정답 및 해설

1   [정답] ③

[해설]

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b} =6 ^{c} =k``]에서

[eqn: k ^{1overa} =2``]  …… ㉠

[eqn: k ^{{1} over {b}} =3``]  …… ㉡

[eqn: k ^{{1} over {c}} =6``]  …… ㉢

㉢÷㉡에서 [eqn: k ^{1overc`-`1overb} =2``] 이므로 [eqn: k ^{1over5} =2``] [eqn: THEREFORE `k=2 ^{5} =32``]

㉠에 [eqn: k=32``]를 대입하면 [eqn: a=5``]

∴ [eqn: k ^{{a} over {10}} =32 ^{{5} over {10}} =32 ^{{1} over {2}} =4 sqrt {2}``]

2  [정답] ③

[해설]

[eqn: A= root {3} of {LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{2}} = LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{2over3}``]    ,  [eqn: ``][eqn: B= root {4} of {LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{3}} = LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{{3} over {4}}``]

[eqn: C= root {3} of {{b ^{2}} over {a ^{4}}} = root {3} of {LEFT ( {b} over {a ^{2}} RIGHT ) ^{2}} ``= LEFT ( {b} over {a ^{2}} RIGHT ) ^{{2} over {3}}``]

이므로 [eqn: A ^{12} = LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{8} ,`B ^{12} = LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{9} ,```C ^{12} = LEFT ( {b} over {a ^{2}} RIGHT ) ^{8} ``]

이때, [eqn: 1<a<b``]이므로 [eqn: {b} over {a} >1``]이다.

[eqn: {A ^{12}} over {B ^{12}} = {LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{8}} over {LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{9}} = {1} over {{a} over {b}} = {b} over {a} >1`````` THEREFORE A>B``]  …… ㉠

또 [eqn: a ^{3} <b ^{2}``]이므로 [eqn: {a ^{3}} over {b ^{2}} <1``]이다.

[eqn: {A ^{12}} over {C ^{12}} = {LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{8}} over {LEFT ( {b} over {a ^{2}} RIGHT ) ^{5}} = LEFT ( {{a~} over {b}} over {{b} over {a ^{2}}} RIGHT ) ^{8} = LEFT ( {a ^{3}} over {b ^{2}} RIGHT ) ^{8} <1`````` THEREFORE A<C``] …… ㉡

㉠ ㉡에서 [eqn: B<A<C``]

3  [정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}``]에서 [eqn: LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{- {1} over {ab}} = LEFT ( 3 ^{b} RIGHT ) ^{- {1} over {ab}}``]이므로 [eqn: 2 ^{- {1} over {b}} =3 ^{- {1} over {a}}``]이다.  (참)

ㄴ. [eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}``]에서 [eqn: 2=3 ^{{b} over {a}}``]이므로 [eqn: 0< {b} over {a} <1``]

이때, [eqn: a>0``] 이면 [eqn: 0<b<a``]이고 [eqn: 6 ^{b} <6 ^{a}``]이지만

[eqn: a<0``]이면 [eqn: a<b<0``] 이므로 [eqn: 6 ^{a} <6 ^{b}``]이다 (거짓)

ㄷ. [eqn: 0<a<1``] 이므로 [eqn: 0<b<a``]이다.

또, [eqn: 4=3 ^{{2b} over {a}}``]이므로 [eqn: {2b} over {a} >1``````` THEREFORE `a<2b``]

∴ [eqn: b<a<2b```]  (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ,  ㄷ이다.

4  [정답] [eqn: 25``]

[해설]

어떤 방사성 물질이 붕괴되기 시작하여 [eqn: 20``]년 후의 질량이 [eqn: {1} over {2} A``]이므로   [eqn: f(20)=Ap ^{10} = {1} over {2} A``]

∴[eqn: p ^{10} = {1} over {2}``]

[eqn: f(50)=Ap ^{25} =A LEFT ( p ^{10} RIGHT ) ^{5over2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{5} over {2}} A``]

따라서 [eqn: k= {5} over {2}``]이므로 [eqn: 10k=10`times` {5} over {2} =25``]

5  [정답] ③

[eqn: 2^a =3^b = k^ c = t] [eqn: (t>0, t!=1)]라 하면

[eqn: a=log_2 t], [eqn: b=log_3 t] , [eqn: c=log_k t]

[eqn: ab=bc+ca]에서

[eqn: log _{2} t CDOT log _{3} t=log _{3} t CDOT log _{k} t+log _{k} t CDOT log _{2} t]

[eqn: {1} over {log _{t} 2} CDOT {1} over {log _{t} 3} = {1} over {log _{t} 3} CDOT {1} over {log _{t} k} + {1} over {log _{t} k} CDOT {1} over {log _{t} 2}]

[eqn: log_t k][eqn: =(log _{t} 2 CDOT log _{t} 3) LEFT ( {1} over {log _{t} 3} + {1} over {log _{t} 2} RIGHT )]
[eqn: = log_t 2+log_t 3=log_t (2cdot3)]
[eqn: =log_t 6]

[eqn: THEREFORE ````k=6]

[다른 풀이]

[eqn: ab=bc+ca]의 양변을 [eqn: abc]로 나누면

[eqn: {1} over {c} = {1} over {a} + {1} over {b}]

[eqn: 2^a =3^b = k^ c = t] [eqn: (t>0, t!=1)]라 하면

[eqn: a=log_2 t], [eqn: b=log_3 t] , [eqn: c=log_k t]

[eqn: {1} over {log _{k} t} = {1} over {log _{2} t} + {1} over {log _{3} t}]

[eqn: log_t k=log_t 2 + log_t 3=log_t 6]

[eqn: THEREFORE ````k=6]

6  [정답] ②

[eqn: 6^n]이 맨 앞자리의 숫자가 [eqn: 8]인 [eqn: 39]자리의 정수이므로 [eqn: 6^n]의 상용로그의 지표는 [eqn: 38]이고 가수는 [eqn: log 8] 이상 [eqn: log 9] 미만이다.

즉 [eqn: 38+log 8 le log 6^n < 38+log 9]
[eqn: 38+3 log 2 le n(log 2+log 3) < 38+2 log 3]
[eqn: 38+3times0.3010 le n(0.3010+0.4771) < 38+2times0.4771]
[eqn: 38.9030 LEQ 0.7781n<38.9542]
[eqn: THEREFORE ````49.99 TIMES TIMES TIMES LEQ n<50.06 TIMES TIMES TIMES]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 50]이다.

7  [정답] ③

[eqn: log`x ^{2} ``]의 가수와 [eqn: log` { 1} over { x}]의 가수가 같으므로

[eqn: log`x ^{2} ``-log` {1} over {x} =2logx- LEFT ( -logx RIGHT ) =3logx=n]

[eqn: logx= {n} over {3}]	[eqn: therefore````x=10 ^{{n} over {3}}]

그런데 [eqn: logx]의 지표가 [eqn: 5]이므로 [eqn: 5le`logx<6]에서 [eqn: 10 ^{5} LEQ `x<10 ^{6}]

[eqn: 10 ^{5} LEQ `10 ^{{n} over {3}} <10 ^{6}], 즉 [eqn: 5 LEQ {n} over {3} <6]	[eqn: therefore````n=15,````16,````17]

[eqn: THEREFORE ````x=10 ^{5} ,````10 ^{{16} over {3}} ,````10 ^{{17} over {3}}]

따라서 모든 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 10 ^{5} CDOT 10 ^{{16} over {3}} CDOT 10 ^{{17} over {3}} =10 ^{16}]

[eqn: therefore````a=16]

8 [정답] ②

[eqn: log x]의 가수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g LEFT ( { 1} over {x } RIGHT )]은 [eqn: log { 1} over { x}]의 가수이다.

[eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) RIGHT .]에서 [eqn: log x]의 가수와 [eqn: log { 1} over { x}]의 가수가 같으므로

[eqn: log x-log { 1} over { x} =n] ([eqn: n]은 정수)으로 놓을 수 있다.

[eqn: log x + log x =n], [eqn: logx= {n} over {2}]

(ⅰ) [eqn: n=2k] ([eqn: k]는 정수)일 때
[eqn: logx= {2k} over {2} =k]이므로 [eqn: log x]의 가수는 [eqn: 0]이다.

(ⅱ) [eqn: n=2k+1] ([eqn: k]는 정수)일 때
[eqn: logx= {2k+1} over {2} =k+ {1} over {2}]이므로 [eqn: logx]의 가수는 [eqn: {1} over {2}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: g(x)=g LEFT ( {1} over {x} RIGHT )]을 만족시키는 [eqn: log x]의 가수 [eqn: g(x)]

는 [eqn: 0] 또는 [eqn: { 1} over { 2}]이다.

[eqn: ∴ ````A= LEFT { 0, { 1} over {2 } RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는 [eqn: 2]이다.

9  [정답] ③

[eqn: g(a)g(b)!=0]이므로 [eqn: g(a)!=0], [eqn: g(b)!=0]

[eqn: m], [eqn: n]이 정수이고 [eqn: 0<a<1], [eqn: 0<b<1] 일 때

[eqn: log a=m+a], [eqn: log b=n+b]라하자

ㄱ. [eqn: log ab=log a+log b=m+n+a+b]에서
[eqn: g(ab)=0]이므로 [eqn: m+n+a+b]는 정수이다.
[eqn: m], [eqn: n]이 정수이고 [eqn: 0<a+b<2]이므로 [eqn: a+b=1]이다.
이 때 [eqn: g(a)=a], [eqn: g(b)=b]이므로 [eqn: g(a)+g(b)=1]이다. (참)

ㄴ. [eqn: alpha +beta =1]이므로 [eqn: log ab=m+n+1]이다.
(반례) [eqn: m=-1], [eqn: n=-2]이면
[eqn: log ab=(-1)+(-2)+1=-2]이므로 [eqn: ab=10^-2]
이 때 [eqn: ab]는 정수가 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: g(a)=g(b)]에서 [eqn: a=b]이고 [eqn: a+b=1]이므로 [eqn: a= { 1} over { 2}]이다.
[eqn: log a=m+a=m+ { 1} over { 2}]에서
[eqn: log a^2 =2 log a=2m+1]이므로 [eqn: g(a^2 )=0]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

10  [정답] ⑤

[eqn: log 54 = 1+log 5.4]이므로 [eqn: f(54)=1], [eqn: g(54)=log 5.4]

[eqn: f(n) le f(54)]에서 [eqn: f(n) le 1]이고 [eqn: n]은 자연수이므로

[eqn: f(n)=0] 또는 [eqn: f(n)=1]	[eqn: ∴````1 le n<100]

(ⅰ) [eqn: 1 le n<10]일 때
[eqn: 0 le log n <1]에서 [eqn: g(n)=log n]이므로
[eqn: log n le log 5.4]에서 [eqn: 1 le n le5]

(ⅱ) [eqn: 10 le n<100]일 때
[eqn: 1le log n<2]에서 [eqn: g(n)=log n-1]이므로
[eqn: log`n-1 LEQ log5.4]
즉 [eqn: log n le log 54]에서 [eqn: 10 le n le54]

(ⅰ), (ⅱ)에서에서 구하는 자연수 [eqn: n]의 개수는

[eqn: 5+(54-10+1)=50]

11  [정답] ④

(ⅰ) [eqn: 1le x<10]일 때
[eqn: 0le log x <1]이므로 [eqn: f(x)=0]
[eqn: xf(2x)=f(x)+1]에서 [eqn: f(2x)=0+1=1]
[eqn: 1le log2x <2]에서 [eqn: 10le 2x<100], [eqn: 5le x<50]
따라서 [eqn: 5le x<10]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 5]개다.

(ⅱ) [eqn: 10le x<100]일 때
[eqn: 1le logx<2]이므로 [eqn: f(x)=1]
[eqn: xf(2x)=f(x)+1]에서 [eqn: f(2x)=1+1=2]
[eqn: 2le log2x <3]에서 [eqn: 100le 2x<1000], [eqn: 50le x<500]
따라서 [eqn: 50le x<100]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 50]개다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5+50=55]이다.

12  [정답] [eqn: 65]

[eqn: 400=2^4 cdot 5^2]이므로 [eqn: 400]의 양의 약수를 표로 나타내면 다음과 같다.

	[eqn: 2^0]	[eqn: 2^1]	[eqn: 2^2]	[eqn: 2^3]	[eqn: 2^4]
[eqn: 5^0]	[eqn: 5^0 cdot 2^0]	[eqn: 5 ^{0} CDOT 2 ^{1}]	[eqn: 5 ^{0} CDOT 2 ^{2}]	[eqn: 5 ^{0} CDOT 2 ^{3}]	[eqn: 5 ^{0} CDOT 2 ^{4}]
[eqn: 5^1]	[eqn: 5 ^{1} CDOT 2 ^{0}]	[eqn: 5 ^{1} CDOT 2 ^{1}]	[eqn: 5 ^{1} CDOT 2 ^{2}]	[eqn: 5 ^{1} CDOT 2 ^{3}]	[eqn: 5 ^{1} CDOT 2 ^{4}]
[eqn: 5^2]	[eqn: 5 ^{2} CDOT 2 ^{0}]	[eqn: 5 ^{2} CDOT 2 ^{1}]	[eqn: 5 ^{2} CDOT 2 ^{2}]	[eqn: 5 ^{2} CDOT 2 ^{3}]	[eqn: 5 ^{2} CDOT 2 ^{4}]

따라서 모든 양의 약수들의 곱은

[eqn: (5^0 cdot 5^1 cdot5^2)^5 (2^0 cdot 2^1 cdot 2^2 cdot 2^3 cdot 2^4 )^3 =5^15 cdot 2^30]이다.

[eqn: ∴```` log_2 a_1 +log_2 a_2 + log_2 a_3+cdots+log_2 a_15]

[eqn: =log _{2} LEFT ( a _{1} CDOT a _{2} CDOT a _{3} CDOTS CDOTS a _{15} RIGHT )]
[eqn: =log_2 (5^15 cdot 2^30)]
[eqn: =15 log_2 5+30 log_2 2]
[eqn: =30+15log _{2} {10} over {2}]
[eqn: =30+15(log_2 10-log_2 2)]
[eqn: =30+15 LEFT ( {log _{10} 10} over {log _{10} 2} -1 RIGHT )]
[eqn: =30+15 CDOT {1} over {log _{10} 2} -15]
[eqn: =15+ {15} over {0.3}]
[eqn: =15+50=65]

13  [정답] ④

[eqn: f(x)=[log x]]는 [eqn: log x]의 정수부분이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: log x]

의 지표이고 [eqn: g(x)=log x-[log x]]는 [eqn: log x]에서 정수부분을 뺀 소수부분이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: log x]의 가수이다.

ㄱ. [eqn: log a=n+alpha] ([eqn: n]은 정수 [eqn: 0le alpha<1])라 하면
[eqn: g(a)=alpha]이고 [eqn: log {1} over {a} =-loga=-n-alpha]

(ⅰ) [eqn: alpha=0]이면
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =alpha=0]

(ⅱ) [eqn: 0<alpha <1]이면
[eqn: log {1} over {a} =- LEFT ( n+ alpha RIGHT ) =-n- alpha = LEFT ( -n-1 RIGHT ) + LEFT ( 1- alpha RIGHT )]에서
[eqn: g LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =1-alpha]
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( {1} over {a} RIGHT )]이므로 [eqn: alpha =1- alpha]
[eqn: therefore````alpha =g LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {2}] (거짓)

ㄴ. [eqn: 0<g(a)< { 1} over { 3}]이므로
[eqn: log a=n+alpha] ([eqn: n]은 정수 [eqn: 0< alpha< { 1} over { 3}])라 하면
[eqn: f(a)=n]이고,
[eqn: log a^2 = 2 log a=2n+2alpha]에서
[eqn: 0<2a< {2} over {3}]이므로 [eqn: f(a^2 )=2n]
[eqn: ∴```` f(a^2 )=2f(a)] (참)

ㄷ. [eqn: log a=m+a] ([eqn: m]은 정수, [eqn: 0le alpha<1]),
[eqn: log b=n+b] ([eqn: n]은 정수 [eqn: 0le beta <1])라 하면
g(a)+g(b)=1이므로 alpha+beta=1
[eqn: log ab=log a+log b]
[eqn: =m+n+(a+b)]
[eqn: =m+n+1]
[eqn: ∴````ab=10^m+n+1] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

14  [정답] ④

[eqn: log a= 2+g(b)]에서 [eqn: 0le g(b)<1]이므로

[eqn: log a]의 가수는 [eqn: g(b)], 즉 [eqn: log b]의 가수와 같고

[eqn: log b=1+g(a)]에서 [eqn: log b]의 가수가 [eqn: g(a)]이므로

[eqn: g(a)=g(b)]이다.

따라서 [eqn: log a=2+g(a)], [eqn: log b=1+g(a)]이므로

[eqn: log a-log b=2-1=1]

[eqn: log {a} over {b} =1]	[eqn: therefore```` {a} over {b} =10], [eqn: a=10b]

[eqn: ab]가 네자리의 자연수이므로 [eqn: 3le log ab<4]

[eqn: 10^3 le ab<10^4]

[eqn: 10^3 le 10b^2 < 10^4], [eqn: 10 ^{2} LEQ b ^{2} <10 ^{3}]

[eqn: THEREFORE ````10 LEQ b<10 sqrt {10}]

[eqn: 31^2 <10<32^2]에서 [eqn: 31<10 sqrt {10} <32]이므로 [eqn: 10le b le 31]

따라서 [eqn: b]의 최댓값 [eqn: M=31], 최솟값 [eqn: m=10]이므로

[eqn: M+m=31+10=41]

15  [정답] ①

[eqn: h=k`log` {P _{0}} over {P _{k}} ```]에서 [eqn: P_0=1]이므로

[eqn: h=-k logP_h]

[eqn: 100=-k`logP _{100}], [eqn: 3000=-k`logP _{3000}]

[eqn: {3000} over {100} = {logP _{3000}} over {logP _{100}}]

[eqn: therefore````logP _{3000}][eqn: =30logP _{100}]
[eqn: =30log0.9]
[eqn: =30log {9} over {10}]
[eqn: =30 LEFT ( 2log3-1 RIGHT )]
[eqn: =30 LEFT ( 2cdot0.4771-1 RIGHT )]
[eqn: =-2+0.6260]

[eqn: logP _{3000}]의 지표는 [eqn: -2], 가수는 [eqn: 0.6260]이고

[eqn: log4.23=0.6260]이므로 [eqn: P _{3000} =0.0423]

따라서 해수면으로부터 높이가 [eqn: 3000m]인 곳의 기압은 [eqn: 0.0423]이다