정답 및 해설

1  [정답] ③

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 공차가 [eqn: 2``]이므로

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =2``]

[eqn: b _{n} =a _{n+1} ` ^{2} -a _{n} ` ^{2} = LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) LEFT ( a _{n+1} +a _{n} RIGHT ) ``]

[eqn: =2 LEFT ( a _{n+1} +a _{n} RIGHT ) ``]

[eqn: b _{n+1} -b _{n} =2 LEFT ( a _{n+2} +a _{n+1} RIGHT ) -2 LEFT ( a _{n+1} +a _{n} RIGHT ) ``]

[eqn: =2 LEFT ( a _{n+2} -a _{n} RIGHT ) =2 TIMES 4=8``]

즉, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 8``]인 등차수열이다.

[eqn: THEREFORE ``b _{10} -b _{7} =3 TIMES 8=24``]

2  [정답] ⑤

[eqn: S _{n} =a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + CDOTS +na _{n} ``]

[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} over {3} ``]

[eqn: S _{n-1} =a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + CDOTS + LEFT ( n-1 RIGHT ) a _{n-1} ``]

[eqn: = {LEFT ( n-1 RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {3} ``]

[eqn: n=1``]일 때, [eqn: 1·a _{1} =S _{1} =2``]	……㉠

[eqn: n GEQ 2``]일 때,

[eqn: na _{n} =S _{n} -S _{n-1} ``]

[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {3} LEFT { LEFT ( n+2 RIGHT ) - LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT } ``]

[eqn: =n LEFT ( n+1 RIGHT ) ``]

[eqn: a _{n} =n+1``]                       ……㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a _{n} =n+1``] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE `a _{1} +a _{2013} =2+2014=2016``]

3  [정답] [eqn: 16``]

수열 [eqn: LEFT { S _{2n-1} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: -3``]인 등차수열이므로

[eqn: S _{2n-1} =S _{1} + LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) =`-3n+3+S _{1} ``]

또, 수열 [eqn: LEFT { S _{2n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 2``]인 등차수열이므로

[eqn: S _{2n} =S _{2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES 2=2n-2+S _{2} ``]

[eqn: THEREFORE ``a _{8} =S _{8} -S _{7} = LEFT ( 6+S _{2} RIGHT ) - LEFT ( -9+S _{1} RIGHT ) ``]

[eqn: =15+S _{2} -S _{1} ``]

[eqn: =15+a _{2} ``]

[eqn: =15+1=16``]

4   [정답] ①

(ⅰ) [eqn: n=1``]일 때, [eqn: a _{1} =S _{1} =k+1``]

(ⅱ) [eqn: n GEQ 2``]일 때,

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} ``]

[eqn: = LEFT ( n ^{2} +kn RIGHT ) - LEFT { LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} +k LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT } ``]

[eqn: =2n+k-1``]        ……㉠

㉠에 [eqn: n=1``]을 대입하면 [eqn: a _{1} =k+1``]이므로

[eqn: a _{n} =2n+k-1``] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) ``]

[eqn: a _{2} =1``]이므로

[eqn: a _{2} =4+k-1=3+k=1``]	[eqn: THEREFORE ``k=`-2``]

[eqn: THEREFORE ``a _{n} =2n-3``]

[eqn: THEREFORE ``a _{1} +a _{20} =`-1+37=36``]

5  [정답] [eqn: 34``]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a,``] 공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: b _{1} +b _{3} +b _{5} +b _{7} +b _{9} ``]

[eqn: =log _{2} `a+log _{2} `ar ^{2} +log _{2} `ar ^{4} +log _{2} `ar ^{6} +log _{2} `ar ^{8} ``]

[eqn: =log _{2} `a ^{5} r ^{20} =5`log _{2} `ar ^{4} =20``]

[eqn: THEREFORE ``ar ^{4} =2 ^{4} ``]	……㉠

[eqn: b _{2} +b _{4} +b _{6} +b _{8} +b _{10} ``]

[eqn: =log _{2} `ar+log _{2} `ar ^{3} +log _{2} `ar ^{5} +log _{2} `ar ^{7} +log _{2} `ar ^{9} ``]

[eqn: =log _{2} `a ^{5} r ^{25} =5`log _{2} `ar ^{5} =30``]

[eqn: THEREFORE ``ar ^{5} =2 ^{6} ``]	……㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r=4,``] [eqn: a= {1} over {16} ``]이므로 [eqn: a _{n} =2 ^{2n-6} ``]

[eqn: THEREFORE ``b _{20} =log _{2} `a _{20} =log _{2} `2 ^{34} =34``]

6 [정답] [eqn: 42``]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a,``] 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{7} =2a _{4} ,``] [eqn: a _{2} +a _{8} =2a _{5} ``]이므로

[eqn: a _{1} +a _{4} +a _{7} =3a _{4} =15``]

[eqn: THEREFORE ``a _{4} =a+3d=5``]	……㉠

[eqn: a _{2} +a _{5} +a _{8} =3a _{5} =9``]

[eqn: THEREFORE ``a _{5} =a+4d=3``]	……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=11,~d=`-2``]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항이 [eqn: 11,``] 공차가 [eqn: -2``]이므로

[eqn: a _{n} =11+ LEFT ( n-1 RIGHT ) · LEFT ( -2 RIGHT ) =`-2n+13``]

등차수열의 합 [eqn: S _{n} ``]은 [eqn: a _{n} >0``]인 모든 항을 더할 때 최대가 되므로

[eqn: -2n+13>0``]에서 [eqn: n< {13} over {2} =6.5,``] 즉 제 [eqn: 6``]항까지의 합이 최대가 된다.

[eqn: THEREFORE ``M=S _{6} = {6 TIMES LEFT ( 11+1 RIGHT )} over {2} =36``]

[eqn: THEREFORE ``M+k=36+6=42``]

7   [정답] ③

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a``]라 하면 [eqn: a _{n} =ar ^{n-1} ``]

ㄱ. [eqn: log``a _{2n-1} =log``ar ^{2n-2} =log``a+2 LEFT ( n-1 RIGHT ) ``log``r``]

이므로 수열 [eqn: LEFT { log``a _{2n-1} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 2`log``r``]인 등차수열이다.(참)

ㄴ. [eqn: {a _{2n-1}} over {a _{2n+1}} = {ar ^{2n-2}} over {ar ^{2n}} = {1} over {r ^{2}} =``](일정)이므로 수열 [eqn: LEFT { {a _{2n-1}} over {a _{2n+1}} RIGHT } ``]은

공차가 [eqn: 0``]인 등차수열 또는 공비가 [eqn: 1``]인 등비수열이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: S _{2n} =a+ar+ar ^{2} + CDOTS +ar ^{2n-2} +ar ^{2n-1} ``]

[eqn: S _{2n-1} =a+ar+ar ^{2} + CDOTS +ar ^{2n-2} ``]

이므로 두 식을 변끼리 빼면

[eqn: S _{2n} -S _{2n-1} =ar ^{2n-1} =ar LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{n-1} ``]

즉, 수열 [eqn: LEFT { S _{2n} -S _{2n-1} RIGHT } ``]은 공비가 [eqn: r ^{2} ``]인 등비수열이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

8   [정답] ⑤

[해설]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} (2k+1)=2 BULLET {n(n+1)} over {2} +n=n ^{2} +2n``]

이때, [eqn: S _{2n} =(2n) ^{2} +2(2n)=4n ^{2} +4n``]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{10} S _{2k} = sum _{k=1} ^{10} (4k ^{2} +4k)``]

[eqn: =4 BULLET {10 BULLET 11 BULLET 21} over {6} +4 BULLET {10 BULLET 11} over {2}``]

[eqn: =1760``]

9  [정답] [eqn: 15``]

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} a _{k+1} =a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} -a _{1}``]

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k-1} =a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n-1} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} -a _{n}``]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{n-1} a _{k+1} - sum _{k=2} ^{n} a _{k-1} = LEFT ( sum _{k=1} ^{n} a _{k} -a _{1} RIGHT ) - LEFT ( sum _{k=1} ^{n} a _{k} -a _{n} RIGHT )``]

[eqn: =a _{n} -a _{1} =12``]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =a _{1} +12=3+12=15``]

10  [정답] [eqn: 21``]

[해설]

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k}``]

[eqn: =log {(n-1)(n-2)} over {2} -log {n(n+1)} over {2}``]

[eqn: =log {n+2} over {n} (n GEQ 2)``]

[eqn: n=1``]일 때, [eqn: a _{1} = sum _{k=1} ^{1} a _{k} =log3``]이므로

[eqn: a _{n} =log {n+2} over {n} (n GEQ 1)``]

[eqn: THEREFORE `p= sum _{k=1} ^{20} a _{2k} = sum _{k=1} ^{20} log {2k+2} over {2k}``]

[eqn: = sum _{k=1} ^{20} log {k+1} over {k}``]

[eqn: =log {2} over {1} +log {3} over {2} +log {4} over {3} + CDOTS +log {21} over {20}``]

[eqn: =log LEFT ( {2} over {1} TIMES {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES CDOTS TIMES {21} over {20} RIGHT )``]

[eqn: =log21~``]

[eqn: THEREFORE 10 ^{p} =10 ^{log21} =21``]

11   [정답] [eqn: 805``]

[해설]

이차 방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =3,````` alpha ` beta =-5``]이므로

[eqn: LEFT ( alpha-1 RIGHT ) LEFT ( beta-1 RIGHT ) + LEFT ( alpha-2 RIGHT ) LEFT ( beta-2 RIGHT ) +cdots+ LEFT ( alpha-15 RIGHT ) LEFT ( beta-15 RIGHT )``]

[eqn: = sum _{k=1} ^{15} LEFT ( a-k RIGHT ) LEFT ( b-k RIGHT ) = sum _{k=1} ^{15} LEFT { k ^{2} - LEFT ( alpha + beta RIGHT ) k- alpha ` beta RIGHT }``]

[eqn: = sum _{k=1} ^{15} k ^{2} -3 sum _{k=1} ^{15} k- sum _{k=1} ^{15} 5``]

[eqn: = {15 BULLET 16 BULLET 31} over {6} -3 TIMES {15 BULLET 16} over {2} -5 BULLET 15``]

[eqn: =1240-360-75=805``]

12  [정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: x ^{3} -1=0``]의 한 허근을 [eqn: w``]라 하면

[eqn: w ^{3} =1,~w ^{2} +w+1=0``]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {w ^{2} +1} over {w} = {-w} over {w} =-1``]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {w ^{4} +1} over {w ^{2}} = {w+1} over {w ^{2}} = {-w ^{2}} over {w ^{2}} =-1``]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = {w ^{6} +1} over {w ^{3}} = {1+1} over {1} =2``]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = {w ^{8} +1} over {w ^{4}} = {w ^{2} +1} over {w} = {-w} over {w} =-1=f LEFT ( 1 RIGHT )``]

[eqn: VDOTS ``]

즉, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n+3 RIGHT ) =f LEFT ( n RIGHT )``]이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =0``]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{2012} f LEFT ( k RIGHT ) =670 LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT } + LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT }``]

[eqn: =0+ LEFT ( -1-1 RIGHT ) =-2``]

참고

방정식 [eqn: x ^{3} =1``]의 허근의 성질

방정식 [eqn: x ^{3} =1``]의 한 허근을 [eqn: w``]라 하고, [eqn: w``]의 켤레복소수를 [eqn: bar{w}``]라

하면

(1) [eqn: w ^{3} =1,~w ^{2} +w+1=0,~ LEFT ( bar{w} RIGHT ) ^{3} =1,~ LEFT ( bar{w} RIGHT ) ^{2} + bar{w} +1=0``]

(2) [eqn: w+ bar{w} =-1,~w bar{w} =1``]

(3) [eqn: w ^{2} = {1} over {w} = bar{w} ,~ LEFT ( bar{w} RIGHT ) ^{2} = {1} over {bar{w}} =w``]

13  [정답] ③

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k+1 RIGHT ) = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} +n= {n LEFT ( n+3 RIGHT )} over {2}``]

(ⅰ)[eqn: n``]이 홀수일 때, [eqn: {n+3} over {2}``]이 자연수 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k+1 RIGHT ) =n BULLET {n+3} over {2} +0``]

[eqn: therefore`a _{n} = {n+3} over {2} ,``b _{n} =0``]

(ⅱ)[eqn: n``]이 짝수일 때, [eqn: {n} over {2}``]이 자연수 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k+1 RIGHT ) =n LEFT ( {n+2} over {2} + {1} over {2} RIGHT ) =n LEFT ( {n} over {2} +1 RIGHT ) + {n} over {2}``]

[eqn: therefore`a _{n} = {n} over {2} +1,``b _{n} = {n} over {2}``]

[eqn: therefore`a _{50} + sum _{k=1} ^{50} b _{k} = LEFT ( {50} over {2} +1 RIGHT ) + LEFT ( sum _{k=1} ^{25} b _{2k-1} + sum _{k=1} ^{25} b _{2k} RIGHT )``]

[eqn: =26+ LEFT ( 0+ sum _{k=1} ^{25} b _{2k} RIGHT )``]

[eqn: =26+ sum _{k=1} ^{25} k`````````` LEFT ( BECAUSE b _{2k} = {2k} over {2} =k RIGHT )``]

[eqn: =26+ {25 BULLET 26} over {2} =351``]

14   [정답] [eqn: 560``]

[해설]

제[eqn: 1``]행부터 각 행의 왼쪽에서 [eqn: 2``]번째 수의 지수를 나열한 수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이라 하면

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } :`0,``1,``3,``6,``10,`` CDOTS ``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 계차수열을 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }``]이라 하면

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } :`1,``2,``3,``4,`` CDOTS ``]

즉, [eqn: b _{n} =n``] 이므로

[eqn: a _{n} =0+ sum _{k=1} ^{n-1} k= {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2} `````` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )``]

제[eqn: 15``]행의 왼쪽에서 [eqn: 2``]번째 수의 지수는

[eqn: a _{15} = {15 BULLET 14} over {2} =105``]

[eqn: therefore`a=3 ^{105}``]

제[eqn: 2``]행부터 각 행의 왼쪽에서 [eqn: 3``]번째 수의 지수를 나열한 수열을 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }``]이라 하면

[eqn: LEFT { c _{n} RIGHT } :`0,``1,`4,``10,``20,`` CDOTS ``]

수열 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }``]의 계차수열을 [eqn: LEFT { d _{n} RIGHT }``]이라 하면

[eqn: LEFT { d _{n} RIGHT } :1,``3,``6,``10,`` CDOTS ``]

즉, [eqn: d _{n} =a _{n+1} = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}``] 이므로

[eqn: c _{n} =0+ sum _{k=1} ^{n-1} {k LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2} ```` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )``]

제 [eqn: 15``]행의 왼쪽에서 [eqn: 3``]번째수의 지수는

[eqn: c _{14} = sum _{k=1} ^{13} {k LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2}``][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {13 BULLET 14 BULLET 27} over {6} + {13 BULLET 14} over {2} RIGHT ) =455``]

[eqn: therefore`b=3 ^{455}``]

[eqn: therefore`log` _{3} ``ab=log` _{3} ``3 ^{105+455} =log` _{3} ``3 ^{560} =560``]

15   [정답] [eqn: 191``]

해설

[eqn: a_{n + 2} over a_{n + 1} = root {a_n+1 over a_n}``]의 양변에 밑이 [eqn: 5``]인 로그를 취하면

[eqn: log_5 a_{n + 2} - log_5 a_{n + 1} = 1 over 2 LEFT ( log_5 a_{n + 1} - log_5 a_n RIGHT )``]

[eqn: log_5 a_{n + 1} - log_5 a_n = b_n``]으로 놓으면

[eqn: b_1 = log_5 a_2 - log_5 a_1 = log_5 5 - log_5 1 = 1``]

[eqn: b_{n + 1} = 1 over2 b_n``]이므로

[eqn: b_n = 1 cdot LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^{n - 1}``]

수열 [eqn: left{b_n right}``]은 수열 [eqn: left{log_5 a_n right}``]의 계차수열이므로

[eqn: log_5 a_n = log_5 a_1 + sum_{k = 1}^n-1 b_k``]

[eqn: = log_5 1 + sum_{k=1}^n-1 LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^k-1``]

[eqn: = {1 - LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n-1} over {1 - 1 over 2} = 2 LEFT ( 1 - 1 over 2^{n-1} RIGHT )``]

∴ [eqn: log_5 a_8 = 2 LEFT (1 - 1 over 2^7 RIGHT ) = {2^7 - 1} over 2^6 = 127 over 64``]

∴ [eqn: p + q = 64 + 127 = 191``]

16  [정답] ⑤

해설

[eqn: 25%``]의 설탕물이 들어 있는 그릇에 [eqn: 10%``]의 설탕물 [eqn: rm 100g``]을 넣었을 때 설탕의 양은

[eqn: 200 times 25 over 100 + 100 times 10 over 100 = 60 rm (g)``]

[eqn: rm 300g``]의 설탕물에서 [eqn: rm 150g``]을 덜어낸 후 설탕의 양은 [eqn: 60 over 2 = 30 rm (g)``]이므로 물 [eqn: rm 50g``]을 채운 설탕물의 농도는

[eqn: a_1 = 30 over 200 times 100 = 15(%)``]

[eqn: a_n %``]의 설탕물 [eqn: rm 200g``]이 들어 있는 그릇에 [eqn: 10%``]의 설탕물 [eqn: rm 100g``]을 넣었을 때 설탕의 양은

[eqn: 200 times a_n over 100 + 100 times 10 over 100 = 2a_n + 10 (rm g)```]

[eqn: rm 300g``]의 설탕물에서 [eqn: rm 150g``]을 덜어낸 후 설탕의 양은 [eqn: LEFT ( a_n + 5 RIGHT )rm g``]이므로 물 [eqn: rm 50g``]을 채운 설탕물의 농도는

[eqn: a_{n + 1} = {a_n + 5} over 200 times 100 = 1 over 2 a_n + 5 over 2 (%)``]

[eqn: a_{n + 1} = 1 over 2 a_n + 5 over 2``]에서 [eqn: a_{n + 1} - 5 = 1 over 2 LEFT ( a_n -5 RIGHT )``]이므로 수열 [eqn: left{a_n - 5 right}``]는 첫째항이 [eqn: a_1 - 5 = 15 - 5 = 10,``] 공비가 [eqn: 1 over 2``]인 등비수열이다.

[eqn: a_n - 5 = 10 cdot LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n-1``]  ∴ [eqn: a_n = 10 cdot LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n-1 + 5``]

[eqn: a_n < 6``]에서 [eqn: 10 cdot LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n-1 + 5 < 6,~ LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n-1 < 1 over 10 ,~2^n-1 > 10``]

[eqn: 2^3 = 8,~2^4 = 16``]이므로 자연수 [eqn: n``]의 최솟값은 [eqn: 5``]이다.

17  [정답] [eqn: 42``]

해설

[eqn: a_{n + 2} - a_{n + 1} = 1 over {a_{n + 1} - a_n} = 1 over {1 over {a_n - a_{n - 1}}} = a_n - a_{n -1}``(n ge 2)``]

[eqn: a_2 - a_1 = 4 -2 = 2``]

[eqn: a_3 - a_2 = 1 over {a_2 - a_1} = 1 over 2``]

[eqn: a_4 - a_3 = 2``]

[eqn: a_5 - a_4 = 1 over 2``]

[eqn: vdots``]

[eqn: a_32 - a_31 = 2``]

[eqn: a_33 - a_32 = 1 over 2``]

위 식의 양변을 변끼리 더하면

[eqn: a_33 - a_1 = 16times 2 + 16 times 1 over 2``]

∴ [eqn: a_33 = a_1 + 32 + 8 = 2 + 40 = 42``]

[다른 풀이]

[eqn: a_{n + 2} - a_{n + 1} = 1 over {a_{n + 1} - a_n} = 1 over {1 over {a_n - a_{n - 1}}} ``]

[eqn: = a_n - a_{n - 1}``(n ge2)``]

[eqn: a_2 - a_1 = 4 -2 = 2``]이므로

[eqn: a_3 - a_2 = 1 over {a_2 - a_1} = 1 over 2 ,~a_4 - a_3 = 2,~a_5 - a_4 = 1 over 2,~cdots``]

∴ [eqn: a_3 - a_1 = a_5 - a_3 = a_7 - a_5 = cdots = 5 over 2``]

이때, [eqn: b_n = a_{2n - 1}``(n = 1,~2,~3,~cdots)``]로 놓으면

[eqn: b_1 = a_1 = 2,~b_{n + 1} - b_n = a_{2n + 1} - a_{2n - 1} = 5 over 2``]

따라서 수열 [eqn: left{b_n right}``]은 첫째항이 [eqn: 2,``] 공차가 [eqn: 5 over 2``]인 등차수열이므로

[eqn: b_n = 2 + (n - 1) cdot 5 over 2 = 5 over 2 n - 1 over 2``]

∴ [eqn: a_33 = b_17 = 5 over 2 times 17 - 1 over 2 = 42``]

18   [정답] ⑤

해설

[eqn: a_1 = 3``]

[eqn: a_2 = 2a_1 = 2 cdot 3``]

[eqn: a_3 = 3a_2 = 3 cdot 2 cdot 3``]

[eqn: a_4 = 4a_3 = 4 cdot 3 cdot 2 cdot 3``]

[eqn: vdots``]

[eqn: a_n = n a_{n - 1} = n (n - 1) (n - 2) cdots 3 cdot 2 cdot 3``]

그런데 [eqn: a_5 = 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 3 = 360``]은 [eqn: 10``]의 배수이므로

[eqn: a_6 ,~a_7 ,~cdots ,~a_2013``]은 모두 [eqn: 10``]의 배수이다.

따라서 [eqn: sum_{k = 1}^2013 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_2013``]의 일의 자리의 숫자는

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 3 + 6 + 18 + 72 = 99``]에서 [eqn: 9``]이다.

19  [정답] ③

해설

ㄱ. (다)에서 [eqn: k = 0``]이면 [eqn: a_{n + 8} = a_n``]이므로

[eqn: a_21 = a_13 = a_5``]이고,

(나)에 의하여 [eqn: a_3 = a_1 +5 = 1 + 5= 6``]

[eqn: a_5 = a_3 + 5 = 6 + 5 = 11``]

∴ [eqn: a_21 = 11``](참)

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_2n right}``]을 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 2,~7,~12,~17,~2 + k,~7 + k,~12 + k,~17 + k,~2 +2k,``] [eqn: 7 + 2k,~cdots``]

따라서 [eqn: 2 + k = 22,``] 즉, [eqn: k = 20``]이면 수열 [eqn: left{a_2n right}``]이 등차수열이 된다.

(거짓)

ㄷ. [eqn: k = 0``]이면

[eqn: S_8 = a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_8``]

[eqn: S_16 = S_8 + LEFT ( a_9 + a_10 + a_11 + cdots + a_16 RIGHT )``]

[eqn: = S_8 + left{LEFT ( a_1 + k RIGHT ) + LEFT ( a_2 + k RIGHT ) + cdots + LEFT ( a_8 + k RIGHT ) right}``]

[eqn: = S_8 + LEFT ( a_1 + a_2 + cdots + a_8 RIGHT ) = 2S_8``]

[eqn: S_24 = S_16 + LEFT ( a_17 + a_18 + cdots + a_24 RIGHT )``]

[eqn: = S_16 + left{ LEFT ( a_1 + 2k RIGHT ) + LEFT ( a_2 + 2k RIGHT ) + cdots + LEFT ( a_8 + 2k RIGHT ) right}``]

[eqn: = S_16 + LEFT ( a_1 + a_2 + cdots + a_8 RIGHT ) = 3S_8``]

이때, [eqn: 2 S_16 = S_8 + S_24``]이므로 세 수 [eqn: S_8 ,~S_16 ,~S_24``]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

20  [정답] [eqn: 98``]

해설

그림과 같이 점을 나열하면

[eqn: rm P_2 (1,~1),~P_6 (2,~4),~P_12 (3,~9),``]

[eqn: rm P_20 (4,~16),~cdots``]이므로

점 [eqn: rm P_{it n}``]의 좌표가 [eqn: (a,~b)``]이면

[eqn: n = a + b``]이고, [eqn: LEFT ( k,~k^2 RIGHT )``]이면

[eqn: n = k + k^2``]이다.

[eqn: 10 + 10^2 = 110``]이므로

[eqn: rm P_110 LEFT ( 10,~10^2 RIGHT )``]이고

[eqn: 11 + 11^2 = 132``]이므로

[eqn: rm P_132 (11,~11^2 )``]이다.

따라서 점 [eqn: rm P_120``]의 좌표는 [eqn: rm P_120 LEFT ( 11,~109 RIGHT )``]이다.

즉, [eqn: beta = 109,~alpha = 11``]이므로

[eqn: beta - alpha = 109 - 11 = 98``]