정답 및 해설

1 ⑤
[eqn: a_10 = sum _{ k=1} ^{10 } a_k - sum _{ k=1} ^{9 } a_k``]
[eqn: = int _{ 1`} ^{11 } {f(x) dx } - int _{ 1} ^{10 } {f(x) dx }``]
[eqn: = int _{ 10} ^{11 } {f(x)dx }``]

2 ④

[eqn: x -> 5+0"``]일 때, [eqn: {x} over {2} ` -> 2.5+0"``]이므로 [eqn: 5+ {x} over {2} -> 7.5+0"``] 이고,

[eqn: 5- {x} over {2} -> 2.5-0"``] 이다.

따라서 [eqn: lim _{x -> 5+0} {f(5+ {x} over {2} )=8"}``], [eqn: lim _{x -> 5+0} {f(5- {x} over {2} )=2"}``] 이므로

[eqn: lim _{x -> 5+0} {{f(5+ {x} over {2} )-f(5- {x} over {2} )} over {2} "}``][eqn: = {8-2} over {2} =3"``]

[eqn: ``]

3 ⑤

[eqn: 0 LEQ x<1"``]일 때, [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {t`dt} `= {x ^{2}} over {2} "``]

[eqn: 1 LEQ x<2"``]일 때,

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)} `dt"``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {t`dt} + int _{1} ^{x} {(2-t)`dt"} ``]

[eqn: = {1} over {2} +left[2t- {t ^{2}} over {2} right] _{{} _{1}} ^{{} ^{x}} =- {x ^{2}} over {2} +2x-1``]

따라서 [eqn: 0 LEQ x<2"``]에서 [eqn: y=g(x)"``]의 그래프는 오른쪽그림과 같다.

주어진 조건에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {x`dx+ int _{1} ^{2} {(2-x)dx"}}}``][eqn: =1"``]

이고, [eqn: f(x)"``]는 주기가 [eqn: 2"``]인 함수이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {f(x)dx= int _{2} ^{4} {f(x)=` CDOTS `=1"}}``] 이다.

[eqn: 2 LEQ x<4"``]일 때,

[eqn: g(x)= int _{0} ^{2} {f(t)dt+ int _{2} ^{x} {f(t)dt"}}``]

[eqn: =1+ int _{2} ^{x} {f(t)dt"}``]

[eqn: 4 LEQ x<6"``]일 때,

[eqn: g(x)= int _{0} ^{4} {f(t)dt+ int _{4} ^{x} {f(t)dt"}}``][eqn: =2+ int _{4} ^{x} {f(t)dt"}``]

[eqn: 6 LEQ x<8"``]일 때,

[eqn: g(x)= int _{0} ^{6} {f(t)dt+ int _{6} ^{x} {f(t)dt"}}``][eqn: =3+ int _{6} ^{x} {f(t)dt"}``]

[eqn: CDOTS "``]

이므로 [eqn: y=g(x)"``]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: int _{0} ^{2} {g(x)dx"}``]

[eqn: = int _{0} ^{1} {{x ^{2}} over {2} dx+ int _{1} ^{2} {(- {1} over {2} x ^{2} +2x-1)dx"}}``]

[eqn: = LEFT [ {x ^{3}} over {6} RIGHT ] _{{} _{0}} ^{{} ^{1}} `+ LEFT [ - {x ^{3}} over {6} +x ^{2} -x`right] _{{} _{1}} ^{{} ^{2}} RIGHT .``]

[eqn: =1"``] 이므로

[eqn: int _{0} ^{10} {g(x)dx=}``][eqn: 1+(2+1)+(4+1)+(6+1)+(8+1)"``][eqn: =25"``]

4 ③

ㄱ. [eqn: f(-x)= -f(x)]이므로
[eqn: g(-x)= left{f(-x) right} sup 3 - 6f(-x)]
[eqn: = - left{f(x) right} sup 3 +6 f(x)]
[eqn: =-g(x)]
따라서 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.(참)

ㄴ. [eqn: f(x)= x sup 3 - 6x]에서
[eqn: f' (x) = 3x sup 2 -6]
[eqn: f' (x)=0]에서 [eqn: x= root 2] 또는 [eqn: x=- root 2]
[eqn: g(x)= left{f(x) right} sup 3 - 6 f(x)]에서
[eqn: g' (x)= 3 left{ f(x) right} sup2 f' (x) - 6f' (x) = 3 f' (x) [left{ f(x) right} sup 2 -2 ]]
[eqn: g'(x)=0]에서 [eqn: f'(x) = 0] 또는 [eqn: f(x)=root 2] 또는
[eqn: f(x)=- root 2]
그림에서 방정식 [eqn: g' (x)=0]의 실근은 모두 [eqn: 8]개이고, 이 점들(▲ 또는 ▼로 표시된 점)의 [eqn: x]좌표에 대하여 [eqn: x]의 값이 증가하면서 [eqn: g'(x)]의 부호가 바뀌므로 모두 극대 또는 극소이다.(참)

ㄷ. 그림에서 ▼로 표시된 점들의 [eqn: x]좌표에 대하여 [eqn: x]의 값이 증가하면서 [eqn: g' (x)]의 부호는 양에서 음으로 바뀌므로 극대이다.
이 때, [eqn: f(x) = - root 2]를 만족시키는 [eqn: x]에 대하여 극댓값은 모두 [eqn: (-root 2 ) sup 3 - 6 (- root 2 ) = 4 root 2]이다.(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

5 ③

[eqn: v_n`(t)=kt(2-t)``]에서 [eqn: v_n`(1)=k= { 1} over { 2^n``] 이므로

[eqn: v_n`(t)= { 1} over { 2^n} t(2-t)``]

ㄱ. 점 [eqn: rmP_2```]의 시각 [eqn: t=1``]에서의 위치는

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { v_2`(t)dt= int _{ 0} ^{ 1} { { 1} over { 4} t(2-t)``dt={ 1} over { 4} LEFT [ - { t^3} over { 3}+t^2 RIGHT ]_0^1``]

[eqn: = 1 over 4 left (- 1 over 3 +1 right ) = 1 over 6 ``]

그러므로 점 [eqn: P_2```]의 시각 [eqn: t=1``]에서의 위치는 [eqn: { 1} over { 6}``]이다. (참)

ㄴ. [eqn: int _{ 0} ^{ 3} { { 1} over { 2^n} t(2-t)``dt={ 1} over { 2^n} LEFT [ - { t^3} over { 3}+t^2 RIGHT ]_0^3``={ 1} over { 2^n} (-9+9)=0``]

이므로 점 [eqn: rmP_n```]은 [eqn: t=3``]일 때, 원점을 지난다. (참)

ㄷ. ㄴ에서 점 [eqn: rmP_n```]은 [eqn: t=3``]일 때, 원점을 지나므로

[eqn: {rmS_n }= { 1} over { 2^n} LEFT { int _{ 0} ^{ 2} { t(2-t)``dt-int _{ 2} ^{ 3} { t(2-t)``dt }RIGHT }]

[eqn: ={ 1} over { 2^n} LEFT { ``LEFT [ - { t^3} over { 3}+t^2 RIGHT ]_0^2``-LEFT [ - { t^3} over { 3}+t^2 RIGHT ]_2^3`` RIGHT }``]

[eqn: ={ 1} over { 2^n} LEFT ( { 8} over { 3} RIGHT )``= { `1} over {3 } BULLET { 1} over { 2^n-3}``]

[eqn: rmS_n < { 1} over {300 }``]에서

[eqn: { 1} over { 2^n-3}< { 1} over { 100}``],  [eqn: 2^n-3 >100``]	[eqn: THEREFOREn GEQ10``]

따라서 [eqn: n``]의 최솟값은 [eqn: 10``]이다. (거짓)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

6 ②

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(x)=x^4` +ax^2` +b``]로 놓을 수 있다.

조건 (가), (나)를 만족하는 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: f(0)=0``]이므로 [eqn: b=0``]

[eqn: ∴ f(x)=x^4` +ax^2```]

[eqn: y=f(x)``]의 그래프와 직선[eqn: y=-2x``]가 점 [eqn: {rmP}(t, ````t^4` +at^2` )``]에서 접한다고 하면

[eqn: f '(x)=4x^3` +2ax``]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-(t^4` +at^2` )=(4t^3` +2at)(x-t)``]

즉, [eqn: y=(4t^3` +2at)x-3t^4` -at^2` ``] 이고, 이는 직선 [eqn: y=-2x``]와 일치하므로

[eqn: 4t^3` +2at=-2 CDOTS `㉠`]

[eqn: -3t^4` -at^2` =0 CDOTS ㉡``]

㉡ 에서 [eqn: t!=0``]이므로 [eqn: a=-3t^2` ``]

㉠에서 [eqn: 4t^3` -6t^3 =-2``],[eqn: t^3 =1``]

[eqn: ∴ t=1, a=-3``]

따라서 [eqn: f(x)=x^4` -3x^2` ``]이므로

[eqn: f '(x)=4x^3` -6x=2x(2x^2` -3)=0``]에서

[eqn: x=0 ``]또는[eqn: x= +-{ sqrt { 6} } over {2 }``]

그러므로 구하는 [eqn: f(x)``]의 극솟값은

[eqn: f LEFT ( { sqrt { 6} } over {2 } RIGHT )= { 9} over { 4}- { 9} over {2 }=-{ 9} over { 4}``]

7 ②

재영이가 주먹을 뻗은 지 [eqn: t``]초 후 주먹의 끝부분과 가슴 사이의 거리를 [eqn: x(t)`m``] 라 하면

[eqn: x(t)=42(t ^{2} -3t ^{3} )``] 이고, 주먹을 뻗는 속도 [eqn: v(t)``]

는 [eqn: v(t)= {d} over {dt} x(t)=42(2t-9t ^{2} )``]

[eqn: v ^{prime } (t)=42(2-18t)=0``]  에서 [eqn: t= {1} over {9} ``]이므로

[eqn: 0 LEQ t LEQ {2} over {9} ``]에서 [eqn: v(t)``]는 [eqn: t= {1} over {9} ``]일 때, 극대이자 최대이다.

[eqn: THEREFORE `a=x( {1} over {9} )=42( {1} over {81} - {1} over {243} )= {28} over {81} (m)``]

또한, [eqn: t= {2} over {9} ``]일대, 주먹의 끝부분이 가슴으로부터 멀리 떨어지게 되므로

[eqn: b=x( {2} over {9} )=42( {4} over {81} - {8} over {243} )= {56} over {81} (m)``]

[eqn: THEREFORE b-a= {56} over {81} - {28} over {81} = {28} over {81} ``]

8 [eqn: 30``]

(가)에서 [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f(1+ {3k} over {n} ) {2} over {n} = {2} over {3} lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f(1+ {3k} over {n} ) {3} over {n}}} ````]

[eqn: = {2} over {3} int _{1} ^{4} {f(x)} dx``]

[eqn: =8``]

[eqn: THEREFORE "][eqn: int _{1} ^{4} {f(x)} dx=12``]

(나)에서 [eqn: = int _{1} ^{4} {f(x)} dx=12= {2} over {3} int _{4} ^{6} {f(x)dx} ``]  이므로

[eqn: int _{4} ^{6} {f(x)} dx=18``]

[eqn: THEREFORE int _{1} ^{6} {f(x)dx= int _{1} ^{4} {f(x)dx+ int _{4} ^{6} {eqalign{f(x)dx"# `}}}}]

[eqn: =12+18``]

[eqn: =30``]

9 ⑤

[eqn: f`'(x)=0 ``]은 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식이고, 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ``], [eqn: beta ``], [eqn: gamma ``] [eqn: (`` alpha < beta < gamma ``) ``]를 가지므로 [eqn: y=f`'(x) ``]의 그래프의 개형과 [eqn: y=f(x) ``]의 증감표는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: p^2 + r^2 = 0 ``]이면 [eqn: p=0 ``], [eqn: r=0 ``]

즉, [eqn: f( alpha ) = 0 ``], [eqn: f( gamma ) = 0 ``]이므로 사차함수 [eqn: y = f(x) ``]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 방정식 [eqn: f(x) = 0 ``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: pr < 0 ``]이면 [eqn: p > 0 ``], [eqn: r < 0 ``] 또는 [eqn: p < 0 ``], [eqn: r> 0 ``]

즉, [eqn: f( alpha ) > 0 ``], [eqn: f( gamma ) < 0 ``] 또는 [eqn: f( alpha ) < 0 ``], [eqn: f ( gamma ) > 0 ``]이므로 사차함수 [eqn: y = f(x) ``]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 방정식 [eqn: f(x) = 0 ``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: pqr > 0 ``], [eqn: p+q+r=0 ``]이면 [eqn: p<0 ``], [eqn: q>0 ``], [eqn: r<0 ``]

즉, [eqn: f( alpha ) < 0 ``], [eqn: f( beta ) > 0 ``], [eqn: f( gamma ) < 0 ``]이므로 사차함수 [eqn: y = f(x) ``]의 개형은 다음과 같다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)=0 ``]은 서로 다른 네 실근을 갖는다. (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

10 [eqn: 10 ``]

[eqn: F(x) = int _-1 ^x { f(t) dt ``]라 하면

[eqn: F`'(x) = f(x) ``], [eqn: F(-1)=0 ``]

한편, [eqn: f(-x) = -f(x) ``]이므로 [eqn: n(A cup B ) ``]의 값이 최소일 때와 최대일 때의 함수 [eqn: y = f(x) ``]의 그래프의 개형에 따른 함수 [eqn: y = F(x) ``]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: n ( A cup B ) ``]의 최댓값은 [eqn: 7 ``]이고, 최솟값은 [eqn: 3 ``]이므로

[eqn: M + m = 7+3 = 10 ``]

11 ①

주어진 식을 변형하면

[eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: +][eqn: x int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: +][eqn: int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT )} dt][eqn: =][eqn: {1} over {2} x ^{2} +k``]	[eqn: cdots][eqn: cdots][eqn: ㉠]

[eqn: ㉠``]의 양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =x``]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt} =C``]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-C``]이므로

[eqn: C=][eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt} ``][eqn: =][eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( t-C RIGHT ) dt} ``][eqn: =][eqn: LEFT [ {1} over {2} t ^{2} -C`t RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: =][eqn: {1} over {2} -C``]

[eqn: therefore] [eqn: C= {1} over {4} ``]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x- {1} over {4} ``]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {3} over {4} ``]

12 ③

[eqn: f(x)``]는 함수 [eqn: g(t) = LEFT | t^2 - 1RIGHT |``]의 그래프와 [eqn: x``]축, [eqn: t=x,~t=x+1``]로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

[eqn: f(x)``]는 [eqn: -1 LEQx LEQ- 1 over 2 ``]일때 증가하고 이후 감소하다가 다시 증가하게 된다.

따라서 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x = - 1 over 2``]일때, 극댓값 [eqn: int _{ - 1 over 2} ^{1 over 2 } {(1-t^2 ) dt = 11 over 12`` }]을 갖는다.

[eqn: therefore~alpha + f( alpha) = 5 over 12``]

13 [eqn: 500]

[eqn: x``]축, [eqn: y``]축에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 [eqn: a``]인 원의 중심의 좌표는 [eqn: (a,~ a)``]이다.

점 [eqn: (a,~ a)``]에서 직선 [eqn: \PA ``]에 이르는 거리가 [eqn: a``]이고 직선 [eqn: \PA ``]의 방정식이

[eqn: x over10 + y over t =1``], 즉 [eqn: tx+10y-10t=0 ``]이므로

[eqn: {|``ta+10a-10t``|}over root{t^2 +100} =a]

[eqn: t>0 ``]일 때, [eqn: ta+10a le10t``]이므로

[eqn: -{``ta+10a-10t``}over root{t^2 +100} =a]

[eqn: a={`10t`}over{t+10 +root{t^2 +100}} ``]이므로

[eqn: lim _{ t->inf} {a }= lim _{ t->inf} {`10t`}over{t+10 +root{t^2 +100}}=5 ``]

[eqn: ∴~ 100a=500]

14 [eqn: 20]

등식에서 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { } f(x)dx=2 int _{0 } ^{1 } { } left{1-f(x) right}dx ``]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } f(x)dx = 1over3 times2 int _{ 0} ^{1 } { }1dx = 2over3]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } f(x)dx = LEFT [ x^3 over3 + a over2 x^2 +bx RIGHT ]_0 ^1 `= 1over3 + a over2 +b= 2over3]

[eqn: a over2 +b= 1over3 ``]이므로

[eqn: 2root{ab over2} le 1over3]

따라서 [eqn: ab le 1over18 ``]이므로

[eqn: 360ab ``]의 최댓값은 [eqn: 20 ``]이다.

15 [eqn: 25]

[eqn: f(x)=2x^3 -3x^2 -kx+3``]이므로

[eqn: f``'(x)=6x^2 -6x-k`]

[eqn: f``'(x)=0``]의 두 실근을 [eqn: alpha,~ beta``]라 하면

[eqn: -2 le alpha le-1,~ beta ge0]

이어야 한다.

[eqn: 6x^2 -6x-k=0,~ 6x^2 -6x=k``]

[eqn: y=6x^2 -6x,~ y=k``]라 하면

[eqn: x=-1 ``]일 때 [eqn: y=12 ``]이고, [eqn: x=-2 ``]일 때 [eqn: y=36 ``]이므로

[eqn: -2 le a le-1,~ b ge0``]인 근을 갖기 위해서는

[eqn: 12le k le36]

따라서 구하는 정수 [eqn: k``]의 개수는

[eqn: 36-11=25 ``](개)

16 [eqn: 14``]

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {2n} RIGHT )} · {1} over {2n}] [eqn: = int _{1} ^{{3} over {2}} {f(x)dx} ``][eqn: =-1]

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( -1+ {k} over {n} RIGHT )} · {2} over {n}] [eqn: =2 int _{-1} ^{0} {f(x)dx} =16``]

[eqn: THEREFORE ` int _{-1} ^{0} {f(x)dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {f(x)dx} =8] [eqn: ( BECAUSE f(-x)=f(x))``]

[eqn: THEREFORE int _{- {3} over {2}} ^{{3} over {2}} {} `f(x)dx``][eqn: =2` int _{0} ^{{3} over {2}} {} `f(x)dx]

[eqn: =2 LEFT { int _{0} ^{1} {} `f(x)dx+ int _{1} ^{{3} over {2}} {} `f(x)dx RIGHT } ``]

[eqn: =2(8-1)]

[eqn: =14``]

17 ①

두 직선[eqn: `l`,`m``]이 [eqn: `x``]축과 이루는 각의 크기가 각각 [eqn: `60 DEG ,``30 DEG ``]이므로 직선[eqn: `l`,`m``]의 방정식은 각각 [eqn: y= sqrt {3} x`,````y= {sqrt {3}} over {3} x``]이다.
[eqn: `P _{k} (k`,` sqrt {3} k)`,`Q _{k} (k`,` {sqrt {3}} over {3} k)``]이므로
[eqn: `S _{k} = {1} over {2} ( sqrt {3} k- {sqrt {3}} over {3} k) BULLET k= {sqrt {3}} over {3} k ^{2} ``]
[eqn: ` THEREFORE ` sum _{k=1} ^{n} S _{k} = sum _{k=1} ^{n} {sqrt {3}} over {3} k ^{2} ``]
[eqn: = {sqrt {3}} over {3} BULLET {n(n+1)(2n+1)} over {6} ``]
[eqn: = {sqrt {3} n(n+1)(2n+1)} over {18} ``]  [eqn: ` lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} S _{k} = lim _{n -> INF } {{sqrt {3} n(n+1)(2n+1)} over {18n ^{3}} `}} ``]
[eqn: = {2 sqrt {3}} over {18} ``]
[eqn: = {sqrt {3}} over {9} ``]
|다른 풀이|
[eqn: ` lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} S _{k} = lim _{n -> INF } {{sqrt {3}} over {3} ( {k} over {n} ) ^{2} {1} over {n} = int _{0} ^{1} {{sqrt {3}} over {3} x ^{2} dx`}}} ``]
[eqn: = LEFT [ {sqrt {3}} over {9} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} ``]  [eqn: = {sqrt {3}} over {9} ``]

18 ③

[eqn: `P(x`,``x ^{2} )``]에 대하여 [eqn: ` TRIANGLE PAB``]는 [eqn: ` bar{AB} ``]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: `x``]인 삼각형이므로
[eqn: `S(x)= {1} over {2} BULLET 1 BULLET x= {1} over {2} x``]
[eqn: ` TRIANGLE OPH``]는 [eqn: ` bar{OH`} ``]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: `x ^{2} ``]인 삼각형이므로
[eqn: `T(x)= {1} over {2} BULLET x BULLET x ^{2} `= {1} over {2} x ^{3} ``] [eqn: THEREFORE ` lim _{x -> 0} {{x ^{n} S(x)} over {T(x)} = lim _{x -> 0} {{x ^{n} BULLET {1} over {2} x} over {{1} over {2} x ^{3}} = lim _{x -> 0} {x ^{n-2} `}}} ``]       [eqn: `CDOTS CDOTS `]㉠
㉠이 극한값이 존재하려면 [eqn: `n GEQ 2``]이므로 [eqn: `n``]의 최솟값은 [eqn: `2``]이고
이때의 극한값은 [eqn: `1``]이다.
[eqn: THEREFORE `k+l=2+1=3``]

19 ③

[eqn: g(x) = f(x) - f(-2)`]에서

[eqn: g(-2) = 0], [eqn: g`'left( 7 over 4 right) =0`]

[eqn: y = ``|`` g(x)``|``]는 [eqn: x = 7 over 4`]에서 극값을 갖고 [eqn: x= 3`]에서 미분가능하지 않으므로 조건에 맞도록 [eqn: y =g(x)`]의 그래프를 그려 보면 아래 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: y = ``|`` g(x)``|``]는 [eqn: x = 7 over 4`]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. 위에서 주어진 [eqn: y =g(x)`] 그래프에서 [eqn: g(-2) = g`'(-2) =0`],

[eqn: g`'left ( 7 over 4 right) =0`]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: g(x) =0`]인 [eqn: x`]값은 [eqn: x =-2`] 또는 [eqn: x =3`]이므로

[eqn: 2`]개이다.

(참)

ㄷ. [eqn: g`'(x) = a (x+2)^2 (4x-7)`]  ([eqn: a ne 0])라고 하면

[eqn: g`'(x) = f`'(x)`]이므로

[eqn: f`'(1) = -27 a], [eqn: f`'(-3) = -19a`]이므로 [eqn: f`'(-3) ne f`'(1)`]

(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

20 [eqn: 84]

조건 (가)에서 [eqn: f(x) = f(-x)`]이므로 함수 [eqn: y =f(x)`]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이고, 조건 (나)에서

[eqn: f(x) = f(2-x) = f(x-2)`]

이므로 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼씩 평행이동해도 모양이 반복되는 함수이다.

따라서 [eqn: y =f(x)`]의 그래프는 구간 [eqn: [``-1,````1``]`]에서 모양이 그림과 같이 반복된다고 생각할 수 있다.

조건 (다)에서 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { }`` f(x) ` dx = 2`]이므로

[eqn: int _{ 1} ^{2 } { }`` f(x)` dx = int _{ -1} ^{ 0} { }`` f(x) ` dx = int _{ 0} ^{1 } { }`` f(x) ` dx][eqn: =2]이다.

[eqn: therefore] [eqn: int _{ 0} ^{6 } { }`` f(x) ` dx = int _{ 0} ^{ 2} { }`` f(x) ` dx + int _{ 2} ^{ 4} { }``f(x) ` dx + int _{ 4} ^{ 6 } { }`` f(x) ` dx]

[eqn: = 3` int _{ 0} ^{2 } { }`` f(x)` dx =12`]

[eqn: therefore] [eqn: int _{ 0} ^{ 6} { }`` left { ` x^2 + f(x) right} ` dx = int _{ 0} ^{ 6} { }``x^2 ` dx + int _{ 0} ^{ 6} { }`` f(x) ` dx]

[eqn: = left[`` 1over 3 x^3 ``right]_0^6 + 12]

[eqn: = 84]