<2013학년도> [수학 특강반]	통계1 (이산,연속,추정) 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

정답 및 해설

1  [정답] ②

모든 확률의 합은 [eqn: 1``]이므로

[eqn: a+4a+2b+b=1``]에서 [eqn: 5a+3b=1``]	…㉠

[eqn: 8rmP LEFT ( LEFT | itX-1 RIGHT | =1 RIGHT ) =3``]에서

[eqn: 8 LEFT { rmP LEFT ( itX=0 RIGHT ) +rmP LEFT ( itX=2 RIGHT ) RIGHT } =3``]

[eqn: 8 LEFT ( 4a+b RIGHT ) =3``]

[eqn: therefore`4a+b= {3} over {8}``]	…㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a= {1} over {56} ,``b= {17} over {56}``]

[eqn: therefore`a+b= {9} over {28}``]

2  [정답] [eqn: 120``]

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( itn,`` {1} over {3} RIGHT )``]을 따르므로 [eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) = {n} over {3}``]

확률변수 [eqn: 3X-2``]의 평균은

[eqn: rmE LEFT ( it3X-2 RIGHT ) =3rmE LEFT ( itX RIGHT ) -2=3times {n} over {3} -2=58``]	[eqn: therefore`n=60``]

이때, [eqn: X``]의 분산 [eqn: rmV LEFT ( itX RIGHT ) =60times {1} over {3} times {2} over {3} = {40} over {3}``]이므로

[eqn: rmV LEFT ( 3itX-2 RIGHT ) =3 ^{2} rmV LEFT ( itX RIGHT ) =9times {40} over {3} =120``]

3  [정답] ②

한 개의 동전을 세 번 던질 때 나오는 결과를 앞면 [eqn: rmH``]와 뒷면 [eqn: rmT``]로 나타내면

[eqn: 0``]점 : [eqn: RM LEFT ( H,``T,``H RIGHT ) ,`` LEFT ( T,``H,``T RIGHT )``]

[eqn: 1``]점 : [eqn: RM LEFT ( H,``H,``T RIGHT ) ,`` LEFT ( T,``H,``H RIGHT ) ,`` LEFT ( H,``T,``T RIGHT ) ,`` LEFT ( T,``T,``H RIGHT )``]

[eqn: 3``]점 : [eqn: RM LEFT ( H,``H,``H RIGHT ) ,`` LEFT ( T,``T,``T RIGHT )``]

이므로 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 아래와 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 0``]	[eqn: 1``]	[eqn: 3``]	계
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )``]	[eqn: {1} over {4}``]	[eqn: {1} over {2}``]	[eqn: {1} over {4}``]	[eqn: 1``]

이때, [eqn: X``]의 평균을 [eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT )``]라 하면

[eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) =0times {1} over {4} +1times {1} over {2} +3times {1} over {4} = {5} over {4}``]

[eqn: therefore`rmV LEFT ( itX RIGHT ) =rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT ) - LEFT { rmE LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT } ^{2}``]

[eqn: =0times {1} over {4} +1times {1} over {2} +9times {1} over {4} - LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{2}``]

[eqn: = {11} over {4} - {25} over {16} = {19} over {16}``]

4   [정답] ②

[eqn: x``]의 평균과 분산을 각각 [eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) ,``rmV LEFT ( itX RIGHT )``]라 하고, [eqn: X ^{2}``]의 평균을 [eqn: rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT )``]라 하면

[eqn: ` rm V LEFT ( it X RIGHT ) = rm E LEFT ( it X ^{2} RIGHT ) - LEFT { rm E LEFT ( it X RIGHT ) RIGHT } ^{2}``]에서

[eqn: LEFT { rmE LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT } ^{2} =rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT ) -rmV LEFT ( itX RIGHT )``]

[eqn: =80-16=64``]

[eqn: therefore`rmE LEFT ( itX RIGHT ) =8````` LEFT ( BECAUSE X GEQ 0 RIGHT )``]

5   [정답] ③

확률변수 [eqn: X``]가 취할 수 잇는 값은 [eqn: 0,``1,``2,`` CDOTS ,9,``10``]이므로

[eqn: rmP LEFT ( itX LEQ 9 RIGHT ) =1-rmP LEFT ( itX=10 RIGHT ) = {1023} over {1024}``]

에서 [eqn: rmP LEFT ( itX=10 RIGHT ) = {1} over {1024} = {1} over {2 ^{10}}``]	…㉠

또, [eqn: rmP LEFT ( itX=10 RIGHT ) =rm _{10} C _{10} itp ^{10} LEFT ( 1-p RIGHT ) ^{0} =p ^{10}``]	…㉡

㉠과 ㉡에서 [eqn: p ^{10} = {1} over {2 ^{10}}``]	[eqn: therefore`p= {1} over {2}``]

이때, [eqn: X``]의 평균과 분산을 각각 [eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) ,``rmV LEFT ( itX RIGHT )``]라 하고

[eqn: X ^{2}``]의 평균을 [eqn: rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT )``]라 하면

[eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) =10times {1} over {2} =5``],

[eqn: rmV LEFT ( itX RIGHT ) =10times {1} over {2} times {1} over {2} = {5} over {2}``]

[eqn: therefore`rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT ) =rmV LEFT ( itX RIGHT ) + LEFT { rmE LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT } ^{2}``]

[eqn: = {5} over {2} +5 ^{2} = {55} over {2}``]

6  [정답] ②

표본공간을 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S= LEFT { LEFT ( 1,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 1,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 1,``3 RIGHT ) ,`` CDOTS LEFT ( 6,``6 RIGHT ) RIGHT }``]

이때, 그림에서 [eqn: S``]의 각 원소가 나타내는 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

[eqn: 0`` RARROW `` LEFT ( 1,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 3,``3 RIGHT ) ,`` LEFT ( 4,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 5,``5 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``6 RIGHT )``]

[eqn: 1`` RARROW `` LEFT ( 1,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``3 RIGHT ) ,`` LEFT ( 3,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 3,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 4,``3 RIGHT ) ,``]

[eqn: LEFT ( 4,``5 RIGHT ) ,`` LEFT ( 5,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 5,``6 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``5 RIGHT ) ,`` LEFT ( 1,``6 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``1 RIGHT )``]

[eqn: sqrt {3} `` RARROW `` LEFT ( 1,``3 RIGHT ) ,`` LEFT ( 3,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 4,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 3,``5 RIGHT ) ,`` LEFT ( 5,``3 RIGHT ) ,``]

[eqn: LEFT ( 4,``6 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 1,``5 RIGHT ) ,`` LEFT ( 5,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``6 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``2 RIGHT )``]

[eqn: 2`` RARROW `` LEFT ( 1,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 4,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``5 RIGHT ) ,`` LEFT ( 5,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 3,``6 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``3 RIGHT )``]

그러므로 확률변수 [eqn: X``]가 취할 수 있는 값은 [eqn: 0,``1,`` sqrt {3} ,``2``]이므로 [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 아래와 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 0``]	[eqn: 1``]	[eqn: sqrt {3}``]	[eqn: 2``]	합계
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )``]	[eqn: {1} over {6}``]	[eqn: {1} over {3}``]	[eqn: {1} over {3}``]	[eqn: {1} over {6}``]	[eqn: 1``]

[eqn: THEREFORE ` rm E LEFT ( it X RIGHT ) =0 TIMES {1} over {6} +1 TIMES {1} over {3} + sqrt {3} TIMES {1} over {3} +2 TIMES {1} over {6} = {2+ sqrt {3}} over {3}``]

[eqn: therefore`rmE LEFT ( it3X- sqrt {3} RIGHT ) =3rmE LEFT ( itX RIGHT ) - sqrt {3} =2``]

7   [정답] ③

ㄱ. 서로 다른 세 수의 최댓값은 [eqn: 2``]이하가 될 수 없으므로 [eqn: X``]가 취할 수 있는 값은 [eqn: 3,``4,``5``]이다. 그러므로 합은 [eqn: 12``]이다. (참)

ㄴ. [eqn: X=i`` LEFT ( i=3,``4,``5 RIGHT )``]가 되는 경우는 세 개의 수 중에서 [eqn: 1``]개가 [eqn: i``], 나머지2개가 [eqn: i``]보다 작을 때이므로

[eqn: rm P LEFT ( it X=i RIGHT ) = {{} _{i-1} rm C _{2} it} over {{} _{5} rmC _{3}} = it {LEFT ( i-1 RIGHT ) LEFT ( i-2 RIGHT )} over {20}``]

[eqn: therefore`2rmP LEFT ( itX=4 RIGHT ) =rmP LEFT ( itX=5 RIGHT ) = {3} over {5}``]  (참)

ㄷ. [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 아래와 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 5``]	계
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )``]	[eqn: {1} over {10}``]	[eqn: {3} over {10}``]	[eqn: {3} over {5}``]	[eqn: 1``]

[eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) =3times {1} over {10} +4times {3} over {10} +5times {3} over {5} = {9} over {2}``]

[eqn: rm E LEFT ( it X ^{2} RIGHT ) =9 TIMES {1} over {10} +16 TIMES {3} over {10} +25 TIMES {3} over {5} = {207} over {10}``]

[eqn: ` rm V LEFT ( it X RIGHT ) = rm E LEFT ( it X ^{2} RIGHT ) - LEFT { rm E LEFT ( it X RIGHT ) RIGHT } ^{2} = {207} over {10} - LEFT ( {9} over {2} RIGHT ) ^{2} = {9} over {20}``]

[eqn: therefore`rmV LEFT ( it {10} over {3} X+5 RIGHT ) = {100} over {9} rmV LEFT ( itX RIGHT ) =5``]  (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ,  ㄴ 이다.

8  [정답] ⑤

[eqn: rm P LEFT ( it X=x RIGHT ) = rm {{} _{100} C _{it x rm} CDOT 4 ^{it x rm}} over {5 ^{100}} = _{100} rm C _{it x rm} CDOT LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{it x rm} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{100-itx}``]

[eqn: LEFT ( 단,``x=0,``1,``2,`` CDOTS 100 RIGHT )``]

이므로 확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 100,`` {4} over {5} RIGHT )``]를 따른다.

즉, [eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT ) =1--times {4} over {5} =80,``rmV LEFT ( itX RIGHT ) =100times {4} over {5} times {1} over {5} =16``]

이고 [eqn: therefore`rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT ) =rmV LEFT ( itX RIGHT ) + LEFT { rmE LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT } ^{2}``]이므로

[eqn: sum _{x=0} ^{100} x ^{2} ` _{100} rm C _{it x rm} {4 ^{it x rm}} over {5 ^{99}} =5 sum _{x=0} ^{100} it x ^{2} ` _{100} rm C _{it x rm} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{itx} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{it100-x}``]

[eqn: =5rmE LEFT ( itX ^{2} RIGHT ) =5 LEFT ( 16+80 ^{2} RIGHT )``]

[eqn: =32080``]

9 [정답] [eqn: 22``]

[eqn: rmE LEFT ( it X RIGHT ) = {9} over {10}``]에서 [eqn: np= {9} over {10}``]	…㉠

또, [eqn: rmV LEFT ( itX RIGHT ) = LEFT { rmE LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT } ^{2}``]에서 [eqn: np LEFT ( 1-p RIGHT ) = LEFT ( np RIGHT ) ^{2}``]이므로

[eqn: 1-p=np``]	…㉡

㉠과 ㉡에서 [eqn: p= {1} over {10} ,``n=9``]

한편, [eqn: X ^{2} -3X<0``]을 풀면 [eqn: 0<X<3``]이므로

[eqn: rmP LEFT ( itX ^{2} -3X<0 RIGHT )``]

[eqn: =rmP LEFT ( it0<X<3 RIGHT )``]

[eqn: =rmP LEFT ( itX=1 RIGHT ) +rmP LEFT ( itX=2 RIGHT )``]

[eqn: = _{9} rmC _{1} cdot LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{8} + _{9} C _{2} cdot LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{7}``]

[eqn: = {9 ^{9}} over {10 ^{9}} + {4times9 ^{8}} over {10 ^{9}}``]

[eqn: = LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{9} LEFT ( 1+ {4} over {9} RIGHT )``]

[eqn: = {13} over {9} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{9}``]

따라서 [eqn: s=9,``t=13``]이므로

[eqn: s+t=9+13=22``]

10  [정답] ④

[풀이전략] 정규분포에서 조건을 만족하는 자료의 개수 구하기

(1) 확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: N(m,```` sigma ^{2} )``]을 따를 때, 확률변수

[eqn: Z= {X-m} over {sigma }``]은 표준정규분포 [eqn: N(0,````1)``]을 따른다는 사실을 이용하

여 확률을 구한다.

(2) 구한 확률에 자료 전체의 개수를 곱한다.

[풀이] 학생의 키를 확률변수 [eqn: X``]라 하면 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: N(174,````8 ^{2} )``]

을 따른다. 따라서 학생의 키가 [eqn: 182`cm``] 이상일 확률은

[eqn: P`(X GEQ 182)=P` LEFT ( Z GEQ {182-174} over {8} RIGHT ) =P(Z GEQ 1)``]

[eqn: =0.5-P`(0 LEQ Z LEQ 1)=0.5-0.34=0.16``]

따라서 이 고등학교 [eqn: 1000``]명의 학생 중에서 키가 [eqn: 182`cm``] 이상인 학생은 [eqn: 1000 TIMES 0.16=160``](명)이다.

11  [정답] [eqn: 86``]

[풀이] 근로자의 근무 성적을 확률변수 [eqn: X``]라 하면 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: N(72.5,````9 ^{2} )``]을 따른다.  이 때, [eqn: A``]등급을 받을 근로자의 수가 [eqn: 1000``]명 중 [eqn: 70``]명이므로 [eqn: A``]등급을 받기 위한 최저 점수를 [eqn: a``]라 하면

[eqn: P`(X GEQ a)= {70} over {1000} =0.07``]

[eqn: 0.5-P` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {a-72.5} over {9} RIGHT ) =0.07``]

[eqn: P` LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {a-72.5} over {9} RIGHT ) =0.43``]

[eqn: {a-72.5} over {9} =1.5``````` THEREFORE a=86``](점)

12  [정답] [eqn: 20``]

[풀이] [eqn: E(X)= int _{0} ^{1} {xf(x)dx= {1} over {4}}``]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {(ax+5)f(x)dx=10}``]에서

[eqn: a int _{0} ^{1} {xf(x)dx=5 int _{0} ^{1} {f(x)dx=10}}``]

이 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx=1}``]이므로

[eqn: {1} over {4} a+5=10```````` THEREFORE a=20``]

13  [정답] ④

[풀이] [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {kxdx= {k} over {2} =1````` THEREFORE k=2}}``]

[eqn: THEREFORE P` LEFT ( {1} over {2} LEQ X LEQ 1 RIGHT ) = int _{{1} over {2}} ^{1} {f(x)dx= int _{{1} over {2}} ^{1} {2xdx}}``]

[eqn: = LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{{1} over {2}} ^{1} =1- {1} over {4} = {3} over {4}``]

14  [정답] ②

[풀이] 조건 (가)에서 [eqn: P`(X LEQ 4)=P(X GEQ 8)``]이므로

[eqn: m= {4+8} over {2} =6``]

조건 (나)에서 [eqn: E`(X ^{2} )=61``]이므로 [eqn: X``]의 분산을 [eqn: V(X)``]라 하면

[eqn: V(X)=E(X ^{2} )-m ^{2} =61-6 ^{2} =25``]

[eqn: sigma (X)= sqrt {V(X)} =5``]

15  [정답] ③

[풀이] 확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: N`(60,````4 ^{2} )``]을 따르므로

[eqn: P`(X GEQ 68)=P`(X GEQ 60+2 TIMES 4)``]

[eqn: =P(X GEQ m+2 sigma )=1-q``]

[eqn: P`(X LEQ 70)=P`(X LEQ 60-2.5 TIMES 4)``]

[eqn: =P(X LEQ m+2.5 sigma )=r``]

[eqn: THEREFORE P`(X GEQ 68)+P`(X LEQ 70)=1-q+r``]

16  [정답] ③

[풀이] [eqn: P`(X=k)= _{100} C _{k} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100} = _{100} C _{k} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100-k}``]에서 확률변수

[eqn: X``]는 이항분포 [eqn: B` LEFT ( 100,```` {1} over {2} RIGHT )``]을 따른다.

그러므로 [eqn: X``]의 평균과 표준편차를 각각 [eqn: m,```` sigma ``]라 하면

[eqn: m=100 TIMES {1} over {2} =50,``````` sigma ^{2} =100 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} =5 ^{2}``]

이 때, [eqn: n=100``]은 충분히 크므로 확률변수 [eqn: X``]는 근사적으로 정규분포

[eqn: N`(50,````5 ^{2} )``]을 따른다. [eqn: X``]를 [eqn: Z= {X-50} over {5}``]를 이용하여 표준화하면

[eqn: sum _{k=40} ^{65} LEFT { 1-P(X=k) RIGHT }``]

[eqn: = sum _{k=40} ^{65} 1- sum _{k=40} ^{65} P(X=k)``]

[eqn: =26-P(40 LEQ X LEQ 65)``]

[eqn: =26-P` LEFT ( {40-50} over {5} LEQ Z LEQ {65-50} over {5} RIGHT )``]

[eqn: =26-P(-2 LEQ Z LEQ 3)``]

[eqn: =26- LEFT { P(0 LEQ Z LEQ 2) RIGHT } +P(0 LEQ Z LEQ 3)``]

[eqn: 26-0.976=25.024``]

17  [정답] ②

[풀이] ㄱ. [eqn: f(x)``]가 확률밀도함수이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx=1}``]이다.

즉, [eqn: int _{-1} ^{0} {k(x+1)dx+ int _{-1} ^{1} {LEFT { -k(x-1)dx RIGHT } =1}}``]

[eqn: {1} over {2} k+ {1} over {2} k=1```````` THEREFORE k=1``](참)

ㄴ. [eqn: k=1``]이므로 확률밀도함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE P` LEFT ( LEFT | X RIGHT | LEQ {1} over {2} RIGHT ) =P` LEFT ( - {1} over {2} LEQ X LEQ {1} over {2} RIGHT ) =2P` LEFT ( 0 LEQ X LEQ {1} over {2} RIGHT )``]

[eqn: =2 int _{0} ^{{1} over {2}} {LEFT { -(x-1) RIGHT } dx= {3} over {4}}``](참)

ㄷ. 확률밀도함수 [eqn: f(x)``]의 그래프로부터 구간 [eqn: a LEQ X LEQ a+ {1} over {4}``]에 [eqn: 0``]이 포함될 때, [eqn: P` LEFT ( a LEQ X LEQ a+ {1} over {4} RIGHT )``]이 최댓값을 갖는다.

[eqn: P` LEFT ( a LEQ X LEQ a+ {1} over {4} RIGHT )``]

[eqn: = int _{a} ^{0} {(x+1)dx+ int _{0} ^{a+ {1} over {4}} {LEFT { -(x-1) RIGHT } dx}}``]

[eqn: =- LEFT ( {1} over {2} a ^{2} +a RIGHT ) - LEFT [ {1} over {2} LEFT ( a+ {1} over {4} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a+ {1} over {4} RIGHT ) RIGHT ]``]

[eqn: =- LEFT ( a+ {1} over {8} RIGHT ) ^{2} + {15} over {64}``]

그러므로 최댓값은 [eqn: {15} over {64}``]이다 (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다

[참고] 확률밀도함수가 직선 [eqn: x=0``]에 대하여 대칭이므로

[eqn: P` LEFT ( a LEQ X LEQ a+ {1} over {4} RIGHT )``]이 최댓값을 가지려면 [eqn: {a+ LEFT ( a+ {1} over {4} RIGHT )} over {2} =0``]

이어야 한다. 즉, [eqn: a=- {1} over {8}``]일 때, [eqn: P` LEFT ( - {1} over {8} LEQ x LEQ {1} over {8} RIGHT ) = {15} over {64}``]이다.

18  [정답] [eqn: 40``]

[풀이] 수험생의 시험성적을 확률변수 [eqn: X``]라 하면 [eqn: X``]는 정규분포

[eqn: N(382,````8 ^{2} )``]을 따르므로 [eqn: X``]를 [eqn: Z= {X-182} over {8}``]로 표준화하여 [eqn: 6000``]명의 응시자가 이 대학에 합격할 확률을 구하면 다음과 같다.

[eqn: P`(X GEQ 398)=P` LEFT ( Z GEQ {398-382} over {8} RIGHT ) =P`(Z GEQ 2)``]

[eqn: =0.5-P(0 LEQ Z LEQ 2)=0.5-0.48``]

[eqn: =0.02``]

합격한 남학생을 [eqn: m``]명이라 할 때, 이 대학에 합격한 학생의 수는

[eqn: m+2m=3m``] 이므로

[eqn: 3m=6000 TIMES 0.02```````` THEREFORE m=40``]

19  [정답] ①

[풀이] [eqn: int _{- {1} over {2k}} ^{1} {f(x)dx=1}``]이어야 하므로

[eqn: int _{- {1} over {2k}} ^{1} {f(x)dx= int _{- {1} over {2k}} ^{0} {LEFT ( kx+ {1} over {2} RIGHT ) dx+ int _{0} ^{1} {{1} over {2} LEFT ( 1-x RIGHT ) dx}}}``]

[eqn: = LEFT [ {k} over {2} x ^{2} + {1} over {2} x RIGHT ] _{- {1} over {2k}} ^{0} + LEFT [ {1} over {2} LEFT ( x- {1} over {2} x ^{2} RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1}``]

[eqn: = {1} over {8k} + {1} over {4} =1``]        [eqn: THEREFORE k= {1} over {6}``]

그러므로 매회 시행에서 사건 [eqn: A``]가 일어날 확률은

[eqn: 2P`(-3 LEQ X LEQ -2)=2 int _{-3} ^{-2} {LEFT ( {1} over {6} x+ {1} over {2} RIGHT ) dx}``]

[eqn: =2 LEFT [ {1} over {12} x ^{2} + {1} over {2} x RIGHT ] _{-3} ^{-2} = {1} over {6}``]

따라서 [eqn: 720``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A``]가 일어날 횟수 [eqn: Y``]는 이항분포

[eqn: B` LEFT ( 720,```` {1} over {6} RIGHT )``]을 따르므로 [eqn: Y``]의 평균과 표준편차를 각각 [eqn: m,```` sigma ``]라 하면

[eqn: m=720 TIMES {1} over {6} =120,```````` sigma = sqrt {720 TIMES {1} over {6} TIMES {5} over {6}} =10``]

[eqn: THEREFORE `m+ sigma =120+10=130``]

20  [정답] ②

해설

크기가 [eqn: n``]인 표본을 복원추출하는 방법의 수는 [eqn: 5^n``]이므로

[eqn: 5^n =125``] [eqn: therefore``] [eqn: n=3``]

따라서 표본을 한 개씩 [eqn: 3``]회 비복원으로 추출하는 방법의 수는

[eqn: {}_5 {`rm P}_3``][eqn: = 5 times 4 times 3 =60``](가지)

21   [정답] ③

해설

이 모집단에서

[eqn: X_1``] [eqn: X_2``]	[eqn: 2``]	[eqn: 4``]	[eqn: 6``]
[eqn: 2``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]
[eqn: 4``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 5``]
[eqn: 6``]	[eqn: 4``]	[eqn: 5``]	[eqn: 6``]

두 개의 카드를 복원추출할 때, 첫 번째 카드의 숫자를 [eqn: X_1``], 두 번째 카드의 숫자를 [eqn: X_2``]라 하고, 이들의 평균을 [eqn: bar {X``}``]라 하면 가능한 [eqn: bar {X``}``]는 오른쪽 표와 같다.

그러므로 표본평균 [eqn: bar {X``}``]가 취할 수 있는 값은 [eqn: 2``], [eqn: 3``], [eqn: 4``], [eqn: 5``] [eqn: 6``]이고 이들에 대응하는 [eqn: bar {X``}``]의 확률을 조사하면 아래 표와 같은 확률분포를 얻는다.

[eqn: bar {X``}``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 4``]	[eqn: 5``]	[eqn: 6``]	합계
[eqn: {rm P} ( bar {X``}=x )``]	[eqn: 1 over 9``]	[eqn: 2 over 9``]	[eqn: 1 over 3``]	[eqn: 2 over 9``]	[eqn: 1 over 9``]	[eqn: 1``]

[eqn: therefore``] [eqn: {rm P} ( bar {X``}=3 )``][eqn: = 2 over 9``]

22  [정답] [eqn: 16``]

해설

확률의 합은 [eqn: 1``]이므로 [eqn: a+2a+3a =1``] [eqn: therefore``] [eqn: a= 1 over 6``]

그러므로 [eqn: X``]의 평균을 [eqn: {rm E} (X )``]라 하면

[eqn: {rm E} (X )``][eqn: = 2 times 1 over 6 + 4 times 1 over 3 + 6 times 1 over 2 = 28 over 6 = 14 over 3``]

[eqn: therefore``] [eqn: {rm E }left(bar {X``} right)``][eqn: = 14 over 3``]

[eqn: therefore``] [eqn: {rm E }left(a `bar {X``} right)``][eqn: = {rm E }left( 1 over 6 `bar {X``} right)``][eqn: = 1over 6``][eqn: {rm E }left(bar {X``} right)``][eqn: = 1 over 6 times 14 over 3 = 7 over 9``]

따라서 [eqn: p=9``], [eqn: q=7``]이므로 [eqn: p+q = 9+7=16``]

23  [정답] ②

해설

표본평균 [eqn: bar {X``}``]는 정규분포 [eqn: {rm N} left( 60,~ left( 3 over 2 right)^2 right)``]을 따른다.

이때, [eqn: Z= {bar X` -60} over {3over2}``]으로 놓으면 [eqn: Z``]는 표준정규분포 [eqn: {rm N} (0,~1)``]을 따르므로

[eqn: {rm P} (X geq 63 )``][eqn: =``][eqn: {rm P} (Z geq 2)``][eqn: =``][eqn: 0.5-``][eqn: {rm P} (0 leq Z leq 2)``]

[eqn: =0.5 -0.4772 = 0.0228``]

24   [정답] ③

해설

모표준편차를 알 수 없으므로 표본인 [eqn: 100``]명의 표준편차 [eqn: s=10``]을 모표준편차로 대신하여 사용한다.

즉, [eqn: bar {X``}``][eqn: =62``], [eqn: sigma``][eqn: =10``], [eqn: n=100``]이므로 전국 고등학교 [eqn: 3``]학년 학생 전체의 평균 점수 [eqn: m``]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``]%의 신뢰구간은

[eqn: 62- 1.96 10 over root100 leq m leq 62+1.96 10 overroot100``]

[eqn: therefore``] [eqn: [60.04,~63.96 ]``]

25  [정답] ②

해설

표본의 표본평균을 [eqn: bar {X``}``] 모표준편차를 [eqn: sigma``]라 하고, [eqn: rm P``][eqn: (left| Z right| geq k )``][eqn: = alpha over 100``]라고 하면

모평균 [eqn: m``]에 대한 신뢰도 [eqn: alpha``]%의 신뢰구간은

[eqn: bar {X``}``][eqn: -k sigma over rootn geq m geq``][eqn: bar {X``}``][eqn: +k sigma over rootn``]

이때, [eqn: b-a =2``][eqn: k sigma over rootn``]이고 [eqn: k``]는 [eqn: alpha``]의 값에 따라 정해지는 상수이다.

ㄱ. [eqn: n``]의 값이 일정할 때, [eqn: alpha``]의 값이 작아지면 [eqn: k``]의 값도 작아지므로 [eqn: b-a``]의 값은 작아진다. (거짓)

ㄴ. [eqn: n``]의 값이 작아지면 [eqn: 1 over rootn``]의 값은 커지고, [eqn: alpha``]의 값이 커지면 [eqn: k``]의 값도 커지므로 [eqn: b-a``]의 값은 커진다. (참)

ㄷ. [eqn: n``]의 값이 커지면 [eqn: 1 over rootn``]의 값은 작아지고, [eqn: alpha``]의 값이 일정하면 [eqn: k``]의 값이 일정하므로 [eqn: b-a``]의 값은 작아진다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

26 [정답] [eqn: 86``]

해설

모표준편차를 알 수 없지만 표본의 크기 [eqn: n=36``]은 충분히 크므로 표본표준편차 [eqn: s=48``]을 모표준편차 대신 사용할 수 있다.

즉, [eqn: bar {X``}``][eqn: =860``], [eqn: sigma``][eqn: =48``], [eqn: n=36``]이므로

[eqn: {rm P} ( left| Z right| ``][eqn: leq k)``][eqn: = alpha over 100``]라고 할 때, 모평균 [eqn: m``]에 대한 [eqn: alpha``]%의 신뢰구간은

[eqn: 860``][eqn: -k``][eqn: 48 over root 36``][eqn: geq m geq``][eqn: 860``][eqn: +k``][eqn: 48 over root 36``]

이때, [eqn: b-a =2k``][eqn: 48 over root 36``][eqn: =24``]

[eqn: therefore``] [eqn: k=1.5``]

따라서 표준정규분포표에서

[eqn: {rm P} ( left| Z right| ``][eqn: leq 1.5 ) =2 times 0.43 = alpha over 100``]

[eqn: therefore``] [eqn: alpha =86``]27  [정답] ②

해설

[eqn: f(x) = ``][eqn: f(100-x)``]로부터 확률밀도함수 [eqn: f(x)``]는 직선 [eqn: x=50``]에 대하여 대칭이므로 모평균 [eqn: m=50``]이다.

따라서 모집단의 확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: {rm N} (50,~10^2 )``]을 따르고 표본의 크기 [eqn: n=25``]는 충분히 크므로 표본평균 [eqn: bar {X``}``]는 정규분포 [eqn: {rm N} (50,~2^2 )``]을 따른다.

[eqn: THEREFORE``] [eqn: rm P(44 leq``][eqn: bar {X``}``][eqn: leq 48 )``]

[eqn: = rm P (50-3 cdot 2 leq``][eqn: bar {X``}``][eqn: leq 50- 1 cdot 2 )``]

[eqn: ={rm P} left( m-3 cdot sigma over root n leq ``][eqn: bar {X``}``][eqn: leq m-1 cdot sigma over root n right)``]

(단, [eqn: sigma``]는 모표준편차)

[eqn: ={rm P} (m-3 sigma leq X leq m- sigma )``]

[eqn: ={rm P} (m-3 sigma leq X leq m )``][eqn: -{rm P} (m- sigma leq X leq m )``]

[eqn: = 1 over 2 (0.9974-0.6826 )``]

[eqn: = 0.1574``]

28   [정답] ③

해설

[eqn: X``]의 확률분포를 나타내는 표에서 확률의 합은 [eqn: 1``]이므로

[eqn: 1 over 10 + 3 over 10 + k + 1 over 10 =1``]에서 [eqn: k= 1 over 2``]

그러므로 [eqn: X``]의 평균 [eqn: m``]과 분산 [eqn: sigma^2``]을 구하면

[eqn: m= 1 times 1 over 10 + 2 times 3 over 10 + 3 times 1 over 2 + 4 times 1 over 10 ``][eqn: = 13 over 5``]

[eqn: sigma^2``][eqn: = 1^2 times 1 over 10 + 2^2 times 3 over 10 + 3^2 times 1 over 2 + 4^2 times 1 over 10 ``][eqn: - left( 13 over 5 right)^2``]

[eqn: = 16 over 25``]

[eqn: {rm E }left(bar {X``} right)``][eqn: =m = 13 over 5``], [eqn: {rm V} (bar {X``} )``][eqn: = sigma^2 over n = 16 over 25 times 1 over n``]

이때, [eqn: {rm E }left(5bar {X``} right)``][eqn: +``] [eqn: sigma`left( 25 bar {X``} right)``][eqn: =14``]이므로

[eqn: 5``][eqn: {rm E }left(bar {X``} right)``][eqn: +``][eqn: 25``][eqn: sigma`left(bar {X``} right)``][eqn: =5 times 13 over 5 + 25 times 4 over 5 times 1 over root n``]

[eqn: = 13 + 20 over root n =14``]

[eqn: therefore``] [eqn: n=400``]

[eqn: therefore``] [eqn: kn = 1 over 2 times 400 = 200``]

29  [정답] ④

해설

[eqn: bar {X``}``][eqn: =64``], [eqn: sigma``][eqn: =16``], [eqn: n=64``]이므로 [eqn: {rm P} ( left| Z right| ``][eqn: leq k)``][eqn: = alpha over 100``]라 하면

신뢰도 [eqn: alpha``]%인 모평균 [eqn: m``]의 신뢰구간은 다음과 같다.

[eqn: 64-k times 16 over root 64``][eqn: leq m leq``][eqn: 64+k times 16 over root 64``]

[eqn: therefore``] [eqn: 64 -2k``][eqn: leq m leq``][eqn: 64 +2k``]

이때, [eqn: alpha = 64 -2k``]이므로 [eqn: 60 leq alpha leq 61``]에서

[eqn: 60 leq 64-2k leq 61``]

[eqn: therefore``] [eqn: 1.5 leq k leq 2``]

따라서 표준정규분포표에서 [eqn: 0.8664 leq alpha over 100 leq 0.9544``]이므로

[eqn: 86.64 leq alpha leq 95.44``]

30  [정답] [eqn: 36``]

해설

모평균을 [eqn: m``], 표본평균을 [eqn: bar {X``}``]라 하면 공장에서 만들어진 물병의 용량을 [eqn: 99``]%의 신뢰도로 추정할 때, 신뢰구간은

[eqn: bar {X``}``][eqn: -2.58``][eqn: times 0.2 over root n``][eqn: leq m leq``][eqn: bar {X``}``][eqn: +2.58``][eqn: times 0.2 over root n``]	[eqn: cdots CDOTS``] ㉠

모평균과 표본평균의 차는 [eqn: left| m- bar X right|``]이므로 ㉠에서

[eqn: left| m- bar X right|``][eqn: leq 2.58 ``][eqn: times 0.2 over root n``][eqn: leq 0.086``]

[eqn: therefore``] [eqn: root n geq 6``]

즉, 표본의 크기 [eqn: n``]은 [eqn: 36``] 이상이어야 한다.

따라서 표본의 크기는 자연수이므로 [eqn: n``]의 최솟값은 [eqn: 36``]이다.