◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2012학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						3

‘가’형

수리 영역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

12

1. [eqn: {1} over {2} `log` _{3} `6 -log` _{9} `2`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2`]	③ [eqn: 2over3]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2`]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix { `1& ``-2`#` 2&`` -1`}], [eqn: B```= {pmatrix{`-1&``2`#`-1&``3`}} `]에 대하여 [eqn: 2A=X``-B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3`]

3. [eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 8]

4. [eqn: 0<x< {pi } over {2}]에서 함수 [eqn: f(`x)= {LEFT ( cos`x+sin`x RIGHT ) ` ^{2}} over {sin`2x}]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

5. 무리방정식 [eqn: sqrt {x+4} `=` LEFT | ``x`` RIGHT |` -2`]의 모든 실근의 곱은? [3점]

① [eqn: -15`]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]	④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: 0]

6. 다음 중 [eqn: tan 10° + 1over{tan`20°}]의 값과 같은 것은? [3점]

① [eqn: sin10°]	② [eqn: cos`20°]	③ [eqn: 1over {sin`20°]	④ [eqn: 1over {cos`10°]	⑤ [eqn: 1over{tan10°}]

7. 다항함수 [eqn: f`(`x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {f`(`x)} over {x ^{3}}} `=`1]

(나) [eqn: x`=`-1`]과 [eqn: x`=`2`]에서 극값을 갖는다.

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f`(`3+h)-f`(`3-h)} over {h}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

8. 두 다항함수 [eqn: y=f(`x)`]와 [eqn: y=g(`x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: -3≤x≤2]에서 방정식

[eqn: LEFT { ` {f(`x)} over {g(`x)} `-`1` RIGHT } ` LEFT { ` {g(`x)+1} over {f(`x)} `-1 RIGHT } `=0]

의 실근의 개수는? [4점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

9. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치 [eqn: x_{\P}], [eqn: x_{\Q}]는 다음과 같다.

[eqn: x_{\P}=`t`^2 `-at `], [eqn: x_{\Q} =`ln`(`t`^2 -t `+1`)`]

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 서로	반대 방향으로 움직이는 시각 [eqn: t`]의 범위가 [eqn: 1over2 <t< 2`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

10. [eqn: 80 ` ^{x} =2`], [eqn: LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{y} =4`], [eqn: a` ^{z} =8`]을 만족시키는 세 실수 [eqn: x,``y,``z`]에 대하여 [eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =1`]이 성립할 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 64`]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 128`]	⑤ [eqn: 160]

11. 역행렬을 갖는 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A+A ^{-1} =E]

(나) [eqn: A` LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT )`` = LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `]

행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

12. 수열 [eqn: left{`a`_n right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n<` a`_n <n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a`_k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2} `]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

13. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2root3]이고 [eqn: ∠ \A_1 OB_1][eqn: =`][eqn: 60°]인 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]이 있다.

세 점 [eqn: \A_1], [eqn: \O], [eqn: \B_1]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_1 OB_1]의 무게중심을 [eqn: \C_1]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_1 C_1], [eqn: \B_1 C_1]과 호 [eqn: \A_1 B_1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_1]이라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_1]을 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_1], [eqn: \OB_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \A_2], [eqn: \B_2]라 하자. 세 점 [eqn: \A_2], [eqn: \O], [eqn: \B_2]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_2 OB_2]의 무게중심을 [eqn: \C_2]라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_2 C_2], [eqn: \B_2 C_2]와 호 [eqn: \A_2 B_2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_2]라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_2]를 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_2], [eqn: \OB_2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A_3], [eqn: \B_3]이라 하자. 세 점 [eqn: \A_3], [eqn: \O], [eqn: \B_3]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_3 OB_3]의 무게중심을 [eqn: \C_3]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_3 C_3], [eqn: \B_3 C_3]과 호 [eqn: \A_3 B_3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S`_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S`_n]의 값은? [4점]

① [eqn: 2` pi - sqrt {3} `]	② [eqn: 2` pi -2 sqrt {3} `]	③ [eqn: 2` pi -3 sqrt {3} `]

④ [eqn: 3` pi -3 sqrt {3} `]	⑤ [eqn: 3` pi -4 sqrt {3} `]

14. 신경세포 또는 근육세포와 같은 대부분의 세포에서는 흥분하지 않은 상태에서 세포의 외부와 내부의 전위차가 생기는데 이것을 휴지전위라고 한다. 세포의 외부와 내부의 칼륨이온 농도(단위는 [eqn: \ mM`])가 각각 [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }`], [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }`]일 때의 휴지전위(단위는 [eqn: \ mV])를 [eqn: E`_{\K}`]라 하면 등식

[eqn: E`_{\K} = t` LEFT (` log LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O } -`` log LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I`` } RIGHT )] (단, [eqn: t`]는 양의 상수이다.)

가 성립한다. [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }`], [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }`], [eqn: E`_{\K}`]의 값이 표와 같을 때, 실수 [eqn: q`]의 값은? [3점]

[eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }]	[eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }]	[eqn: E`_{\K}]
[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: p]
[eqn: 10`a]	[eqn: b]	[eqn: p+60]
[eqn: 10^2 `a]	[eqn: root10 `b]	[eqn: p+q]

① [eqn: 90]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 150]	④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 210]

15. 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,``` {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f` prime (``x)`=1`+` it LEFT { `f(`x) RIGHT } ` ^{2}]

(나) [eqn: f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `=`1]

함수 [eqn: g(`x)=`ln `f` prime (`x)]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: {3} over {2} `]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2} `]	⑤ [eqn: 3`]

16. 함수 [eqn: y`=`f`(`x)`]의 그래프의 일부가 그림과 같을 때, 합성함수 [eqn: f` LEFT (` g(`x)RIGHT )]가 [eqn: x`=`0`]에서 연속이 되도록 하는 함수 [eqn: g(`x)`]를 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: g`(`x)`=`x^2`] ㄴ. [eqn: g`(`x)`=` |`` sin `x`` |] ㄷ. [eqn: g`(`x)`=`cos`x]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 일반항이 [eqn: a`_n = n(n+1) over2]([eqn: n=1,`2,`3,`cdots`])인 수열 [eqn: LEFT {`a`_n `RIGHT }]에서 [eqn: a_n`]의 값이 [eqn: 6]의 배수인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 [eqn: LEFT {`b`_n ` RIGHT }]이라 할 때, 다음은 [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b`_k]를 구하는 과정이다.

[eqn: a`_n+12 -a`_n =]이므로 [eqn: a`_n+12 -a`_n]은 [eqn: 6]의

(가)

배수이다.                            [eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], …, [eqn: a_12] 중에서 [eqn: 6]의 배수인 것은

[eqn: a_3 =6], [eqn: a_8 =36], [eqn: a_11 =66], [eqn: a_12 = 78]이므로

[eqn: b_1 =a_3], [eqn: b_2 =a_8], [eqn: b_3 = a_11], [eqn: b_4 =a_12]이다.  [eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: b_4n-3 = a_12n-9][eqn: = 6(4n-3)(3n-2)]

[eqn: b_4n-2 = a_ 12n-4][eqn: = 6(3n-1)(4n-1)]

[eqn: b_4n-1 =]

(나)

[eqn: b_4n = 6n(12n+1)]

따라서 [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b_k][eqn: =sum _{ k=1} ^{n }][eqn: (][eqn: )][eqn: =]

(다)

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(`n`)], [eqn: g(`n`)], [eqn: h(`k`)]라 할 때, [eqn: f(`1)+g(`2)+h(`1)]의 값은? [4점]

① [eqn: 552]	② [eqn: 558]	③ [eqn: 564]	④ [eqn: 570]	⑤ [eqn: 576]

18. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: BA+B```=E`]

(나) [eqn: A ^{2} B```=A+E`]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 행렬 [eqn: B``]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``][eqn: =BA`] ㄷ. 행렬 [eqn: AB``]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 함수 [eqn: f(x)=x``|`x`|``+`|`x-1`| ` ^{3}`]에 대하여 [eqn: f` prime (`0)`+f` prime (1)`]의 값은?

[4점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

20. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rmO`]인 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB`] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: ANGLE rmPOB`=` theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rmPAO`]에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: f`(` theta)`]라 하자. [eqn: lim _{ ` theta` ->`+0} { `{f`(` theta)} over { `theta`^2 }}`]의 값은? (단, [eqn: 0`< theta`<pi`]이다.) [4점]

[eqn: 2`]

① [eqn: {pi } over {2} `]	② [eqn: {pi } over {4} `]	③ [eqn: {pi } over {8} `]	④ [eqn: pi over 16]	⑤ [eqn: {pi } over {32} `]

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 시행을 한다.

[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: n`]에서 [eqn: 1`]을 빼고,

[eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: n`]을 [eqn: 2`]로 나눈다.

자연수 [eqn: n`]이 [eqn: 1`]이 될 때까지 반복한 시행의 횟수를 [eqn: a`_n]이라 정의하자. 예를 들어 [eqn: a`_7 = 4`], [eqn: a`_8 =3`]이다. [eqn: S`_n = sum _{ k=2^n} ^{2^n +3 } a`_k`]라 할 때, [eqn: S`_50`]의 값은? (단, [eqn: a`_1 =0]이다.) [4점]

① [eqn: 200]	② [eqn: 201]	③ [eqn: 202]	④ [eqn: 203]	⑤ [eqn: 204]

단답형

22. 등차수열 [eqn: LEFT {` a` _{n}` RIGHT }`]에서 [eqn: a_1 =4`], [eqn: a_2 +a_3 = 17`]일 때, [eqn: a`_4`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 곡선 [eqn: y`=`e^3-x `] 위의 점 [eqn: (`3`,``1)`]에서의 접선 및 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.)

[3점]

24. 최고차항의 계수가 양수인 다항함수 [eqn: f(`x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_x->inf {left{`f(`x) right}^2 }overx^4 =4]

(나) [eqn: lim_x->1{f(`x) -x^2}overx-1 =3]

[eqn: f(`10)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: x`]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{eqalign{````x(`x-2)(`x+3)``>`0# }#```` {x-n} over {x+2} `` LEQ 0}}]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 15``]가 되도록 하는 자연수 [eqn: n``]의 값을 구하시오. [3점]

12

26. 수열 [eqn: LEFT { `a` _{n}` RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a_2 =1]이고 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a ` _{2n+2} -a ` _{2n} =1]

(나) [eqn: a ` _{2n+1} -a `_{2n-1} =0]

[eqn: a_100 +a_ 101`]의 값을 구하시오. [3점]

27. 수열 [eqn: LEFT { `a `_{n} `RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때,  [eqn: S ` _{n} = {6n} over {n+1}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(`a ` _{n} +`a `_{n+1}` right)]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 [eqn: bar{rmAB} `=5`], [eqn: bar{rm AC it} `=4`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 꼭짓점 [eqn: rmC`]에서 선분 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD`]라 할 때, 선분 [eqn: rmCD`]의 연장선 위에 [eqn: bar{rmDE}` =3`]을 만족시키는 점 [eqn: rmE`]를 잡는다. 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmAED`]의 넓이를 각각 [eqn: S ` _{1}], [eqn: S ` _{2}]라 할 때, [eqn: S` _{1} +S ` _{2}]의 최댓값을 [eqn: M``]이라 하자. [eqn: M```^2]의 값을 구하시오. (단, 각 [eqn: \CAB]는 예각이다.)

[4점]

29. 그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 한 점 [eqn: \A`]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=log`_2`x^3`]과 서로 다른 두 점 [eqn: \B,``C]에서 만나고 있다. 두 점 [eqn: \B,``C`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D,``E]라 하고, 두 선분 [eqn: \BD`], [eqn: \CE`]가 곡선 [eqn: y=log`_2`x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \F,``G`]라 하자. [eqn: bar \AB `: bar BC` =1:2`]이고, 삼각형 [eqn: \ADB`]의 넓이가 [eqn: 9over2`]일 때, 사각형 [eqn: \BFGC`]의 넓이를 구하시오. (단, 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]보다 작다.)

[4점]

30. 함수 [eqn: f(`x)=x^2 (`x-2)^2`]이 있다. [eqn: 0≤x≤2`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f(`x)` LEQ f` prime (`t)(x-t)+f(`t)`]

를 만족시키는 실수 [eqn: t`]의 집합은 [eqn: LEFT {`t``|`` p≤t≤q`RIGHT }]이다. [eqn: 36pq`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.