이므로 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-1= 3 (x-1)]에서 [eqn: y= 3x-2]

따라서 [eqn: k=-3], [eqn: a=3], [eqn: b=-2]이므로 [eqn: k+a+b=-2]

[참고]

[eqn: t=- 5 over3]일 때에는 두 곡선이 제[eqn: 3]사분면에서 접한다.

19 [정답] ⑤

해설

접선의 기울기를 [eqn: m``]이라 하면

[eqn: m=f`prime(x)=-3x^2 -6x+2=-3(x+1)^2 +5``]

이므로 [eqn: m``]은 [eqn: x=-1``]에서 최댓값 [eqn: 5``]를 갖는다.

따라서 기울기의 최댓값은 [eqn: 5``]이고, 이때 접점의 좌표는

[eqn: f(-1)=-(-1)^3 -3cdot(-1)^2 +2cdot(-1)-1=-5``]

에서 [eqn: (-1,~-5)``]이므로 접선의 방정식은

[eqn: g(x)=5(x+1)-5``]	[eqn: therefore~g(x)=5x``]

[eqn: therefore~g(1)=5``]

20  [정답] ③

해설

곡선 위의 접점 [eqn: rmA``]의 좌표를 [eqn: (a,~a^3 -2a)``]라 하고, [eqn: f(x)=x^3 -2x``]라 하면 [eqn: f`prime(x)=3x^2 -2``]이므로 [eqn: x=a``]에서 접선의 기울기는 [eqn: 3a^2 -2``]이다. 따라서 접선의 방정식은

[eqn: y-(a^3 -2a)=(3a^2 -2)(x-a)``]	[eqn: cdotscdots``] ㉠

접선 ㉠이 점 [eqn: (0,~2)``]를 지나므로

[eqn: 2-(a^3 -2a)=(3a^2 -2)(0-a)``]

[eqn: 2-a^3 +2a=-3a^3 +2a``]

[eqn: a^3 =-1``]	[eqn: therefore~a=-1``]

따라서 접점 [eqn: rmA``]의 좌표는 [eqn: (-1,~1)``]이고, 접선의 방정식은 [eqn: y=x+2``]이다.

이때, 접선이 곡선과 만나는 점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: x^3 -2x=x+2``]에서

[eqn: x^3 -3x-2=0,~(x+1)^2 (x-2)=0``]

[eqn: therefore~x=-1``] 또는 [eqn: x=2``]

따라서 [eqn: rmB(2,~4)``]이므로 [eqn: rmbarAB =root{(-1-2)^2 +(1-4)^2}=3root2``]

21 ③

곡선 [eqn: y= x^3 +2x^2 +3x+a``]에서 [eqn: y``prime =3x^2 +4x+3``]이므로 [eqn: x=t``]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 3t^2 +4t+3``]이다.

곡선 [eqn: y= x^3 +2x^2 +3x+a``]위의 점 [eqn: (t,~t^3 +2t^2 +3t+a)``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(t^3 +2t^2 +3t+a)=(3t^2 +4t+3)(x-t)]	[eqn: cdotscdotscdots~~㉠]

접선 ㉠이 원점 [eqn: (0,~0)``]을 지나므로

[eqn: -t^3 -2t^2 -3t-a= - 3t^3 -4t^2 -3t]

[eqn: 2t^3 +2t^2 -a=0]	[eqn: cdotscdotscdots~~㉡]

방정식 ㉡이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로

[eqn: f(t)= 2t^3 +2t^2 -a``]라 하면 [eqn: y=f(t)``]의 극댓값과 극솟값에 대하여 [eqn: (극댓값) times (극솟값)<0``]이다.

[eqn: f``prime(t)=6t^2 +4t = 2t(3t+2)=0``]에서

[eqn: t=0,~ t=- 2over3 ``]이므로 [eqn: f(0) cdot f LEFT ( - 2over3 RIGHT )<0]

즉, [eqn: -a LEFT ( 8over27 -a RIGHT )<0~~ LRARROW~~a LEFT ( a- 8over27 RIGHT )<0]

따라서 [eqn: 0<a < 8over27 ``]이므로 [eqn: alpha=0 ,~ beta= 8over27]

[eqn: ∴~ alpha+ beta=0+ 8over27 = 8over27]

22   [정답] ②

[eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x=k``]로 놓으면

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -6x-9=3(x-3)(x+1)``]이므로

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=3``]

이때, [eqn: x=-1``]에서 극대이고 [eqn: x=3``]에서 극소이다.

한 음근과 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖기 위해서는

[eqn: f(-1)>0,~f(0)>0,~f(3)<0``]이어야 하므로

[eqn: f(-1)=-1-3+9+k>0``]   [eqn: THEREFORE k>-5``]	⋯⋯㉠

[eqn: f(0)=k>0``]   [eqn: THEREFORE k>0``]	⋯⋯㉡

[eqn: f(3)=-27+k<0``]   [eqn: k<27``]	⋯⋯㉢

㉠,㉡,㉢에서 [eqn: 0<k<27``]

따라서 정수 [eqn: k``]의 개수는 [eqn: 26``]이다.

23  [정답] ③

[eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} -15x+2k``]라고 하자.

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -12x-15``]

[eqn: =3(x ^{2} -4x-5)``]

[eqn: =3(x+1)(x-5)``]

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=5``]

[eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표는 아래와 같다.

[eqn: f(x)=0``]이 양의 실근 [eqn: 1``]개와 서로 다른 음의 실근 [eqn: 2``]개를 가지려면 [eqn: f(-1)>0,```f(0)<0,``f(5)<0``]이어야 한다.

[eqn: f(-1)=2k+8>0``]  [eqn: THEREFORE k>-4``]

[eqn: f(0)=2k<0``]  [eqn: THEREFORE k<0``]

[eqn: f(5)=2k-100<0``]  [eqn: THEREFORE k<50``]   [eqn: THEREFORE -4<k<0``]

따라서 정수 [eqn: k``]는 [eqn: -3,``-2,``-1``]이므로 모든 정수 [eqn: k``]의 합은 [eqn: -6``]이다.

24 [정답] [eqn: 6``]

해설

[eqn: f(x)= 1over4 x^4 -x^3 +ax+3``]이므로 [eqn: f` ' (x)= x^3 - 3 x^2 + a ``]

사차함수 [eqn: f(x)``]가 극댓값을 가지려면 방정식 [eqn: f`' (x)= 0``]이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

따라서 [eqn: g(x)= x^3 - 3 x^2 + a``]라 하면

방정식 [eqn: g(x)= 0``]이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 함수 [eqn: g(x)``]의 (극댓값)×(극솟값)[eqn: <0``]이어야 한다.

[eqn: g`' (x) = 3 x^2 - 6x = 3 x(x-2)``]

[eqn: g`' (x)=0``]에서 [eqn: x=0``] 또는 [eqn: x=2``]

함수 [eqn: g(x)``]의 증감표를 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: THEREFORE``` g(0) g(2) =a(a-4) < 0 ,~~ a< a < 4``]

따라서 구하는 모든 정수 [eqn: a``]의 값의 합은 [eqn: 1+2+3= 6``]이다.

25   [정답] ④

[eqn: f(x)`geq`2``]에서 [eqn: f(x)-2` GEQ 0``]이므로 [eqn: g(x)=2x ^{3} -6x ^{2} +a-2``]라 하면

[eqn: x`geq`0``]인 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g(x)`geq`0``]이 성립하면 된다.

[eqn: g'(x)=6x ^{2} -12x=6x(x-2)``]이므로 [eqn: g'(x)=0``]이 되는 [eqn: x``]의 값은 [eqn: 0``]또는 [eqn: 2``]이다.

[eqn: g'(x)``]의 부호의 변화를 조사하여 [eqn: g(x)``]의 증가, 감소를 나타내면 아래와 같다.

그러므로 부등식이 성립하려면 [eqn: a-10` GEQ 0~``]   [eqn: THEREFORE a`geq10``]

따라서 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 10``]이다.

26  [정답] ①

[eqn: f(x)=f(x)-g(x)=x ^{3} -3x+1-k``]로 놓으면

[eqn: h'(x)=3x ^{2} -3=3(x-1)(x+1)``]

[eqn: h'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=1``]

이때, [eqn: h'(x)``]의 부호의 변화를 조사하여 [eqn: h(x)``]의 증가, 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

위의 표에서 구간 [eqn: [0,``2]``]에서 함수 [eqn: h(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 극소이며 최소이므로 구간 [eqn: [0,``2]``]에서 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) GEQ g(x)``], 즉 [eqn: h(x) GEQ 0``]이 성립하려면 [eqn: h(1) GEQ 0,``-1-k GEQ 0``]

[eqn: THEREFORE k LEQ -1``]

27  [정답] [eqn: 22``]

[eqn: k=a-5``]라고 놓으면

[eqn: f(x)=x ^{4} =4k ^{3} x+27``]

[eqn: f'(x)=4x ^{3} -4k ^{3} =4(x-k)(x ^{2} +kx+k ^{2} )=0``]에서 [eqn: x=k``]

이때, [eqn: f'(x)``]의 부호의 변화를 조사하여 [eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

따라서 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 부등식 [eqn: f(x)>0``]

즉, [eqn: x ^{4} -4k ^{3} x+27>0``]이 성립하려면

[eqn: 27-3k ^{4} >0,``k ^{4} <9``]

[eqn: LEFT ( k ^{2} +3 RIGHT ) (k ^{2} -3)<0``]   [eqn: THEREFORE - sqrt {3}<k<} sqrt {3}``]

[eqn: THEREFORE 5- sqrt {3} <a<5+ sqrt {3} ( BECAUSE k=a-5)``]

따라서 [eqn: p=5- sqrt {3} ,``q=5+sqrt3``]이므로

[eqn: pq=25-3=22``]

28 [정답] ④

해설

[eqn: h(x) = f(x) -g(x)``]로 놓으면

[eqn: h(x) = 2x^3 + 6kx + k^3 - 3 (k+1) x^2 - 27]

[eqn: = 2x^3 - 3(k+1)x^2 +6kx + k^3 - 27]

[eqn: h`prime(x) = 6x^2 - 6(k+1)x +6k]

[eqn: = 6 left{x^2 - (k+1)x +k right}]

[eqn: = 6(x-1)(x-k)]

[eqn: h`prime(x) = 0 ``]에서 [eqn: x=1``]또는 [eqn: x=k]

[eqn: k=1``]이면 [eqn: h`(x) = 2x^3 - 6x^2 +6x -26 `,``h`prime(x) = 6(x-1)^2 ``]이므로 [eqn: x>0``]일 때, 항상 [eqn: h`(x) >0``]이 될수 없다.

[eqn: therefore~k ne1]

함수 [eqn: f(x) ``]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]
[eqn: h`prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: k^3 +3k -28]	[eqn: searrow]	[eqn: 3k^2 -27]	[eqn: NEARROW]

[eqn: h(0)=k^3 -27``]이므로 [eqn: x>0``]일 때, 항상 [eqn: h(x) >0 ``]이 성립하려면

[eqn: k^3 -27 ge0`,``3k^2 -27 >0 ``]에서 [eqn: k>3``]이다.

따라서 자연수 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: 4``]이다.

29 ②

임의의 두 실 수 [eqn: x_1 ,~x_2 ``]에 대하여 [eqn: f(x_1 ) ge g(x_2 )``]가 성립하려면

[eqn: f(x)``]의 최솟값이 [eqn: g(x)``]의 최댓값보다 크거나 같으면 된다.

[eqn: f``prime(x) =4x^3 -6x^2 -8 =2(x-2)(2x^2 +x+2)]

에서 [eqn: 2x^2 +x+2 ne0 ``]이므로 [eqn: f``prime(x)=0``]인 [eqn: x``]는 [eqn: 2``]뿐이다.

따라서 [eqn: x=2``]일 때 [eqn: f(x)``]는 최솟값 [eqn: -16``]을 갖는다.

[eqn: g(x)= -2x^2 -12x+a = -2(x+3)^2 +18+a`]

에서 [eqn: x=-3``]일 때 [eqn: g(x)``]는 최댓값 [eqn: 18+a``]를 가지므로

[eqn: -16 ge 18+a]	[eqn: ∴~a le -34]

30 [정답] ②

해설

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)-6xy-2``]에 [eqn: y=0``]을 대입하면

[eqn: f(x+0)=f(x)+f(0)-2``]

[eqn: THEREFORE ``f(0)=2``]

[eqn: f` prime (0)= lim _{h-> 0} {} {f(h)-f(0)} over {h} = lim _{h-> 0} {} {f(h)-2} over {h} =3``]이므로

[eqn: f` prime (x)= lim _{h-> 0} {} {f(x+h)-f(x)} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h-> 0} {} {f(x)+f(h)-6xh-2-f(x)} over {h}``]

[eqn: ``= lim _{h-> 0} {} LEFT { {f(h)-2} over {h} -6x RIGHT }``]

[eqn: ``=f` prime (0)-6x``]

[eqn: ``=3-6x``]

[eqn: THEREFORE ``f` prime LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =3-6· LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =6``]

31 ⑤

[eqn: f(x+y)= f(x)+f(y) +2xy(x+y)``]에 [eqn: x=0,~y=0``]을 대입하면

[eqn: f(0+0)=f(0)+f(0)+2 times0times0,~f(0)=f(0)+f(0)]

[eqn: ∴~f(0)=0]

[eqn: f``prime(x)= lim _{ h->0} { f(x+h)-f(x)}over h]

[eqn: = lim _{ h-> 0} {f(x)+f(h)+2xh(x+h)-f(x) }overh]

[eqn: = lim _{ h->0}left {f(h) over h +2x(x+h) right }]

[eqn: =2x^2 + lim _{ h->0} { f(0+h)-f(0)}overh]

[eqn: = 2x^2 +f``prime(0)]

[eqn: = 2x^2 -6]

따라서 [eqn: f``prime(x)= 2x^2 -6= 2(x^2 -3) =0``]에서 [eqn: x= +- root3 `]이므로

[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=root3 ``]에서 극솟값을 갖고 [eqn: x= -root3 ``]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: ∴~ alpha- beta=root3 -(-root3 `)=2root3]

32 [정답] ③

해설

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)+1]이므로 [eqn: x=0,````y=0``]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-1``]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = lim _{h-> 0} {{f LEFT ( x+h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {h} ``}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{f LEFT ( h RIGHT ) +3xh LEFT ( x+h RIGHT ) +1} over {h} ``}]

[eqn: =3x ^{2} +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) ``]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT { 3x ^{2} +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } dx``}]

[eqn: =x ^{3} +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) x+C``][eqn: (``]단, [eqn: C``]는 적분상수[eqn: )``]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-1``]이므로

[eqn: C=-1``]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) x-1``]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+f`' LEFT ( 0 RIGHT ) -1``]

[eqn: THEREFORE f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) ``](참)

ㄴ. [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -1``]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]는 극값을 갖지 않는다.(거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]가 극값을 가지면 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) <0``]

이 때, 방정식 [eqn: 3x ^{2} +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0``]의 한 실근을 [eqn: alpha LEFT ( alpha >0 RIGHT ) ``]라 하면 또 다른 실근은 [eqn: - alpha ``]이다.

따라서 [eqn: x=- alpha ``]에서 극댓값 [eqn: -alpha ^{3} -f`' LEFT ( 0 RIGHT ) alpha -1``]을 갖고 [eqn: x= alpha ``]에서 극솟값 [eqn: alpha ^{3} +f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) alpha -1``]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE LEFT ( - alpha ^{3} -f`' LEFT ( 0 RIGHT ) alpha -1 RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{3} +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) alpha -1 RIGHT ) =2``](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

33 [정답] [eqn: 23``]

해설

(ⅰ) [eqn: f` prime (k)=0``]이고, [eqn: x=k``]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 바뀔 때 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=k``]에서 극값을 갖는다.
따라서 [eqn: x=d``]에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 양[eqn: (+)``]에서 음[eqn: (-)``]으로 바뀌므로 극댓값을 갖고, [eqn: x=a``] 또는 [eqn: x=f``] 또는 [eqn: x=b``]에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 음[eqn: (-)``]에서 양[eqn: (+)``]으로 바뀌므로 극솟값을 갖는다.

(ⅱ) 또, [eqn: f(x)``]가 연속일 때 [eqn: f` prime (k)``]의 값이 존재하지 않으나 [eqn: x=k``]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 다르면 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=k``]에서 극값을 갖는다. (예 : 그래프가 꺾이는 점)
따라서 [eqn: f` prime (g)``]가 존재하지 않으나 [eqn: x=g``]에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 양[eqn: (+)``]에서 음[eqn: (-)``]으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: f(x)``]가 극댓값을 갖는 점의 개수는 [eqn: 2``]이고 극솟값을 갖는 점의 개수는 [eqn: 3``]이다.

[eqn: THEREFORE ``10m+n=10 TIMES 2+3=23``]

34  [정답] ④

해설

[eqn: y=f`prime(x)``]로부터 [eqn: x=x_1``]과 [eqn: x=x_3``]의 좌우에서 [eqn: f`prime(x)``]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극소가 되는 점은 [eqn: 2``]개이고, [eqn: x=x_2``]의 좌우에서 [eqn: f`prime(x)``]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대가 되는 점은 [eqn: 1``]개다.

[eqn: therefore~a=1,~b=2``]

35  [정답] ③

해설

[eqn: h`prime(x)=f`prime(x)-g`prime(x)``]이므로 함수 [eqn: h(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표를 만들면 아래와 같다.

[eqn: x``]	[eqn: cdots``]	[eqn: alpha``]	[eqn: cdots``]	[eqn: beta``]	[eqn: cdots``]	[eqn: gamma``]	[eqn: cdots``]
[eqn: h`prime(x)``]	[eqn: +``]	[eqn: 0``]	[eqn: -``]	[eqn: 0``]	[eqn: +``]	[eqn: 0``]	[eqn: -``]
[eqn: h(x)``]	[eqn: NEARROW``]	극대	[eqn: SEARROW``]	극소	[eqn: NEARROW``]	극대	[eqn: SEARROW``]

[eqn: h(beta)=f(beta)-g(beta)>0``]이므로 [eqn: y=h(x)``]의 그래프의 개형은 아래와 같다.

따라서 [eqn: x``]축과 만나는 점의 개수는 [eqn: 2``]이다.

36   [정답] ③

해설

ㄱ. 조건을 만족하는 삼차함수의 개형은 (ⅰ), (ⅱ)의 [eqn: 2``]가지이다.

(ⅰ)
[eqn: f`prime(a)>0,~f`prime(b)<0,~f`prime(c)>0``]이므로

[eqn: f`prime(a)f`prime(c)>0``]

(ⅱ)
[eqn: f`prime(a)<0,~f`prime(b)>0,~f`prime(c)<0``]이므로

[eqn: f`prime(a)f`prime(c)>0``] (참)

ㄴ. [eqn: f(a)=f(b)=f(c)=k``]일 때
[eqn: f(x)=px^3 +qx^2 +rx+s``](단, [eqn: p ne0``])
[eqn: g(x)=f(x)-k=px^3 +qx^2 +rx+s-k``]	[eqn: cdotscdots``] ㉠
라고 놓으면 [eqn: g(a)=g(b)=g(c)=0``]이므로

[eqn: g(x)``][eqn: =p(x-a)(x-b)(x-c)``]
[eqn: =p left{x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca)x-abc right}``]

[eqn: cdotscdots``] ㉡

㉠, ㉡에서
[eqn: a+b+c=- q overp``]	[eqn: cdotscdots``] ㉢
[eqn: ab+bc+ca= r overp``]
또한, [eqn: f`prime(x)=g`prime(x)=3px^2 +2qx+r``]이므로 [eqn: f`prime(x)=0``]의 두 근 [eqn: alpha,~beta``]에 대하여 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha+beta=- 2q over3p``]	[eqn: cdotscdots``] ㉣
[eqn: alphabeta= r over3p``]
㉢, ㉣에서 [eqn: alpha+beta= 2over3 (a+b+c)``]
[eqn: therefore~a+b+c= 3over2 (alpha+beta)``]
[eqn: (a+b+c)``:``(alpha+beta)=3``:``2``]

ㄷ. [eqn: f`prime left(2over3 (a+b+c)right)``][eqn: =f`prime(alpha+beta)``]
[eqn: =3p(alpha+beta)^2 +2q(alpha+beta)+r``]
[eqn: =3p(alpha^2 +2alphabeta+beta^2 )+2q(alpha+beta)+r``]
[eqn: =(3p alpha^2 +2q alpha+r)+(3p beta^2 +2q beta+r)``]
[eqn: +3p times 2alphabeta-r``]
[eqn: =f`prime(alpha)+f`prime(beta)+3p times2times r over3p -r``]
[eqn: =0+0+2r-r=r``(ne0)``] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

37 [정답] ④

도함수 [eqn: y=f prime left(x right)]의 그래프를 이용하여 함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프의 성질을 알 수 있는지를 묻는 문제이다.

도함수 [eqn: y=f prime left(x right)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 연속함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: lim _{x-> -1-0} {f prime left(x right)}=-1<0], [eqn: lim _{x-> -1+0} {f prime left(x right)}=1>0]이므로 [eqn: f left(x right)]는 [eqn: x=-1]에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이 아니므로 성립하지 않는다.(거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프에서 [eqn: f left(1 right)>f left(0 right)]이므로 [eqn: f left(0 right)=0]이면 [eqn: f left(1 right)>0]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

38 [정답] ④

ㄱ. [eqn: lim_{x->2-0}{f prime left(-x+4right)}]에서

[eqn: x->2-0]이면 [eqn: -x+4->2+0]이므로 [eqn: t=-x+4]일 때,

[eqn: lim _{x -> 2-0} {f prime LEFT ( -x+4 RIGHT )} = lim _{t -> 2+0} {f prime LEFT ( t RIGHT ) =-2}] (거짓)

ㄴ. [eqn: f left(x right)]는 연속함수이고

(i) [eqn: lim_x->-2-0{f prime left(x right)}>0], [eqn: lim_x->-2+0{f prime left(x right)}<0]

(ii) [eqn: f prime left(0 right)=0]이고

[eqn: -2<x<0]에서 [eqn: f prime left(x right)<0]

[eqn: 0<x<2]에서 [eqn: f prime left(x right)>0]

(iii) [eqn: lim_x->2-0{f prime left(x right)}>0], [eqn: lim_x->2+0{f prime left(x right)}<0]

이므로 [eqn: f left(x right)]는 [eqn: x=-2]에서 극댓값, [eqn: x=0]에서 극솟값, [eqn: x=2]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: y=f left(x right)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: therefore f left(-2 right)=f left(2right)] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

39 [정답] ①

[eqn: f left(x right)=x^3 +ax^2 +bx+c]로 놓고 도함수 [eqn: y=g prime left(x right)]의 그래프가 원점을 지나므로 [eqn: g left(x right)=x^2 +d]라 하자.

ㄱ. [eqn: y=f left(x right)-g left(x right)]에서

[eqn: y prime = f prime left(x right)-g prime left(x right)]

이고 [eqn: x=0]에서 [eqn: y prime=0]이고 [eqn: x=0]의 좌우에서 [eqn: f prime left(x right)-g prime left(x right)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: f prime left(x right)=3x^2 +2ax +b]

[eqn: =3x left(x-2 right)]

[eqn: =3x^2 -6x]	[eqn: cdotscdots]㉠

또한, [eqn: g prime left(x right)=2x]이므로

[eqn: 3x^2 -6x=2x], [eqn: x left(3x-8right)=0]

[eqn: therefore x=0] 또는 [eqn: x={8}over3]

[eqn: THEREFORE f prime LEFT ( 3 RIGHT ) != g prime LEFT ( 3 RIGHT )] (거짓)

ㄷ. ㉠에서 [eqn: a=-3], [eqn: b=0]이므로

[eqn: f left(x right)=x^3 -3x^2 +c]

[eqn: f left(2right)=g left(2right)]에서

[eqn: 8-12+c=4+d]

[eqn: thereforec-d=8]

따라서

[eqn: f left(-2right)=-8-12+c=-20+c]

[eqn: g left(-2right)=4+d]

이므로

[eqn: f left(-2 right)-g left(-2 right)=-20+c-left(4+d right)]

[eqn: =c-d-24<0]

[eqn: therefore f left(-2right)<g left(-2 right)] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

40 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: g(x) = f(x) - f(a)``]이므로 [eqn: g`' (x ) = f`' (x)``]

[eqn: g`'(a)= f`' (a) = 0``]이고 [eqn: g`'(x) ``]와 [eqn: f`' (x)``]는 [eqn: x=a``] 주변에서 부호가	서로 같다.

따라서 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=a``]에서 극소이므로 [eqn: g(x)``]도 [eqn: x=a``]에서 극소이	다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극소이고 [eqn: g(a) = f(a) - f(a) =0``]이므	로 함수 [eqn: g(x)``]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: y=g(x)``]의 그래프는 [eqn: x``]축과 서로 다른 두 점에서 만난	다. (참)

ㄷ. ㄴ의 그래프와 같이 최고차항의 계수가 양수인 경우에는 [eqn: x>a``]일	때, [eqn: g(x)> 0``]이다.

그러나 최고차항의 계수가 음수인 경우에는 [eqn: x> a``]일 때, 모든 [eqn: x``]에	대하여 [eqn: g(x)>0``]이 성립하지는 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

41 [정답] ③

해설

따라서 [eqn: f( alpha)f( beta)f( gamma)<0``]일 때 [eqn: y=f(x)``]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: f( alpha)<0``], [eqn: f( beta) <0``], [eqn: f( gamma)<0``]

(ⅱ) [eqn: f( alpha)<0``], [eqn: f( beta)>0``], [eqn: f( gamma)<0``]

(ⅲ) [eqn: f( alpha)>0``], [eqn: f( beta)>0``], [eqn: f( gamma)<0``]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x= beta``]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f(alpha )>0``]일 때는 (ⅲ)과 같이 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 [eqn: beta``]보다 큰 실근을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

42 [정답] 5

[eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -9x+n]에서

[eqn: f'(x)=3x ^{2} +6x-9=3(x+3)(x-1)]

따라서 [eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=-3]또는 [eqn: x=1]이므로

함수[eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3]에서 극댓값 [eqn: f(-3)=n+27]

[eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: f(1)=n-5]를 갖는다.

이때 [eqn: f(-3)=n+27>0]이므로 함수[eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |]의 미분가능하지 않은 점이 1개가 되려면 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

즉, [eqn: f(1)=n-5 GEQ 0`이므로`~n GEQ 5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 5이다.

43 [정답] ⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{3}]이므로

[eqn: f`'(x)=3x ^{2}]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} =1]에서

[eqn: x=- {sqrt {3}} over {3}] 또는 [eqn: x= {sqrt {3}} over {3}]

따라서 [eqn: x=- {sqrt {3}} over {3}]과 [eqn: x= {sqrt {3}} over {3}]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: N(f(x))=2] (참)

ㄴ. [eqn: k]가 상수이므로

[eqn: LEFT { f(x)+k RIGHT } '=f`'(x)+0=f`'(x)]

따라서 두 방정식 [eqn: LEFT { f(x)+k RIGHT } prime =1,`f`'(x)=1]의 근이 서로

같으므로 [eqn: N(f(x)+k)=N(f(x))] (참)

ㄷ. [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c] ([eqn: a,`b,`c]는 상수)라 하면

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax+b]

[eqn: N(f(x))=1]이면 이차방정식 [eqn: f`'(x)=1], 즉

[eqn: 3x ^{2} +2ax+b-1=0]

이 중근을 가져야 하므로 방정식

[eqn: 3x ^{2} +2ax+b-1=0]의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면

[eqn: {D _{1}} over {4} =a ^{2} -3b+3=0]

이어야 한다.

[eqn: THEREFORE b= {a ^{2} +3} over {3}]

[eqn: THEREFORE f`'`(x)=3x ^{2} +2ax+ {a ^{2} +3} over {3}]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax+ {a ^{2} +3} over {3}]에서 이차방정식 [eqn: f`'(x)=0]의

판별식을 [eqn: D _{2}]라 하면

[eqn: {D _{2}} over {4} =a ^{2} -3 TIMES {a ^{2} +3} over {3} =-3<0]

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는

실수 전체의 집합에서 증가한다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 극값이 존재하지 않는다.. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

44 [정답] ⑤

ㄱ. 주어진 조건을 만족시키는 경우는 그림과 같다.

그러므로 방정식 [eqn: f(x)=3]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.(참)

ㄴ. [eqn: f'(c)=0]이면 ㄱ에서 (i)의 경우이므로 [eqn: b<q] (참)

ㄷ. [eqn: f'(a)=0]이면 ㄱ에서 (ii)의 경우이므로 [eqn: f(a)<f LEFT ( {c+r} over {2} RIGHT )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

45 [정답] ⑤

ㄱ. [eqn: n(B)=1]이면 [eqn: f'(x) GEQ 0]또는 [eqn: f'(x) LEQ 0]이므로

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 1이므로 [eqn: n(A)=1]이다. (참)

ㄴ. [반례] [eqn: f(x)=(x-1) ^{3}]이라 하면 [eqn: f'(x)=3(x-1) ^{2}]이므로

[eqn: 1 IN A,~1 IN B]이지만 [eqn: n(A)=1]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]인 경우에 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f'(x)]의 그래프는 그림과 같다.

이때 [eqn: f(2)<f'(2)]인 경우는 [eqn: rm(ii)]의 경우이므로 [eqn: f(1)>f prime (1)]이다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

46 [정답] [eqn: 16 ``]

해설

점 [eqn: \P``]가 운동 방향으로 바꾸는 순간 점 [eqn: \P``]의 속도는 [eqn: 0``]이고, 그때의 시각을 전후로 하여 속도의 부호가 바뀐다.

점 [eqn: \P``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도 [eqn: v(t)``]는

[eqn: v(t)= dx over dt = 3 t^2 - 18 t + 24 = 3(t-2)( t-4 )``]

[eqn: v(t) =0``]에서 [eqn: t=2``] 또는 [eqn: t= \4``]

따라서 점 [eqn: \P``]는 [eqn: t=4``]일 때 원점을 출발한 후 [eqn: 2``]번째로 운동 방향을 바꾸므로 구하는 점 [eqn: \P``]의 위치 [eqn: x``]는

[eqn: x= 64- 144 +96 = 16``]

47 [정답] ②

해설

출발한 지 [eqn: t``]초 후 두 점 [eqn: \P,~ Q``]의 위치가 각각

[eqn: f(t)= t^2 - 6t + 5 ,~ g(t)= t^3 - t^2 - t``]이므로 두 점 [eqn: \P,~ Q``]의 속도를 각각 [eqn: v_{ \P} (t) ,~v_{ \Q} (t) ``]라 하면 [eqn: v_{ \P} (t) = 2 t- 6 = 2 (t-3) ,``]

[eqn: v_{ \Q} (t) = 3 t^2 - 2 t-1 = (3t+1)( t-1)``]

ㄱ. [eqn: t=0``]일 때 [eqn: v_{ \P} (0) = 2 cdot 0 - 6 =-6``] (거짓)

ㄴ. [eqn: v_{ \Q} (t)=(3t+1)( t-1)``]에서 [eqn: t``]는 시간이므로 [eqn: 3t +1>0``]이고 [eqn: t=1``]	을 전후로 하여 [eqn: v_{\Q}``]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: \Q``]는 방향을 한 번 바뀐다.	(참)

ㄷ. 두 점 [eqn: rmP,~Q``]가 서로 반대 방향으로 움직이려면

[eqn: v_{ \P} (t)>0 ,~ v_{ \Q} (t) <0``] 또는 [eqn: v_{ \P} (t) <0 ,~ v_{ \Q} (t) >0``]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: v_{ \P} (t)>0 ,~ v_{ \Q} (t) <0``]에서

[eqn: 2 (t-3) > 0 ,~ (3t+1)( t-1) <0``]이므로 만족하는 [eqn: t``]가 존재하	지 않는다.

(ⅱ) [eqn: v_{ \P} (t) <0 ,~ v_{ \Q} (t) >0``]에서

[eqn: 2(t-3) <0,~(3t+1)(t-1)>0``]이므로 [eqn: 1< t< 3``]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: 1< t <3``]

따라서 두 점 [eqn: \P,~ Q``]가 반대 방향으로 움직이는 시간은 [eqn: 2``]초 동안이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

48  [정답] ④

ㄱ. [eqn: t=a``]와 [eqn: t=b``]의 좌우에서 [eqn: f'(t)``]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: RMP``]는 움직이는 동안 두 번 방향이 바뀐다. (거짓)

ㄴ. 점 [eqn: RMP``]는 원점을 출발한 후 [eqn: 3``]만큼 왕복한 다음 [eqn: 10``]만큼 직진하므로 실제 움직인 거리는 [eqn: 2TIMES3+10=16``]이다. (참)

3. 점 [eqn: RMP``]의 [eqn: c``]초 동안의 평균속도는 두 점 [eqn: (0,``0)``]과 [eqn: (c,``10)``]을 잇는 직선의 기울기와 같다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: (0,``0)``]과 [eqn: (c,``10)``]을 잇는 직선과 평행하며 [eqn: x=f(t)``]와 접하는 접선을 두 개 그을 수 있으므로 평균속도와 같아지는 경우는 두 번이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ,ㄷ이다.

49 [정답] ⑤

점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`(0<t<8)`]에서의 속도 [eqn: v`]를 [eqn: v=g(t)`]라 할 때, 그 그래

프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: t=a,~t=c,~t=e`]에서 [eqn: g(t)=0`]이고 좌우에서 부호가 바뀌므로 방향을 세 번 바꾼다. (참)

ㄴ. 출발 후 원점을 두 번째로 지나는 순간은 [eqn: t=d`]일 때이므로 [eqn: v=g(d)>0] (참)

ㄷ. 방향을 처음 바꾸는 순간은 [eqn: t=a`]일 때이고 [eqn: v=g(t)`]의 그래프에서 [eqn: t=a`]에서의 접선의 기울기는 음수이므로 가속도는 음수이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

50 [정답] ①

선분 [eqn: rmPQ`]가 선분 [eqn: rmAB`]와 수직이 되는 순간의 시각 [eqn: t`]의 값은

[eqn: t ^{2} =10-3t`], [eqn: t ^{2} +3t-10`=`0`]

[eqn: (t+5)(t-2)=0`]

[eqn: THEREFORE ````t=2``( BECAUSE ````t>0`)`]

또한 사각형 [eqn: rmPBCQ`]의 넓이를 [eqn: f(t)`]라 하면

[eqn: f(t)`][eqn: =` {1} over {2} TIMES LEFT { LEFT ( 10-t ^{2} RIGHT ) +3t RIGHT } TIMES 10`]
[eqn: =5(-t ^{2} +3t+10)`]

[eqn: f`'`(t)=5(-2t+3)]

[eqn: THEREFORE ````f` prime `(2)`=`5(-4+3)`=`-5`( rm cm ^{2} /`]초[eqn: )]

51 [정답] [eqn: 19]

해설

[eqn: t``]초 후의 선분 [eqn: rmAB ``]의 길이는 [eqn: 1+2t``(`rmcm)`,``]선분 [eqn: rmBC ``]의 길이는 [eqn: 2+t `(`rmcm)``]이다.

[eqn: t``]초 후의 삼각형 [eqn: rmABC ``]의 넓이를 [eqn: S`(t)`rmcm^2 ``]라 하면

[eqn: rm S(t) = 1over2 (1+2itt) (2+t) = 1over2 (2t^2 +5t +2 )``]이므로

[eqn: S`prime(t) = 2t + 5 over2 ``]

[eqn: 1over2 (2t^2 +5t +2 ) = 35 over2 ``]에서 [eqn: 2t^2 +5t +2 = 35 ``]

[eqn: 2t^2 +5t - 33 =0`,``(2t+11)(t-3) =0``]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC ``]의 넓이가 [eqn: 35 over2 `rmcm^2 ``]가 될 때는 [eqn: t =3``]일 때이다.

[eqn: therefore~S`prime(3) = 6 + 5 over2 = 17 over2 ``]

따라서 [eqn: p=2`,``q=17 ``]이므로 [eqn: p+q =19``]

52  [정답] [eqn: 16``]

모든 모서리의 길이가 [eqn: 6``]인 정사각뿔의 높이는 [eqn: 3 sqrt {2}``]이고, 일반적으로 닮은비에 의하여 모든 모서리의 길이가 [eqn: a``]인 정사각뿔의 높이는 [eqn: {sqrt {2}} over {2} a``]임을 알 수 있다.

이때, 정사각뿔에 내접하는 직육면체에서 밑면이 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x```(0<x<6)``]라고 하면 직육면체의 높이는 [eqn: 3 sqrt {2}- {sqrt {2}} over {2} x``]이므로 직육면체의 부피 [eqn: V(x)``]는

[eqn: V(x)=x ^{2} LEFT ( 3 sqrt {2} - {sqrt {2}} over {2} x RIGHT ) = {sqrt {2}} over {2} (6x ^{2} -x ^{3} )``]

[eqn: V'(x)= {sqrt {2}} over {2} (12x-3x ^{2} )=- {3 sqrt {2}} over {2} (x-4)``]

[eqn: V'(x)=0``]에서 [eqn: x=0``]또는 [eqn: x=4``]

이때, [eqn: V'(x)``]의 부호의 변화를 조사하여 [eqn: V(x)``]의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

따라서 직육면체의 부피의 최댓값은 [eqn: 16sqrt2``]이다.

[eqn: THEREFORE a=16``]

53   [정답] ①

[eqn: f prime (x)=-12x ^{3} +12(a-1)x ^{2} +12ax``]

[eqn: =-12x{`x ^{2} -(a-1)x-a}``]

[eqn: =-12x(x+1)(x-a)``]

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=0``]또는 [eqn: x=a``]

[eqn: f(-1)=2a+1,``f(a)=a ^{4} +2a ^{3}``]이고

[eqn: f(a)-f(-1)=a ^{4} +2a ^{3} -2a-1=(a+1) ^{3} (a-1)``]이므로

[eqn: 0<a<1``]이면 [eqn: f(a)<f(-1)``]

[eqn: (ⅰ)`0<a<1``]인 경우

[eqn: t< - 1``]이면

[eqn: g(t)=f(t)=-3t ^{4} +4(a-1)t ^{3} +6at ^{2}``]

[eqn: t GEQ -1``]이면

[eqn: g(t)=f(-1)=2a+1``]

따라서

[eqn: g'(t)= {cases{-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12at`&```(t<``-1)#``````````````````````````````````````````````0&```(t>``-1)}}``]

이고, [eqn: lim _{t -> -1-0} {g prime (t)= lim _{t -> -1+0} {g prime (t)=0}}``]

이므로 [eqn: g(t)``]는 [eqn: t=-1``]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: 0<a<1``]일 때 함수 [eqn: g(t)``]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: (ⅱ)``a GEQ 1``]인 경우

[eqn: f(-1)=f( alpha )````(0< alpha <a)``]이라 하자.

[eqn: t<``-1``]이면

[eqn: g(t)=f(t)=-3t ^{4} +4(a-1)t ^{3} +6at ^{2}``]

[eqn: -1 LEQ <alpha``]이면

[eqn: g(t)=f(-1)=2a+1``]

[eqn: alpha LEQ t LEQ a``]이면

[eqn: g(t)=f(t)=-3t ^{4} +4(a-1)t ^{3} +6at ^{2}``]

[eqn: t GEQ a``]이면

[eqn: g(t)=f(a)=a ^{4} +2a ^{3}``]

따라서

[eqn: {cases{-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12a&```(t<``-1)#```````````````````````````````````````````0&```(-1<t< alpha )#-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12a``&```(alpha<t<a)#``````````````````````````````````````````0&```(t>a)}}``]

[eqn: lim _{t -> -1-0} {g prime (t)= lim _{t -> -1+0} {g prime (t)=0}}``]이므로

[eqn: g(t)``]는 [eqn: t=-1``]에서 미분 가능하다.

[eqn: lim _{t -> alpha -0} {g prime (t)= lim _{t -> alpha +0} {g prime (t)}}``]이어야 하므로

[eqn: -12alpha ^{3} +12(a-1)alpha ^{2} +12a`alpha=0``]

[eqn: ( alpha -a)( alpha +1)=0``]

[eqn: THEREFORE alpha =a`( BECAUSE 0< alpha LEQ a)``]

즉 [eqn: f(-1)=f(a)``]이므로

[eqn: 2a+1=a ^{4} +2a ^{3}``]

[eqn: a ^{4} +2a ^{3} -2a-1=(a-1)(a+1) ^{3} =0``]

[eqn: THEREFORE a=1``]

따라서 [eqn: a=1``]일 때, [eqn: g(t)``]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: (ⅰ),``(ⅱ)``]에서 함수 [eqn: g(t)``]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위함 [eqn: a``]의 값의 범위는 [eqn: 0<a LEQ 1``]이므로 구하는 [eqn: a``]의 최댓값은 [eqn: 1``]이다.

54 ②

[eqn: f(x-2)=f(2+x)``]를 만족하므로[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=2``]에 대하여 대칭이다.

[eqn: x=2``]에 대하여 대칭인 사차함수의 개형은 다음 그림과 같이 두 가지이다.

[eqn: -1le t le0``]에서 [eqn: g(t)``]는 상수함수이므로 [eqn: x=-1``]에서 [eqn: f(x)``]는 극솟값을 갖는다.

[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=2``]에 대하여 대칭이므로 [eqn: x=5``]에서 [eqn: f(x)``]는 극솟값을 갖는다.

사차함수 [eqn: f(x)``]의 극솟값이 [eqn: 2``]개가 있으므로 [eqn: x=2``]에서 극댓값을 갖는 그래프는 [eqn: (ⅰ)``]의 개형이다.

사차함수의 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: f'(x)=4(x+1)(x-2)(x-5)``]

한편, [eqn: (2`,~5)``]에서 [eqn: f(x)``]는 감소하므로 [eqn: 3<t<5``]일 때 [eqn: [t-1`,~t]``]에서 [eqn: f(x)``]의 최솟값은 [eqn: f(t)``]이다.

따라서 [eqn: 3<t<5``]일 때, [eqn: g(t)=f(t)``]이므로

[eqn: g'(4)=f'(4)=-40``]