정답 및 해설

1 정답 ⑤

[출제의도]독립사건의 확률 계산하기

[eqn: rm P( itA)=a], [eqn: rmP it (B) =b]라 하면 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: rmP it(A cap B) = rmP it (A) cdot rmP(it B) =a b]이다.

따라서, [eqn: a b= 1 over 4] [eqn: (``0`<` a` le` 1 ,~0`<`b `le `1 ``)]이다.

[eqn: rmP it( A cupB) = rm P it (A) + rmP it (B) - rmP it (A cap B)]이므로

[eqn: a+b =k]이다.

[eqn: therefore] [eqn: 1 `le `k `le `5 over 4]

2 ②

꺼낸 카드에 적힌 수를 차례로 [eqn: a,`b,`c"``]라 할 때, 순서쌍 [eqn: (a,`b,`c)"``]의 개수는  [eqn: {} _{100} P _{3} "``] 이다.

또, [eqn: a>b>c"``]를 만족하는 세 수 [eqn: a,`b,`c"``]의 순서쌍 [eqn: (a,`b,`c)"``]의 개수는  [eqn: {} _{100} C _{3} "``] 이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: {{} _{100} C _{3}} over {{} _{100} P _{3}} = {1} over {6} "``][eqn: a,`b,`c"``]

|다른 풀이|

서로 다른 세수 [eqn: a,`b,`c"``]를 일렬로 배열하는 방법의 수는 [eqn: 3"``]![eqn: =6"``]이므로 이때, [eqn: a>b>c"``]가 되도록 배열하는 방법은 한 가지이므로 구하는 확률은 [eqn: {1} over {6} "``]이다.

3 정답 [eqn: 30``]

네 학생 [eqn: A``,~ B``,~ C``,~ D ``]의 수학책을 각각 [eqn: a``,~b``,~c``,~d``]라 하면 [eqn: D``]가 먼저 [eqn: A``]의 교과서 [eqn: a``]를 선택하였으므로 [eqn: A``,~ B``,~ C ``]가 남은 교과서 [eqn: b``,~c``,~d``]를 선택하는 모든 경우의 수는   [eqn: `_3 P_3 ``=``3!``]

이 때 아무도 자신의 교과서를 선택하지 못할 경우의 수는 [eqn: (`A``,``B``,``C`)~:~ (`b``,``c``,``d`)``,~ (`c``,``d``,``b`)``,~(`d``,``c``,``b`)``]로 모두 [eqn: 3``]가지이므로 [eqn: { q} over {p } ``=`` { 3} over {3! } ``=`` { 1} over {2 }``]

∴ [eqn: 10`(`p``+``q`) ``=`` 10 `(`2``+``1`) ``=``30``]

4 정답 ④

두 꼭짓점 사이의 거리가  [eqn: sqrt 10``]인 경우의 수는 가로 [eqn: 3``], 세로 [eqn: 1``]인 직사각형의 대각선과 가로 [eqn: 1``],  세로 [eqn: 3``]인 직사각형의 대각선 개수의 합 이므로 구하는 확률은 [eqn: {````32} over {`_24 C _2 } ``=`` 8 over 69 ``]

5 정답 ②

동전의 앞면이 나오는 사건을 [eqn: H], 뒷면이 나오는 사건을 [eqn: T]라고 하자.

이 때, [eqn: H]가 올 수 있는 자리를 ●라고 하자.

㈀. [eqn: H]가 [eqn: 2]번, [eqn: T]가 [eqn: 3]번인 경우

[eqn: H] [eqn: 2]개가 이웃하지 않으므로

●T●T●T●가 되어 [eqn: {} _{4} C _{2}=6]가지이다.

㈁. [eqn: H]가 [eqn: 3]번, [eqn: T]가 [eqn: 2]번인 경우

[eqn: H] [eqn: 2]개는 이웃하고 나머지 [eqn: H] [eqn: 1]개는 이웃하지 않으므로

●T●T●이므로  [eqn: {} _{3} P _{2}=6]가지이다.

㈂. [eqn: H]가 [eqn: 4]번, [eqn: T]가 [eqn: 1]번 인 경우

[eqn: H]가 [eqn: 2]개씩 이웃할 때 : ●T●에서 [eqn: {} _{2} C _{2}=1]

[eqn: H]가 [eqn: 3]개씩 이웃하고 나머지 하나는 이웃하지 않을 때

●T●에서 [eqn: {} _{2} P _{2}=2]

[eqn: therefore P(X=2)= {6+6+1+2}over2^5 = 15 over32]

6 [정답] [eqn: 11]

[eqn: 400]원짜리 우표 [eqn: 4]장, [eqn: 300]원짜리 우표 [eqn: 3]장, [eqn: 200]원짜리 우표 [eqn: 2]장의 우표 [eqn: 9]장을 일렬로 배열하는 방법의 수는

[eqn: {9!} over {4! TIMES 3! TIMES 2!} =9 TIMES 7 TIMES 5 TIMES 4]

구하는 방법의 수는 [eqn: 200]원짜리의 우표 두 장을 먼저 배열한 후, 남아 있는 [eqn: 7]자리 중에서 가장 왼쪽에 [eqn: 400]원짜리 우표 한 장을 배열하고, 나머지 [eqn: 400]원짜리 우표 [eqn: 3]장과 [eqn: 300]원짜리 우표 [eqn: 3]장을 배열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: {} _{9} rmC _{2} TIMES {6!} over {3!3!} = {9!} over {2!7!} TIMES {6!} over {3!3!} =9 TIMES 4 TIMES 5 TIMES 4]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {9 TIMES 4 TIMES 5 TIMES 4} over {9 TIMES 7 TIMES 5 TIMES 4} = {4} over {7}]

[eqn: THEREFORE p+q=7+4=11]

7 [정답] [eqn: 55]

갑과 을이 각각 한 개의 동전을 동시에 던졌을 때 두 동전이 서로

다른 면이 나올 사건을 [eqn: A``,````]모두 앞면이 나올 사건을 [eqn: B``,````]모두

뒷면이 나올 사건을 [eqn: C``]라 하면

[eqn: {rmP}`left(`A `right) = 2 times left(`1over2 right)^2 = 1over2``,````{rmP}`left(`B``right) = {rmP}`left(`C``right)= left(`1over2 right)^2 = 1over4]

이때 두 사람이 각각 한 개의 동전을 던지는 시행은 서로 독립이므로

[eqn: 10``]번의 독립시행의 결과 두 사람 모두 [eqn: rmR``]에 있으려면 세 사건 [eqn: A``,]

[eqn: B``,````C``]가 각각 [eqn: 7``]번, [eqn: 2``]번, [eqn: 1``]번 일어나야 한다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: q over {2`^p} = { 10`!} over { 7`!` 2`!`1`!} cdot left(`1over2`right)^7 left(`1over4 `right)^2 left(`1over4`right)^1 = 45 over { 2`^10}]

[eqn: therefore~p+q = 10 + 45 =55]

8 [정답] ④

청춘 열차의 출발을 기다리는 시간이 [eqn: 20]분 이하인 사건을 [eqn: A], 열차의 운행 간격이 [eqn: 30]분인 사건을 [eqn: B], 열차의 운행 간격이 [eqn: 1]시간인 사건을 [eqn: C]라 하면

[eqn: rmP(itB) = 1over3], [eqn: rmP(itC) = 2over3],

[eqn: rmP(it A`|B ) = 20 over 30 = 2over3],

[eqn: rmP(it A`|C) = 20 over 60 = 1over3],

이므로 구하고자 하는 확률 [eqn: rmP(itA)]는

[eqn: rmP(itA) = rmP(it A cap B) + rmP(it A cap C )]

[eqn: = rmP(itB)`` rmP(it A`|B) + rmP(itC)``rmP(it A`|C)]

[eqn: = 1over3 cdot 2 over3 + 2over3 cdot 1over3]

[eqn: = 4over 9]

9 ①

[eqn: 12``]회에서 두 선수 [eqn: rmA, B``]가 화살을 쏘아 선수 [eqn: rmA``]가 승리하는 경우의 확률은 다음과 같다.

(i) 선수[eqn: rmA``]가 [eqn: 10``]점을 맞혔을 때：

선수 [eqn: rmB``]는 [eqn: 9``]점 또는 [eqn: 8``]점 또는 [eqn: 7``]점을 맞혀야 하므로

[eqn: { 11} over {20 } LEFT ( { 5} over {20 } + { 1} over {20 }+ { 1} over {20 }RIGHT )= { 77} over {400 }``]

(ii) 선수 [eqn: rmA``]가 [eqn: 9``]점을 맞혔을 때：

선수 [eqn: rmB``]는 [eqn: 8``]점 또는 [eqn: 7``]점을 맞혀야 하므로

[eqn: { 7} over {20 } LEFT ( { 1} over {20 }+ { 1} over {20 }RIGHT )= { 14} over {400 }``]

(iii) 선수 [eqn: rmA``]가 [eqn: 8``]점을 맞혔을 때：

선수 [eqn: rmB``]는 [eqn: 7``]점을 맞혀야 하므로

[eqn: { 1} over {20 } TIMES { 1} over {20 }= { 1} over {400 }``]

(i), (ii), (iii) 에서 선수 [eqn: rmA``]가 승리할 확률은

[eqn: { 77} over {400 }``+{ 14} over {400 }``+{ 1} over {400 }``={ 92} over {400 }``]

따라서 [eqn: 12``]회에서 두 선수[eqn: rmA, B``]가 화살을 쏘아 선수 [eqn: rmA``]가 승리하였을 때, 선수[eqn: rmA``]가 9점을 맞혔을 확률은

[eqn: { { 14} over {400 }``} over {{ 92} over {400 }`` }={ 14} over {92 }``={ 7} over {46 }``]

10 ⑤

네 명중 적어도 한 명이 [eqn: rm P``]사 또는 [eqn: rm R``]사의 스마트폰을 사용하는 사건을 [eqn: T``]라 하면 여사건 [eqn: T ^{`c} ``]는 네 사람 모두 [eqn: rm `Q``]사의 스마트폰을 사용하는 사건이다.

[eqn: rm THEREFORE P LEFT ( it T RIGHT ) ``=1- rm P LEFT ( itT` ^{`c} RIGHT )]

[eqn: =1- {2} over {6} TIMES {3} over {6} TIMES {2} over {6} TIMES {4} over {6} = {26} over {27} ``]

11 [eqn: 9 ``]

[eqn: A ``]팀이 [eqn: 3 ``]차전과 [eqn: 6 ``]차전을 이기면서 우승하는 경우는 다음 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: A ``]팀이 [eqn: 6 ``]차전에서 우승이 결정되는 경우

[eqn: 1 ``], [eqn: 2 ``], [eqn: 4 ``], [eqn: 5 ``]차전에서 두 경기만을 이기고 [eqn: 3 ``], [eqn: 6 ``]차전을 이길 확률은

[eqn: {}_4 C _2 left( 1 over 2 right)^2 left( 1 over 2 right) ^ 2 times 1 over 2 times 1 over 2 = 6 over 64 = 3 over 32 ``]

(ⅱ) [eqn: A ``]팀이 [eqn: 7 ``]차전에서 우승이 결정되는 경우

[eqn: 1 ``], [eqn: 2 ``], [eqn: 4 ``], [eqn: 5 ``]차전에서 한 경기만을 이기고 [eqn: 3 ``], [eqn: 6 ``], [eqn: 7 ``]차전을 이길 확률은

[eqn: {}_4 C_1 left( 1 over 2 right)^1 left( 1 over 2 right)^3 times 1 over 2 times 1 over 2 times 1 over 2 = 4 over 128 = 1 over 32 ``]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: q over p = 3 over 32 + 1 over 32 = 4 over 32 = 1 over 8 ``]

[eqn: therefore ``] [eqn: p+q=9 ``]

12 [eqn: 95]

[eqn: 9``]개의 구슬 중 [eqn: 2``]개를 꺼낼 때,

두 개 모두 붉은 구슬일 확률은 [eqn: {` _{3} rmC _{2}} over {` _{9} rmC _{2}} = {1} over {12}]

한 개는 붉은 구슬, 한 개는 흰 구슬일 확률은 [eqn: {` _{3} rmC _{1} TIMES ` _{6} rmC _{1}} over {` _{9} rmC _{2}} = {1} over {2}]

두 개 모두 흰 구슬일 확률은 [eqn: {` _{6} rmC _{2}} over {` _{9} rmC _{2}} = {5} over {12}]

첫 번째 시행에서 붉은 구슬의 개수를 [eqn: a ``], 두 번째 시행에서 붉은 구슬의 개수를 [eqn: b ``]라 하면 구하는 확률은

[eqn: (a~, b)=(2~, 0),~ (1,~ 1),~ (0,~ 2)``]인 경우의 확률이므로

[eqn: 1over12 times 5over12 + 1over2 times 1over2 + 5over12 times 1over12 = 23over72]

[eqn: ∴~ m+n=95]

13 ③

나올 수 있는 전체 경우의 수는 [eqn: 6 ^{3} =216``]가지이다.

이제 [eqn: c``]의 값에 따라 경우를 나누어 생각하자.

(ⅰ) [eqn: c=1``]이면 [eqn: a+b``]의 값에 관계없이 나누어 떨어진다.

[eqn: a``]는 [eqn: 6``]가지, [eqn: b``]도 [eqn: 6``]가지이므로

[eqn: {6cdot6} over {216} = {36} over {216} ``]

(ⅱ) [eqn: c=2``]이면 [eqn: a+b``]는 [eqn: 2``]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: a+b=2``]가 되는 경우는 [eqn: 1``]가지, [eqn: a+b=4``]가 되는 경우는

[eqn: 3``]가지, [eqn: a+b=6``]이 되는 경우는 [eqn: 5``]가지, [eqn: a+b=8``]이 되는

경우는 [eqn: 5``]가지, [eqn: a+b=10``]이 되는 경우는 [eqn: 3``]가지,

[eqn: a+b=12``]가 되는 경우는 [eqn: 1``]가지이므로

[eqn: {1+3+5+5+3+1} over {216} = {18} over {216} ``]

(ⅲ) [eqn: c=3``]이면 [eqn: a+b``]는 [eqn: 3``]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: a+b=3``]이 되는 경우는 [eqn: 2``]가지, [eqn: a+b=6``]이 되는 경우는

[eqn: 5``]가지, [eqn: a+b=9``]가 되는 경우는 [eqn: 4``]가지, [eqn: a+b=12``]가 되는

경우는 [eqn: 1``]가지이므로

[eqn: {2+5+4+1} over {216} = {12} over {216} ``]

(ⅳ) [eqn: c=4``]이면 [eqn: a+b``]는 [eqn: 4``]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: a+b=4``]가 되는 경우는 [eqn: 3``]가지, [eqn: a+b=8``]이 되는 경우는

[eqn: 5``]가지,  [eqn: a+b=12``]가 되는 경우는 [eqn: 1``]가지이므로

[eqn: {3+5+1} over {216} = {9} over {216} ``]

(ⅴ) [eqn: c=5``]이면 [eqn: a+b``]는 [eqn: 5``]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: a+b=5``]가 되는 경우는 [eqn: 4``]가지, [eqn: a+b=10``]이 되는 경우는

[eqn: 3``]가지이므로

[eqn: {4+3} over {216} = {7} over {216} ``]

(ⅵ) [eqn: c=6``]이면 [eqn: a+b``]는 [eqn: 6``]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: a+b=6``]이 되는 경우는 [eqn: 5``]가지, [eqn: a+b=12``]가 되는 경우는

[eqn: 1``]가지이므로

[eqn: {5+1} over {216} = {6} over {216} ``]

따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {36+18+12+9+7+6} over {216} = {88} over {216} = {11} over {27}]

14 [eqn: 99``]

남학생일 사건을 [eqn: M`], 축구를 좋아하는 학생일 사건을 [eqn: A`]라 하면

[eqn: `{rm P} ( M)` =` 400 over900 `= `4 over 9 ``], [eqn: {rm P}(M^c ) ` =` 500 over900 ` = `5 over9 `]

[eqn: `{rmP} (A vert M) `=` 0.4``], [eqn: `{rmP} (A vert M^c )`=` 0.35``]이므로

[eqn: `{rmP} (A∩ M) `=`{rm P } (M)×{rm P }(A vert M ) `= `4 over 9 ×0.4 `= ``16 over 90``]

[eqn: `{rmP} (A∩ M^c ) `=`{rm P } (M^c )`×`{rm P }(A vert M^c ) `=` 5 over 9 ×0.35`= `35 over180``]

[eqn: ` rm P it (A)`=` rm P it (A SMALLINTER M) TIMES rm P it (A SMALLINTER M ^{c} )`=` {16} over {90} `+` {35} over {180} `=` {67} over {180} `]

따라서 구하는 확률은

[eqn: ` rm P it (M vert A)`=` {rm P it (A SMALLINTER M)} over {rm P it (A)}][eqn: ` =` {16 over 90} over { 67 over 180 }` =` 32 over67`]

이므로 [eqn: `p=67], [eqn: `q=32`]

∴ [eqn: `p+q = 67+32 = 99``]

∥다른풀이∥

남학생 [eqn: `400``]명 중에서 축구를 좋아하는 학생은

[eqn: `400× 40 over 100 = 160(명)``]이고,

야구를 좋아하는 학생은 [eqn: `400-160=240``(명)``]이다.

여학생은 [eqn: `500``]명중에서 야구를 좋아하는 학생은

[eqn: `500× 65over100 = 325(명)``] 이고,

축구를 좋아하는 학생은 [eqn: `500-325 = 175(명)``]이다.

[eqn: ` rm P it (M vert A)= {rm P it (A SMALLINTER M)} over {rm P it (A)}][eqn: =` {n(A∩M) over n(A) = 160 over {160 +175} = 32 over67``]

15 [eqn: 13]

비밀번호의 백의 자리, 일의 자리 숫자를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]라고 하면 네 자리 자연수의 비밀번호는 [eqn: 6`]의 배수이므로 [eqn: 2`]의 배수이고 [eqn: 3`]의 배수이다. 즉, [eqn: b`]는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 0] 중 하나이고

[eqn: 3 +a + 5+ b ge 15`], [eqn: a+b < 18`]이므로 [eqn: 7 le a+b < 18`]

이때, [eqn: 3 + a+ 5 +b = a+ b +8`]은 [eqn: 3`]의 배수이므로

[eqn: a+b `]의 값은 [eqn: 7], [eqn: 10], [eqn: 13], [eqn: 16] 중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: a+b =7`]인 경우

[eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 7,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,````2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,````4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,````6 RIGHT )]으로 [eqn: 4]가지

(ⅱ) [eqn: a +b = 10]인 경우

[eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 8,````2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,````4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,````6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,````8 RIGHT )]로 [eqn: 4`]가지

(ⅲ) [eqn: a+b = 13]인 경우

[eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 9,````4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 7,````6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,````8 RIGHT )]로 [eqn: 3]가지

(ⅳ) [eqn: a+b =16]인 경우

[eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 8,````8 RIGHT )]로 [eqn: 1]가지

즉, [eqn: 4+4+3+1 = 12`]가지 이므로 희주가 세 번째에 인터넷 카페에 들어갈 확률은

[eqn: 11 over 12 ``·`` 10 over 11 ``·``1 over 10 = 1 over 12]

따라서 [eqn: p =12], [eqn: q = 1`]이므로

[eqn: p+q=13]

16 [정답] [eqn: 137``]

해설

시행 [eqn: rmA``]를 [eqn: 3``]번하여 갈 수 있는 지점은 그림과 같이 ①, ②, ③, ④의 네 지점이다.

시행 [eqn: rmB``]를 [eqn: 3``]번하여 ①에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법은

→ →↓, →↓→, ↓→ →

의 [eqn: 3``]가지이고, ②에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법은

↑→↓, ↓→↑, ↑↓→, ↓↑→, ← → →

의 [eqn: 5``]가지이다.

마찬가지로 ③에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법도

←↑→, →↑←, ← →↑, → ←↑, ↓↑↑

의 [eqn: 5``]가지이다.

④에서 처음으로 [eqn: rmQ``]지점에 도착하는 방법은

←↑↑, ↑←↑, ↑↑←

의 [eqn: 3``]가지이다.

(ⅰ) [eqn: rm P~ -> ~`①~ -> ~ rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} CDOT 3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {3} over {2 ^{9}} ``]

(ⅱ) [eqn: rm P~ -> ``②~ -> ` rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} CDOT 5 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {15} over {2 ^{9}} ``]

(ⅲ) [eqn: rm P~ -> ``③~ -> ` rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} CDOT 5 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {15} over {2 ^{9}} ``]

(ⅳ) [eqn: rm P~ -> ``④~ -> ` rm Q~:~ _{3 rm} rm C _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} CDOT 3 CDOT LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} = {3} over {2 ^{9}} ``]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {3+15+15+3} over {2 ^{9}} = {36} over {2 ^{9}} = {9} over {128} ``]

따라서 [eqn: p=128,``] [eqn: q=9``]이므로

[eqn: p+q=128+9=137``]

17 [정답] [eqn: 37``]

해설

주머니 속에 있는 모든 [eqn: 8``]장의 카드에 적혀 있는 숫자는 각각 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5,``5,``6,``6``]이며 이 중 소수가 적힌 카드는 [eqn: 2,``3,``5,``5``]이고, [eqn: 4``]이상의 숫자가 적힌 카드는 [eqn: 4,``5,``5,``6,``6``]이다.

첫 번째에는 소수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: 2``]또는 [eqn: 3``]이 적힌 카드가 나오고 두 번째에 [eqn: 4``]이상의 숫자가 적힌 카드가 나오는 사건을 [eqn: A``]라 하면

[eqn: rmP(itA)= {2} over {8} cdot {5} over {7} = {10} over {56} ``]

첫 번째에는 소수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: 5``]가 적힌 카드가 나오고 두 번째에 [eqn: 4``]이상의 숫자가 적힌 카드가 나오는 사건을 [eqn: B``]라 하면

[eqn: rm P( it B)= {2} over {8} CDOT {4} over {7} = {8} over {56} ``]

사건 [eqn: A``]와 사건 [eqn: B``]는 서로 배반이므로

[eqn: rmP(itA CUP B)=rmP(itA)+rmP(itB)``][eqn: = {10} over {56} + {8} over {56} = {18} over {56} = {9} over {28} ``]

[eqn: THEREFORE ~p=28,~q=9``]

[eqn: THEREFORE ~p+q=28+9=37``]

18 [정답] [eqn: 18``]

해설

상자 [eqn: rmB``]에 들어 있는 파란 공, 흰 공, 빨간 공의 개수를 각각 [eqn: x,``y,``z``][eqn: LEFT ( x GEQ 1,``y GEQ 1,``z GEQ 1 RIGHT )``]라 하면 갑이 파란 공, 흰 공, 빨간 공을 꺼내어 이길 확률은 각각

[eqn: {1} over {6} TIMES {x} over {6}``], [eqn: {2} over {6} TIMES {y} over {6}``], [eqn: {3} over {6} TIMES {z} over {6}``]이므로 갑이 이길 확률은

[eqn: {1} over {6} TIMES {x} over {6} + {2} over {6} TIMES {y} over {6} + {3} over {6} TIMES {z} over {6} = {x+2y+3z} over {36}``]

[eqn: {x+2y+3z} over {36} = {1} over {3}``]이므로 [eqn: x+2y+3z=12``]

[eqn: THEREFORE ``y+2z=6``] [eqn: LEFT ( BECAUSE ``x+y+z=6 RIGHT )``]

[eqn: THEREFORE ``z=2,``y=2,``x=2``] 또는 [eqn: z=1,``y=4,``x=1``]

한편,

[eqn: Ｅ LEFT ( X RIGHT ) =3 LEFT ( {1} over {6} TIMES {x} over {6} RIGHT ) +2 LEFT ( {2} over {6} TIMES {y} over {6} RIGHT ) + LEFT ( {3} over {6} TIMES {z} over {6} RIGHT )``]

[eqn: = {3x+4y+3z} over {36} = {18+y} over {36}``] [eqn: LEFT ( BECAUSE ``x+y+z=6 RIGHT )``]

따라서 [eqn: x=1``], [eqn: y=4``], [eqn: z=1``]일 때 [eqn: Ｅ LEFT ( X RIGHT ) = {18+y} over {36}``]의 최댓값은

[eqn: {22} over {36} = {11} over {18}``]

[eqn: THEREFORE ``a=1,``b=4,``c=1``]

[eqn: THEREFORE ``a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =1 ^{2} +4 ^{2} +1 ^{2} =18``]19 [정답] [eqn: 13``]

해설

[eqn: rmA``]지점에서 [eqn: rmE``]지점으로 ‘말’을 이동할 때, 얻은 점수가 [eqn: 4``]점 이하가 되는 경우는

[eqn: rmA``->``B``->``E``] [eqn: :`3``]점   [eqn: cdots```㉠``]

[eqn: rm A`` -> ``C`` -> ``E``] [eqn: :`3``]점   [eqn: CDOTS ```㉡``]

[eqn: rm A`` -> ``C`` -> ``D``->``E``] [eqn: :`4``]점   [eqn: CDOTS ```㉢``]

따라서 [eqn: 4``]점 이하일 확률은

[eqn: {1} over {3} TIMES {2} over {3} + {2} over {3} TIMES {1} over {3} + {2} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {3}``][eqn: = {2} over {9} + {2} over {9} + {4} over {27} = {16} over {27}``]

또한, [eqn: rmB``]지점을 거치지 않고 이동하는 경우는 ㉡,㉢이고 그 확률은

[eqn: {2} over {3} TIMES {1} over {3} + {2} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {3}``][eqn: = {2} over {9} + {4} over {27} = {10} over {27}``]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {{10} over {27}} over {{16} over {27}} = {10} over {16} = {5} over {8}``]

따라서 [eqn: p=8,~q=5``]이므로

[eqn: p+q=13``]

20 [정답] [eqn: 460``]

해설

지난 달 두 공장 [eqn: rm P ``,`` RM Q``] 가 작업한 날수를 각각 [eqn: x ``,`` y``]라 하면 두 공장

[eqn: rm P ``,` RM Q``]에서 생산된 제품의 개수는

[eqn: x``][eqn: pmatrix { ``10&````40 ``# ``20&``30 } `+` y``][eqn: pmatrix { ``20&````10 ``# ``30&``40 }``][eqn: ``=`` ``][eqn: pmatrix { ``10x +20y&````````40x +10y ```# ``20x+30y&``````30x+40y` }``] [eqn: cdots cdots ``] ㉠

이때, 품목 (가)의 개수는 [eqn: 2020``]개 이고, 모델[eqn: rm A``]의 개수는 [eqn: 1980``] 이므로

[eqn: (10x+20y) `+`( 20 x + 30 y) `=` 2020``]      [eqn: cdots cdots ``] ㉡

[eqn: (10x+20y) `+`( 40 x + 10 y) `=` 1980``]      [eqn: cdots cdots ``] ㉢

㉡[eqn: -``]㉢에서  [eqn: - 20 x `+` 20 y ``=` 40``]

품목 모델명	(가)	(나)
[eqn: RM A``]	[eqn: 760``]	[eqn: 1220``]
[eqn: RM B``]	[eqn: 1260``]	[eqn: 1760``]

[eqn: therefore ```` y ``=` x `+` 2 ``]                         [eqn: cdots cdots ``] ㉣

㉣을 ㉡에 대입하여 풀면 [eqn: x `= 24``] 이므로 ㉣에서 [eqn: y ``=` 26``]그러므로 [eqn: x `=` 24 ``,`` y `=` 26``] 을 ㉠에 대입하여 지난 달 두 공장에서 생산한 제품의 개수를 구하면 다음과 같다. 이때, 이 회사의 두 공장 [eqn: RM P```,`` Q``]에서 모델 [eqn: RM A``]를 생산하기 위한 제조 원가와 판매가격은 각각 [eqn: 760 p `+` 1220r ``] , [eqn: 760 q `+` 1220 s``] 이다.

따라서 이 회사에서 모델 [eqn: rm A``]를 판매하여 얻은 수익금은

[eqn: ( 760 q `+` 1220 s) `-` ( 760p `+ `1220 r)``]

[eqn: ``=`` 760 ` ( q-p) `+` 1220 (s`-` r)``]

[eqn: therefore ```` alpha ``=`` 760``] , [eqn: beta ``=`` 1220``]

[eqn: therefore ``` beta `-` alpha ``=`` 1220 `-` 760 ``=` 460``]21 [정답] ①

해설 점 [eqn: rmP``]가 점 [eqn: rmA``]에서 시작하여 [eqn: 3``]번의 이동 후 점 [eqn: rmC``]에 오는 사건을 [eqn: E _{1} ``,``] 도중에 점 [eqn: rmB``]를 거칠 사건을 [eqn: E _{2} ``]라 하면

[eqn: (ⅰ)``] 첫 번째 이동에서 점 [eqn: rmC``]로 이동한 경우 :

점 [eqn: rmC``]에서 세 방향으로 나간 다음 다시 돌아와야 하므로

[eqn: {1} over {3} TIMES 1 TIMES {1} over {3} = {1} over {9} ``]

[eqn: (ⅱ)``] 첫 번째 이동에서 점 [eqn: rmC``]를 제외한 나머지 두 방향으로 이동한 경우 :

다시 점 [eqn: rmA``]로 돌아온 다음 점 [eqn: rmC``]로 가야 하므로

[eqn: {2} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} = {2} over {27} ``]

[eqn: rm P(E _{1} )= {1} over {9} + {2} over {27} = {3+2} over {27} = {5} over {27} ``]

[eqn: rm P(E _{1} SMALLINTER E _{2} )= {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3} = {1} over {27} ``]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rmP(E _{2} □E _{1} )= {P(E _{1} SMALLINTER E _{2} )} over {P(E _{1} )} = {1} over {5}``]

22 [eqn: 25``]

갑이 이기는 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.

경기 순서 승리	갑	을	갑	을	갑	을	[eqn: cdots]
갑	[eqn: rmO]
갑	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmO]
갑	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmX]	[eqn: rmO]
[eqn: vdots]

주머니에서 하나의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은 [eqn: {1}over{p}``]이므로 갑이 이길 확률은

[eqn: {1}over{p}+left(1-{1}over{p}right)^2 {1}over{p}+left(1-{1}over{p}right)^4 {1}over{p}+``cdots``]

[eqn: ={{1}over{p}}over{1-left(1-{1}over{p}right)^2}``]

[eqn: ={p}over{2p-1}={25}over{49}``]

[eqn: therefore~p=25``]

23 [eqn: 455`]

선택하는 빨간색, 파란색, 노란색 색연필의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y`], [eqn: z`]라 하면
[eqn: x >= 1`], [eqn: y >= 1`], [eqn: z >= 1`]
전체 색연필의 개수는 [eqn: 15`]개 이하이므로
[eqn: 3 <= x+y+z <= 15`]
[eqn: X=`x-1`], [eqn: Y`=y-1`], [eqn: Z=`z-1`]이라 하면
[eqn: X >= 0`], [eqn: Y >= 0`], [eqn: Z >= 0`]
구하는 것은 부등식 [eqn: X+Y+Z` <= 12`]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
[eqn: W`=`12-X-Y-Z``]라 하면 [eqn: W` >= 0`]이고 구하는 것은 방정식 [eqn: X+Y+Z+W`=12`]의 음이 아닌 정수해와 같다.
즉, [eqn: 4`]개에서 [eqn: 12`]개를 선택하는 중복조합의 수와 같다.
[eqn: THEREFORE ```` _{4+12-1} ` rm C` _{12} `=` _{15} `C _{3} `=` {15 CDOT 14 CDOT 13} over {3 CDOT 2 CDOT 1} `=`455`]

24 ③

[eqn: 10``]개의 점 중에서 [eqn: 3``]개를 선택하는 방법이

[eqn: {} _{10} C _{3} = {10 BULLET 9 BULLET 8} over {3 BULLET 2 BULLET 1} =120````](가지)

이므로 만들 수 있는 삼각형은 [eqn: 120``]개다.

외접원의 지름의 양 끝점을 포함하여 세 점을 연결하면 직각삼각형을 만들 수 있다. 정삼각형의 외접원의 지름의 양 끝점을 선택하는 방법이 [eqn: 5``]가지이고 나머지 [eqn: 8``]개의 점 중에서 하나를 선택하여 직각삼각형을 만드는 방법은 [eqn: 5 TIMES 8=40``]이므로 구하는 확률은 [eqn: {40} over {120} = {1} over {3} ``]

25 [eqn: 55``]

동전을 [eqn: 3``]개 던져서 앞면이 [eqn: b`` LEFT ( b=0,```1,```2,``3 RIGHT ) ``]개 나올 확률은

[eqn: {} _{3} C _{b} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{b} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3-b} ``][eqn: = _{3} C _{b} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} ``]

주사위의 눈의 수가 [eqn: a`` LEFT ( a=1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT ) ``]일 확률은 [eqn: {1} over {6} ``]

따라서 [eqn: a=2b``]일 확률은

[eqn: sum _{r=1} ^{3} {1} over {6} TIMES _{3} C _{r} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} ``][eqn: = {1} over {6 TIMES 2 ^{3}} sum _{r=1} ^{3} ` _{3} C _{r} ``]

[eqn: = {1} over {6 TIMES 2 ^{3}} LEFT ( {} _{3} C _{1} + _{3} C _{2} + _{3} C _{3} RIGHT ) ``][eqn: = {7} over {48} ``]

[eqn: THEREFORE p+q=48+7=55``]

26  [정답] ③

[eqn: 6``]명의 사람 중 한 명을 뽑았을 때, 그 사람이 영화 [eqn: b``]를 관람하는 사람일 사건을 [eqn: M,``] 영화 [eqn: c``]를 관람하는 사람일 사건을 [eqn: N``]이라 하면 구하는 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itN``□`M` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itM SMALLINTER N` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itM` RIGHT )}``][eqn: = {{3} over {6}} over {{5} over {6}} = {3} over {5}``]

27  [정답] ③

그림과 같은 [eqn: 8``]개의 좌석 중 회장은 [eqn: 1``]열에 부회장은 [eqn: 2``]열에 임의로 한 개씩 선택하여 앉는 경우의 수는

[eqn: 4!`times4!``]

모두 같은 반 학생끼리 짝이 되게 앉는 사건을 [eqn: A``], [eqn: 2``]개 반의 학생들만 짝이 되게 앉는 사건을 [eqn: B``]라 하면

(i) 모두 같은 반 학생끼리 짝이 되게 앉는 경우의 수는

[eqn: 4!`times1``]

[eqn: therefore`{rmP} LEFT ( A RIGHT ) = {4!`times1} over {4!`times4!} = {1} over {24} ``]

(ii) [eqn: 2``]개 반의 학생들만 짝이 되게 앉는 경우의 수는

[eqn: 4!`times _{4} C _{2} `times1``]

[eqn: THEREFORE ` rm P it LEFT ( B RIGHT ) = {4!` TIMES _{4} C _{2} TIMES 1} over {4!` TIMES 4!} = {1} over {4} ``]

두 사건 [eqn: A``], [eqn: B``]는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT ) + rm P it LEFT ( B RIGHT ) = {1} over {24} + {1} over {4} = {7} over {24} ``]

28 [정답] [eqn: 13``]

조건 (나)를 만족하는 함수 [eqn: g``]의 개수는 [eqn: 2 ^{4} -2=14``]이고 함수 [eqn: f``]각각에 대하여 [eqn: g` CIRC `f``]의 치역이 [eqn: Z``]가 아닌 경우는 모두 [eqn: 0``]또는 모두 [eqn: 1``]에 대응하는 경우이고 아래 그림과 같이 [eqn: 2``]가지 뿐이므로 구하는 확률은

[eqn: 1- {2} over {14} = {6} over {7} ``]

[eqn: therefore`p+q=7+6=13``]

29 [정답] ⑤

[eqn: 6``]명의 학생 [eqn: rmA``,```B``,```C``,```D``,```E``,```F``]가 임의로 [eqn: 3``]명씩 짝을 지어 각각 버스와 기차를 타는 경우의 수는

[eqn: {} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} times {1} over {2!} times2!``]

[eqn: rmA``,```B``]중 적어도 한명이 버스를 타는 사건을 [eqn: M``]이라 하면 [eqn: M``]의 여사건 [eqn: M ^{c} ``]은 [eqn: rmA``,```B``]가 모두 기차를 타는 사건이므로

[eqn: rm P it LEFT ( M ^{c} RIGHT ) = {{} _{4} C _{1}} over {{} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2!} TIMES 2!} = {1} over {5} ``]

[eqn: therefore`{rmP} LEFT ( M RIGHT ) =1-{rmP} LEFT ( M ^{c} RIGHT ) =1- {1} over {5} = {4} over {5} ``]

30 [정답] ②

[eqn: 7``]개의 꼭짓점 중에서 임의로 [eqn: 3``]개의 점을 택하여 만들 수 있는 모든 삼각형의 개수는 [eqn: {} _{7} C _{3} - _{3} C _{3} times3``]

(i) 그림에 나타나 있는 직각을 포함하는 삼각형

㉠을 직각으로 하는 삼각형은 [eqn: 2``]가지

㉡을 직각으로 하는 삼각형은 [eqn: 1``]가지

㉢을 직각으로 하는 삼각형은 [eqn: 2``]가지

㉣을 직각으로 하는 삼각형은 [eqn: 1``]가지

㉤을 직각으로 하는 삼각형은 [eqn: 1``]가지

구하는 삼각형의 수는 위의 경우의 수의 합의 [eqn: 2``]배이므로

[eqn: LEFT ( 2+1+2+1+1 RIGHT ) times2=14``](가지)

(ii) 그림에 나타나 있지 않은 직각을 포함하는 삼각형

그림과 같이 모두 [eqn: 4``]가지

따라서 구하는 확률은 [eqn: {14+4} over {{} _{7} C _{2} - _{3} C _{3} times3} = {18} over {32} = {9} over {16} ``]