<2013학년도> [수학 특강반]	통계2 (이산,연속,추정) 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

정답 및 해설

1 [정답] ④

해설

[eqn: rm P LEFT ( it X < 2 RIGHT ) = 1- rm P LEFT ( it X GEQ 2 RIGHT )``]

[eqn: =1- LEFT{ rm `P LEFT ( it X=2 RIGHT ) +rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) +rm P LEFT ( it X=4 RIGHT )` RIGHT }``]

(ⅰ) [eqn: X=2``]인 경우는 앞면이 [eqn: 3``]번, 뒷면이 [eqn: 1``]번 나온 경우이므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) = _{4} rmC _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} {1} over {2} =4times {1} over {8} times {1} over {2} = {1} over {4}``]

(ⅱ) [eqn: X=3``]인 경우는 일어나지 않으므로
[eqn: rmP LEFT ( itX=3 RIGHT ) =0``]

(ⅲ) [eqn: X=4``]인 경우는 앞면이 [eqn: 4``]번 나온 경우이므로
[eqn: rmP LEFT ( itX=4 RIGHT ) = _{4} rmC _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} = {1} over {16}``]

[eqn: therefore~rmP LEFT ( itX<2 RIGHT ) =1- LEFT ( {1} over {4} + {1} over {16} RIGHT ) = {11} over {16}``]

2 [정답] ⑤

해설

확률의 총합은 [eqn: 1``]이고

[eqn: rm P LEFT ( it X=x RIGHT ) = { k} over { sqrt { x} + sqrt { x-1} }``][eqn: =k LEFT ( sqrt { x} - sqrt { x-1} RIGHT )``]이므로

[eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT )+ rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) + `CDOTS `+rm P LEFT ( it X=10 RIGHT )``]

[eqn: = k + k LEFT ( sqrt { 2} - 1 RIGHT ) + k LEFT ( sqrt { 3} - sqrt { 2} RIGHT ) + `CDOTS `+k LEFT ( sqrt { 10} - sqrt { 9} RIGHT )``]

[eqn: = sqrt { 10} k =1``]

[eqn: therefore~k= { 1} over { sqrt { 10} }``]

[eqn: therefore~rmP LEFT ( 5 LEQ it X LEQ 9 RIGHT )``]

[eqn: = rm P LEFT ( it X=5 RIGHT ) + rm P LEFT ( it X=6 RIGHT ) + rm P LEFT ( it X=7 RIGHT ) + rm P LEFT ( it X=8 RIGHT ) + rmP LEFT ( it X=9 RIGHT )``]

[eqn: ={ 1} over { sqrt { 10} } LEFT ( sqrt { 5} - sqrt { 4} RIGHT ) + { 1} over { sqrt { 10} } LEFT ( sqrt { 6} - sqrt { 5} RIGHT ) +`CDOTS `+ { 1} over { sqrt { 10} } LEFT ( sqrt { 9} - sqrt { 8} RIGHT )``]

[eqn: ={ 1} over { sqrt { 10} } LEFT ( sqrt { 9} - sqrt { 4} RIGHT )``]

[eqn: ={ sqrt { 10} } over {10 }``]

3 [정답] ③

해설

ㄱ. 확률변수 [eqn: Y``]가 [eqn: Y=-X+5``]이므로
[eqn: rmP LEFT ( itY=3 RIGHT ) =rmP LEFT ( itX=2 RIGHT )``][eqn: = _{5} rmC _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}``][eqn: =10times {1} over {32}``][eqn: = {5} over {16}``] (참)

ㄴ, [eqn: rmV LEFT ( itX` RIGHT ) =5times {1} over {2} times {1} over {2} = {5} over {4} ``]이므로
[eqn: rmV LEFT ( itY` RIGHT ) =rmV LEFT ( it-X+5 RIGHT )``][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} rm `V LEFT ( it X` RIGHT )``][eqn: =rmV LEFT ( itX` RIGHT )``][eqn: = {5} over {4}``] (거짓)

ㄷ.[eqn: Y=-X+5``]이므로
[eqn: rmE LEFT ( it2X+Y` RIGHT ) =rmE LEFT ( itX+5 RIGHT ) =rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +5``]
[eqn: 2`rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +rmE LEFT ( itY` RIGHT ) =2`rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +rmE LEFT ( it-X+5 RIGHT )``]
[eqn: =2`rmE LEFT ( itX` RIGHT ) -rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +5``]
[eqn: =rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +5``]
[eqn: therefore~rmE LEFT ( it2X+Y` RIGHT ) =2`rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +rmE LEFT ( itY` RIGHT )``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

4 [정답] ⑤

해설

[eqn: 1,~3,~5,~7,~9,~11``] 중에서 소수는 [eqn: 3,~5,~7,~11``]이므로 확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 90,~ {2} over {3} RIGHT ) ``]를 따른다.

따라서

[eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT ) =90times {2} over {3} =60,``]

[eqn: rmV LEFT ( itX` RIGHT ) =90times {2} over {3} times {1} over {3} =20``]

이므로

[eqn: rmE LEFT ( itX ^{2} ` RIGHT ) =rmV LEFT ( itX` RIGHT ) + LEFT { `rmE LEFT ( itX` RIGHT ) ` RIGHT } ^{2} =20+60 ^{2} =3620``]

이때, [eqn: rm V LEFT ( it aX` RIGHT ) =a ^{2} ` rm V LEFT ( it X` RIGHT ) =20a ^{2} ``]이므로

[eqn: 20`a ^{2} =3620``]

[eqn: therefore~a ^{2} =181``]

5 [정답] [eqn: 20``]

해설

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =1``]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠``]

또, [eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT ) = {1} over {4} ``]에서 [eqn: int _{0} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx} = {1} over {4}``]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡``]

㉠과 ㉡에서

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( ax+5 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) dx}``][eqn: =a int _{0} ^{1} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx} +5 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}``]

[eqn: =a times { 1} over {4 } +5 =10``]

[eqn: therefore~a=20``]

6 [정답] ②

해설

[eqn: int _{-2} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx``]

[eqn: = int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}``]

[eqn: = {1} over {4} + int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}``]

[eqn: = {1} over {3}``]

[eqn: therefore~ int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = {1} over {12}``]

[eqn: int _{-3} ^{-1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}``]

[eqn: = int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}``]

[eqn: = {1} over {2} - {1} over {12}``]

[eqn: = {5} over {12}``]

7 [정답] ⑤

해설

[eqn: int _{-20} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =1``]이므로

[eqn: int _{-20} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = {1} over {2} times30timesk=15k=1``]

[eqn: therefore~k= {1} over {15}``]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1} over {300} x+ {1} over {15}&~ LEFT ( -20LEQx LEQ 0 RIGHT )#- {1} over {150} x+ {1} over {15}&~ LEFT ( 0LEQx LEQ 10 RIGHT )}}``]

이므로

[eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT ) = int _{-20} ^{10} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx}``]

[eqn: = int _{-20} ^{0} {x LEFT ( {1} over {300} x+ {1} over {15} RIGHT ) dx} + int _{0} ^{10} {x LEFT ( - {1} over {150} x+ {1} over {15} RIGHT ) dx}``]

[eqn: = int _{-20} ^{0} {LEFT ( {1} over {300} x ^{2} + {1} over {15} x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{10} {LEFT ( - {1} over {150} x ^{2} + {1} over {15} x RIGHT ) dx}``]

[eqn: = LEFT [ {1} over {900} x ^{3} + {1} over {30} x ^{2} RIGHT ] _{-20} ^{0} + LEFT [ - {1} over {450} x ^{3} + {1} over {30} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{10}``]

[eqn: = LEFT ( {90} over {9} - {40} over {3} RIGHT ) + LEFT ( - {20} over {9} + {10} over {3} RIGHT )``]

[eqn: =- {10} over {3}``]

[eqn: therefore~rmE LEFT ( it-3X+5 RIGHT ) =-3`rmE LEFT ( itX` RIGHT ) +5=15``]

8 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=m _{1}]에서 최대이므로
[eqn: f`left( m_1 over2 right)<f(m_1 )] (참)

ㄴ. [eqn: sigma_1 =sigma_2]이면 같은 모양의 정규분포곡선이므로 [eqn: f(m_1 )=g(m_2 )]이다. (참)

ㄷ. [eqn: sigma_1 <sigma_2 ,~m_1 =m_2 ,~f(2m_1 )=g(2m_2 )]이면 그림과 같이 두 함수 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]의 그래프를 나타낼수 있다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: rmP it(X ge2m_1 )<rmP it(Y ge2m_1 )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

9 [정답] ④

해설

앞면이 나온 횟수를 [eqn: X]라고 하면 뒷면이 나온 횟수는 [eqn: 100-X]이므로	[eqn: 3X-(100-X) GEQ 60]

[eqn: 4X GEQ 160]

[eqn: THEREFORE ````X GEQ 40]

또한, 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm `B LEFT ( 100,```` {1} over {2} RIGHT )]을 따르고

[eqn: n=100]은 충분히 큰 수이며

[eqn: rmE it(X)=100 TIMES {1} over {2} =50], [eqn: rm V it(X)=100 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} =25]이므로

확률변수 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N it (50,~5 ^{2} )]을 따른다.

[eqn: rm P it (X GEQ 40)][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {40-50} over {5} RIGHT )]
[eqn: = rm P it (Z GEQ -2)]
[eqn: = rm P it (-2 LEQ Z LEQ 0)+0.5]
[eqn: = rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)+0.5]
[eqn: =0.4772+0.5=0.9772]

10 [정답] ④

해설

[eqn: rmE it(` bar{X`} `)=rm E it (X)=18]이므로

[eqn: rmE`it it (X)][eqn: =10 CDOT {1} over {2} +20a+30 LEFT ( {1} over {2} -a RIGHT )]
[eqn: =20-10a=18]

[eqn: THEREFORE ````a= {1} over {5}]

크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출할 때, [eqn: bar{X} `=20]인 경우는 [eqn: 10]과 [eqn: 30], [eqn: 20]과 [eqn: 20], [eqn: 30]과 [eqn: 10]을 추출하는 경우이므로

[eqn: \P it(barX =20)][eqn: = rm P it (X=10)` TIMES ` rm P it (X=30)]
[eqn: + rm P it (X=20)` TIMES ` rm P it (X=20)]
[eqn: + rm P it (X=30)` TIMES ` rm P it (X=10)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {3} over {10} + {1} over {5} TIMES {1} over {5} + {3} over {10} TIMES {`1} over {2}]
[eqn: = {3} over {20} + {1} over {25} + {3} over {20} = {17} over {50}]

11 [정답] ⑤

해설

정규분포 [eqn: rmN it(m,~5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 복원추출할 때, 표본평균을 [eqn: barX]라 하면

[eqn: rm E it (` bar{X`} `)=m]

[eqn: rm V it ( bar{X} `)= {5 ^{2}} over {16} = {25} over {16}]

또한, [eqn: bar{X} = {Y} over {16}]이므로

[eqn: Y=16 bar{X`}]

따라서 [eqn: rm E it (Y`)= rm E it `(16` bar{X} `)=16` rm E it `( bar{X} `)=16m=80]이므로

[eqn: m=5]

[eqn: rm THEREFORE ````V it LEFT ( {Y} over {m} RIGHT )][eqn: = {rm V it (Y)} over {m ^{2}} = {rm V it(16` bar{X} )} over {5 ^{2}}]
[eqn: = {rm 16 ^{2} V it ( bar{X} )} over {5 ^{2}} = {16 ^{2} TIMES {25} over {16}} over {5 ^{2}} =16]

12 [정답] ②

해설

ㄱ. 표본평균 [eqn: barX]는 표본을 추출할때마다 달라지는 확률변수이므로 반드시 [eqn: barX =10]이라고 할 수는 없다. (거짓)

ㄴ. [eqn: rm E it (2 bar{X} +3)=2 rm E it ( bar{X} )+3=2 TIMES 10+3=23] (참)

ㄷ. [eqn: rm V it ( bar{X} `)= {2 ^{2}} over {2} =2]이지만 반드시 [eqn: S ^{2} =2]라고 할 수는 없다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

13 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [eqn: rm P it ( LEFT | Z RIGHT | LEQ c)=1-0.06=0.94]이므로
[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ c)= {1} over {2} rm P it ( LEFT | Z RIGHT | LEQ c)=0.47]
[eqn: \P it(Z>a)=0.05]이면 [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ a)=0.45]
따라서 [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ a)][eqn: rm <P it (0 LEQ Z LEQ c)]이므로 [eqn: a<c] (참)

ㄴ. 모평균 [eqn: m=75], 모표준편차 [eqn: sigma =5], 표본의 크기 [eqn: n=25]이므로
[eqn: rm E it (` bar{X`} `)=m=75]
[eqn: rm V it ( bar{X} `)= {sigma ^{2}} over {n} = {25} over {25} =1]
따라서 확률변수 [eqn: barX`]는 정규분포 [eqn: rm N it (75,~1)]을 따르므로
[eqn: rm P it ( bar{X} LEQ c+75)][eqn: = rm P it (Z LEQ c)]
[eqn: = rm 0.5+P it (0 LEQ Z LEQ c)=0.97] (참)

ㄷ. [eqn: rm P it ( bar{X} >b)= rm P it (Z>b-75)=0.01]이므로
[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ b-75)=0.49]
[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ c)< rm P it (0 LEQ Z LEQ b-75)]이므로
[eqn: c<b-75] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

14 [정답] ①

해설

확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: rm`B` LEFT ( 144,```` {1} over {2} RIGHT )]을 따르고

[eqn: n=144]는 충분히 큰 수이며

[eqn: rm E it (X)=144 TIMES {1} over {2} =72], [eqn: rm V it (X)=144 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} =36]이므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N it (72,~6 ^{2} )]을 따른다.

이때, 이 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 하면

[eqn: rm E it (` bar{X`} `)=72], [eqn: rm V it ( bar{X} `)= {6 ^{2}} over {25} = LEFT ( {6} over {5} RIGHT ) ^{2}]

따라서 [eqn: bar{X}]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 72,~ LEFT ( {6} over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm P it ( bar{X} GEQ 73.2)= rm P it LEFT ( Z GEQ {73.2-72} over {{6} over {5}} RIGHT )]

[eqn: = rm P it (Z GEQ 1)][eqn: = rm 0.5-P it (0 LEQ Z LEQ 1)]

[eqn: =0.5-0.3413=0.1587]

15 [정답] ①

해설

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N it (50,~5 ^{2} )]을 따르고

[eqn: rm E it (` bar{X`} `)=50], [eqn: rm V it ( bar{X} `)= {5 ^{2}} over {n}]이므로

확률변수 [eqn: bar{X}]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 50,~ {5 ^{2}} over {n} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P it LEFT ( bar{X} LEQ 45+ {20} over {sqrt {n}} RIGHT )]

[eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {45+ {20} over {sqrt {n}} -50} over {{5} over {sqrt {n}}} RIGHT )]

[eqn: = rm P it (Z LEQ `- sqrt {n} +4) GEQ 0.95]

이때, [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.65)=0.450]이므로

[eqn: rm P it (Z LEQ `1.65)=0.95]

따라서 [eqn: - sqrt {n} +4 GEQ 1.65]이어야 하므로

[eqn: sqrt {n} LEQ 2.35]

[eqn: THEREFORE ````n LEQ 5.5225]

즉, [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

16 [정답] [eqn: 56]

해설

[eqn: b-a=2 TIMES 2 TIMES {sigma } over {sqrt {25}} = {4 sigma } over {5}]

[eqn: d-c=2 TIMES 3 TIMES {sigma } over {sqrt {n}} = {6 sigma } over {sqrt {n}}]

따라서 [eqn: b-a le d-c]이어야 하므로

[eqn: {4 sigma } over {5}][eqn: LEQ {6 sigma } over {sqrt {n}}], [eqn: {2} over {5}][eqn: LEQ {3} over {sqrt {n}}]

[eqn: sqrt {n} LEQ 7.5]

[eqn: THEREFORE ````n LEQ 56.25]

따라서 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 56]이다.

17 [정답] ②

해설

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm `B it LEFT ( 30,```` {n} over {15} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E it (X)=30 TIMES {n} over {15} =2n=10]

[eqn: THEREFORE ````n=5]

따라서 [eqn: rm P it (X=r)=` _{30} rm C it rm _{r} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{r} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{30-r}][eqn: LEFT ( r=0,```1,```2,``` CDOTS ,```30 RIGHT )]

[eqn: {rm P it (X=3)} over {rm P it (X=27)}][eqn: = {` _{30} rm C it rm _{3} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{27}} over {` _{30} rm C it rm _{27} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{27} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3}} `][eqn: = {LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{24}} over {LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{24}}][eqn: =2 ^{24}]

18 [정답] ①

해설

원 [eqn: x^2 +y^2 =4]와 직선 [eqn: 3x+4y+4a-2=0]이 만날 조건은 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름의 길이보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: {LEFT | 4a-2 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} LEQ 2]

[eqn: LEFT | 4a-2 RIGHT | LEQ 10]

[eqn: -10LEQ 4a-2 LEQ 10]

[eqn: THEREFORE ````-2 LEQ a LEQ 3]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (-2 LEQ a LEQ 3)][eqn: = rm P it LEFT ( {-2-1} over {2} LEQ Z LEQ {3-1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = rm P it (-1.5 LEQ Z LEQ 1)]
[eqn: = rm P it (-1.5 LEQ Z LEQ 0)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)]
[eqn: =0.4332+0.3413=0.7745]

19 [정답] ②

해설

[eqn: Z= {X-5} over {2}]라고 하면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~1)]을 따른다.

[eqn: rm P it (3 LEQ X LEQ 6)][eqn: = rm P it LEFT ( {3-5} over {2} LEQ Z LEQ {6-5} over {2} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( -1 LEQ Z LEQ {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( -1 LEQ Z LEQ 0 RIGHT ) + rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1 RIGHT ) + rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: =p _{1} +p _{{1} over {2}}]

20 [정답] ④

해설

음료수 한 개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it (500,~ sigma ^{2} )]을 따른다.

이때, 임의로 [eqn: n]개를 추출한 음료수의 무게의 평균을 [eqn: bar{X}]라고 하면

[eqn: rm E it (` bar{X`} `)=500], [eqn: rm V it ( bar{X} `)= {sigma ^{2}} over {n}]

따라서 확률변수 [eqn: barX`]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 500,~ {sigma ^{2}} over {n} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm P it (n bar{X} ` GEQ 7100)= rm P LEFT ( it bar{X} ` GEQ {7100} over {n} RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: rm P it (n bar{X} ` LEQ 6900)= rm P LEFT ( it bar{X} ` LEQ {6900} over {n} RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이때, ㉠, ㉡이 서로 같아야 하므로

[eqn: {{7100} over {n} + {6900} over {n}} over {2} =500,```` {14} over {n} =1]

[eqn: THEREFORE ````n=14]