54 서로 다른 두 실수 [eqn: a,`b`]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{b} {(x-2) ^{4} `dx=A,` int _{a} ^{b} {(x-2) ^{2} `dx=B`}}]일 때,

[eqn: int _{a} ^{b} {(2x-1)(2x-7)(x-2) ^{2} `dx`}]의 값을 [eqn: A`]와 [eqn: B`]로 바르게 나타낸 것은?

Songwon High School

①　[eqn: 2A-4B`]	②　[eqn: A-9B]	③　[eqn: 4A-9B]

④　[eqn: A+4B]	⑤　[eqn: 4A+9B]

55 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)`dx`}]의 최솟값은? [4점]

(가) [eqn: f(0)=1,`f prime (0)=1]

(나) [eqn: 0<a<b<2`이면`f prime (a) LEQ f prime (b)이다.]

(다) [eqn: 구간`(0,`1)에서`f prime prime (x)=e ^{x} 이다.]

①　[eqn: {1} over {2} e-1]	②　[eqn: {3} over {2} e-1]	③ [eqn: {5} over {2} e-1]

④　[eqn: {7} over {2} e-2]	⑤　[eqn: {9} over {2} e-2]

56 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r`]이고 높이가 [eqn: h`]인 원뿔이 있다. 높이를 [eqn: n`]등분한 점을 지나고 밑면에 평행한 원뿔을 자른 후에 그림과 같이

[eqn: n`]개의 원기둥을 만든다. [eqn: n`]개의 원기둥들의 부피를 이용한 구분구적법으로 원뿔의 부피를 구하시오.

57 연속함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+3)=f(x)`]를 만족시키고 [eqn: int _{0} ^{3} {f(x)`dx=10`}]일 때, [eqn: int _{-2} ^{10} {f(x)`dx`}]의 값을 구하시오.

58 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: int _{0} ^{3} {(x+2)f(x)`dx`}]의 값은?

①　[eqn: 18]	②　[eqn: {55} over {3}]
③　[eqn: {56} over {3}]	④　[eqn: 19]
⑤　[eqn: {58} over {3}]

59 자연수 [eqn: n]과 [eqn: 1 LEQ k LEQ n]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위의 점 [eqn: rm A _{it`k} `it LEFT ( {k} over {n} ,````e ^{{k} over {n}} RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l _{k}]라 하자. 점[eqn: rm A _{it`k}]를 지나고 직선[eqn: l _{k}]에 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm P _{it`k}]라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} bar{rmOP _{it`k}}}]의 값은?

(단, [eqn: rm { O }]는 원점이고, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: e ^{2}]	② [eqn: {e ^{2}} over {2}]　	③　[eqn: {e ^{2}} over {3}]

④　[eqn: {e ^{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {e ^{2}} over {5}]

60 미분가능한 함수[eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0]

(나) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(5)=5]

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) +f ^{-1} ` LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) `․` {5} over {n}}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: f ^{-1} (x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이다.)

61 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2x)=2f(x)f`'(x)]이고,

[eqn: f(a)=0], [eqn: int _{2a} ^{4a} {{f(x)} over {x}} `dx=k`(a>0,`0<k<1)] 일 때, [eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}}} `dx]의 값을 [eqn: k]로 나타낸 것은? [3점]

①　[eqn: {k ^{2}} over {4}]	② [eqn: {k ^{2}} over {2}]　	③　[eqn: k ^{2}]

④　[eqn: k]	⑤ [eqn: 2k]

62 [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} LEFT { cos LEFT ( - {pi } over {2} + {pi } over {n} RIGHT ) +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {2 pi } over {n} RIGHT ) RIGHT .}]

[eqn: LEFT . +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {3 pi } over {n} RIGHT ) +` CDOTS +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {n pi } over {n} RIGHT ) RIGHT }] 의 값은?

①　[eqn: 0]	② [eqn: {1} over {pi }]　	③　[eqn: {2} over {pi }]

④　[eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

63 함수[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{1} over {1+t ^{6}}} `dt]에 대하여 상수 [eqn: a]가 [eqn: f(a)= {1} over {2}]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {{e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} `dx}]의 값은? [3점]

①　[eqn: {sqrt {e} -1} over {2}]	② [eqn: sqrt {e} -1]　	③　[eqn: 1]

④　[eqn: {sqrt {e} +1} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {e} +1]

64 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같이 원점[eqn: rm { O }]와 점[eqn: (2a,````0)]을 지난다. 함수[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {(x-t)f(t)} `dt]에 대하여 방정식 [eqn: F``'(x)=0]의 모든 실근의 합은? (단, [eqn: a>0])

①　[eqn: a]	② [eqn: 2a]
③　[eqn: 3a]	④　[eqn: 4a]	⑤ [eqn: 5a]

65 [eqn: int _{-2} ^{`````2`} {LEFT | x RIGHT | `e ^{x}} `dx]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: e ^{2} - {3} over {e ^{2}} -2]	② [eqn: e ^{2} - {2} over {e ^{2}} -2]　	③　[eqn: e ^{2} - {3} over {e ^{2}}]

④　[eqn: e ^{2} - {3} over {e ^{2}} +2]	⑤ [eqn: e ^{2} - {2} over {e ^{2}} +2]

66 이차함수 [eqn: f(x) ``]가
[eqn: f(x)= 12 over 7 x^2 - 2 x ` int _ 1 ^2 f(t) `dt + left{ int _1 ^2 f(t) ` dt right }^2``]
일 때, [eqn: 10 ` int _1 ^2 f(x)` dx ``]의 값을 구하시오. [3점][2005년 9월 평가원]

67 [eqn: x>0``]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여
[eqn: f prime (x) = {{(x+2) rootx } over { 2x^2 } ``]이고 [eqn: f(1) = -1``]일 때,
[eqn: lim_{x`->`2} { 1 over { x-2} int_{4}^{x^2 } { (t-2)f(t) dt } ``] 의 값은?

① [eqn: 2``]	② [eqn: 2 root2``]	③ [eqn: 4``]

④ [eqn: 4 root2``]	⑤ [eqn: 8``]

68 다항함수 [eqn: f(x) ``]가 모든 실수에 대하여
[eqn: int _1 ^x f(t) ` dt = x^3 - 2ax^2 + ax``]
를 만족시킬 때, [eqn: f(3) ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a``]는 상수이다.) [3점]

[2007학년도 대수능]

69 구간 [eqn: left[ ` 0 ,```` pi over 2 ` right] ``]에서 연속인 함수 [eqn: f(x) ``]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( pi over 4 RIGHT )``]의 값은? [2011년 9월 평가원][4점]

(가) [eqn: int _0 ^{pi over 2 } f(t) ` dt = 1``]

(나) [eqn: cos ` x ` int _0 ^x f(t) ` dt``][eqn: = sin ` x ` int _x ^{ pi over 2 } f(t) ` dt``] [eqn: LEFT ( 단, ````0 le x le pi over 2 RIGHT )``]

① [eqn: 1 over 5``]	② [eqn: 1 over 4``]	③ [eqn: 1 over 3``]

④ [eqn: 1 over 2``]	⑤ [eqn: 1``]

70  [eqn: x>0 ``]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)``]가
[eqn: f(x) = ln ` x - int _1 ^e {f(t) } over x dt``]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1) ``]의 값은? (단, [eqn: e ``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: -1``]	② [eqn: - 1 over 2``]	③ [eqn: - 1 over 4``]

④ [eqn: - 1 over e``]	⑤ [eqn: - 1 over e^2``]

71 정적분 [eqn: int _{1} ^{e} {} ` {ln`x} over {x ^{2}} `dx``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: 1- {3} over {e}``]	② [eqn: 1- {2} over {e}``]	③ [eqn: 1- {1} over {e}``]

④ [eqn: 1+ {1} over {e}``]	⑤ [eqn: 1+ {2} over {e}``]

72 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} (x+cos`x)sin`x`dx``]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}``]	② [eqn: {3} over {4}``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: {5} over {4}``]	⑤ [eqn: {3} over {2}``]

73  함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -e ^{-x} ``]이 [eqn: int _{0} ^{1} {} ` LEFT { 6x ^{2} +af(x) RIGHT } `dx=f` prime (1)``]을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: {1} over {e}``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: e-1``]

④ [eqn: e``]	⑤ [eqn: e+1``]

74  정적분 [eqn: int _{1} ^{e} {} ` {ln`x} over {x+x(`ln`x) ^{2}} `dx``]의 값은?

(단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: {1} over {2} `ln`2``]	② [eqn: ln`2``]	③ [eqn: {3} over {2} `ln`2``]

④ [eqn: 2`ln`2``]	⑤ [eqn: {5} over {2} `ln`2``]

75 연속함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)``]이다.

㈏ [eqn: int _{1} ^{{3} over {2}} {} `f(2x)`dx=7,~ int _{1} ^{{4} over {3}} {} `f(3x)`dx=1``]

정적분 [eqn: int _{2001} ^{2012} {} `f(x)`dx``]의 값은?

① [eqn: 65``]	② [eqn: 71``]	③ [eqn: 82``]

④ [eqn: 88``]	⑤ [eqn: 99``]

76 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]의 도함수 [eqn: f` prime (x)``]는
[eqn: f` prime (x)= {2x+3} over {x ^{2} +3x+1}``]
이다. 곡선 [eqn: y=f(x)``]가 원점을 지날 때, [eqn: f(1)``]의 값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: ln`3``]	③ [eqn: 2`ln`2``]

④ [eqn: ln`5``]	⑤ [eqn: 2``]

77 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가
[eqn: f` prime (x)=ln`x,~f(e ^{2} )=e ^{2}``]
을 만족시킬 때, 곡선 [eqn: y=f(x)``]는 점 [eqn: (a,~2a)``]를 지난다. 이때, 양수 [eqn: a``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: 2``]	② [eqn: 2e``]	③ [eqn: 3e``]

④ [eqn: 2e ^{2}``]	⑤ [eqn: e ^{3}``]

78 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여
[eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(x+h)-f(x-h)} over {h} =2e ^{x} cos`x``]
이고 [eqn: f(0)=`-1``]일 때, [eqn: f( pi )``]의 값은?

(단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: -e ^{pi } -1``]	② [eqn: -e ^{pi } - {3} over {2}``]	③ [eqn: - {1} over {2} (e ^{pi } +1)``]	④ [eqn: - {1} over {2} (e ^{pi } +2)``]	⑤ [eqn: - {1} over {2} (e ^{pi } +3)``]

79  [eqn: x>0``]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]의 한 부정적분을 [eqn: F`(x)``]라 할 때,
[eqn: xf(x)=F`(x)+x ^{2} e ^{x} ,~F`(1)=e``]
를 만족한다고 한다. 이때, [eqn: f(2)``]의 값은?

(단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: e ^{2} -2e``]	② [eqn: 2e ^{2} -e``]	③ [eqn: 2e ^{2}``]

④ [eqn: 3e ^{2} -2e``]	⑤ [eqn: 3e ^{2}``]

80 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 두 조건을 만족할 때, 상수 [eqn: k``]의 값은?

㈎ [eqn: f` prime (x)= {cases{`cos ^{2} `x&``(x>0)#`kx&``(x<0)}} ``]

㈏ [eqn: f( pi )= pi ,~f(-1)=0``]

① [eqn: - pi ``]	② [eqn: - {pi } over {2}``]	③ [eqn: -1``]

④ [eqn: {pi } over {2}``]	⑤ [eqn: pi ``]

81  실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)``]가 모든 양수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {(x-t) LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} `dt=6 int _{0} ^{1} {x ^{3} (x-t) ^{2} `dt}}``]

를 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)``]와 직선 [eqn: x=1,~x``]축, [eqn: y``]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: x``]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 [eqn: a pi``]라 할 때, [eqn: a ``]의 값을 구하시오. [4점][2009년 9월 평가원]

82 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y = 3 left (e^x -1 right),```` y = e^2x -1 ``]로 둘러싸인 부분의 넓이는? ( 단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다. )

① [eqn: 3 over 2 - 2`ln `2``]	② [eqn: 3 over 2 - ln`2``]	③ [eqn: ln`2 - 1 over 2 ``]

④ [eqn: 2` ln`2 - 1 over 2 ``]	⑤ [eqn: 2`ln`2 - 1``]

83 그림에서 함수 [eqn: f(x),````g(x)"``]는 [eqn: y = c`sin ` dx ``]꼴의 삼각함수이고, 점[eqn: rm A it (a,```` 3b ) ,````rm B it ( 2a ,```` 2b ) ``]는 각각 함수 [eqn: f(x), ```` g(x)``]의 극댓점이다. 곡선 [eqn: y =f(x)``]와 두 점 [eqn: rm O,```` A``]를 지나는 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1``], 곡선 [eqn: y =g(x)``]와 두 점 [eqn: rm O,````B``]를 지나는 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2``]라 하면 [eqn: { S_1 } over { S _2 } = q over p ``]이다. 서로소인 두 자연수 [eqn: p ,````q``]에 대하여 [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. ( 단, [eqn: rm O``]는 원점이고, [eqn: a,````b,```` c,````d``]는 양수이다.)

84  곡선 [eqn: y= sqrt {x} ``]를 직선 [eqn: y=1``]에 대하여 대칭이동한 곡선이 [eqn: y=g(x)``]이다. 두 곡선 [eqn: y= sqrt {x} ,~y=g(x)``]와 [eqn: y``]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x``]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?

① [eqn: {2} over {3} pi ``]	② [eqn: pi ``]	③ [eqn: {4} over {3} pi ``]

④ [eqn: {5} over {3} pi ``]	⑤ [eqn: 2pi ``]

85  좌표공간에서 [eqn: xy``]평면 위의 곡선 [eqn: l``]과 [eqn: yz``]평면 위의 직선 [eqn: m``]이 각각
[eqn: l~:~y= sqrt {e ^{x} -1} ,~z=0``]

[eqn: m~:~y=z,~x=0``]

이다. [eqn: y``]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]를 지나고 [eqn: y``]축에 수직인 평면이 곡선 [eqn: l``], 직선 [eqn: m``]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ,~R``]라 하자. 점 [eqn: rmP``]가 원점 [eqn: rmO``]에서 점 [eqn: (0,~1,~0)``]까지 움직일 때, 삼각형 [eqn: rmPQR``]가 나타내는 입체도형의 부피는?	(단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: {1} over {2} LEFT ( ln2-1 RIGHT )``]	② [eqn: {1} over {2} `ln2- {1} over {4}``]	③ [eqn: {1} over {2} `ln2``]

④ [eqn: {1} over {2} `ln2+ {1} over {4}``]	⑤ [eqn: {1} over {2} LEFT ( ln2+1 RIGHT )``]

86  원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도 [eqn: v(t)``]는 다음과 같다.

자연수 [eqn: n``]에 대하여

(가) [eqn: 2n-2 LEQ t LEQ 2n-1``]일 때,
[eqn: v(t)=(t-2n+2) ^{2} +2n-2``]

(나) [eqn: 2n-1 LEQ t LEQ 2n``]일 때,
[eqn: v(t)=-(t-2n) ^{2} +2n``]

[eqn: t=0``]에서 [eqn: t=2n``]까지 점 [eqn: rmP``]가 실제로 움직인 거리를 [eqn: f(2n)``]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{f(2n)} over {n ^{2} +1} ``}``]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}``]	② [eqn: {1} over {2}``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: {3} over {2}``]	⑤ [eqn: 2``]

87 그림과 같이 원점 [eqn: rmO``]와 점 [eqn: rmA left( 1over2 ,~0right)``]에 대하여 선분 [eqn: rmOA``]와 곡선 [eqn: y=1+log_2 `x``left( 1over2 ≤x≤4right)``]를 [eqn: y``]축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체 모양의 그릇이 있다.

이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초 [eqn: 12pi`rm cm^3``]의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가 [eqn: 6`rm cm/``]초가 되는 순간의 수면의 높이는 [eqn: a`rmcm``]이다. [eqn: a``]의 값은?

(단, 좌표축의 눈금 단위는 [eqn: rmcm``]이다.) [4점]	[2011년 10월 교육청]

① [eqn: 1over2``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 3over2``]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 5over2``]

88 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP,~Q``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도를 각각 [eqn: v_1 (t),~v_2 (t)``]라 하면 [eqn: 0le t le c``]에서 [eqn: v_1 (t),``]

[eqn: v_2 (t)``]를 나타내는 그래프는 그림과 같다.

[eqn: t=b``]에서 두 점 [eqn: rmP,~Q``]의 위치가 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<a<b<c,~0<d<e``])

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: rmP``]는 출발 후 [eqn: t=c``]일 때까지 방향을 두 번 바꾼다.

ㄴ. [eqn: t=a``]일 때, 점 [eqn: rmP``]는 점 [eqn: rmQ``]의 다음에 있다.

ㄷ. [eqn: t=c``]일 때, 점 [eqn: rmP``]는 점 [eqn: rmQ``]의 왼쪽에 있다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

89 [eqn: x= 0 ``]에서 [eqn: x= 6 ``]까지 곡선 [eqn: y= 1over3 ( x^2 + 2)^{3over2} ``]의 길이를 구하시오.

[4점]	[2008학년도 대수능]

90 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP``]의 시각 [eqn: t``]에서의 위치 [eqn: (x,~y)``]가

[eqn: cases{`x=4(cos`t+sin`t)#`y=cos`2t} ``] [eqn: (0≤t≤2pi) ``]

이다. 점 [eqn: rmP``]가 [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=2pi``]까지 움직인 거리(경과 거리)를 [eqn: a `pi``]라 할 때, [eqn: a^2 ``]의 값을 구하시오. [4점]         [2010학년도 대수능]

91 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]가
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x ^{2}} + int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT )} dt``]
를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT )} dx``]의 값은?

① [eqn: e-2``]	② [eqn: {e-1} over {2} ``]	③ [eqn: {e} over {2} ``]

④ [eqn: e-1``]	⑤ [eqn: {e+1} over {2} ``]

92 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x)+f(-x) = 6x^2 +10]
을 만족시킬 때, [eqn: int _{ -2} ^{2 } {f(-x)dx }]의 값은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 84]

93 삼차함수 [eqn: f(x)= x^3 + ax^2 +(2a-3)x +1]이 극값을 갖지 않을 때, [eqn: int _{ 2} ^{5 } { { f(x)} over { x+1} dx}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]는 실수이다.)

94 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{-1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT )} dx``]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) ``]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=4,~ int _{-3} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=18``]

① [eqn: 11``]	② [eqn: 12``]	③ [eqn: 13``]

④ [eqn: 14``]	⑤ [eqn: 15``]

95 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]가 있다. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) ``]이고,
[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0,~ int _{2a} ^{4a} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} =k``]([eqn: a>0,~0<k<1``])
일 때, [eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}}} dx``]의 값을 [eqn: k``]로 나타낸 것은?

① [eqn: {k ^{2}} over {4} ``]	② [eqn: {k ^{2}} over {2} ``]	③ [eqn: k ^{2} ``]

④ [eqn: k``]	⑤ [eqn: 2k``]

96 [eqn: - pi over 2 <x < pi over2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f'(x)]가 [eqn: f'(x)=tanx+tan^2 x +tan^3 x]

이다. [eqn: f(0) = pi over3]일 때, [eqn: f left( pi over 3 right)]의 값은?

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1 over 2 + sqrt3 over3]	③ [eqn: 1+ sqrt3 over3]

④ [eqn: 1+ sqrt3]	⑤ [eqn: {3} over {2}+sqrt {3}]

97 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]가 [eqn: f(x)=F(x)+e^x sinx]

를 만족시킨다. [eqn: f(0)=1]일 때, 함수 [eqn: g(x)=e ^{-x} f(x)]에 대하여 [eqn: g left(pi over2 right)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

98 [eqn: x=0]에서 연속된 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f'(x)]가

[eqn: f prime (x)= {cases{cosx~~&(x>0)#k`sinx&(x<0) ~~(k는~상수)}}]

이고, [eqn: f(pi)=2,~f(-pi)=8]이다. 방정식 [eqn: f(x)=f left(pi over 6 right)]의 실근의 개수는? (단, [eqn: -2pi le x le 2pi])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

99 [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=int { e^x left(lnx + 1 overx^2 right) dx]를 만족시킨다. [eqn: f(1)=-e]일 때, [eqn: f(e)]의 값은?

(단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: e^e]	② [eqn: e^e-1]	③ [eqn: e^e-2]

④ [eqn: e^e - e^e-1]	⑤ [eqn: e^e-1 - e^e-2]

100 [eqn: - pi over 2 < x < pi over 2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]와 도함수 [eqn: f'(x)]가 [eqn: f(0) =0, ``f'(x)=1 + left{f(x) right}^2]을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g'(1) timesg(1)]의 값은?

① [eqn: pi over10]	② [eqn: pi over8]	③ [eqn: pi over 6]

④ [eqn: pi over4]	⑤ [eqn: pi over2]

101 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 호 [eqn: rmBC]를 [eqn: n]등분하여 양 끝점을 포함한 각 등분점을 차례로 [eqn: rm P _{0} (=B),``P _{1,} ``P _{2,} ``P _{3,} `` CDOTS ,``P _{it n-1,} ``P _{it n} (=C)]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {piovern}{sum_k=1^n}{rmbarAP_{itk}}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

102 함수 [eqn: f(x)= int_-2^x {(2- vertt vert )}dt] 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능하다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값과 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 실근은 [eqn: 5]보다 작다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

103 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_x ^x+3 {f(t)dt =x^2 +x}]
를 만족시킬 떄, [eqn: int_0^30 {f prime(x)dx}]의 값을 구하시오.

104 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,

다음 중 함수 [eqn: F(x)= int_0^x {f(x-t)}dt]의 그래프의 개형으로 옳은 것은?

①		②
③		④
⑤

105 연속함수 [eqn: f(x)]가 임의의 정수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: lim_n->inf{sum_k=1^n} f left(m + k overn right) 1 overn = lim_n->inf{sum_k=1^n} f left( m + 3k overn right) 3 overn]을 만족시킨다. [eqn: 0 leqx leq2]에서 [eqn: f(x)= 6x^2 -2x +a```(a는````상수)]일 때, [eqn: int_1^10{f(x)dx}]의 값을 구하시오.

106 사차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: lim_x->inf{1overn sum_k=1^n {f left( m + k overn right) <0}}]
을 만족시키는 정수 [eqn: m]의 개수는?[eqn: [4점]]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

107 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_0^x {f(t)dt}= e^x +ax +a]
를 만족시킬 때, [eqn: f(ln2)]의 값은?(단,[eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2e]

108  [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {3}]에서 함수 [eqn: f(x)=tanx]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{{sqrt {3}} over {3}} ^{sqrt {3}} {g(x)dx+ int _{g LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )} ^{g( sqrt {3} )} {tanx`dx}}]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {18} pi]	② [eqn: {sqrt {3}} over {9} pi]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {6} pi]

④ [eqn: {2 sqrt {3}} over {9} pi]	⑤ [eqn: {5 sqrt {3}} over {18} pi]

109  두 곡선 [eqn: y= {1} over {sqrt {x}} ,~y= sqrt {{lnx} over {x}}]와 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 [eqn: V]이다. [eqn: {100V} over {pi }]의 값을 구하시오.

110  함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} +2x+2]의 그래프와 그 도함수 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

111  그림과 같이 곡선 [eqn: y=x`sinx(0 LEQ x LEQ {pi } over {2} )]에 대하여 이 곡선과 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A,] 이 곡선과 직선 [eqn: x=k,~]직선 [eqn: y= {pi } over {2}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값은?(단, [eqn: 0 LEQ k LEQ {pi } over {2}])

① [eqn: {pi } over {4} - {1} over {pi }]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {2} - {2} over {pi }]

④ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {pi }]	⑤ [eqn: {pi } over {2} - {1} over {pi }]

112  그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=2,~x=4]로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 [eqn: 16pi]이다. [eqn: g(x)=f( sqrt {x} )]일 때, [eqn: int _{4} ^{16} {{LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}} over {sqrt {x}} dx}]의 값을 구하시오.

113 그림과 같이 곡선 [eqn: y=e ^{-x}]에 대하여 이 곡선과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y= sqrt {e}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 이 곡선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: e ^{-k}]의 값은?(단, [eqn: k>0]이고, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: {sqrt {e}} over {4}]	② [eqn: {sqrt {e}} over {3}]	③ [eqn: {e} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {e}} over {2}]	⑤ [eqn: {e} over {3}]

114  실수 전체에서 함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} +a)e ^{x}]의 역함수가 존재하기 위한 상수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 함수 [eqn: g(x)=(x ^{2} +m)e ^{x}]의 역함수를 [eqn: h(x)]라 할 때, [eqn: int _{m} ^{2e} {h(x)dx}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

115 그림과 같이 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A LEFT ( 1 over 2 ,``0 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rm OA]와 곡선 [eqn: y= 1 + log_2 `x`` LEFT ( 1 over 2 LEQ x LEQ 4 RIGHT )]를 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체 모양의 그릇이 있다.

이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초 [eqn: 12pi`{rm cm}^3]의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가 [eqn: 6`` rm cm / 초]가 되는 순간의 수면의 높이는 [eqn: a`` rm cm]이다. [eqn: a]의 값은?

(단, 좌표축의 눈금 단위는 이다.) [4점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

116 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: -1<x<1]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = {rm ln} (ax^2 +b )]와 그 도함수 [eqn: y= f prime (x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: - {1} over {2} LEQ x LEQ {1} over {2} ``]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ``]의 길이는?

(가) [eqn: f(0)=0]

(나) [eqn: f prime LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) = - 4 over 3]

① [eqn: 2`{ rm ln 2} -1]	② [eqn: 3`{ rm ln 2} -1]	③ [eqn: 2`{ rm ln 3} -1]

④ [eqn: 2`({ rm ln 3} -1)]	⑤ [eqn: 2`(2`{ rm ln 2} -1)]

117 평평한 바닥 위에 놓인 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반구 모양의 그릇에 물을 가득 채운 후 그림과 같이 [eqn: theta]만큼 기울여 놓아 물을 흘렸다. 남은 물의 부피를 [eqn: V]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: LEFT (단,``0< theta < pi over 2 RIGHT )]

[보 기]

ㄱ. [eqn: theta = pi over 6]일 때, 수면의 넓이는 [eqn: 3 over 4 pi]이다.

ㄴ. [eqn: {rm sin} theta = 1 over 3]일 때, 남은 물의 부피는 [eqn: 28 over 81 pi]이다.

ㄷ. [eqn: theta = pi over 3]인 순간 [eqn: dV over {d theta} = - pi over 24]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

118 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: t(0 LEQ t LEQ 6)]초 후의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같다.

점 [eqn: rm P]가 원점을 출발한 후 다시 원점으로 돌아올 때까지 걸리는 시간을 [eqn: k]초라 할 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 3+ sqrt { 3}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 3+ sqrt { 5}]

④ [eqn: 3+ sqrt { 6}]	⑤ [eqn: 6]

119 좌표평면에서 원점을 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]를 [eqn: v(t)= sqrt { t}]라 하자. 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (a,``0)]이라 할 때, 곡선 [eqn: y= {rm ln} `(x+1)]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=a]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S(a)]라 하자. [eqn: t=9]일 때, [eqn: S(a)]의 변화율은?

① [eqn: ln19``]	② [eqn: 2ln9``]	③ [eqn: 2ln19``]

④ [eqn: 3ln9``]	⑤ [eqn: 3ln19``]

120 함수 [eqn: f(x) = {2^x + 2^-x } over {2`{rm ln}`2}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: 1 over {{rm ln}`2}]이다.

ㄴ. [eqn: int _{ -1} ^{ 1} { LEFT { f(x) + f prime (x) RIGHT } }dx = 2 int _{ 0} ^{ 1} {f(-x) }dx]

ㄷ. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,``1 RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 길이는 [eqn: 3 over {2`{rm ln}`2}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

121 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: (x,``y)]가
[eqn: cases{ x=4 ( {rmcos}``t + {rm sin}`t) # y={rmcos}``2t}~~(0 LEQ t LEQ 2pi)]
이다. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t= 2pi]까지 움직인 거리(경과 거리)를 [eqn: a pi]라 할 때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오. [4점]

122 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=sin2t-sint`(0 LEQ t LEQ 2 pi )]일 때, 원점과 점 [eqn: rm P]사이의 거리의 최댓값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

123 두 곡선 [eqn: C _{1}] : [eqn: y=2e`lnx], [eqn: C _{2}] : [eqn: y=x ^{2}]은 한 점 [eqn: rm P]에서 만나고 점 [eqn: rm P]에서의 두 곡선의 접선이 서로 일치할 때, 두 곡선 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: {pi } over {2} (e-2)]	② [eqn: pi (e-1)]	③ [eqn: {pi } over {2} e(e-2)]

④ [eqn: {pi } over {2} e(e-1)]	⑤ [eqn: pi e(e-1)]

124 두 연속함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 직선 [eqn: x=4]에 대하여 서로 대칭이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)=2], [eqn: f(7)=6]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime (x)>0]이다.

(나) [eqn: int _{2} ^{6} {g ^{-1} (x)dx} =14]

[eqn: int _{2} ^{6} {f ^{-1} (x)dx}]의 값을 구하시오.

125 함수 [eqn: f(x)=cos {pi } over {2} x+e ^{x-1}]에 대하여

[eqn: lim _{x -> sqrt {2}} {{1} over {x ^{4} -4} int _{2} ^{x ^{2}} {LEFT { tf(t)+2 RIGHT } dt}}]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

126 미분 가능한 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: f(5)=2], [eqn: int _{0} ^{5} {f(x)dx} =3]일 때, [eqn: int _{0} ^{25} {f prime ( sqrt {x} )dx}]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

127 [eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{2x ^{n+1} +4x ^{2} +k} over {x ^{n} +1}}] ([eqn: k]는 상수)

이다. 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 연속일 때, [eqn: int _{0} ^{2} {xf(x)dx}]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: {14} over {3}]	③ [eqn: {16} over {3}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {20} over {3}]

128 그림과 같이 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +ax`(0<a<4)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +ax]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=4]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B]라 할 때, [eqn: A+B`]의 최솟값은 [eqn: p+q sqrt {2}]이다. 두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p-q]의 값을 구하시오.

129 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: rm O]위의 점 [eqn: rm A]에서의 접선 [eqn: rm AX]에 대하여 [eqn: ANGLE rm BAX= it {pi } over {3}]가 되도록 원 위에 점 [eqn: rm B]를 정한다.

호 [eqn: rm AB]를 [eqn: n]등분하여 양 끝점을 포함한 각 등분점을 차례로 [eqn: rm P _{0} LEFT ( =A RIGHT )], [eqn: rm P _{1}], [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm P _{3}], …, [eqn: rm P _{it n-1}], [eqn: rm P _{it n} (=B)]이라 하고, 삼각형 [eqn: rm OAP _{it k}] ([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], …, [eqn: n])의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}}]의 값은?

① [eqn: {3} over {pi }]	② [eqn: {9} over {2 pi }]	③ [eqn: {6} over {pi }]

④ [eqn: {15} over {2 pi }]	⑤ [eqn: {9} over {pi }]

54 정답] ③

해설

[eqn: int _{a} ^{b} {(2x-1)(2x-7)(x-2) ^{2} `dx}]

[eqn: = int _{a} ^{b} {LEFT { 2(x-2)+3 RIGHT }} LEFT { 2(x-2)-3 RIGHT } (x-2) ^{2} `dx]

[eqn: = int _{a} ^{b} {LEFT { 4(x-2) ^{2} -9 RIGHT } (x-2) ^{2} `dx}]

[eqn: = int _{a} ^{b} {LEFT { 4(x-2) ^{2} -9(x-2) ^{2} RIGHT } `dx}]

[eqn: =4 int _{a} ^{b} {(x-2) ^{4} `dx-9 int _{a} ^{b} {(x-2) ^{2} `dx}}]

[eqn: =4A-9B]

55 정답] ③

해설

조건 (다)에서 열린구간 [eqn: (0,`1)`]에서 [eqn: f` prime prime (x)=e ^{x}]이므로

[eqn: f prime (x)= int _{} ^{} {f prime prime (x)`dx= int _{} ^{} {e ^{x}} `dx=e ^{x} +C _{`1}}] (단, [eqn: C _{`1`}]은 적분상수)

조건 (가)에서 [eqn: f prime (0)=1`]이므로

[eqn: 1+C` _{1} =1```````````` THEREFORE C` _{1} =0]

[eqn: THEREFORE ``f` prime (x)=e ^{x} `]

같은 방법으로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {f` prime (x)`dx= int _{} ^{} {e ^{x} `dx=e ^{x} +C _{`2}}} `] (단, [eqn: C _{`2} `]는 적분상수)

조건 (가)에서 [eqn: f(0)=1`]이므로

[eqn: 1+C _{`2} =1````````````` THEREFORE `C _{`2} =0]

[eqn: THEREFORE ``f(x)=e ^{x} ``(0<x<1)]

이때, 함수 [eqn: f(x)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능 하므로 [eqn: x=1`]에서 연속이고 [eqn: f` prime (1)`]이 존재한다.

[eqn: THEREFORE ``f(1)=e,] [eqn: f` prime (1)=e]

[eqn: THEREFORE ``f(x)=e ^{x} ``(0 LEQ x LEQ 1)]

조건 (나)에서 [eqn: 1<x<2`]에 대하여 [eqn: f` prime (1) LEQ f` prime (x)`]이므로

[eqn: e LEQ f` prime (x)```( BECAUSE f` prime (1)=e)]

이때, [eqn: 1 LEQ x LEQ 2`]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{2} {e`dt LEQ int _{1} ^{x} {f prime (t)`dt}}]

[eqn: LEFT [ et RIGHT ] _{1} ^{x} LEQ LEFT [ f(t) RIGHT ] _{1} ^{x`}]

[eqn: ex-e LEQ f(x)-f(1)]

[eqn: ex-e LEQ f(x)-e`( BECAUSE f(1)=e)]

즉, [eqn: ex LEQ f(x)`(1 LEQ x LEQ 2)`]이므로

[eqn: int _{1} ^{2} {ex`dx LEQ int _{1} ^{2} {f(x)`dx}}]

[eqn: LEFT [ {1} over {2} ex ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2} LEQ int _{1} ^{2} {f(x)`dx}]

[eqn: {3} over {2} e LEQ int _{1} ^{2} {f(x)`dx}]

[eqn: THEREFORE `` int _{0} ^{2} {f(x)`dx= int _{0} ^{1} {f(x)`dx+ int _{1} ^{2} {f(x)`dx}}}]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````` GEQ int _{0} ^{1} {e ^{x} `dx+ {3} over {2} e}]

[eqn: `````````````````````````````````````````````````= LEFT [ e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} + {3} over {2} e]

[eqn: `````````````````````````````````````````````````=(e-1)+ {3} over {2} e]

[eqn: `````````````````````````````````````````````````= {5} over {2} e-1]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: {5} over {2} e-1`]이다.

56 정답] [eqn: {1} over {3} pi r ^{2} h]

해설

[eqn: n`]개의 원기둥의 높이는 모두 [eqn: {h} over {n} `]이고, 밑면인 원의 반지름의 길이는 위에서부터 차례대로

[eqn: {r} over {n} ,` {2r} over {n} ,` {3r} over {n} ,` CDOTS ,` {nr} over {n}]

그러므로 [eqn: n`]개의 원기둥의 부피의 합을 [eqn: V _{n} `]이라 하면

[eqn: V _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT { pi TIMES LEFT ( {kr} over {n} RIGHT ) ^{2} TIMES {h} over {n} RIGHT }]

[eqn: ```````````= {pi r ^{2} h} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} k ^{2}]

[eqn: ```````````= {pi r ^{2} h} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} k ^{2}]

[eqn: ```````````= pi r ^{2} h TIMES {(n+1)(2n+1)} over {6n ^{2}}]

따라서 구하는 원뿔의 부피는

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {V _{n} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { pi r ^{2} h TIMES {(n+1)(2n+1)} over {6n ^{2}} RIGHT }}}]

[eqn: ``````````````````````````= {1} over {3} pi r ^{2} h]

57 정답] [eqn: 40]

해설

[eqn: f(x+3)=f(x)`]에서 [eqn: f(x)`]는 주기함수이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {f(x)`dx= int _{3} ^{6} {f(x)`dx}}]

[eqn: `````````````````````````````````````````= int _{6} ^{3} {f(x)`dx`````````` CDOTS CDOTS }] ㉠

또, [eqn: int _{-2} ^{0} {f(x)`dx= int _{1} ^{3} {f(x)`dx`}}]이고,

[eqn: int _{9} ^{10} {f(x)`dx= int _{0} ^{1} {f(x)`dx} `}]이므로

[eqn: int _{-2} ^{0} {f(x)`dx+ int _{9} ^{10} {f(x)`dx= int _{1} ^{3} {f(x)`dx} + int _{0} ^{1} {f(x)`dx}}}]

[eqn: ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= int _{0} ^{3} {f(x)`dx`````````` CDOTS CDOTS }] ㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: int _{-2} ^{10} {f(x)`dx= int _{-2} ^{0} {f(x)`dx+ int _{0} ^{9} {f(x)`dx+ int _{9} ^{10} {f(x)`dx}}}}]

[eqn: ``````````````````````````````````````````= LEFT ( int _{-2} ^{0} {f(x)`dx+ int _{9} ^{10} {f(x)`dx}} RIGHT ) + int _{0} ^{9} {f(x)`dx}]

[eqn: ``````````````````````````````````````````= int _{0} ^{3} {f(x)`dx+3 int _{0} ^{3} {f(x)`dx}}]

[eqn: ``````````````````````````````````````````=4 int _{0} ^{3} {f(x)`dx}]

[eqn: ``````````````````````````````````````````=4 cdot 10=40]

[참고] 함수 [eqn: f(x)`]의 주기가 [eqn: p`]이면

[eqn: f(x+p)=f(x)]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 그림과 같이 일정한 모양을 반복한다.

따라서

① 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a,`b RIGHT ] `]의 정적분의 값은 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a+p,`b+p RIGHT ] `]의

정적분의 값과 같다. 즉,

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)`dx= int _{a+p} ^{b+p} {f(x)`dx}}]

② 한 주기에 해당하는 구간의 정적분의 값은 항상 같다. 즉,

[eqn: int _{a} ^{a+p} {f(x)`dx= int _{b} ^{b+p} {f(x)`dx}}]

58 정답] ③

해설

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1`]에서 [eqn: f(x)=2x], [eqn: 1 LEQ x LEQ 3`]에서 [eqn: f(x)=2`]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {(x+2)f(x)`dx}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {(x+2) cdot 2x`dx+ int _{1} ^{3} {(x+2) cdot 2`dx}}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {(2x ^{2} +4x)`dx+ int _{1} ^{3} {(2x+4)`dx}}]

[eqn: = LEFT [ {2} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ x ^{2} +4x RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: = LEFT ( {2} over {3} +2 RIGHT ) + LEFT { (9+12)-(1+4) RIGHT }]

[eqn: = {56} over {3}]

59 [정답] ➁

해설

[eqn: y=e ^{x}]에서 [eqn: y`'=e ^{x}]이므로 점[eqn: rm `A _{it `k rm} ` it ` LEFT ( {k} over {n} ,~`e ^{{k} over {n}} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는

[eqn: e ^{{k} over {n}}]이다.

따라서 점 [eqn: rm `A _{it `k rm} ` it ` LEFT ( {k} over {n} ,~`e ^{{k} over {n}} RIGHT )]을 지나고 접선에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y-e ^{{k} over {n}} =- {1} over {e ^{{k} over {n}}} LEFT ( x- {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: y=0]일 때,[eqn: x= {k} over {n} +e ^{{2k} over {n}}]이므로 [eqn: bar{rmOP _{it`k}} `= {k} over {n} +e ^{{2k} over {n}}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{1} over {n}} sum _{k=1} ^{n} bar{rmOP _{it`k}} `= int _{0} ^{1} {LEFT ( x+e ^{2x} RIGHT )} `dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} e ^{2x} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = {e ^{2}} over {2}]

60 [정답] [eqn: 25]

해설

조건 (가)에서 함수[eqn: f(x)]는 증가함수이고 조건 (나)에서 [eqn: f ^{-1} (0)=0],[eqn: f ^{-1} (5)=5]이므로 조건을 만족시키는 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프 중 하나는 그림과 같다.

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) +f ^{-1} LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {5} over {n}}#]

[eqn: = int _{0} ^{5} {LEFT { f(x)+f ^{-1} (x) RIGHT }} `dx]

[eqn: = int _{0} ^{5} {f(x)} + int _{0} ^{5} {f ^{-1} (x)} dx]

[eqn: = int _{0} ^{5} {f(x)dx} + LEFT ( 25- int _{0} ^{5} {f(x)} dx RIGHT )]

[eqn: =25]

61 [정답] ➃

해설

[eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}}} dx]에서

[eqn: u(x)= LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}], [eqn: v`'(x)= {1} over {x ^{2}}]로 놓으면

[eqn: u`'(x)=2f(x)f`'(x)], [eqn: v(x)=- {1} over {x}]이므로

[eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}}} dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {x} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} RIGHT ] _{a} ^{2a} + int _{a} ^{2a} {{1} over {x} ․2f(x)f` prime (x)dx}]

[eqn: =- {1} over {2a} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} + {1} over {a} LEFT { f(a) RIGHT } ^{2} `+ int _{a} ^{2a} {{1} over {x} ·2f(x)f`'(x)} `dx]

그런데 [eqn: f(a)=0]이고, [eqn: f(2x)=2f(x)f`'(x)]에서

[eqn: f(2a)=2f(a)f`'(a)=0]이므로

[eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}}} `dx= int _{a} ^{2a} {{1} over {x} ․2f(x)f` prime (x)dx}]

[eqn: = int _{a} ^{2a} {{f(2x)} over {x}} `dx]

[eqn: 2x=t]로 놓으면[eqn: {dt} over {dx} =2]이고,

[eqn: x=a]일 때[eqn: t=2a],[eqn: x=2a]일 때 [eqn: t=4a]이므로

[eqn: int _{a} ^{2a} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}}} `dx``= int _{a} ^{2a} {{f(2x)} over {x}} `dx]

[eqn: = int _{2a} ^{4a} {{f(t)} over {t}} `dt=k]

62 [정답] ➂

해설

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} LEFT { cos LEFT ( - {pi } over {2} + {pi } over {n} RIGHT ) +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {2 pi } over {n} RIGHT ) RIGHT .}]

[eqn: LEFT . +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {3 pi } over {n} RIGHT ) +` CDOTS +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {n pi } over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {n}} sum _{k=1} ^{n} cos LEFT ( - {pi } over {2} + {k pi } over {n} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {pi } lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} cos LEFT ( - {pi } over {2} + {pi } over {n} k RIGHT ) · {pi } over {n}}]

[eqn: = {1} over {pi } int _{- {pi } over {2}} ^{- {pi } over {2} + pi } {cosx} `dx= {1} over {pi } int _{- {pi } over {2}} ^{````` {pi } over {2}} {cosx} `dx]

[eqn: = {2} over {pi } int _{0} ^{{pi } over {2}} {cosx`} `dx= {2} over {pi } LEFT [ sinx RIGHT ] _{{} _{0}} ^{{} ^{{pi } over {2}}} = {2} over {pi }]

63 [정답] ➁

해설

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{1} over {1+t ^{6}} dt}]에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f(0)=0]

또, [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{1} over {1+t ^{6}}} `dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)= {1} over {1+x ^{6}}]

[eqn: int _{0} ^{a} {{e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} `dx= int _{0} ^{a} {e ^{f(x)} f` prime (x)dx}}]

[eqn: e ^{f(x)} =t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =e ^{f(x)} f`'(x)]이고,

[eqn: x=0]일 때[eqn: t=1],[eqn: x=a]일 때[eqn: t= sqrt {e}]이므로

[eqn: int _{0} ^{a} {{e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}}} dx= int _{1} ^{sqrt {e}} {1} `dt= sqrt {e} -1]

64 [정답] ③

해설

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서

[eqn: f(x)=kx(x-2a)`(k>0)]로 놓을 수 있다.

한편, [eqn: F(x)=x int _{0} ^{x} {f(t)} `dt- int _{0} ^{x} {tf(t)} `dt]이므로

[eqn: F` prime `(x)= {d} over {dx} LEFT ( x int _{0} ^{x} {f(t)dt} RIGHT ) - {d} over {dx} int _{0} ^{x} {tf(t)} `dt]

[eqn: = int _{0} ^{x} {f(t)dt+xf(x)-xf(x)}]

[eqn: = int _{0} ^{x} {f(t)} dt]

[eqn: =k int _{0} ^{x} {eqalign{t(t-2a)dt# }}]

[eqn: =k LEFT [ {t ^{3}} over {3} -at ^{2} RIGHT ] _{0} ^{x}]

[eqn: =k LEFT ( {t ^{3}} over {3} -ax ^{2} RIGHT )]

[eqn: =kx ^{2} LEFT ( {x} over {3} -a RIGHT )]

[eqn: F``'(x)=0]에서 [eqn: x=0]또는 [eqn: x=3a]

따라서 구하는 모든 실근의 합은 [eqn: 0+3a=3a]이다.

65 [정답] ➃

해설

[eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT | x RIGHT | e ^{x}} `dx=- int _{-2} ^{0} {xe ^{x}} `dx+ int _{0} ^{2} {xe ^{x}} `dx]

[eqn: f(x)=x,`g`'(x)=e ^{x}]으로 놓으면 [eqn: f` prime (x)=1`,`g(x)=e ^{x}]이므로

[eqn: int _{-2} ^{0} {xe ^{x}} `dx= LEFT [ pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{{} _{-2}} ^{{} ^{0}} - int _{-2} ^{0} {e ^{x}} `dx]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} `xe ^{x} RIGHT ] _{{} _{-2}} ^{{} ^{0}} - LEFT [ pile{`#`} `e ^{x} RIGHT ] _{{} _{-2}} ^{{} ^{0}}]

[eqn: = {3} over {e ^{2}} -1]

[eqn: int _{0} ^{2} {xe ^{x}} `dx= LEFT [ pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{{} _{0}} ^{{} ^{2}} - int _{0} ^{2} {e ^{x}} `dx]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{{} _{0}} ^{{} ^{2}} - LEFT [ pile{`#`} e ^{x} RIGHT ] _{{} _{0}} ^{{} ^{2}}]

[eqn: =e ^{2} +1]

[eqn: THEREFORE int _{-2} ^{2} {LEFT | x RIGHT | e ^{x}} `dx=-( {3} over {e ^{2}} -1)+(e ^{2} +1)]

[eqn: =e ^{2} - {3} over {e ^{2}} +2]

66 [정답] [eqn: 20``]

[해설]

[출제의도] 적분구간이 상수인 경우 정적분의 값이 상수임을 알고 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[풀이]

[eqn: f(x)= 12 over 7 x^2 - 2 x ` int _ 1 ^2 f(t) `dt + left{ int _1 ^2 f(t) ` dt right }^2``]에서

[eqn: int _1 ^2 f(t) ` dt = a ``]([eqn: a``]는 상수)라 하면

[eqn: f(x) = 12 over 7 x^2 - 2ax + a^2``]

[eqn: therefore ```` a= int _1 ^2 f(x) ` dx``]

[eqn: = int _1 ^2 LEFT ( 12 over 7 x^2 - 2ax + a^2 RIGHT ) dx``]

[eqn: = left[ ` 4 over 7 x^3 - ax^2 + a^2 x ` right] _1^2``]

[eqn: = LEFT ( 32 over 7 - 4a + 2a^2 RIGHT )- LEFT ( 4 over 7 -a + a^2 RIGHT )``]

[eqn: = 4 -3a + a^2``]

즉, [eqn: a^2 - 4a + 4 = 0 ``]이므로 [eqn: a=2``]

[eqn: therefore ```` 10 int _1 ^2 f(x) ` dx = 10a = 20``]

67 [정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x) = int {f `prime (x) dx } ``]

[eqn: = int {{(x+2 ) rootx } over2x^2 dx ``]

[eqn: = int { left( 1 over {2root2} + 1 over {x rootx } right) dx ``]

[eqn: = rootx - 2 over rootx + C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f(1) = -1``]에서

[eqn: -1 + C =-1``] [eqn: therefore```` C =0``]

[eqn: therefore```` f(x) = rootx - 2 over rootx ````(x > 0 )``]

[eqn: g(t) = (t-2)f(t)``]라 하고, [eqn: g(t)``]의 부정적분 중 하나를 [eqn: G(t)``]라 하면

[eqn: lim_{x`->`2} {1 over { x-2} int_{4}^{x^2 } { (t-2) f(t) dt } = lim_{x`->`2} {1 over { x-2} int_{4}^{x^2 } { g(t) dt } ``]

[eqn: = lim_{x`->`2} { 1 over {x-2} left[ G(t) right]_{4}^{x^2}``]

[eqn: = lim_{x`->`2} { {G left( x^2 right) - G(4) } over{x-2} ``]

[eqn: = lim_{x`->`2} { { G left( x^2 right) - G(4) } over {x^2 -4} } times (x+2 ) ``]

[eqn: =4 G `prime(4)``]

[eqn: = 4g (4)``]

[eqn: = 4 cdot 2 f(4)``]

[eqn: = 8 left( root4 - 2 over root4 right)``]

[eqn: =8``]

68 [정답] [eqn: 16``]

[해설]

[출제의도] 정적분으로 표현된 함수를 미분할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[풀이]

[eqn: int _1 ^x f(t) ` dt = x^3 - 2ax ^2 + ax``]

양변에 [eqn: x=1 ``]을 대입하면

[eqn: 0=1-2a+a``]	[eqn: therefore ```` a=1``]

[eqn: therefore ```` int _1 ^x f(t) ` dt = x^3 - 2x^2 + x``]

양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) = 3x^2 - 4x +1``]

[eqn: therefore ```` f(3) = 27 - 12 + 1= 16``]

69 [정답] ④

[해설]

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 알고 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[풀이]

조건 (나)에서 양변을 [eqn: x ``]에 대하여 미분하면

[eqn: - sin ` x ` int _0 ^x f(t) ` dt + cos ` x times f(x) ``][eqn: = - cos ` x ` int _ { pi over 2 } ^x f(t) ` dt - sin ` x times f(x)``]

양변에 [eqn: x= pi over 4 ``]를 대입하면

[eqn: - root2 over 2 int _0 ^ { pi over 4 } f(t) ` dt + root2 over 2 f LEFT ( pi over 4 RIGHT )``][eqn: = - root2 over 2 int _{ pi over 4 } ^{ pi over 2 } f(t) ` dt - root2 over 2 f LEFT ( pi over 4 RIGHT )``]

[eqn: root2 f LEFT ( pi over 4 RIGHT ) = root2 over 2 int _0 ^ { pi over 4} f(t) ` dt + root2 over 2 int _{ pi over 4 } ^ { pi over 2 } f(t) ` dt``]

[eqn: = root2 over 2 int _ 0 ^ { pi over 2 } f(t) ` dt``]

[eqn: = root2 over 2 times 1 = root2 over 2 ``]	([eqn: because``] (가))

[eqn: therefore ```` f LEFT ( pi over 4 RIGHT ) = root2 over 2 times 1 over root2 = 1 over 2``]

70 [정답] ②

해설

[eqn: f(x) = ln ` x - int _1 ^e {f(t) } over x dt``][eqn: = ln ` x - 1 over x int _1 ^e f(t)` dt``]

[eqn: int _1 ^e f(t)` dt = a ``] ([eqn: a ``]는 상수)라 하면

[eqn: f(x) = ln ` x - a over x ``]이므로

[eqn: a= int _1 ^e LEFT ( ln ` x - a over x RIGHT ) dx``]

[eqn: = int _1 ^e ln ` x ` dx - a int _1 ^e 1 over x dx``]

[eqn: = left[ x ` ln ` x right] _1 ^e - int _1 ^e x ` cdot 1 over x dx - a left[ ln ` x right] _1 ^e``]

[eqn: = e - left[ `x `right] _1 ^e - a``]

[eqn: = 1-a``]

[eqn: therefore ```` a= 1 over 2``]

[eqn: therefore ```` f(x) = ln ` x - 1 over 2x``]

[eqn: therefore ```` f(1)= - 1 over 2 ``]

71 [정답]  ②

해설

[eqn: int _{1} ^{e} {{lnx} over {x ^{2}} dx= LEFT [ - {1} over {x} `lnx RIGHT ] _{1} ^{e}} - int _{1} ^{e} {LEFT ( - {1} over {x} BULLET {1} over {x} RIGHT ) dx}``]

[eqn: =- {1} over {e} + int _{1} ^{e} {{1} over {x ^{2}}} dx``]

[eqn: =- {1} over {e} + LEFT [ - {1} over {x} RIGHT ] _{1} ^{e}``]

[eqn: =- {1} over {e} - {1} over {e} +1``]

[eqn: =1- {2} over {e}``]

72 [정답] ⑤

해설

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {(x+cosx)sinxdx}``]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {x`sinxdx+ int _{0} ^{{pi } over {2}} {cosx`sinxdx}}``]

[eqn: = LEFT [ -x`cosx RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} + int _{0} ^{{pi } over {2}} {cosxdx} + {1} over {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin2xdx}``]

[eqn: =0+ LEFT [ sinx RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} + {1} over {2} LEFT [ - {1} over {2} `cos2x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}``]

[eqn: =1+ {1} over {2} ( {1} over {2} + {1} over {2} )``]

[eqn: = {3} over {2}``]

73 [정답] ②

해설

[eqn: f(x)=e ^{x} -e ^{-x} ``]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { 6x ^{2} +af(x) RIGHT } dx= int _{0} ^{1} {LEFT { 6x ^{2} +a(e ^{x} -e ^{-x} ) RIGHT } dx}}``]

[eqn: = LEFT [ 2x ^{3} +a(e ^{x} +e ^{-x} ) RIGHT ] ` _{0} ^{1}``]

[eqn: =2+a(e+e ^{-1} -2)``]

[eqn: f`'(x)=e ^{x} +e ^{-x} ``]이므로 [eqn: f`'(1)=e+e ^{-1}``]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { 6x ^{2} +af(x) RIGHT } dx=f`'(1)``}``]에서

[eqn: 2+a(e+e ^{-1} -2)=e+e ^{-1}``]

[eqn: a(e+e ^{-1} -2)=e+e ^{-1} -2``]

[eqn: THEREFORE ``a=1``]

74 [정답] ①

해설

[eqn: lnx=t``]라 놓으면 [eqn: {1} over {x} = {dt} over {dx}``]이고

[eqn: x=1``]일 때, [eqn: t=0``], [eqn: x=e``]일 때, [eqn: t=1``]이므로

[eqn: int _{1} ^{e} {{lnx} over {x+x(lnx) ^{2}}} dx= int _{1} ^{e} {{lnx} over {1+(lnx) ^{2}} BULLET {1} over {x}} dx``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {{t} over {1+t ^{2}} dt}``]

[eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{1} {{2t} over {1+t}} dt``]

[eqn: = {1} over {2} LEFT [ ln(1+t ^{2} ) RIGHT ] _{0} ^{1}``]

[eqn: = {1} over {2} `ln2``]

75 [정답] ④

해설

[eqn: int _{1} ^{{3} over {2}} {f(2x)} dx=7``]에서 [eqn: 2x=t``]로 놓으면 [eqn: int _{2} ^{3} {f(t)dt=14}``]

[eqn: int _{1} ^{{4} over {3}} {f(3x)} dx=1``]에서 [eqn: 3x=t``]로 놓으면 [eqn: int _{3} ^{4} {f(t)dt=3}``]

[eqn: THEREFORE `` int _{2} ^{3} {f(x)} dx+ int _{3} ^{4} {f(x)} dx= int _{2} ^{4} {f(x)} dx=17``]

[eqn: THEREFORE `` int _{20001} ^{2012} {f(x)dx= int _{2 TIMES 1000+1} ^{2 TIMES 1000+12} {f(x)dx= int _{1} ^{12} {f(x)dx}}}``]

[eqn: = int _{1} ^{2} {f(x)dx+ int _{2} ^{12} {f(x)dx}}``]

[eqn: = int _{3} ^{4} {f(x)dx+5 int _{2} ^{4} {f(x)dx}}``]

[eqn: =3+5 TIMES 17=88``]

76 [정답] ④

해설

[eqn: f`'(x)= {2x+3} over {x ^{2} +3x+1} ``]에서 [eqn: x ^{2} +3x+1=t``]로 놓으면

[eqn: 2x+3= {dt} over {dx``}``]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {{2x+3} over {x ^{2} +3x+1} dx= int _{} ^{} {{1} over {t} dt}}``]

[eqn: =ln LEFT | ``t`` RIGHT | +C``](단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: THEREFORE ``f(x)=ln LEFT | ``x ^{2} +3x+1`` RIGHT | +C``]

이 때, 곡선 [eqn: y=f(x)``]가 원점을 지나므로 [eqn: f(0)=C=0``]

[eqn: THEREFORE `f(x)=ln LEFT | ``x ^{2} +3x+1`` RIGHT |``]

[eqn: THEREFORE ``f(1)=ln5``]

77 [정답] ⑤

해설

[eqn: f`'(x)=lnx``]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {f`'(x)dx= int _{} ^{} {lnxdx}}``]

[eqn: u=lnx,````v`'=1``]로 놓으면

[eqn: u`'= {1} over {x} ,````v=x``]이므로

[eqn: f(x)=x`lnx- int _{} ^{} {{1} over {x} BULLET xdx}``]

[eqn: =x`lnx-x+C``](단, [eqn: C``]는 적분상수)

이때, [eqn: f(e ^{2} )=e ^{2} ``]이므로

[eqn: f(e ^{2} )=e ^{2} `lne ^{2} -e ^{2} +C``]

[eqn: =2e ^{2} -e ^{2} +C``]

[eqn: =e ^{2} +C=e ^{2}``]

[eqn: THEREFORE ``C=0``]

[eqn: THEREFORE ``f(x)=x`lnx-x``]

곡선 [eqn: y=f(x)``]가 점 [eqn: (a,````2a)``]를 지나므로

[eqn: f(a)=a`lna-a=2a``]

[eqn: a`lna=3a``]

[eqn: lna=3``( THEREFORE ``a>0)``]

[eqn: THEREFORE ``a=e ^{3}``]

78 [정답] ⑤

해설

[eqn: lim _{h-> 0} {{f(x+h)-f(x-h)} over {h}}``]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{f(x+h)-f(x)- LEFT { f(x-h)-f(x) RIGHT }} over {h}}``]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h} + lim _{h-> 0} {{f(x-h)-f(x)} over {-h}}}``]

[eqn: =2f`'(x)``]

즉, [eqn: 2f`'(x)=2e ^{x} `cosx``]이므로 [eqn: f`'(x)=e ^{x`} `cosx``]

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {e ^{x} `cosxdx}``]

[eqn: =e ^{x`} `cosx- int _{} ^{} {e ^{x} (-sinx)dx}``]

[eqn: =e ^{x} `cosx+ int _{} ^{} {e ^{x} ``sinxdx}``]

[eqn: =e ^{x} `cosx+e ^{x} `sinx- int _{} ^{} {e ^{x} ``cosxdx}``]

[eqn: =e ^{x} `cosx+e ^{x} `sinx-f(x)``]

[eqn: THEREFORE ``f(x)= {1} over {2} e ^{x} (cosx+sinx)+C``](단, [eqn: C``]는 적분상수)

이때, [eqn: f(0)=-1``]이므로

[eqn: {1} over {2} +C=-1~~~~ THEREFORE ``C=- {3} over {2}``]

[eqn: THEREFORE ``f(x)= {1} over {2} e ^{x} (cosx+sinx)- {3} over {2}``]

[eqn: THEREFORE ``f( pi )= {1} over {2} e ^{pi } (-1+0)- {3} over {2}``]

[eqn: =- {1} over {2} (e ^{pi } +3)``]

79 [정답] ⑤

해설

[eqn: xf(x)=F(x)+x ^{2} e ^{x}``]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠``]

양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+xf`'(x)=f(x)+2xe ^{x} +x ^{2} e ^{x}``]

[eqn: xf`'(x)=2xe ^{x} +x ^{2} e ^{x}``]

[eqn: THEREFORE ``f`'(x)= LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x}``]

[eqn: THEREFORE ``f(x)= int _{} ^{} {f`'(x)dx= int _{} ^{} {LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x} dx}}``]

[eqn: = LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x} - int _{} ^{} {e ^{x} dx}``]

[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x} +C``](단, [eqn: C``]는 적분상수)[eqn: CDOTS CDOTS ㉡``]

[eqn: ㉠``] 에서 [eqn: x=1 ``]을 대입하면

[eqn: f(1)=F(1)+e=2e``(`` BECAUSE ``F(1)=e``)``]

[eqn: ㉡``] 에서 [eqn: f(1)=2e+C=2e~~~~~ THEREFORE ``C=0``]

[eqn: THEREFORE ``f(x)= LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x}``]

[eqn: THEREFORE ``f(2)=3e ^{2}``]

80 [정답] ①

해설

조건 [eqn: (가)``]에서

[eqn: x>0``]일 때,

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {cos ^{2} xdx}``]

[eqn: = int _{} ^{} {{1+cos2x} over {2}} dx``]

[eqn: = {1} over {2} x+ {1} over {4} `sin2x+C _{1} ``](단, [eqn: C _{1} ``]는 적분상수)

[eqn: x<0``]일 때,

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {kxdx= {k} over {2} x ^{2} +C _{2} ``}``](단, [eqn: C _{2} ``]는 적분상수)

조건 [eqn: (나)``]에서

[eqn: f( pi )= {pi } over {2} +C _{1} = pi ~~~~ THEREFORE ``C _{1} = {pi } over {2}``]

[eqn: f(-1)= {k} over {2} +C _{2} =0~~~~ THEREFORE ``C _{2} =- {k} over {2}``]

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이므로

[eqn: C _{1} =C _{2}``]

[eqn: THEREFORE ``k=- pi ``]

81 [정답] [eqn: 12``]

해설

[eqn: int _{0} ^{x} {} (x-t) LEFT { f(t) RIGHT } ^{{} ^{2} `} `dt=6 int _{0} ^{1} {x ^{3} (x-t) ^{2} `dt``}``]에서

[eqn: x int _{0} ^{x} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} `dt- int _{0} ^{x} {t LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} `dt=6 int _{0} ^{1} {x ^{3} (x-t) ^{2} `dt}}}``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: 6 int _{0} ^{1} {x ^{3} (x-t) ^{2} `dt} =6 int _{0} ^{1} {(x ^{5} -2x ^{4} t+x ^{3} t ^{2} )`dt}``]

[eqn: =6 LEFT [ x ^{5} t-x ^{4} t ^{2} +x ^{3} cdot {1} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}``]

[eqn: =6 LEFT ( x ^{5} -x ^{4} + {1} over {3} x ^{3} RIGHT )``]

㉠의 양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{0} ^{x} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} `dt+x LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -x LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} =6(5x ^{4} -4x ^{3} +x ^{2}} )``]

[eqn: THEREFORE `` int _{0} ^{x} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} `dt=6(5x ^{4} -4x ^{3} +x ^{2} )}``]

따라서 구하는 회전체의 부피 [eqn: V``]는

[eqn: V=pi int _{0} ^{1} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} `dt=6pi(5-4+1)=12pi}``]

[eqn: THEREFORE ``a=12``]

82 [정답] ①

[해설] 두 곡선 [eqn: y = 3 left (e^x -1 right),```` y = e^2x -1 ``]의 교점의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: 3 left( e^x -1 right) = e^2x -1``]

[eqn: left( e^x right)^2 - 3 e^x + 2 =0``]

[eqn: left( e^x -1 right) left( e^x -2 right) =0``]

[eqn: e^x =1``] 또는 [eqn: e^x =2``]

[eqn: therefore```` x=0``] 또는 [eqn: x =ln `2``]

따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S = int _{0}^{ ln`2 } { left{ 3 left( e^x -1 right) - left(e^2x -1 right) right} dx } ``]

[eqn: = int _{0}^{ln`2} { left( - e^2x + 3 e^x -2 right) dx } ``]

[eqn: = left[ - 1 over 2 e^2x + 3 e^x - 2x right]_{0}^{ln`2} ``]

[eqn: = left(- 1 over 2 e^ {2`ln`2} + 3e^{ln`2} -2`ln`2 right) - left( - 1 over 2 + 3 right) ``]

[eqn: = (4-2`ln `2 ) - 5 over 2``]

[eqn: = 3 over 2 - 2`ln`2``]

[참고]

[eqn: f(x) = left( e^2x -1 right) - 3 left( e^x -1 right) = e^2x - 3e^x +2 ``]라 하면

[eqn: f prime (x) = 2 e^ 2x - 3 e^x = 2e^x left( e^x - 3 over 2 right)``]

[eqn: f prime (x) = 0``]에서 [eqn: x = ln 3 over2 ``]

[eqn: x < ln 3 over2 ``]일 때 [eqn: f prime (x) < 0 ,```` x > ln 3 over 2 ``]일 때 [eqn: f prime (x) > 0``]이므로

[eqn: f(x)``]는 [eqn: x = ln 3 over 2 ``]에서 극솟값 [eqn: f left( ln 3 over 2 right) = left( 3 over 2 right) ^2 - 3 cdot 3 over2 + 2 = - 1 over 4 ``]을 갖는다.

또한. [eqn: f(0) = f( ln`2 ) = 0``]이므로 [eqn: y = f(x) ``]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: 0 < x < ln`2``]일 때,

[eqn: f(x) < 0``], 즉 [eqn: left ( e^2x - 1 right) - 3 left( e^x - 1 right) < 0``]

[eqn: therefore```` 3 left( e^x -1 right) > e^2x -1 ``]

83 [정답] [eqn: 7``]

[해설] 삼각함수 [eqn: f(x),````g(x)"``]의 주기는 각각 [eqn: 4a ,```` 8a``]이고, 최댓값이 각각 [eqn: 3b,````2b``]이므로

[eqn: f(x) = 3b`sin pi over 2a x ,```` g(x) = 2b`sin pi over 4a x ``]

두 점 [eqn: rm O,```` A``]를 지나는 직선을 [eqn: l_1``], 두점 [eqn: rm O,````B``]를 지나는 직선을 [eqn: l_2``]라 하면 [eqn: l_1 : y = 3b over a x ,```` l_2 : y = b over a x ``]

곡선 [eqn: y = f(x)``]와 직선 [eqn: l_1``]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S_1``]은

[eqn: S_1 = int _{0}^{a } {left( 3b`sin pi over 2a x - 3b over a x right) dx}``]

[eqn: = left[- 6ab over pi `cos` pi over 2a x - 3b over 2a x^2 right]_{0}^{a}``]

[eqn: = - 3 over 2 ab + 6 over pi ab``]

[eqn: = 3 over 2 ab left( - 1 + 4 over pi right) ``]

곡선 [eqn: y = g(x) ``]와 직선 [eqn: l_2``]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S_2``]는

[eqn: S_2 = int_{0}^{2a}{ left( 2b`sin pi over 4a x - b over a x right) dx } ``]

[eqn: = left[ - 8ab over pi `cos pi over 4a x - b over 2a x^2 right]_{0}^{2a}``]

[eqn: = -2ab + 8 over pi ab``]

[eqn: = 2ab left( -1 + 4 over pi right) ``]

[eqn: therefore```` S_1 over S_2 = { 3 over 2 ab left( -1 + 4 over pi right) } over { 2ab left( -1 + 4 over pi right)} = 3 over 4 ``]

[eqn: therefore```` p +q = 4 +3 =7``]

84 [정답] ③

해설

곡선 [eqn: y= sqrt {x} ``]위의 임의의 점 [eqn: rmP(itx,~ sqrt {x} )``]를 직선 [eqn: y=1``]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP'``]의 좌표를 [eqn: rmP'(itX,~Y)``]라 하면

[eqn: X=x,~ {Y+ sqrt {x}} over {2} =1``]이므로

[eqn: {Y+ sqrt {X}} over {2} =1,~Y=- sqrt {X} +2``]

[eqn: THEREFORE ``g(x)=- sqrt {x} +2``]

따라서 구하는 회전체의 부피를 [eqn: V``]라 하면

[eqn: V=pi int _{0} ^{1} {(- sqrt {x} +2) ^{2} `dx} -pi int _{0} ^{1} {( sqrt {x} ) ^{2} `dx}``]
[eqn: =pi int _{0} ^{1} {(x-4 sqrt {x} +4)`dx-pi int _{0} ^{1} {x`dx}}``]
[eqn: =pi LEFT [ {1} over {2} x ^{2} - {8} over {3} x sqrt {x} +4x RIGHT ] _{0} ^{1} -pi LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}``]
[eqn: =pi LEFT ( {1} over {2} - {8} over {3} +4 RIGHT ) - {1} over {2} pi``]
[eqn: = {4} over {3} pi``]

85 [정답] ②

해설

[eqn: y= sqrt {e ^{x} -1} ``]에서 [eqn: e ^{x} =y ^{2} +1,~x=ln(y ^{2} +1)``]

점 [eqn: rm P(0,~ity,~0)``]일 때, [eqn: rm Q(ln(ity ^{2} +1),~y,~0),~rmR(0,~ity,~y)``]이므로

[eqn: rm bar{PQ} =ln(ity ^{2} +1),~rm bar{PR} =ity``]

따라서 직각삼각형 [eqn: rmPQR``]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} rm bar{PQ} cdot bar{PR} = {1} over {2} ity`ln(y ^{2} +1)``]

점 [eqn: rmP``]가 원점 [eqn: rmO``]에서 점 [eqn: (0,~1,~0)``]까지 움직일 때, 삼각형 [eqn: rmPQR``]가 나타내는 입체도형의 부피를 [eqn: V``]라 하면

[eqn: V= {1} over {2} int _{0} ^{1} {y`ln(y ^{2} +1)`dy}``]

[eqn: y ^{2} +1=t``]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dy} =2y``]이고,

[eqn: y=0``]일 때, [eqn: t=1,~y=1``]일 때 [eqn: t=2``]이므로

[eqn: V= {1} over {2} int _{1} ^{2} {y`ln t cdot {1} over {2y} `dt}``]
[eqn: = {1} over {4} int _{1} ^{2} {lnt`dt}``]
[eqn: = {1} over {4} LEFT ( LEFT [ pile{#} t`lnt RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {1`dt} RIGHT )``]
[eqn: = {1} over {4} (2`ln2-1)``]
[eqn: = {1} over {2} `ln2- {1} over {4}``]

86 [정답] ⑤

해설

두 구간 [eqn: [2n-2,~2n-1],~[2n-1,~2n]``]에서 [eqn: v(t)``]의 그래프는 다음과 같다.

이때, 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점 [eqn: (2n-2,~2n-2),~(2n,~2n)``]을 이은 선분의 중점이 점 [eqn: (2n-1,~2n-1)``]이므로 두 그래프는 점 [eqn: (2n-1,~2n-1)``]에 대하여 대칭이다. 따라서 곡선과 두 직선
[eqn: x=2n-1,~y=2n-2``]로 둘러싸인 부분 [eqn: A``]의 넓이와 곡선과 두 직선 [eqn: x=2n-1,~y=2n``]으로 둘러싸인 부분 [eqn: B``]의 넓이가 같다.

시각 [eqn: t=2n-2``]에서 [eqn: t=2n``]까지 점 [eqn: rmP``]가 실제로 움직인 거리를 [eqn: s(n)``]이라 하면

[eqn: s(n)= int _{2n-2} ^{2n} {v(t)`dt=1cdot(2n-2)+1cdot2n=4n-2}``]

따라서 시각 [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=2n``]까지 점 [eqn: rmP``]가 실제로 움직인 거리 [eqn: f(2n)``]은

[eqn: f(2n)= int _{0} ^{2n} {v(t)`dt}``]

[eqn: = int _{0} ^{2} {v(t)`dt+ int _{2} ^{4} {v(t)`dt+ CDOTS + int _{2n-2} ^{2n} {v(t)`dt}}}``]

[eqn: =s(1)+s(2)+ CDOTS +s(n)``]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} s(k)``]

[eqn: =4cdot {n(n+1)} over {2} -2n``]

[eqn: =2n ^{2}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n-> INF } {{f(2n)} over {n ^{2} +1} = lim _{n-> INF } {{2n ^{2}} over {n ^{2} +1}} =2}``]

[다른풀이]

[eqn: int _{2n-2} ^{2n} {v(t)`dt}``]

[eqn: = int _{2n-2} ^{2n-1} {v(t)`dt+ int _{2n-1} ^{2n} {v(t)}} `dt``]

[eqn: = int _{2n-2} ^{2n-1} {LEFT { (t-2n+2) ^{2} +2n-2 RIGHT } `dt+ int _{2n-1} ^{2n} {LEFT { -(t-2n) ^{2} +2n RIGHT } `dt}}``]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} (t-2n+2) ^{3} +(2n-2)t RIGHT ] _{2n-2} ^{2n-1} + LEFT [ - {1} over {3} (t-2n) ^{3} +2nt RIGHT ] _{2n-1} ^{2n}``]

[eqn: = LEFT ( {1} over {3} +2n-2 RIGHT ) + LEFT ( - {1} over {3} +2n RIGHT )``]

[eqn: =4n-2``]

87 [정답] ③

해설

[eqn: y= 1+ log`_2` x ``]이므로 [eqn: x= 2^y-1 ``]이다.

[eqn: t``]초 후의 높이가 [eqn: h(t)`( rm cm)``], 물의 부피가 [eqn: V(t) ` (rm cm^3 )``]일 때,

[eqn: V(t) = pi int _{ 0} ^{h(t) } {` x^2 }`dy= pi int _{ 0} ^{h(t) } {`4^y-1 }`dy``]

양변을 [eqn: t``]에 대하여 미분하면 [eqn: { dV(t)} over dt = pi `4^h(t)-1 times {dh(t)} over dt``]

매초 [eqn: 12`pi ` rm cm^3 ``]의 일정한 비율로 물을 넣고 있으므로

[eqn: { dV(t)} over dt = 12`pi``]   [eqn: therefore `` 12 `pi = pi `4^h(t)-1 times {dh(t)} over dt``]

수면이 상승하는 속도가 [eqn: 6`` rm cm/초``]가 되는 순간의 수면의 높이는 [eqn: a``rm cm``]이므로 [eqn: 12 `pi = pi ` 4^a-1 times 6 `,```` 4^a-1 =2``]

[eqn: a-1 = 1over2 ``]  [eqn: therefore a = 3over2``]

88 [정답] ⑤

해설

ㄱ. 점 [eqn: rm P``]는 [eqn: v_1 (t) =0``]일 때, 방향을 바꾸므로 [eqn: t=a``]또는 [eqn: t=b``]일 때 방향을 두 번 바꾸었다. (참)

ㄴ. 점 [eqn: rm P``]는 [eqn: t=a``]까지 수직선의 양의 방향으로 움직이고, [eqn: t=a``]에서 [eqn: t=b``]까지 수직선의 음의 방향으로 움직인다. 또한, 점 [eqn: rm Q``]는 출발 후 [eqn: t=b``]까지 수직선의 양의 방향으로만 움직인다.

그런데 [eqn: t=b``]에서 두 점 [eqn: rm P, ````Q``]의 위치가 같으므로 [eqn: t=a``]일 때, 점 [eqn: rm P``]는 점 [eqn: rm Q``]의 다음에 있다. (참)

ㄷ.

위의 그림에서 [eqn: int _{ b} ^{c } {v_1 (t) `dt} `< ` int _{ b} ^{c } {v_2 (t) } `dt``]이므로 [eqn: t=b``]에서 [eqn: t=c``]까지 점 [eqn: rm P``]가 움직인 거리는 점 [eqn: rm Q``]가 움직인 거리보다 작다.

이때, [eqn: t=b``]에서 두 점 [eqn: rm P,````Q``]의 위치가 같으므로 [eqn: t=c``]일 때 점 [eqn: rm P``]는 점 [eqn: rm Q``]의 왼쪽에 있다. (참)

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

89 [정답] [eqn: 78``]

해설

[eqn: y= 1over3 ( x^2 + 2)^{3over2} ``]이므로

[eqn: y`' = 3over2 cdot 1over3 (x^2 +2 )^ {1over2} cdot 2x = x root {x^2 +2}``]

따라서 구하는 곡선의 길이 [eqn: l``]은

[eqn: l= int _{ 0} ^{6 } {root {1+ (y`')^2 } ` dx }``]

[eqn: = int _{ 0} ^{6 } { root {1+ x^4 +2x^2 }}`dx``]

[eqn: = int _{ 0} ^{6 }(x^2 +1) `dx``]

[eqn: = left[ x^3 over 3 +x right]_0 ^6``]

[eqn: = 78``]

90 [정답] [eqn: 64``]

해설

[eqn: dx over dt = 4 (- sin`t + cos`t ), ```` dy over dt = -2 sin`2t``]이므로

[eqn: left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2 = 16 (-sin` t+ cos` t )^2 + 4 sin ^2 `2t``]

[eqn: = 4( sin ^2 `2t - 4sin `2t +4 )``]

[eqn: = 4(2 -sin` 2t )^2``]

점 [eqn: rm P``]가 [eqn: t=0``]에서 [eqn: t= 2pi``]까지 움직인 거리 [eqn: l``]은

[eqn: l= int _{ 0} ^{2pi } {root {left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2 } `dt}``]

[eqn: = int _{ 0} ^{2pi } { 2(2-sin` 2t ) `dt}``]

[eqn: = 2 left[ 2t + {cos ` 2t} over 2 right] _0 ^ 2pi``]

[eqn: = 8pi``]

[eqn: therefore `` a=8``]

[eqn: therefore `` a^2 =64``]

91 [정답] ④

출제의도 : 치환을 이용하여 정적분을 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x ^{2}} + int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} ``]에서 [eqn: int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT )} dt=a``]라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x ^{2}} +a``]이므로

[eqn: a= int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} ``]

[eqn: = int _{0} ^{t} {t LEFT ( e ^{t ^{2}} +a RIGHT )} dt``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( te ^{t ^{2}} +at RIGHT )} dt``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {te ^{t ^{2}} dt} + LEFT [ {a} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} ``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {te ^{t ^{2}}} + {a} over {2} ``]

[eqn: t ^{2} =z``]로 놓으면

[eqn: t=0``]일 때 [eqn: z=0``], [eqn: t=1``]일 때 [eqn: z=1``]이고, [eqn: 2t= {dz} over {dt} ``]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {te ^{t ^{2}} dt} = int _{0} ^{1} {{e ^{z}} over {2}} dz= LEFT [ {e ^{z}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {e} over {2} - {1} over {2} ``]

따라서 [eqn: a= {e} over {2} - {1} over {2} + {a} over {2} ``]에서 [eqn: a=e-1``]

[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT )} dx= int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} =a=e-1``]

92 [정답] ①

[eqn: int _{ -2} ^{2 } {f(-x) }dx]에서 [eqn: -x =t]로 놓으면

[eqn: x=-2]일 때, [eqn: t=2,~x=2]일 때, [eqn: t=-2]이고, [eqn: -1= { dt} over {dx }]이므로

[eqn: int _{ -2} ^{2 } {f(-x) }dx = int _{ 2} ^{-2 } {f(t)(-1)) }dt]

[eqn: = int _{ -2} ^{2 } {f(t) }dt]

[eqn: =int _{ -2} ^{2 } {f(x) }dx]

∴ [eqn: int _{-2} ^{2} {} LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } dx=2 int _{-2} ^{2} {f(-x)} dx ~cdots cdots㉠]

또한,

[eqn: int _{-2} ^{2} {} LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } dx= int _{-2} ^{2} {(6x^2 +10)} dx]

[eqn: =2 int _{ 0} ^{2 } {(6x^2 +10) } dx]

[eqn: = 2 LEFT [ pile{#} 2x^3 + 10x ``RIGHT ]_{0}^{2}]

[eqn: =2(16+20)=72~~cdots cdots ㉡]

따라서 ㉠,㉡에서 [eqn: 2int _{ -2} ^{2 } {f(-x) }dx =72] 이므로

[eqn: int _{ -2} ^{2 } {f(-x) }dx =36]

93 [정답] [eqn: 63]
[eqn: f(x)= x^3 + ax^2 +(2a-3)x +1]에서
[eqn: f`'(x) = 3x^2 + 2ax + (2a-3)]
삼차함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖지 않으므로 이차방정식 [eqn: f`'(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: { D} over {4 } =a^2 -3(2a-3)≤0]에서
[eqn: a^2 -6a+9≤0,~(a-3)^2 ≤0]
∴ [eqn: a=3]
∴[eqn: f(x)= x^3 + 3x^2 + 3x +1 =(x+1)^3]
∴[eqn: int _{ 2} ^{5 } { { f(x)} over { x+1} dx} &= int _{ 2} ^{5 } { {(x+1)^3} over { x+1} dx}# &= int _{ 2} ^{5 } { (x+1)^2 dx}# &= int _{ 2} ^{5 } { (x^2 + 2x+1) dx}# &= LEFT [ { x^2} over {3 } + x^2 + x RIGHT ]_{2}^{5}# &= LEFT ( { 125 } over {3 }+25+5 RIGHT ) - LEFT ( { 8} over {3 } +4+2 RIGHT )# &=63]

94 [정답] ③

출제의도 : 함수의 대칭성을 이용하여 정적분의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) ``]이므로

[eqn: int _{-3} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=2 int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=18``]에서

[eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=9``]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT )} dx=4``]

[eqn: THEREFORE ~ int _{-1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT )} dx``]

[eqn: =4+9``]

[eqn: =13``]

95 [정답] ④

출제의도 : 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) ``]에서 [eqn: x=a``]일 때

[eqn: f LEFT ( 2a RIGHT ) =2f LEFT ( a RIGHT ) f`' LEFT ( a RIGHT ) ``]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0``]이므로

[eqn: f LEFT ( 2a RIGHT ) =2 TIMES 0 TIMES f` prime LEFT ( a RIGHT ) =0``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: int _{2a} ^{4a} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} =k``]에서 [eqn: x=2t``]로 놓으면

[eqn: x=2a``]일 때 [eqn: t=a``], [eqn: x=4a``]일 때 [eqn: t=2a``]이고, [eqn: {dx} over {dt} =2``]이므로

[eqn: int _{2a} ^{4a} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} dx} = int _{a} ^{2a} {{f LEFT ( 2t RIGHT )} over {2t} CDOT 2dt} ``]

[eqn: = int _{a} ^{2a} {{f LEFT ( 2t RIGHT )} over {t} dt} =k``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

[eqn: THEREFORE ~ int _{a} ^{2a} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2}} dx} ``]

[eqn: = LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} CDOT LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ] _{a} ^{2a} - int _{a} ^{2a} {2f LEFT ( x RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) CDOT LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) dx} ``]

[eqn: = LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} CDOT LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ] _{a} ^{2a} + int _{a} ^{2a} {{1} over {x} CDOT f LEFT ( 2x RIGHT ) dx} ``]

[eqn: =- {LEFT { f LEFT ( 2a RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2a} + {LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {a} +k``]([eqn: BECAUSE ``]㉡)

[eqn: =0+0+k``]([eqn: BECAUSE ``]㉠)

[eqn: =k``]

96 [정답] ⑤

해설

[eqn: f'(x)= tanx + tan^2 x +tan^3 x]이므로

[eqn: f(x)&=int { (tanx +tan^2 x+ tan^3 x) dx } #&=int { left{sec^2 x -1 +tanx(1+tan^2 x ) right} dx}#&=tanx - x +int {tanx sec^2 x dx}]

[eqn: tanx=t]로 놓으면, [eqn: sec^2 x = dt over dx]이므로,

[eqn: int {tanx sec^2 x dx }&=int {t} dt #&= 1 over 2 t^2 +C ~(C는 ~적분상수) #&= 1 over 2 rm tan^2 it x +C #]

[eqn: therefore f(x) = tanx - x+ {1} over {2} rm tan^2 it x+C]

[eqn: f(0) = pi over 3]이므로 [eqn: C= pi over 3]

[eqn: therefore f(x) = tanx - x + 1 over 2 rm tan^2 it x + pi over 3]

[eqn: therefore f left ( pi over 3 right) &= sqrt3 - pi over 3 + 1 over 2 times (sqrt3 )^2 + pi over3 #&= 3 over 2 + sqrt3]

97 [정답] ⑤

해설

[eqn: f(x) = F(x) +e^x sinx]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x) = f(x) + e^x sinx + e^x cosx~~~~~~~ cdotscdots ㉠]

[eqn: g(x) = e^-x f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면,

[eqn: g prime (x) & =-e ^{-x} f(x)+e ^{-x} f prime (x)# & =e ^{-x} LEFT { f prime (x)-f(x) RIGHT }# & =e ^{-x} (e ^{x} sinx+e ^{x} cosx)~~( BECAUSE ㉠`)# & = sin x + cos x]

[eqn: THEREFORE ~`g(x) & = int _{} ^{} {(sinx+cosx)dx}# & =-cosx+sinx+C~(C``는~적분상수)~~~~~~~ CDOTS cdots ㉡]

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: g(0)`=`e ^{0}f(0)=1]

따라서 [eqn: ㉡]에서 [eqn: g(0) = -1 +0 +C =1]이므로

[eqn: C=2]

[eqn: therefore ~g(x)= -cosx+sinx+2]

[eqn: therefore ~g left ( pi over 2 right)& = -cos pi over 2 +sin pi over 2 +2 #&=0+1+2=3]

98 [정답] ④

해설

[eqn: f prime (x)= {cases{cosx~~~~~&(x>0)#k`sinx&(x<0)}}]에서

[eqn: f(x)= {cases{sinx+C _{1} ~~~~~&(x>0)# -k cosx+C_2&(x<0)}}]  [eqn: (C_1 ,`C_2 `는 ~적분상수)]

[eqn: f(pi) =2]이므로 [eqn: sin pi +C_1 =2]에서

[eqn: C_1 =2]

[eqn: f(-pi) =8]이므로 [eqn: -k cos(- pi) + C_2 =8]에서

[eqn: k+C_2 = 8 ~~~~~ cdots cdots ㉠]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim_x->-0 {(-k cosx +C_2 ) = lim _x->+0 {(sinx +2)]

[eqn: THEREFORE `-k+C _{2} =2~~~~~ CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠,``㉡]에서

[eqn: k=3,~C _{2} =5]

즉, [eqn: f(x)`=` {cases{sinx+2~~~~~&(x GEQ 0)#-3cosx+5&(x`<0)}}]이므로 [eqn: -2pi le x le2 pi]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f left( pi over 6 right)= sin pi over 6 +2 = 5 over2]이므로 [eqn: -2 pi le x le 2 pi]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y= 5 over2]의 교점은 [eqn: 4]개다.

따라서 구하는 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

99 [정답] ④

해설

[eqn: int _{} ^{} {e ^{x} lnxdx} & =e ^{x} lnx- int _{} ^{} {e ^{x} CDOT {1} over {x}} dx# & =e ^{x} lnx- LEFT { e ^{x} CDOT {1} over {x} - int _{} ^{} {LEFT . LEFT . e ^{x} LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) dx RIGHT . RIGHT }} RIGHT .]

[eqn: ~~=e ^{x} lnx- {e ^{x}} over {x} - int _{} ^{} {{e ^{x}} over {x}^2 dx]

이므로

[eqn: int { e^x lnx dx} + int { e^x over x^2 dx = e^x lnx - e^x over x +C ~(C는 ~적분상수)]

즉, [eqn: int { e^x left(lnx + 1 over x^2 right) dx = e^x lnx - e^x overx + C] 이므로

[eqn: f(x) = e^x lnx - e^x over x +C]

[eqn: f(1) = -e]이므로 [eqn: -e +C =-e]에서 [eqn: C=0]

[eqn: therefore`f(x) = e^x lnx - e^x over x]

[eqn: therefore `f(e) = e^e - e^e over e = e^e -e^e-1]

100 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로,

[eqn: f(g(x))=x]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(g(x))g'(x)=1~~~cdotscdots ㉠]

주어진 조건에서

[eqn: f'(g(x))=1+left{ f(g(x)) right} ^2 = 1+x^2]

이므로 ㉠에서

[eqn: g'(x) = 1 over 1+x^2]

[eqn: therefore g'(1) = 1 over 2]

[eqn: g(x) = int {1 over1+x^2 dx}] 이므로 [eqn: x= tan theta ~left( - pi over2 < theta < pi over 2 right)]로 놓으면 [eqn: dx over { d theta} = sec^2 x] 이다.

[eqn: therefore `g(tan theta) &= int { {sec^2 theta } over{1+ tan^2 theta} {d theta }} #& = int { {sec^2 theta } over{sec^2 theta} d theta} #&= int { 1 d theta } = theta+C ~(C는 ~적분상수)]

[eqn: f(0) =0]에서 [eqn: g(0) =0]이고, [eqn: 0=tan theta]에서 [eqn: theta = 0]이므로, [eqn: g(0)=0+C=0~~~~~~therefore C=0]

[eqn: therefore`g(tan theta)=theta]

[eqn: 1=tan theta]에서 [eqn: theta= pi over 4]이므로 [eqn: g(1) = pi over 4]

[eqn: therefore g'(1) times g(1) = 1 over2 times pi over4 = pi over8]

101 [정답] [eqn: bold①]

[eqn: rmangleBAP_{itk}= pi over3 cdot it k overn ```(k= 1,``2,``3,``cdots,``n)]이고,

[eqn: rmangleAP_{itk}B = angleACB = pi over3]이므로

[eqn: rmangleABP_{itk}=it pi - {piitk}over 3n}- pi over3 = 2 over3 pi - pik over3n]

삼각형 [eqn: rmABP_{itk}]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 사인법칙에

의하여

[eqn: {rmbarAP_{itk}}over{sin left( 2 over3 pi - pik over3n right) }= 2 times1]

[eqn: therefore``{rmbarAP_{itk}}= sin left( 2 over3 pi - pik over3n right)]

[eqn: therefore``lim_n->inf {pi overn}{sum_k=1^n}{rmbarAP_{itk}} &= lim_n->inf{piovern}{sum_k=1^n}{2sin left(2 over3 pi - pik over3n right)}#&= int_0 ^pi {2sin left( 2 over3 pi - x over3 right) dx}]

[eqn: 2over3 pi - x over3 =t]로 놓으면

[eqn: x=0]일 때, [eqn: t = 2 over3 pi], [eqn: x=pi]일 때 [eqn: t= pi over3]이고, [eqn: - 1over3 = dt overdx]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{pi } over {n}} sum _{k=1} ^{n} rm bar{AP _{it k rm}} it & = int _{0} ^{pi } {2sin LEFT ( {2} over {3} pi - {x} over {3} RIGHT )} dx# & = int _{{2} over {3} pi } ^{{pi } over {3}} {2sint CDOT (-3)dt}# & =6 int _{{pi } over {3}} ^{{2} over {3} pi } {sint`dt}# & =6 LEFT [ pile{#} -cost RIGHT ] _{{pi } over {3}} ^{{2} over {3} pi }# & =6 left( 1over2 + 1over2 right)=6]

102 [정답] [eqn: bold⑤]

ㄱ. [eqn: f(x)= int_-2^x {(2-vertt vert)dt]에서 [eqn: f prime (x)=2 - vertx vert]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime (x)]의 값이 존재한다. 즉 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능하다. (참)

ㄴ. [eqn: f prime (x)= 2 - vertx vert=0]에서 [eqn: x=-2]또는 [eqn: x=2]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-2]에서 극솟값을 갖고, [eqn: x=2]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f(-2)= int_-2 ^-2 {(2 - vert t vert)dt}=0]

[eqn: f(5) & = int _{-2} ^{5} {(2- vert t vert )dt}# & = int _{-2} ^{0} {(2+t)dt} + int _{0} ^{5} {(2-t)dt}# & = LEFT [ 2t+ {t ^{2}} over {2} RIGHT ] _{-2} ^{0} + LEFT [ 2t- {t ^{2}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{5}# & =0-(-4+2)+ LEFT ( 10- {25} over {2} RIGHT )# & =- {1} over {2}]

이므로 ㄴ 에 의해 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: x]축의 다른 한 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근은 [eqn: x=-2,```x=alpha]의 두 개이고, 이들은 모두 [eqn: 5]보다 작다.(참)

따라서 옳은 것은 [eqn: ㄱ,ㄴ,ㄷ]이다.

103 [정답] [eqn: bold 280]

[eqn: F ``prime(x)=f(x)]라 하면

[eqn: int_x^x+3 {f(t)dt}= left[ pile{#}F(t) right ]_x^x+3 = F(x+3)-F(x)]

이므로 주어진 등식 [eqn: int_x^x+3 {f(t)dt}=x^2 +x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여

미분하면

[eqn: f(x+3)-f(x) = 2x+1]

[eqn: THEREFORE `` & int _{0} ^{30} {f` prime (x)dx}# & = LEFT [ pile{#} f(x) RIGHT ] _{0} ^{30}# & =f(30)-f(0)# & = LEFT { f(30)-f(27) RIGHT } + LEFT { f(27)-f(24) RIGHT } & + LEFT { f(24)-f(21) RIGHT } + CDOTS # & & ``````````````````````````` CDOTS + LEFT { f(3)-f(0) RIGHT }#]

[eqn: =(2 TIMES 27+1)+(2 TIMES 24+1)+(2 TIMES 21+1)+ CDOTS +(2 TIMES 0+1)# =2 TIMES (0+3+6+ CDOTS +27)+(1 TIMES 10)# =2 TIMES {10 TIMES (0+27)} over {2} +10# =280]

104 [정답] [eqn: bold②]

[eqn: F(x)= int_0^x {f(x-t)}dt]에서 [eqn: x-t=u]로 놓으면

[eqn: t=0]일 떄 [eqn: u=x,```t=x]일 때 [eqn: u=0]이고, [eqn: -1 = du overdt]이므로

[eqn: F(x)= int_x^0 {f(u)(-1)}du= int_0^x {f(u)du}]

양 변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: F`` prime(x)= f(x)]

[eqn: f(x)= 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=a]이므로 함수 [eqn: F(x)]는 [eqn: x=0]에서

극솟값, [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 함수 [eqn: F(x)]는 [eqn: F(0)= int_0^0 {f(u)}du =0]인 삼차함수이므로

그래프의 개형으로 옳은 것은 ②이다.

105 [정답] [eqn: bold5]

[eqn: lim_n->inf {sum_k=1^n f left( m + k overn right) 1 overn = int_m^m+1{f(x)dx}}]

[eqn: lim_n->inf {sum_k=1^n {f left( m + 3k overn right) 3 overn = int_m^m+3 {f(x)dx}}}]

이므로

[eqn: int_m^m+1 {f(x)dx }= int_m^m+3 {f(x)dx}]

[eqn: int_m^m+3 {f(x)dx} = int_m^m+1 {f(x)dx}+ int_m+1^m+3 {f(x)dx}]

이므로 ㉠에 의해 [eqn: int_m+1 ^ m+3 {f(x)dx =0}]

즉, 임의의 정수[eqn: t]에 대하여 [eqn: int_t^t+2 {f(x)dx =0}]이다.

[eqn: int_0 ^2 {f(x)dx}&=int_0 ^2 {(6x^2 -2x +a)}dx#&=left[ pile{#} 2x^3 -x^2 +ax right] _0^2 #&= 16 - 4 +2a #&=12+2a]

이므로 [eqn: 12+2a= 0]에서 [eqn: a=-6]

따라서 [eqn: int_2^4 {f(x)dx}= int_4^6 {f(x)dx}= int_6^9 {f(x)dx}= int_8^10 {f(x)dx}]

이므로

[eqn: int _{1} ^{10} {f(x)dx} & = int _{1} ^{2} {f(x)dx} + int _{2} ^{4} {f(x)dx} & + int _{4} ^{6} {f(x)dx}# & & + int _{6} ^{8} {f(x)dx} + int _{8} ^{10} {f(x)} dx# & = int _{1} ^{2} {(6x ^{2} -2x-6)dx+0}# & = LEFT [ pile{#} 2x ^{3} -x ^{2} -6x RIGHT ] _{1} ^{2}# & =(16-4-12)-(2-1-6)#&=5]

106 [정답] [eqn: bold⑤]

출제의도 : 무한급수의 합을 정적분으로 나타낼 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: lim_n->inf {1overn}sum_k+1^n f left( m + k overn right) &= lim_n->inf {sum_k=1^n}f left(m + (m+1-m)k overn right) #&= int_m^m+1 {f(x)dx}]

따라서 부등식 [eqn: int_m^m+1 {f(x)dx<0]을 만족시키는 정수 [eqn: m]은 [eqn: -3,``-2,``-1,``2,``3,``4,``5]의 [eqn: 7]개 이다.

107 [정답] [eqn: bold①]

출제의도 : 정적분으로 나타내어진 함수를 미분할 수 있는지를 묻는 문제이다.

주어진 등식 [eqn: int_0^x {f(t)dt}= e^x +ax+a`````````````````````````````cdotscdots```㉠]

의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)= e^x +a]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0 = e^0 +a = 1 +a]

[eqn: therefore ```a = -1]

따라서 [eqn: f(x)= e^x -1]이므로

[eqn: f(ln2)= e^ln2 -1 =2-1 =1]

108 [정답] ⑤

[eqn: 0le x le {pi} over {3}]에서 [eqn: f( {pi} over {3} )=tan {pi} over {3} = sqrt {3}], [eqn: f( {pi } over {6} )=tan {pi } over {6} = {sqrt {3}} over {3}]이고, 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g( sqrt {3} )= {pi} over {3} ,~g LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT ) = {pi} over {6}]

그림과 같이 [eqn: int _{{sqrt {3}} over {3}} ^{sqrt {3}} {g(x)dx}]는 영역 [eqn: A]의 넓이이고,
[eqn: int _{{sqrt {3}} over {3}} ^{sqrt {3}} {tanxdx} = int _{{pi} over {6}} ^{{pi} over {3}} {tanx} dx]는 영역 [eqn: B]의 넓이와 같다. 따라서 구하는 값은 두 영역 [eqn: A]와 [eqn: B]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: sqrt {3} TIMES {pi} over {3} - {sqrt {3}} over {3} TIMES {pi} over {6} = {5 sqrt {3}} over {18} pi]

109 [정답] [eqn: 50]

출제의도 : 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x``]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면 [eqn: {1} over {sqrt {x}} = sqrt {{lnx} over {x}}]에서

[eqn: {1} over {x} = {lnx} over {x} ,~lnx=1]

[eqn: THEREFORE `x=e]

[eqn: THEREFORE V= pi int _{1} ^{e} {LEFT { LEFT ( {1} over {sqrt {x}} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {{lnx} over {x}} RIGHT ) ^{2} RIGHT } dx}][eqn: = pi int _{1} ^{e} {LEFT { LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) - LEFT ( {lnx} over {x} RIGHT ) RIGHT } dx}][eqn: = pi int _{1} ^{e} {{1-lnx} over {x} dx}]

[eqn: lnx=t]로 놓으면

[eqn: x=1]일 때, [eqn: t=0], [eqn: x=e]일 때 [eqn: t=1]이고, [eqn: {1} over {x} = {dt} over {dx}]이므로

[eqn: V= pi int _{0} ^{1} {(1-t)dt} = pi LEFT [ t- {t ^{2}} over {2} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {pi } over {2}]

[eqn: THEREFORE {100V} over {pi } = {100} over {pi} TIMES {pi} over {2} =50]

110 [정답] ④

[eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} +2x+2]에서 [eqn: f prime (x)=3x ^{2} +6x+2]

두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x+2][eqn: =3x ^{2} +6x+2]

[eqn: x ^{3} -4x=0,~x(x+2)(x-2)=0]

[eqn: THEREFORE ~x=-2] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

따라서 둘러 싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하면

S=[eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT { f(x)-f prime (x) RIGHT }} dx][eqn: = int _{-2} ^{2} {LEFT | x ^{3} -4x RIGHT |} dx]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {(x ^{3} -4x)dx} + int _{0} ^{2} {(-x ^{3} +4x)dx}][eqn: = LEFT [ {x ^{2}} over {4} -2x ^{2} RIGHT ] _{-2} ^{0}][eqn: + LEFT [ - {x ^{2}} over {4} +2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}][eqn: =0-(4-8)+(-4+8)-0=8]

111 [정답] ③

출제의도 : 두 영역의 넓이가 같아지도록 하는 상수 [eqn: k``]의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

그림에서 두 영역 [eqn: A]와 [eqn: B]의 넓이가 같으므로 직사각형 [eqn: PQRS]의 넓이는 곡선 [eqn: y=x sinx]와 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x= {pi } over {2}]로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

즉, [eqn: left( {pi } over {2} -k right) {pi } over {2} = int _{0} ^{{pi } over {2}} {x sinx} dx][eqn: = LEFT [ pile{ `#` } -x cosx RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}][eqn: - int _{0} ^{{pi } over {2}} {(-cosx)dx}]

[eqn: =- LEFT [ pile{ `# `} -sinx RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} =1]

[eqn: THEREFORE k= {pi } over {2} - {2} over {pi }]

112 [정답] [eqn: 32]

회전체의 부피가 [eqn: 16pi]이므로

[eqn: pi int _{2} ^{4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} dx=16 pi }]

[eqn: THEREFORE int _{2} ^{4} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx=16````}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: int _{4} ^{16} {{LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {sqrt {x}} dx= int _{4} ^{16} {{LEFT { f LEFT ( sqrt {x} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {sqrt {x}} dx`}}]에서 [eqn: sqrt {x} =t]로 놓으면

[eqn: x=4]일 때 [eqn: t=2], [eqn: x=16]일 때, [eqn: t=4]이고, [eqn: {1} over {2 sqrt {x}} = {dt} over {dx}]이므로

[eqn: int _{4} ^{16} {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {sqrt {x}} dx=`2 int _{2} ^{4} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dt}][eqn: =`2 TIMES 16` LEFT ( BECAUSE `㉠ RIGHT ) =`32][eqn: THEREFORE int _{4} ^{16} {{LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {sqrt {x}} dx=32}]

113 [정답] ④

그림과 같이 곡선 [eqn: y=e ^{-x}]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=- {1} over {2}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: C]라 하고, 세 영역 [eqn: A,~B,~C]의 넓이를 각각 [eqn: a,~b,~c]라 하자. 이때 [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같으므로 [eqn: a+c=b+c]이다. [eqn: a+c= {1} over {2} sqrt {e}]

[eqn: b+c= int _{- {1} over {2}} ^{k} {e ^{-x}} dx][eqn: LEFT [ -e ^{-x} RIGHT ] _{- {1} over {2}} ^{k}][eqn: =-e ^{-k} + sqrt {e}]

[eqn: THEREFORE {sqrt {e}} over {2} =-e ^{-k} + sqrt {e}]

[eqn: THEREFORE e ^{-k} = {sqrt {e}} over {2}]

114 [정답] ③

[eqn: f(x)=(x ^{2} +a)e ^{x}]에서 [eqn: f prime (x)=2xe ^{x} +(x ^{2} +a)e ^{x} =(x ^{2} +2x+a)e ^{x}]이므로 실수 전체에서 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하려면

[eqn: x ^{2} +2x+a geq0]이어야 한다. 이차 방정식 [eqn: x ^{2} +2x+a=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: {D} over {4} =1- a le0]이어야 하므로 [eqn: a geq1]이다. 따라서 [eqn: a]의 최소값 [eqn: m]의 값은 [eqn: m=1]이므로 [eqn: g(x)=(x ^{2} +1)e ^{x}]이다.

[eqn: g(0)=1,~g(1)=2e]이므로 두 함수 [eqn: y=g(x),~y=h(x)]의 그래프는 다음과 같다.
[eqn: THEREFORE int _{m} ^{2e} {h(x)} dx= int _{1} ^{2e} {h(x)dx}][eqn: =1 TIMES 2e- int _{0} ^{1} {(x ^{2} +1)e ^{x} dx}][eqn: =2e- LEFT [ (x ^{2} +1)e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} + int _{0} ^{1} {2xe ^{x} dx}][eqn: =2e-(2e-1)+ LEFT [ 2xe ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {2e ^{x} dx}][eqn: =1+2e-(2e-2)=3]

115 [정답] ③

출제의도 : 주어진 조건으로부터 미분과 적분의 관계를 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: y=1+ log_2 ``x]에서 [eqn: x=2^y-1]이다.

[eqn: t]초 후의 수면의 높이를 [eqn: h(t)``({rm cm})], 물의 부피를 [eqn: V(t)``({rm cm}^3 )]라 할 때,

[eqn: V(t) = pi int _{ 0} ^{h(t) } {x^2 }`dy = pi int _{ 0} ^{h(t) } {(2^y-1 )^2 }`dy = pi int _{ 0} ^{h(t) } {4^y-1 }`dy]

양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: d over dt V(t) = pi TIMES 4^h(t)-1 TIMES d over dt h(t)]

수면이 상승하는 속도가 [eqn: 6`` rm cm / 초]가 되는 순간의 수면의 높이는 [eqn: a`` rm cm]이므로, [eqn: 12pi = pi TIMES 4^a-1 TIMES 6]에서

[eqn: 4^a-1 =2], [eqn: a-1 = 1 over 2]      [eqn: THEREFORE`` a= 3 over 2]

116 [정답] ③

(가)에서 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: {rm ln}`b =0]

[eqn: THEREFORE``b=1]

[eqn: f(x) = {rmln}``(ax^2 +1)]에서 [eqn: f prime (x) = 2ax over {ax^2 +1}]

(나)에서 [eqn: f prime LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) = - 4 over 3]이므로

[eqn: {a} over {{a} over {4} +1} =`- {4} over {3}~~ THEREFORE``a=`-1]

[eqn: THEREFORE f(x) = {rm ln}`(1-x^2 ),``f prime (x) = -2x over 1-x^2]

[eqn: -1<x<1]에서 [eqn: 1-x^2 >0]이므로

[eqn: sqrt { 1- LEFT { f prime (x) RIGHT }^2 } &= sqrt { 1+ LEFT ( -2x over 1-x^2 RIGHT )^2 }# &= sqrt { LEFT ( 1+x^2 over 1-x^2 RIGHT )^2 } = 1+x^2 over 1-x^2 # &= -1 + 1 over 1+x + 1 over 1-x]

따라서 [eqn: - 1 over 2 LEQ x LEQ 1 over 2]에서 구하는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 길이는

[eqn: int _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}} {sqrt {1+ LEFT { f prime (x) RIGHT } ^{2}}} dx# = int _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}} {LEFT ( -1+ {1} over {1+x} + {1} over {1-x} RIGHT )} dx# = LEFT [ pile{`#`} -x+ rm ln it `(1+x)- rm ln it `(1-x) RIGHT ] _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}}# = LEFT ( pile{`#`} - {1} over {2} + rm ln it ` {3} over {2} - rm ln it ` {1} over {2} RIGHT ) - LEFT ( pile{`#`} - {1} over {2} + rm ln it ` {1} over {2} - rm ln it ` {3} over {2} RIGHT )# =2`{rm ln it ` {3} -1]

117 [정답] ②

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반구 모양의 그릇의 단면을 좌표평면 위에 놓으면 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: theta = pi over 6]일 때, 수면의 반지름의 길이는

[eqn: {rm cos} pi over 6 = sqrt { 3} over 2]

즉, 수면의 넓이는

[eqn: pi LEFT ( sqrt { 3} over 2 RIGHT )^2 = 3 over 4 pi]  (참)

ㄴ. [eqn: {rm sin} theta = 1 over 3]일 때, [eqn: bar { {rm PQ}} = 1 over 3]이므로 [eqn: bar { {rm OP}} = 1- 1 over 3 = 2 over 3]이다.

남은 물의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V``&= pi int _{ 0} ^{2 over 3 } { LEFT { 1-(y-1)^2 RIGHT } }dy # &= pi int _{ 0} ^{2 over 3 } {(-y^2 +2y )}dy # &= pi LEFT [ - y^3 over 3 + y^2 RIGHT ] _{ 0} ^{2 over 3 } # &= pi LEFT ( - 8 over 81 + 4 over 9 RIGHT ) # &= 28 over 81 pi```(참)]

ㄷ. [eqn: bar { {rm PQ}} = {rm sin} theta]이므로 [eqn: bar { {rm OP}} = 1- {rm sin} theta]이다.

[eqn: THEREFORE`` V``&= pi int _{ 0} ^{1-{rm sin} theta } { LEFT { 1-(y-1)^2 RIGHT } }dy # &= pi int _{ 0} ^{1-{rm sin} theta } {(-y^2 +2y )}dy # &= pi LEFT [ - y^3 over 3 + y^2 RIGHT ] _{ 0} ^{1-{rm sin} theta } # &= pi LEFT { pile{`#`} (1-{rm sin} theta )^2 - 1 over 3 (1-{rm sin} theta )^3 RIGHT }]

[eqn: dV over {d theta} &= pi LEFT { 2(1-{rm sin}` theta )(-{rm cos`} theta ) - (1-{rm sin}` theta)^2 (-{rm cos}` theta) RIGHT }# &= pi (1-{rm sin}` theta ) (-{rm cos`} theta ) (1+{rm sin}` theta )# &= -pi {rm cos`}^3 theta]

그러므로 [eqn: theta = pi over 3]일 때,

[eqn: dV over {d theta} &= -pi {rm cos`}^3 pi over 3# &= -pi TIMES LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^3 = - pi over 8```(거짓)]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

118 [정답] ④

[eqn: 0<t<3]일 때, [eqn: v(t)>0]이므로 점 [eqn: rm P]는 양의 방향으로 움직이고 그 거리는 속도 [eqn: v(t)]의 그래프와 [eqn: t]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 즉,

[eqn: 1 over 2 TIMES 3 TIMES 2 = 3]

점 [eqn: rm P]가 다시 원점으로 돌아올 때까지 걸리는 시간이 [eqn: k]초이므로 음의 방향으로 움직인 시간은 [eqn: (k-3)]초이고, 음의 방향으로 움직인 거리는 [eqn: 1 over 2 TIMES (k-3)^2]이다.

따라서 [eqn: 1 over 2 TIMES (k-3)^2 =3]에서

[eqn: (k-3)^2 =6], [eqn: k-3 = sqrt { 6}``( BECAUSEk>3)]

[eqn: THEREFORE``k= 3+ sqrt { 6}]

119 [정답] ⑤

[eqn: a = int _{ 0} ^{ 1} {v(x) }dx = int _{ 0} ^{ t} { sqrt { x} }dx = LEFT [ 2 over 3 x^{3 over 2} RIGHT ] _{ 0} ^{ t} = 2 over 3 t^{3 over 2}]

이므로 [eqn: t=9]일 때, [eqn: a=18]이다.

[eqn: S(a) = int _{ 0} ^{a } {{rm ln}`(x+1) }dx]에서 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: d over dt S(a) &= LEFT {d over da int _{ 0} ^{a } {{rm ln}`(x+1) }dx RIGHT } TIMES da over dt # &= sqrt { t} {rm ln}`(a+1)]

따라서 [eqn: t=9]인 순간 [eqn: S(a)]의 변화율은

[eqn: LEFT [ d over dt S(a) RIGHT ]_t=9 = sqrt { 9} {rm ln}`19 = 3` {rm ln}`19]

120 [정답] ⑤

ㄱ. [eqn: 2^x >0], [eqn: 2^-x >0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서

[eqn: f(x) = {2^x + 2^-x } over {2`{rm ln}`2} GEQ sqrt {2^x + 2^-x } over {{rm ln}`2} = 1 over {{rm ln}`2}]

(단, 등호는 [eqn: x=0]일 때 성립한다.)

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: 1 over {{rm ln}`2}]이다.  (참)

ㄴ. [eqn: f(x) = f(-x)]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} { f(x) dx=2 int _{0} ^{1} {f(x)} dx]

[eqn: f prime (x)=`-f prime (-x)]에서 함수 [eqn: y= f prime (x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} { f prime (x) dx=0]

[eqn: THEREFORE`` int _{ -1} ^{ 1} { LEFT { f(x) + f prime (x) RIGHT } }dx & = int _{ -1} ^{ 1} {f(x) }dx + int _{ -1} ^{ 1} {f prime (x) }dx # & = int _{ -1} ^{ 1} {f(x) }dx # & = 2 int _{ 0} ^{ 1} {f(x) }dx # & = 2 int _{ 0} ^{ 1} {f(-x) }dx```(참)]

ㄷ. [eqn: f(x) = {2^x + 2^-x } over {2`{rm ln}`2}]에서

[eqn: f prime (x)= {2 ^{x}{rm ln}`2 -2 ^{-x}``{rm ln}`2 } over {2` rm ln it `2} = {2^x - 2^-x } over 2 # THEREFORE`` 1+ LEFT { f prime (x) RIGHT }^2 = 1+ LEFT ( {2^x - 2^-x } over 2 RIGHT )^2 = LEFT ( {2^x + 2^-x } over 2 RIGHT )^2]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,``1 RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 길이는

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { sqrt { 1+ LEFT { f prime (x) RIGHT } }^2} dx &= int _{ -1} ^{1 } { sqrt { 1+ LEFT { f prime (x) RIGHT } }^2} dx# &= int _{ -1} ^{1 } {{2^x + 2^-x } over 2 } dx = LEFT [{2^x - 2^-x } over {2`{rm ln}`2} RIGHT ] _{ -1} ^{1 } # &={ (2^1 - 2^-1 ) - (2^-1 - 2^1 )} over {2`{rm ln}`2}# &= 3 over {2`{rm ln}`2}```(참)]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

121 [정답] [eqn: bold 64]

출제의도 : 좌표평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: x=4 ( {rmcos}``t + {rm sin}`t)], [eqn: y={rmcos}``2t]에서

[eqn: {dx} over {dt} =4(- rm sin it ``t+ rm cos it ``t)], [eqn: {dy} over {dt} =-2 rm sin it ``2t]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2} & =16(- rm sin it ``t+ rm cos it ``t) ^{2} + rm sin ^{2} it ``2t# & =16(1- rm 2`sin it ``t` rm cos it ``t)+ rm 4sin ^{2} it ``2t# & =4(sin ^{2} it ``2t- rm 4`sin it `2`t` rm `+ rm 4)# & =4(2-sin`2t)^2]

점 [eqn: rm P]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2pi]까지 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{2 pi } {sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}}} dt &= int _{ 0} ^{2pi } { sqrt { 4(2- {rm sin}``2t)^2}dt} # &= int _{ 0} ^{ 2pi} {2(2-{rm sin}``2t)dt } ~( BECAUSE``2- {rm sin}``2t>0)# &=2 LEFT [ 2t + 1 over 2 {rm cos}``2t RIGHT ]_{0} ^{2 pi } # &= 2 LEFT { LEFT ( 4pi + 1 over 2 RIGHT ) - LEFT ( 0 + 1 over 2 RIGHT ) RIGHT } = 8pi]

따라서 [eqn: a=8]이므로 [eqn: a^2 = 64]이다.

122 [정답] ④

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rm P]의 위치를 [eqn: x]라 하면

[eqn: {dx} over {dt} =v(t)=sin2t-sint]이므로

[eqn: x= int _{0} ^{t} {(sin2t-sint)dt}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} - {1} over {2} cos2t+cost` RIGHT ] _{0} ^{t}]

[eqn: =- {1} over {2} cos2t+cost- {1} over {2}]

[eqn: =- {1} over {2} (2cos ^{2} t-1)+cost- {1} over {2}]

[eqn: =-cos ^{2} t+cost]

[eqn: cost=s]로 놓으면 [eqn: 0 LEQ t LEQ 2 pi]일 때 [eqn: -1 LEQ s LEQ 1]이므로

[eqn: x=-s^2 +s = -left( s- 1 over 2 right)^2 + 1 over 4] [eqn: (-1 LEQ s LEQ 1)]

따라서 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: -2 LEQ x LEQ {1} over {4}]이므로 원점과 점 [eqn: rm P] 사이의 거리의 최댓값은 [eqn: x=-2]일 때는 [eqn: 2]이다.

123 [정답] ③

[eqn: C _{1}] : [eqn: y=2e`lnx]에서 [eqn: y` prime = {2e} over {x}]

[eqn: C _{2}] : [eqn: y=x ^{2}]에서 [eqn: y` prime =2x]

두 곡선 [eqn: C _{1} ,~C _{2}]의 교점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 이 점에서의 접선이 서로 일치하므로

[eqn: {2e} over {t} =2t,~t ^{2} =e]

[eqn: THEREFORE ~t= sqrt {e} ~( BECAUSE `t>0)]

[eqn: C _{1}] : [eqn: y=2e`lnx]에서 [eqn: x=e ^{{y} over {2e}} ,~x ^{2} =e ^{{y} over {e}}]

[eqn: C _{2}] : [eqn: y=x ^{2}]에서 [eqn: x ^{2} =y]

이므로 두 곡선 [eqn: C _{1} ,~C _{2}]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V=pi int _{ 0} ^{2 } {( e ^{y over e} -y )dy }]

[eqn: = pi LEFT [ pile{`#`} e CDOT e ^{{y} over {e}} - {y ^{2}} over {2} ` RIGHT ] _{0} ^{e}]

[eqn: = pi LEFT ( e ^{2} - {e ^{2}} over {2} -e RIGHT )]

[eqn: = {pi } over {2} e(e-2)]

124 [정답] [eqn: bold{18}]

(가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime (x)>0]이므로 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: f(x)]의 값도 증가한다.

또한, 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 직선 [eqn: x=4]에 대하여 서로 대칭이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프로 가능한 것 중 한 쌍을 그림과 같은 모양으로 가정할 수 있다.

[그림 1]과 [그림 2]에서 어두운 부분의 넓이를 각각 [eqn: S], [eqn: T]라 하면

[eqn: int _{2} ^{6} {g ^{-1} (x)dx} = int _{2} ^{6} {g ^{-1} (y)dy} =S]

[eqn: int _{2} ^{6} {f ^{-1} (x)dx} = int _{2} ^{6} {f ^{-1} (x)dx} =T]

이때 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 직선 [eqn: x=4]에 대하여 서로 대칭이므로

[eqn: int _{2} ^{6} {g ^{-1} (x)dx} + int _{2} ^{6} {f ^{-1} (x)dx} =2 TIMES (1 TIMES 4)+(6 TIMES 4)=32]

[eqn: THEREFORE ~ int _{2} ^{6} {f ^{-1} (x)dx} =32- int _{2} ^{6} {g ^{-1} (x)dx}]

[eqn: =32-14=18]

125 [정답] ②

[eqn: lim _{x -> sqrt {2}} {{1} over {x ^{4} -4} int _{2} ^{x ^{2}} {LEFT { tf(t)+2 RIGHT } dt}}]에서

[eqn: int _{} ^{} {LEFT { tf(t)+2 RIGHT } dt} =F`(t)]라 하고, [eqn: x ^{2} =s]로 놓으면

[eqn: x -> sqrt {2}]일 때 [eqn: s -> 2]이므로

[eqn: lim _{x -> sqrt {2}} {{1} over {x ^{4} -4} int _{2} ^{x ^{2}} {LEFT { tf(t)+2 RIGHT } dt}}]

[eqn: = lim _{s -> 2} {{1} over {s ^{2} -1} int _{2} ^{s} {LEFT { tf(t)+2 RIGHT } dt}}]

[eqn: = lim _{s -> 2} {{1} over {s-1} int _{2} ^{s} {LEFT { tf(t)+2 RIGHT } dt}} TIMES lim _{s -> 2} {{1} over {s+2}}]

[eqn: = lim _{s -> 2} {{F(s)-F(2)} over {s-2}} TIMES {1} over {4}]

[eqn: = {1} over {4} F` prime (2)]

[eqn: = {1} over {4} LEFT { 2f(2)+2 RIGHT }]

[eqn: = {f(2)+1} over {2}]

[eqn: = {cos pi +e+1} over {2} = {e} over {2}]

126 [정답] ④

[eqn: int _{0} ^{25} {f` prime ( sqrt {x} )dx} = int _{0} ^{5} {f` prime (t) CDOT 2tdt}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} 2tf(t)` RIGHT ] _{0} ^{5} - int _{0} ^{5} {2f(t)dt}]

[eqn: =10f(5)-2 int _{0} ^{5} {f(t)dt}]

[eqn: =10 TIMES 2-2 TIMES 3]

[eqn: =14]

127 [정답] ②

[eqn: f(x)= lim _{ n->inf } {{2x^n+1 +4x^2 +k} over {x^n +1} }]에서

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ x<1]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} { x^n}=0]이므로

[eqn: f(x)=4x ^{2} +k]

(ⅱ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)= {6+k} over {2}]

(ⅲ) [eqn: 1<x LEQ 2]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} { x^n}=inf]이므로

[eqn: f(x)= {2x+ {4} over {x ^{n-2}} + {k} over {x ^{n}}} over {1+ {1} over {x ^{n}}} =2x]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {LEFT ( 4x ^{2} +k RIGHT )} = lim _{x -> 1+0} {2x} =f(1)]

이 성립한다. 즉,

[eqn: 4+k=2= {6+k} over {2}]이므로 [eqn: k=-2]

[eqn: THEREFORE ~f(x)= {cases{4x ^{2} -2~&(0 LEQ x<1)#2x&(1 LEQ x LEQ 2)}}]

[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{2} {xf(x)dx} = int _{0} ^{1} {LEFT ( 4x ^{3} -2x RIGHT ) dx} + int _{1} ^{2} {2x ^{2} dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} x ^{4} -x ^{2} ` RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ pile{`#`} {2} over {3} x ^{3} ` RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =0+ {16} over {3} - {2} over {3}]

[eqn: = {14} over {3}]

128 [정답] [eqn: bold{32}]

[eqn: A= int _{0} ^{a} {(-x ^{2} +ax)dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} - {x ^{3}} over {3} + {a} over {2} x ^{2} ` RIGHT ] _{0} ^{a}]

[eqn: =- {a ^{3}} over {3} + {a ^{3}} over {2}]

[eqn: = {a ^{3}} over {6}]

[eqn: B= int _{a} ^{4} {LEFT ( x ^{2} -ax RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} {x ^{3}} over {3} - {a} over {2} x ^{2} ` RIGHT ] _{a} ^{4}]

[eqn: = LEFT ( {64} over {3} -8a RIGHT ) - LEFT ( {a ^{3}} over {3} - {a ^{3}} over {2} RIGHT )]

[eqn: = {a ^{3}} over {6} -8a+ {64} over {3}]

따라서 [eqn: A+B= {a ^{3}} over {3} -8a+ {64} over {3}]이므로

[eqn: g(a)= {a ^{3}} over {3} -8a+ {64} over {3}] [eqn: (0<a<4)]라 하면

[eqn: g` prime (a)=a ^{2} -8=0]에서 [eqn: a=2 sqrt {2}]이다.

따라서 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=2 sqrt {2}]일 때 극소이고 동시에 최소이므로

[eqn: g(a)=A+B]의 최솟값은

[eqn: g(2 sqrt {2} )= {16} over {3} sqrt {2} -16 sqrt {2} + {64} over {3}]

[eqn: = {64} over {3} - {32} over {3} sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE ~p= {64} over {3}], [eqn: q=- {32} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~p-q= {64} over {3} + {32} over {3} =32]

129 [정답] ②

[eqn: rm ANGLE P _{k} AX it = {pi k} over {3n}] [eqn: (k=1,`2,`3,` CDOTS ,`n)]이고, 원의 성질에 의하여

[eqn: rm ANGLE AOP _{k} it =2 rm ANGLE P _{k} AX it = {2 pi k} over {3n}]

이므로 삼각형 [eqn: rm OAP_k]의 넓이 [eqn: S_k]는

[eqn: S _{k} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2 TIMES sin {2 pi k} over {3n}]

[eqn: =2sin {2 pi k} over {3n}]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}} = lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} 2sin {2 pi k} over {3n}}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {2sin {2 pi } over {3} xdx}]

[eqn: =2 LEFT [ pile{`#`} - {3} over {2 pi } cos {2 pi } over {3} x` RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =- {3} over {pi } LEFT ( - {1} over {2} -1 RIGHT )]

[eqn: = {9} over {2 pi }]