정답 및 해설

1  [정답] ②

해설

(i) [eqn: n = 1``]일 때, (좌변)[eqn: = 1 over 2``], (우변)[eqn: = 2 - {1 + 2} over 2 = 1 over 2``]이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ii) [eqn: n = k``]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 over 2 + 2 over4 + 3 over 8 + cdots + k over 2^k = 2 - {k + 2} over 2^k ``]	[eqn: cdots cdots ㉠``]

[eqn: ㉠``]의 양변에 [eqn: {k + 1} over 2^k+1``]을 더하면

[eqn: 1 over 2 + 2 over 4 + 3 over 8 + cdots + k over 2^k + {k + 1} over 2^{k + 1} = 2 - {k +2} over 2^k + {k + 1} over 2^{k + 1}``]

[eqn: = 2 - {2 (k + 2) - (k + 1)} over 2^{k + 1}``]

[eqn: = 2 - {k + 3} over 2^{k + 1}``]

이므로 [eqn: n = k + 1``]일 때도 주어진 등식은 성립한다.

따라서 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

따라서 [eqn: f(k) = {k + 1} over 2^{k + 1},~g(k) = {k + 3} over 2^{k + 1}``]이므로 [eqn: f(2) over g(4) = {3 over 8} over {7 over 32} = 12 over 7``]

2  [정답] 풀이 참조

해설

(i) [eqn: n = 4``]일 때,

(좌변)[eqn: = 2^4 = 16``], (우변)[eqn: = 4^2 = 16``]

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ii) [eqn: n = k``(k ge 4)``]일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 2^k ge k^2``]	[eqn: cdots cdots ㉠``]

[eqn: ㉠``]의 양변에 [eqn: 2``]를 곱하면

[eqn: 2^{k + 1} ge 2k^2``]

이때, [eqn: 2k^2 - (k + 1)^2 = (k - 1)^2 - 2 > 0``]([eqn: ∵~k ge4``])이므로

[eqn: 2^{k + 1} > (k + 1)^2``]

즉, [eqn: n = k + 1``]일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

따라서 (i), (ii)에 의하여 주어진 부등식은 [eqn: n ge 4``]인 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 성립한다.

3  [정답] [eqn: 48``]

해설

(i) [eqn: n = 1``]일 때, (좌변)[eqn: = 1 over 2``], (우변)[eqn: = 1 over 2``]이므로 주어진 등식은 성립한다.

(ii) [eqn: n = k``]일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 over 2^2 cdot 2! + 2 over 2^3 cdot 3! + 3 over 2^4 cdot 4! + cdots + k over 2^{k + 1} cdot (k + 1)! = {(k+ 2)!} over 2^{k + 1} - 1``]

이 식의 양변에 [eqn: {k + 1} over 2^{k + 2} cdot (k + 2)!``]을 더하면

[eqn: 1 over 2^2 cdot 2! + 2 over 2^3 cdot 3! + 3 over 2^4 cdot 4! + cdots + k over 2^{k + 1} cdot (k + 1)!``]

[eqn: + {k + 1} over 2^{k + 2} cdot (k + 2)!``]

[eqn: = {(k + 2)!} over 2^{k + 1} - 1 + {k + 1} over 2^{k + 2} cdot (k + 2)!``]

[eqn: = {2 (k + 2)! + (k+ 1)(k + 2)!} over 2^{k + 2} - 1``]

[eqn: = {(k +3)(k + 2)!} over 2^{k + 2} - 1 = {(k + 3)!} over 2^{k + 2} - 1``]

즉, [eqn: n = k +1``]일 때도 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

따라서 [eqn: f(k) = {k + 1} over 2^{k + 2} cdot (k + 2)! ,~g(k) = (k + 3)!``]이므로

[eqn: g(3) over f(3) = 6! over {4 over 2^5 cdot 5!} = 48``]

<참고> [eqn: n!``]의 정의

[eqn: 1``]에서 [eqn: n``]까지의 모든 자연수의 곱을 [eqn: n``]의 계승이라 하고 기호로 [eqn: n!``]과 같이 나타낸다.

[eqn: n! = n(n - 1)(n -2) cdots 3 cdot 2 cdot 1``]

4 [정답] ⑤

해설

[eqn: n=j``]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{j} a _{k} =(j+2) TIMES j!-2``]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{j+1} a _{k} & =a _{j+1} + sum _{k=1} ^{j} a _{k}# & = BOX{LEFT ( j+2- {1} over {j+1} RIGHT ) TIMES (j+1)!`} ``+(j+2) TIMES j!-2# & = BOX{LEFT ( j+2- {1} over {j+1} RIGHT ) TIMES (j+1)!`} ``+(j+1)!+ BOX{`j!`} ``-2# & =(j+2)!-j!+(j+1)!+j!-2# & = BOX{(j+2)!`} ``+(j+1)!-2# & =(j+3) TIMES (j+1)!-2]

가 성립한다.

따라서 [eqn: f(j)=LEFT ( j+2- {1} over {j+1} RIGHT ) TIMES (j+1)!,``g(j)=j!,]

[eqn: h(j)=(j+2)!``]이므로

[eqn: f(7)= LEFT ( 9- {1} over {8} RIGHT ) TIMES 8!`=9!-7!,``g(8)=8!,``h(5)=7!]

[eqn: THEREFORE `` {f(7)+h(5)} over {g(8)} = {9!-7!+7!} over {8!} =9]

5  [정답] ②

해설

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: S_n+1 = S_n + a_n+1``]이므로

[eqn: nS_n+1 = (n + 2)S_n + (n + 1)^3``]에서

[eqn: n LEFT ( S_n + a_n+1 RIGHT ) = n S_n + 2 S_n + (n + 1)^3``]

∴ [eqn: na_n+1 = 2S_n + (n + 1)^3``]	[eqn: cdots cdots ㉠``]

[eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 ㉠의 식에 [eqn: n``]대신 [eqn: n - 1``]을 대입하면

[eqn: (n - 1)a_n = 2S_n-1 + n^3``]	[eqn: cdots cdots ㉡``]

㉠에서 ㉡을 변끼리 빼면

[eqn: na_{n + 1} - (n - 1)a_n = 2 LEFT ( S_n - S_{n - 1} RIGHT ) + (n + 1)^3 - n^3``]

[eqn: = 2a_n + 3n^2 + 3n + 1``]

∴ [eqn: na_n+1 = (n + 1)a_n + 3n^2 + 3n + 1``]

위 식의 양변을 [eqn: n(n + 1)``]로 나누면

[eqn: a_n+1 over {n + 1} = a_n over n + {3n^2 + 3n + 1} over {n(n + 1)} = a_n over n + 3 + 1 over {n(n+1)}``]

이때, [eqn: b_n = a_n over n``]이라 하면

[eqn: b_n+1 = b_n + 3 + 1over {n(n + 1)}``(n ge 2)``]

∴ [eqn: b_n = b_2 + sum_{k = 2}^n-1 left{3 + 1 over k(k+1) right}``]

[eqn: = b_2 + sum_{k = 2}^n-1 LEFT ( 3 + 1 over k - 1 over {k + 1} RIGHT )``]

[eqn: = b_2 + 3(n - 2) + left{ LEFT ( 1 over 2 - 1 over 3 RIGHT ) + LEFT ( 1 over 3 - 1 over 4 RIGHT ) + cdots + LEFT ( 1 over {n - 1} - 1 over n RIGHT ) right}``]

[eqn: = b_2 + 3(n - 2) + 1 over 2 - 1 over n (n ge 3)``]

즉, [eqn: f(n) = 3n^3 + 3n + 1,~g(n) = 1 over {n(n + 1)}``]

[eqn: h(n) = 3n - 11 over 2 - 1 over n``]이므로

[eqn: {f(3)} over {g(3) h(6)} = 37 over {1 over 12 LEFT ( 18 - 11 over 2 - 1 over 6 RIGHT )} = 37 over {1 over 12 cdot 74 over 6} = 36``]

6  [정답] [eqn: 31``]

해설

[eqn: n,~a,~S``]의 값의 변화를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: n``]	[eqn: a``]	[eqn: S``]
[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 2``]
[eqn: 2``]	[eqn: 2^2``]	[eqn: 2 + 2^2``]
[eqn: 3``]	[eqn: 2^3``]	[eqn: 2 + 2^2 + 2^3``]
[eqn: vdots``]	[eqn: vdots``]	[eqn: vdots``]
[eqn: 30``]	[eqn: 2^30``]	[eqn: 2 + 2^2 + 2^3 + cdots + 2^30``]

따라서 주어진 순서도에 의해 인쇄되는 [eqn: S``]의 값은

[eqn: S = 2 + 2^2 + 2^3 + cdots + 2^30``]

[eqn: = {2 LEFT ( 2^30 - 1 RIGHT )} over {2 - 1} = 2^31 - 2``]

∴ [eqn: log_2 LEFT ( S + 2 RIGHT ) = log_2 2^31 = 31``]

7 [정답] [eqn: 4]

해설

[eqn: A,~r,~S`]의 값의 변화를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: A]	[eqn: r]	[eqn: S]
[eqn: 58]	[eqn: 0]	[eqn: 0]
[eqn: 29]	[eqn: 0]
[eqn: 14]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 7]	[eqn: 0]
[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 3]
[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 4]

따라서 [eqn: A=0`]일 때의 [eqn: S`]의 값은 [eqn: 4`]이다.|

8 [정답] ➃

해설

[eqn: a]	[eqn: n]
[eqn: 2+6]	[eqn: 1]
[eqn: 2+6+10]	[eqn: 2]
[eqn: 2+6+10+14]	[eqn: 3]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

따라서 [eqn: n=10``]일 때

[eqn: a= 2+ sum_{k=1}^{10}{(4k+2)=2+4 cdot {10 cdot11}over 2 + 20 = 242``]

9 [정답] ➂

해설

[eqn: a_n+1 = {2a_n + 2 } over {a_n +3 } ``]에서

[eqn: a_n+1 - 1 = {a_n - 1 }over {a_n + 3}`]	[eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: a_n+1 + 2 = {4(a_n +2 )}over {a_n +3 } `]	[eqn: cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠div㉡``]을 하면 [eqn: {a_n+1 - 1 } over {a_n+1 + 2 } = {a_n -1 } over {4(a_n + 2)`]

따라서 수열 [eqn: left{ {a_n - 1} over {a_n + 2 } right}``]은 첫째항이 [eqn: {a_1 - 1 } over {a_1 +2 } = box{ 1 over 4 }``]이고 공비가 [eqn: box{1 over 4}``]인 등비수열이므로

[eqn: {a_n - 1 } over {a_n +2} = left( 1 over 4 right)^n = 1 over {4^n }`]	[eqn: therefore~a_n = {4^n + 2 } over {4^n - 1 }`]

따라서 [eqn: p = 1 over 4 ,~q= 1 over 4 ,~f(n)= {4^n +2}over {4^n -1}``]이므로

[eqn: therefore~f(8p+4q)=f left( 8 cdot 1 over 4 + 4 cdot 1 over 4 right) = f(3)`]

[eqn: = {4^3 + 2 } over {4^3 -1} = 66 over 63 = 22 over 21]