<2014학년도> [주말과제(자연)]	적분법 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
Songwon High School

1 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가

[eqn: f`'(x)=e ^{x} + LEFT | e ^{x} -e RIGHT | ,``f(0)=1``]

을 만족할 때, [eqn: f(1)cdot f(-1)``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: 2-e^2]	②　[eqn: 1-e^2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1+e^2]	⑤　[eqn: 2+e^2]

2 다항함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x,``y``]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,````f`'(0)=2``]

를 만족할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(0_0=]

ㄴ. [eqn: f`'(1)=1]

ㄷ. [eqn: f(x)``]의 최솟값은 [eqn: -1``]이다.

①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

3 함수 [eqn: y=f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이고 [eqn: f`'(x)``]가

[eqn: f`'(x)= {cases{x ^{2}&(x<1)#-1&(x>1)}} ,``f(0)=0``]

일 때, 함수 [eqn: f(x)``]의 극댓값은?

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 1over2]	③　[eqn: 1over3]

④　[eqn: 1over4]	⑤　[eqn: 1over5]

4 [eqn: x>0``]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)``]라 할 때,

[eqn: F(x)=x`f(x)+sinx-x`cosx,``][eqn: f(2 pi )=2``]

를 만족한다고 한다. [eqn: f( pi )``]의 값은?

①　[eqn: -pi]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: pi]

5 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {{cos ^{2} x-x} over {x`cos ^{2} x}} dx``]일 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) -f LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT ) ``]의 값은?

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

6 함수 [eqn: f(x)=tan {x} over {2} +cot {x} over {2} ``]에 대하여

[eqn: g(x)= int _{} ^{} {{1} over {f(x)} dx} ,``f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =g LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) ``]

를 만족할 때, [eqn: g LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<x< pi )``]

7 사차함수 [eqn: f(x)``]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)``]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f(x)``]의 극댓값이 [eqn: 2``]이고 두 극솟값이 [eqn: 1``]일 때, [eqn: f(-1)``]의 값을 구하시오.

8 [eqn: x>0``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]가 모든 양의 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: f(x)+xf`'(x)= {2} over {x} +3 sqrt {x} ,``][eqn: f(1)=4``]

를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( {1} over {e} RIGHT ) ``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: 1overe^2]	②　[eqn: 1overe]	③　[eqn: 2overe]

④　[eqn: 1oversqrte]	⑤　[eqn: 2oversqrte]

9 [eqn: x>0``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여

[eqn: int _{} ^{} {xf`'(x)dx=x ^{2} + sqrt {x} +C``}](단, [eqn: C``]는 적분상수)

이고 [eqn: f(1)=2``]를 만족할 때, [eqn: f(4)``]의 값은?

①　[eqn: 11over2]	②　[eqn: 13over2]	③　[eqn: 15over2]

④　[eqn: 17over2]	⑤　[eqn: 19over2]

10 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {e ^{x} `cos pi x`dx} ``]일 때, [eqn: f`'(1)``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: -e]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: e]

11  [eqn: - pi over 2 < x < pi over 2]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f'(x) = tan x + tan^3 x], [eqn: f(0)= 0]을 만족시킬 때, [eqn: f left ( pi over 3 right)]의 값은?

①　[eqn: root3 over 4]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: root3 over 2]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 3 over 2]

12 함수 [eqn: f(x) = int cos ^5 x dx]에 대하여 [eqn: f(0) = 1]일 때, [eqn: f left( pi over 2 right) = q over p]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

13 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: {d} over {dx} left{ e^f(x) right} = e^f(x) cdot ln x], [eqn: f(1)= 3]을 만족시킬 때, [eqn: f(e)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

14 정의역이 양의 실수 전체의 집합인 미분가능한 함수 [eqn: (x)]의 부정적분 [eqn: F(x)]가 [eqn: F(x) = x f(x) - x^2 e^x], [eqn: F(1) = 0]을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: e^2 - 2e]	②　[eqn: 3e^2 -2e]	③　[eqn: 3e^2 -e]

④　[eqn: 3e^2 +1]	⑤　[eqn: e^2 +2e]

15 [eqn: 0< x < pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = int { cos x (1+ sin x)} over { sin^2 x } dx]에 대하여 [eqn: f left( pi over 2 right) = 1]일 때, [eqn: f left( pi over 6 right)]의 값은?

[2009년 10월 교육청 변형]

①　[eqn: - 2 ln 2]	②　[eqn: - ln2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: ln2]	⑤　[eqn: 2 ln2]

16 미분가능한 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) > g(x) >0]

(나) [eqn: f'(x) = - g(x)], [eqn: g'(x) = -f(x)]

(다) [eqn: f(0) = 2e], [eqn: g(0) = e]

이 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x) + g(x) = e^-x+1]

ㄴ. [eqn: left{ f(x) right}^2 - left{g(x) right}^2 = 3e^2]

ㄷ. [eqn: f(1) = 1 over 2 ( e^2 + 3)]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ,ㄷ	⑤　ㄴ,ㄷ

17 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = int (2x+1) root {x^2 + x+3 } dx], [eqn: f(-1) = 2root3]을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

18 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) -f'(x) = 2x-3], [eqn: f(0) = -1]을 만족시킨다. [eqn: g(x) = e^x f(x)]라 할 때, [eqn: g(1)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: 1 over e^2]	②　[eqn: 1 over e]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: e]	⑤　[eqn: e^2]

19 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f'(x) = axe^2(x-1)], [eqn: lim_x->1 {f(x)-1} over x-1 = 2]

를 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이고 [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

①　[eqn: 1 over 2 (3e^2 -1)]	②　[eqn: 1 over 2 (e^2 -1)]	③　[eqn: e^2]

④　[eqn: 1 over 2 (e^2 +1)]	⑤　[eqn: 1 over 2 (3e^2 +1)]

20 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f'(x)]가 [eqn: f'(x) = 3x over { 3x^2 +1]일 때, [eqn: f(4)- f(0)]의 값은?

①　[eqn: - ln 7]	②　[eqn: - ln 6]	③　[eqn: 2 ln 2]

④　[eqn: ln 6]	⑤　[eqn: ln7]

21 다음은 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {e ^{x} dx``}]의 값을 정적분의 정의를 이용하여 구하는 과정이다.

[eqn: int _{ 0} ^{1 }` {e^x `dx }= lim _{ n->inf}` {e^{k overn} cdot 1overn }]

이때, [eqn: sum _{ k=1} ^{n } `e^{k overn} cdot 1overn = {box{````(가)````} (1-e)}over{n(1-box{````(가)````}`)}``]이고

[eqn: lim _{ n->inf}` {1over{n(1-box{````(가)````}`)} =box{````(나)````}}``]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 }` {e^x `dx = box{````(다)````} }]

위의 과정에서 ㈎에 들어갈 [eqn: n``]에 관한 식을 [eqn: f(n),``] ㈏에 들어갈 값을 [eqn: a,``] ㈐에 들어갈 값을 [eqn: n``]라 할 때, [eqn: f(1)+a+b``]의 값은?(단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: e-1]	② [eqn: 2(e-1)]	③ [eqn: e+1]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 2(e+1)]

22 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)``]가 극댓값 [eqn: f(1)=1``]과 극솟값 [eqn: f(3)=-3``]을 가지며, [eqn: f(0)=-3``]이다. 이때, [eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | f`'(x) RIGHT | dx``}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

23 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -ax``]에 대하여 등식 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx=f(1)``}]을 만족시키는 상수 [eqn: a``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

24 그림은 반지름의 길이가 [eqn: 2``]이고, 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {3} ``]인 부채꼴 [eqn: rmAOB``]의 중심각을 [eqn: n``]등분한 후, 그 부채꼴의 현과 두 반지름을 세 변으로 하는 삼각형 [eqn: n``]개를 만든 것이다. 이 [eqn: n``]개의 삼각형들의 넓이의 합을 [eqn: S _{n} ``]이라 할 때, [eqn: S _{12} TIMES lim _{n-> INF } {S _{n}} ``]의 값은?

① [eqn: 8`pi` sin`pi over36]	② [eqn: 16`pi `sin`pi over36]	③ [eqn: 8`pi`sin `pi over39]

④ [eqn: 16`pi `sin `pi over39]	⑤ [eqn: 8`pi`sin`pi over42]

25 정적분 [eqn: int _{-1} ^{1} {|`e ^{x} -1|`dx``}]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: e+ 1overe -2]	② [eqn: e+ 1overe -1]	③ [eqn: e+ 1overe]

④ [eqn: e+ 1overe + 1]	⑤ [eqn: e+ 1overe +2]

26 [eqn: f(a)=f(b)=f(c)=0``]이고

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx=3,``}][eqn: int _{a} ^{c} {f(x)dx=0``}]

을 만족하는 삼차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f(x)``]의 부정적분 [eqn: F(x)``]를 방정식 [eqn: F(x)=4``]가 서로 다른 네 실근을 갖도록 정할 때, 정수 [eqn: F(a)``]의 값의 합은? (단, [eqn: a<b<c)``]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

27 [eqn: int _{0} ^{pi } {|`sinx+ sqrt {3} `cosx`|`dx``}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

28 닫힌 구간 [eqn: [``0,````10``]``]에서 연속이고 열린구간 [eqn: (0,````10)``]에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: f(x)>0,``][eqn: f`'(x),``][eqn: f`''(x)>0``]을 만족한다.

[eqn: A= sum _{k=1} ^{10} f(k),``][eqn: B= {1} over {2} sum _{k=1} ^{20} f LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ,``][eqn: C= int _{0} ^{10} {f(x)dx``}]

라 할 때, [eqn: A,````B,````C``]의 대소 관계로 옳은 것은?

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: B<A<C]	③ [eqn: B<C<A]

④ [eqn: C<A<B]	⑤ [eqn: C<B<A]

29 연속함수 [eqn: f(x)``]에 대하여

[eqn: f`'(x)= {cases{2x&(x<0)#sinx&(x>0)``}}]

이다. [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =0``]일 때, [eqn: int _{-1} ^{{pi } over {2}} {f(x)dx``}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: - 5over3]	③ [eqn: - 4over3]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 2over3]

30 정적분 [eqn: int _{0} ^{pi } {sin {x} over {2} LEFT ( sin {x} over {2} +cos {x} over {2} RIGHT ) dx``}]의 값은?

① [eqn: 1over2 `pi]	② [eqn: 1over2 `pi+1]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: 3over2 `pi+1]	⑤ [eqn: 5over2 `pi]

31 [eqn: int _{2 pi } ^{3 pi } {x`sinxdx``}]의 값은?
[2005년 9월 평가원][3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2`pi]	③ [eqn: 3`pi]

④ [eqn: 4`pi]	⑤ [eqn: 5`pi]

32 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]을

[eqn: a _{n} = int _{0} ^{1} {x ^{2n-1} e ^{x ^{n}}} dx``]라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}} ``]의 값을 구하시오.

(단 [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.)

33 정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {x`ln(x ^{2} +1)dx``}]의 값은?

① [eqn: ln`2-1]	② [eqn: ln`2 - 1over2]	③ [eqn: ln`2]

④ [eqn: ln`2 + 1over2]	⑤ [eqn: ln`2 +1]

34 [eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {sin2x} int _{0} ^{x} {cos ^{3} t`dt``}}]의 값은?

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

35 무한급수 [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT } ^{5} {2k} over {n ^{2}} ``}]의 합은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 21over2]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 23over2]	⑤ [eqn: 12]

36 다항함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt=x ^{3} -2ax ^{2} +ax``}]

를 만족시킬 때, [eqn: f(3)``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a``]는 상수이다.)

37 그림과 같이 사분원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1(x GEQ 0,``y GEQ 0)``]의 호를 [eqn: n``]등분한 점을 차례로 [eqn: P _{o} (1,````0),````P _{1} ,````P _{2} ,```` CDOTS ,````P _{n-1} ,````P _{n} (0,``1)``]

이라 하자. 점 [eqn: P _{k} ``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발 [eqn: H _{k} ``]에 대하여 선분 [eqn: OH _{k} ``]를 반지름으로 하고 중심이 원점인 원이 두 선분 [eqn: OP _{k} ,````OP _{k-1} ``]에 의하여 잘린 색칠된 부채꼴의 넓이를 [eqn: S _{k} ``]라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n-1} S _{k} ``}]의 값은?

① [eqn: pi over2]	② [eqn: pi over4]	③ [eqn: pi over6]

④ [eqn: pi over8]	⑤ [eqn: pi over10]

38 실수 전체에서 미분가능하고 이계도함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)``]가 등식

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {f(t)`cost`dt+2``}]

를 만족할 때, [eqn: f`''(0)``]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

39 그림과 같이 삼차함수
[eqn: y=f(x)``]의 그래프가 [eqn: x``]축과
[eqn: x=a,```x=`b,````x=c``]에서 만나고 있다. 함수 [eqn: F(x)= int _{b} ^{x} {f(t)dt``}]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a<b<c)``]

[보 기]

ㄱ. [eqn: F(a)>0]

ㄴ. 함수 [eqn: F(x)``]는 [eqn: x=b``]에서 극대이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: F(x)=0``]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

40 정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {{cosx} over {sinx+cosx} dx+ int _{{pi } over {4}} ^{0} {{sinx} over {cosx+sinx} dx``}}]의 값은?

① [eqn: 1over2 `ln`2]	② [eqn: ln`2]	③ [eqn: 3over2 `ln`2]

④ [eqn: 2`ln`2]	⑤ [eqn: 5over2 `ln`2]

41 [eqn: x>0``]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가

[eqn: f(x) over x + f'(x) = left( 2 + 1 over x right) lnx``], [eqn: f(1) = - 3over2``]

을 만족시킬 때, [eqn: f(e)``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: e over4``]	② [eqn: e over2``]	③ [eqn: 3 over4 e``]

④ [eqn: e``]	⑤ [eqn: 5 over 4 e``]

42 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{h -> 0} { {f(x+h) -f(x-h)} over h = 2 (x+1)e^x ``]

(나) [eqn: lim _{x->1}{f(x) = 2e``]

[eqn: f(0)``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.) [4점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: e``]

④ [eqn: 2e``]	⑤ [eqn: 3e``]

43 함수 [eqn: f(x) = int { x^2 -5x + 8 } over {x^2 -6x +8 } dx``]에 대하여 [eqn: f(0) = 3`ln2``]일 때, [eqn: f(3)``]의 값을 구하시오.

44 다음 두 조건을 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: g(x) = int f(x)e^x dx``]이고 [eqn: g(0) =2``]일 때, [eqn: g(3)``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

(가) 임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: (x-2)f(x)=2 int f(x)dx``]

(나) [eqn: lim_{x->1} {{f(x)+3} over x-1 }=3``]

45 [eqn: x>0``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)``]는 이계도함수가 존재하고 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1) =2``]

(나) [eqn: xf'(x) - 2f(x) +3 =0``]

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f'(x) !=0``])

[보 기]

ㄱ. [eqn: f'(1) =1``]	ㄴ. [eqn: f''(1) =1``]	ㄷ. [eqn: f (root 3 ) = 3``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

46 함수 [eqn: f(x) = int root{lnx} over x dx``]에 대하여 [eqn: f(e)=1``]일 때, [eqn: f left(e^4 right)``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.) [3점]

① [eqn: 5``]	② [eqn: 17 over3``]	③ [eqn: 6``]

④ [eqn: 19 over3``]	⑤ [eqn: 7``]

47 연속함수 [eqn: f(x)``]의 도함수가 [eqn: f'(x) = cases { sin^3 x &(x>0) # k cos left( pi over2 -x right) &(x<0) } ``]이고 [eqn: f(pi ) = f(-pi) = 1``]일 때, 실수 [eqn: k``]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 over3``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 4 over3``]

④ [eqn: 5 over3``]	⑤ [eqn: 2``]

48 [eqn: x>0``]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]의 한 부정적분이 [eqn: F(x)``]일 때, 다음이 성립한다.

(가) [eqn: F(1) = 1 over2 e``]

(나) [eqn: F(x) = xf(x) - 1over 2 x^2 e^x``]

[eqn: f(3)``]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.)

① [eqn: 2e``]	② [eqn: e^2``]	③ [eqn: 2e^2``]

④ [eqn: e^3``]	⑤ [eqn: 2e^3``]

49 두 실수 [eqn: a,b]에 대해서 다음 등식이 성립한다.

(가) [eqn: int _{-a} ^{b} {dx= {13} over {2}}]	(나) [eqn: int _{0} ^{1} {(3ax-1)(y-b)`dy=0`}]

[eqn: ab`]의 값은?

①　[eqn: 2]	②　[eqn: {5} over {2}]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: {7} over {2}]	⑤　[eqn: 4]

50 일차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

[eqn: int _{-1} ^{1} {xf(x)`dx=2,` int _{-1} ^{1} {x(x+1)f(x)`dx= {10} over {3} `}}]이 성립할 때, [eqn: f(1)`]의 값을 구하시오.

51 함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +1`(x LEQ 1)&#3x+x ^{2} `(x GEQ 1)&}} `]에 대하여 [eqn: int _{-1} ^{2} {4xf(x)`dx`}]의 값을 구하시오.

52 등식 [eqn: int _{-1} ^{``1} {(x-2) ^{2} (x+1) ^{4} `dx= int _{0} ^{2} {LEFT { x ^{6} -ax ^{5} +(a+3)x ^{4} RIGHT } dx}}]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은?

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 5]

④　[eqn: 6]	⑤　[eqn: 7]

53 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]가 극댓값 [eqn: f(1)=1`]과 극솟값 [eqn: f(3)=`-3]을 가지며, [eqn: f(0)=`-3`]이다. 이때, [eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | f prime (x) RIGHT | `dx`}]의 값은? [3점]

①　[eqn: 6]	②　[eqn: 7]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 9]	⑤　[eqn: 10]

정답 및 해설

1  [정답] ②

[eqn: f` prime (x)=e ^{x} + LEFT | e ^{x} -e` RIGHT | ```]에서 [eqn: e ^{x} `-e`=0`]인 [eqn: x`]의 값을 구하면

[eqn: e ^{x} `=`e ^{1} `]	[eqn: THEREFORE ````x=`1`]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT ) `] [eqn: x` GEQ `1`]일 때,

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`e ^{x} `+` LEFT ( e ^{x} `-e RIGHT ) `=`2`e ^{x} `-e`]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT ) `] [eqn: x`<1`]일 때,

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`e ^{x} `-` LEFT ( e ^{x} `-e` RIGHT ) `=`e`]

[eqn: THEREFORE ````f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{2`e ^{x} `-e&`` LEFT ( `x` GEQ `1 RIGHT ) `#e&`` LEFT ( x`<`1` RIGHT )}} `]

[eqn: int _{} ^{} {` LEFT ( 2e ^{x} `-e` RIGHT ) `dx} `=`2e ^{x} `-`ex`+`C` _{1} ``] (단, [eqn: C` _{1} `]은 적분상수),

[eqn: int _{} ^{} {`e`dx} `=`ex`+`C` _{2} `](단, [eqn: C` _{2} `]은 적분상수)이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{`2`e ^{x} `-`ex`+C` _{1}&`` LEFT ( x` GEQ `1` RIGHT )#ex`+`C` _{2}&`` LEFT ( x`<`1` RIGHT ) `}} `]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`C` _{2} `=`1`]이므로 [eqn: C` _{2} `=1`]

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {` LEFT ( 2e ^{x} `-ex`+`C` _{1} RIGHT )} `=` lim _{x` -> `1-0} {` LEFT ( ex`+`C` _{2} RIGHT )} `]

[eqn: 2e`-e`+`C` _{1} `=`e`+`C` _{2} `], [eqn: C` _{1} `=`C` _{2} `]	[eqn: THEREFORE ````C` _{1} `=`1`]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{`2`e ^{x} `-`ex`+1&`` LEFT ( x` GEQ `1` RIGHT )#ex`+1&`` LEFT ( x`<`1` RIGHT ) `}} `]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( 1 RIGHT ) CDOT f` LEFT ( -1 RIGHT ) `=` LEFT ( e+1 RIGHT ) LEFT ( -e+1 RIGHT ) `=`1`-e ^{2} `]

2  [정답] ③

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) `=`f LEFT ( x RIGHT ) `+`f LEFT ( y RIGHT ) `+`2xy`], [eqn: `f`□` LEFT ( 0 RIGHT ) `=2`]를 만족하므로

ㄱ. [eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) `=`f LEFT ( x RIGHT ) `+`f LEFT ( y RIGHT ) `+`2xy`]의 양변에 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`f LEFT ( 0 RIGHT ) `+`f LEFT ( 0 RIGHT ) `]	[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( 0 RIGHT ) `=0`] (참)

ㄴ. [eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=` lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( x+h RIGHT ) `-`f LEFT ( x RIGHT )} over {h} `}][eqn: =` lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( x RIGHT ) `+f LEFT ( h RIGHT ) `+2xh`-`f LEFT ( x RIGHT )} over {h} `}]

[eqn: `=` lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( h RIGHT ) `+`2xh} over {h}} `=` lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( h RIGHT )} over {h} `+`2x} `]

[eqn: `=`2x`+`2`]

[eqn: LEFT ( BECAUSE ```` lim _{h -> `0} {` {f LEFT ( h RIGHT )} over {h} `} =` lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( 0+h RIGHT ) `-`f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h} `} =`f`□` LEFT ( 0 RIGHT ) `=2` RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE ```f`□` LEFT ( 1 RIGHT ) `=`2+2`=`4`] (거짓)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` int _{} ^{} {`f`□` LEFT ( x RIGHT ) dx} `=` int _{} ^{} {` LEFT ( 2x+2 RIGHT ) `dx} `=`x ^{2} `+2x`+`C``]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`C`=`0`]	[eqn: THEREFORE ````C``=0`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} `+`2x`=` LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} `-1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=`-1`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

3  [정답] ③

[eqn: f` prime (x)= {cases{x ^{2}&(x<1)#-1&(x>1)}} ``]에서

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{{1} over {3} x ^{3} `+`C` _{1}&` LEFT ( x<1 RIGHT )#-x+C` _{2}&` LEFT ( x>1 RIGHT )}} `] (단, [eqn: C` _{1`}], [eqn: C` _{2} `]는 적분상수)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {` LEFT ( {1} over {3} x ^{3} `+`C` _{1} RIGHT )} `=` lim _{x` -> `1+0} {` LEFT ( -x`+C` _{2} ` RIGHT ) `}]

[eqn: {1} over {3} `+`C` _{1} `=`-1`+`C` _{2} `]	[eqn: C` _{2} `=`C _{`1`} +` {4} over {3} `]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=0`]에서 [eqn: {1} over {3} CDOT 0`+`C` _{1} `=0`]	[eqn: THEREFORE ````C` _{1} `=0`]

이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: C` _{2} `=` {4} over {3} `]이다.

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{{1} over {3} x ^{3} `&`` LEFT ( x<1 RIGHT )#-x+ {4} over {3}&`` LEFT ( x>1 RIGHT )}} `]

[eqn: 0`<`x`<1`]일 때, [eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) >0`]이고 [eqn: x>1`]일 때, [eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `<0`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1`]에서 극대이고 극댓값은 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=` {1} over {3} `]이다.

4  [정답] ③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 한 부정적분이 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: F``□` LEFT ( x RIGHT ) `=`f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) `=`xf LEFT ( x RIGHT ) `+`sin`x`-`x`cos`x`]에서

[eqn: F``□` LEFT ( x RIGHT ) `=`f LEFT ( x RIGHT ) `+`x`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `+`cos`x`-`cos`x`+`x`sin`x`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`f LEFT ( x RIGHT ) `+`x`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `+`cos`x`-`cos`x`+`x`sin`x`]

[eqn: x`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`-`x`sin`x`]

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`-sin`x```` LEFT ( BECAUSE ````x`>0` RIGHT ) ``]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` int _{} ^{} {f`□ LEFT ( x RIGHT ) dx} `=` int _{} ^{} {LEFT ( -`sin`x RIGHT ) `dx} `=`cos`x`+`C``]

[eqn: f LEFT ( `2 pi RIGHT ) `=`cos`2 pi `+`C``=`1+`C``=`2`]	[eqn: THEREFORE ````C``=1`]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`cos`x`+`1`]이므로

[eqn: f` LEFT ( pi RIGHT ) `=`cos` pi `+1`=` LEFT ( -1 RIGHT ) `+`1`=`0`]

5  [정답] ①

[eqn: f LEFT ( x` RIGHT ) =` int _{} ^{} {{cos ^{2} x`-x} over {x`cos` ^{2} `x} `dx} `=` int _{} ^{} {LEFT ( {1} over {x} `-` {1} over {cos ^{2} `x} RIGHT ) dx`}]

[eqn: =` int _{} ^{} {` LEFT ( {1} over {x} `-`sec ^{2} `x RIGHT ) `dx`} =`ln` LEFT | `x` RIGHT | `-`tan`x`+`C``]

[eqn: f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `=`ln` LEFT | ` {pi } over {4} ` RIGHT | `-`tan` {pi } over {4} `+`C``=`ln` {pi } over {4} `-1`+`C``]

[eqn: f LEFT ( -` {pi } over {4} RIGHT ) `=`ln` LEFT | `- {pi } over {4} ` RIGHT | `-`tan` LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT ) `+`C``][eqn: =`ln` {pi } over {4} `+1`+C``]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `-`f LEFT ( -` {pi } over {4} RIGHT ) `=`-2`]

6   [정답] [eqn: 7over4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`tan` {x} over {2} `+`cot` {x} over {2} `=` {sin` {x} over {2}} over {cos` {x} over {2}} `+` {cos` {x} over {2}} over {sin` {x} over {2}} `]

[eqn: =` {sin ^{2} ` {x} over {2} `+`cos ^{2} {x} over {2}} over {cos` {x} over {2} `sin` {x} over {2}} `=` {1} over {cos` {x} over {2} `sin` {x} over {2}} `]

[eqn: =` {2} over {2`cos` {x} over {2} `sin` {x} over {2} `} `=` {2} over {sin`x} `]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=` int _{} ^{} {` {1} over {f LEFT ( x RIGHT )} `dx} `=` int _{} ^{} {` {sin`x} over {2} `dx} `=`- {1} over {2} `cos`x`+`C``]

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) `=` {2} over {sin` {pi } over {2}} `=`2`], [eqn: g LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) `=`- {1} over {2} `cos` {pi } over {2} `+`C``=`C``]이므로

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) `=`g LEFT ( ` {pi } over {2} RIGHT ) `]에서 [eqn: C``=`2`]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`- {1} over {2} `cos`x`+`2`]이므로

[eqn: g` LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) `=`- {1} over {2} `cos` {pi } over {3} `+2`=`-` {1} over {4} `+`2`=` {7} over {4} `]

7  [정답] [eqn: 10]

[eqn: y`=`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프로부터

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`ax LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ``] (단, [eqn: a>0`])

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=0`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=1`] 또는 [eqn: x=2`]

함수 [eqn: y=`f LEFT ( x RIGHT ) `]의 증가 ․ 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=`1`]에서 극댓값, [eqn: x=0`], [eqn: x=2`]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=` int _{} ^{} {`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=` int _{} ^{} {`ax LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `dx} `]

[eqn: =`a int _{} ^{} {` LEFT ( x ^{3} `-`3x ^{2} `+`2x` RIGHT ) `dx} `=`a LEFT ( {1} over {4} x ^{4} `+`x ^{3} `+`x ^{2} RIGHT ) `+C``]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`C``], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `=`C``]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`f LEFT ( 2 RIGHT ) `=`C``=1`]	[eqn: THEREFORE ````C``=1`]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`2`]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`a LEFT ( {1} over {4} `-1+1 RIGHT ) `+C``=` {1} over {4} a`+1``=2`]	[eqn: THEREFORE ````a=4`]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`4 LEFT ( {1} over {4} `x ^{4} `-x ^{3} `+x ^{2} ` RIGHT ) `+1`=`x ^{4} `-4x ^{3} `+`4x ^{2} `+1`]이므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=`1+4+4+1`=`10`]

8  [정답] ⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `+`x`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=` {2} over {x} `+`3 sqrt {x} ``]에서

[eqn: {d} over {dx} LEFT { xf` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `=`f LEFT ( x RIGHT ) `+`x`f`□ LEFT ( x RIGHT ) `=` {2} over {x} `+`3 sqrt {x} `]이므로

[eqn: xf` LEFT ( x RIGHT ) `=` int _{} ^{} {LEFT ( {2} over {x} `+`3 sqrt {x} RIGHT ) dx} `=`2`ln LEFT | `x` RIGHT | `+`2x sqrt {x} `+`C``]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`4`]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`2+`C``=`4`]	[eqn: THEREFORE ````C``=2`]

따라서 [eqn: x`f LEFT ( x RIGHT ) `=`2`ln` LEFT | `x` RIGHT | `+`2x sqrt {x} `+`2`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {1} over {x} ` LEFT ( 2`ln`x`+`2x sqrt {x} `+`2` RIGHT ) ````` LEFT ( BECAUSE ````x>0` RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( {1} over {e} RIGHT ) `=`e` LEFT ( 2``ln` {1} over {e} `+` {2} over {e} ` sqrt {{1} over {e}} `+`2` RIGHT ) `=` {2} over {sqrt {e}} `]

9  [정답] ④

[eqn: int _{} ^{} {x`f`□` LEFT ( x RIGHT ) dx} `=`x ^{2} `+` sqrt {x} `+C``]에서 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: x`f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`2x`+` {1} over {2 sqrt {x}} `]

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) `=`2`+` {1} over {2x sqrt {x}} `` LEFT ( BECAUSE ````x`>`0` RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( x RIGHT ) `=` int _{} ^{} {` LEFT ( 2+` {1} over {2x sqrt {x}} RIGHT )} `dx`=` int _{} ^{} {LEFT ( 2+` {1} over {2} x ^{`- {3} over {2}} RIGHT ) `dx} `]

[eqn: =`2x`-x ^{-` {1} over {2}} `+`C` _{1} `] (단, [eqn: C` _{1} ``]은 적분상수)

[eqn: =`2x`-` {1} over {sqrt {x}} `+`C` _{1} ``]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`2-1`+`C` _{1} `=`1+`C` _{1} `=`2`]	[eqn: THEREFORE ```C` _{1} `=`1`]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`2x`-` {1} over {sqrt {x}} `+`1```]이므로

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `=`8-` {1} over {2} `+`1`=` {17} over {2} `]

10  [정답] ①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =` int _{} ^{} {e ^{x} `cos` pi x} `dx``]에서 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`□` LEFT ( x RIGHT ) =` {d} over {dx} ` int _{} ^{} {e ^{x} `cos` pi x} `dx`=e ^{x} `cos` pi x`]

[eqn: THEREFORE ````f`□` LEFT ( 1 RIGHT ) `=`e`cos` pi `=`-e`]

11   [정답] ⑤

[eqn: f(x) = int (tan x + tan^3 x ) dx = int tan x (1+ tan^2 x) dx]

[eqn: = int tan x sec ^2 x dx]

[eqn: tan x = t]로 놓고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: dt over dx = sec ^2 x]

[eqn: therefore f(x) = int t dt = 1 over 2 t^2 + C = 1 over 2 tan ^2 x +C]

그런데 [eqn: f(0) = C= 0]에서 [eqn: C=0] 따라서 [eqn: f(x) = 1 over 2 tan ^2 x]이므로

[eqn: f left( pi over 3 right) = 3 over 2]

12  [정답] [eqn: 38]

[eqn: f(x) = int cos ^5 x dx]

[eqn: = int cos x cos ^2 x cos ^2 x dx]

[eqn: int cos x(1 - sin ^2 x ) (1 - sin ^2 x) dx]

[eqn: sin x = t]로 놓고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: dt over dx = cos x]

[eqn: therefore f(x) = int (1-t^2 ) (1- t^2 ) dt]

[eqn: = int ( t^4 - 2t^2 + 1) dt = 1 over 5 t^5 - 2 over 3 t^3 + t +C]

[eqn: = 1 over 5 sin ^5 x - 2 over 3 sin ^3 x + sin x +C]

그런데 [eqn: f(0) = C=1]이므로

[eqn: f(x) = 1 over5 sin ^5 x - 2 over 3 sin ^3 x + sin x +1]

[eqn: therefore f left( pi over 2 right) = 1 over 5 - 2 over 3 +1 +1 = 23 over 15]

따라서 [eqn: p = 15], [eqn: q = 23]이므로

[eqn: p+q = 38]

13  [정답] [eqn: 4]

[eqn: d over dx left{ e^f(x) right} = e^f(x) cdot f'(x) = e^f(x) cdot ln x]이므로 [eqn: f'(x) = ln x]

[eqn: therefore f(x) = int ln x dx = x ln x - int x cdot 1 over x dx]

[eqn: = x ln x - x +C] 그런데 [eqn: f(1) = -1 + C = 3]이므로 [eqn: C=4]

따라서 [eqn: f(x) = x ln x - x +4]이므로 [eqn: f(e) = e-e+4=4]

14  [정답] ③

[eqn: F(1) = f(1) -e = 0]이므로 [eqn: f(1) = e]

[eqn: F(x) = x f(x) - x^2 e^x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) = f(x) + xf'(x) - 2xe^x - x^2 e^x]

[eqn: x f'(x) = 2xe^x + x^2 e^x]

[eqn: f'(x) = 2e^x + xe^x ( because x>0)]

[eqn: therefore f(x) = int (2e^x + xe^x ) dx][eqn: = 2e^x + xe^x - int e^x dx]

[eqn: = 2e^x +xe^x - e^x +C = e^x + xe^x +C]

그런데 [eqn: f(1) = e+e+C=e]이므로 [eqn: C = -e]

따라서 [eqn: f(x) = (x+1)e^x -e]이므로 [eqn: f(2) = 3e^2 -e]

15  [정답] ②

[eqn: sin x =t]로 놓고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: dt over dx = cos x]

[eqn: therefore f(x) = int { cos x (1+ sin x) } over { sin ^2 x} dx = int {1+sin x} over {sin^2 x} cdot cos x dx]

[eqn: = int 1+t over t^2 dt = int left( 1 over t^2 + 1 over t right) dt]

[eqn: = - 1 over t + ln |t| + C = - 1 over sinx + ln |sin x| +C]

[eqn: = - 1 over sinx + ln (sin x) + C] [eqn: (because 0<x<pi]일 때, [eqn: sin x >0])

그런데 [eqn: f left( pi over 2 right) = 1]이므로 [eqn: -1 +C =1] [eqn: therefore C=2]

따라서 [eqn: f(x) = - 1 over sin x + ln (sin x ) + 2]이므로

[eqn: f left( pi over 6 right) = -2 + ln 1 over 2 + 2 = - ln 2]

16  [정답] ⑤

ㄱ. [eqn: f'(x) = -g(x)], [eqn: g'(x) = -f(x)]를 변끼리 더하면

[eqn: f' (x) + g'(x) = - left{f(x) + g(x) right}]

[eqn: { f'(x) + g'(x)} over{ f(x) + g(x)} = -1] [eqn: (because f(x) > g(x)>0)]

[eqn: int { f'(x) + g'(x)} over {f(x) + g(x) }dx = int (-1) dx]

[eqn: ln left{ f(x) + g(x) right} = -x +C] [eqn: (because f(x) + g(x) >0 )]

그런데 [eqn: ln left{ f(0) + g(0) right} = C]이고

[eqn: f(0) = 2e], [eqn: g(0) = e]이므로 [eqn: C = ln 3e]

따라서 [eqn: ln left{ f(x) +g(x) right} = -x + ln 3e]이므로

[eqn: f(x) + g(x) = e^{ -x + ln 3e} = 3e^-x+1](거짓)

ㄴ. [eqn: f'(x) = -g(x)], [eqn: g'(x) = -f(x)]를 변끼리 빼면

[eqn: f'(x) - g'(x) = f(x) - g(x)]

[eqn: {f'(x) - g'(x)} over{ f(x) - g(x)} = 1] [eqn: ( because f(x) > g(x) > 0)]

[eqn: int { f'(x) - g'(x)} over{ f(x) - g(x)} dx = int 1 dx]

[eqn: ln left{ f(x) - g(x) } right} = x + C_1] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)

그런데 [eqn: ln left{ f(0) - g(0) right} = C_1]이고

[eqn: f(0) = 2e], [eqn: g(0) = e]이므로

[eqn: C_1 = 1]

[eqn: therefore ln left{ f(x) - g(x) right} = x+1]

[eqn: therefore f(x) - g(x) = e^x+1]

따라서 [eqn: f(x) + g(x) = 3e^-x+1], [eqn: f(x)- g(x) = e^x+1]을

변끼리 곱하면

[eqn: left{ f(x) right}^2 - left{ g(x) right}^2 = 3e^2](참)

ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 [eqn: f(x) + g(x) = 3e^-x+1],

[eqn: f(x) - g(x) = e^x+1]이므로 변끼리 더하면

[eqn: 2f(x) = 3e^-x+1 + e^x+1]

[eqn: 2f(1) = 3+e^2]

[eqn: therefore f(1) = 1 over 2 (e^2 + 3 )](참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

17  [정답] [eqn: 18]

[eqn: f(x) = int (2x+1) root{ x^2 +x +3} dx]에서 [eqn: root{ x^2 + x+ 3} = t]로 놓고 양변을 제곱하면 [eqn: x^2 + x +3 = t^2]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: 2t cdot dt over dx = 2x +1]

[eqn: therefore f(x) = int t cdot 2t dt = 2 over 3 t^3 + C = 2 over 3 (x^2 + x+3 ) root{ x^2 + x+3} +C]

그런데 [eqn: f(-1) = 2root3 +C = 2root3]이므로 [eqn: C=0]

따라서 [eqn: f(x) = 2 over 3 ( x^2 + x +3 ) root{ x^2 + x+3]이므로

[eqn: f(2) = 18]

18  [정답] ④

[eqn: g(x) = e^ -x f(x)]의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: g(0) = f(0)=-1]

[eqn: g(x) = e^-x f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = -e^-x f(x) + e^-x f'(x)][eqn: = -e^-x (2x-3)]

[eqn: (becausef(x) - f'(x) = 2x-3)]

[eqn: therefore g(x) = int left{ -e^-x (2x-3) right} dx]

[eqn: = e^-x (2x-3) - int 2e^-x dx][eqn: = e^-x (2x-3) + 2e^-x +C]

[eqn: = e^-x (2x-1) +C]

그런데 [eqn: g(0) = -1]이므로

[eqn: g(0) = -1 +C = -1] [eqn: therefore C=0]

따라서 [eqn: g(x) = e^-x (2x-1)]이므로 [eqn: g(1) = 1 over e]

19  [정답] ⑤

[eqn: lim_x->1 {f(x)-1} over x-1 = 2]에서 [eqn: x->1]일 때, 분모가 [eqn: 0]으로 수렴하므로 분자도 [eqn: 0]으로 수렴하여야 한다. 즉, [eqn: lim_x->1 left{ f(x) -1 right} = 0]

[eqn: therefore lim_x->1 f(x) = 1]

또, [eqn: f(1) = 1]이므로

[eqn: lim_x->1 {f(x) -1} over x-1 = lim_x->1 { f(x) - f(1)} over {x-1} = f'(1) =2]

[eqn: f'(x) = axe^2(x-1)]에서 [eqn: f'(1) =a = 2]이므로

[eqn: f'(x) = 2xe^2(x-1)]

[eqn: therefore f(x) = int 2x e^2(x-1) dx = xe^2(x-1) - int e^2(x-1) dx]

[eqn: = xe^2(x-1) - 1 over 2 e^2(x-1) +C]

그런데 [eqn: f(1) = 1 - 1 over 2 +C = 1]이므로

[eqn: C = 1 over 2]

따라서 [eqn: f(x) = xe^2(x-1) - 1 over 2 e^2(x-1) + 1 over 2]이므로

[eqn: f(2) = 3 over 2 e^2 + 1 over 2 = 1 over 2 (3e^2 +1)]

20  [정답] ⑤

[eqn: f(x) = int 3x over {3x^2 +1} dx]에서 [eqn: 3x^2 +1 =t]로 놓고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: dt over dx =6x]

[eqn: therefore f(x) = int 3x over { 3x^2 +1 } dx = int 1 over 2t dt = 1 over 2 ln |t| + C]

[eqn: = 1 over 2 ln | 3x^2 +1 | +C = 1 over 2 ln (3x^2 +1 ) + C ( because 3x^2 +1 >0)]

[eqn: therefore f(4) - f(0) = left( 1 over 2 ln 49 +C right) - C = ln7]

21  [정답] ②

[eqn: int_{0}^{1} e^x dx = lim_{n->inf} sum_{k=1}^{n} e^{ k over n} cdot 1 over n]

[eqn: =lim_{n->inf} 1 over n sum_{k=1}^{n} e^{k over n}]

[eqn: =lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {n} TIMES {e ^{{1} over {n}} (1-e)} over {1-e ^{{1} over {n}}} RIGHT }]

[eqn: =]

이때, [eqn: h= 1 over n]로 놓으면 [eqn: n-> inf] 일 때, [eqn: h->0]이므로

[eqn: =lim_{h->0} h over 1-e^h]

[eqn: =- lim_{h->0} {1} over {{e^h -1} over h}]

[eqn: =]

[eqn: therefore int_{0}^{1} e^x dx = lim_{n->inf} left{ {e^{1overn} (1-e)} over {n(1- e^{1over n} )} right}]

[eqn: =(1-e) times lim_{n->inf} e^{1overn} times lim_{n->inf} {1} over {n(1- e^{1overn })]

[eqn: =(1-e) times 1 times (-1)]

[eqn: =]

따라서 [eqn: f(n)= e^{1overn } ,~][eqn: a=-1,~b=e-1]이므로

[eqn: f(1)+a+b=e+(-1)+(e-1)=2(e-1)]

22  [정답] ③

[eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: f'(x) ge 0 ,~ 1 le x le 3]에서 [eqn: f'(x) le0]이므로

[eqn: int_{0}^{3} | f'(x) | dx = int_{0}^{1} f'(x) dx + int_{1}^{3} left{- f'(x) right} dx]

[eqn: = left[ f(x) right]_{0}^{1} + left[ - f(x) right]_{1}^{3}]

[eqn: =left{f(1) - f(0) right} + left{-f(3) + f(1) right}]

[eqn: = left{1-(-3) right} + (3+1)]

[eqn: =4+4=8]

23  [정답] ②

[eqn: int_{0}^{1} f(x) dx = int_{0}^{1}(e^x -ax)dx]

[eqn: =left[e^x - {ax^2} over 2 right]_{0}^{1}]

[eqn: =left(e- a over 2 right) - (1-0)]

[eqn: =e- a over 2 -1]

한편, [eqn: f(1)= e-a]이므로

[eqn: e- a over 2 -1 = e -a]

[eqn: a over 2 =1]

[eqn: thereforea=2]

24  [정답] ②

[eqn: n]개의 부채꼴의 중심각의 크기는 모두 [eqn: pi over 3n]이므로 [eqn: n]개의 삼각형의 넓이의 합 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = n times 1 over 2 cdot 2^2 sin pi over 3n = 2n sin pi over 3n]

[eqn: therefore lim_{n->inf} S_n = lim_{n->inf} 2n sin pi over 3n]

[eqn: = lim_{n->inf} left( {sin pi over 3n} over { pi over 3n} times 2n times pi over 3n right)]

[eqn: = 2 over 3 pi lim_{n->inf} {sin pi over 3n} over { pi over 3n}]

[eqn: = 2 over 3 pi]

[eqn: therefore S_12 times lim_{n->inf} S_n = 24 times sin pi over 36 times 2 over 3 pi = 16 pi sin pi over 36]

25  [정답] ①

[eqn: int_{-1}^{1} | e^x -1 | dx]

[eqn: = int_{-1}^{0}(1- e^x )dx + int_{0}^{1} (e^x -1) dx]

[eqn: =left[ x- e^x right]_{-1}^{0} + left[ e^x -x right]_{0}^{1}]

[eqn: = left{(0-1)-(-1-e^{-1} )right} + left{(e-1)-(1-0) right}]

[eqn: = 1 over e + e -2]

26  [정답] ⑤

[eqn: int_{a}^{b} f(x)dx = left[F(x) right]_{a}^{b} = F(b) - F(a) =3]

[eqn: thereforeF(b)=F(a)+3]

[eqn: int_{a}^{c} f(x)dx = left[F(x) right]_{a}^{c} = F(c) - F(a) =0]

[eqn: thereforeF(c)=F(a)]

한편, [eqn: F'(x) =f(x)]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프로부터

[eqn: y=F(x)]의 그래프의 개형을 그리면 방정식 [eqn: F(x) =4]가 서로 다른 네 실근을 갖기 위해서는 함수 [eqn: y=F(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=4]가 서로 다른 네 점에서 만나야 하므로 다음 그림과 같다.

이때, [eqn: F(a)<4]이고 [eqn: F(a) +3>4]이므로

[eqn: 1<F(a)<4]

따라서 정수 [eqn: F(a)]의 값은 [eqn: 2,~3]이므로 그 합은 [eqn: 5]이다.

27  [정답] ④

[eqn: sin x + sqrt3 cos x]

[eqn: =2 left(1over2 {rmsin} x + sqrt3 over 2 cos x right)]

[eqn: =2 sin left(x + pi over 3 right)]

한편, [eqn: f(x)=sin x + sqrt3 cos x]라 하면 [eqn: 0 le x le 2 over 3 pi]일 때

[eqn: f(x) ge0,~ 2 over 3 pi < x le pi]일 때 [eqn: f(x) <0]이므로

[eqn: int_{0}^{pi} | sin x + sqrt3 cos x `|`dx]

[eqn: =int_{0}^{2over3 pi} (sin x +sqrt3 cos x )dx + int_{2over3 pi}^{pi} (- sinx -sqrt3 cosx)dx]

[eqn: =left[-cosx + sqrt3 sin x right]_{0}^{2 over 3 pi} + left[cosx - sqrt3 sinx right]_{2over3 pi}^{pi}]

[eqn: =left{ left(1over2 + 3 over 2 right)-(-1+0) right} + left{ (-1-0)- left( - 1 over 2 - 3 over 2 right) right}]

[eqn: =3+1]

[eqn: =4]

28   [정답] ⑤

[eqn: f(x)>0,~f'(x)>0,~f''(x)>0]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, [eqn: A= sum_{k=1}^{10} f(k)]의 값은 [그림 가]의 직사각형의 넓이의 합과 같다. [eqn: B= 1 over 2 sum_{k=1}^{20} f left( k over 2 right)]의 값은 [그림 가]의 각 직사각형에서 가로의 길이를 이등분한 후 만든 직사각형의 넓이의 합과 같으므로 [그림 나]의 직사각형의 넓이의 합과 같다.

[그림 가]                    [그림 나]

한편, [eqn: C= int_{0}^{10} f(x)dx]는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0,~x=10]으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로

[eqn: C<B<A]

29  [정답] ②

[eqn: f'(x)= cases{ 2x```&(x<0) #sinx ```&(x>0) }]이므로

[eqn: f(x)= cases{ x^2 +C_1```&(x<0) #-cosx+C_2 ```&(x>0) }] (단, [eqn: C_1 ,~C_2]는 적분상수)

한편, [eqn: f left( pi over 2 right) =0]이므로

[eqn: f left( pi over 2 right) = - cos pi over 2 + C_2 =0]

[eqn: therefore C_2 =0]

[eqn: f(x)]가 연속함수이므로 [eqn: x=0]에서 연속이어야 한다.

즉, [eqn: lim_{x->-0} f(x) = lim_{x->+0} f(x)]에서

[eqn: lim_{x->-0} (x^2 + C_1 ) = lim_{x-> +0} (- cosx)]

[eqn: thereforeC_1 =-1]

따라서 [eqn: f(x)= cases{ x^2 -1&(x<0) #-cosx &(x ge0) }]이므로

[eqn: int_{-1}^{piover2} f(x) dx = int_{-1}^{0} f(x) dx + int_{0}^{pi over 2} f(x) dx]

[eqn: =int_{-1}^{0}(x^2 -1) dx + int_{0}^{pi over 2 } (- cosx ) dx]

[eqn: = left[ x^2 over 3 -x right]_{-1}^{0} + left[ - sin x right]_{0}^{pi over 2 }]

[eqn: = - 2 over 3 + (-1)]

[eqn: =- 5 over 3]

30  [정답] ②

[eqn: int_{0}^{pi} sin x over 2 left( sin x over 2 + cos x over 2 right) dx]

[eqn: =int_{0}^{pi} left( sin^2 x over 2 + sin x over 2 cos x over 2 right) dx]

[eqn: =int_{0}^{pi} left( {1-cosx} over 2 + 1 over 2 {rmsin} x right) dx]

[eqn: = 1over 2 int_{0}^{pi} (1-cosx + sin x)dx]

[eqn: = 1over2 left[ x - sin x - cosx right]_{0}^{pi}]

[eqn: = 1 over 2 ( pi + 2)]

[eqn: = pi over 2 +1]

31  [정답] ⑤

[eqn: int _{2 pi } ^{3 pi } {x`sinxdx``}]
[eqn: = LEFT [ x(-cos`x) RIGHT ] _{2 pi } ^{3 pi } - int _{2 pi } ^{3 pi } {1 BULLET (-cos`x)`dx``}]

[eqn: = LEFT { 3 pi -(-2 pi ) RIGHT } - LEFT [ -sin`x RIGHT ] _{2 pi } ^{3 pi } ``]
[eqn: =5 pi -(0-0)`]
[eqn: =5 pi `]

32  [정답] [eqn: 55`]

[eqn: x ^{n} =t`]로 놓으면 [eqn: nx ^{n-1} ` {dx} over {dt} =1`]이고,
[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=0`,``][eqn: x=1`]일 때 [eqn: t=1`]이므로
[eqn: a _{n} = int _{0} ^{1} {x ^{2n-1} e ^{x ^{n}}} dx``]
[eqn: = int _{0} ^{1} {x ^{n} BULLET x ^{n-1} BULLET e ^{x ^{n}}} dx``]
[eqn: = {1} over {n} int _{0} ^{1} {t``e ^{t}} `dx``]
[eqn: = {1} over {n} LEFT ( LEFT [ t`e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{t} dt} RIGHT ) `]
[eqn: = {1} over {n} LEFT { (e-0)- LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{1} RIGHT } ``]
[eqn: = {1} over {n} LEFT { e-(e-1) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {n} `]

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}} = sum _{n=1} ^{10} n= {10(10+1)} over {2} =55``]

33 [정답] ②

[eqn: x ^{2} +1=t`]로 놓으면 [eqn: 2x` {dx} over {dt} =1`]이고
[eqn: x=0`]일 때, [eqn: t=1`,``x=1`]일 때, [eqn: t=2`]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {x`ln(x ^{2} +1)dx``}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {{1} over {2} `ln`t`dt`}]

[eqn: = {1} over {2} int _{1} ^{2} {`ln`t`dt`}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT [ t`ln`t RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {1`dt} RIGHT } `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { (2`ln`2-0)- LEFT [ t RIGHT ] _{1} ^{2} RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { 2`ln2-(2-1) RIGHT }]

[eqn: =ln2- {1} over {2} ``]

34  [정답] ②
[eqn: lim _{x -> 0} {{1} over {sin2x} int _{0} ^{x} {cos ^{3} t`dt``}}]
[eqn: = lim _{x-> 0} {LEFT ( {1} over {2} TIMES {2x} over {sin`2x} TIMES {1} over {x} int _{0} ^{x} {cos` ^{3} t``dt} RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES cos` ^{3} 0``]
[eqn: = {1} over {2} ``]

35  [정답] ②
[eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT } ^{5} {2k} over {n ^{2}} ``}]
[eqn: =2 lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT } ^{5} {k} over {n} TIMES {1} over {n} ``}]
[eqn: =2 int _{0} ^{1} {(x ^{2} +1) ^{5}} x`dx``]
이때, [eqn: x ^{2} +1=t`]로 놓으면 [eqn: 2x` {dx} over {dt} =1`]이고
[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1`,``][eqn: x=1]일 때 [eqn: t=2`]이므로
[eqn: 2 int _{0} ^{1} {(x ^{2} +1) ^{5} x`dx=2} int _{1} ^{2} {t ^{5} BULLET {1} over {2} dt``}]
[eqn: = int _{1} ^{2} {t ^{5} `dt``}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {6} t ^{6} RIGHT ] _{1} ^{2} ``]
[eqn: = {64} over {6} - {1} over {6} ``]
[eqn: = {21} over {2} ``]

36  [정답] [eqn: 16`]
[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt=x ^{3} -2ax ^{2} +ax``}]의 양변에 [eqn: x=1`]를 대입하면
[eqn: 0=1-2a+a`]	[eqn: THEREFORE ```a=1`]

또, [eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt=x ^{3} -2ax ^{2} +ax``}]의 양변에 [eqn: x`]에 대하여 미분하면
[eqn: f(x)=3x ^{2} -4ax+a=3x ^{2} -4x+1`][eqn: ( BECAUSE ``a=1)`]
[eqn: THEREFORE ``f(3)=27-12+1=16``]

37 [정답] ④

[eqn: rm ANGLE P _{0} OP _{k} =][eqn: {k} over {n} TIMES {pi } over {2} `]이므로 [eqn: rmH _{k} `][eqn: LEFT ( cos` {k pi } over {2n} `,``0` RIGHT ) `]
그러므로 부채꼴의 반지름의 길이는 [eqn: cos` {k pi } over {2n} `,``]
중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2n} `]이므로
[eqn: S _{k} = {1} over {2} TIMES cos` ^{2} {k pi } over {2n} TIMES {pi } over {2n} ``]
[eqn: THEREFORE ``` lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} = lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {1} over {2} TIMES cos ^{2} {k pi } over {2n} TIMES {pi } over {2n} RIGHT )} ``]
[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {{1} over {2} `cos` ^{2} x`dx``}]

[eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {{1+cos`2x} over {2}} dx`]
[eqn: = {1} over {4} int _{0} ^{{pi } over {2}} {(1+cos`2x)} dx`]
[eqn: = {1} over {4} LEFT [ x+ {sin`2x} over {2} RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} ``]
[eqn: = {1} over {4} LEFT { LEFT ( {pi } over {2} +0 RIGHT ) - LEFT ( 0+0 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {pi } over {8} ``]

38  [정답] ②
[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {f(t)`cost`dt+2``}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
㉠의 양변을 [eqn: x`]에 관하여 미분하면
[eqn: f prime (x)=f(x) cos x`]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉡의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면
[eqn: f prime prime (x)=f prime (x) cos x-f(x) sin x``]

㉠과 ㉡에 [eqn: x=0`]을 대입하면
[eqn: f(0)=0`,``f prime (0)=2``]
[eqn: THEREFORE```f prime prime (0)=f prime (0) cos 0-f(0) sin 0=2``]

39  [정답] ④

ㄱ. [eqn: F(x)= int _{b} ^{a} {f(t)dt``} =- int _{a} ^{b} {f(t)`dt`}]
이때, [eqn: int _{a} ^{b} {f(t)dt>0`}]이므로
[eqn: F(a)<0`](거짓)
ㄴ. [eqn: F` prime `(x)= {d} over {dx} int _{b} ^{x} {f(t)dt``} =f(x)`]
이때, [eqn: F`prime`(b)=f(b)=0`]이고 [eqn: x=b`]의 좌우에서 [eqn: F` prime `(x),`]즉
[eqn: f(x)`]의 부호가 [eqn: +]에서 [eqn: -`]로 바뀌므로 [eqn: F(x)`]는 [eqn: x=b`]에서
극대이다.(참)
ㄷ. [eqn: F(b)= int _{b} ^{b} {f(t)dt``} =0`]이고 [eqn: F` prime `(x)=f(x)``]이므로
[eqn: y=f(x)`]의 그래프를 이용하여 [eqn: y=F(x)`]의 그래프를
그리면 다음과 같다.

그러므로 방정식 [eqn: F(x)=0`]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.(참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

40  [정답] ①

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {{cosx} over {sinx+cosx} dx+ int _{{pi } over {4}} ^{0} {{sinx} over {cosx+sinx} dx``}}]
[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {4}} {{cosx} over {sinx+cosx} dx- int _{0} ^{{pi } over {4}} {{sinx} over {cosx+sinx} dx``}}]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {4}} {{cosx-sin`x} over {sinx+cosx} dx``}]

[eqn: sin`x+cos`x=t`]로 놓으면
[eqn: (cos`x-sin`x) {dx} over {dt} =1`]이고
[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1`,``][eqn: x= {pi } over {4} `]일 때, [eqn: t= sqrt {2} `]이므로
[eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {{cosx-sin`x} over {sinx+cosx} dx``} = int _{1} ^{sqrt {2}} {{1} over {t}} dt`]

[eqn: = LEFT [ ln`t RIGHT ] _{1} ^{sqrt {2}} `]

[eqn: =`ln` sqrt {2} -0``]

[eqn: = {1} over {2} `ln`2`]

41 [정답] ②

해설

[eqn: f(x) overx +f'(x) = left(2 + 1overx right) lnx``]의 양변에 [eqn: x``]를 곱하면

[eqn: f(x) + xf'(x) = (2x+1) lnx``]

이때, [eqn: f(x) + x f'(x) = d over dx left{xf(x) right}``]이므로

[eqn: xf(x) = int (2x+1) lnx `dx``]

[eqn: = (x^2 +x) lnx - int (x^2 +x ) 1over x dx``]

[eqn: = (x^2 +x) lnx - int (x+1) dx``]

[eqn: =(x^2 +x) lnx - left (1over 2 x^2 +x +C right)``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: =(x^2 +x) ln x - 1over 2 x^2 -x -C``]

이 등식의 양변에 [eqn: x=1``]을 대입하면

[eqn: f(1) = - 3 over 2 -C``]

[eqn: f(1) = - 3 over 2``]이므로

[eqn: C=0``]

따라서 [eqn: xf(x) = (x^2 +x) ln x - 1over 2 x^2 -x``]이므로 양변에 [eqn: x=e``]를 대입하면

[eqn: ef(e) = e^2 over 2``]

[eqn: therefore f(e) = e over 2``]

42 [정답] ③

해설
(가)에서 함수 [eqn: f(x)``]가 미분가능한 함수이므로

[eqn: lim_{h->0} {f(x+h)-f(x-h)} over h``]

[eqn: = lim_h->0 {f(x+h) -f(x) } overh + lim_h->0 {f(x+(-h)) -f(x) } over (-h)``]

[eqn: =f'(x) + f'(x)``]

[eqn: =2f'(x)``]

이므로 [eqn: 2f'(x) = 2(x+1)e^x``]

[eqn: therefore f'(x) = (x+1)e^x``]

[eqn: thereforef(x) = int (x+1)e^x dx``]

[eqn: =(x+1)e^x - int e^x dx``]

[eqn: = (x+1)e^x -e^x +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: = xe^x +C``]

(나)에서 함수 [eqn: f(x)``]는 미분가능한 함수이므로 [eqn: f(x)``]는 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 연속이고

[eqn: lim_x->1 f(x) = f(1) =2e,~e+C=2e``]

[eqn: thereforeC=e``]

따라서 [eqn: f(x) = xe^x +e``]이므로

[eqn: f(0)=e``]

43 [정답] [eqn: 3``]

해설

[eqn: x^2 -5x + 8 = 1 + x over {(x-2)(x-4)}``]

[eqn: = 1 + A overx-2 + B overx-4``]

로 놓으면

[eqn: x over {(x-2)(x-4) } = {(A+B)x -2(2A+B) } over {(x-2)(x-4)}``]

이 등식은 [eqn: x``]에 대한 항등식이므로

[eqn: A+B=1,~2A+B =0``]

이 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: A= -1,~B=2``]

[eqn: therefore x over {(x-2)(x-4) } = - 1 over x-2 + 2 over x-4``]

[eqn: therefore f(x) = int left( 1 - 1 over x-2 + 2 over x-4 right) dx``]

[eqn: = int 1 dx - int 1 over x-2 dx + 2 int 1 over x-4 dx``]

[eqn: = x - ln|x-2| + 2`ln|x-4| +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f(0) = - ln2 + 2`ln4 +C``]

[eqn: = 3 `ln2 + C = 3`ln2``]

[eqn: therefore C=0``]

따라서 [eqn: f(x) = x- ln|x-2|+ 2`ln |x-4|``]이므로

[eqn: f(3) = 3-0+ 0 =3``]

44 [정답] [eqn: 11``]

해설

조건 (나)에서 분모가 [eqn: 0``]으로 수렴하므로

[eqn: lim_x->1 left{f(x)+3 right} =0``]

[eqn: therefore lim_x->1 f(x) =-3``]

[eqn: f(x)``]가 미분가능하므로 [eqn: f(x) = x=1``]에서 연속이다.

즉, [eqn: f(1) = lim_x->1 f(x)``]

[eqn: therefore f(1) = -3``]  ……㉠

또, [eqn: lim_x->1 {f(x)+3} overx-1 =lim_x->1 {f(x)-f(1)} over x-1 =3``]이므로

[eqn: f'(1) =3``]  ……㉡

조건 (가)에서 양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) + (x-2)f'(x) = 2f(x)``]

[eqn: (x-2)f'(x) = f(x)``]  ……㉢

[eqn: f(x) = a_1 x^n + a_2 x^n-1 + a_3 x^n-2 + cdots + a_n x + a_n+1``]

([eqn: n``]은 자연수, [eqn: a_1 , ~a_2 ,~a_3 ,~ cdots``]은 실수, [eqn: a_1 !=0``])

이라 할 때, 등식 ㉢에서 양변의 최고차항의 계수가 같아야 하므로

[eqn: n a_1 = a_1``]  [eqn: therefore n=1 (because a_1 !=0)``]

따라서 [eqn: f(x)``]가 일차함수이므로 [eqn: f(x) = ax+b~(a !=0)``]라 하면 ㉠과 ㉡으로부터

[eqn: a=3,~b=-6``]

[eqn: therefore f(x) =3x-6``]

[eqn: g(x) = int (3x-6) e^x dx``]

[eqn: = (3x-6) e^x - int 3 e^x dx``]

[eqn: =(3x-6) e^x -3e^x +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: g(0)=2``]이므로

[eqn: -6-3+C=2``]

[eqn: therefore C=11``]

따라서 [eqn: g(x) = (3x-6) e^x -3e^x +11``]이므로

[eqn: g(3)=11``]

45 [정답] ⑤

해설

ㄱ. 조건 (나)에서 [eqn: x=1``]을 대입하면

[eqn: f'(1) -2f(1) +3=0``]

이고 조건 (가)에서 [eqn: f(1) =2``]이므로

[eqn: f'(1)=1``] (참)

ㄴ. 조건 (나)에서 양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x) + xf''(x) - 2f'(x) =0``]

[eqn: xf''(x) =f'(x)``]   ……㉠

이 등식의 양변에 [eqn: x=1``]을 대입하면

[eqn: f''(1) = f'(1) =1``] (참)

ㄷ. ㉠에서 [eqn: f''(x) over f'(x) = 1over x ``]이므로

[eqn: int f''(x) overf'(x) dx = int 1 over x dx``]

[eqn: therefore ln|f'(x)| = ln|x| + C_1``] (단, [eqn: C_1``]은 적분상수)   ……㉡

ㄱ에서 [eqn: f'(1) =1``]이므로 ㉡의 양변에 [eqn: x=1``]을 대입하면

[eqn: ln |f'(1)| = ln|1| +C_1``]

[eqn: 0=0+ C_1``]

[eqn: therefore C_1 =0``]

즉, [eqn: |f'(x)| =x``]

이때, [eqn: f'(x)``]가 연속함수이고 [eqn: f'(1) >0``]이므로

[eqn: f'(x) =x``]   ……㉢

㉢에서 양변을 부정적분하면

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^2 +C_2``] (단, [eqn: C_2``]는 적분상수)

조건 (가)에서 [eqn: f(1) =2``]이므로

[eqn: 1 over 2 +C_2 =2``]

[eqn: therefore C_2 = 3 over 2``]

[eqn: therefore f(x) = 1over 2 x^2 + 3 over 2``]

[eqn: therefore f(root3 ) = 3 over 2 + 3over 2 = 3``] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

46 [정답] ②

해설
[eqn: ln x =t``]로 놓으면 [eqn: dt over dx = 1 over x``]이므로

[eqn: f(x) = int {root lnx } overx dx``]

[eqn: = int root t dt``]

[eqn: = 2 over 3 t^{3 over 2} +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: = 2 over 3 (lnx ) ^ {3 over 2} +C``]

이때, [eqn: f(e) =1``]이므로

[eqn: 2 over 3 +C =1``]

[eqn: therefore C= 1over3``]

따라서 [eqn: f(x) = 2 over 3 (lnx)^ {3 over 2} + 1 over 3``]이므로

[eqn: f(e^4 ) = 2 over 3 cdot 4^{3 over 2} + 1 over 3 = 16 over3 + 1over3 = 17 over 3``]

47 [정답] ①

해설
(i) [eqn: x>0``]일 때,

[eqn: sin^3 x = sin^2 x sinx = (1-cos^2 x)sinx``]이므로

[eqn: cosx=t``]로 놓으면

[eqn: dt over dx = -sin x``]

[eqn: therefore f(x) = int sin^3 x dx``]

[eqn: = int (1-cos^2 x ) sin x dx``]

[eqn: = int (t^2 -1)dt``]

[eqn: = 1 over 3 t^3 - t +C_1``] (단, [eqn: C_1``]은 적분상수)

[eqn: = 1 over 3 rm cos^3 it x - cosx +C_1``]

이때, [eqn: f(pi) =1``]이므로 [eqn: 2 over 3 +C_1 = 1``]에서

[eqn: C_1 = 1 over 3``]

(ii) [eqn: x<0``]일 때,

[eqn: cos left( pi over 2 - x right) = sin x``]이므로

[eqn: f(x) = int k cos left( pi over2 -x right)dx``]

[eqn: = int k sinx dx``]

[eqn: = - k cosx + C_2``] (단, [eqn: C_2``]는 적분상수)

이때, [eqn: f(-pi) = 1``]이므로 [eqn: k+C_2 =1``]에서

[eqn: C_2 = 1-k``]

(i), (ii)로부터

[eqn: f(x) = cases {1 over3 rm cos^3 itx - cosx + 1 over 3 & (x>0) # -k cosx +1 -k& (x<0)``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]가 연속함수가 되기 위해서는 [eqn: x=0``]에서 연속이어야 하므로

[eqn: f(0 ) = lim _ {x ->+0} f(x) = lim _ {x-> -0} f(x)``]  ……㉠

이때,

[eqn: lim _{x->+0} f(x) = lim _{x -> +0} left(1 over 3 rm cos^3 it x - cosx + 1 over 3 right)``]

[eqn: = 1 over 3 - 1 + 1 over 3 = - 1 over 3``]

[eqn: lim _ {x->0 } f(x) = lim _{x->-0} (-k cosx + 1-k)``]

[eqn: =-2k+1``]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: - 1 over3 = -2k +1``]

[eqn: therefore k= 2 over 3``]

48 [정답] ⑤

해설

조건 (나)에서 양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) = f(x) + x f'(x) - xe^x - 1 over 2 x^2 e^x``]

[eqn: f'(x) = left(1+ 1over2 x right)e^x ~(because x>0)``]

[eqn: therefore f(x) = left(1+ 1 over2 x right)e^x - int 1over2 e^x dx``]

[eqn: = left(1+ 1over2 x right) e^x - 1over 2 e^x +C``] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: = 1 over 2 (1+x) e^x +C``]   ……㉠

조건 (가)에서 [eqn: F(1) = 1 over 2 e``]이고

조건 (나)에서 [eqn: F(1) = f(1) - 1over 2 e``]이므로

[eqn: f(1) =e``]

위의 식 ㉠에서

[eqn: f(1) = 1over 2 (1+1)e +C =e``]

[eqn: therefore C=0``]

따라서 [eqn: f(x) = 1over 2 (1+x)e^x``]이므로

[eqn: f(3) =2e^3``]

49 정답] ⑤

해설

(가)에서

[eqn: int _{-a} ^{a} {dx=} LEFT [ x RIGHT ] _{-a} ^{b} =b-(-a)=b+a]

[eqn: THEREFORE ``a+b= {13} over {2} ``````````` CDOTS CDOTS `㉠]

(나)에서

[eqn: int _{0} ^{1} {(3ay-1)(y-b)`dy= int _{0} ^{1} {LEFT { 3ay ^{2} -(3ab+1)y+b RIGHT }} `dy}]

[eqn: `````````````````````````````````````````````````````````````````````````= LEFT [ ay ^{3} - {3ab+1} over {2} y ^{2} +by RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: `````````````````````````````````````````````````````````````````````````=a+b- {3ab+1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ``a+b- {3ab+1} over {2} =0``````````` CDOTS CDOTS `㉡]

㉡에 ㉠을 대입하여 풀면

[eqn: ab=4]

50 정답] [eqn: 5]

해설

[eqn: f(x)=ax+b`(a != 0)`]라 하면

[eqn: int _{-1} ^{1} {xf(x)`dx= int _{-1} ^{1} {(ax ^{2} +bx)`dx}}]

[eqn: =2a int _{0} ^{1} {x ^{2} `dx=2a LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ]} _{0} ^{1}]

[eqn: =2a cdot {1} over {3} = {2} over {3} a=2]

[eqn: THEREFORE ``a=3]

[eqn: int _{-1} ^{1} {x(x+1)f(x)`dx= int _{-1} ^{1} {x ^{2} f(x)`dx+ int _{-1} ^{1} {xf(x)}}} `dx]

[eqn: =2b int _{0} ^{1} {x ^{2} `dx+2=2b LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}} +2]

[eqn: =2b cdot {1} over {3} +2= {2} over {3} b+2= {10} over {3}]

[eqn: THEREFORE ``b=2]

따라서 [eqn: f(x)=3x+2`]이므로 [eqn: f(1)=3+2=5`]이다.

51 정답] [eqn: 13]

해설

[eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: f(x)=x ^{2} +1`]이고,

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2`]에서 [eqn: f(x)=3x-x ^{2} `]이므로

[eqn: int _{-1} ^{2} {4xf(x)`dx= int _{-1} ^{1} {4xf(x)`dx+ int _{1} ^{2} {4xf(x)`dx}}} `]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````= int _{-1} ^{1} {4x(x ^{2} +1)`dx+ int _{1} ^{2} {4x(3x-x ^{2} )`dx}}]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````=4 int _{-1} ^{1} {(x ^{3} +x)`dx+4 int _{1} ^{2} {(3x ^{2} -x ^{3} )`dx}}]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````=0+4 LEFT [ x ^{3} - {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: ````````````````````````````````````````````````````````` LEFT ( BECAUSE f(-x)=`-f(x)이면` int _{-a} ^{a} {f(x)`dx=0} RIGHT )]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````=4 LEFT { (8-4)-(1- {1} over {4} ) RIGHT } =13]

52 정답] ④

해설

[eqn: x+1=t`]라 하면 [eqn: x=t-1,``dx=dt`]이므로

[eqn: int _{-1} ^{``1} {(x-2) ^{2} (x+1) ^{4} `dx= int _{0} ^{2} {(t-3) ^{2} ``t ^{4} `dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {(x-3) ^{2} `x ^{4} `dx}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {(x ^{2} -6x+9)`x ^{4} `dx}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {(x ^{6} -6x ^{5} +9x ^{4} )dx}]

따라서

[eqn: int _{0} ^{2} {(x ^{6} -6x ^{5} +9x ^{4} )dx} `- int _{0} ^{2} {LEFT { x ^{6} -ax ^{5} +(a+3)x ^{4} RIGHT }} `dx]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { (a-6)`x ^{5} -(a-6)x ^{4} RIGHT } dx}]

[eqn: =(a-6) int _{0} ^{2} {LEFT ( x ^{5} -x ^{4} RIGHT ) dx}]

[eqn: = {64} over {15} (a-6)=0]

이므로

[eqn: a-6=0]

[eqn: THEREFORE ``a=6]

53 정답] ③

해설

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1`]에서 [eqn: f prime (x) GEQ 0], [eqn: 1 LEQ x LEQ 3`]에서 [eqn: f prime (x) LEQ 0`]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | f prime (x) RIGHT | `dx= int _{0} ^{1} {f prime (x)`dx+ int _{1} ^{3} {LEFT { -f prime (x) RIGHT } `dx}}}]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````= LEFT [ f(x) RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ -f(x) RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````= LEFT { f(1)-f(0) RIGHT } + LEFT { -f(3)+f(1) RIGHT }]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````= LEFT { 1-(-3) RIGHT } +(3+1)]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````=4+4]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````=8]