<2013학년도> [수학 특강반]	확률 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수
shiny root in Songwon

정답 및 해설

1   [정답] ③

두 사건 [eqn: A,~B``]가 서로 독립이므로 [eqn: rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itA` RIGHT ) rmP LEFT ( itB` RIGHT ) ``]가 성립한다.

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) rm P LEFT ( it B` RIGHT )``][eqn: = {1} over {3} cdot {3} over {5} = {1} over {5}``]

[eqn: therefore~rmP LEFT ( itA CUP B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itA` RIGHT ) +rmP LEFT ( itB` RIGHT ) -rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT )``]

[eqn: = {1} over {3} + {3} over {5} - {1} over {5}``][eqn: = {11} over {15}``]

2  [정답] ③

두 사건 [eqn: A,~B``]가 서로 독립이므로 [eqn: rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itA` RIGHT ) rmP LEFT ( itB` RIGHT ) ``]가 성립한다.

[eqn: {1} over {3} = {1} over {2} rmP LEFT ( itB` RIGHT )``]	[eqn: therefore~rmP LEFT ( itB` RIGHT ) = {2} over {3}``]

[eqn: rmP LEFT ( itA CUP B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itA` RIGHT ) +rmP LEFT ( itB` RIGHT ) -rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT )``]

[eqn: = {1} over {2} + {2} over {3} - {1} over {3} = {5} over {6}``]

[eqn: therefore~rmP LEFT ( itA ^{C} ``□``B ^{C} ` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itA ^{C} SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itB ^{C} ` RIGHT )}``]

[eqn: = {rmP LEFT ( it LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C} ` RIGHT )} over {1-rmP LEFT ( itB` RIGHT )}``]

[eqn: = {1-rmP LEFT ( itA CUP B` RIGHT )} over {1-rmP LEFT ( itB` RIGHT )}``]

[eqn: = {1- {5} over {6}} over {1- {2} over {3}} = {1} over {2}``]

3  [정답] ③

뽑힌 학생이 수시 합격자일 사건을 [eqn: A,``] 여학생일 사건을 [eqn: B``]라 하면 [eqn: 3000``]명 중에서 [eqn: 1560``]명이 수시 합격자이므로

[eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) = {1560} over {3000} =0.52``]

수시 합격자의 [eqn: 50`%``]가 여학생이므로 [eqn: rmP LEFT ( itB``□``A` RIGHT ) =0.5``]이다.

수시 합격자이면서 여학생일 사건은 [eqn: A SMALLINTER B``]이므로 구하는 확률은 [eqn: rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT ) ``]이다.

따라서 확률의 곱셈정리에 의하여

[eqn: rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT ) =rmP LEFT ( itA` RIGHT ) rmP LEFT ( itB``□``A` RIGHT )``]

[eqn: =0.52times0.5=0.26``]

4  [정답] ④

철수가 [eqn: rmA,~B``]상자를 택하는 사건을 각각 [eqn: A,~B``]라 하고 확인한 공이 흰 공인 사건을 [eqn: W``]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rmP LEFT ( itA``□``W` RIGHT ) ``]이다.

(ⅰ) 철수가 [eqn: rmA``]상자를 택하고 확인한 공이 흰 공일 확률은
[eqn: rmP LEFT ( itA SMALLINTER W` RIGHT ) = {1} over {2} times {{} _{3} rmC _{2}} over {{} _{5} rmC _{2}} times1+ {1} over {2} times {{} _{3} rmC _{1} times _{2} rmC _{1}} over {{} _{5} rmC _{2}} times {1} over {2}``]
[eqn: = {3} over {20} + {3} over {20} = {3} over {10}``]

(ⅱ) 철수가 [eqn: rmB``]상자를 택하고 확인한 공이 흰 공일 확률은
[eqn: rmP LEFT ( itB SMALLINTER W` RIGHT ) = {1} over {2} times {{} _{4} rmC _{1} times _{1} C _{1}} over {{} _{5} rmC _{2}} times {1} over {2} = {4} over {40} = {1} over {10}``]

(ⅰ), (ⅱ)에서 철수가 확인한 공이 흰 공일 확률은
[eqn: rm P LEFT ( it W` RIGHT ) = {3} over {10} + {1} over {10} = {4} over {10} = {2} over {5}``]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itA``□``W` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itA SMALLINTER W` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itW` RIGHT )} = {{3} over {10}} over {{2} over {5}} = {3} over {4}``]

5  [정답] ⑤

[eqn: p+q,``] [eqn: pq``] 중 적어도 하나가 홀수인 사건을 [eqn: A``]라 할 때, [eqn: p+q,``] [eqn: pq``]의 관계는 다음과 같다.

	[eqn: p+q``]	[eqn: pq``]	[eqn: p``]	[eqn: q``]
[eqn: A ^{C}``]	짝수	짝수	짝수	짝수
[eqn: A``]	짝수	홀수	홀수	홀수
	홀수	짝수	짝수	홀수
			홀수	짝수
	홀수	홀수	이 경우는 일어날 수 없다.

[eqn: A ^{C} ``]는 [eqn: p+q,~pq``] 모두 짝수인 경우이므로 [eqn: p,~q``] 둘 다 짝수인 경우이다.

그러므로 짝수는 [eqn: 2,~4,~6,~8``]의 [eqn: 4``]개이므로

[eqn: rmP LEFT ( itA ^{C} ` RIGHT ) =rm {{} _{4} P _{2}} over {{} _{9} P _{2}} = {4cdot3} over {9cdot8} = {1} over {6}``]

따라서 구하고자 하는 확률 [eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) ``]는

[eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) =1-rmP LEFT ( itA ^{C} ` RIGHT ) =1- {1} over {6} = {5} over {6}``]

6  [정답] ③

대상자 중 남자와 여자의 비율이 [eqn: 40``:``60``]이므로 남자와 여자의 수를 각각 [eqn: 4k`,~6k``]라 하자. 이때,

남자들 중에서 스마트폰을 구입한 사람의 수는 [eqn: 4k times {80} over {100}``]

여자들 중에서 스마트폰을 구입한 사람의 수는 [eqn: 6k TIMES {60} over {100}``]

남자인 사건을 [eqn: A,``] 스마트폰을 구입한 사건을 [eqn: B``]라 하면

[eqn: rmP LEFT ( itA``□`B` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itB RIGHT )}``]

[eqn: = {4k TIMES {80} over {100}} over {4k TIMES {80} over {100} +6k TIMES {60} over {100}}``][eqn: = {320} over {680} = {8} over {17}``]

7  [정답] ③

[eqn: 6``]명의 사람 중 한 명을 뽑았을 때, 그 사람이 영화 [eqn: b``]를 관람하는 사람일 사건을 [eqn: M,``] 영화 [eqn: c``]를 관람하는 사람일 사건을 [eqn: N``]이라 하면 구하는 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itN``□`M` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itM SMALLINTER N` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itM` RIGHT )}``][eqn: = {{3} over {6}} over {{5} over {6}} = {3} over {5}``]

8   [정답] ③

두 점수의 합이 [eqn: 70``]점이 되는 경우는 다음의 세 가지이다.

구분	(ⅰ)	(ⅱ)	(ⅲ)
관람객 투표	점수 [eqn: rmA``]	점수 [eqn: rmB``]	점수 [eqn: rmC``]
심사 위원	점수 [eqn: rmC``]	점수 [eqn: rmB``]	점수 [eqn: rmA``]

관람객 투표 점수를 사건과 심사 위원 점수를 받는 사건이 서로 독립이므로 각각의 확률은 다음과 같다.

(ⅰ)이 일어날 확률[eqn: ``:``][eqn: {1} over {2} times {1} over {6} = {1} over {12}``]

(ⅱ)가 일어날 확률[eqn: ``:``][eqn: {1} over {3} TIMES {1} over {3} = {1} over {9}``]

(ⅲ)이 일어날 확률[eqn: ``:``][eqn: {1} over {6} TIMES {1} over {2} = {1} over {12}``]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하려는 확률은

[eqn: {1} over {12} + {1} over {9} + {1} over {12} = {5} over {18}``]

9  [정답] ④

남자 탁구 선수 [eqn: 4``]명과 여자 탁구 선수 [eqn: 4``]명에서 [eqn: 2``]명씩 [eqn: 4``]개의 조를 만드는 경우의 수는

[eqn: {} _{8} rmC _{2} times _{6} C _{2} times _{4} C _{2} times _{2} C _{2} times {1} over {4`!} =105``]

이때, 남자 [eqn: 1``]명과 여자 [eqn: 1``]명으로 이루어진 조가 [eqn: 2``]개인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rmC _{2} times _{4} C _{2} times2times1=72``]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {72} over {105} = {24} over {35} ``]이다.

10   [정답] ④

집합 [eqn: A= LEFT { ``1,~2,~3,~4,~5,~6`` RIGHT } ``]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{6} =64``]

이때, 집합 [eqn: A``]의 부분집합 중에서 원소 [eqn: 3``]이 들어 있는 부분집합의 개수는 집합 [eqn: LEFT { ``1,~2,~4,~5,~6`` RIGHT } ``]의 부분집합의 개수와 같으므로 [eqn: 2 ^{5} =32``]

이 중 [eqn: 4``]도 들어 있는 부분집합의 개수는 [eqn: LEFT { ``1,~2,~5,~6`` RIGHT } ``]의 부분집합의 개수와 같으므로 [eqn: 2 ^{4} =16``]

따라서 원소 [eqn: 3``]이 들어 있는 부분집합일 사건을 [eqn: E`,``] [eqn: 4``]가 들어 있는 부분집합일 사건을 [eqn: F``]라 하면

[eqn: rmP LEFT ( itE` RIGHT ) = {32} over {64} = {1} over {2} `,``] [eqn: rmP LEFT ( itE SMALLINTER F` RIGHT ) = {16} over {64} = {1} over {4} ``]이므로

[eqn: rmP LEFT ( itF``□``E` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itE SMALLINTER F` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itE` RIGHT )} = {{1} over {4}} over {{1} over {2}} = {1} over {2}``]

11   [정답] ①

[eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수의 개수는 [eqn: 4 ^{3} =64``]

이때, [eqn: Y= LEFT { ``1,~2,~3,~4`` RIGHT } ``]의 [eqn: 4``]개의 수 중에서 [eqn: 3``]개를 뽑아 크기순으로 나열한 후 [eqn: X= LEFT { ``1,~2,~3`` RIGHT } ``]의 원소와 차례로 대응시키면 된다. 즉 [eqn: Y``]의 원소 중에서 [eqn: 3``]개를 뽑은 것을 [eqn: a,~b,~c``] [eqn: LEFT ( a<b<c RIGHT ) ``]라 하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a,``] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =b,``] [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =c``]와 같이 대응시키면 되므로 [eqn: {} _{4} rmC _{3} =4``]

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: {4} over {64} = {1} over {16}``]

12  [정답] ④

두 개의 동전을 동시에 던질 때 같은 면이 나오는 경우는 (앞면, 앞면) 또는 (뒷면, 뒷면)의 [eqn: 2``]가지이므로 확률은 [eqn: {2} over {4} = {1} over {2} ``]이고, 다른 면이 나올 확률은 [eqn: {1} over {2} ``]이다.

갑이 이기는 경우는 [eqn: 1``]회, [eqn: 3``]회, [eqn: 5``]회, [eqn: CDOTS``]이고, 갑이

[eqn: 1``]회에 이길 확률 [eqn: -> ``] [eqn: {1} over {2}``]

[eqn: 3``]회에 이길 확률 [eqn: -> ``] [eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} times {1} over {2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}``]

[eqn: 5``]회에 이길 확률 [eqn: -> ``] [eqn: {1} over {2} times {1} over {2} times {1} over {2} times {1} over {2} times {1} over {2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}``]

이고, 각각의 사건은 배반사건이므로 갑이 이길 확률은

[eqn: {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} +` CDOTS `= {{1} over {2}} over {1- {1} over {4}} = {2} over {3}``]

13  [정답] ②

주머니에서 임의로 [eqn: 1``]개의 구슬을 꺼냈을 때, 이 구슬이 흰 구슬일 사건을 [eqn: A``]라 하자.

주머니에서 임의로 [eqn: 1``]개의 구슬을 꺼냈을 때 이 구슬이 흰 구슬일 확률은 [eqn: {3} over {5} ``]이므로 검은 구슬일 확률은 [eqn: 1- {3} over {5} = {2} over {5} ``]이다.

따라서 [eqn: 10``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A``]가 [eqn: 3``]번 일어날 확률은

[eqn: rmP LEFT ( 3 RIGHT ) = _{10} rmC _{3} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{7}``]

[eqn: 10``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A``]가 [eqn: 7``]번 일어날 확률은

[eqn: rmP LEFT ( 7 RIGHT ) = _{10} C _{7} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{3}``]

[eqn: therefore~rm {P LEFT ( 7 RIGHT )} over {P LEFT ( 3 RIGHT )} = {{} _{10} C _{7} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{3}} over {{} _{10} C _{3} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{7}} = {{} _{10} C _{3} cdot {3 ^{7} cdot2 ^{3}} over {5 ^{10}}} over {{} _{10} C _{3} cdot {3 ^{3} cdot2 ^{7}} over {5 ^{10}}}``]

[eqn: = {3 ^{4}} over {2 ^{4}} = {81} over {16}``]

14   [정답] ②

만들어지는 모든 직사각형의 개수는

[eqn: {} _{5} rmC _{2} times _{5} C _{2} =10times10=100``]

이때,

한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정사각형의 개수는 [eqn: 4times4=16``]

한 변의 길이가 [eqn: 2``]인 정사각형의 개수는 [eqn: 3times3=9``]

한 변의 길이가 [eqn: 3``]인 정사각형의 개수는 [eqn: 2times2=4``]

한 변의 길이가 [eqn: 4``]인 정사각형의 개수는 [eqn: 1``]

따라서 만들어지는 정사각형의 개수는 [eqn: 30``]개이므로 구하고자하는 확률은

[eqn: {30} over {100} = {3} over {10}``]

15   [정답] [eqn: 20``]

본인의 이름표를 뽑은 학생을 [eqn: rmA,~B``]라 하면 [eqn: rmA,~B``]를 제외한 나머지 [eqn: 3``]명의 학생이 다른 학생의 이름표를 뽑는 경우는 다음과 같다.

[eqn: rmC``]	[eqn: rmD``]	[eqn: rmE``]
[eqn: rmD``]의 이름표	[eqn: rmE``]의 이름표	[eqn: rmC``]의 이름표
[eqn: rmE``]의 이름표	[eqn: rmC``]의 이름표	[eqn: rmD``]의 이름표

[eqn: rmA,~C``]가 자기 이름표를 뽑는 경우도 마찬가지이므로 [eqn: 5``]명의 학생 중에서 [eqn: 2``]명이 자기 이름표를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} rmC _{2} =10``](가지)이고, 각각의 경우마다 남은 [eqn: 3``]명의 학생이 다른 학생의 이름표를 뽑는 경우의 수는 [eqn: 2``]가지이다.

그런데 전체 경우의 수는 [eqn: 5` ! = 120``]이므로 구하는 확률은

[eqn: {{} _{5} rmC _{2} times2} over {5`!} = {20} over {120} = {1} over {6}``]

따라서 [eqn: p= {1} over {6} ``]이므로

[eqn: 120`p=120times {1} over {6} =20``]

16   [정답] [eqn: 323``]

주사위의 눈의 수가 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6``]일 때, 각각의 값을 구해보면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``1`` RIGHT ] =0`,``] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``2`` RIGHT ] =0`,``]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``3`` RIGHT ] =1`,``] [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``4`` RIGHT ] =1`,``]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``5`` RIGHT ] =1`,``] [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) = LEFT [ ``log _{`3} ``6`` RIGHT ] =1``]

이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0`,``] [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =f LEFT ( 5 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) =1``]

[eqn: 1,~2``]의 눈이 나온 횟수를 [eqn: a,~3,~4,~5,~6``]의 눈이 나온 횟수를 [eqn: b``]라 하면

[eqn: f LEFT ( N _{1} RIGHT ) +f LEFT ( N _{2} RIGHT ) +f LEFT ( N _{3} RIGHT ) +f LEFT ( N _{4} RIGHT ) +f LEFT ( N _{5} RIGHT ) =3``]이므로 [eqn: b=3,~a=2``]이어야 한다.

주사위를 [eqn: 1``]개 던졌을 때 나오는 눈이 [eqn: 1``] 또는 [eqn: 2``]일 확률은 [eqn: {2} over {6} = {1} over {3} ``]이다.

따라서 [eqn: 5``]번 중 [eqn: 1,`2``]의 눈이 [eqn: 2``]번, [eqn: 3,~4,~5,~6``]의 눈이 [eqn: 3``]번 나오는 확률을 구하는 것이므로

[eqn: {} _{5} rm C _{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {80} over {243}``]

따라서 [eqn: p=243,~q=80``]이므로

[eqn: p+q=243+80=323``]

17 [정답] ①

해설

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 경우의 수는

[eqn: 6times6=6 ^{2}] (가지)

한편,

[eqn: A ^{m} LEFT ( -A RIGHT ) ^{n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} A ^{m+n} =E]

이고,

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{0~&1#-1~&1}} {pmatrix{0~&1#-1~&1}}]

[eqn: = {pmatrix{-1~&1#-1~&0}}]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A]

[eqn: = {pmatrix{-1~&1#-1~&0}} {pmatrix{0~&1#-1~&1}}]

[eqn: = {pmatrix{-1~&0#0~&-1}}]

[eqn: =-E]

[eqn: A ^{6} =E]

따라서 조건을 만족할 경우는 다음 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: n]이 짝수이고 [eqn: m+n=6,```12]인 경우를 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,``n RIGHT )]으로 나타내면

[eqn: LEFT ( 4,``2 RIGHT ) ,`` LEFT ( 2,``4 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``6 RIGHT )]

그러므로 [eqn: 3]가지이다.

(ⅱ) [eqn: n]이 홀수이고 [eqn: m+n=3,``9]인 경우를 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,``n RIGHT )]으로 나타내면

[eqn: LEFT ( 2,``1 RIGHT ) ,`` LEFT ( 6,``3 RIGHT ) ,`` LEFT ( 4,``5 RIGHT )]

그러므로 [eqn: 3]가지이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {3+3} over {6 ^{2}} = {1} over {6}]

18 [정답] ⑤

해설

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( c-d RIGHT ) >0]에서

[eqn: LEFT ( a>b이고`c>d RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( a<b`이고`c<d RIGHT )]

[eqn: a>b]이고 [eqn: c>d]일 사건을 [eqn: A], [eqn: a<b]이고 [eqn: c<d]일 사건을 [eqn: B]라 하면 두 사건 [eqn: A,``B]는 배반사건이다.

사건 [eqn: A]가 일어알 경우는 [eqn: 9]개의 수 중 두수를 택하여 [eqn: a,``b]를 정하고, 나머지 [eqn: 7]개의 수 중 두 수를 택하여 [eqn: c,``d]를 정하면 되므로

[eqn: rm P LEFT ( itA RIGHT ) =rm {{} _{9} C _{2} TIMES _{7} C _{2}} over {{} _{9} P _{4}} = {1} over {4}]

사건 [eqn: B]가 일어날 확률도 위와 같은 방법으로 하면

[eqn: rm P LEFT ( itB RIGHT ) = {1} over {4}]

따라서 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 배반사건이므로 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( itA CUP B RIGHT ) =rmP LEFT ( itA RIGHT ) +rmP LEFT ( itB RIGHT ) = {1} over {4} + {1} over {4} = {1} over {2}]

19 [정답] ④

해설

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 같은 조로 편성될 사건을 [eqn: X], [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 같은 조로 편성될 사건을 [eqn: rmY]라 하자.

이때, 조를 편성하는 경우의 수는

[eqn: rm _{6} rmC _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2!}] (가지)

또, 사건 [eqn: X]가 일어나는 경우는 우선 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]를 같은 조로 배정한 후 나머지 [eqn: 4]명에서 [eqn: 1]명가 [eqn: 3]명으로 나누어 배정하면 되므로 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rmC _{1} TIMES _{3} C _{3}] (가지)

마찬가지로 사건 [eqn: Y]가 일어날 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rmC _{1} TIMES _{3} C _{3}] (가지)

사건 [eqn: X SMALLINTER Y]가 일어날 경우는 [eqn: rmA,``B,``C]가 같은 조로 편성되고 나머지 [eqn: 3]명이 같은 조로 편성되면 되므로 경우의 수는

[eqn: 1`](가지)

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( itX CUP Y RIGHT ) =rmP LEFT ( itX RIGHT ) +rmP LEFT ( itY RIGHT ) -rmP LEFT ( itX SMALLINTER Y RIGHT )]

[eqn: =rm {{} _{4} C _{1} TIMES _{3} C _{3}} over {{} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2}} + {{} _{4} C _{1} TIMES _{3} C _{3}} over {{} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2}} - {1} over {{} _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} TIMES {1} over {2}}]

[eqn: = {4} over {10} + {4} over {10} - {1} over {10}]

[eqn: = {7} over {10}]

20 [정답] ②

해설

확률의 덧셈정리에 의해

[eqn: rm P LEFT ( itA CUP B RIGHT ) =rmP LEFT ( itA RIGHT ) +rmP LEFT ( itB RIGHT ) -rmP LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {2}]	…㉠

또, [eqn: rm P LEFT ( itA ^{C} RIGHT ) =rmP LEFT ( itB RIGHT ) + {1} over {3}]에서

[eqn: 1- rm P LEFT ( itA RIGHT ) =rmP LEFT ( itB RIGHT ) + {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE ` rm P LEFT ( it A RIGHT ) +rmP LEFT ( it B RIGHT ) = {2} over {3}]	…㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: {2} over {3} - rm P LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ` rm P LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {6}]

21 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 5times5times5=5 ^{3}]

이때, 모든 함숫값들의 곱이 짝수일 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A ^{C}]은 모든 함숫값들의 곱이 홀수가 될 사건이다.

모든 함숫값들의 곱이 홀수가 되려면 정의역의 모든 원소가 홀수에 대응되어야 하므로 경우의 수는

[eqn: 3times3times3=3 ^{3}] (가지)

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( itA RIGHT ) =1-rmP LEFT ( itA ^{C} RIGHT )]

[eqn: =1- {3 ^{3}} over {5 ^{3}}]

[eqn: = {98} over {125}]

22 [정답] ⑤

해설

[eqn: 6]명이 자리에 앉는 경우의 수는

[eqn: 6!] (가지)

이때, 남학생 또는 여학생이 적어도 [eqn: 2]명 이상 이웃하는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A ^{C}]은 남학생도 이웃하지 않고 여학생도 이웃하지 않는 사건이다.

이때, 사건 [eqn: A ^{C}]이 일어날 경우는 다음 두 가지이다.

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열
[eqn: 1]행	여	남	여
[eqn: 2]행	남	여	남

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열
[eqn: 1]행	남	여	남
[eqn: 2]행	여	남	여

그러므로 [eqn: A ^{C}]이 일어나는 경우의 수는

[eqn: 2times3!times3!] (가지)

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( itA RIGHT ) =1-rmP LEFT ( itA ^{C} RIGHT )]

[eqn: =1- {2times3!times3!} over {6!}]

[eqn: =1- {1} over {10}]

[eqn: = {9} over {10}]

23 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: A]와 [eqn: B]가 배반사건이면 [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이므로

[eqn: rm P LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ` rm P LEFT ( itB`□A RIGHT ) =rm {P LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( itA RIGHT )} =0] (참)

ㄴ. [eqn: A SUBSET B]이면 [eqn: A SMALLINTER B=A]이므로

[eqn: rm P LEFT ( itB`□A RIGHT ) =rm {P LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( itA RIGHT )} =rm {P LEFT ( itA RIGHT )} over {P LEFT ( itA RIGHT )} =1] (참)

ㄷ. 반례) [eqn: rm P LEFT ( itA RIGHT ) = {1} over {2} ,`rm`P LEFT ( itB RIGHT ) = {1} over {3} ,`rm`P LEFT ( itA SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {6}]이라 하면

[eqn: rm P LEFT ( it B`□A RIGHT ) = rm {P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT ) rm} over {P LEFT ( it A RIGHT ) rm} = {{1} over {6}} over {{1} over {2}} = {1} over {3}]

[eqn: rm P LEFT ( itB`□A ^{C} RIGHT ) = {rmP LEFT ( itA ^{C} SMALLINTER B RIGHT )} over {rmP LEFT ( itA ^{C} RIGHT )}]

[eqn: = rm {P LEFT ( it B RIGHT ) -rmP LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT ) rm} over {1-P LEFT ( it A RIGHT ) rm}]

[eqn: = {{1} over {3} - {1} over {6}} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: = {{1} over {6}} over {{1} over {2}} = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE ` rm P LEFT ( itB`□A RIGHT ) +rmP LEFT ( itB`□A ^{C} RIGHT ) = {1} over {3} + {1} over {3} = {2} over {3} != 1] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

24 [정답] ⑤

해설

주사위에서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: X], 주머니에서 흰 공이 [eqn: 1]개 나오는 사건을 [eqn: Y]라 하자.

(ⅰ) [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오고 주머니 [eqn: A]에서 흰 공이 [eqn: 1]개 나올 확률은

주머니 [eqn: A]에 [eqn: 20%]의 흰 공이 있으므로

[eqn: rm P LEFT ( itX SMALLINTER Y RIGHT ) =rmP LEFT ( itX RIGHT ) rmP LEFT ( itY`□X RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} times {1} over {5}]

[eqn: = {1} over {15}]

(ⅱ) [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오지 않고 주머니 [eqn: B]에서 흰 공이 [eqn: 1]개 나올 확률은 주머니 [eqn: B]에 [eqn: 50%]의 흰 공이 있으므로

[eqn: rm P LEFT ( itX ^{C} SMALLINTER Y RIGHT ) =rmP LEFT ( itX ^{C} RIGHT ) rmP LEFT ( itY`□X ^{C} RIGHT )]

[eqn: = {2} over {3} times {1} over {2}]

[eqn: = {1} over {3}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( itY RIGHT ) =rmP LEFT ( itX SMALLINTER Y RIGHT ) +rmP LEFT ( itX ^{C} SMALLINTER Y RIGHT )]

[eqn: = {1} over {15} + {1} over {3}]

[eqn: = {6} over {15} = {2} over {5}]

25 [정답] ③

해설

[eqn: x+y+z=8``]을 만족하는 사건을 [eqn: A,``] [eqn: w``]가 [eqn: 3``]의 배수일 사건을 [eqn: B``]라 하자.

[eqn: x,~y,~z``]는 [eqn: 1``] 이상의 자연수이므로 [eqn: x' =x-1,``] [eqn: y' =y-1,``] [eqn: z' =z-1``]로 놓으면 [eqn: x' ,~y' ,~z'``]은 음이 아닌 정수이고

[eqn: x' + y' + z' =5``]

이때, 이 식을 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x',~y',~z' RIGHT )``]에 대하여 순서쌍 [eqn: LEFT ( x'+1,~y'+1,~z'+1 RIGHT )``]이 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )``]와 같으므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( x',~y',~z' RIGHT )``]의 개수와 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )``]의 개수는 같다.

순서쌍 [eqn: LEFT ( x',~y',~z' RIGHT )``]의 개수는 서로 다른 [eqn: 3``]개에서 [eqn: 5``]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm _{3+5-1} rm C _{5} = _{7} C _{5} = _{7} C _{2} =21``]

[eqn: therefore~rm P LEFT ( itA` RIGHT )= { 21} over { 6^3 } = { 7} over { 72}``]

또한, [eqn: 3``]의 배수의 눈이 나올 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = { 1} over {3 }``]

따라서 두 사건 [eqn: A,~B``]가 서로 독립이므로 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it A smallinter B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A RIGHT ) `rm P LEFT ( it B` RIGHT )``][eqn: = { 7} over {72 } times { 1} over {3 } ``][eqn: ={ 7} over {216 }``]

26 [정답] ②

해설

두 버튼을 누를 확률은 각각 [eqn: { 1} over {2 }``]이고, 여섯 번 중에서 채널증가 버튼과 채널감소 버튼을 각각 [eqn: 3``]번씩 눌러야 하므로 구하는 확률은

[eqn: rm _{6} C _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {20} over {2 ^{6}} = {5} over {16}``]

27 [정답] [eqn: 259``]

해설

[eqn: rmA``]와 [eqn: rmB``]가 성공한 횟수를 순서쌍 [eqn: LEFT ( rmA,~B RIGHT ) ``]로 나타낼 때, [eqn: rmA``]가 이기는 경우는

[eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~0 RIGHT )``]

[eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~0 RIGHT )``]

[eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )``]

이므로 구하는 확률은

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} RIGHT } + _{3} rmC _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) LEFT { {} _{3} C _{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} RIGHT }``]

[eqn: + _{3} rmC _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} times LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3}``]

[eqn: = {1} over {8} times {19} over {27} + {3} over {8} LEFT ( {2} over {9} + {1} over {27} RIGHT ) + {3} over {8} times {1} over {27}``]

[eqn: = {1} over {8} times {19} over {27} + {3} over {8} times LEFT ( {2} over {9} + {1} over {27} RIGHT ) + {3} over {8} times {1} over {27}``]

[eqn: = {19} over {216} + {3} over {8} times {7} over {27} + {3} over {216}``]

[eqn: = {43} over {216}``]

따라서 [eqn: p=216,~q=43``]이므로

[eqn: p+q=259``]

28 [정답] ③

해설

판정법 [eqn: rmT``]로 질병 [eqn: rmA``]에 대한 감염여부를 판정할 때, ‘감염’으로 판정되는 사건을 [eqn: B``]라 하고 실제로 질병 [eqn: rmA``]에 감염되는 사건을 [eqn: C``]라 하면

[eqn: rm P LEFT ( it B` SMALLINTER C` RIGHT ) = {90} over {100} times {2} over {100}``]

[eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = rm P LEFT (it B smallinter C` RIGHT ) +rm P LEFT ( it B smallinter C^C ` RIGHT )``]

[eqn: = {90} over {100} times {2} over {100} + {5} over {100} times {98} over {100}``]

[eqn: therefore~rmP LEFT ( itC``□`B` RIGHT ) = {rmP LEFT ( itB SMALLINTER C` RIGHT )} over {rmP LEFT ( itB` RIGHT )}``]

[eqn: = {{90} over {100} times {2} over {100}} over {{90} over {100} times {2} over {100} + {5} over {100} times {98} over {100}}``]

[eqn: = {180} over {180+490}``]

[eqn: = {18} over {67}``]