<2013학년도> [이과 주말과제]	미분법 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수

1  함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +k``]에서 극대, 극소인 점의 좌표를 각각 [eqn: (a,~b),~(c,~d)``]라 할 때, [eqn: (c-a)(b-d)``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k``]는 상수이다.)

2 삼차함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)=f(2)=f(3)]이고 [eqn: x=alpha]와

[eqn: x=beta]에서 극값을 가질 때, [eqn: alpha^2 +beta^2]의 값은?

① [eqn: 25over3]	② [eqn: 26over3]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 28over3]	⑤ [eqn: 29over3]

3 함수 [eqn: f(x)=(x ^{3} +x ^{2} +1)(2x ^{2} -3x-4)``]에 대하여 [eqn: f` prime (-1)``]의 값은?

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

4 곡선 [eqn: y=cos`x`left(- piover2 <x< piover2 right)]에 접하고 기울기가 [eqn: - sqrt3 over2]인 접선의 방정식은 [eqn: sqrt3 x+2y=a]이다. 이때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1+ piover3]	② [eqn: 1+ sqrt3 over3 pi]	③ [eqn: sqrt3 + piover3]

④ [eqn: sqrt3 + sqrt3 over3 pi]	⑤ [eqn: 2+ piover3]

5  다항함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: f(1)=1,~f`'(1)=2``]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{sqrt {f(x)} -1} over {x-1} ``}]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

6 곡선 [eqn: y=tan`x`left(0<x< piover2 right)]에 접하고 직선 [eqn: x+2y+3=0]에 수직인 직선의 방정식은 [eqn: y=ax+b]이다. 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-2b]의 값은?

① [eqn: -2pi]	② [eqn: -pi]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: 2pi]

7  수직선 위에 두 점 [eqn: rm P,~Q````]가 있다. [eqn: t(t>0)``]초 후의 두 점의 위치가 각각 [eqn: rm P it LEFT ( {1} over {2} t ^{2} -4t RIGHT ) ,~ rm Q it LEFT ( {3} over {2} t ^{2} -60t RIGHT ) ``]라 할 때, 두 점 [eqn: rm P,~Q````]가 서로 반대방향으로 움직이는 시간은 총 몇 초인가?

①  [eqn: 12]초	②  [eqn: 14]초	③  [eqn: 16]초

④  [eqn: 18]초	⑤  [eqn: 20]초

8 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x+2]가 [eqn: x=`-1,~x=2,] [eqn: x=5]에서 그림과 같이 만나고 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,~f(2))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

9 함수 [eqn: y=sin`x`cos^2 `x]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, 두 실수 [eqn: M,~m]에 대하여 [eqn: M``^2 +m^2]의 값은?

① [eqn: 8over27]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 7over9]

④ [eqn: 8over9]	⑤ [eqn: 1]

10 두 함수 [eqn: f(x)=2x+1,~g(x)=`- {1} over {x+3} ``]에 대하여 함수

[eqn: h(x)=(f CIRC g)(x)``]이다. 함수 [eqn: h(x)``]에 대하여 [eqn: x``]의 값이 [eqn: -2``]에서 [eqn: 2``]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: {q} over {p} ``]일 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2} ``]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: p,~q``]는 서로소인 자연수이다.)

11  미분가능한 삼차함수 [eqn: y = f(x) ``]의 그래프가 그림과 같다. 함수 [eqn: g(x) = x^2 ` f(x-1) ``]이라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(1) ` g`'(1) > 0]

ㄴ. [eqn: f`'(0) `g(1) < 0]

ㄷ. [eqn: { g(2)} over { 2} > g`'(2)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12 다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: f` prime (1)=3``]이고 함수 [eqn: g(x)``]에 대하여

[eqn: g(x)= LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} ,~g` prime (1)=8``]을 만족시킬 때, [eqn: f(1)``]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 4over3]	③ [eqn: 5over3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 7over3]

13  세 실수 [eqn: a,~b,~c``]에 대하여 사차함수 [eqn: f(x)``]의 도함수 [eqn: f`'(x)``]가

[eqn: f`'(x)=(x-a)(x-b)(x-c)]

일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a=b=c``]이면 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 실근을 가진다.

ㄴ. [eqn: a=b<c``]이고 [eqn: f(a)<0``]이면, 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: a<b<c``]이고 [eqn: f(b)<0``]이면, 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ. ㄷ

[2008. 6. 평가원]

14 다항함수 [eqn: f(x),~g(x)``]가

[eqn: lim _{x -> 2} {} `` {f(x)-1} over {x-2} =2,~ lim _{x -> 2} {} `` {g(x)-3} over {x-2} =`-1``]

을 만족시킬 때, 함수 [eqn: y=f(x)g(x)``]의 [eqn: x=2``]에서의 미분계수는?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

15  함수 [eqn: f(x) = x ln (ax +b ) ``]에 대하여 [eqn: f`'(0) = 2 ``], [eqn: f``''(0) = 4 ``]일 때, [eqn: a+b ``]의 값은? (단, [eqn: a,``b ``]는 상수이다)

① [eqn: 2e]	② [eqn: 6]	③ [eqn: e^2]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 3e^2]

16  함수 [eqn: x= sqrt {y ^{3} +1} ``(y>-1)]에 대하여 [eqn: y=2`]에서의 [eqn: {dy} over {dx} `]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

17  매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x=e^2t sin 3t], [eqn: y=e^2t cos 3t]
에 대하여 [eqn: t={pi}over{2}]에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: -2]	② [eqn: -{3}over{2}]	③ [eqn: -{1}over{2}]

④ [eqn: {1}over{2}]	⑤ [eqn: {3}over2}]

18  [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: e ^{x} -x-10+n=0``]이 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 자연수 [eqn: n``]의 개수는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

19 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=(1+cos`x) ^{2}]의 변곡점의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 할 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab`]의 값은?(단, [eqn: LEFT ( 단,~0<a< {pi } over {2} RIGHT )]

① [eqn: {pi } over {4}]	② [eqn: {pi } over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

20  좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P` it (x,~y)``]의 시각 [eqn: t``]에서의 위치가 [eqn: x=12t,~y=6t-3t ^{2} (t>0)``]이다. 속력이 [eqn: 6 sqrt {20} ``]일 때의 시각 [eqn: t``]를 구하시오.

21  함수 [eqn: f(x) = sum _{ n=1} ^{ inf} `` { 3x+ 1 } over { left( x^2 + 1 right)^n}``]일 때, [eqn: f`'(1) ``]의 값은?
(단, [eqn: x ``]는 양의 실수이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -6]

22  모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f( x^2 - 1) - f( x^2 -x ) = 2x^3 -3x^2 + 2x -1 ``]
을 만족시킬 때, [eqn: f'(2)]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

23 점 [eqn: (2,~2)]를 지나고 곡선 [eqn: y= x over x+1]에 접하는 직선은 [eqn: 2]개 있다. 두 접선의 기울기를 각각 [eqn: m_1 ,~m_2]라 할 때, [eqn: m_1 +m_2]의 값은?

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 7over9]	③ [eqn: 8over9]

④ [eqn: 10over9]	⑤ [eqn: 11over9]

24 함수 [eqn: f(x)=x^2 -ax+b`ln`x`(x>0)]가 [eqn: x=1,~x=3]에서 극값을 가질 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

25  함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 4} {{f( sqrt {x} )-16} over {x-4} =3``}]이 성립할 때, [eqn: f(2)+f`'(2)``]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

26  [eqn: f(x)=ln (2+cosx)]에 대하여 [eqn: lim_{x->{pi}over{2}}{{f left(x- piover6 right)-f left(x- 5over6 pi right)}over{x- pi over2}}]의 값은?

① [eqn: -{4sqrt3}over5]	② [eqn: -{2sqrt3}over{5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {2sqrt3}over5]	⑤ [eqn: 4sqrt3}over{5}]

27  함수 [eqn: f(x) = (x^2 +1)^x]에 대하여 [eqn: f`'(1)``]의 값은?

① [eqn: ln 2 +1]	② [eqn: 2 ln 2 +1]	③ [eqn: ln 2 +2]
④ [eqn: 2 ln 2 +2]	⑤ [eqn: 2 ln 2 +4]

28 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+1``]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {} `` {f(x)} over {x-1} =3``]일 때, [eqn: ab``]의 값은? (단, [eqn: a,~b``]는 상수이다.)

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

29  함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -e ^{2} x+e ^{2} ```(0 LEQ x LEQ 3)``]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m``]이라 할 때, [eqn: M+m``]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: e]	③ [eqn: e ^{2}]

④ [eqn: 1+e ^{2}]	⑤ [eqn: 1+2e ^{2}]

30  [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} ``]인 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 부등식 [eqn: ax LEQ sinx LEQ bx``]가 성립하도록 실수 [eqn: a,~b``]의 값을 정할 때, [eqn: b-a``]의 최솟값은?

① [eqn: 1- {1} over {pi }]	② [eqn: 1- {2} over {pi }]	③ [eqn: 2- {1} over {pi }]

④ [eqn: 2- {2} over {pi }]	⑤ [eqn: 1+ {2} over {pi }]

31  곡선 [eqn: x^2 - 3y^2 = 1 ``] 위의 점 [eqn: ( 2,~1)] 에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 3 over 4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 2]

32 함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx+c]는 [eqn: x=alpha,~x=beta]에서 극값을 가진다고 한다. [eqn: f(alpha)=f(0)]이 성립할 때, [eqn: beta]의 값을 [eqn: alpha]로 옳게 나타낸 것은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이고 [eqn: alpha !=0]이다.)

① [eqn: beta = {alpha -2} over {3}]	② [eqn: beta = {alpha -1} over {3}]	③ [eqn: beta = {alpha } over {3}]

④ [eqn: beta = {alpha +1} over {3}]	⑤ [eqn: beta = {alpha +2} over {3}]

33  수직선 위를 움직이는 점의 위치 [eqn: x``]와 시각 [eqn: t``]사이의 관계가 [eqn: x=p`sin {pi } over {3} t+q`cos {pi } over {3} t``]로 주어져 있다. 사각 [eqn: t=3``]에서의 속도가 [eqn: -2 pi ``], 가속도가 [eqn: {5} over {9} pi ^{2} ``]일 때, 두 실수 [eqn: p,~q``]에 대하여 의 [eqn: p+q``]값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

34 점 [eqn: (0,``-1)]에서 곡선 [eqn: y=ln`x+x]에 그은 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

35 좌표평면에서 그림과 같이 곡선 [eqn: y=-ln`x] 위의 점 [eqn: rmP`it(t,``-ln`t)]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmP`it(t,``-ln`t)]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 사각형[eqn: rmOAPB]의 넓이의 최댓값은?(단, 점 [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: 0<t<1]이다.)

① [eqn: e]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: {e} over {3}]

④ [eqn: {1} over {e}]	⑤ [eqn: {2} over {3e}]

36 [eqn: {pi } over {4} <x< {3} over {4} pi]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=ln`(sin`x+cos`x)]

에 대하여 [eqn: lim _{x-> {pi } over {2}} {{f`'(x)+1} over {f(x)}}]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: e]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 6]

37 함수 [eqn: f(x)=ax ^{3} +bx ^{2} +x-2``]가

[eqn: lim _{h -> 0} {} `` {f(1-3h)-f(1)} over {h} =3,~ lim _{x -> 2} {} `` {f(x)-f(2)} over {x ^{2} -4} = {9} over {4} ``]

를 만족시킬 때, 두 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: a-5b``]의 값을 구하여라.

38 [eqn: x>`-1]에서 함수 [eqn: f(x)= e^x over x+1]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]

④ [eqn: sqrte]	⑤ [eqn: 1over sqrte]

39 매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 함수
[eqn: x= t^3 -2t^2 + 3t +1],  [eqn: y= t^2 +t+1]
로 주어진 함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f(3+4h)-f(3)} over h]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

40  [eqn: f(x)= {sinx} over {1+cosx}]에 대하여 [eqn: f`ʹ LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 2- sqrt {3}]	② [eqn: 4-2 sqrt {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

41 함수 [eqn: f(x)=e^x+1 -e^3 x+e^3 +1]은 [eqn: x=a]에서 극솟값 [eqn: m]을 가진다. 이때, 두 실수 [eqn: a,~m]에 대하여 [eqn: a+m]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

42  함수 [eqn: f(x)=xe ^{-(x-2) ^{2}}]에 대하여 [eqn: f`ʹ(x)=0]을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 합은?

① [eqn: 2]	② [eqn: e]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

43  함수 [eqn: f(x) = {(x-2) root{x+4} } over { (x^2 + 1) ^3 }]에 대하여 [eqn: f`'(0)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5 over2]	⑤ [eqn: 3]

44 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} - LEFT ( a+2 RIGHT ) x ^{2} +ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,```f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 개구간 [eqn: LEFT ( 0,```5 RIGHT )]에서 증가할 때, [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.[3점]

[2010. 9. 평가원]

45 함수 [eqn: f(x)=x^3 -6x^2 +9x+5]는 [eqn: x<a]와 [eqn: x>b]에서 증가하고,

[eqn: a<x<b]에서 감소한다. 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a^3 +b^3]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 65]

46  함수 [eqn: f(x)=ln(e ^{x} +2)``]의 역함수를 [eqn: g(x)``]라 할 때, [eqn: f`'(ln2)+g`'(ln3)``]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

47  함수 [eqn: f(x) = { 2x} over { x^2 + 3 }``]에 대하여 [eqn: lim _{ h -> 0 } { `` { f(1+h ) - f(1-h) } over {h } }``]의 값은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over 2]

48 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+3``]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{10} `f` prime (n)= alpha ,~f` prime (5)= beta ``]

라 할 때, [eqn: alpha =5 beta ``]가 성립한다. 이때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

① [eqn: -12]	② [eqn: -11]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -8]

49  점 [eqn: rm A( 2,~3) ``]을 지나는 두 곡선 [eqn: y= f(x) ,] [eqn: y = g(x)]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x),] [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. [eqn: lim_x->0 { g(f(x)) -1 } over x-2 = 6``] 이고, 점 [eqn: rm A]에서의 두 곡선 [eqn: y = f(x),] [eqn: y = g(x)] 에 대한 각각의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: g(3) over g(2) times g'(3) over g'(2)] 의 값은?

① [eqn: - 10]	② [eqn: - 8]	③ [eqn: - 6]

④ [eqn: - 4]	⑤ [eqn: - 2]

50 함수 [eqn: f(x)=x+ sqrt {1-x ^{2}}]([eqn: -1<x<1])에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=- {sqrt {2}} over {2}]에서 극값을 가진다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 변곡점을 가진다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

51  이계도함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x,``y]에 대하여
[eqn: f(x+y) = e^y f(x) + e^x f(y)]
을 만족시키고 [eqn: f`'(0) = 2]일 때, [eqn: f`''(0)]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

52  최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: y=f(x)``]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(6+x)=-f(6-x)``]이다.

(나) [eqn: f(3)<0,~f(4)>0]

방정식 [eqn: f(x)=0``]의 세 실근을 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma ``( alpha < beta < gamma `)````]라 할 때, [eqn: LEFT [ {f`'( beta )} over {beta - gamma } RIGHT ] ``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: [x]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

53  곡선 [eqn: x ^{3} +y ^{3} +3x ^{2} +3x=1`]과 직선 [eqn: y=x+1`]의 교점에서의 이 곡선에 대한 접선의 기울기는?

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

54  함수 [eqn: f(x)=x-3lnx+ {2} over {x ^{2}} ``]에 대하여 함수 [eqn: x ^{3} f` prime (x)``]의 극솟값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -8]

55  미분가능한 두 함수 [eqn: f(x) `,~g(x) ``]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = { g(x) -1} over {g(x) + 1 }``]이고, [eqn: f`'(1) =2 `,~g`'(1) = 9 ``]일 때, [eqn: g(1) ``]의 값은?

(단, [eqn: g(x) > -1])

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

56 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +4x-9]에 대하여 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]일 때, [eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}]의 값은?                         (단, [eqn: g(x)!=0])

① [eqn: 54 over13]	② [eqn: 55 over13]	③ [eqn: 56 over13]

④ [eqn: 57 over13]	⑤ [eqn: 58 over13]

57 상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x+a]의 극솟값이 [eqn: 1]일 때, 극댓값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

58  좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P` it (x,~y)``]의 시각 [eqn: t``]에서의 위치가 [eqn: x=2(e ^{3t} +e ^{-3t} ),~y=2(e ^{3t} -e ^{-3t} )``]일 때, 점 [eqn: rm P``]의 속력 [eqn: |`v`|``], 가속도의 크기 [eqn: |`a`|``]에 대하여 [eqn: |`a`|=k|`v`|``]인 관계가 성립한다. 이때, 실수 [eqn: k``]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

59 매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=1-t^2 ,~y=2t^2 +t]

에 대하여 [eqn: t=1]에 대응하는 점에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: -2a+10b]의 값을 구하여라.

60 그림과 같이 곡선 [eqn: y=e^x +e^-x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP it(a,~b)]가 있다. 점 [eqn: rmP]와 두 점 [eqn: rmA(0,``-3),~B(2,~0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이가 최소가 되게 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1over e]	② [eqn: ln`2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: ln`3]	⑤ [eqn: 2`ln`2]

61 다음 함수 [eqn: f(x),~g(x),~h(x)``]에 대하여 [eqn: x=0``]에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x)=|`x`|]

ㄴ. [eqn: g(x)=|`x`|+2x]

ㄷ. [eqn: h(x)= {cases{{|`x`|} over {x}&``(x != 0)#0&``(x=0)}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ. ㄷ

62 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x ^{2} +3x+5``]에 대하여 [eqn: x``]의 값이 [eqn: -1``]에서 [eqn: a``]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 4``]일 때, 모든 상수 [eqn: a``]의 값의 합은?

(단, [eqn: a>`-1])

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

63 [eqn: 0<x< piover2]에서 [eqn: f(x)le g(x)]를 만족시키는 두 함수 [eqn: f(x)=sin`x]와 [eqn: g(x)=`-cos`x+a]의 그래프가 한 점에서 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: sqrt3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt5]

64  반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 구가 있다. 반지름의 길이가 매초 [eqn: 1``]씩 길어질 때, 구의 겉넓이의 변화율이 [eqn: 48 pi ``]인 순간 구의 부피의 변화율은?

① [eqn: 36 pi]	② [eqn: 72 pi]	③ [eqn: 108 pi]

④ [eqn: 144 pi]	⑤ [eqn: 180 pi]

65  함수 [eqn: f(x)=4e^{-2ln left(x^2 +1 right)}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가
[eqn: (x-1)g(x)=f(x)-1]
을 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: g(1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

66  함수 [eqn: f(x)=ln`x``]에 대하여 [eqn: x=e``]에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: 1over e]	② [eqn: 1]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: e^2]

67  자연수 [eqn: n]과 정수 [eqn: k]에 대하여 다항식 [eqn: ( 2x-1)^n ````]을 [eqn: ( x-1)^2 ``]으로 나눈 나머지가 [eqn: 10 x + k ``] 일 때, [eqn: n + k] 의 값은?

① [eqn: - 8]	② [eqn: - 7]	③ [eqn: - 6]

④ [eqn: - 5]	⑤ [eqn: - 4]

68 그림은 이차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프이다. 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<a<b<c``])

[보 기]

ㄱ. [eqn: {f(b)-f(a)}over b-a >f`' (-1)]

ㄴ. [eqn: f(c)over c <f`' (c)]

ㄷ. [eqn: {f(b)-f(-1)}over b+1 <f`' (a)< {f(c)-f(b)}over{c-b}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

69  함수 [eqn: y = { x^5 - 4x } over { x^2} ``]에 대하여 [eqn: dy over dx ``]는?

① [eqn: dy over dx =][eqn: 2x^2 + 3 over x^2]	② [eqn: dy over dx =][eqn: 2x^2 + 4 over x^2]	③ [eqn: dy over dx =] [eqn: 3x^2 + 3 over x^2]

④ [eqn: dy over dx =][eqn: 3x^2 + 4 over x^2]	⑤ [eqn: dy over dx =][eqn: 3x^2 + 5 over x^2]

70  함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} +3x-1]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때,

[eqn: lim _{h -> 0} {{g(2+3h)-g(2-h)} over {h}} `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

정답 및 해설

1 [정답][eqn: 128]

해설

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +k``]에서

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -12x]

[eqn: =3x(x-4)]

[eqn: f`'(x)=0``]을 만족시키는 [eqn: x``]의 값은

[eqn: x=0``]또는 [eqn: x=4``]

[eqn: x=0``]에서 극댓값 [eqn: f(0)=k`]

[eqn: x=4``]에서 극솟값 [eqn: f(4)=64-96+k=k-32]

[eqn: THEREFORE `a=0,~b=k,~`c=4,~d=k-32]

[eqn: c-a=4-0=4]

[eqn: b-d=k-(k-32)=32]

[eqn: THEREFORE `(c-a)(b-d)=4 TIMES 32=128]

2 [정답] ②

해설

[eqn: f(1)=f(2)=f(3)=k``]([eqn: k``]는 상수)라 하면

[eqn: f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+k``]([eqn: a``]는 [eqn: 0``]이 아닌 상수)이므로

[eqn: f`'(x)=a(x-2)(x-3)+a(x-1)(x-3)+a(x-3)(x-2)````]

[eqn: f`'(x)=a(3x ^{2} -12x+11)``]

[eqn: f`'(x)=0``]의 판별식을 [eqn: D``]라 하면 [eqn: {D} over {4} =36-33>0``]이므로 [eqn: f`'(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 가지며 함수 [eqn: f(x)``]는 극댓값과 극솟값을 모두 가진다. 이때, [eqn: f`'(x)=0``]의 두 근이 [eqn: alpha ,` beta ``]이므로 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =4,`` alpha beta = {11} over {3} ``]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta ``]

[eqn: =4 ^{2} -2 BULLET {11} over {3} = {26} over {3} ``]

3 [정답] ②

해설

곱의 미분법에 의하여

[eqn: f``' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 3x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -3x-4 RIGHT ) + LEFT ( x ^{3} +x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( 4x-3 RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE ~f``' LEFT ( -1 RIGHT ) = LEFT ( 3-2 RIGHT ) LEFT ( 2+3-4 RIGHT ) + LEFT ( -1+1+1 RIGHT ) LEFT ( -4-3 RIGHT ) ``]

[eqn: =1+ LEFT ( -7 RIGHT ) =-6``]

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{3} +x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -3x-4 RIGHT ) ``]

[eqn: =2x ^{5} -x ^{4} -7x ^{3} -2x ^{2} -3x-4``]

[eqn: f`` prime LEFT ( x RIGHT ) =10x ^{4} -4x ^{3} -21x ^{2} -4x-3``]

[eqn: THEREFORE ~f``' LEFT ( -1 RIGHT ) =10+4-21+4-3=-6``]

4 [정답] ②

해설

함수 [eqn: y=`cos`x]에서 [eqn: y`'=-`sin`x]이므로

[eqn: -`sin``x`=`-`{root{3}}over{2}`,~sin``x=`{root{3}}over{2}]

[eqn: therefore`~x=`{pi}over{3}`` LEFT ( BECAUSE -{pi}over{2}<x<{pi}over{2} RIGHT )]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {pi}over{3},~{1}over{2} RIGHT )]이므로 접선의 기울기가 [eqn: -{root{3}}over{2}]인 접선의 방정식은

[eqn: y-{1} over {2} `=- {sqrt {3}} over {2} ` LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: therefore ~ y= - {root{3}}over{2} x + {root{3}}over{6} pi + {1}over{2}]

따라서 [eqn: root{3} x+ 2y = {root{3}}over{3} pi +1]이므로

[eqn: a= 1+ {root{3}}over{3} pi]

5 [정답] ④

해설

[eqn: lim _{x-> 1} {{sqrt {f(x)} -1} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT. LEFT { {sqrt {f(x)} -1} over {x-1} TIMES {sqrt {f(x)} +1} over {sqrt {f(x)} +1} RIGHT . RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT . LEFT { {f(x)-1} over {x-1} TIMES {1} over {sqrt {f(x)} +1} RIGHT . RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1} TIMES lim _{x-> 1} {{1} over {sqrt {f(x)} +1}}}]

[eqn: =f` prime (1) TIMES {1} over {sqrt {f(1)} +1}]

[eqn: =2 TIMES {1} over {1+1} =1]

6 [정답] ④

해설

[eqn: x+2y+3=0` LRARROW ``y=`-{1}over{2}x-{3}over{2}]

이므로 직선 [eqn: x+2y+3=0]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: 2]이다.

함수 [eqn: y=`tan`x` LEFT ( 0<x<{pi}over{2} RIGHT )]에서

[eqn: y`'=`sec ^{`2} `x`=2], [eqn: cos ^{2`} `x`=`{1}over{2}]

[eqn: 0<`x<`{pi}over{2}]에서 [eqn: cos``x>0]이므로

[eqn: cos``x=`{root{2}}over{2}]

[eqn: therefore`~x`=`{pi}over{4}``` LEFT ( BECAUSE `0<`x<`{pi}over{2} RIGHT )]

[eqn: tan`{pi}over{4}`=`1]이므로 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {pi}over{4},~1 RIGHT )]이다.

그러므로 접선의 방정식은

[eqn: y-1`=`2 LEFT ( x-{pi}over{4} RIGHT )]

[eqn: therefore`~y=`2x-{pi}over{2}+1]

따라서 [eqn: a=2,~b=- {pi } over {2} +1]이므로

[eqn: a-2b=2`-2 LEFT ( -{pi}over{2}+1 RIGHT ) =pi]

7 [정답] ③

해설

두 점 [eqn: rm P,~Q``]의 속도를 각각 [eqn: v _{rm P it} ,~v _{rm Q it} ``]라 하면

[eqn: v _{rm P it} ``=t-4]

[eqn: v _{rm Q it} ``=3t-60=3(t-20)]

두 점 [eqn: rm P,~Q``]의 운동 방향이 서로 반대이면

[eqn: v _{rm P it} TIMES v _{rm Q it} ``<0]

[eqn: 3(t-4)(t-20)<0]

[eqn: THEREFORE `4<t<20`]

따라서 반대 방향으로 움직이는 시간은 [eqn: 16``]초 동안이다.

8 [정답] ③

해설

방정식 [eqn: f(x)=x+2]의 해가 [eqn: x=-1,~x=2,~x=5]이고 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)-(x+2)=(x=1)(x-2)(x-5)]

[eqn: f(x)=(x+1)(x-2)(x-5)+x+2]

[eqn: therefore`~f(2)=4]

[eqn: f`'(x)`=`(x-2)(x-5)+(x+1)(x-5)+(x+1)(x-2)+1]

[eqn: f`'(2)`=`-8]이므로 곡선 [eqn: f(x)]위의 점[eqn: (2,~4)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-4=-8(x-2)]

[eqn: therefore`~`y=`-8x+20]

따라서 [eqn: a=-8,~b=20]이므로

[eqn: a+b=12]

9 [정답] ①

해설

함수 [eqn: y=sin`x`cos ^{2} `x=`sin`x`(1-`sin ^{2} `x)``]

[eqn: =`sin`x`-`sin ^{3} `x``]

이므로 [eqn: sin`x`=t``]로 치환하면

[eqn: y=t-t ^{3} ``(-1 LEQ t LEQ 1)``]

[eqn: y`'=1-3t ^{2} ``]

[eqn: y`'=0``]에서 [eqn: t ^{2} = {1} over {3} ``]

[eqn: t=- {1} over {sqrt {3}} ``] 또는 [eqn: t= {1} over {sqrt {3}} ``]

(ⅰ) [eqn: t=-1``]일 때, [eqn: y=0``]

(ⅱ) [eqn: t=- {1} over {sqrt {3}} ``]일 때, [eqn: y=- {1} over {sqrt {3}} + {1} over {3 sqrt {3}} =- {2} over {3 sqrt {3}} ``]

(ⅲ) [eqn: t= {1} over {sqrt {3}} ``]일 때, [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} - {1} over {3 sqrt {3}} = {2} over {3 sqrt {3}} ``]

(ⅳ) [eqn: t=1``]일 때, [eqn: y=0``]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 최댓값 [eqn: M= {2} over {3 sqrt {3}} ``]이고, 최솟값 [eqn: m=- {2} over {3 sqrt {3}} ``]이므로

[eqn: M ^{2} +m ^{2} = {4} over {27} + {4} over {27} = {8} over {27} ``]

10 [정답] [eqn: 29``]

해설

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) ``]

[eqn: =f LEFT ( - {1} over {x+3} RIGHT ) ``]

[eqn: = {-2} over {x+3} +1``]

위에서 구한 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) ``]에 [eqn: x=-2,~x=2``]를 각각 대입하면

[eqn: h LEFT ( -2 RIGHT ) =-2+1=-1``]

[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =- {2} over {5} +1= {3} over {5} ``]

따라서 구하는 평균변화율은

[eqn: {h LEFT ( 2 RIGHT ) -h LEFT ( -2 RIGHT )} over {2- LEFT ( -2 RIGHT )} = {{3} over {5} - LEFT ( -1 RIGHT )} over {2- LEFT ( -2 RIGHT )} ``]

[eqn: = {{3} over {5} +1} over {4} = {{8} over {5}} over {4} = {2} over {5} ``]

따라서 [eqn: p=5,~q=2``]이므로

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =25+4=29``]

11 [정답] ③

해설

[eqn: f(x-1) = h(x) ``]로 놓으면 함수 [eqn: f(x) ``]가 미분가능하므로 함수 [eqn: h(x) ``]도 미분가능하고 [eqn: g(x) = x^2 `h(x) ``]
[eqn: g`'(x) = 2x h (x) + x^2 h`'(x) ``]

[eqn: h(0) = 2 ``], [eqn: h(1) = 0 ``], [eqn: h (2) = - 2 ``]
[eqn: h`'(0) = h`'(2) = 0 ``]
ㄱ. [eqn: f(1) = -2 ``], [eqn: g`'(1) = 2h(1) + h`'(1) < 0 ``]이므로 [eqn: f(1) ` g`'(1) >0 ``](참)
ㄴ. [eqn: f`'(0) < 0 ``], [eqn: g(1) = h(1) = 0 ``]이므로 [eqn: f`'(0) ` g(1) = 0 ``](거짓)
ㄷ. [eqn: g(2) = 4h(2) = - 8 ``]이므로
[eqn: { g(2) } over { 2} = { -8 } over { 2} = -4]
[eqn: g`'(2) = 4h (2) +4 h`'(2) = - 8]
[eqn: { g(2) } over { 2} > g`'(2) ``](참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12 [정답] ②

해설

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT ) = lim _{h-> 0} {{g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {h} ``}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{LEFT { f LEFT ( 1+h RIGHT ) RIGHT } ^{2} - LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {h}} ``]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{LEFT { f LEFT ( 1+h RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } LEFT { f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }} over {h}} ``]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h} CDOT lim _{h-> 0} {LEFT { f LEFT ( 1+h RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }}} ``]

[eqn: =f``' LEFT ( 1 RIGHT ) CDOT 2f LEFT ( 1 RIGHT ) =8``]

[eqn: f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =3`]이므로 [eqn: 6f LEFT ( 1 RIGHT ) =8``]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 1 RIGHT ) = {4} over {3} ``]

13 [정답] ⑤

해설

ㄱ. [반례]

[eqn: a=b=c=1``]일 때, 함수 [eqn: f(x)= {1} over {4} (x-1) ^{4} +1``]에 대하여

[eqn: f`'(x)=(x-1) ^{3} ``]이지만 [eqn: f(x)=0``]의 실근은 없다. (거짓)

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같으므로 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 가진다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같으므로 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 서로 다른 두 실근을 가진다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

14 [정답] ⑤

해설

[eqn: lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -1} over {x-2}} =2``]에서 [eqn: x->2``]일 때 (분모)[eqn: ->0``]이므로 (분자)[eqn: ->0``]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 2 RIGHT ) =1``]

[eqn: lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -1} over {x-2} = lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} =f``' LEFT ( 2 RIGHT ) =2``}}]

[eqn: lim _{x -> 2} {{g LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x-2}} =-1``]에서 [eqn: x->2``]일 때 (분모)[eqn: ->0``]이므로 (분자)[eqn: ->0``]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( 2 RIGHT ) =3``]

[eqn: lim _{x -> 2} {{g LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x-2} = lim _{x -> 2} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} =g`` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =-1``}}]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) ``]에 대하여

[eqn: y'=f``' LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT ) g' LEFT ( x RIGHT ) ``]이므로 [eqn: x=2``]에서의 미분계수는

[eqn: f``' LEFT ( 2 RIGHT ) g LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) g' LEFT ( 2 RIGHT ) =2 TIMES 3+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) =5``]

15 [정답] ⑤

해설

함수 [eqn: f(x) = x ln (ax +b)]에서

[eqn: f`'(x) = ln (ax +b) + ax over ax+b]

[eqn: f`'(0) = lnb = 2]

∴ [eqn: b = e^2]

[eqn: f`''(x) = a over ax+b + {a cdot (ax+b) - ax cdot a } over { (ax +b)^2 }]

[eqn: = a over ax+b + ab over (ax+b)^2]

[eqn: f`''(0) = a over b + ab over b^2 = 2a over b = 4]

∴ [eqn: a = 2b = 2e^2]

∴ [eqn: a+b = 2e^2 + e^2 = 3e^2]

16 [정답] ➁

해설

함수 [eqn: x= sqrt {y ^{3} +1} =(y ^{3} +1) ^{{1} over {2}} `]에서

[eqn: {dx} over {dy} = {1} over {2} (y ^{3} +1) ^{- {1} over {2}} BULLET 3y ^{2} = {3y ^{2}} over {2 sqrt {y ^{3} +1}}]

[eqn: THEREFORE {dy} over {dx} = {1} over {{dx} over {dy}} = {2 sqrt {y ^{3} +1}} over {3y ^{2}}]

따라서 [eqn: y=2`]에서의 [eqn: {dy} over {dx} `]의 값은

[eqn: {2 sqrt {2 ^{3} +1}} over {3 BULLET 2 ^{2}} = {1} over {2}]

[다른 풀이]

함수 [eqn: x= sqrt {y ^{3} +1}]의 양변을 제곱하면

[eqn: x` ^{2} =y ^{2} +1]

양변을 [eqn: y`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x {dx} over {dy} =3y ^{2} `]

[eqn: {dx} over {dy} = {3y ^{2}} over {2x} = {3y ^{2}} over {2 sqrt {y ^{3} +1}} `]

[eqn: THEREFORE {dy} over {dx} = {1} over {{dx} over {dy}} = {2 sqrt {y ^{3} +1}} over {3y ^{2}}]

17 [정답] ②

해설

[eqn: {dx}over{dt}=2e^2t sin 3t + e^2t cdot 3 cos 3t]
[eqn: =e^2t left(2 sin 3t + 3cos 3t right)]
[eqn: {dy}over{dt}=2e^2t cos 3t + e^2t (-3 sin 3t)]
[eqn: =e^2t left(2 cos 3t - 3 sin 3t right)]
이므로
[eqn: {dy}over{dx}={{dy}over{dt}}over{{dx}over{dt}}={e^2t left(2 cos 3t - 3 sin 3t right)}over{e^2t left(2 sin 3t + 3cos 3t right)}]
[eqn: ={2 cos 3t - 3 sin 3t}over{2 sin 3t + 3cos 3t }]
따라서 [eqn: t={pi}over{2}]일 때 접선의 기울기는
[eqn: left[{dy}over{dx}right]_{t= piover2}={2 cos {3}over{2}pi - 3 sin {3}over{2}pi}over{2 sin {3}over{2}pi + 3cos {3}over{2}pi}]
[eqn: ={0-3cdot(-1)}over{2cdot(-1)+0}]
[eqn: =-{3}over{2}]

18 [정답] ③

해설

방정식 [eqn: e ^{x} -x-10+n=0``]에서

[eqn: -e ^{x} +x+10=n]

[eqn: f(x)=-e ^{x} +x+10,~g(x)=n``]이라 하면 두 함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: y=g(x)``]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 구하면 된다.

[eqn: f`'(x)=-e ^{x} +1]

[eqn: f`'(x)=0``]에서 [eqn: -e ^{x} +1=0,~e ^{x} =1]

[eqn: THEREFORE `x=0]

함수 [eqn: f(x)``]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 9]	[eqn: SEARROW]

[eqn: lim _{x -> - INF } {f(x)} = lim _{x -> INF } {f(x)} =-inf]

[eqn: f(0)=-1+0+10=9]이므로 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프의 개형을 그리면 다음 그림과 같다.

따라서 [eqn: n<9``]이면 두 함수 [eqn: y=f(x)``]와 [eqn: y=g(x)``]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 자연수 [eqn: n``]의 값은 [eqn: 1,~2,~3,~ CDOTS ,~8``]의 [eqn: 8``]개다.

19 [정답] ③

[출제의도] 함수의 이계도함수를 구할 수 있고, 이를 이용하여 변곡점을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

해설

함수 [eqn: y=(1+cos`x) ^{2}] 에서

[eqn: y`'=2(1+cos`x)(-sin`x)]

[eqn: y` prime '=2(-sin`x) ^{2} +2(1+cos`x)(-cos`x)]

[eqn: =2sin ^{2} `x-2cos`x-2cos ^{2} `x]

[eqn: =2(1-cos ^{2} `x)-2cos`x-2cos ^{2} `x]

[eqn: =2-2cos`x-4cos ^{2} `x]

[eqn: =-2(2cos ^{2} `x+cos`x-1)]

[eqn: =-2(2cos`x-1)(cos`x+1)]

[eqn: y`''=0]에서

[eqn: cos`x= {1} over {2}] 또는 [eqn: cos`x=-1]

[eqn: 0<x< {pi } over {2}]의 범위에서 방정식 [eqn: cos`x= {1} over {2}] 또는 [eqn: cos`x=-1]의 해는 [eqn: x= {pi } over {3}]이고, [eqn: x= {pi } over {3}]의 좌우에서 [eqn: y`'']의 부호가 바뀌므로 변곡점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x= {pi } over {3}]	∴ [eqn: a= {pi } over {3}]

[eqn: b= LEFT ( 1+cos` {pi } over {3} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 1+` {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {9} over {4}]

∴ [eqn: ab= {pi } over {3} TIMES {9} over {4} = {3} over {4} pi]

20 [정답] [eqn: 5]

해설

[eqn: x=12t,~y=6t-3t ^{2} ``]에서

[eqn: {dx} over {dt} =12,~ {dy} over {dt} =6-6t`]

속력 [eqn: |`v`|``]는

[eqn: |`v`|= sqrt {12 ^{2} +(6-6t) ^{2}}]

[eqn: =6 sqrt {4+1-2t+t ^{2}}]

[eqn: =6 sqrt {t ^{2} -2t+5}]

[eqn: |`v`|=6 sqrt {20} ``]에서 [eqn: 6 sqrt {t ^{2} -2t+5} =6 sqrt {20}]

[eqn: t ^{2} -2t+5=20,~t ^{2} -2t-15=0]

[eqn: (t-5)(t+3)=0]

[eqn: t>0``]이므로 [eqn: t=5`]

21 [정답] ④

해설
양의 실수 [eqn: x ``]에 대하여 [eqn: 0 < 1 over {x^2 + 1 } < 1 ``]이므로
[eqn: f(x) = sum _{ n=1} ^{ inf}`` { 3x + 1} over { left(x^2 + 1 right)^n}]
[eqn: = { 3x + 1} over { x^2 + 1} + { 3x + 1} over { left( x^2 + 1 right)^2} + { 3x + 1} over { left(x^2 + 1 right)^3} + `cdots``]
[eqn: = { { 3x+1} over { x^2 + 1} } over { 1 - { 1} over { x^2 + 1} }]
[eqn: = { 3x + 1} over { x^2}]
[eqn: = 3 over x + 1 over x^2]
[eqn: f`'(x) = - 3 over x^2 - 2 over x^3``]
[eqn: therefore `f`'(1) = -5]
[다른 풀이]
함수 [eqn: f(x) = { 3x +1 } over { x^2}``]에서
[eqn: f`'(x) = {3 cdot x^2 - left( 3x + 1 right) cdot 2x } over { x^4}``]
[eqn: = { -3x^2 - 2x} over { x^4}]
[eqn: = - 3 over x^2 - 2 over x^3]

22 [정답] ②

해설

[eqn: f( x^2 - 1) - f( x^2 - x ) = 2x^3 - 3x^2 + 2x -1]

의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x^2 - 1) cdot 2x - f'( x^2 -x ) cdot ( 2x-1)]

[eqn: = 6x^2 - 6x + 2] [eqn: cdotscdots ㉠]

㉠에 [eqn: x = 0] 을 대입하면

[eqn: f'( -1 ) cdot 0 - f'(0) cdot (-1) = 2] 이므로

[eqn: f'(0) = 2]

㉠에 [eqn: x=-1] 을 대입하면

[eqn: f'(0) cdot (-2) - f'(2) cdot (-3) = 14]

[eqn: 3 f'(2) = 14 + 2 f'(0) = 18]

[eqn: therefore] [eqn: f'(2) = 6]

23 [정답] ④

해설

함수 [eqn: y={x}over{x+1}]에서 [eqn: y`'={1 cdot (x+1)-x cdot 1}over{(x+1)^2} = {1}over{(x+1)^2 }]

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,~{t}over{t+1} RIGHT )]라 하면 이 점에서의 접선의 방정식은

[eqn: y={1}over{(t+1)^2} (x-t) + {t}over{t+1}]

위의 식이 점[eqn: (2,~2)]를 지나므로 [eqn: x=2,~y=2]를 대입하면

[eqn: 2={1}over{(t+1)^2} (2-t)+ {t}over{t+1}]

[eqn: 2(t+1)^2 =2-t+t(t+1)]

[eqn: 2t^2 +4t+2=2-t+t^2 +t]

[eqn: t^2 +4t=0]

[eqn: t(t+4)=0]

[eqn: t=0] 또는 [eqn: t=4]

[eqn: t=0]에 대응하는 점에서 접선의 기울기는 [eqn: m_1 ={1}over{(0+1)^2} = 1]

[eqn: t=-4]에 대응하는 점에서 접선의 기울기는 [eqn: m_2 ={1}over{(-4+1)^2 } = {1}over{9}]

이므로 [eqn: m_1 +m_2 = 1+ {1}over{9} = {10}over{9}]

24 [정답] [eqn: 14``]

해설

[eqn: f`'(x)=2x-a+ {b} over {x} ``]이므로

[eqn: f`'(1)=2-a+b=0]  .......................㉠

[eqn: f`'(3)=6-a+ {b} over {3} =0] .......................㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a=8,``b=6``]

[eqn: a+b=8+6=14``]

25 [정답] ⑤

해설

[eqn: lim _{x-> 4} {{f( sqrt {x} )-16} over {x-4}} =3``]에서 [eqn: x -> 4``]일 때, (분모)[eqn: -> 0``]이므로

(분자)[eqn: -> 0``]이어야 한다.

[eqn: lim _{x-> 4} {LEFT { f( sqrt {x} )-16 RIGHT } =f(2)-16=0}]

[eqn: f(2)=16]

[eqn: lim _{x-> 4} {{f( sqrt {x} )-16} over {x-4} = lim _{x-> 4} {{f( sqrt {x} )-f(2)} over {( sqrt {x} -2)( sqrt {x} +2)}}}]

[eqn: = lim _{x -> 4} {{f( sqrt {x} )-f(2)} over {sqrt {x} -2}} TIMES lim _{x -> 4} {{1} over {sqrt {x} +2}} ``]

[eqn: =f`'(2) TIMES {1} over {4}]

[eqn: =3]

[eqn: THEREFORE `f`'(2)=12]

[eqn: THEREFORE `f(2)+f`'(2)=16+12=28]

26 [정답] ②

해설

[eqn: f(x)=ln(2+cos x)]에서
[eqn: f'(x)={(2+cos x)'}over{2+cos x}={-sin x}over{2+cos x}]
[eqn: x-{pi}over{2}=t]라 하면 [eqn: x->{pi}over{2}]일 때, [eqn: t->0]이므로
[eqn: (주어진~식)=lim_t->0{{f left(t+{pi}over{3}right)-f left(t-{pi}over{3} right)}over{t}}]
[eqn: =lim_t->0{{f left({pi}over{3}+t right)-f left({pi}over{3}-t right)}over{t}}] ([eqn: because][eqn: f(-t)=f(t)])
[eqn: =lim_t->0{{left{f left({pi}over{3}+t right)-f left({pi}over{3} right)right}-left{f left({pi}over{3}-t right)-f left({pi}over{3} right)right}}over{t}}]

[eqn: =lim_t->0{{f left({pi}over{3}+t right)-f left({pi}over{3} right)}over{t}}+lim_t->0{{f left({pi}over{3}-t right)-f left({pi}over{3} right)}over{-t}]

[eqn: =f' left({pi}over{3}right)+f' left({pi}over{3}right)][eqn: =2f' left({pi}over{3}right)]
[eqn: =2 times{-sin{pi}over{3}}over{2+cos{pi}over{3}}][eqn: =2 times{-{sqrt3}over{2}}over{2+{1}over{2}}][eqn: =-{2sqrt3}over{5}]

27 [정답] ④

해설

[eqn: f(x) >0]이므로

[eqn: ln f(x) = ln (x^2 +1 ) = x ln (x^2 +1 )]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {f`'(x) } over { f(x) } = ln (x^2 +1 ) + x cdot 2x over {x^2 +1 }]

[eqn: f`'(x) = f(x) left{ ln (x^2 +1 ) + {2x^2 } over {x^2 +1 } right}]

[eqn: = (x^2 + 1)^x left{ ln (x^2 +1 ) + {2x^2 } over {x^2 +1 } right}]

∴ [eqn: f`'(1) = 2 ( ln 2 +1 ) = 2 ln 2 +2]

28 [정답] ②

해설

[eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3``}]에서 [eqn: x->1``]일 때 (분모)[eqn: ->0``]이므로 (분자)[eqn: ->0``]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 1 RIGHT ) =0``]

[eqn: 1+a+b+1=0``]

[eqn: a+b=-2``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: f``' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b``]

[eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} = lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =f``' LEFT ( 1 RIGHT )}} ``]

[eqn: =3+2a+b=3``]

[eqn: THEREFORE ~2a+b=0``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

㉠, ㉡을 연립하면 풀면 [eqn: a=2,~b=-4``]

[eqn: THEREFORE ~ab=-8``]

29 [정답] ④

해설

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -e ^{2} x+e ^{2} ``]에서

[eqn: f`'(x)=e ^{x} -e ^{2}]

[eqn: f`'(x)=0`]에서 [eqn: e ^{x} -e ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE `x=2]

[eqn: x=2``]의 좌우에서 [eqn: f'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 변하므로 함수

[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=2``]일 때 극소이다.

[eqn: f(0)=1+e ^{2}]

[eqn: f(2)=e ^{2} -2e ^{2} +e ^{2} =0]

[eqn: f(3)=e ^{3} -3e ^{2} +e ^{2} =e ^{3} -2e ^{2}]

[eqn: f(0)-f(3)=(1+e ^{2} )-(e ^{3} -2e ^{2} )]

[eqn: =1-e ^{3} +3e ^{2}]

[eqn: =1+e ^{2} (3-e)>0``( BECAUSE 2<e<3)]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]의 최댓값은 [eqn: M=1+e ^{2} ``], 최솟값은 [eqn: m=0``]이므로

[eqn: M+m=1+e ^{2} +0=1+e ^{2}]

30 [정답] ②

해설

함수 [eqn: y=sinx``]에서 [eqn: y`'=cosx``]이므로 [eqn: y`''=-sinx``]이고 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} ``]에서 [eqn: y`''=-sinx LEQ 0``]이므로 함수 [eqn: y=sinx``]의 그래프는 위로 볼록하다.

함수 [eqn: y=sinx``]에서 [eqn: y`'=cosx``]이므로 [eqn: y=sinx``]에 접하고 원점을 지나는 접선의 방정식은

[eqn: y-sin0=cos0(x-0)]

[eqn: THEREFORE y=x`]

또, 원점과 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,~1 RIGHT ) ``]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-0= {1-0} over {{pi } over {2} -0} (x-0)]

[eqn: THEREFORE `y= {2} over {pi } x]

주어진 부등식이 항상 성립하기 위한 조건은 [eqn: a LEQ {2} over {pi } ,~b GEQ 1``]이므로 [eqn: b-a``]의 최솟값은 [eqn: 1- {2} over {pi } ``]이다.

31 [정답] ①

해설

[eqn: x^2 - 3y^2 = 1]　의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x - 6y dy over dx = 0]

[eqn: therefore] [eqn: dy over dx = x over 3y] (단, [eqn: 3y not = 0])

따라서 점 [eqn: ( 2,~1)] 에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2 over 3]이다.

32 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f(x)``]를 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax+b``]

함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x= alpha ``]에서 극값을 가지므로

[eqn: f` prime ( alpha )=3 alpha ^{2} +2a alpha +b=0``]    .....................㉠

[eqn: f( alpha )=f(0)``]에서

[eqn: alpha ^{3} +a alpha ^{2} +b alpha +c=c``]

[eqn: alpha ^{3} +a alpha ^{2} +b alpha =0``]

[eqn: alpha (alpha ^{2} +a alpha +b)=0``]

[eqn: alpha != 0``]이므로 [eqn: alpha ^{2} +a alpha +b=0``]  ..................㉡

㉠-㉡에서 [eqn: 2 alpha ^{2} +a alpha =0``]

[eqn: alpha (2 alpha +a)=0``]

[eqn: alpha != 0``]이므로 [eqn: 2 alpha +a=0``]

[eqn: THEREFORE `a=-2 alpha ``]

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +2ax+b=0``]의 두 근이 [eqn: alpha ,` beta ``]이므로

[eqn: alpha + beta =- {2a} over {3} =- {2(-2 alpha )} over {3} = {4 alpha } over {3} ``]

[eqn: THEREFORE ` beta = {4} over {3} alpha - alpha = {alpha } over {3} ``]

33 [정답] ⑤

해설

속도를 [eqn: v], 가속도를 [eqn: a``]라 하면

[eqn: v= {dx} over {dt}]

[eqn: = {p pi } over {3} `cos {pi } over {3} t- {q pi } over {3} `sin {pi } over {3} t]

[eqn: t=3``]일 때,

[eqn: v= {p pi } over {3} `cos pi - {q pi } over {3} `sin pi]

[eqn: =- {p} over {3} pi =-2 pi]

[eqn: THEREFORE `p=6]

[eqn: a= {dv} over {dt}]

[eqn: =- {p pi ^{2}} over {9} `sin {pi } over {3} t- {q pi ^{2}} over {9} `cos {pi } over {3} t]

[eqn: t=3``]일 때,

[eqn: a=- {p pi ^{2}} over {9} `sin pi - {q pi ^{2}} over {9} `cos pi]

[eqn: = {q pi ^{2}} over {9} = {5} over {9} pi ^{2}]

[eqn: THEREFORE `q=5``````````` THEREFORE p+q=11]

34 [정답] ②

해설

함수 [eqn: y=ln x +x]에서 [eqn: y`'={1}over{x} +1]이므로 곡선 위의 점[eqn: (t,~lnt + t)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y = LEFT ( {1}over{t}+1 RIGHT )(x-t) + ln t + t]            [eqn: cdots] ㉠

㉠은 점[eqn: (0,~-1)]을 지나므로

[eqn: -1 = LEFT ( {1}over{t}+1 RIGHT )(0-t)+lnt +t]

[eqn: -1=-1-t+lnt +t]

[eqn: lnt=0]  [eqn: therefore ~t=1]            [eqn: cdots] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: y=2(x-1)+0+1 ,~y=2x-1]

[eqn: therefore ~a=2,~b=-1]

[eqn: therefore ~ab=2 cdot(-1)=-2]

35 [정답] ④

[출제의도] 함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제를 풀 수 있는지를 묻는 문제이다.

해설

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmA`it(t,~0)], [eqn: rmB`it(0,``-ln`t)]이므로 사각형 [eqn: rmOAPB`]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f9t)=t(-ln`t)=-t`ln`t]

[eqn: f`'(t)=-ln`t-t`cdot` {1} over {t} =-ln`t-1]

[eqn: f`'(t)=0]에서 [eqn: t= {1} over {e}]

함수 [eqn: f(t)]의 증감을 표로 만들면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: {1} over {e}]	[eqn: cdots]	[eqn: (1)]
[eqn: f` prime (t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(t)]		↗	[eqn: {1} over {e}]	↘

[eqn: f LEFT ( {1} over {e} RIGHT ) =- {1} over {e} `ln` {1} over {e} =- {1} over {e} TIMES (-1)= {1} over {e}]

[eqn: t= {1} over {e}]일 때, [eqn: f(t)]는 최댓값 [eqn: {1} over {e}]을 가진다.

따라서 사각형 [eqn: rmOAPB`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: {1} over {e}]이다.

36 [정답] ①

함수 [eqn: f(x)=ln`(sin`x+cos`x)]

[eqn: f` prime (x)= {(sin`x+cos`x)` prime } over {sin`x+cos`x} = {cos`x-sin`x} over {sin`x+cos`x}]

[eqn: f` prime prime (x)]

[eqn: = {(cos`x-sin`x) prime (sin`x+cos`x)-(cos`x-sin`x)(sin`x+cos`x) prime } over {(sin`x+cos`x) ^{2}}]

[eqn: = {-(sin`x+cos`x) ^{2} -(cos`x-sin`x) ^{2}} over {(sin`x+cos`x) ^{2}}]

[eqn: =- {-2} over {(sin`x+cos`x) ^{2}}]

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =0], [eqn: f`' LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =-1], [eqn: f` prime ' LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =-2]이므로

[eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {{f` prime (x)+1} over {f(x)}} = lim _{x -> {pi } over {2}} {{f` prime (x)-f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} over {f(x)-f` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x -> {pi } over {2}} {{{f` prime (x)-f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} over {x- {pi } over {2}}} over {{f(x)-f` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} over {x- {pi } over {2}}}}]

[eqn: = {f` prime prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} over {f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} = {-2} over {-1} =2]

37 [정답] [eqn: 22``]

해설

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx ^{2} +x-2``]를 미분하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3ax ^{2} +2bx+1``]이므로

[eqn: f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =3a+2b+1,~f``' LEFT ( 2 RIGHT ) =12a+4b+1``]

[eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1-3h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}} = lim _{h-> 0} {{f LEFT ( 1-3h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {-3h} CDOT LEFT ( -3 RIGHT )} ``]

[eqn: =-3f``' LEFT ( 1 RIGHT ) ``]

[eqn: =-3 TIMES LEFT ( 3a+2b+1 RIGHT ) =3``]

[eqn: THEREFORE ~3a+2b=-2``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

[eqn: lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x ^{2} -4} = lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )}} ``}]

[eqn: = lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} CDOT {1} over {x+2} ``}]

[eqn: = {1} over {4} f``' LEFT ( 2 RIGHT ) = {1} over {4} LEFT ( 12a+4b+1 RIGHT ) ``]

[eqn: = {9} over {4} ``]

[eqn: 12a+4b=8,~3a+b=2``]	[eqn: CDOTS CDOTS ``]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=2,~b=-4``]이므로

[eqn: a-5b=2-5 TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) =22``]

38 [정답] ①

해설

함수 [eqn: f(x)= e^x over x+1]이므로

[eqn: f`'(x)= {e ^{x} (x+1)-e ^{x}} over {(x+1) ^{2}} ``]

[eqn: = {e ^{x} x} over {(x+1) ^{2}} ``]

[eqn: f`'(x)=0``]에서 [eqn: x=0``]이고, [eqn: x=0``]의 좌우에서 함수 [eqn: f(x)``]가 감소상태에서 증가상태로 바뀌므로 [eqn: x=0``]일 때, 극소이면서 최소이다.

따라서 함수[eqn: `f(x)``]의 최솟값은

[eqn: f(0)=1``]

39 [정답] ③

해설

[eqn: lim_h->0 {f(3+4h)-f(3)} over h][eqn: = 4 cdot lim_h->0 {f(3+4h)-f(3)} over 4h][eqn: =4`f`'(3)]

[eqn: x= t^3 -2t^2 +3t+1]에서 [eqn: dx over dt = 3t^2 -4t+3]

[eqn: y= t^2 +t+1]에서 [eqn: dy over dt = 2t+1]

∴ [eqn: dy over dx = {dy over dt} over {dx over dt } = {2t+1 over {3t^2 -4t+3}] [eqn: cdots cdots] ㉠

한편 [eqn: x= t^3 -2t^2 +3t+1][eqn: =3]을 만족시키는 [eqn: t]의 값은

[eqn: t^3 - 2t^2 +3t-2=0], [eqn: (t-1)(t^2 -t+2)=0]

∴ [eqn: t=1]

[eqn: t=1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: f`'(3)= {2+1} over {3-4+3} = 3over2]

∴ [eqn: lim_h->0 {f(3+4h)-f(3)} over h][eqn: =4`f`'(3)][eqn: =4 cdot 3over2 =6]

40 [정답] ④

해설

함수 [eqn: f(x)= {sinx} over {1+cosx}]에서

[eqn: f` ^{ʹ} (x)= {(sinx)ʹ(1+cosx)-(sinx)(1+cosx) ^{ʹ}} over {(1+cosx) ^{2}}]

[eqn: = {cosx(1+cosx)-sinx(-sinx)} over {(1+cosx) ^{2}}]

[eqn: = {cosx+1} over {(1+cosx) ^{2}} = {1} over {1+cosx}]

[eqn: THEREFORE f`ʹ LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) = {1} over {1+cos` {pi } over {3}} = {1} over {1+ {1} over {2}} = {2} over {3}]

41 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f(x)=e ^{x+1} -e ^{3} x+e ^{3} +1``]에서

[eqn: f`'(x)=e ^{x+1} -e ^{3} ``]

[eqn: f` prime (x)=0``]에서 [eqn: e ^{x+1} =e ^{3} ``]

[eqn: THEREFORE `x=2``]

함수 [eqn: f(x)``]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: m=f(2)``]

[eqn: =e ^{2+1} -e ^{3} BULLET 2+e ^{3} +1``]

[eqn: =e ^{3} -e ^{3} +e ^{3} +1``]

[eqn: =1``]

따라서 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=2``]에서 극솟값 [eqn: 1``]을 가지므로

[eqn: a=2,`m=1``]

[eqn: THEREFORE `a+m=2+1=3``]

42 [정답] ①

해설

함수 [eqn: f(x)=xe ^{-(x-2) ^{2}}]에서

[eqn: f`ʹ(x)=(x) ^{ʹ} e ^{-(x-2) ^{2}} +x LEFT { e ^{-(x-2) ^{2}} RIGHT } ^{ʹ}]

[eqn: =1 CDOT e ^{-(x-2) ^{2}} +xe ^{-(x-2) ^{2}} CDOT LEFT { -(x-2) ^{2} RIGHT } ^{ʹ}]

[eqn: =e ^{-(x-2) ^{2}} +xe ^{-(x-2) ^{2}} CDOT LEFT { -2(x-2) RIGHT }]

[eqn: =-e ^{-(x-2) ^{2}} LEFT { -1+2x(x-2) RIGHT }]

[eqn: =-e ^{-(x-2) ^{2}} LEFT { 2x ^{2} -4x-1 RIGHT }]

[eqn: f`ʹ(x)=0]에서 [eqn: 2x ^{2} -4x-1=0]

[eqn: THEREFORE x= {2- sqrt {6}} over {2}] 또는 [eqn: x= {2+ sqrt {6}} over {2}]

따라서 구하는 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 2]이다.

43 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f(x)]의 절댓값에 자연로그를 취하면
[eqn: ln |f``(x)``| = ln left | {(x-2 ) rootx+4} over { (x^2 +1)^3 } right|]

[eqn: = ln |x-2| + 1 over 2 `ln | x+4| - 3 ln |x^2 + 1 |]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: {f`'(x) } over { f(x)} = 1 overx-2 + 1 over {2 (x+4)} - 6x over {x^2 +1 }]

[eqn: f`'(x) =][eqn: {(x-2) root{x+4} } over { (x^2 + 1) ^3 }][eqn: left{ 1 over x-2 + 1 over {2 (x+4) } - 6x over {x^2 +1 } right}]

∴ [eqn: f`'(0) = {-2 times root4} over 1^3 times LEFT ( - 1 over 2 + 1 over 8 - 0 RIGHT )]

[eqn: = - 4 times LEFT ( - 3over 8 RIGHT )]

[eqn: = 3over 2]

44 [정답] [eqn: 13`]

[출제의도] 도함수를 이용하여 함수의 증가하는 구간을 조사하고 최솟값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

해설

[eqn: f'(x) = 3x^2 -2(a+2)x +a`]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,``f(t))`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y- left{ t^3 - (a+2)t^2 + at right} `][eqn: = left{ 3t^2 -2(a+2)t+a right} (x-t)`]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: y= g(t)`]이므로

[eqn: g(t)- left{ t^3 - (a+2)t^2 + at right} `][eqn: = left{ 3t^2 -2(a+2)t+a right} (-t)`]

∴ [eqn: g(t) = -2t^3 + (a+2)t^2`]

[eqn: g`'(t) = -6t^2 + 2(a+2) t`]이므로 이차함수 [eqn: g`'(t)`]가 [eqn: 0<t<5`]에서 [eqn: g`'(t)`>0`]이려면

[eqn: g` prime (0)` GEQ 0`], [eqn: g` prime (5) GEQ 0`]이어야 한다.

[eqn: g`'(0) = 0`]이고,

[eqn: g` prime (5)=-150+10(a+2) GEQ 0`]이므로

[eqn: a GEQ 13`]

따라서, 구하는 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 13`]이다.

45 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f(x)=x^3 -6x^2 +9x+5]에서

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -12x+9``]

[eqn: =3(x-1)(x-3)``]

[eqn: 3(x-1)(x-3)>0``] 일 때, [eqn: x<1``]또는 [eqn: x>3``]이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x<1``]또는 [eqn: x>3``]에서 증가하고, [eqn: 3(x-1)(x-3)<0``]일 때, [eqn: 1<x<3``]이므로 함수[eqn: f(x)``]는 [eqn: 1<x<3``]에서 감소한다.

[eqn: THEREFORE `a=1,`b=3``]

[eqn: THEREFORE `a ^{3} +b ^{3} =1+27=28``]

46 [정답] ④

해설

함수 [eqn: y=ln(e ^{x} +2)`]에서 [eqn: x`]와 [eqn: y``]를 바꾸면

[eqn: x=ln(e ^{y} +2)]

[eqn: e ^{y} +2=e ^{x}]

[eqn: e ^{y} =e ^{x} -2]

[eqn: y=ln(e ^{x} -2)]

[eqn: THEREFORE `g(x)=ln(e ^{x} -2)]

따라서 [eqn: f`'(x)= {e ^{x}} over {e ^{x} +2} ,~g`'(x)= {e ^{x}} over {e ^{x} -2} ``]이므로

[eqn: f`'(ln2)+g`'(ln3)= {e ^{ln2}} over {e ^{ln2} +2} + {e ^{ln3}} over {e ^{ln3} -2}]

[eqn: = {2} over {2+2} + {3} over {3-2}]

[eqn: = {1} over {2} +3= {7} over {2}]

47 [정답] ⑤

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 [eqn: x = 1 ``]에서의 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

해설

[eqn: lim _{ h -> 0 } { `` { f(1+h ) - f(1-h) } over {h } }``]
[eqn: = lim _{ h -> 0 } { `` { f(1 + h ) - f(1) + f(1) - f(1-h)} over {h } }]
[eqn: = lim _{ h -> 0 } { `` { f(1+ h) - f(1) } over {h } } + lim _{ h -> 0 } {`` {f(1-h) - f(1) } over { -h} }]
[eqn: = f`'(1) + f`'(1) = 2 f`'(1)]
한편, 함수 [eqn: f(x) ={ 2x } over {x^2 + 3 }``]에서
[eqn: f`'(x) = { 2 left( x^2 + 3 right) - 2x cdot 2x } over {left( x^2 + 3 right)^2 } = { -2x^2 + 6 } over { left( x^2 + 3 right)^2}]
[eqn: therefore~~](주어진 식) = [eqn: 2 f`'(1) = 2 cdot 1 over 4 = 1 over 2]

48 [정답] ①

해설

[eqn: f``' LEFT ( x RIGHT ) =2x+a``]이므로

[eqn: f``' LEFT ( 5 RIGHT ) =10+a,~f``' LEFT ( n RIGHT ) =2n+a``]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} f``' LEFT ( n RIGHT ) = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n+a RIGHT ) ``]

[eqn: =2 sum _{n=1} ^{10} n+ sum _{n=1} ^{10} a``]

[eqn: =2 TIMES {10 CDOT 11} over {2} +a CDOT 10``]

[eqn: =110+10a``]

[eqn: THEREFORE ~ alpha =110+10a,~ beta =10+a``]

[eqn: alpha =5 beta ``]가 성립하므로

[eqn: 110+10a=5 LEFT ( 10+a RIGHT ) ``]

[eqn: 110+10a=50+5a``]

[eqn: 5a=-60``]

[eqn: THEREFORE ~a=-12``]

49 [정답] ⑤

해설

두 곡선 [eqn: y = f(x) ,] [eqn: y = g(x)] 가 점 [eqn: rm A(2,~3)]을 지나므로

[eqn: f(2) = 3,] [eqn: g(2)= 3]

점 [eqn: rm A]에서의 두 접선이 서로 수직이므로

[eqn: f'(2) g'(2) = -1] [eqn: cdotscdots ㉠]

[eqn: lim_x->2 { g( f(x) ) - 1 } over x-2][eqn: = 6] 에서 [eqn: g(f(2)) = g(3) = 1] 이므로 함수

[eqn: h ( x) = g( f(x))] 로 놓으면

[eqn: lim_x->2 { g( f(x) ) - 1 } over x-2] [eqn: = lim_x->2 { h(x) - h(2) } over x-2][eqn: = h '(2) = 6]

이때, [eqn: h'(x)= g'( f(x)) f'(x)] 이므로

[eqn: h '(2) = g'( f(2)) f'(2)] [eqn: = g'(3) f'(2)= 6] [eqn: cdotscdots ㉡]

㉠，㉡에서 [eqn: { g'(3) f'(2) } over { f'(2) g'(2) "] [eqn: = g'(3) over g'(2) =-6]

[eqn: therefore] [eqn: g(3) over g(2) times g'(3) over g'(2)] [eqn: = 1 over 3 cdot (-6)] [eqn: = - 2]

50 [정답] ②

[출제의도] 함수의 도함수와 이계도함수를 구하고 이를 이용하여 주어진 구간에서 최댓값을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

해설

[eqn: f` prime (x)=1+ {-2x} over {2 sqrt {1-x ^{2}}} = {sqrt {1-x ^{2}} -x} over {sqrt {1-x ^{2}}}]

ㄱ. [eqn: f`'(x)=0]이면 [eqn: sqrt {1-x ^{2}} -x=0], [eqn: 1-x ^{2} =x ^{2}], [eqn: 2x ^{2} =1]

[eqn: x=- {sqrt {2}} over {2}] 또는 [eqn: x= {sqrt {2}} over {2}]이지만 [eqn: x=- {sqrt {2}} over {2}]는 무연근이므로 극댓값을 가지지 않는다.(거짓)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 증감을 표로 만들면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: {sqrt {2}} over {2}]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: -1]	↗	[eqn: sqrt {2}]	↘	[eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= {sqrt {2}} over {2}]에서 극대이면서 최댓값을 가지므로 최댓값은

[eqn: f LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) = {sqrt {2}} over {2} + sqrt {1- LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {2}} over {2} + {sqrt {2}} over {2} = sqrt {2}](참)

ㄷ. [eqn: f` prime (x)=1- {x} over {sqrt {1-x ^{2}}}]이므로

[eqn: f` prime prime (x)=- {1 CDOT sqrt {1-x ^{2}} -x` CDOT ` {-2x} over {2 sqrt {1-x ^{2}}}} over {1-x ^{2}}]

[eqn: =- {(1-x ^{2} )+x ^{2}} over {(1-x ^{2} ) ^{{3} over {2}}} =- {1} over {(1-x ^{2} ) ^{{3} over {2}}} <0]

즉, [eqn: f`''(x)]의 부호는 항상 음수이므로 변곡점은 없다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

51 [정답] ⑤

해설

주어진 식에 [eqn: x = y = 0]을 대입하면

[eqn: f(0) = e^0 f(0) + e^0 f(0)]

∴ [eqn: f(0) = 0]

[eqn: f`'(x) = lim from h→0 {f(x+h) - f(x)} over { h}]

[eqn: = lim from h→0 { e^h f(x) + e^x f(h)- f(x)} over { h}]

[eqn: = lim from h→0 left{ {e^h -1} over h cdot f(x) +e^x cdot f(h) over h right}]

[eqn: = f(x) cdot lim from h→0 {e^h -1} over h + e^x cdot lim from h→0 f(h) over h]

[eqn: = f(x) + e^x f`'(0)]

[eqn: = f(x) + 2e^x]

[eqn: f(x)]의 이계도함수가 존재하므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`''(x) = f`'(x) + 2e^x]

∴ [eqn: f`''(0) = f`' (0) + 2 = 4]

52 [정답] [eqn: 2]

해설

(가)에서 삼차함수의 그래프는 점 [eqn: (6,~0)``]에 대하여 대칭이다.

(나)에서 [eqn: f(3)f(4)<0``]이므로 방정식 [eqn: f(x)=0``]은 열린구간 [eqn: (3,~4)``]에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

또 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프가 점 [eqn: (6,~0)``]에 대하여 대칭이므로 구간 [eqn: (8,~9)``]에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

따라서 [eqn: 3< alpha <4< beta =6<8< gamma <9``]인 관계가 성립하므로

[eqn: f(x)=(x- alpha )(x- beta )(x- gamma )]

[eqn: =(x- alpha )(x-6)(x- gamma )]

[eqn: f`'(x)=(x-6)(x- gamma )+(x- alpha )(x- gamma )+(x- alpha )(x-6)``]

[eqn: f`'( beta )=f`'(6)=(6- alpha )(6- gamma )]

[eqn: {f` prime ( alpha )} over {beta - gamma } = {f` prime (6)} over {6- gamma } = {(6- alpha )(6- gamma )} over {6- gamma }]

[eqn: =6- alpha]

[eqn: 3< alpha <4``]이므로 [eqn: 2<6- alpha <3``]이고

[eqn: LEFT [ {f`'( beta )} over {beta - gamma } RIGHT ] = LEFT [ 6- alpha RIGHT ] =2]

53 [정답] ➀

해설

[eqn: x ^{3} +y ^{3} +3x ^{2} +3x=1]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 3x ^{2} +3y ^{2} {dy} over {dx} +6x+3=0]

[eqn: 3y ^{2} {dy} over {dx} =-3x ^{2} -6x-3]

[eqn: =-3(x ^{2} +2x+1)=-3(x+1) ^{2}]

[eqn: THEREFORE {dy} over {dx} = {-3(x+1) ^{2}} over {3y ^{2}} =- {(x+1) ^{2}} over {y ^{2}} ```(단,``y ^{2} != 0)]

교점은 직선 [eqn: y=x+1]위의 점이므로 교점을 [eqn: (a,~a+1)]이라 하면

[eqn: {dy} over {dx} =- {(a+1) ^{2}} over {(a+1) ^{2}} =-1]

따라서 교점에서의 접선의 기울기는 [eqn: -1`]이다.

[다른 풀이]

곡선 [eqn: x ^{3} +y ^{3} +3x ^{2} +3x=1`]에서 양변에 [eqn: 1`]을 더하면

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +3x+1+y ^{3} =2]

즉, [eqn: (x+1) ^{3} +y ^{3} =2`]이므로 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 3(x+1) ^{2} +3y ^{2} {dy} over {dx} =0`]

[eqn: THEREFORE {dy} over {dx} = {-3(x+1) ^{2}} over {3y ^{2}} =- {(x+1) ^{2}} over {y ^{2}} ``]

54 [정답] ⑤

해설

함수 [eqn: f(x)=x-3lnx+ {2} over {x ^{2}} =x-3lnx+2x ^{-2} ``]에서

[eqn: f` prime (x)=1- {3} over {x} - {4} over {x ^{3}}]

[eqn: x ^{3} f`'(x)=x ^{3} LEFT ( 1- {3} over {x} - {4} over {x ^{3}} RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} -4]

함수 [eqn: g(x)=x ^{3} -3x ^{2} -4``]라 하면 [eqn: g`'(x)=3x ^{2} -6x=0``]을 만족시키는 [eqn: x``]의 값은 [eqn: x=0,~x=2``]이고, [eqn: x=2``]의 좌우에서 [eqn: g`'(x)``]의 부호가 음에서 양으로 변하므로 극솟값은

[eqn: g(2)=-8]

55 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f(x) = { g(x) -1 } over { g(x) + 1 }``]에서
[eqn: f`'(x) = { g`'(x) left{ g(x) + 1 right} - left{ g(x) -1 right} g`'(x)} over { left{ g(x) +1 right} ^2}``]
[eqn: = { 2`g`'(x) } over { left{ g(x) +1 right}^2}]
이므로
[eqn: f`'(1) =][eqn: { 2`g`'(1) } over { left{ g(1) +1 right}^2}]
[eqn: = { 2 cdot 9} over { left{ g(1) + 1 right}^2}]
[eqn: = 2]
[eqn: left{ g(1) + 1 right}^2 = 9 ``]
[eqn: g(x) > -1 ``]엣 [eqn: g(x) +1 > 0 ``]이므로
[eqn: g(1) +1 = 3 ``]
[eqn: therefore ` g(1) = 2 ``]

56 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +4x-9]에서

[eqn: f(3)= 3^3 - 3 cdot 3^2 +4 cdot 3 -9=3]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g(3)=3]

[eqn: f`'(x) =3x^2 -6x+4]이므로

[eqn: f`'(3)= 3 cdot 3^2 - 6 cdot 3 +4=13]

∴ [eqn: g`'(3)= 1 over {f`'(3)} = 1 over 13]

한편

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}][eqn: = lim_x->3 { {f(x)} over {g(x)} -1} over x-3]	(∵ [eqn: g(x)!=0])

[eqn: = lim_x->3 { {f(x)} over {g(x)} -{f(3)} over {g(3)}} over x-3]

이므로 함수 [eqn: h(x)= {f(x)} over {g(x)}]로 놓으면

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}][eqn: = lim_x->3 {h(x)-h(3)} over x-3][eqn: = h`'(3)]

이때, [eqn: h`'(x)= {f`'(x)g(x)- f(x)g`'(x)} over {left{g(x) right}^2 }]이므로

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}][eqn: =h`'(3)]

[eqn: = {f`'(3)g(3)- f(3)g`'(3)} over {left{g(3) right}^2 }]

[eqn: = {13 cdot 3 - 3 cdot 1over13 } over 3^2]

[eqn: = {168 over 13} over 3]

[eqn: = 56 over13]

[다른 풀이]

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)} over {(x-3)g(x)}]

[eqn: =lim_x->3 {left{f(x)-3 right}- left{g(x)-3 right}} over x-3 times 1 over {g(x)}]

[eqn: = left{``lim_x->3 { f(x)-3 } over x-3 - lim_x->3 { g(x)-3 } over x-3 right} times lim_x->3 1 over {g(x)}]

[eqn: = left{f`'(3)- g`'(3) right} times 1 over g(3)]

[eqn: = left(13 - 1over 13 right) times 1over3]

[eqn: = 168 over 13 times 1over3]

[eqn: = 56 over13]

57 [정답] ⑤

해설

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+a``]에서

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -3=0``]

[eqn: THEREFORE `x=-1``]또는 [eqn: x=1``]

함수[eqn: f(x)``]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]

따라서 함수[eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: f(1)=1-3+a=1``]

[eqn: THEREFORE `a=3``]

따라서 함수[eqn: f(x)=x ^{3} -3x+3``]의 극댓값은

[eqn: f(-1)=-1+3+3=5``]

58 [정답] ③

해설

[eqn: x=2(e ^{3t} +e ^{-3t} ),~y=2(e ^{3t} -e ^{-3t} )``]에 대하여

[eqn: {dx} over {dt} =6(e ^{3t} -e ^{-3t} ),~ {dy} over {dt} =6(e ^{3t} +e ^{-3t} )````]이므로 속력 [eqn: |`v`|``]는

[eqn: |`v`|=6 sqrt {(e ^{3x} -e ^{-3x} ) ^{2} +(e ^{3x} +e ^{-3x} ) ^{2}}]

[eqn: =6 sqrt {2e ^{6t} +2e ^{-6t}}]

[eqn: =6 sqrt {2} BULLET sqrt {e ^{6t} +e ^{-6t}}]

[eqn: {d ^{2} x} over {dt ^{2}} =18(e ^{3t} +e ^{-3t} )`]

[eqn: {d ^{2} y} over {dt ^{2}} =18(e ^{3t} -e ^{-3t} )`]

가속도 [eqn: a``]의 크기는

[eqn: a=18 sqrt {(e ^{3x} +e ^{-3x} ) ^{2} +(e ^{3x} -e ^{-3x} ) ^{2}}]

[eqn: =18 sqrt {2e ^{6t} +2e ^{-6t}}]

[eqn: =18 sqrt {2} BULLET sqrt {e ^{6t} +e ^{-6t}}]

그러므로 [eqn: |`a`|=k|`v`|``]에서

[eqn: |`a`|=3|`v`|]

[eqn: THEREFORE `k=3`]

59 [정답] [eqn: 35]

해설

[eqn: t=1]일 때, [eqn: x=1-t ^{2`} `,``y=2t ^{2`} `+t]에서

[eqn: x=1-1 ^{2} `=0]

[eqn: y=`2`cdot`1 ^{2`} +1=3]

이므로 접점의 좌표는 [eqn: (0,~3)]이다.

[eqn: {dx}over{dt}=`-`2t`,``{dy}over{dt}`=`4t`+1]

[eqn: THEREFORE `` {dy} over {dx} `=` {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} `=` {4t+1} over {-2t}}]

따라서 [eqn: t=1]에 대응하는 점 [eqn: (0,~3)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {4+1}over{-2} = -{5}over{2}]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-3=-{5}over{2} (x-0)]

[eqn: therefore~ y = -{5}over{2}x+3]

따라서 [eqn: a=- {5} over {2} ,~b=3]이므로

[eqn: -2a+10b=5+30=35]

60 [정답] ②

해설

삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이가 최소가 되려면 주어진 그림에서 변 [eqn: rm AB]는 고정되어 있으므로 곡선 위의 점 [eqn: rm P it(a,~b)]에서 직선 [eqn: rm AB]까지의 거리가 최소가 되면 된다.

즉, 두 점[eqn: rm A(0,~-3),~B(2,~0)]을 지나는 직선의 기울기

[eqn: {0-(-3)}over{2-0} = {3}over{2}]

과 곡선 [eqn: y=e^x + e^-x]위의 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선의 기울기가 같을 때, [eqn: y`'=e^x - e^-x]이므로

[eqn: e^a -e^-a ={3}over{2}]

양변에 [eqn: 2e^a]을 곱하여 정리하면

[eqn: 2(e^a )^2 - 3 e^a -2=0]

[eqn: (2e^a +1)(e^a -2)=0]

[eqn: 2e ^{a} +1>0]이므로 [eqn: e ^{a} =2]

[eqn: therefore```a`=`ln`2]

61 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: f(0)=0``]이고 [eqn: x<0``]에서 [eqn: f(x)=-x`]이고, [eqn: x>0] 에서

[eqn: f(x)=x``]이므로

[eqn: lim _{x-> -0} {f(x)} = lim _{x-> +0} {f(x)=0``}]

즉, 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0`]에서 연속이다.

그러나

[eqn: lim _{x -> -0} {{f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> -0} {{|`h`|-0} over {h}}}]

[eqn: = lim _{h -> -0} {{-h} over {h}} =-1]

[eqn: lim _{x -> +0} {{f(0+h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> +0} {{|`h`|-0} over {h}}}]

[eqn: = lim _{h -> -0} {{h} over {h}} =1]

이므로 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다.

ㄴ. [eqn: g(0)=0``]이고 [eqn: x<0``]에서 [eqn: g(x)=x``]이고, [eqn: x>0``]에서 [eqn: g(x)=3x``]이므로

[eqn: lim _{x -> -0} {g(x)} = lim _{x -> +0} {g(x)=0``}]

즉, 함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이다.

그러나

[eqn: lim _{x -> -0} {{g(0+h)-g(0)} over {h} = lim _{h -> -0} {{`h-0} over {h} = lim _{h-> -0} {{h} over {h} =1}}}]

[eqn: lim _{x -> +0} {{g(0+h)-g(0)} over {h} = lim _{h -> +0} {{`3h-0} over {h} = lim _{h -> +0} {{3h} over {h} =3}}}]

이므로 함수 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

ㄷ. [eqn: h(0)=0``]이고 [eqn: x<0``]에서 [eqn: h(x)=-1``]이고, [eqn: x>0``]에서 [eqn: h(x)=1``]이므로

[eqn: lim _{x -> -0} {h(x)} =-1 != 1= lim _{x -> +0} {h(x)``}]

즉, 함수 [eqn: h(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 불연속이다.

그러므로 함수 [eqn: h(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 미분가능하지 않다.

따라서 [eqn: x=0``]에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는 ㄱ, ㄴ 이다.

62 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]에 [eqn: x=a,~x=-1``]을 각각 대입하면

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =a ^{3} -2a ^{2} +3a+5``]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-1-2-3+5=-1``]

이므로 구하고자 하는 평균변화율은

[eqn: {f LEFT ( a RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {a- LEFT ( -1 RIGHT )} = {LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +3a+5 RIGHT ) - LEFT ( -1 RIGHT )} over {a- LEFT ( -1 RIGHT )} =4``]

[eqn: a ^{3} -2a ^{2} +3a+6=4a+4``]

[eqn: a ^{3} -2a ^{2} -a+2=0``]

[eqn: a ^{3} -2a ^{2} -a+2=a ^{2} LEFT ( a-2 RIGHT ) - LEFT ( a-2 RIGHT ) ``]

[eqn: = LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) ``]

[eqn: = LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =0``]

[eqn: THEREFORE ~a=-1``]또는 [eqn: a=1``]또는 [eqn: a=2``]

이때, [eqn: a>-1``]이므로 [eqn: a=1``]또는 [eqn: a=2``]

따라서 모든 [eqn: a``]의 값의 합은 [eqn: 1+2=3``]

63 [정답] ②

해설

두 함수 [eqn: f(x)= sin x ,~g(x)= - cos x+a]에서

[eqn: f'(x)=cos x,~g'(x)= sin x]

접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x=t LEFT ( 0<t < {pi}over{2} RIGHT )]라 하면

(ⅰ) [eqn: f`(t)=g(t)]에서

[eqn: sin t = - cos t + a]         [eqn: cdots]㉠

(ⅱ) [eqn: f`'(t)=g`'(t)]에서

[eqn: cos t = sin t]             [eqn: cdots]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: sin t = - sint +a]

[eqn: sint = cost ={a}over{2}]       [eqn: cdots]㉢

[eqn: 0< t<{pi}over{2}]에서 ㉢을 만족시키는 [eqn: t]의 값은 [eqn: t ={pi}over{4}]이므로

[eqn: {a}over{2} = { root2 }over{2}]

[eqn: therefore~ a = root2]

64 [정답] ④

해설

[eqn: t`]초 후의 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하면 [eqn: r=3+t`]이므로 구의 겉넓이와 부피를 각각 [eqn: S,~V```]라 하면

[eqn: S=4 pi r ^{2} =4 pi (3+t) ^{2} ,~V= {4} over {3} pi r ^{3} = {4} over {3} pi (3+r) ^{3} `]

겉넓이의 변화율 [eqn: S``'``]은

[eqn: S``'= {dS} over {dt} =4 BULLET 2 pi (3+t)]

[eqn: =8 pi (3+t)=48 pi]

[eqn: 3+t=6`````````````` THEREFORE `t=3]

이때, 부피의 변화율 [eqn: V``'``]은

[eqn: V``'= {dV} over {dt} =4 pi (3+t) ^{2}]

따라서 [eqn: t=3``]일 때, 구하는 부피의 변화율은

[eqn: V``'=4 pi (3+3) ^{2} =4 pi BULLET 36=144 pi]

65 [정답] ①

해설

[eqn: f(1)=4e^{-2ln2}=4e^{ln2^-2}=4times{1}over{4}=1]이고
[eqn: (x-1)g(x)=f(x)-1]에서 [eqn: x ne 1]일 때
[eqn: g(x)={f(x)-1}over{x-1}={f(x)-f(1)}over{x-1}]
함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이면 [eqn: g(1)=lim_x->1{g(x)}]이므로
[eqn: g(1)=lim_x->1{{f(x)-f(1)}over{x-1}}=f'(1)]
이때, 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f'(x)=4e^{-2ln left(x^2 +1right)}cdot left{-2ln left(x^2 +1 right)right}']
[eqn: =4e^{-2ln left(x^2 +1right)}cdot {-2 cdot2x}over{x^2 +1}]
[eqn: ={-16x}over{x^2 +1}e^{-2ln left(x^2 +1right)}]
이므로 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: f'(1)={-16}over{2}cdote^{-2ln2}=-8e^{ln2^-2}=-8 times2^-2 = -2]
[eqn: therefore][eqn: g(1)=f'(1)=-2]

66 [정답] ①

해설

[eqn: x=e``]에서 접선의 기울기는 [eqn: f``' LEFT ( e RIGHT ) ``]이므로

[eqn: f``' LEFT ( e RIGHT ) = lim _{h-> 0} {{f LEFT ( e+h RIGHT ) -f LEFT ( e RIGHT )} over {h}} ``]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{ln LEFT ( e+h RIGHT ) -lne} over {h}} ``]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{ln {e+h} over {e}} over {h} = lim _{h-> 0} {{ln LEFT ( 1+ {h} over {e} RIGHT )} over {{h} over {e} CDOT e} ``}}]

[eqn: {h} over {e} =t``]로 놓으면 [eqn: h->0``]일 때 [eqn: t->0``]이므로

[eqn: f``' LEFT ( e RIGHT ) = lim _{t-> 0} {{ln LEFT ( 1+t RIGHT )} over {t} CDOT {1} over {e} = {1} over {e} ``}]

67 [정답] ⑤

해설

주어진 다항식을 [eqn: f(x) = ( 2x-1) ^n ``]이라 하면 [eqn: f(1) = 1] 이고

[eqn: f'(x) = n ( 2x-1)^n-1 cdot 2 = 2n ( 2x -1)^n-1]

이므로 [eqn: f'(1) = 2n]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: ( x-1)^2] 으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)] 라 하면

[eqn: f(x) = ( x-1)^2 Q(x) + 10 x + k] [eqn: cdotscdots ㉠]

[eqn: f(1) = 10 + k = 1]

[eqn: therefore] [eqn: k =- 9]

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x)= 2 ( x-1) Q(x) +( x-1)^2 Q`'(x) + 10]

위의 식의 양변에 [eqn: x= 1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = 2n = 10]

[eqn: therefore] [eqn: n = 5]

[eqn: therefore] [eqn: n + k = 5 +( - 9 ) = - 4]

68 [정답] ⑤

해설

네 점을 [eqn: rm A LEFT ( it `a,~-1 RIGHT ) ,~ rm B LEFT ( it `b,~0 RIGHT ) ,~ rm C LEFT ( ` it c,~3` RIGHT ) ,~ rm D LEFT ( `-1,~1` RIGHT ) ``]이라 하자.

ㄱ. [eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} ``]는 두 점 [eqn: rm A,~B``]를 지나는 직선의 기울기이므로

[eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} >0``]

[eqn: f``' LEFT ( -1 RIGHT ) ``]은 점 [eqn: rm D``]에서의 접선의 기울기이므로 다음 그림에서 알 수

있듯이 [eqn: f``' LEFT ( -1 RIGHT ) <0``]

[eqn: THEREFORE ~ {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} >f' LEFT ( -1 RIGHT ) ``](참)

ㄴ. [eqn: {f LEFT ( c RIGHT )} over {c} ``]는 원점과 점 [eqn: rm C``]를 지나는 직선의 기울기이고 [eqn: f``' LEFT ( c RIGHT ) ``]는 점

[eqn: rm C``]에서의 접선의 기울기이다.

[eqn: THEREFORE ~ {f LEFT ( c RIGHT )} over {c} <f``' LEFT ( c RIGHT ) ``] (참)

ㄷ. [eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {b+1} = {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {b- LEFT ( -1 RIGHT )} ``]에서

[eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {b+1} ,~f``' LEFT ( a RIGHT ) ,~ {f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {c-b} ``]는 각각 차례대로 두 점

[eqn: rm B,~D``]를 지나는 직선 [eqn: l``], 점 [eqn: rm A``]에서의 접선 [eqn: m``], 두 점 [eqn: rm B,~C``]를

지나는 직선 [eqn: n``]의 기울기를 의미하므로

[eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {b+1} <0,~f`` prime LEFT ( a RIGHT ) =0,~ {f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {c-b} >0``]

[eqn: THEREFORE ~ {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {b+1} <f``' LEFT ( a RIGHT ) < {f LEFT ( c RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {c-b} ``]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

69 [정답] ④

해설

함수 [eqn: y = { x^5 - 4x} over { x^2}]
[eqn: dy over dx = { left( 5x^4 - 4 right) cdot x^2 - left( x^5 - 4x right) cdot 2x} over {x^4 }]
[eqn: = { 3x^6 + 4x^2} over { x^4}]
[eqn: = 3x^2 + 4 over x^2]
[다른풀이]
함수 [eqn: y = { x^5 - 4x} over { x^2} = x^3 - 4 over x ``]이므로
[eqn: dy over dx = 3x^2 - left( -4 over x^2 right) = 3x^2 + 4 over x^2]

70 [정답] ➀

해설

[eqn: lim _{h-> 0} {{g(2+3h)-g(2-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(2+3h)-g(2)+g(2)-g(2-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(2+3h)-g(2)} over {3h} BULLET 3+ lim _{h-> 0} {{g(2-h)-g(2)} over {-h}}}]

[eqn: =3`g` prime (2)+g` prime (2)=4g` prime (2)]

[eqn: g`(2)=k]라 하면 [eqn: f(k)=2]이므로

[eqn: f(k)=k ^{3} -k ^{2} +3k-1=2]

정리하여 인수분해하면

[eqn: k ^{3} -k ^{2} +3k-3=(k-1)(k ^{2} +3)=0]

[eqn: THEREFORE k=1]

따라서 [eqn: f(1)=2,~]즉 [eqn: g(2)=1]

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -2x+3]이므로

[eqn: f` prime (1)=4]

[eqn: THEREFORE g` prime (2)= {1} over {f` prime (1)} = {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE lim _{h -> 0} {{g(2+3h)-g(2-h)} over {h} =4`g` prime `(2)=4 BULLET {1} over {4} =1}]