정답 및 해설

1 [정답] ③

[eqn: y=4 ^{x} -2 ^{x+2} +a``]에서

[eqn: y= LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} -4cdot2 ^{x} +a``]

[eqn: 2 ^{x} =t`` LEFT ( t>0 RIGHT ) ``]로 놓으면

[eqn: y=t ^{2} -4t+a= LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} +a-4``]이므로

[eqn: t=2``]일 때 최솟값은 [eqn: a-4``]이다.

[eqn: t=2 ^{x} ``]에서 [eqn: 2 ^{k} =2~~~ THEREFORE ``k=1``]

최솟값이 [eqn: 5``]이므로 [eqn: a-4=5~~~ THEREFORE ``a=9``]

[eqn: THEREFORE ``a+k=9+1=10``]

2  [정답] ⑤

[eqn: y=a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+b} +c``]의 그래프의 점근선의 방정식이 [eqn: y=-6``]이므로 [eqn: c=-6``]

[eqn: y=a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+b} -6``]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -3,~0 RIGHT ) ``]을 지나므로

[eqn: 0=a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-3+b} -6``]

[eqn: a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{b} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-3} =6``]

[eqn: a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{b} = {6} over {8} = {3} over {4}``]

[eqn: y=a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+b} -6``]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 0,~k RIGHT ) ``]를 지나므로

[eqn: k=a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0+b} -6``]

[eqn: =a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{b} -6``]

[eqn: = {3} over {4} -6=- {21} over {4}``]

3  [정답] ⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{-x} ``]에서 [eqn: a _{1} =f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~a _{n+1} =f LEFT ( a _{n} RIGHT ) ``]이므로

[eqn: a _{2} =f LEFT ( a _{1} RIGHT ) ,~a _{3} =f LEFT ( a _{2} RIGHT ) ,~a _{4} =f LEFT ( a _{3} RIGHT )``]

이것을 직선 [eqn: y=x``]를 이용하여 나타내면 아래 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE ``a _{3} <a _{4} <a _{2}``]

4  [정답] ⑤

[eqn: a ^{2} <a``]에서 [eqn: a LEFT ( a-1 RIGHT ) <0~~~ THEREFORE ``0<a<1``]

따라서 함수 [eqn: y=a ^{x} ``]의 그래프는 [eqn: x``]의 값이 증가하면 [eqn: y``]의 값이 감소하고, [eqn: 0<a<b``]이므로 [eqn: a ^{0} >a ^{a} >a ^{b} `,``] 즉 [eqn: a ^{b} <a ^{a} <1``]이다.

5  [정답] ②

점 [eqn: rmC,~D``]의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: c,~d``]라 하면 [eqn: {rmC} LEFT ( c,~4 ^{c} RIGHT ) ,~{rmD} LEFT ( d,~2 ^{d} ` RIGHT ) ``]이다.

[eqn: {rmA} LEFT ( a,~2 ^{a} RIGHT ) ,~{rmB} LEFT ( a,~4 ^{a} RIGHT ) ``]에서 두 점 [eqn: rmA``]와 [eqn: rm C``], [eqn: rmB``]와 [eqn: rmD``]의 [eqn: y``]좌표가 서로 같으므로

[eqn: 2 ^{a} =4 ^{c} ,~4 ^{a} =2 ^{d}``]

[eqn: 2 ^{a} =4 ^{c} =2 ^{2c} ``]에서 [eqn: a=2c~~~ THEREFORE ``c= {a} over {2}``]

[eqn: 4 ^{a} =2 ^{2a} =2 ^{d} ``]에서 [eqn: 2a=d``]

[eqn: THEREFORE `` rm {bar{BD}} over {bar{AC}} =it {d-a} over {a-c} = {2a-a} over {a- {a} over {2}} =2``]

6  [정답] ③

[eqn: LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) -1} -4 LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )} >0``]에서

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2f LEFT ( x RIGHT )} +3 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )} -4 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2g LEFT ( x RIGHT )} >0``]

[eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )} RIGHT } LEFT { LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )} RIGHT } >0``]

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )} >0``]이므로 [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )} >0``]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{f LEFT ( x RIGHT )} > LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{g LEFT ( x RIGHT )}``]

밑이 [eqn: 1``]보다 작으므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT )``]

그림에서 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ``]의 그래프가 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ``]의 그래프보다 위쪽에 있는 [eqn: x``]의 값의 범위는 [eqn: 0<x<4``]

따라서 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x``]의 개수는 [eqn: 3``]이다.

7   [정답] ④

[eqn: 9 ^{x} +2cdot3 ^{x} +k-3>0``]에서

[eqn: 3 ^{2x} +6cdot3 ^{x} +k-3>0``]

[eqn: 3 ^{x} =t`` LEFT ( t>0 RIGHT ) ``]로 놓으면

[eqn: t ^{2} +6t+k-3>0``]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} +6t+k-3``]이라 하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t+3 RIGHT ) ^{2} +k-12``]

[eqn: t>0``]일 때 항상 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) >0``]이기 위해서는 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ``]의 그래프가 다음과 같이 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) GEQ 0``]이어야 하므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =k-3 GEQ 0~~~ THEREFORE ``k GEQ 3``]

따라서 한 자리의 자연수 [eqn: k``]의 개수는 [eqn: 7``]이다.

8   [정답] ③

ㄱ. [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =3``]이므로 [eqn: 2 ^{3} LEQ a<2 ^{4}``]

위 식을 만족하는 자연수 [eqn: a``]의 개수는 [eqn: 2 ^{4} -2 ^{3} =8``]이다. (참)

ㄴ. 정수 [eqn: m,~n``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =m,~f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) =n``]이라 하면

[eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =m``]에서 [eqn: 2 ^{m} LEQ {1} over {a} <2 ^{m+1}``]

[eqn: f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) =n``]에서 [eqn: 2 ^{n} LEQ {1} over {b} <2 ^{n+1}``]

[eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) <f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ``]에서 [eqn: m<n<0``]이고, [eqn: m,~n``]은 정수이므로

[eqn: m+1 LEQ n``]이다.

또, [eqn: y=2 ^{x} ``]은 [eqn: x``]의 값이 증가하면 [eqn: y``]의 값도 증가하므로

[eqn: 2 ^{m} LEQ {1} over {a} <2 ^{m+1} LEQ 2 ^{n} LEQ {1} over {b} <2 ^{n+1}``]

[eqn: 2 ^{-m} GEQ a>2 ^{-m-1} GEQ 2 ^{-n} GEQ b>2 ^{-n-1}``]

[eqn: THEREFORE ``a>b``] (참)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =m,~f LEFT ( b RIGHT ) =n``]에서

[eqn: 2 ^{m} LEQ a<2 ^{m+1} ,~2 ^{n} LEQ b<2 ^{n+1}``]

[eqn: 2 ^{m} cdot2 ^{n} LEQ ab<2 ^{m+1} cdot2 ^{n+1}``]

[eqn: 2 ^{m+n} LEQ ab<2 ^{m+n+2} ``]이므로

[eqn: 2 ^{m+n} LEQ ab<2 ^{m+n+1} ``]이면 [eqn: f LEFT ( ab RIGHT ) =m+n``]

[eqn: 2 ^{m+n} LEQ ab<2 ^{m+n+2} ``]이면 [eqn: f LEFT ( ab RIGHT ) =m+n+1``] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

9  [정답] ⑤

[eqn: 4 ^{x} -k cdot2 ^{x+1} +3k=0``]에서

[eqn: 2 ^{2x} -2k cdot2 ^{x} +3k=0``]

[eqn: 2 ^{x} =t`` LEFT ( t>0 RIGHT ) ``]로 놓으면 [eqn: t ^{2} -2kt+3k=0``]

방정식 [eqn: 4 ^{x} -k cdot2 ^{x+1} +3k=0``]의 근이 양수이므로

[eqn: t=2 ^{x} >2 ^{0} =1``]

따라서 방정식 [eqn: t ^{2} -2kt+3k=0``]은 [eqn: 1``]보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} -2kt+3k``]라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-k RIGHT ) ^{2} -k ^{2} +3k``]이므로 이차함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ``]의 그래프가 다음 그림과 같아야 한다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1-2k+3k>0``]

[eqn: THEREFORE ``k>-1``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-k RIGHT ) ^{2} -k ^{2} +3k``]에서 대칭축이 [eqn: x=k``]이므로

[eqn: k>1``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

[eqn: t ^{2} -2kt+3k=0``]의 판별식을 [eqn: D``]라 하면

[eqn: {D} over {4} =k ^{2} -3k>0,~k LEFT ( k-3 RIGHT ) >0``]

[eqn: THEREFORE ``k<0,~k>3``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉢

㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시켜야 하므로 [eqn: k>3``]

[참고] 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0``]의 실근의 범위

(1) 두 근이 모두 [eqn: alpha ``]보다 클 조건

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c`` LEFT ( a>0 RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: {cases{f LEFT ( alpha RIGHT ) >0&#대칭축`:` alpha < - {b} over {2a}&#판별식`D=b ^{2} -4ac GEQ 0&}}``]

(2) 두 근이 모두 [eqn: alpha ``]와 [eqn: beta ``] 사이에 있을 조건

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c`` LEFT ( a>0 RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: {cases{f LEFT ( alpha RIGHT ) >0,~f LEFT ( beta RIGHT ) >0&#대칭축`:` alpha < - {b} over {2a} < beta &#판별식`D=b ^{2} -4ac GEQ 0&}}``]

(3) [eqn: alpha ``]와 [eqn: beta ``] 사이에 하나의 실근이 있고, 다른 한 근은 [eqn: alpha ``]보다 작거나

[eqn: beta ``]보다 클 조건

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c`` LEFT ( a != 0 RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) f LEFT ( beta RIGHT ) <0``]

10 [정답] ③

해설

[eqn: 2 ^{2x} -2 ^{x+1} a+3-2a>0]에서 [eqn: 2^x = t]라 하면 [eqn: t>0]이고

[eqn: t^2 -2at + 3-2a >0]

[eqn: (t-a) ^{2} -a ^{2} + 3 -2a > 0]

[eqn: f(t) = ( t-a) ^{2} -a ^{2} + 3 - 2a]라 하자. 주어진 부등식이 [eqn: t>0]에서 항상 성립하려면

(ⅰ) [eqn: a le 0]일 때, [eqn: f(t)]는 [eqn: t>0]에서 증가하여 [eqn: f(0) ge 0]이어야 하므로

[eqn: 3-2a ge 0 , ````a le 3 over 2]

[eqn: therefore ````a le 0]

(ⅱ) [eqn: a>0]일 때, [eqn: f(t)]의 최솟값 [eqn: f(a)]가 [eqn: f(a) > 0]이어야 하므로

[eqn: -a^2 + 3 - 2a > 0]

[eqn: a^2 + 2a -3 < 0]

[eqn: (a+3)(a-1) < 0]

[eqn: -3 < a < 1]

[eqn: therefore ````0<a<1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a<1]

11 [정답] ④

해설

ㄱ. [eqn: y= log_2 `x `]의 그래프를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y=2^x `]의 그래프와 겹쳐진다. 또한, [eqn: y=3 cdot 2^x =2^{ log_2 `3 } cdot 2^x]

[eqn: =2^{ x+ log_2 `3 } `]이므로 [eqn: y=2^x `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: - log_2 `3 `]

만큼 평행이동하면 겹쳐진다. 즉, [eqn: y= log_2 `x `]의 그래프를 직선

[eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 다음, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: - log_2 `3 `]만큼

평행이동하면 [eqn: y=3 cdot 2^x `]의 그래프와 겹쳐진다.

ㄴ. [eqn: y= log_4 `2x^2 `]의 정의역은 [eqn: x^2 ＞0`]에서 [eqn: left{ x `|` x＞0~또는~x＜0 right}`]이다.

[eqn: x＞0`]일 때에는 [eqn: y= log_4 `2x^2 = log_2 `x + log_4 `2 = log_2 `x + 1 over 2]이고,

[eqn: x＜0`]일 때에는 [eqn: x＞0`]일 때의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동

한 그래프가 그려지므로 [eqn: y= log_2 `x `]의 그래프와 겹쳐질 수 없다.

ㄷ. [eqn: y=- log_8 `x^3 =- log_2 `x `]이므로 [eqn: y= log_2 `x `]의 그래프를 [eqn: x`]축에 대

하여 대칭이동하면 겹쳐진다.

따라서 [eqn: y= log_2 `x `]의 그래프를 평행이동 대칭이동하여 겹쳐지는 함수는 ㄱ, ㄷ이다.

12  [정답] ⑤

[eqn: g(x)=(log _{2} x) ^{2} -2`log _{2} x+a``]에서

[eqn: log_{ 2}` { x } =t ``]로 놓으면

[eqn: 0 < x le 8``]에서 [eqn: t le log_{ 2 }` { 8 } ``], 즉 [eqn: t le 3``]이고

[eqn: t^2 -2t +a =(t-1)^2 +a-1``]이므로

함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: t=1``], 즉 [eqn: x=2``]일 때 최솟값 [eqn: a-1``]을 갖는다.

[eqn: (f CIRC g)(x) =f(g(x))=log_2 ` 1over g(x) `` ``]은 [eqn: g(x)``]가 최소일 때

최댓값을 가지므로 [eqn: (f CIRC g)(x)``]의 최댓값은 [eqn: log_{ 2 }` { 1 over a-1 } ``]이다.

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: log_{ 2 }` { 1 over a-1 }=-3 ``], [eqn: { 1 over a-1 } =2^-3 ``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: a=9``]

이때, [eqn: g(x)=(log _{2} x) ^{2} -2`log _{2} x+9``]이므로

[eqn: g LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) = left(log _{2} ` 1 over 2 right) ^{2} -2`log _{2}` 1 over 2 +9 = 1+2+9=12``]

13  [정답] [eqn: 100``]

[eqn: x ^{log2} CDOT `2 ^{logx} -3cdot`2 ^{1+logx} +4=0``]에서

[eqn: 2 ^{log`x} CDOT `2 ^{logx} -3cdot`2 cdot 2^{logx} +4=0``]

[eqn: (2 ^{log`x} )^2 -6 cdot 2^{logx} +4=0``]

[eqn: 2^ {log_{ }` {x } }=t ``]라 하면 방정식 [eqn: t^2 -6t +4=0``]의 두 근이 [eqn: 2^ {log_{ }` {alpha } }``,~ 2^ {log_{ }` {beta } }``]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 2^ {log_{ }` {alpha } }`cdot` 2^ {log_{ }` {beta } }= 4``]

[eqn: 2^ {log_{ }` {alpha +log_{ }` {beta } } }= 2^2``]

[eqn: {log_{ }` {alpha +log_{ }` {beta } } } =log_{ }` {alpha beta } =2``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: alpha beta =10^2 =100``]

14  [정답] ④

[eqn: x ^{2} -(2`log _{3} 3a)x+3(1+log _{3} a)>0``]이 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 성립하므로 방정식

[eqn: x ^{2} -(2`log _{3} 3a)x+3(1+log _{3} a)=0``]의 판별식을 [eqn: D``]라 하면

[eqn: D over 4 =(log _{3} 3a)^2 -3(1+log _{3} a)<0``]

진수의 조건에서 [eqn: a >0``]	[eqn: ········``] ㉠

[eqn: (1+ log _{3} a)^2 -3(1+log _{3} a)<0``]

[eqn: (1+ log _{3} a)(log _{3} a -2)<0``]

[eqn: -1 < log_{ 3 }` { a } <2 ``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: 1 over 3 < a < 9``]	[eqn: ········``] ㉡

㉠, ㉡의 공통범위는 [eqn: 1 over 3 < a < 9``]

따라서 정수 [eqn: a``]의 개수는 [eqn: 8``]이다.

15  [정답] ③

[eqn: f(x)=log _{2} {1} over {x+1} = log_{1 over 2} `(x+1)``]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3``]이므로

[eqn: log_{1 over 2 }` { (3+1) } le f(x) le log_{1 over 2 }` { (0+1) } ``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: -2 le f(x) le 0``]

따라서 [eqn: f(x)``]의 최솟값은 [eqn: -2``]이다.

[eqn: f(x)=t``]라 하면 [eqn: -2 le t le 0``]이고

[eqn: (g circ f)(x)=g(t)=-t^2 -2t +a``]

[eqn: =-(t+1)^2 +a+1``]

이므로 함수 [eqn: (g circ f)(x)``]의 최댓값은 [eqn: t=-1``], 즉 [eqn: x=1``]일 때 [eqn: a+1``]이다.

한편, 임의의 실수 [eqn: x_1 ``,~x_2``]에 대하여 [eqn: f(x_1 ) ge (g circ f)(x_2 )``]가 성립하려면 [eqn: f(x)``]의 최솟값이 [eqn: (g circ f)(x)``]의 최댓값 이상이어야 하므로

[eqn: -2 ge a+1``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: a le -3``]

따라서 실수 [eqn: a``]의 최댓값은 [eqn: -3``]이다.

16  [정답] ④

ㄱ. [eqn: - log_{ 2 }` { x } = log_{ 2 }` { 1 over x } = log_{1 over 2 }` { x } ``]이므로

[eqn: y=` LEFT | log _{2} x RIGHT | = cases{ log_{1 over 2} `x ~(0 < x < 1) # log_2 `x ```~(x ge 1)} ``]

[eqn: log_{ 2 }` { 1 } =0 ``]이므로 그래프가 [eqn: x``]축과 만나는 점은 [eqn: (1``,~0)``]이다.

따라서 [eqn: a <1``]이고, [eqn: rm P(it a``,~a)``]이므로 [eqn: log_{1 over 2 }` { a } =a ``]

[eqn: log_{1 over 2 }` { a } =a <1 = log_{1 over 2 }` { 1 over 2 } ``]에서 [eqn: a > 1 over 2``](거짓)

ㄴ. 점 [eqn: rm B``]의 좌표를 [eqn: rm B(it c``,~a)``]라 하면 [eqn: log_{ 2 }` { c } =a ``]

[eqn: log_{1 over 2 }` { a } =a ``]이므로

[eqn: log_{ 2 }` { c } = log_{ 1 over 2 }` { a } = log_{ 2 }` { 1 over a } ``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: c = 1 over a``]

따라서 점 [eqn: rm C``]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: 1 over a ``]이다. (참)

ㄷ. 위의 그림에서 점 [eqn: left( 1over2 ``,~ 1 over 2 right)``]을 지나고 [eqn: x``]축에 평행인 직선이 [eqn: y= log_{ 1 over 2 }` { x } ``]와 만나는 점을 [eqn: rm Q``]라 하면 [eqn: log_{1 over 2 }` { x } = 1 over 2 ``]에서

[eqn: x= LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^{1 over 2} = 1 OVER ROOT 2 ``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: 1 over 2 < a < 1 over root2 ``]

[eqn: 2 > 1 over a > root 2 ``]이므로 사각형 [eqn: rm ABDE``]의 넓이는

[eqn: rm bar { AB }cdot bar { EA }= it 1 over a LEFT ( 1 over a -a RIGHT ) = LEFT ( 1 over a RIGHT )^2 -1 > ( root 2 )^2 -1=1`` ``]이므로

사각형 [eqn: rm ABDE``]의 넓이는 [eqn: 1``]보다 크다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. 위의 그림에서 두 점 [eqn: left( 1over2 ``,~ 1 right)``], [eqn: (1``,~0)``]을 잇는 직선의 방정식은 [eqn: y=-2x+2``]이고 곡선 [eqn: y= log_{ 1 over 2 }` { x } ``]는 아래로 볼록이므로 점 [eqn: rm P``]는 직선 [eqn: y=-2x+2``]의 아래쪽에 있다.

그런데 두 직선 [eqn: y=-2x+2``]와 [eqn: y=x``]의 교점은 [eqn: LEFT ( 2 over 3 ``, ~2 over 3 RIGHT )``]이므로

[eqn: 1 over 2 < a < 2 over 3``], 즉 [eqn: 3 over 2 < 1 over a < 2``]이다.

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: 9 over4 < LEFT ( 1 over a RIGHT )^2 < 4``]

한편, 사각형 [eqn: rm ABDE``]의 넓이는

[eqn: rm bar { AB }cdot bar { EA }= it 1 over a LEFT ( 1 over a -a RIGHT ) = LEFT ( 1 over a RIGHT )^2 -1 > 9 over 4 -1= 5 over 4 ``]

이므로 사각형 [eqn: rm ABDE``]의 넓이는 [eqn: 1``]보다 크다. (참)

17 [정답] ⑤

ㄱ. 위 그래프에서 [eqn: 1<x`_1 <2``] (참)

ㄴ. [eqn: y= log_{ 1 over 2 }` { x } ``]와 [eqn: y= log_{ 2 }` { x } ``]의 그래프는 [eqn: x``]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: x_2 =x_1 ``], [eqn: y_2 = - y_1``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: x`_1 y`_1 +x_2 y`_2 =x`_1 y`_1 -x`_1 y`_1 =0``](참)

ㄷ. [eqn: y= log_{ 1 over 2 }` { x } ``]와 [eqn: y= LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^x``]의 그래프는 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이므로

[eqn: x_3 =y_2 ``], [eqn: y_3 = x_2 ``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: x`_2 +y`_2 =y`_3 +x`_3 =x`_3 +y`_3``](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

18   [정답] ②

방정식 [eqn: LEFT | log _{2} x RIGHT | `+` LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` = 2``]에서

(ⅰ) [eqn: log_{ 2 }` { x } ge 0 ``]이고 [eqn: log_{ 2 }` {y } ge 0 ``]( [eqn: x ge 1``]이고 [eqn: y ge 1`` ``]) 일 때

[eqn: log _{2} x `+` log _{2} y` ` = 2``], [eqn: log _{2} x y` ` = 2``], [eqn: xy=4``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y= 4 over x``]

(ⅱ) [eqn: log_{ 2 }` { x } ge 0 ``]이고 [eqn: log_{ 2 }` {y } < 0 ``]( [eqn: x ge 1``]이고 [eqn: 0 < y < 1`` ``]) 일 때

[eqn: log _{2} x `-` log _{2} y` ` = 2``], [eqn: log _{2} x over y` ` = 2``], [eqn: x over y =4``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y = 1 over 4 x``]

(ⅲ) [eqn: log_{ 2 }` { x } < 0 ``]이고 [eqn: log_{ 2 }` {y } ge 0 ``]( [eqn: 0 < x <1``]이고 [eqn: y ge 1`` ``]) 일 때

[eqn: - log _{2} x `+` log _{2} y` ` = 2``], [eqn: log _{2} y over x` ` = 2``], [eqn: y over x =4``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y=4x``]

(ⅳ) [eqn: log_{ 2 }` { x } < 0 ``]이고 [eqn: log_{ 2 }` {y } < 0 ``]( [eqn: 0 < x <1``]이고 [eqn: 0 < y < 1`` ``]) 일 때

[eqn: - log _{2} x `-` log _{2} y` ` = 2``], [eqn: log _{2} x y` ` = -2``], [eqn: xy= 1 over 4``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y= 1 over 4x``]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)를 그래프로 그린 후, 부등식

[eqn: LEFT | log _{2} x RIGHT | `+` LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 2``]를 만족하는 영역을 나타내면 그림과 같다.

위의 그림에서 부등식 [eqn: LEFT | log _{2} x RIGHT | `+` LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 2``]를 만족하는 정수 [eqn: x``,~y``]의 순서쌍 [eqn: (x``,~y)``]는 [eqn: ( 1 ``, ~ 1 )``], [eqn: ( 1 ``, ~ 2 )``], [eqn: ( 1 ``, ~ 3 )``], [eqn: ( 1 ``, ~ 4 )``], [eqn: ( 2 ``, ~ 1 )``], [eqn: ( 2 ``, ~ 2 )``], [eqn: ( 3 ``, ~ 1 )``], [eqn: ( 4 ``, ~ 1 )``]의 [eqn: 8``]개다.

[다른 풀이]

[eqn: LEFT | log _{2} x RIGHT | `+` LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 2``]에서

(ⅰ) [eqn: x=1``]일 때, [eqn: LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 2``]

[eqn: -2 le log _{2} y` LEQ 2``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: 1 over 4 le y le 4``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y=1``,~2``,~3``,~4``]

(ⅱ) [eqn: x=2``]일 때, [eqn: LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 1``]

[eqn: -1 le log _{2} y` LEQ 1``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: 1 over 2 le y le 2``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y=1``,~2``]

(ⅲ) [eqn: x=3``]일 때, [eqn: LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 2 - log_2 `3 = log_2 ` {4 over 3} ``]

[eqn: - log_2 ` {4 over 3} le log _{2} y` LEQ log_2 ` {4 over 3} ``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: 3 over 4 le y le 4 over 3``]

[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y=1``]

(ⅳ) [eqn: x=4``]일 때, [eqn: LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 0``]

[eqn: log _{2} y` =0``]	[eqn: THEREFORE ```{ }``][eqn: y=1``]

(ⅴ) [eqn: x > 4``]일 때, [eqn: log_{ 2 }` { x } > log_{ 2 }`4 =2``]이므로

[eqn: LEFT | log _{2} y` RIGHT | ` LEQ 2 - LEFT | log _{2} x` RIGHT | < 0``]이 되어 부등식을 만족하는 [eqn: y``]가 존재하지 않는다.

따라서 주어진 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x``,~y``]의 순서쌍 [eqn: (x``,~y)``]의 개수는 [eqn: 4+2+1+1=8``]이다.