<2014학년도> [보충교재(인문)]	함수의 연속 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

정답 및 해설

1  [정답] ②

ㄱ. [eqn: f(x)g_1 (x)= cases{ x&(x!=1) # 0&(x=1) }``]이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: lim _{ x->1 } { }f(x)g_1 (x)=1,``][eqn: f(1)g_1 (1)=0``]이므로

[eqn: lim _{ x->1 } { }f(x)g_1 (x)!= f(1)g_1 (1)``]

ㄴ. [eqn: f(x)g _{2} (x)= {cases{x(x-1)&(x != 1)#`````````````0&(x=1)}}``]

이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 [eqn: x=1``]에서 불연속이다.

ㄷ. [eqn: f(x)g _{3} (x)= {cases{{x ^{2}} over {x-1} =x+1+ {1} over {x-1}&(x != 1)#``````````````````````````````````1&(x=1)}}``]

이므로 [eqn: lim _{x -> 1} {} f(x)g _{3} (x) ``]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: x=1``]에서 불연속이다.

따라서 [eqn: y=f(x)g`_i (x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이 되는 함수는 ㄴ뿐이다.

2  [정답] ②

함수 [eqn: y=left{g(x) right}^2 ``]이 [eqn: x=0``]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x->-0} { } left{g(x) right}^2 `=lim _{ x->+0} { } left{g(x) right}^2 `=left{g(0) right}^2``]

이 성립해야 한다. 이때, 이차함수 [eqn: f(x)``]는 연속함수이므로

[eqn: lim _{ x->-0} { } left{g(x) right}^2 `=lim _{ x->-0}left{f(x+1) right}^2 =left{f(1) right}^2 =a^2``]

[eqn: lim _{ x->+0} { } left{g(x) right}^2 `=lim _{ x->+0}left{f(x-1) right}^2 =left{f(-1) right}^2 =(2+a)^2``]

[eqn: left{g(0) right}^2 =left{f(1) right}^2`=a^2``]

이므로 [eqn: a^2 =(2+a)^2 ,``]즉 [eqn: 4a+4=0``]이어야 한다.

[eqn: THEREFOREa=-1``]

3  [정답] ②

함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)``]가 [eqn: x=n``]에서 연속이 되려면

[eqn: n LEQx<n+1``][eqn: LARROW RARROW`` LEFT [ x` RIGHT ]=n``]이므로

[eqn: lim _{ x->n-0} { } LEFT [ x` RIGHT ]=n-1,``lim _{ x->n+0} { } LEFT [ x` RIGHT ]=n``]

[eqn: f(n)g(n)=(n+1)n=n^2 +n``]

[eqn: lim _{ x->n-0} { }(x+1) LEFT [ x RIGHT ]`=(n+1)(n-1)=n^2 -1``]

[eqn: lim _{ x->n+0} { }(x+1) LEFT [ x RIGHT ]`=(n+1)n=n^2 +n``]

이므로 [eqn: n^2 -1=n^2 +n``]에서 [eqn: n=-1``]

즉, 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)``]는 [eqn: x=-1``]에서만 연속이므로 정수 [eqn: n``]의 개수는 [eqn: 1``]개다.

4  [정답] ③

ㄱ. [eqn: lim _{ x->1+0 }` {f(x)g(x)`` }=lim _{ x->1+0 }f(x)``lim _{ x->1+0 }g(x)``]

[eqn: =0 times(-1)=0``] (참)

ㄴ. [eqn: x!=0,``x!=1``]인 모든 실수에서 [eqn: f(x),``g(x)``]는 연속이므로 연속함수의 성질에 의하여 [eqn: f(x)g(x)``]도 연속이다.

[eqn: lim _{ x->0 }` {f(x)g(x)`` }=0,```f(0)g(0)=0``]이므로

[eqn: lim _{ x->0 }` {f(x)g(x)`` }=`f(0)g(0)``]

따라서 [eqn: x=0``]에서 연속이다.

[eqn: lim _{ x->1+0 }` {f(x)g(x)`` }=`0,``lim _{ x->1-0 }` {f(x)g(x)`` }=0``]

[eqn: f(1)g(1)=1 times0=0``]이므로 [eqn: lim _{ x->1 }` {f(x)g(x)`` }=`f(1)g(1)``]

따라서 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

그러므로 불연속이 되는 [eqn: x``]의 값은 없다.(거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x),``g(x)``]는 [eqn: x=-1``]에서 연속이고 [eqn: g(-1)!=0``]이므로 연속함수의 성질에 의하여 [eqn: y= { f(x)} over {g(x) }``]는 [eqn: x=-1``]에서 연속이다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ,ㄷ이다.

5  [정답] ③

[eqn: f(x)=`x^3 +2ax-a``]라 하자.

[eqn: n LEQ0``]이면 [eqn: f(n)<0,``n GEQ 1``]이면 [eqn: f(n)>0``]이므로

[eqn: f(n)f(n+1)<0``]을 만족하는 정수 [eqn: n``]의 값은 [eqn: 0``]이다.

6 [정답] ⑤

해설

ㄱ. 다항함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같으면 위의 두 조건을 만족한다. 이때, 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]가 두 점에서만 만나므로 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근이 [eqn: 2]개만 존재할 수도 있다. (참)

ㄴ. [eqn: g(x)=f(x)-x]로 놓으면 다항함수 [eqn: f(x)]가 연속함수이고 [eqn: y=x]도 연속함수이므로 함수 [eqn: g(x)]는 연속함수이다. 그런데 [eqn: g(0)=f(0)-0>2]이고 [eqn: g(3)=f(3)-3<0]이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: g(x)=0]은 열린 구간 [eqn: (0,3)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 즉, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근은 열린 구간 [eqn: (0,3)]에 적어도 하나 존재한다.(참)

ㄷ. [eqn: g(0)=f(0)-0>2]이고 [eqn: g(1)=f(1)-1<0]이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: g(x)=0]은 연린 구간 [eqn: (0,1)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 그런데 열린 구간 [eqn: (0,1)]은 열린 구간 [eqn: (-1,1)]에 포함되므로 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근은 열린 구간 [eqn: (-1,1)]에 적어도 하나 존재한다.(참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

7  [정답] ③

ㄱ. [eqn: x->+0``]일 때, [eqn: f(x)->1+0``]이므로

[eqn: lim _{ x->+0} { }f(x)=1``](참)

ㄴ. [eqn: x=1``]에서 함수 [eqn: y=f(x)``]는 연속이 아니므로

[eqn: lim _{ x->1} { }f(x)!=f(1)``](거짓)

ㄷ. [eqn: g(x)=(x-1)f(x)``]라 하면 [eqn: lim _{ x->1} { }f(x)=2``]이므로

[eqn: lim _{ x->1} { }g(x)= lim _{ x->1} { }(x-1)f(x)``]

[eqn: = lim _{ x->1} { }(x-1) timeslim _{ x->1}f(x)`=0 times 2 =0``]

또, [eqn: g(1)=(1-1)f(1)=0 times 1 =0``]

그러므로 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ,ㄷ 이다.

8  [정답] ④

ㄱ. [eqn: lim _{ x->1+0} { } f(x)f(x-1)`=0,`lim _{ x->1-0} { } f(x)f(x-1)`=0,``][eqn: f(1)f(0)=0``]

따라서 [eqn: lim _{ x->1} { } f(x)f(x-1)`=f(1)f(0)``]이므로 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim _{ x->1+0} { } f(x)f(x-1)`=0,`lim _{ x->1-0} { } f(x)f(x-1)`=-1``]

따라서 좌극한과 우극한이 같지 않으므로 [eqn: x=1``]에서 불연속이다.

ㄷ.주어진 함수는 [eqn: x=0``]과 [eqn: x=1``]에서 모두 연속이므로 함수 [eqn: y=f(x)f(x-1)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x)f(x-1)``]이 [eqn: x=1``]에서 연속이 되는 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 ㄱ,ㄷ이다.

9  [정답] ①

ㄱ. [eqn: x``]가 [eqn: -1,``0,``1``]에서 불연속이므로 불연속인 점은 [eqn: 3``]개다.(참)

ㄴ. [eqn: y=f(x)``]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -2,``2 RIGHT ]``]에서 최댓값은 존재하지 않고 최솟값은 [eqn: -1``]이다.(거짓)

ㄷ. [eqn: x=-1,``x=1``]에서는 좌극한과 우극한이 같지 않으므로 극한값이 존재하지 않는다. 그러나 [eqn: lim _{ x->0} { }f(x)=-1``]이므로 [eqn: x=0``]에서 극한값은 존재한다.

따라서 [eqn: lim _{ x->0} { }f(x)``]의 값이 존재하지 않는 [eqn: a``]는 [eqn: a=-1``]또는 [eqn: a=1``]이므로 [eqn: 2``]개다.(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

10  [정답] ③

ㄱ. [eqn: f(x)g(x)``]라 하면

[eqn: lim _{ x->1} { }f(x)=1,``lim _{ x->1} { }g(x)=1``]이므로

[eqn: lim _{ x->1} { }h(x)=lim _{ x->1} { }f(x)}g(x)``]

[eqn: =lim _{ x->1} { }f(x)`lim _{ x->1} { }g(x)=1``]

[eqn: h(1)=f(1)g(1)=0 times1=0``]

[eqn: lim _{ x->1} { }h(x)!=h(1)``]이므로 [eqn: x=1``]에서 불연속이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: h(x)=f(x)-g(x)``]라 하면

[eqn: lim _{ x->1} { } h(x)= lim _{ x->1} { } LEFT { f(x)-g(x)` RIGHT }``]

[eqn: = lim _{ x->1} { } { f(x)- lim _{ x->1}g(x)` ``]

[eqn: =1-1=0``]

[eqn: h(1)=f(1)-g(1)=0-1=-1``]

[eqn: lim _{ x->1} { }h(x)!=h(1)``]이므로 [eqn: x=1``]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: h(x)={f(x)}OVERleft{g(x)right}^2``]라 하면

[eqn: lim _{ x->2+0} { } h(x)=lim _{ x->2+0} {f(x)}OVER{ left{g(x)right}^2}=`` 0 over1 =0``]

[eqn: lim _{ x->2-0} { } h(x)=lim _{ x->2-0} {f(x)}OVER{ left{g(x)right}^2}=`` 0 over1 =0``]

[eqn: h(2)`=`{f(2)}OVER{ left{g(2)right}^2}= 0 over{(-1)^2}=0``]

[eqn: lim _{ x->2} { }h(x)=h(2)``]이므로 [eqn: x=2``]에서 연속이다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다.

11 [정답]③

해설

함수 [eqn: f(x)]와 보기의 세 함수 [eqn: g_1`(x)], [eqn: g_2`(x)], [eqn: g_3`(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이고 그 외의 점에서는 연속이다. 그러므로 [eqn: x=0]에서만 연속성을 확인한다.

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)g_1`(x)]에 대하여 [eqn: f(0)g _{1} `(0)=0]

[eqn: lim_{x rightarrow -0}f(x)g_1`(x)=0 TIMES0=0]이고

[eqn: lim_{x rightarrow +0}f(x)g_1`(x)=(-1) times0=0]

이므로 [eqn: f(x)g_1`(x)]는 닫힌 구간 [-2, 2]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)g_2`(x)]에 대하여 [eqn: f(0)g _{2} `(0)=0]

[eqn: lim_{x rightarrow -0}f(x)g_2`(x)=0 timeslim_{x rightarrow -0}g_2`(x)=0]이고

[eqn: lim_{x rightarrow +0}f(x)g_2`(x)=(-1) times0=0]

이므로 [eqn: f(x)g_2`(x)]는 닫힌 구간 [-2, 2]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)g_3`(x)]에 대하여 [eqn: f(0)g_3`(0)=0]

[eqn: lim_{x rightarrow -0}f(x)g_3`(x)=0 timeslim_{x rightarrow -0}g_3`(x)=0]이고

[eqn: lim_{x rightarrow +0}f(x)g_3`(x)=(-1) timeslim_{x rightarrow +0}g_3`(x)not=0]

이므로 [eqn: f(x)g_3`(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

이상에서 함수 [eqn: f(x)g_k`(x)]가 닫힌 구간 [-2, 2]에서 연속이

되도록 하는 함수는 ㄱ, ㄴ이다.

12 [정답]①

해설

[eqn: g(x)= sum _{n=1}^{inf} left{f(x) BULLET {sinx} over{(1+|sinx |)^n-1} right}]에 대하여

(ⅰ) [eqn: x not=0]일 때

[eqn: g(x)=f(x) bullet sum_n=1^{inf} {sinx} over{(1+ |sinx |)^n-1]

[eqn: =f(x) bullet{sinx} over {1-{1} over{1+ |sinx |]

[eqn: =f(x) bullet {sinx} over {| sinx|} (1+| sinx|)]

(ⅱ) [eqn: x=0]일 때

[eqn: g(0)=f(0) BULLET sum _{n=1} ^{INF } `{sin0} over {(1+sin0)^n-1}]

[eqn: =f(0)bulletsum_{n=1}^{inf}{0} over {(1+0)^n-1}=0]

그런데 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim_{x rightarrow 0} g(x)=lim_{x rightarrow 0} left{f(x)bullet{sinx} over {|sinx |}(1+|sinx |) right}]

[eqn: =g(0)=0]

∴ [eqn: f(0)=0]

13 [정답] [eqn: 1``]

해설

함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=2,~x=3``]에서 연속일 때, 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이다.

(ⅰ) [eqn: x=2``]에서 연속일 때

[eqn: lim _{ x rarrow 2 +0} { }g(x) = lim _{ x rarrow 2-0} { }g(x) = g(2)``]이 성립하므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2 +0} { }g(x) =(4+ 2a + b ) cdot 3 ,~ lim _{ x rarrow 2-0} { }g(x) = (4 + 2a +b ) cdot 4,~ ``]

[eqn: g(2) = (4+ 2a+ b) cdot 4``]에서

[eqn: ( 4 + 2a+ b) cdot 3 = (4+ 2a+ b) cdot 4``]

∴ [eqn: 4+ 2a+b =0~cdotscdots``]㉠

(ⅱ) [eqn: x=3``]에서 연속일 때

[eqn: lim _{ x rarrow 3 +0} { }g(x) = lim _{ x rarrow 3-0} { }g(x) = g(3)``]가 성립하므로

[eqn: lim _{ x rarrow 3 +0} { }g(x) =(9+ 3a + b ) cdot 3 ,~ lim _{ x rarrow 3-0} { }g(x) = (9 + 3a +b ) cdot 4,~ ``]

[eqn: g(3) = ( 9 + 3a+ b) cdot 3``]에서

[eqn: ( 9 + 3a+ b) cdot 3 = (9+ 3a+ b) cdot 4``]

∴ [eqn: 9+ 3a+b =0~cdotscdots``]㉡

㉠, ㉡은 연립하여 풀면 [eqn: a=-5,~ b=6``]

∴ [eqn: a+b =1``]

14 [정답] ③

해설

함수 [eqn: g(x)``]를 간단히 하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: | ` x-b`| >1``], 즉 [eqn: x< b-1``] 또는 [eqn: x> b+1``]인 경우

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { } 1 over {| ` x-b` |^n }=0``]이므로 [eqn: g(x) =2``]

(ⅱ) [eqn: | ` x-b`| =1``], 즉 [eqn: x=b-1``] 또는 [eqn: x =b+1``]인 경우

[eqn: g(b-1)= 3 over 2 ,~ g(b+1) = 3 over 2``]

(ⅲ) [eqn: | ` x-b`| <1``], 즉 [eqn: b-1< x< b+1``]인 경우

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { }|` x-b`|^n =0``]이므로 [eqn: g(x) =1``]

따라서 그림과 같이 함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=b-1``], [eqn: x= b+1``]일 때 불연속이고, [eqn: f(x) = x^2 -4x+a``]는 연속함수이므로 [eqn: h(x) =f(x) g(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이 되려면 [eqn: f(b-1) =f( b+1)=0``]이어여 한다.

따라서 [eqn: b-1,~b+1``]은 방정식 [eqn: x^2 - 4x+a =0``]의 두 근이므로 근과 계수에 의하여

[eqn: 2b=4,~ b^2 -1 =a``]  ∴ [eqn: b=2,~ a=3``]

∴ [eqn: a+b = 5``]

15 [정답] ③

해설

(ⅰ) [eqn: |` x`|<1``]일 때,

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { }x^2n =0``]이므로

[eqn: f(x) = lim _{ n rarrow inf} { }{ x^2n+1 + sin ax } over { x^2n +1 } = sin ax``]

(ⅱ) [eqn: |` x`|>1``]일 때,

[eqn: lim _{ n rarrow inf} { }1 over x^2n =0``]이므로

[eqn: f(x) = lim _{ n rarrow inf} { }{ x + sinax over x^2n } over { 1 + 1 over x^2n } = x``]

(ⅲ) [eqn: x=1``]일 때,

[eqn: f(1) = {1+sina} over 2``]

(ⅳ) [eqn: x=-1``]일 때,

[eqn: f(-1) = { -1 - sin a } over 2``]

함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이려면 [eqn: x=1,~ x=-1``]에서 연속이어야 하므로

[eqn: 1= {1+ sina } over 2 = sin a,~ -sina = {-1 - sina } over 2 =-1``]

[eqn: sina =1``]

∴ [eqn: a= pi over 2``] (∵ [eqn: 0 < a le 2pi``])

16 [정답] ⑤

해설

(ⅰ) [eqn: x>2``]일 때,

[eqn: {|` x-3` |} over {|` x-1`|} < 1``]이므로

[eqn: f(x) =x-1``]

(ⅱ) [eqn: x< 2``]일 때,

[eqn: {|` x-3` |} over {|` x-1`|} < 1``]이므로

[eqn: f(x) =x-3``]

(ⅲ) [eqn: x=2``]일 때,

[eqn: f(2) =0``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=2``]에서 불연속이고 나머지 점에서는 연속이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 구간 [eqn: (-inf ,~k)``]에서 연속일 때, [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 2``]이다.

17 [정답] ①

해설

함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: - log_5 ` x = log_{1 over 5 } ` x``]가 정수가 되는 [eqn: x``]에서 불연속이다.

[eqn: 0<x<1``]에서 [eqn: log_{ 1 over 5 } ` >0``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: log_ { 1 over 5 } ` x``]가 자연수가 되는 [eqn: x``]에서 불연속이다.

따라서 [eqn: log_{ 1 over 5 } ` x =1``]이면 [eqn: x= 1 over 5 ,~ log_{1 over 5 } ` x =2``]이면 [eqn: x= left( 1 over 5 right)^2 ,~ cdots``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]가 불연속이 되는 모든 점들의 [eqn: x``]좌표의 합은

[eqn: 1 over 5 + left( 1 over 5 right )^2 + left( 1 over 5 right )^3 + cdots = { 1 over 5 } over { 1 - 1 over 5 } = 1 over 4``]

18 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: k=-1``]일 때, 함수 [eqn: y= | ` f(x) -1 ` |``]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: | ` f(x) + k ` |``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k``]가 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{ x rarrow +0} { } f( g(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }f( t) = 2``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { } f( g(x)) = lim _{ t rarrow +0} { }f( t) = 0``]

[eqn: f(g(0))=f(0) =0``]

따라서 함수 [eqn: f( g(x))``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }left{ f(x) -1 right } left{ g(x) + 4 right } =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2-0} { }left{ f(x) -1 right } left{ g(x) + 4 right } =0``]

[eqn: left{ f( 2)-1 right } left{ g(2) + 4 right } =0``]

따라서 함수 [eqn: left{ f(x) -1 right } left{ g(x) +4 right } ``]는 [eqn: x=2``]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

19 [정답] ④

해설

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow -1 +0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -1 +0} { } g(t) =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow -1 -0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -2 +0} { } g(t) =0``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow -1} { } g(f(x))=0``] (거짓)

ㄴ. [eqn: g(f(0)) = g(1)=-1``]

[eqn: lim _{ x rarrow +0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow +0} { }g(t)=0``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t)=0``]

따라서 함수 [eqn: g(f(x))``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이 아니다. (참)

ㄷ. 두 함수 [eqn: f(x),~ g(x)``]는 닫힌 구간 [eqn: [`1,~2`]``]에서 연속이고, [eqn: 1 le f(x) le 2``]이므로 함수 [eqn: g(f(x))``]도 닫힌 구간 [eqn: [`1,~2`]``]에서 연속이다.

[eqn: g(f(1)) + 1 over 2 = 0 + 1 over 2 = 1 over 2``],

[eqn: g(f( 2)) + 1 over 2 = -1 + 1 over 2 = - 1 over 2``]이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: g(f(x)) + 1 over 2 =0``], 즉 [eqn: g(f(x)) =- 1 over 2``]의 실근이 [eqn: 1``]과 [eqn: 2``] 사이에 적어도 하나 존재한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

20 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} =1``]이고 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) =f LEFT ( sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT ) =f(1)``]	(참)

ㄴ. [eqn: S _{2n} = sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} < {1} over {3} ``]이고 [eqn: lim _{n-> INF } {} S _{2n} = {1} over {3} ``]이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) = lim _{x-> {1} over {3} -0} {} f(x)=3``}``]	(참)

ㄷ. [eqn: S _{2n+1} = sum _{k=1} ^{2n+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} > {1} over {3} ``]이고
[eqn: lim _{n-> INF } {} S _{2n+1} = {1} over {3} ``]이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) = lim _{x-> {1} over {3} +0} {} f(x)=5``]
[eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) != lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{2n+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) ``]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT ) ``]은 존재하지 않는다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

21 [정답] ⑤

(나)에서 [eqn: lim_{x`->`-1}{``{f(x)-2} over{x+1} }]의 값이 존재하고 (분모)[eqn: ->`0]이므로 (분자)[eqn: ->`0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_{x`->`-1}{``f(x)-2}`=`0]에서 [eqn: f(-1)`=`2]

또, [eqn: lim_{x`->`2}{``{f(x)-3} over {x-2} }]의 값이 존재하고 (분모)[eqn: ->`0]이므로 (분자)[eqn: ->`0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_{x`->`2}{``left{f(x)-`3right}}`=`0]에서 [eqn: f(2)`=`3]

(가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)`=`-f(x)]이므로

[eqn: f(1)`=`-2], [eqn: f(-2)`=`-3]

또한, [eqn: f(-0)`=`-f(0)]이므로 [eqn: f(0)`=`0]

ㄱ. [eqn: f(1)`=`-2], [eqn: f(2)`=`3]이므로 [eqn: f(c)`=`0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: (`1,~2`)]에 적어도 1개 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: left{f(x)right}^2 `=`f(x)`>`0]에서 [eqn: f(x)`=`1]

[eqn: f(-1)`=`2], [eqn: f(1)`=`-2]이므로 [eqn: f(c_1 )`=`1]인 [eqn: c_1]이 열린 구간 [eqn: (`-1,~1`)]에 적어도 [eqn: 1]개 존재하고 [eqn: f(1)`=`-2], [eqn: f(2)`=`3]이므로 [eqn: f(c_2 )`=`1]인 [eqn: c_2]가 열린 구간 [eqn: (`1,~2`)]에 적어도 [eqn: 1]개 존재한다.

그러므로 열린 구간 [eqn: (`-1,~2`)]에 적어도 [eqn: 2]개 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: 4^{left{f(x)right}^2} `=`2^{1-f(x)}]에서

[eqn: 2^{2left{f(x)right}^2 } `=`2^{1-f(x)}]이므로

[eqn: 2left{f(x)right}^2 `=`1-f(x)]

[eqn: left{2f(x)-1right}left{f(x)+1right}`=`0]

[eqn: therefore``f(x)`=`1over2] 또는 [eqn: f(x)`=`-1]

[eqn: f(-2)`=`-3], [eqn: f(-1)`=`2]이므로 [eqn: f(c_1 ) `=`-1], [eqn: f(c_2 )`=` 1 over2]인 [eqn: c_1], [eqn: c_2]가 열린 구간 [eqn: (`-2,~-1`)]에 적어도 [eqn: 1]개씩 존재하고 [eqn: f(-1)`=`2], [eqn: f(0)`=`0]이므로 [eqn: f(c_3 ) `=` 1 over2]인 [eqn: c_3]이 열린 구간 [eqn: (`-1,~0`)]에 적어도 [eqn: 1]개 존재한다.

그러므로 열린 구간 [eqn: (`-2,~0`)]에 적어도 [eqn: 3]개 존재한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22 [정답] ②

(ⅰ) [eqn: 0<r<2] 일 때, [eqn: f(r)=4]

(ⅱ) [eqn: r=2]일 때, [eqn: f(r)=3]

(ⅲ) [eqn: 2<r<4]일 때, [eqn: f(r)=2]

(ⅳ) [eqn: r=4] 일 때, [eqn: f(r)=1]

(ⅴ) [eqn: r>4]일 때, [eqn: f(r)=0]

따라서 [eqn: f(r)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

위 그래프에서 함수 [eqn: f(r)]는 [eqn: r=2,````r=4]에서 불연속이므로 함수 [eqn: f(r)]의 불연속 점은 2개이다.

23  [정답] ④

그림에서 [eqn: rmbar{AP} = sqrt {alpha ^{2} -1}]

두 선분 [eqn: OP]와 [eqn: AB]의 교점을 [eqn: H]라 하면

[eqn: TRIANGLEAOH] 와 [eqn: TRIANGLE POA]는 닮음비가 [eqn: 1 : alpha]인 닮은 삼각형이므로 넓이의 비는 [eqn: 1 : alpha ^{ 2}]이다. 또한, [eqn: TRIANGLEAOH]의 넓이는 [eqn: TRIANGLE OAB]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]이고 [eqn: TRIANGLE POA]의 넓이는 [eqn: rm {1} over {2} sqrt {alpha ^{2} -1}]이므로

[eqn: 1: alpha ^{2} = {1} over {2} S LEFT ( alpha RIGHT ) `:` {1} over {2} sqrt {alpha ^{2} -1}]

[eqn: THEREFORE `S LEFT ( alpha RIGHT ) = {sqrt {alpha ^{2} -1}} over {alpha ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{alpha -> `1+0} {` {S LEFT ( alpha RIGHT )} over {sqrt {alpha -1}} = lim _{alpha -> `1+0} {` {{sqrt {alpha ^{2} -1}} over {alpha ^{2}}} over {sqrt {alpha -1}}}}]

[eqn: = lim _{alpha -> `1+0} {{sqrt {alpha +1}} over {alpha ^{2}}}][eqn: = sqrt {2}]