정답 및 해설

1 [정답] ①

해설

[eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +ax+5``]에서 [eqn: f`prime(x)=3x^2 -6x+a``]

삼차함수 [eqn: f(x)``]가 극값을 가지므로 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.

그러므로 이차방정식 [eqn: f`prime(x)=0,``] 즉 [eqn: 3x^2 -6x+a=0``]은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: D over4 =9-3a>0``]	[eqn: therefore~a<3``]

따라서 조건을 만족하는 양의 정수 [eqn: a``]는 [eqn: 1,~2``]이므로 모든 양의 정수 [eqn: a``]의 값의 합은 [eqn: 1+2=3``]이다.2  [정답] ⑤

해설

[eqn: y=2x-10``]에서 거리가 최소가 되는 곡선 위의 점을 [eqn: rmP``]라 하면 점 [eqn: rmP``]는 직선 [eqn: y=2x-10``]을 평행이동한 직선과 곡선의 접점이므로 점 [eqn: rmP``]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2``]이다.

[eqn: y`prime= 1over4 (x-1)^3 =2``]에서

[eqn: (x-1)^3 =8,~x^3 -3x^2 +3x-9=0``]

[eqn: (x-3)(x^2 +3)=0``]	[eqn: therefore~x=3``]

또한 [eqn: x=3``]일 때의 함숫값은 [eqn: y= 1over16 (3-1)^4 =1``]이므로 점 [eqn: rmP``]의 좌표는 [eqn: (3,~1)``]이다.

따라서 점 [eqn: rmP(3,~1)``]에서 직선 [eqn: 2x-y-10=0``]까지의 거리는

[eqn: {|``2cdot3 -1-10``|}over{root{2^2 +(-1)^2}}= 5over root5 =root5``]

그러므로 곡선 [eqn: y= 1over16 (x-1)^4``]위의 점에서 직선 [eqn: y=2x-10``]까지의 거리의 최솟값은 [eqn: root5``]이다.

3  [정답] ③

해설

곡선 위의 접점 [eqn: rmA``]의 좌표를 [eqn: (a,~a^3 -2a)``]라 하고, [eqn: f(x)=x^3 -2x``]라 하면 [eqn: f`prime(x)=3x^2 -2``]이므로 [eqn: x=a``]에서 접선의 기울기는 [eqn: 3a^2 -2``]이다. 따라서 접선의 방정식은

[eqn: y-(a^3 -2a)=(3a^2 -2)(x-a)``]	[eqn: cdotscdots``] ㉠

접선 ㉠이 점 [eqn: (0,~2)``]를 지나므로

[eqn: 2-(a^3 -2a)=(3a^2 -2)(0-a)``]

[eqn: 2-a^3 +2a=-3a^3 +2a``]

[eqn: a^3 =-1``]	[eqn: therefore~a=-1``]

따라서 접점 [eqn: rmA``]의 좌표는 [eqn: (-1,~1)``]이고, 접선의 방정식은 [eqn: y=x+2``]이다.

이때, 접선이 곡선과 만나는 점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: x^3 -2x=x+2``]에서

[eqn: x^3 -3x-2=0,~(x+1)^2 (x-2)=0``]

[eqn: therefore~x=-1``] 또는 [eqn: x=2``]

따라서 [eqn: rmB(2,~4)``]이므로 [eqn: rmbarAB =root{(-1-2)^2 +(1-4)^2}=3root2``]

4  [정답] ①

해설

삼차함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x ge1``]인 범위에서 증가하는 함수이므로 [eqn: x ge1``]을 만족하는 모든 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`prime(x)ge0``]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(x)=2x^3 +(k-3)x^2 -2kx``]에서

[eqn: f`prime(x)``][eqn: =6x^2 +2(k-3)x -2k``]
[eqn: =2(3x+k)(x-1)``]

[eqn: x ge1``]인 구간에서 증가상태가 되려면 [eqn: x ge1``]인 구간에서 [eqn: f`prime(x)ge0``]이어야 하므로 [eqn: x ge1``]에서 [eqn: 2(3x+k)(x-1)ge0``]이어야 한다.

이때, [eqn: x ge1``]이므로

[eqn: 3x+k ge0,~x ge- k over3``]

그런 [eqn: x ge1``]인 모든 실수에 대하여 성립하여야 하므로

[eqn: - k over3 le1``]	[eqn: therefore~k ge-3``]

따라서 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: -3``]이다.

5  [정답] ②

해설

[eqn: f`prime(x)=8x^3 -12x^2 +2kx=2x(4x^2 -6x+k)``]

이때, [eqn: f`prime(x)=0``]이 하나의 실근과 두 허근을 갖거나 중근과 다른 한 실근을 가질 때, [eqn: y=f(x)``]의 극값은 한 개다.

(ⅰ) [eqn: 4x^2 -6x+k=0``]이 [eqn: x=0``]을 근으로 갖는 경우
즉, [eqn: k=0``]이면 [eqn: f`prime(x)=4x^2 (2x-3)=0``]을 만족하는 [eqn: x``]의 값은 [eqn: 0``]과 [eqn: 3over2``]이다.
그런데 [eqn: x=0``]의 좌우에서 [eqn: f`prime(x)``]의 부호가 변하지 않으므로 극값이 아니다.
그러므로 [eqn: x= 3over2``]일 때만 [eqn: f(x)``]는 극값을 하나만 갖는다.

[eqn: therefore~k=0``]

(ⅱ) [eqn: 4x^2 -6x+k=0``]이 [eqn: x=0``]을 근으로 갖지 않는 경우
즉, [eqn: k ne0``]이면 [eqn: y=f(x)``]가 [eqn: x=0``]에서 극값을 하나 가지므로 방정식 [eqn: 4x^2 -6x+k=0``]은 허근 또는 중근을 갖는다.
[eqn: D over4 =9-4k le0``]에서 [eqn: k ge 9over4``]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: 0``]이다.

6  [정답] [eqn: 13``]

해설

[eqn: f`prime(x)=3x^2 -2(a+2)x+a``]이므로 점 [eqn: (t,~f(t))``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-left{t^3 -(a+2)t^2 +at right}=left{3t^2 -2(a+2)t+a right}(x-t)``]

[eqn: x=0``]일 때, [eqn: y=g(t)``]이므로

[eqn: g(t)-left{t^3 -(a+2)t^2 +at right}=left{3t^2 -2(a+2)t+a right}(-t)``]

[eqn: therefore~g(t)=-2t^3 +(a+2)t^2``]

[eqn: g`prime(t)=-6t^2 +2(a+2)t``]이므로 이차함수 [eqn: g`prime(t)``]가 [eqn: 0<t<5``]에서 [eqn: g`prime(t)>0``]이려면 [eqn: g`prime(0)ge0,~g`prime(5)ge0``]이어야 한다.

[eqn: g`prime(0)=0``]이고 [eqn: g`prime(5)=-150+10(a+2)ge0``]이므로

[eqn: a ge13``]

따라서 구하는 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 13``]이다.

7  [정답] ①

해설

[eqn: f(x)=x^4 -8kx^3 +18kx^2``]에서

[eqn: f`prime(x)``][eqn: =4x^3 -24kx^2 +36kx``]
[eqn: =4x(x^2 -6kx+9k)``]

이때, [eqn: f(x)``]가 극댓값을 갖지 않으려면 [eqn: f`prime(x)=0``]이 하나의 실근과 두 허근을 갖거나 하나의 실근과 중근을 가져야 한다. 또는 삼중근을 가져야 한다.

[eqn: f`prime(x)=0``]에서 [eqn: x=0``]이 근이므로 이차방정식 [eqn: x^2 -6kx+9k=0``]이 두 허근을 갖거나 중근을 가지면 된다.

따라서 이차방정식 [eqn: x^2 -6kx+9k=0``]의 판별식 [eqn: D overt =9k^2 -9k le0``]에서 [eqn: 0le k le1``]

또, [eqn: x^2 -6kx+9k=0``]이 [eqn: x=0``]을 근으로 가지면 [eqn: k=0``]이고 [eqn: f`prime(x)=4x^3``]이므로 [eqn: x=0``]에서 극솟값만을 가지므로 [eqn: x=0``]을 근으로 가져도 된다.

[eqn: therefore~0le k le1``]

8 [정답] ③

해설

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -ax ^{2} +(2a+15)x+1``]이므로

[eqn: f` prime (x)=x ^{2} -2ax+2a+15``]

함수 [eqn: f(x)``]가 극값을 가지려면 방정식 [eqn: f` prime (x)=0``]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+2a+15=0``]의 판별식을 [eqn: D``]라 하면 [eqn: D>0``]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE `` {D} over {4} =a ^{2} -(2a+15)=(a-5)(a+3)>0``]

[eqn: THEREFORE ``a<`-3``] 또는 [eqn: a>5``]

따라서 구하는 자연수 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 6``]이다.

9 [정답] ④

해설

도함수 [eqn: f` prime (x)``]의 그래프는 다음 첫 번째 그림과 같다.

따라서 연속함수 [eqn: f(x)``]의 그래프의 개형은 다음 두 번째 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: lim _{x-> -1-0} {} f` prime (x)=`-1<0``],

[eqn: lim _{x -> -1+0} {} f` prime (x)=`1>0``]이므로
[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=`-1``]에서 극솟값을 갖는다.

(참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이 아니므로 성립하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f(x)``]의 그래프에서 [eqn: f(1)>f(0)``]이므로 [eqn: f(0)=0``]이면 [eqn: f(1)>0``]이다.  (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

10 [정답] [eqn: 23``]

해설

(ⅰ) [eqn: f` prime (k)=0``]이고, [eqn: x=k``]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 바뀔 때 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=k``]에서 극값을 갖는다.
따라서 [eqn: x=d``]에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 양[eqn: (+)``]에서 음[eqn: (-)``]으로 바뀌므로 극댓값을 갖고, [eqn: x=a``] 또는 [eqn: x=f``] 또는 [eqn: x=b``]에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 음[eqn: (-)``]에서 양[eqn: (+)``]으로 바뀌므로 극솟값을 갖는다.

(ⅱ) 또, [eqn: f(x)``]가 연속일 때 [eqn: f` prime (k)``]의 값이 존재하지 않으나 [eqn: x=k``]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 다르면 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=k``]에서 극값을 갖는다. (예 : 그래프가 꺾이는 점)
따라서 [eqn: f` prime (g)``]가 존재하지 않으나 [eqn: x=g``]에서 [eqn: f` prime (x)``]의 부호가 양[eqn: (+)``]에서 음[eqn: (-)``]으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: f(x)``]가 극댓값을 갖는 점의 개수는 [eqn: 2``]이고 극솟값을 갖는 점의 개수는 [eqn: 3``]이다.

[eqn: THEREFORE ``10m+n=10 TIMES 2+3=23``]

11 [정답] ③

해설

[eqn: x f`' (x) =0``]에서 [eqn: x=-1``] 또는 [eqn: x=0``] 또는 [eqn: x=1``]

[eqn: y= x f`' (x) ``]의 그래프에서

(ⅰ) [eqn: x< -1``]일 때,

[eqn: x f`' (x) >0 ,~ f`' (x) <0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 감소한다.

(ⅱ) [eqn: -1 < x< 0``]일 때,

[eqn: x f`' (x) <0 ,~ f`' (x) >0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 증가한다.

(ⅲ) [eqn: 0< x< 1``]일 때,

[eqn: x f`' (x) <0 ,~ f`' (x) <0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 감소한다.

(ⅳ) [eqn: x>`1``]일 때,

[eqn: x f`' (x) >0 ,~ f`' (x) >0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 증가한다.

함수 [eqn: f(x)``]의 증감표를 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x``]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS ``]
[eqn: f` prime (x)``]	[eqn: -``]	[eqn: 0]	[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)``]	[eqn: SEARROW ``]	극소	[eqn: NEARROW ``]	극대	[eqn: SEARROW ``]	극소	[eqn: NEARROW ``]

ㄱ. [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=-1``]에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. 구간 [eqn: (0,~ 1)``]에서 [eqn: f`' (x)< 0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 감소한다. (거짓)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

12 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: g(x) = f(x) - f(a)``]이므로 [eqn: g`' (x ) = f`' (x)``]

[eqn: g`'(a)= f`' (a) = 0``]이고 [eqn: g`'(x) ``]와 [eqn: f`' (x)``]는 [eqn: x=a``] 주변에서 부호가	서로 같다.

따라서 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=a``]에서 극소이므로 [eqn: g(x)``]도 [eqn: x=a``]에서 극소이	다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극소이고 [eqn: g(a) = f(a) - f(a) =0``]이므	로 함수 [eqn: g(x)``]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: y=g(x)``]의 그래프는 [eqn: x``]축과 서로 다른 두 점에서 만난	다. (참)

ㄷ. ㄴ의 그래프와 같이 최고차항의 계수가 양수인 경우에는 [eqn: x>a``]일	때, [eqn: g(x)> 0``]이다.

그러나 최고차항의 계수가 음수인 경우에는 [eqn: x> a``]일 때, 모든 [eqn: x``]에	대하여 [eqn: g(x)>0``]이 성립하지는 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

13 [정답] ③

해설

따라서 [eqn: f( alpha)f( beta)f( gamma)<0``]일 때 [eqn: y=f(x)``]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: f( alpha)<0``], [eqn: f( beta) <0``], [eqn: f( gamma)<0``]

(ⅱ) [eqn: f( alpha)<0``], [eqn: f( beta)>0``], [eqn: f( gamma)<0``]

(ⅲ) [eqn: f( alpha)>0``], [eqn: f( beta)>0``], [eqn: f( gamma)<0``]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x= beta``]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f(alpha )>0``]일 때는 (ⅲ)과 같이 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 [eqn: beta``]보다 큰 실근을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

14 [정답] [eqn: 6``]

해설

최고차항의 계수가 [eqn: -1``]이므로

[eqn: f(x) = - x^4 + a x^3 + b x ^2 + c x + d ``]라 하면

[eqn: f`' (x)= - 4 x^3 + 3 a x ^2 + 2 bx + c ``]

[eqn: f(1+x)=f(1-x)``]이므로 [eqn: f(x)``]의 그래프는 직선 [eqn: x=1``]에 대하여 대칭이다. 또, [eqn: x=2``]에서 극대이므로 그림과 같이 [eqn: x=0``]에서 극대이고, [eqn: x=1``]에서 극소이다.

[eqn: f`' (x)= - 4 x^3 + 3 a x ^2 + 2 bx + c ``][eqn: =-4 x (x-1)( x- 2)``]

[eqn: =- 4 x^3 +12 x^2 -8 x ``]

[eqn: THEREFORE``` a= 4 ,~ b=-4 ,~ c=0``]

[eqn: THEREFORE``` f(x)= - x^4 + 4 x^3 - 4 x^2 + d ``]

극댓값 [eqn: f(2)= -16 +32-16 + d =7``]이므로 [eqn: d=7``]

[eqn: THEREFORE``` f(1)= - 1 + 4- 4 + 7=6 ``]

15   [정답] ②

[eqn: f(x)=x ^{3} -6 ^{2} +9x+k``]라고 하자.

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -12x+9=3(x ^{2} -4x+3)``][eqn: =3(x-3)(x-1)``]

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=1``]또는 [eqn: x=3``]

[eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표는 아래와 같다.

[eqn: f(x)=0``]이 서로 다른 세 실근을 가지려면 [eqn: x=1``]에서 극댓값, [eqn: x=3``]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: f(1)`timesf(3)=k(k+4)<0``]

[eqn: THEREFORE -4<k<0``]

16  [정답] ④

[eqn: f(x)=x ^{4} -4x ^{3} +6x ^{2} -k``]라고 놓으면

[eqn: f'(x)=4x ^{3} -12x ^{2} +12x=4x(x ^{2} -3x+3)``]

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=0``]

이때, [eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표는 아래와 같다.

따라서 [eqn: [-1,``1]``]에서 최솟값은 [eqn: f(0)=-k``]이고, 구간 [eqn: [-1,``1]``]에서 [eqn: f(x)>0``]이려면 [eqn: f(0)=-k>0``]이어야 한다. [eqn: THEREFORE k<0``]

17  [정답] ④

[eqn: f(x)=x ^{4} +4x ^{3} +a-3``]이라 하면

[eqn: f'(x)=4x ^{3} +12x ^{2} =4x ^{2} (x+3)=0``]에서

[eqn: x=0``]또는 [eqn: x=-3``]

이때, [eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

따라서 최솟값은 [eqn: f(-3)=a-30``]이고, 실수 전체에서 [eqn: f(x) GEQ 0``]이려면 [eqn: f(-3)=a-30 GEQ 0``]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE a GEQ 30``]

따라서 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 30``]이다.

18  [정답] [eqn: 16``]

모든 모서리의 길이가 [eqn: 6``]인 정사각뿔의 높이는 [eqn: 3 sqrt {2}``]이고, 일반적으로 닮은비에 의하여 모든 모서리의 길이가 [eqn: a``]인 정사각뿔의 높이는 [eqn: {sqrt {2}} over {2} a``]임을 알 수 있다.

이때, 정사각뿔에 내접하는 직육면체에서 밑면이 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x```(0<x<6)``]라고 하면 직육면체의 높이는 [eqn: 3 sqrt {2}- {sqrt {2}} over {2} x``]이므로 직육면체의 부피 [eqn: V(x)``]는

[eqn: V(x)=x ^{2} LEFT ( 3 sqrt {2} - {sqrt {2}} over {2} x RIGHT ) = {sqrt {2}} over {2} (6x ^{2} -x ^{3} )``]

[eqn: V'(x)= {sqrt {2}} over {2} (12x-3x ^{2} )=- {3 sqrt {2}} over {2} (x-4)``]

[eqn: V'(x)=0``]에서 [eqn: x=0``]또는 [eqn: x=4``]

이때, [eqn: V'(x)``]의 부호의 변화를 조사하여 [eqn: V(x)``]의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

따라서 직육면체의 부피의 최댓값은 [eqn: 16sqrt2``]이다.

[eqn: THEREFORE a=16``]

19  [정답] ⑤

[eqn: f(x)=x ^{3} -3mx+m-3``]이라고 하면 삼차함수 [eqn: f(x)``]의 극댓값과 극솟값이 존재하고 두 값의 부호가 다르면 [eqn: f(x)``]가 서로 다른 세 실근을 갖는다.

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -3m=0``]에서 [eqn: m>0``]일 때 극값이 존재하므로

[eqn: (x-sqrt{m})(x+sqrt{m})=0``]

[eqn: THEREFORE x=-sqrtm``]또는 [eqn: x-sqrtm``]

함수 [eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표는 아래와 같다.

[eqn: x=-sqrtm``]에서 극댓값은 [eqn: f(- sqrt {m} )=2m`sqrt{m}+m-3``]

[eqn: x=sqrtm``]에서 극솟값은 [eqn: f(sqrt{m})=-2m`sqrt{m}+m-3``]

이므로

[eqn: f(sqrt{m})`times`f(sqrt{m})=(m-3) ^{2} -(2m`sqrt{m}) ^{2}``]

[eqn: =-4m ^{3} +m ^{2} -6m+9``]

[eqn: =-(m-1)(4m ^{2} +3m+9)``]

[eqn: f(sqrt{m})times`f(-sqrt{m})<0``]에서

[eqn: -(m-1)(4m ^{2} +3m+9)<0# m-1>0``( BECAUSE 4m ^{2} +3m+9>0)# THEREFORE m>1``]

[다른 풀이]

[eqn: h(x)=x ^{3} =3mx+m-3``]이라고 할 때

[eqn: h(x)=0``]에서 [eqn: x ^{3} -3=m(3x-1)``]이므로

[eqn: f(x)=x ^{3} -3,``g(x)=m(3x-1)``]이라고 놓자.

이 때, 두 곡선 [eqn: y=f(x),``y=g(x)``]의 교점의 개수는 방정식 [eqn: h(x)=0``]의 실근의 개수와 같다.

[eqn: f(x)=x ^{3} -3``]에서 [eqn: f'(x)=3x ^{2} geq0``]이므로 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x)``]는 증가상태에 있다.

또한, [eqn: g(x)``]는 정점 [eqn: LEFT ( {1} over {3} ,0 RIGHT )``]을 지나고 기울기가 변하는 직선이므로 함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: y=g(x)``]의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 [eqn: f(x)=g(x)``]의 실근이 세 개가 되려면 곡선 [eqn: y=f(x)``]와 직선 [eqn: y=g(x)``]가 접할 때의 직선 [eqn: y=g(x)``]의 기울기보다 [eqn: 3m``]이 더 커야 한다. 그러므로 점 [eqn: LEFT ( {1} over {3} ,0 RIGHT )``]에서 [eqn: y=f(x)``]에 그은 접선의 방정식의 기울기를 구하면 된다.

따라서 접점을 [eqn: (a,~a ^{3} -3)``]이라고 하면 [eqn: f'(x)=3x ^{2}``]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y-a ^{3} +3=3a ^{2} (x-a)``]

또, 점 [eqn: LEFT ( {1} over {3} ,0 RIGHT )``]을 지나므로

[eqn: -a ^{3} +3=3a ^{2} LEFT ( {1} over {3} -a RIGHT ) ,~2a ^{3} -a ^{2} +3=0``]

그러므로 접선의 방정식의 기울기는 [eqn: 3``]이며, [eqn: 3m>3``]이어야 한다.

따라서 [eqn: m>1``]이면 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -3mx+m-3``]이 서로 다른 세 실근을 갖는다.

20   [정답] ②

[eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x=k``]로 놓으면

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -6x-9=3(x-3)(x+1)``]이므로

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=3``]

이때, [eqn: x=-1``]에서 극대이고 [eqn: x=3``]에서 극소이다.

한 음근과 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖기 위해서는

[eqn: f(-1)>0,~f(0)>0,~f(3)<0``]이어야 하므로

[eqn: f(-1)=-1-3+9+k>0``]   [eqn: THEREFORE k>-5``]	⋯⋯㉠

[eqn: f(0)=k>0``]   [eqn: THEREFORE k>0``]	⋯⋯㉡

[eqn: f(3)=-27+k<0``]   [eqn: k<27``]	⋯⋯㉢

㉠,㉡,㉢에서 [eqn: 0<k<27``]

따라서 정수 [eqn: k``]의 개수는 [eqn: 26``]이다.

21  [정답] ③

[eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} -15x+2k``]라고 하자.

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -12x-15``]

[eqn: =3(x ^{2} -4x-5)``]

[eqn: =3(x+1)(x-5)``]

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=5``]

[eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 나타내는 표는 아래와 같다.

[eqn: f(x)=0``]이 양의 실근 [eqn: 1``]개와 서로 다른 음의 실근 [eqn: 2``]개를 가지려면 [eqn: f(-1)>0,```f(0)<0,``f(5)<0``]이어야 한다.

[eqn: f(-1)=2k+8>0``]  [eqn: THEREFORE k>-4``]

[eqn: f(0)=2k<0``]  [eqn: THEREFORE k<0``]

[eqn: f(5)=2k-100<0``]  [eqn: THEREFORE k<50``]   [eqn: THEREFORE -4<k<0``]

따라서 정수 [eqn: k``]는 [eqn: -3,``-2,``-1``]이므로 모든 정수 [eqn: k``]의 합은 [eqn: -6``]이다.

22  [정답] ①

[eqn: f(x)=f(x)-g(x)=x ^{3} -3x+1-k``]로 놓으면

[eqn: h'(x)=3x ^{2} -3=3(x-1)(x+1)``]

[eqn: h'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=1``]

이때, [eqn: h'(x)``]의 부호의 변화를 조사하여 [eqn: h(x)``]의 증가, 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

위의 표에서 구간 [eqn: [0,``2]``]에서 함수 [eqn: h(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 극소이며 최소이므로 구간 [eqn: [0,``2]``]에서 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) GEQ g(x)``], 즉 [eqn: h(x) GEQ 0``]이 성립하려면 [eqn: h(1) GEQ 0,``-1-k GEQ 0``]

[eqn: THEREFORE k LEQ -1``]

23   [정답] ①

[eqn: f prime (x)=-12x ^{3} +12(a-1)x ^{2} +12ax``]

[eqn: =-12x{`x ^{2} -(a-1)x-a}``]

[eqn: =-12x(x+1)(x-a)``]

[eqn: f'(x)=0``]에서 [eqn: x=-1``]또는 [eqn: x=0``]또는 [eqn: x=a``]

[eqn: f(-1)=2a+1,``f(a)=a ^{4} +2a ^{3}``]이고

[eqn: f(a)-f(-1)=a ^{4} +2a ^{3} -2a-1=(a+1) ^{3} (a-1)``]이므로

[eqn: 0<a<1``]이면 [eqn: f(a)<f(-1)``]

[eqn: (ⅰ)`0<a<1``]인 경우

[eqn: t< - 1``]이면

[eqn: g(t)=f(t)=-3t ^{4} +4(a-1)t ^{3} +6at ^{2}``]

[eqn: t GEQ -1``]이면

[eqn: g(t)=f(-1)=2a+1``]

따라서

[eqn: g'(t)= {cases{-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12at`&```(t<``-1)#``````````````````````````````````````````````0&```(t>``-1)}}``]

이고, [eqn: lim _{t -> -1-0} {g prime (t)= lim _{t -> -1+0} {g prime (t)=0}}``]

이므로 [eqn: g(t)``]는 [eqn: t=-1``]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: 0<a<1``]일 때 함수 [eqn: g(t)``]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: (ⅱ)``a GEQ 1``]인 경우

[eqn: f(-1)=f( alpha )````(0< alpha <a)``]이라 하자.

[eqn: t<``-1``]이면

[eqn: g(t)=f(t)=-3t ^{4} +4(a-1)t ^{3} +6at ^{2}``]

[eqn: -1 LEQ <alpha``]이면

[eqn: g(t)=f(-1)=2a+1``]

[eqn: alpha LEQ t LEQ a``]이면

[eqn: g(t)=f(t)=-3t ^{4} +4(a-1)t ^{3} +6at ^{2}``]

[eqn: t GEQ a``]이면

[eqn: g(t)=f(a)=a ^{4} +2a ^{3}``]

따라서

[eqn: {cases{-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12a&```(t<``-1)#```````````````````````````````````````````0&```(-1<t< alpha )#-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12a``&```(alpha<t<a)#``````````````````````````````````````````0&```(t>a)}}``]

[eqn: lim _{t -> -1-0} {g prime (t)= lim _{t -> -1+0} {g prime (t)=0}}``]이므로

[eqn: g(t)``]는 [eqn: t=-1``]에서 미분 가능하다.

[eqn: lim _{t -> alpha -0} {g prime (t)= lim _{t -> alpha +0} {g prime (t)}}``]이어야 하므로

[eqn: -12alpha ^{3} +12(a-1)alpha ^{2} +12a`alpha=0``]

[eqn: ( alpha -a)( alpha +1)=0``]

[eqn: THEREFORE alpha =a`( BECAUSE 0< alpha LEQ a)``]

즉 [eqn: f(-1)=f(a)``]이므로

[eqn: 2a+1=a ^{4} +2a ^{3}``]

[eqn: a ^{4} +2a ^{3} -2a-1=(a-1)(a+1) ^{3} =0``]

[eqn: THEREFORE a=1``]

따라서 [eqn: a=1``]일 때, [eqn: g(t)``]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: (ⅰ),``(ⅱ)``]에서 함수 [eqn: g(t)``]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위함 [eqn: a``]의 값의 범위는 [eqn: 0<a LEQ 1``]이므로 구하는 [eqn: a``]의 최댓값은 [eqn: 1``]이다.

24  [정답] ④

ㄱ. [eqn: t=a``]와 [eqn: t=b``]의 좌우에서 [eqn: f'(t)``]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: RMP``]는 움직이는 동안 두 번 방향이 바뀐다. (거짓)

ㄴ. 점 [eqn: RMP``]는 원점을 출발한 후 [eqn: 3``]만큼 왕복한 다음 [eqn: 10``]만큼 직진하므로 실제 움직인 거리는 [eqn: 2TIMES3+10=16``]이다. (참)

3. 점 [eqn: RMP``]의 [eqn: c``]초 동안의 평균속도는 두 점 [eqn: (0,``0)``]과 [eqn: (c,``10)``]을 잇는 직선의 기울기와 같다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: (0,``0)``]과 [eqn: (c,``10)``]을 잇는 직선과 평행하며 [eqn: x=f(t)``]와 접하는 접선을 두 개 그을 수 있으므로 평균속도와 같아지는 경우는 두 번이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ,ㄷ이다.

25 [정답] [eqn: 18``]

해설

[eqn: f(x)=8^x -3`·`4^x +3``]에서 [eqn: 2^x = t``]라 하면

[eqn: 0 le x le 2``]일 때 [eqn: 1 le 2^x le 4``]이므로 [eqn: 1 le t le 4``]

한편, [eqn: g(t)=t ^{3} -3t ^{2} +3,~1 LEQ t LEQ 4``]라 하면

[eqn: g`' (t)= 3 t^2 - 6t = 3 t (t-2)``]

[eqn: g`' (t)= 0``]에서 [eqn: t=0``] 또는 [eqn: t=2``]

구간 [eqn: [1,~4]``]에서 함수 [eqn: g(t)``]의 증감표를 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS ``]	[eqn: 4]
[eqn: g` prime (t)]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: 0``]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: g(t)]	[eqn: 1]	[eqn: SEARROW ``]	극소	[eqn: NEARROW ``]	[eqn: 19]

[eqn: g(1)= 1 ,~ g(2)=-1 ,~ g(4) = 19``]이므로 최댓값 [eqn: M= 19 ``],

최솟값 [eqn: m=-1``]

[eqn: THEREFORE```M + m = 19 +(-1) = 18``]

26 [정답] ⑤

해설

[eqn: (`log_2 `x)^3 -6`log_2 `x^2 +2a=0 ``(a>0)``]

[eqn: (`log_2 `x)^3 -12`log_2 `x^2 +2a=0 ``]에서 [eqn: log_2`` x = t``]라 하면

방정식 [eqn: f(t)= t^3 - 12 t + 2a =0``]이 오직 하나의 실근만을 갖고 함수 [eqn: f(t)``]는 극값을 가지므로 함수 [eqn: f(t)``]의 (극댓값)×(극솟값)[eqn: >0``]이어야 한다.

[eqn: f`' (t)= 3 t^2 - 12 = 3 (t-2)( t+2)``]

[eqn: f`' (t)=0``]에서 [eqn: t=-2``] 또는 [eqn: t=2``]

[eqn: f(-2) f(2) = (16+2 a)( -16 + 2 a)>0``]이므로 [eqn: a< - 8 ``] 또는 [eqn: a> 8``]

따라서 자연수 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 9``]이다.

27 [정답] [eqn: 6``]

해설

[eqn: f(x)= 1over4 x^4 -x^3 +ax+3``]이므로 [eqn: f` ' (x)= x^3 - 3 x^2 + a ``]

사차함수 [eqn: f(x)``]가 극댓값을 가지려면 방정식 [eqn: f`' (x)= 0``]이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

따라서 [eqn: g(x)= x^3 - 3 x^2 + a``]라 하면

방정식 [eqn: g(x)= 0``]이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 함수 [eqn: g(x)``]의 (극댓값)×(극솟값)[eqn: <0``]이어야 한다.

[eqn: g`' (x) = 3 x^2 - 6x = 3 x(x-2)``]

[eqn: g`' (x)=0``]에서 [eqn: x=0``] 또는 [eqn: x=2``]

함수 [eqn: g(x)``]의 증감표를 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: THEREFORE``` g(0) g(2) =a(a-4) < 0 ,~~ a< a < 4``]

따라서 구하는 모든 정수 [eqn: a``]의 값의 합은 [eqn: 1+2+3= 6``]이다.

28 [정답] [eqn: 22``]

해설

[eqn: h(x) = f( x) - g(x) = 5x^3 - 10x^2 + k -( 5x^2 + 2 )``]

[eqn: = 5 x^3 - 15 x ^2 + k -2``]라 하면

[eqn: 0<x < 3``]에서 [eqn: h(x) = 5 x^3 - 15 x ^2 +k - 2 ge 0``]이 성립해야 하므로

([eqn: h(x)``]의 최솟값)[eqn: ge 0 ``]이어야 한다.

[eqn: h` ' (x)= 15 x^2 - 30 x = 15 x(x-2)``]

[eqn: h`' (x)=0``]에서 [eqn: x=0``] 또는 [eqn: x=2``]

[eqn: 0<x< 3``]에서 함수 [eqn: h(x)``]의 증감표를 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x``]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: (3)]
[eqn: h prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]		[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: 0<x< 3``]에서 함수 [eqn: h(x)``]는 [eqn: x=2``]일 때 극소이자 최소이고 최솟값은 [eqn: h(2)``]이다.

[eqn: THEREFORE``` h(2) = k-22 ge 0 ,~ k ge 22``]

따라서 구하는 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: 22``]이다.

29 [정답] [eqn: 8``]

해설

[eqn: f(x) = x^3 +4x-2k``]라 하면 [eqn: f`' (x)= 3 x^2 + 4``]

모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`' (x) = 3 x^2 + 4 >0``]이므로 [eqn: f(x)``]는 모든 실수 [eqn: x``]에서 증가한다.

[eqn: x>2``]에서 [eqn: f(x)> 0``]이려면 [eqn: f(2) ge 0``]이어야 하므로

[eqn: f(2) = 16 - 2k ge 0``]	[eqn: THEREFORE``` k le 8``]

따라서 구하는 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 8``]이다.

30 [정답] [eqn: 16 ``]

해설

점 [eqn: \P``]가 운동 방향으로 바꾸는 순간 점 [eqn: \P``]의 속도는 [eqn: 0``]이고, 그때의 시각을 전후로 하여 속도의 부호가 바뀐다.

점 [eqn: \P``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도 [eqn: v(t)``]는

[eqn: v(t)= dx over dt = 3 t^2 - 18 t + 24 = 3(t-2)( t-4 )``]

[eqn: v(t) =0``]에서 [eqn: t=2``] 또는 [eqn: t= \4``]

따라서 점 [eqn: \P``]는 [eqn: t=4``]일 때 원점을 출발한 후 [eqn: 2``]번째로 운동 방향을 바꾸므로 구하는 점 [eqn: \P``]의 위치 [eqn: x``]는

[eqn: x= 64- 144 +96 = 16``]

31 [정답] ②

해설

출발한 지 [eqn: t``]초 후 두 점 [eqn: \P,~ Q``]의 위치가 각각

[eqn: f(t)= t^2 - 6t + 5 ,~ g(t)= t^3 - t^2 - t``]이므로 두 점 [eqn: \P,~ Q``]의 속도를 각각 [eqn: v_{ \P} (t) ,~v_{ \Q} (t) ``]라 하면 [eqn: v_{ \P} (t) = 2 t- 6 = 2 (t-3) ,``]

[eqn: v_{ \Q} (t) = 3 t^2 - 2 t-1 = (3t+1)( t-1)``]

ㄱ. [eqn: t=0``]일 때 [eqn: v_{ \P} (0) = 2 cdot 0 - 6 =-6``] (거짓)

ㄴ. [eqn: v_{ \Q} (t)=(3t+1)( t-1)``]에서 [eqn: t``]는 시간이므로 [eqn: 3t +1>0``]이고 [eqn: t=1``]	을 전후로 하여 [eqn: v_{\Q}``]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: \Q``]는 방향을 한 번 바뀐다.	(참)

ㄷ. 두 점 [eqn: rmP,~Q``]가 서로 반대 방향으로 움직이려면

[eqn: v_{ \P} (t)>0 ,~ v_{ \Q} (t) <0``] 또는 [eqn: v_{ \P} (t) <0 ,~ v_{ \Q} (t) >0``]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: v_{ \P} (t)>0 ,~ v_{ \Q} (t) <0``]에서

[eqn: 2 (t-3) > 0 ,~ (3t+1)( t-1) <0``]이므로 만족하는 [eqn: t``]가 존재하	지 않는다.

(ⅱ) [eqn: v_{ \P} (t) <0 ,~ v_{ \Q} (t) >0``]에서

[eqn: 2(t-3) <0,~(3t+1)(t-1)>0``]이므로 [eqn: 1< t< 3``]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: 1< t <3``]

따라서 두 점 [eqn: \P,~ Q``]가 반대 방향으로 움직이는 시간은 [eqn: 2``]초 동안이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

32 [정답] ④

해설

[eqn: t``]초 후 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이는

[eqn: (10+0.2 t) `\cm``], 높이는 [eqn: 98+0.4t ) ` \cm``]이므로 원기둥의 부피 [eqn: V``(t)``]는

[eqn: V``(t)= pi (10+0.2 t) ^2 (8+0.4t )``]

[eqn: THEREFORE``` V``' (t) = 2 ( 10+0.2 t ) (0.2 ) ( 8+0.4t) pi + ( 10+0.2 t ) ^2 (0.4 ) pi``]

[eqn: =0.4 ( 10+0.2 t ) (8+0.4t + 10+0.2 t ) pi``]

[eqn: =0.4 ( 10+0.2 t ) (18+0.6t ) pi``]

[eqn: THEREFORE``` V``' (20) = 04. cdot 14 cdot 30 pi = 168 pi ``]([eqn: \cm^3 ``]/초)

33 [정답] [eqn: 12``]

해설

[eqn: bar \AB = 20 `cm``]이고 점 [eqn: \P``]가 매초 [eqn: 2 `\cm``]의 일정한 속도로 움직이므로 [eqn: t``]초 후 두 선분 [eqn: \AP ,~ PB``]의 길이는 각각 [eqn: BAR \AP = 2 {it t} ` cm``],

[eqn: bar {\PB} = (20- 2 t ) ` \cm ``(0< t< 10)``]

두 선분 [eqn: \AP ,~ PB``]를 각각 지름으로 하는 두 원의 넓이의 합은

[eqn: pi t^2 + pi ( 10- t)^2``]

[eqn: THEREFORE``` S``(t)= pi cdot 10^2 - left{ pi t^2 + pi (10- t )^2 right}``]

[eqn: = pi (100 - t^2 -100 +20 t - t^2 ) = pi (20 t - 2 t^2 )``]

[eqn: THEREFORE``` { d S``(t)} over dt = S``'(t) = pi (20- 4 t)``]

따라서 [eqn: t=2``]일 때 [eqn: S``]의 변화율은

[eqn: S``(2) = pi (20- 4 cdot 2 ) = 12 pi ``]([eqn: \cm^2 ``]/초)	[eqn: THEREFORE```a=12 ``]

34 [정답] ⑤

해설

극값이 존재하는 위치로 계수의 부호를 따진다.

[eqn: f(x)= x^3 + a x^2 + b x + c``]이므로 [eqn: f`' (x)= 3 x^2 + 2 a x+ b``]

ㄱ, ㄴ. 함수 [eqn: f(x)``]의 극댓값, 극솟값을 모두 가지므로 방정식

[eqn: f`' (x)= 3 x^2 +2 a x +b =0``]은 서로 다른 두	실근 [eqn: alpha ,~ beta ``(alpha < beta )``]를 갖는다.

이때, [eqn: alpha < -1 ,~ 0 < beta< 1``]이므로 이차방정	식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =- 2a over 3 <0 ,~ alpha ` beta = b over 3 <0``]

[eqn: THEREFORE``` a>0 ,~ b<0``] (참)

ㄷ. [eqn: x=- 1 over 2``]에서 감소상태에 있으므로

[eqn: f`' LEFT ( - 1 over 2 RIGHT )= 3 over 4 - a+ b = 1 over 4 ( 3 -4 a + 4 b ) <0``]

[eqn: THEREFORE``` 3-4 a + 4 b < 0``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

35 [정답] ④

해설

[eqn: t``]초 후 변 [eqn: \AB``]의 길이는 [eqn: 12+t ``], 변 [eqn: \BC``]의 길이는

[eqn: 12- 0.5 t ```(0 < t < 24 )``]이고 [eqn: angle \ABC = 60 DEG``]이므로 삼각형 [eqn: \ABC``]의 넓이를 [eqn: S``(t)``]라 하면

[eqn: S``(t)= 1 over 2 (12 + t )( 12- 0.5 t ) sin 60 DEG``]

[eqn: = root 3 over 4 (-0.5 t^2 +6 t +144)``]

[eqn: S``' (t) = root 3 over 4 (-t+6)``]

따라서 [eqn: t=2``]에서의 삼각형 [eqn: \ABC``]의 넓이의 변화율은

[eqn: THEREFORE``` S``' (2) = root 3 over 4 (- 2+6) = root 3``]