<2013학년도> [수학 특강반]	적분법 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

정답 및 해설

1  [정답] ③

[eqn: f(x)= {cases{x+1&(x LEQ 0)#(x-1) ^{2}&(x GEQ 0)}} ``]에서

[eqn: f(x+1)= {cases{x+2&(x LEQ -1)#`````x ^{2}&(x GEQ -1)}} ``]

[eqn: THEREFORE int _{-2} ^{-2} { int _{} ^{} {} (x+1)dx}``]

[eqn: = int _{-2} ^{-1} {(x+2)dx+ int _{-1} ^{2} {x ^{2} dx}}``]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} +2x ^{} RIGHT ] _{-2} ^{-1} + LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{-1} ^{2} ``]

[eqn: = LEFT ( {1} over {2} -2 RIGHT ) -(2-4)+ {8} over {3} -(- {1} over {3} )= {7} over {2}``]

2  [정답] ③

[eqn: f(x)=px+q``] ([eqn: p != 0,````p,````q``]는 실수)로 놓으면

[eqn: f(x+1)=p(x+1)+q=px+(p+q)``]

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x+1)(x ^{2} +ax+b)dx} ``]

[eqn: = int _{-1} ^{```1} {LEFT { px+(p+q) RIGHT } (x ^{2} +ax+b)dx} ``]

[eqn: = int _{-1} ^{```1} {LEFT { px ^{3} +(pa+p+q)x ^{2} +(ap+aq+bp)x+b(p+q) RIGHT } dx} ``]

[eqn: = int _{-1} ^{```1} {LEFT { px ^{3} +(ap+aq+bp)x RIGHT } dx} ``]

[eqn: + int _{-1} ^{```1} {LEFT { (pa+p+q)x ^{2} +b(p+q) RIGHT } dx} ``]

[eqn: =2 int _{0} ^{``1} {LEFT { (pa+p+q)x ^{2} +b(p+q) RIGHT } dx} ``]

[eqn: =2`` LEFT [ {pa+p+q} over {3} x ^{3} +b(p+q)x RIGHT ] _{0} ^{1}``]

[eqn: = LEFT ( {2a+2} over {3} +2b RIGHT ) p+ LEFT ( {2} over {3} +2b RIGHT ) q=0``]

임의의 실수 [eqn: p,```q~``]에 대하여 성립하려면

[eqn: {2a+2} over {3} +2b=0,````` {2} over {3} +2b=0``]

따라서 [eqn: a=0,```b=- {1} over {3}``]이므로

[eqn: a+b=- {1} over {3}``]

3   [정답] ③

[eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {2n} LEFT { LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) + LEFT ( 1+ {6} over {n} RIGHT ) + LEFT ( 1+ {9} over {n} RIGHT ) + CDOTS +4 RIGHT }} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ````` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) CDOT {1} over {2n}``]

[eqn: THEREFORE ``](주어진 식)[eqn: = lim _{n -> INF } {} ``` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) CDOT {1} over {2n}``]

[eqn: = {1} over {6} lim _{n -> INF } {} ``` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {3k} over {n} RIGHT ) CDOT {3} over {n}``]

[eqn: = {1} over {6} int _{1} ^{4} {xdx}``]

[eqn: = {1} over {6} LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{4} = {5} over {4} ``]

4  [정답] ⑤

[eqn: lim _{n-> INF } {{n(1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} + CDOTS +n ^{4} )} over {(1+2+3+ CDOTS n)(1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + CDOTS +n ^{3} )}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4}} over {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} BULLET {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}}}``]

[eqn: = { int _{0} ^{1} {x ^{4} dx}} over { int _{0} ^{1} {xdx TIMES int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}}} = {LEFT [ {1} over {5} x ^{5} RIGHT ] _{0} ^{1}} over {LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} TIMES LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1}}``]

[eqn: = {{1} over {5}} over {{1} over {2} TIMES {1} over {4}} = {8} over {5}``]

5   [정답] ⑤

[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{2n+1} +2x-1} over {x ^{2n} +1}} ``]

[eqn: = {cases{2x-1&( LEFT | x RIGHT | <1)#```````1&(x=1)#-2&(x=-1)#```````x&( LEFT | x RIGHT | >1)}}``]

의 그래프는 아래 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: lim _{h -> +0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h} = lim _{h -> +0} {} {(1+h)-1} over {h} =1``]

[eqn: lim _{h -> -0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {LEFT { 2(1+h)-1 RIGHT } -1} over {h}``]

[eqn: = lim _{h-> -0} {{2h} over {h} =2}``]

에서 [eqn: lim _{h -> +0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h} != lim _{h -> -0} {} {f(1+h)-f(1)} over {h}``]

이므로 [eqn: f` prime (1)``]은 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{2} {} `f(x)dx= int _{0} ^{1} {(2x-1)dx+ int _{1} ^{2} {xdx}}``]

[eqn: = LEFT [ x ^{2} -x RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2}``]

[eqn: =(1-1)+(2- {1} over {2} )``]

[eqn: = {3} over {2}``] (참)

ㄷ. [eqn: LEFT | x RIGHT | >1``]일 때, [eqn: f(x)``]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: a>2``]일 때, [eqn: int _{2} ^{a} {f(x)dx=- int _{-a} ^{-2} {f(x)dx}}``]

[eqn: THEREFORE int _{2} ^{a} {f(x)dx+ int _{-a} ^{-2} {f(x)dx} =0}``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ,  ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: LEFT | x RIGHT | >1``]일 때, [eqn: f(x)=x``]이므로

[eqn: int _{2} ^{a} {f(x)dx+ int _{-a} ^{-2} {f(x)dx}}``]

[eqn: = int _{2} ^{a} {xdx+ int _{-a} ^{-2} {xdx}}``]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{a} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-a} ^{-2}``]

[eqn: = {1} over {2} a ^{2} -2+2- {1} over {2} a ^{2}``]

[eqn: =0``]

6  [정답] ④

[eqn: f(t)= lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1+ {t+1} over {n} k RIGHT ) ^{2} cdot` {t+1} over {n}} ``]

[eqn: = int _{-1} ^{t} {x ^{2} dx}``]

이므로 [eqn: f(t)= LEFT [ {x ^{3}} over {3} RIGHT ] _{-1} ^{t} = {t ^{3} +1} over {3}``]

[eqn: THEREFORE f(x)= {x ^{3} +1} over {3}``]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -x-2} = lim _{x -> -1} {{x ^{3} +1} over {3(x ^{2} -x-2)}} ``}``]

[eqn: = lim _{x-> -1} {} {(x+1)(x ^{2} -x+1)} over {3(x+1)(x-2)}``]

[eqn: = lim _{x -> -1} {} {x ^{2} -x+1} over {3(x-2)}``]

[eqn: =- {1} over {3}``]

7   [정답] [eqn: 5``]

[eqn: int _{1} ^{x} {(x-1)f(t)dt=x ^{3} -3x+ {1} over {2} int _{1} ^{2} {f(t)dt} ``}``]       …… ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=2``]를 대입하면

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt=2+ {1} over {2} int _{1} ^{2} {f(t)dt} ``}``]

[eqn: THEREFORE int _{1} ^{2} {f(t)dt=4}``]                             …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: (x-1) int _{1} ^{x} {f(t)dt=x ^{3} -3x+2}``]

양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt+(x-1)f(x)=3x ^{2} -3}``]

양변에 [eqn: x=2``]를 대입하여 정리하면

[eqn: int _{1} ^{2} {f(t)dt=9-f(2)}``]                       …… ㉢

㉡, ㉢에서  [eqn: 4=9-f(2)``]

[eqn: THEREFORE f(2)=5``]

8  [정답] ③

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)``]라 하면 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`'(x)< g`'(x)``], 즉 [eqn: h prime (x)=f` prime (x)-g` prime (x)<0``]이므로 함수 [eqn: h(x)``]는 감소함수이다.

또한, [eqn: f(2)=g(2)``]이므로 [eqn: h(2)=f(2)-g(2)=0``]

따라서 [eqn: x<2``]일 때 [eqn: h(x)>0,``````x>2``]일 때 [eqn: h(x)<0``]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |} dx``]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx=3``]

[eqn: int _{2} ^{5} {|`f(x)-g(x)`|dx}``]

[eqn: =- int _{2} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx=12``]

[eqn: int _{2} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx=-12``]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx``]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx+ int _{2} ^{5} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} dx``]

[eqn: =3-12=-9``]

9  [정답] ③

주어진 이차함수 [eqn: f(x)``]의 그래프에서

[eqn: f(x)=k(x-1)(x-4)(k>0)``]로 놓으면

[eqn: f(0)=4k=6````````` THEREFORE k= {3} over {2}``]

[eqn: THEREFORE f(x)= {3} over {2} (x-1)(x-4)``]

한편, [eqn: H`` prime (x)= {d} over {dx} LEFT { 4 int _{1} ^{x} {f(t)dt} RIGHT } =4f(x)``]

[eqn: =6(x-1)(x-4)``]

[eqn: H`` prime (x)=0``]에서 [eqn: x=1``]또는 [eqn: x=4``]

[eqn: x``]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: 1``]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: 4``]	[eqn: CDOTS ``]
[eqn: H`` prime (x)``]	[eqn: +``]	[eqn: 0``]	[eqn: -``]	[eqn: 0``]	[eqn: +``]
[eqn: H```(x)``]	↗	극대	↘	극소	↗

따라서 [eqn: H``(x)``]의 극솟값은

[eqn: H(4)=4` int _{1} ^{4} {f(t)dt=4 int _{1} ^{4} {{3} over {2} (t-1)(t-4)dt} ``}``]

[eqn: =6 int _{1} ^{4} {(t ^{2} -5t+4)dt}``]

[eqn: =6 LEFT [ {1} over {3} t ^{3} - {5} over {2} t ^{2} +4t RIGHT ] _{1} ^{4}``]

[eqn: =6 LEFT ( {64} over {3} -40+16- {1} over {3} + {5} over {2} -4 RIGHT )``]

[eqn: =-27``]

10  [정답] ②

[eqn: f(x)= int _{-2} ^{x} {(|``t-1``|-1)dt``}``]에서

(ⅰ) [eqn: x<1``]일 때

[eqn: f(x)= int _{-2} ^{x} {(|``t-1``|-1)dt``}``]

[eqn: = int _{-2} ^{x} {(-t)dt= LEFT [ - {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{-2} ^{x} ``}``]

[eqn: =- {1} over {2} x ^{2} +2``]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1``]일 때

[eqn: f(x)= int _{-2} ^{x} {(|``t-1``|-1)dt``}``]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {(-t)dt+ int _{1} ^{x} {(t-2)dt}}``]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{-2} ^{1} + LEFT [ {1} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{1} ^{x}``]

[eqn: =- {1} over {2} +2+ {1} over {2} x ^{2} -2x+ {3} over {2}``]

[eqn: = {1} over {2} x ^{2} -2x+3``]

[eqn: = {1} over {2} (x-2) ^{2} +1``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 아래와 같다.

ㄱ. [eqn: x<1``]일 때 [eqn: f(x)=- {1} over {2} x ^{2} +2``]이므로 [eqn: f(0)=2``] (참)

ㄴ. 위의 그래프에서 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 극댓값 [eqn: 2``], [eqn: x=2``]에서 극솟값 [eqn: 1``]을 갖는다. (참)

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 음의 실근 한 개와 두 개의 허근을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

11  [정답] ③

함수 [eqn: f left (x right )= x^3 +3x``]는 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: f left (-x right )=-f left (x right )``]이므로

[eqn: int_{-2}^{-1}{f left (x right )dx = - int_{-2}^{-1}{f left (-x right )dx = int_{2}^{1}{f left (t right )dt}``]

[eqn: = - int_{1}^{2}{f left (t right )dt}``]

[eqn: THEREFORE~int_{4}^{14}{g left (x right )dx - int_{-2}^{-1}{f left (x right )dx}``]

[eqn: = int_{4}^{14}{g left (x right ) dx + int_{1}^{2}{f left (x right )dx}``]

함수 [eqn: y=f left (x right )``]의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

[eqn: int_{1}^{2}{f left (x right )dx}``]는 ㉠부분의 넓이와 같고

[eqn: f left (1 right )=4 ,~f left (2 right )=14``]

[eqn: int_{4}^{14}{g left (x right )dx``]는 [eqn: g left (x right )``]가 [eqn: f left (x right )``]의 역함수이므로 위의 그림에서 ㉡부분의 넓이와 같다.

[eqn: THEREFORE~int_{4}^{14}{g left (x right )dx + int_{1}^{2}{f left (x right )dx}``]

[eqn: = 2 × 14 - 1×4 = 24``]

12 [정답] ①

점 [eqn: \P``]가 처음에 출발하던 방향과 반대 방향으로 움직인 시간은 [eqn: v left (t right ) LEQ 0``]에서

[eqn: t^2 - 5t +6 LEQ 0 ,~ left (t-2 right ) left (t-3 right ) LEQ 0``]

[eqn: THEREFORE~2 LEQ t LEQ 3``]

따라서 출발하던 방향과 반대 방향으로 움직인 최대 거리 [eqn: s``]는

[eqn: s= int_{2}^{3}{ left |`t^2 - 5t+6 ` right |dt}``]

[eqn: = int_{2}^{3}{left (-t^2 +5t - 6 right ) dt``]

[eqn: = left [ - {1}over{3}t^3 + {5}over{2}t^2 - 6t right ]_2^3``]

[eqn: = left (-9+ {45}over{2} - 18 right ) - left (-{8}over{3} +10-12 right )``]

[eqn: = - {9}over{2}+{14}over{3}= {1}over{6}``]

13  [정답] [eqn: 5``]

[eqn: a= 20 + int_{0}^{2}{ left (30-10t right )dt = 20 + left [ 30t - 5t^2 right ]_0^2 = 60``]

최고점에서의 속도는 [eqn: v left (t right )=0``]이므로

[eqn: 30 - 10t =0``]에서 [eqn: t=3``]

[eqn: b=20 + int_{0}^{3}{left (30 - 10t right )dt}``]

[eqn: = 20 + left [ 30t - 5t^2 right ]_0^3 = 65``]

[eqn: THEREFORE~b-a=65-60=5``]

[다른 풀이]

[eqn: b-a``]의 값은 [eqn: t=2``]에서 [eqn: t=3``]까지 물체가 상승한 높이와 같으므로

[eqn: int_{2}^{2}{ left (30-10t right )dt = left [ 30 t - 5t^2 right ]_2^3``]

[eqn: = 45-40=5``]

14  [정답] [eqn: 2``]

[eqn: \S_{it n} = it int_{0}^{{2}over{n}}{x left (x- {1}over{n} right )^2 dx}``]

[eqn: = int_{0}^{{2}over{n}}{ left (x^3 - {2}over{n} x^2 + {1}over{n^2} x right )dx``]

[eqn: = left [ {1}over{4}x^4 - {2}over{3n} x^3 + {1}over{2n^2} x^2 right ]_0^{{2}over{n}}``]

[eqn: = {4}over{n^4}- {16}over{3n^4} + {2}over{n^4}``]

[eqn: = {12-16+6}over{3n^4}= {2}over{3n^4}``]

[eqn: THEREFORE~lim_{n->inf}{ left (3n^4 +4n^3 right ) \S_{it n} = it lim_{n->inf}{{6n^4 +8n^3}over{3n^4}}``]

[eqn: = {6}over{3}=2``]

15  [정답] ③

곡선 [eqn: y=x^2``]과 직선 [eqn: y= {3}over{2}x+1``]의 교점의 [eqn: ``]좌표는

[eqn: x^2 = {3}over{2}x+1 ,~ 2x^2 - 3x-2=0``]

[eqn: left (2x+1 right ) left (x-2 right )=0``]

[eqn: THEREFORE~x= - {1}over{2}``] 또는 [eqn: x=2``]

따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = it int_{- {1}over{2}}^{2}{ left ({3}over{2}x+1-x^2 right ) dx}``]

즉, [eqn: \S``]는 곡선 [eqn: y=-x^2 +{3}over{2}x +1 = - left (x- {3}over{4} right )^2 + {25}over{16}``]와

[eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 대칭축 [eqn: x= {3}over{4}``]에 의하여

이등분된다.

[eqn: THEREFORE~a= {3}over{4}``]

16  [정답] ②

ㄱ. [eqn: 0 LEQ t LEQ 2``]일 때, [eqn: v left (t right ) GEQ 0``]이므로 점 [eqn: \P``]는 [eqn: t=1``]에서

운동방향을 바꾸지 않는다.(거짓)

ㄴ. [eqn: int_{0}^{2}{v left (t right )dt = {1}over{2}× 2×1 = 1``]

[eqn: int_{2}^{4}{v left ( t right ) dt = int_{2}^{4}{2 left (t-2 right ) left (t-4 right )dt}``]

[eqn: = 2 int_{2}^{4}{ left (t^2 - 6t+8 right )dt}``]

[eqn: = 2 left [ {1}over{3}t^3 - 3t^2 +8t right ]_2^4``]

[eqn: =2 left { left ({64}over{3} - 48 + 32 right ) - left ({8}over{3}-12+16 right ) right }``]

[eqn: = - {8}over{3}``]

이므로 [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=4``]까지의 점 [eqn: \P``]의 위치의 변화량은

[eqn: int_{0}^{4}{v left (t right )dt = - {5}over{3}``]

따라서 [eqn: t=4``]일 때, 점 [eqn: \P``]는 원점에서 가장 멀리 떨어져있다.(참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: int_{2}^{4}{ v left (t right )dt = - {8}over{3}``]

[eqn: int_{2}^{3}{v left (t right )dt = - {4}over{3}``]이고 [eqn: int_{0}^{2}{v left ( t right ) dt = 1``]이므로 점 [eqn: \P``]는 원점을

출발하고 나서 [eqn: t=2``]와 [eqn: t=3``] 사이에서 원점을 다시 지난다.(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

17  [정답] ③

삼각형 [eqn: \OAB``]는 직각삼각형이므로 원의 반지름의 길이 [eqn: r``]는

[eqn: r= {1}over{2} bar \OB = {1}over{2} sqrt{2^2 +2^2}= sqrt{2}``]

위의 그림에서 넓이 [eqn: \S_2``]는

[eqn: \S_2 = ``](반원의 넓이)[eqn: -``](직각삼각형 [eqn: \OAB``]의 넓이)

[eqn: = {1}over{2}pi left (sqrt{2} right )^2 - {1}over{2}× 2×2``]

[eqn: = pi -2``]

위의 그림에서 넓이 [eqn: \S_1``]은

[eqn: \S_1 = int_{0}^{2}{{1}over{2} it x^2 dx}``]

[eqn: = left [ {1}over{6}x^3 right ]_0^2 = {4}over{3}``]

따라서 구하는 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = S_1 +S_2``]

[eqn: = pi - 2+ {4}over{3}= pi - {2}over{3}``]

18  [정답] ③

삼각형 [eqn: \OAB``]는 직각삼각형이므로 원의 반지름의 길이 [eqn: r``]는

[eqn: r= {1}over{2} bar \OB = {1}over{2} sqrt{2^2 +2^2}= sqrt{2}``]

위의 그림에서 넓이 [eqn: \S_2``]는

[eqn: \S_2 = ``](반원의 넓이)[eqn: -``](직각삼각형 [eqn: \OAB``]의 넓이)

[eqn: = {1}over{2}pi left (sqrt{2} right )^2 - {1}over{2}× 2×2``]

[eqn: = pi -2``]

위의 그림에서 넓이 [eqn: \S_1``]은

[eqn: \S_1 = int_{0}^{2}{{1}over{2} it x^2 dx}``]

[eqn: = left [ {1}over{6}x^3 right ]_0^2 = {4}over{3}``]

따라서 구하는 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = S_1 +S_2``]

[eqn: = pi - 2+ {4}over{3}= pi - {2}over{3}``]

19   [정답] ①

곡선 [eqn: \C: it y = left (x-a right )^2 + {1}over{4}``]과 직선 [eqn: y=x``]의 교점 [eqn: \A,~B``]의 [eqn: x``]좌표를

각각 [eqn: alpha,~beta~ left (alpha<beta right )``]라 하면

[eqn: alpha,~beta``]는 이차방정식 [eqn: left (x-a right )^2 + {1}over{4} = x``]의 해이므로

[eqn: left (alpha - a right )^2 +{1}over{4} =alpha``]	[eqn: cdotscdots㉠``]

곡선 [eqn: \C : it y = left (x-a right )^2 + {1}over{4}``]에서 [eqn: y' = 2x- 2a``]이고 점 [eqn: \A``]에서의 접선이

직선 [eqn: y=x``]에 수직이므로

[eqn: 2 left (alpha - a right )=-1``]	[eqn: cdotscdots㉡``]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: alpha = {1}over{2},~ a=1``]

[eqn: left (x-1 right )^2 + {1}over{4}= x``]

[eqn: x^2 - 3x+ {5}over{4}=0 ,~ left (x- {1}over{2} right ) left (x- {5}over{2} right )=0``]

[eqn: THEREFORE~beta = {5}over{2}``]

따라서 구하는 넓이 [eqn: \S``]는

[eqn: \S = int_{{1}over{2}}^{{5}over{2}}{ left {it x - left (x-1 right ) ^2 - {1}over{4} right }dx``]

[eqn: = int_{{1}over{2}}^{{5}over{2}}{ left (-x^2 +3x - {5}over{4} right ) dx}``]

[eqn: = left [ - {1}over{3}x^3 + {3}over{2}x^2 - {5}over{4} x right ]_{{1}over{2}}^{{5}over{2}}``]

[eqn: = left (- {125}over{24} + {75}over{8} - {25}over{8} right ) - left ( - {1}over{24}+ {3}over{8} - {5}over{8} right )``]

[eqn: = {4}over{3}``]

20   [정답] ④

부채꼴의 호의 길이 [eqn: l``]은 [eqn: l = 2×4 = 8``]이므로 점 [eqn: \P``]는 점 [eqn: \O``]를

출발하여 [eqn: 12``]초 후에 부채꼴의 둘레를 한 바퀴 돌아 점 [eqn: \O``]로 돌아온다. 이때, [eqn: f left (t right )``]의 그래프는 아래 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE~int_{0}^{16}{f left (t right )dt}``]

[eqn: = {1}over{2}×2×2 + 8×2 + {1}over{2}×2×2 + {1}over{2}×2×2+2 ×2``]

[eqn: = 2+16+2+2+4``]

[eqn: = 26``]

21 24
[해설]

조건 (가)에서

[eqn: f(x)= int{f prime(x) dx]

[eqn: = int {(3x^2 +2x -5)dx]

[eqn: = x^3 +x^2 -5x +C]

조건 (나)에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 극댓값 또는 극솟값이 [eqn: 0]이다.

[eqn: f prime(x) = (3x+5)(x-1)=0]에서

[eqn: x= - 5over3]또는 [eqn: x=1]

이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

조건 (다)를 만족하는 그래프는 [그림 [eqn: 2]]이므로

[eqn: f(1) = -3 +C=0~~~thereforeC=3]

[eqn: thereforef(x)= x^3 +x^2 -5x +3]

[eqn: thereforef(3)= 3^3 +3^2 - 5 cdot3 +3 =24]

22 ③
[해설]

[eqn: int_-2^-1 x^2 over{|``x``|}dx + int_1^2 x^2 over{|``x``|} dx = int_-2 ^-1 x^2 over-x dx + int_1 ^2 x^2 overx dx]

[eqn: = - int_-2^-1 xdx+ int_1 ^2 xdx]

[eqn: =-left[1over2 x^2 right]_-2 ^-1 + left[1over2 x^2 right]_1 ^2]

[eqn: =3]

23 ④
[해설]

(가)에서

[eqn: a_1 = int_0 ^2 (2x+1) dx = left[x^2 +x right]_0 ^2 =6]

(나)에서

[eqn: a_n+1 = int _0 ^2 ( a_n x +1 ) dx = left[a_n over2 x^2 +x right] _0 ^2 =2a_n +2]

[eqn: a_n+1 = 2a_n +2]에서 [eqn: a_n+1 +2 = 2(a_n +2)]

따라서 수열 [eqn: left{a_n +2 right}]는 첫째항이 [eqn: a_1 +2 =6+2=8], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로

[eqn: a_n +2 = 8 cdot2^n-1 =2^n+2]

[eqn: thereforea_n = 2 ^n+2 -2]

[eqn: thereforea_20 = 2^22 -2]

24 ⑤
[해설]

[eqn: f(x)= ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx +e (a!=0)]라 하면

[eqn: f prime (x) = 4ax^3 +3bx^2 +2cx +d]

임의의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: int_-t ^t f prime(x) dx =0]이므로 [eqn: b=d=0]이다.

[eqn: thereforef prime(x) = 4ax^3 +2cx~~cdotscdots㉠]

[eqn: f(x) = ax^4 +cx^2 +e~~cdotscdots㉡]

㉠에서 [eqn: f prime (-x)= - f prime(x)]

㉡에서 [eqn: f(2) = f(-2) =-1], [eqn: f(-4)=f(4)=17]

[eqn: therefore int_-4 ^2 f prime(-x)dx = - int _-4 ^2 f prime(x)dx]

[eqn: =- left[f(x)right]_-4 ^2]

[eqn: = - left{f(2) -f(-4) right}]

[eqn: = -(-1-17)]

[eqn: =18]

25 ⑤
[해설]

오른쪽 그림에서

[eqn: S+T=3^2 -1^2 =8]이고,

[eqn: T= int_1^3 x d y]

[eqn: =int_1^3 f^-1 (y) d y]

[eqn: = int_1^3 f^-1 (x) dx]

[eqn: = int_1^3 g(x)dx]

[eqn: therefore int_1^3 g(x) dx = 8-S]

[eqn: thereforelim _n->inf sum _k=1 ^n g LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )cdot 3 overn = 3over 2 lim _n->inf sum _k=1 ^n g LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )cdot 2 overn]

[eqn: = 3over2 int_1 ^3 g(x)dx]

[eqn: = 3 over2 (8-S)]

[eqn: = 12 - 3over2 S]

26 ②
[해설]

오른쪽 그림에서

[eqn: S_1 (a) = a^4 - int _0^a x^3 dx]

[eqn: = a^4 - left[ 1over4 x^4 right]_0 ^a]

[eqn: = a^4 - 1over4 a^4]

[eqn: = 3over4 a^4]

[eqn: S_2 (a)=int_a ^1 (x^3 -a^3 )dx]

[eqn: = left[1over4 x^4 -a^3 x right]_a^1]

[eqn: = LEFT ( 1over4 - a^3 RIGHT )- LEFT ( 1over4 a^4 -a^4 RIGHT )]

[eqn: = 3over4 a^4 -a^3 + 1over4]

어두운 부분의 넓이를 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a) = 3over2 a^4 -a^3 + 1over4]

[eqn: S prime(a) = 6a^3 -3a^2 =3a^2 (2a-1)]

[eqn: S prime (a)=0]에서 [eqn: a=0]또는 [eqn: a= 1over2]

[eqn: 0<a<1]에서 [eqn: S(a)]의 증감을 조사하면 다음 표와 같다.

따라서 [eqn: S(a)]는 [eqn: a= 1over2]일 때 최솟값

[eqn: S LEFT ( 1over2 RIGHT )][eqn: = 3over2 times LEFT ( 1 over2 RIGHT )^4 - LEFT ( 1over2 RIGHT )^3 + 1over4 = 7over32]

을 갖는다.

27 ②
[해설]

[eqn: F(x)= int{(1+2x +3x^2 + cdots + n cdot x^ n-1 ) dx]

[eqn: = x + x^2 +x^3 + cdots + x^n + C ~~(C``는 ```적분상수)]

[eqn: F LEFT ( 1over3 RIGHT )= 1 over3 + 1 over3^2 + 1 over3^3 + cdots + 1 over3^n + C]

[eqn: = { 1over3 left{1- LEFT ( 1over3 RIGHT )^n right}}over{1- 1over3 } +C]

[eqn: = 1over2 left{1- LEFT ( 1over3 RIGHT )^n right} +C]

[eqn: therefore lim_{n rarrow inf}F LEFT ( 1over3 RIGHT )= lim_{n rarrowinf} 1over2 left{1- LEFT ( 1over3 RIGHT )^n right}+lim_{n rarrowinf} C= 1over2 +C]

[eqn: 1over2 + C = 2over3]에서 [eqn: C= 2over3 - 1 over2 = 1over6]

[eqn: therefore F(0)= C= 1over6]

28  143
[해설]

[eqn: 1 over 2^n-1 x^n =x]에서 [eqn: 1 over 2^n-1 x (x^n-1 - 2 ^n-1 )=0]

[eqn: thereforex=0]또는 [eqn: x=2~(because n은~짝수)]

곡선 [eqn: y= 1 over 2^n-1 x^n]과 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = int_0 ^2 LEFT ( x- 1over2^n-1 x^n RIGHT )dx]

[eqn: = left[1over2 x^2 - 1over2^n-1 cdot 1 overn+1 x ^ n+1 right]_0^2]

[eqn: =2- 1 over2^n-1 cdot 2 ^n+1 overn+1]

[eqn: 2- 4overn+1]

[eqn: = 2(n-1)overn+1]

[eqn: THEREFORE S _{2} TIMES S_4 TIMES S_6 TIMES cdots TIMES S_14]

[eqn: = 2cdot1 over3 TIMES 2cdot3 over5 TIMES 2cdot5 over7 TIMES cdotsTIMES 2cdot13 over15]

[eqn: = 2^7 TIMES LEFT ( 1over3 TIMES 3over5 TIMES 5over7 TIMES cdots TIMES 13over15 RIGHT )]

[eqn: = 128 over15]

[eqn: therefore p+q=15+128=143]