<2013학년도> [이과 주말과제]	함수의 극한과 연속성 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수

1 [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)=lim_x->inf `{x^n+1 +5^x +a}over{2x^n +1}]가 연속일 때,

[eqn: a+f(2013)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이고 [eqn: n]은 자연수이다.)

① [eqn: 1000]	② [eqn: 1002]	③ [eqn: 1004]

④ [eqn: 1006]	⑤ [eqn: 1008]

2 [eqn: 0<x<pi]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x != {pi } over {2}]일 때, [eqn: f(x)= {x`cos`x}over2x-pi]이다. [eqn: f`left( piover2 right)]의 값은?

① [eqn: - piover2]	② [eqn: - piover4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: piover4]	⑤ [eqn: piover2]

3 함수 [eqn: f(x)=cases{`{e^x +x+a}over 4x _{} _{} ~~&``(x !=0)#`~~~~b&``(x=0)}`]가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

4 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(n)=ln`left{ 1over3 left(1+ 1over n right)left(1+ 1over n+1 right)left(1+ 1over n+2 right) times `cdots ` times left(1+ 1over3n right)right}]

이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `nf(n)]의 값은?

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

5 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 =2], [eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x^2 -9} =5]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 적어도 두 실근을 가진다.

ㄴ. [eqn: lim _x->0][eqn: f(x+3) over x =15]

ㄷ. [eqn: lim _x->2][eqn: {f(x-1) f(x+1)} over {x^4 -8x^2 +16} = 15 over 4]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6 함수 [eqn: f(x) =][eqn: root {x+2root x-1} - root {x-2 root x-1}]에 대하여

[eqn: lim _x->2-0][eqn: {f(x) -2} over x-2]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

7 모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=cases{`~1over3 x _{`} ~~&``(0le x<3)#`ax+b&``(3le x<6)}], [eqn: f(x+6)=f(x)]

를 만족시킨다. 이때, [eqn: f(35)]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 2over3]

8 사차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->0 ``f(x) over x =alpha], [eqn: lim_x->1 ``f(x) over x-1 =beta]를 만족시킨다. [eqn: alphabeta>0]일 때, 닫힌 구간 [eqn: [`0,~1]]에서 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는? (단, [eqn: alpha,~beta]는 상수이다.)

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

9 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,

[eqn: lim _x->+0][eqn: f(x)][eqn: f(1-x)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

10 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _x->inf][eqn: f(x) over {x^2 +2x} =4], [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over {x^2 -1} =3]

을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

11 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _x->2][eqn: {f(x) +3} over x-2 =6]이 성립할 때,

[eqn: lim _x->2][eqn: { left{ f(x) right}^2 -9} over {x^2 -4}]의 값은?

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

12 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: lim_x->0 ``{tan^4 `x-sin^4 `x}over x^n =2]가 성립할 때, [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

13 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 =4]일 때,

[eqn: lim _x->0][eqn: {3f(x+1) +2x^3} over {f(x+1)-x^2 -x}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 12]

14 함수 [eqn: f(x)=cases{`~~~~5-x _{} ~~~~&``(x le3)#`-x^2 +4x+k&``(x>3)}`]가 닫힌 구간 [eqn: [`1,~5]]에서 최댓값을 가지지 않도록 하는 상수 [eqn: k]의 범위는?

① [eqn: k>`-1]	② [eqn: k>0]	③ [eqn: k>1]

④ [eqn: k<1]	⑤ [eqn: k<0]

15 함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf `{x^2n+1 -x+2}over{x^2n +x+1}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`-1]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: (x-1)f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

16 두 함수

[eqn: f(x)=cases{`x^2 -3 _{`}~~&``(x<2)#`4-x&``(x ge2)}], [eqn: g(x)=x^2 +kx]

에 대하여 합성함수 [eqn: g(f(x))]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

17  [eqn: lim_{x->{piover2}} `tan`3x`cos`5x]의 값은?

① [eqn: 3over5]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 5over3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

18 함수 [eqn: f(x)=[`x^2 -5x+6]]에 대하여 집합

[eqn: A=left{`a`left|`f(x)]는 [eqn: x=a]에서 불연속, [eqn: 0<a<6 right}]

의 원소의 개수는? (단, [eqn: [`x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

19 그림과 같이 지름이 선분 [eqn: rmAB]이고 중심이 [eqn: rmO]인 반원이 있다.

반원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm anglePAB=theta]라 하고, [eqn: rm angleOPQ=theta]가 되도록 점 [eqn: rmQ]를 선분 [eqn: rmOB] 위에 잡을 때, [eqn: lim_theta->+0 `rm barOP over barOQ]의 값은? [eqn: left(단,~0<theta< piover4 right)]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 2sqrt2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2sqrt3]

20 두 실수 [eqn: a,~b]가 [eqn: lim _x->2][eqn: {x^2 +x-6} over {x^3 +ax^2 +bx -2} =1]을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

21 두 함수 [eqn: f(x)=x LEFT ( sqrt {{x+1} over {x-1}} -1 RIGHT ) ,~g(x)=x LEFT ( 1+ root {3} of {{1-x} over {x}} RIGHT ) ``]에 대하여  [eqn: lim _{x -> - INF } {} `f(x)= alpha ,~ lim _{x -> INF } {} `g(x)= beta ``]일 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?

(단, [eqn: alpha ,~ beta ``]는 실수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 4over3]	③ [eqn: 5over3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 7over3]

22 [eqn: lim _{x -> 0} {} `` {sqrt {1+x} -ax-b} over {sin ^{2} `x} =c``]일 때, [eqn: a+b+c``]의 값은?

(단, [eqn: a,~b,~c``]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 9over8]	③ [eqn: 5over4]

④ [eqn: 11over8]	⑤ [eqn: 3over2]

23 두 함수 [eqn: y=f(x),~y=g(x)``]의 그래프가 그림과 같다.

이때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim_x->0 `(g circ f)(x)=0]

ㄴ. 함수 [eqn: (g CIRC f)(x)``]는 [eqn: x=`-1``]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: (g CIRC f)(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24 [eqn: lim _{x -> a} {} ` LEFT { f(x)+g(x) RIGHT } =20,~ lim _{x -> a} {} ` LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } =10``]일 때, [eqn: lim _{x -> a} {} ``f(x)g(x)``]의 값은?

① [eqn: 60]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 75]	⑤ [eqn: 80]

25 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _x->-1][eqn: g(f(x))][eqn: =1]

ㄴ. [eqn: lim _x->2][eqn: f(g(x)) =1]

ㄷ. [eqn: lim _x->1][eqn: f(f(x))][eqn: =1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

26 [eqn: lim_x->0 ``{e^4x -1}over{ln(2x+1)}]의 값은?

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

27 함수 [eqn: f(x)= {cases{`~~~~x ^{x}&`` LEFT ( 0<x LEQ {1} over {2} RIGHT )#`sin(2x+a)&`` LEFT ( x> {1} over {2} RIGHT )}} ```]가 [eqn: x= {1} over {2} ``]에서 연속일 때, [eqn: a``]의 값은? (단, [eqn: 0<a<2``])

① [eqn: piover4 + 1over4]	② [eqn: piover4 + 1over2]	③ [eqn: 3over4 pi-1]

④ [eqn: 3over4 pi- 1over2]	⑤ [eqn: 3over4 pi- 1over4]

28 두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 =0], [eqn: lim _x->1][eqn: x-1 over g(x) =-1]

이 성립할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _x->1][eqn: f(x)][eqn: g(x)][eqn: =0]

ㄴ. [eqn: f(x) g(x)][eqn: =(x-1)^2 h(x)]이면 [eqn: lim _x->1][eqn: h(x)][eqn: =0]

ㄷ. [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over g(x) =0]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29 두 곡선 [eqn: y=4^x-1 ,~y=2^x-1]과 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점을 각각

[eqn: rmA,~B]라 할 때, [eqn: lim_t->1-0 `rm barAB over{it t-1}]의 값은?

① [eqn: - 1over{2`ln`2}]	② [eqn: - 1over{ln`2}]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: -ln`2]	⑤ [eqn: -2`ln`2]

30 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x,~y]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y+1)+2xy-2y],

[eqn: lim_x->1 ``f(x)=f(1)]

을 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(1)=0]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

31 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]와 두 점 [eqn: rmA(2,~0),~B(0,~1)]이 있다.

선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm angleAOP=theta]라 할 때, [eqn: lim_theta->+0 `rm barAP over theta]의 값은? [eqn: left(단,~0<theta< piover2 right)]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt5]	③ [eqn: {3sqrt5}over2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2sqrt5]

32 다항함수 [eqn: f(x)]와 모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: g(x)=cases{`{f(x)-x^2}over x-3 _{}~~&``(x !=3)#`~~~~a&``(x=3)}`]

이고 [eqn: lim_x->inf `g(x)=5]일 때, [eqn: a+f(2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

정답 및 해설

1 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f(x)]를 구간에 따라 간단히 하면

(i) [eqn: 0<x<1]일 때, [eqn: lim _n->inf][eqn: x^ n =0]이므로 [eqn: f(x) =][eqn: 5^x +a]

(ii) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(1)][eqn: =][eqn: a+6 over 3]

(iii) [eqn: x>1]일 때, [eqn: lim _n->inf][eqn: x^n = inf]이므로

[eqn: f(x) =][eqn: lim _n->inf][eqn: { x+{5^x +a} over x^n} over {2+ {1 over x^n}} = x over 2]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: f(1)][eqn: =][eqn: lim _x->1-0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->1+0][eqn: f(x)]

[eqn: a+6 over 3 =5+a = 1 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: a=- 9 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: a+f(2013)=][eqn: - 9 over 2 + 2013 over 2 = 2004 over 2]

[eqn: =1002]

2 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= pi over 2]에서 연속이므로

[eqn: f left( pi over 2 right) =][eqn: lim _{x-> pi over 2}][eqn: f(x) =][eqn: lim _{x-> pi over 2}][eqn: {x ` cos ` x} over 2x-pi]

이때, [eqn: x- pi over 2 =t]로 치환하면 [eqn: x `-> ` pi over 2]일 때 [eqn: t ` -> `0]이므로

[eqn: f left( pi over 2 right) =][eqn: lim _{x-> pi over 2}][eqn: {x ` cos ` x} over 2x-pi]

[eqn: =][eqn: lim _t->0][eqn: { left( pi over 2 +t right) ` cos left( pi over 2 +t right)} over 2t]

[eqn: =][eqn: lim _t->0][eqn: {- left( pi over 2 +t right) ` sin` t} over 2t]

[eqn: =][eqn: lim _t->0][eqn: {- left( pi over 2 +t right)} over 2 times][eqn: lim _t->0][eqn: {sin` t} over t]

[eqn: = - pi over 4]

3 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로 [eqn: lim _x->0][eqn: f(x) =][eqn: f(0)], 즉

[eqn: lim _x->0][eqn: {e^x +x+a}over 4x][eqn: =b]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

㉠의 좌변에서 [eqn: x ` -> ` 0]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이고 극한값이 수렴하므로

(분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

[eqn: lim _x->0][eqn: (e^x + x+a)=1+a=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=-1]

이때, ㉠에서

[eqn: b=][eqn: lim _x->0][eqn: {e^x +x-1}over 4x]

[eqn: =][eqn: 1 over 4][eqn: lim _x->0][eqn: left( {e^x -1} over x +1 right)]

[eqn: =][eqn: 1 over 4][eqn: (1+1) = 1 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: a+b = -1+ 1 over 2 =- 1 over 2]

4 [정답] ③

해설

[eqn: f(n) =][eqn: ln `left{ 1 over 3 left( n+1 over n right) left( n+2 over n+1 right) left( n+3 over n+2 right) times ` cdots ` times left( 3n+1 over 3n right) right}]
[eqn: =][eqn: ln ` 3n+1 over 3n]
[eqn: =][eqn: ln ` left(1+ 1 over 3n right)]

이므로

[eqn: lim _n->inf][eqn: nf(n) =][eqn: lim _n->inf][eqn: n][eqn: ln ` left(1+ 1 over 3n right)]
[eqn: =][eqn: lim _n->inf][eqn: 1 over 3][eqn: ln ` left(1+ 1 over 3n right)^3n]
[eqn: =][eqn: 1 over 3` ln ` e = 1 over 3]

5 [정답] ③

해설

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 =2]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

[eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x^2 -9} =5]	[eqn: cdots CDOTS] ㉡

ㄱ. ㉠에서 [eqn: x ` -> ` 1]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이므로 (분자)[eqn: -> ` 0], 즉

[eqn: f(1)=0]

㉡에서 [eqn: x ``->][eqn: 3]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이므로 (분자)[eqn: -> ` 0], 즉

[eqn: f(3)=0]

즉 [eqn: x=1], [eqn: x=3]은 방정식 [eqn: f(x)=0]의 해이므로 적어도 두 실근을

가진다. (참)

ㄴ. ㉡에서

[eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x^2 -9} =][eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x-3} times][eqn: lim _x->3][eqn: 1 over x+3]

[eqn: =][eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x-3} times][eqn: 1 over 6][eqn: =5]

[eqn: therefore] [eqn: lim _x->3][eqn: f(x) over {x-3} =30]

[eqn: x+3 =t]라 하면 [eqn: x ` -> ` 0]일 때 [eqn: t][eqn: ->][eqn: 3]이므로

[eqn: lim _x->0][eqn: {f(x+3)} over x =][eqn: lim _t->3][eqn: f(t) over t-3 =30] (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _x->2][eqn: {f(x-1) f(x+1)} over {x^4 -8x^2 +16} =][eqn: lim _x->2][eqn: {f(x-1) f(x+1)} over {(x-2)^2 (x+2)^2}]

[eqn: lim _x->2][eqn: f(x-1) over x-2]에서 [eqn: x-1 =t]로 치환하면 [eqn: x ``->][eqn: 2]일 때 [eqn: t-> `1]이므로

[eqn: lim _x->2][eqn: f(x-1) over x-2][eqn: =][eqn: lim _t->1][eqn: f(t) over t-1 =2]

[eqn: lim _x->2][eqn: f(x+1) over x-2]에서 [eqn: x+1 =t]로 치환하면 [eqn: x ``->][eqn: 2]일 때 [eqn: t-> `3]이므로

[eqn: lim _x->2][eqn: f(x+1) over x-2][eqn: =][eqn: lim _t->3][eqn: f(t) over t-3 = 30] ([eqn: because] ㄴ)

[eqn: therefore] (주어진 식)[eqn: =][eqn: lim _x->2][eqn: f(x-1) over x-2][eqn: times][eqn: lim _x->2][eqn: f(x+1) over x-2][eqn: times][eqn: lim _x->2][eqn: 1 over (x+2)^2]
[eqn: =][eqn: 2 times 30 times 1 over 4^2]
[eqn: =][eqn: 15 over 4] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

6 [정답] ④

해설

[eqn: x ``->][eqn: 2-0]일 때의 극한값이므로 [eqn: x<2]에서

[eqn: f(x) =][eqn: root {x+2root x-1} -root {x-2root x-1}]
[eqn: =][eqn: root {(x-1) +1+2root x-1}-root {(x-1)+1-2root x-1}]
[eqn: =][eqn: root {(1+root x-1 )^2} -root {(1-root x-1 )^2}]
[eqn: =][eqn: (1+root x-1 )-(1-root x-1 )] ([eqn: because] [eqn: x-1<1])
[eqn: = 2root x-1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _x->2-0][eqn: {f(x) -2} over x-2 =][eqn: lim _x->2-0][eqn: {2root x-1 -2} over x-2]
[eqn: =][eqn: lim _x->2-0][eqn: {2(root x-1 -1)} over x-2]
[eqn: =][eqn: lim _x->2-0][eqn: {2(x-2)} over {(x-2)( root x-1 +1 )}]
[eqn: =][eqn: lim _x->2-0][eqn: 2 over {root x-1 +1}]
[eqn: =1]

7 [정답] ③

해설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이므로

[eqn: lim _x->3][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->3-0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->3+0][eqn: f(x)]

[eqn: 1 over 3 times 3 = 3a+b]

[eqn: therefore] [eqn: 3a+b =1]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

또 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=6]에서 연속이고 [eqn: f(x+6) =f(x)]이므로

[eqn: lim _x->6-0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->6-0][eqn: (ax+b) =6a+b]

[eqn: lim _x->6+0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->+0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->+0][eqn: 1 over 3 x]

[eqn: =][eqn: 1 over 3 times 0 =0]

[eqn: therefore] [eqn: 6a+b=0]	[eqn: cdots CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a=- 1 over 3], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: 3 leq x <6]일 때 함수 [eqn: f(x) =][eqn: - 1 over 3 x +2]이다.

[eqn: f(35) =f( 6 times 5+5) =f(5)]

[eqn: =][eqn: - 1 over 3 times 5 +2 = 1 over 3]

8 [정답] ④

해설

[eqn: lim _x->0][eqn: f(x) over x = alpha]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 = beta]	[eqn: cdots CDOTS] ㉡

㉠에서 [eqn: x ` -> ` 0]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: f(0) =0]

㉡에서 [eqn: x ` -> ` 1]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: f(1) =0]

[eqn: f(0) =f(1) =0]이므로

[eqn: f(x) =][eqn: x(x-1)g(x)] ([eqn: g(x)]는 이차식)	[eqn: cdots CDOTS] ㉢

로 놓을 수 있다.

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: lim _x->0][eqn: {x(x-1) g(x) }over x =][eqn: lim _x->0][eqn: (x-1) g(x)]

[eqn: =][eqn: -g(0) = alpha]

[eqn: therefore] [eqn: g(0) =- alpha]

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: lim _x->1][eqn: {x(x-1) g(x) }over x-1 =][eqn: lim _x->1][eqn: xg(x)]

[eqn: =][eqn: g(1) = beta]

이때, [eqn: alpha beta][eqn: >0]에서

[eqn: g(0) g(1) = (-alpha ) beta =-][eqn: alpha beta][eqn: <0]

이므로 중간값의 정리에 의하여 방정식 [eqn: g(x)][eqn: =0]은 구간 [eqn: (0,~1)]에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

이때, [eqn: g(x)]는 이차식이므로 구간 [eqn: (0,~1)]에서 방정식 [eqn: g(x)][eqn: =0]의 근은 [eqn: 1]개다.

방정식 [eqn: g(x)][eqn: =0]의 근은 방정식 [eqn: f(x)=0]의 근이므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은 두 근 [eqn: x=0], [eqn: x=1]과 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 하나의 실근을 가진다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 닫힌 구간 [eqn: [0,~1]]에서 [eqn: 3]개의 실근을 가진다.

9 [정답] ⑤

해설

주어진 그래프에서 [eqn: lim _x->+0][eqn: f(x) =][eqn: 2]

[eqn: lim _x->+0][eqn: f(1-x)]에서 [eqn: 1-x=t]라 하면 [eqn: x ``->][eqn: +0]일 때 [eqn: t `-> `1-0]이므로

[eqn: lim _x->+0][eqn: f(1-x)][eqn: =][eqn: lim _t->1-0][eqn: f(t)][eqn: =1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _x->+0][eqn: f(x)][eqn: f(1-x)][eqn: =][eqn: lim _x->+0][eqn: f(x)][eqn: cdot][eqn: lim _x->+0][eqn: f(1-x)]

[eqn: =2 times 1 =2]

10 [정답] ③

해설

[eqn: lim _x->inf][eqn: f(x) over {x^2 +2x} =4]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over {x^2 -1} =3]	[eqn: cdots CDOTS] ㉡

[eqn: f(x)]가 다항함수이므로 ㉠에서 [eqn: f(x)]는 이차함수이고 최고차항의 계수는 [eqn: 4]이다.

또한, ㉡에서 [eqn: f(1)][eqn: =0]이므로

[eqn: f(x) =][eqn: 4(x-1) (x+alpha )] ([eqn: alpha]는 상수)

로 놓을 수 있다. 이를 ㉡에 대입하면

[eqn: lim _x->1][eqn: {4 (x-1)(x+alpha)} over {x^2 -1}][eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: {4 (x-1)(x+alpha)} over {(x-1)(x+1)}]
[eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: {4(x+alpha)} over x+1]
[eqn: =][eqn: 2(1+ alpha )=3]

[eqn: therefore] [eqn: alpha][eqn: =][eqn: 1 over 2]

따라서 다항함수 [eqn: f(x) =][eqn: 4(x-1)left( x+ 1 over 2 right) = 2(x-1)(2x+1)]이므로

[eqn: f(2) = 2 times 1 times 5 =10]

11 [정답] ①

해설

[eqn: lim _x->2][eqn: {f(x) +3} over x-2 =6]에서 [eqn: x ``->][eqn: 2]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이므로

(분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다. 즉,

[eqn: f(2) =-3]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

[eqn: therefore] [eqn: lim _x->2][eqn: { left{ f(x) right}^2 -9} over {x^2 -4}][eqn: =][eqn: lim _x->2][eqn: { left{ f(x) +3 right} left{ f(x) -3 right}} over {(x-2)(x+2)}]
[eqn: =][eqn: lim _x->2][eqn: {f(x) +3} over x-2 times][eqn: lim _x->2][eqn: {f(x) -3} over x+2]
[eqn: =][eqn: 6 times {f(2) -3} over 2+2]
[eqn: =][eqn: 6 times -6 over 4] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: =-9]

12 [정답] ②

해설

[eqn: lim_x->0 ``{tan^4 `x-sin^4 `x}over x^n][eqn: =][eqn: lim _x->0][eqn: { {sin `^4 ` x} over {cos `^4 ` x} -`sin `^4 `x} over x^n]
[eqn: =][eqn: lim _x->0][eqn: {sin `^4 ` x `(1-` cos ` ^4 ` x) } over {x^n ` cos `^4 `x}]
[eqn: =][eqn: lim _x->0][eqn: {sin `^4 ` x} over x^4 cdot {(1-cos ` ^2 `x)(1+`cos `^2 `x)} over {x^n-4 ` cos ` ^4 `x}]
[eqn: =][eqn: lim _x->0][eqn: {sin `^6 `x} over x^6 cdot {1+cos `^2 `x} over {x^n-6 `cos `^4 `x} =2]

이때

[eqn: lim _x->0][eqn: {sin `^6 `x} over x^6 =1]

[eqn: lim _x->0][eqn: {1+cos `^2 `x} over {cos `^4 `x} =2]

이므로 [eqn: lim _x->0][eqn: 1 over x^n-6 =1]이어야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: n=6]

13 [정답] ③

해설

[eqn: x+1=t]로 치환하면 [eqn: x ` -> ` 0]일 때 [eqn: t][eqn: ->][eqn: 1]이므로

[eqn: lim _x->0][eqn: {3f(x+1) +2x^3} over {f(x+1) -x^2 -x}][eqn: =][eqn: lim _t->1][eqn: {3f(t) +2(t-1)^3} over {f(t) -(t-1)^2 -(t-1)}]
[eqn: =][eqn: lim _t->1][eqn: {3 times f(t) over t-1 +2(t-1)^2} over { f(t) over t-1 -(t-1) -1}]
[eqn: =][eqn: {3 times 4+0} over 4-0-1] [eqn: left ( because ~lim _t->1 f(t) over t-1 =4 right)]
[eqn: =4]

14 [정답] ③

해설

[eqn: 1 leq x leq 3]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 최댓값 [eqn: f(1) =4]를 가진다.

[eqn: x>3]일 때 함수 [eqn: f(x) =][eqn: -(x-2)^2 +k +4]는 감소하므로

[eqn: lim _x->3+0][eqn: f(x)][eqn: >f(1) =4]일 때 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: [1,~5]]에서 최댓값을 가지지 않는다.

[eqn: lim _x->3+0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->3+0][eqn: (-x^2 +4x +k) =k+3]이므로

[eqn: k+3 >4]

[eqn: therefore] [eqn: k>1]

15 [정답] ②

해설

함수 [eqn: f(x)]를 구간에 따라 간단히 하면

(i) [eqn: left| x right|][eqn: <1]일 때, [eqn: lim _n->inf][eqn: x^n =0]이므로

[eqn: f(x) =][eqn: -x+2 over x+1]

(ii) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(1) = 1-1+2 over 1+1+1 = 2 over 3]

(iii) [eqn: x=-1]일 때, [eqn: f(-1) = -1+1+2 over 1-1+1 = 2]

(iv) [eqn: left| x right|][eqn: >1]일 때, [eqn: lim _n->inf][eqn: x^n = inf]이므로

[eqn: f(x) =][eqn: lim _n->inf][eqn: {x- x-2 over x^2n} over {1+ x+1 over x^2n} =x]

ㄱ. [eqn: lim _x->1-0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->1-0][eqn: -x+2 over x+1 = 1 over 2]

[eqn: lim _x->1+0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->1+0][eqn: x=1]

이므로 [eqn: lim _x->1][eqn: f(x)]의 값은 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _x->-1+0][eqn: f(x) =][eqn: lim _x->-1+0][eqn: -x+2 over x+1 = inf]에서 극한값이 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)=][eqn: (x-1) f(x)]라 하자.

[eqn: lim _x->1-0][eqn: g(x)=][eqn: lim _x->1-0][eqn: (x-1) times][eqn: -x+2 over x+1 =0]

[eqn: lim _x->1+0][eqn: g(x)=][eqn: lim _x->1+0][eqn: (x-1) times][eqn: x=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _x->1][eqn: g(x)=][eqn: 0]

[eqn: g(1) =(1-1) f(1) =0]이고 [eqn: lim _x->1][eqn: g(x)=][eqn: g(1)]이므로

함수 [eqn: g(x)], 즉 [eqn: (x-1)f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄷ이다.

16 [정답] ③

해설

[eqn: x ne 2]일 때 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 연속함수이므로 [eqn: g(f(x))]는 연속함수이다.

따라서 [eqn: x=2]일 때 연속이면 함수 [eqn: g(f(x))]는 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

(i) [eqn: x<2]일 때

[eqn: g(f(x))][eqn: =g( x^2 -3) =(x^2 -3)^2 +k (x^2 -3)]이므로

[eqn: lim _x->2-0][eqn: g(f(x))][eqn: =k+1]

(ii) [eqn: x geq 2]일 때

[eqn: g(f(x))][eqn: =g(4-x) =(4-x)^2 +k(4-x)]이므로

[eqn: g(f(2)) =][eqn: lim _x->2+0][eqn: g(f(x))]

[eqn: =2k +4]

[eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: k+1 =2k+4]

[eqn: therefore] [eqn: k=-3]

17 [정답] ③

해설

[eqn: x- pi over 2 = theta]라 하면 [eqn: x ``->][eqn: pi over 2]일 때 [eqn: theta][eqn: -> ` 0]이므로

[eqn: lim _{x-> pi over 2}][eqn: tan][eqn: 3x][eqn: cos][eqn: 5x][eqn: =][eqn: lim _theta->0][eqn: tan][eqn: 3 left( pi over 2 + theta right) cdot ` cos ` 5 left( pi over 2 + theta right)]
[eqn: =][eqn: lim _theta->0][eqn: tan][eqn: left( 3over 2 pi + 3 theta right) cdot][eqn: cos][eqn: left( 5 over 2 pi + 5 theta right)]
[eqn: =][eqn: lim _theta->0][eqn: (-`cot ` 3 theta )(- ` sin ` 5theta )]
[eqn: =][eqn: lim _theta->0][eqn: {3theta} over {tan ` 3 theta} cdot { sin ` 5 theta } over 5theta cdot 5 over 3]
[eqn: =][eqn: 5 over 3]

18 [정답] ②

해설

함수 [eqn: y=][eqn: left[ `x right]]는 [eqn: x]의 값이 정수일 때 불연속이다.

따라서 [eqn: f(x) =][eqn: left[ x^2 -5x+6 right]]에서 [eqn: g(x)=][eqn: x^2 -5x +6]이라 하면

함수 [eqn: g(x)]의 값이 정수인 [eqn: x]에서 불연속이다.

[eqn: g(x)=][eqn: x^2 -5x +6][eqn: = left( x- 5 over 2 right) - 1 over 4]에서

[eqn: g left( 5 over 2 right) = - 1 over 4], [eqn: g(0) =6], [eqn: g(6) =12]

이므로 [eqn: 0<x<6]일 때

[eqn: - 1 over 4 leq g(x) < 12]

[eqn: g(x)]가 가질 수 있는 정수의 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS], [eqn: 11]이고, 이 중 [eqn: g(x)]의 값이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS], [eqn: 5]인 [eqn: x]의 값은 각각 [eqn: 2]개씩이고 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: CDOTS], [eqn: 11]인 [eqn: x]의 값은 각각 [eqn: 1]개씩이므로 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는

[eqn: n(A)][eqn: =6 times 2+6 times 1 =18](개)

19 [정답] ④

해설

중심각의 성질에 의하여

[eqn: angle][eqn: rm POB = 2][eqn: angle][eqn: rm PAB = 2 theta]

삼각형 [eqn: rm POQ]에서

[eqn: angle][eqn: rm PQO =][eqn: pi -(theta +2theta ) = pi -3theta]

이므로 사인법칙을 적용하면

[eqn: {rm bar OP} over { sin `( rm angle PQO )} =][eqn: {rm bar OQ} over {sin `(angle rm OPQ)}]

[eqn: rm bar OP over bar OQ =][eqn: {sin `(pi -3theta)} over {sin`theta} =][eqn: {sin `3theta} over {sin `theta}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _theta->+0][eqn: rm bar OP over bar OQ =][eqn: lim _theta->+0][eqn: {sin `3theta} over {sin `theta}]
[eqn: =][eqn: lim _theta->+0][eqn: {sin `3theta} over {3`theta}][eqn: cdot theta over {sin ` theta} cdot 3]
[eqn: =3]

20 [정답] ②

해설

주어진 극한에서 [eqn: x ``->][eqn: 2]일 때 (분자)[eqn: -> ` 0]이고 극한값이 [eqn: 0]이 아니므로

(분모)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _x->2][eqn: (x^3 +ax^2 +bx -2) =4a +2b +6 =0]

[eqn: therefore] [eqn: b=-2a -3]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

㉠을 주어진 식에 대입하면

[eqn: lim _x->2][eqn: {x^2 +x-6} over {x^3 +ax^2 +bx -2}][eqn: =][eqn: lim _x->2][eqn: {x^2 +x-6} over {x^3 +ax^2 -(2a+3) x -2}]
[eqn: =][eqn: lim _x->2][eqn: {(x-2)(x+3)} over {(x-2) left{ x^2 +(a+2) x +1 right}}]
[eqn: =][eqn: lim _x->2][eqn: x+3 over {x^2 +(a+2)x +1}]
[eqn: =][eqn: 5 over 2a+9 =1]

[eqn: therefore] [eqn: a=-2], [eqn: b=1]

[eqn: therefore] [eqn: a+b =-1]

21 [정답] ②

해설

[eqn: lim _{x-> - INF } {f LEFT ( x RIGHT ) ``}]에서 [eqn: x=-t``]라 하면 [eqn: x->- INF ``]일 때 [eqn: t-> INF ``]이므로

[eqn: lim _{x-> - INF } {f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{t-> INF } {LEFT ( -t RIGHT ) LEFT ( sqrt {{-t+1} over {-t-1}} -1 RIGHT )} ``}]

[eqn: = lim _{t-> INF } {t LEFT ( 1- sqrt {{t-1} over {t+1}} RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{t-> INF } {{t LEFT ( 1- {t-1} over {t+1} RIGHT )} over {1+ sqrt {{t-1} over {t+1}}} ``}]

[eqn: = lim _{t-> INF } {{{2t} over {t+1}} over {1+ sqrt {{t-1} over {t+1}}}} ``]

[eqn: = lim _{t-> INF } {{2- {2} over {t+1}} over {1+ sqrt {1- {2} over {t+1}}}} ``]

[eqn: = {2} over {1+1} =1`]

[eqn: lim _{x-> INF } {x LEFT ( 1+ root {3} of {{1-x} over {x}} RIGHT )} = lim _{x-> INF } {{x LEFT ( 1+ {1-x} over {x} RIGHT )} over {1- root {3} of {{1-x} over {x}} + root {3} of {LEFT ( {1-x} over {x} RIGHT ) ^{2}}}} ``]

[eqn: = lim _{x-> INF } {{1} over {1- root {3} of {{1} over {x} -1} + root {3} of {LEFT ( {1} over {x} -1 RIGHT ) ^{2}}}} ``]

[eqn: = {1} over {1+1+1} = {1} over {3} ``]

따라서 [eqn: alpha =1,~ beta = {1} over {3} ``]이므로

[eqn: alpha + beta = {4} over {3} ``]

22 [정답] ④

해설

[eqn: x->0``]일 때 (분모)[eqn: ->0``]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0``]이다.

[eqn: lim _{x-> 0} {LEFT ( sqrt {1+x} -ax-b RIGHT ) =1-b=0``}]

[eqn: THEREFORE ~b=1``]

이때 [eqn: lim _{x-> 0} {{sqrt {1+x} -ax-1} over {sin ^{2} x} = lim _{x-> 0} {LEFT { {sqrt {1+x} -ax-1} over {x ^{2}} TIMES {x ^{2}} over {sin ^{2} x} RIGHT } ``}}]이고, [eqn: lim _{x-> 0} {{x ^{2}} over {sin ^{2} x} =1``}]이므로 [eqn: lim _{x-> 0} {{sqrt {1+x} -ax-b} over {x ^{2}}} ``]이 극한값이 존재하여야 한다.

[eqn: lim _{x-> 0} {{sqrt {1+x} -ax-1} over {x ^{2}}} = lim _{x-> 0} {{sqrt {1+x} - LEFT ( ax+1 RIGHT )} over {x ^{2}}} ``]

[eqn: = lim _{x-> 0} {{LEFT ( 1+x RIGHT ) - LEFT ( ax+1 RIGHT ) ^{2}} over {x ^{2} LEFT ( sqrt {1+x} +ax+1 RIGHT )}} ``]

[eqn: = lim _{x-> 0} {{-a ^{2} x ^{2} + LEFT ( 1-2a RIGHT ) x} over {x ^{2} LEFT ( sqrt {1+x} +ax+1 RIGHT )}} ``]

[eqn: = lim _{x-> 0} {{-a ^{2} x+1-2a} over {x LEFT ( sqrt {1+x} +ax+1 RIGHT )}} ``]

여기서 [eqn: x->0``]일 때 (분모)[eqn: ->0``]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0``]이다.

[eqn: lim _{x-> 0} {LEFT ( -a ^{2} x+1-2a RIGHT ) =1-2a=0``}]

[eqn: THEREFORE ~a= {1} over {2} ``]

따라서 [eqn: a= {1} over {2} ,~b=1``]을 대입하여 계산하면

[eqn: c= lim _{x-> 0} {{sqrt {1+x} - {1} over {2} x-1} over {sin ^{2} x}} = lim _{x-> 0} {LEFT ( {sqrt {1+x} - {1} over {2} x-1} over {x ^{2}} TIMES {x ^{2}} over {sin ^{2} x} RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{x-> 0} {{- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} over {sqrt {1+x} + {1} over {2} x+1}} TIMES lim _{x-> 0} {LEFT ( {x} over {sinx} RIGHT ) ^{2}} ``]

[eqn: = {- {1} over {4}} over {1+0+1} TIMES 1=- {1} over {8} ``]

[eqn: THEREFORE ~a+b+c= {1} over {2} +1- {1} over {8} = {11} over {8} ``]

23 [정답] ③

해설

ㄱ. [eqn: x->0``]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ->1-0``]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t``]라 하면

[eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x -> 0} {g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} ``]

[eqn: = lim _{t-> 1-0} {g LEFT ( t RIGHT )} =0``](참)

ㄴ. [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =1``]이고

[eqn: x->-1``]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ->+0``]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t``]라 하면

[eqn: lim _{x -> -1} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x-> -1} {g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} = lim _{t-> +0} {g LEFT ( t RIGHT )} =1``]

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) = lim _{x-> -1} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} ``]이므로 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) ``]는

[eqn: x=-1``]에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =1``]

[eqn: x->1+0``]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ->-0``]이고 [eqn: x->1-0``]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ->+0``]이므

로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t``]라 하면

[eqn: lim _{x-> 1+0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x-> 1+0} {g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} = lim _{t-> -0} {g LEFT ( t RIGHT )} =0``]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x -> 1-0} {g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} = lim _{t -> +0} {g LEFT ( t RIGHT )} =1``]

[eqn: lim _{x-> 1+0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) != lim _{x-> 1-0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} ``}]이므로 [eqn: lim _{x-> 1} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} ``]는 존

재하지 않는다.

그러므로 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) ``]는 [eqn: x=1``]에서 불연속이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

24 [정답] ④

해설

[eqn: lim _{x-> a} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x-> a} {LEFT { {f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {2} + {f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {2} RIGHT }} ``]

[eqn: = {1} over {2} lim _{x-> a} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} + {1} over {2} lim _{x-> a} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} ``]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 20+ {1} over {2} TIMES 10``]

[eqn: =15``]

[eqn: lim _{x-> a} {g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x-> a} {LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ]}} ``]

[eqn: =20-15=5``]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{x-> a} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} =15 TIMES 5=75``]

[다른 풀이]

[eqn: lim _{x-> a} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x-> a} {{1} over {4} LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ]} ``]

[eqn: = {1} over {4} LEFT ( 20 ^{2} -10 ^{2} RIGHT ) ``]

[eqn: =75``]

25 [정답] ②

해설

ㄱ. [eqn: x ``->][eqn: -1]일 때 [eqn: f(x)][eqn: ->][eqn: +0]이므로 [eqn: f(x)][eqn: =t]라 하면

[eqn: lim _x->-1][eqn: g(f(x))][eqn: =][eqn: lim _t->+0][eqn: g(t)][eqn: =2] (거짓)

ㄴ. [eqn: x ``->][eqn: 2]일 때 [eqn: g(x)][eqn: ->][eqn: -0]이므로 [eqn: g(x)=][eqn: s]라 하면

[eqn: lim _x->2][eqn: f(g(x)) =][eqn: lim _s->-0][eqn: f(s) =1] (참)

ㄷ. [eqn: x ``->][eqn: 1-0]일 때 [eqn: f(x)][eqn: ->][eqn: 1][eqn: +0]이므로 [eqn: f(x) =][eqn: t]라 하면

[eqn: lim _x->1-0][eqn: f(f(x))][eqn: =][eqn: lim _t->1+0][eqn: f(t)][eqn: =1]

[eqn: x ` -> ` 1][eqn: +0]일 때 [eqn: f(x) =][eqn: 1]이므로

[eqn: lim _x->1+0][eqn: f(f(x))][eqn: =f(1) =2]

[eqn: lim _x->1-0][eqn: f(f(x))][eqn: ne][eqn: lim _x->1+0][eqn: f(f(x))]이므로 [eqn: lim _x->1][eqn: f(f(x))]의 극한값은

존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

26 [정답] ④

해설

[eqn: lim_x->0 ``{e^4x -1}over{ln(2x+1)}][eqn: =][eqn: lim _x->0][eqn: {e^4x -1} over 4x][eqn: times][eqn: 2x over {ln ` (1+2x)}][eqn: times 4 over 2]
[eqn: =][eqn: lim _x->0][eqn: {e^4x -1} over 4x][eqn: times][eqn: lim _x->0][eqn: 1 over {ln ` (1+2x)^{1 over 2x}} times 2]
[eqn: =][eqn: 1 times 1 over {ln ` e} times 2 =2]

27 [정답] ③

해설

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = lim _{x-> {1} over {2} -0} {f LEFT ( x RIGHT )} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {2}} = {1} over {sqrt {2}} ``]

[eqn: lim _{x -> {1} over {2} +0} {f LEFT ( x RIGHT )} =sin LEFT ( 1+a RIGHT ) ``]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``]가 [eqn: x= {1} over {2} ``]에서 연속이므로

[eqn: sin LEFT ( 1+a RIGHT ) = {1} over {sqrt {2}} ``]

[eqn: 1<1+a<3``]에서 [eqn: 1+a= {3} over {4} pi ``]

[eqn: THEREFORE ~a= {3} over {4} pi -1``]

28 [정답] ⑤

해설

다항함수는 실수 전체에서 연속이고, 주어진 조건에서

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x)=0], [eqn: lim _x->1][eqn: g(x)=][eqn: 0]이므로

[eqn: f(1) =g(1) =0]

ㄱ. [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1 =0]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

[eqn: lim _x->1][eqn: x-1 over g(x) =-1]	[eqn: cdots CDOTS] ㉡

㉠에서 [eqn: x ` -> ` 1]일 때

(분모)[eqn: -> ` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

즉 [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) =][eqn: f(1)][eqn: =0]

㉡에서 [eqn: x ` -> ` 1]일 때

(분모)[eqn: -> ` 0]이고 극한이 [eqn: 0]이 아닌 값에 수렴하므로

(분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _x->1][eqn: g(x)=][eqn: g(1) =0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) g(x)][eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: f(x)][eqn: lim _x->1][eqn: g(x)][eqn: =0 times 0 =0] (참)

ㄴ. [eqn: f(1) =0]이므로 이차함수

[eqn: f(x) =][eqn: a(x-1)(x-alpha)] ([eqn: a ne 0], [eqn: alpha]는 실수)

로 나타낼 수 있다. 이때

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1][eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: {a(x-1)(x-alpha)} over x-1]

[eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: a(x-alpha)]

[eqn: =a(1-alpha )=0]

[eqn: therefore] [eqn: alpha][eqn: =1]

[eqn: therefore] [eqn: f(x) =][eqn: a(x-1)^2]

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]를

[eqn: f(x) =][eqn: a(x-1)^2], [eqn: g(x)=][eqn: b(x-1)(x- beta)]

([eqn: a ne 0], [eqn: b ne 0], [eqn: beta]는 실수)로 나타낼 수 있다.

이때, [eqn: f(x) g(x)][eqn: =][eqn: ab(x-1)^3 (x- beta)]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =ab(x-1)(x-beta)] ([eqn: because] [eqn: f(x) g(x)][eqn: =(x-1)^2 h(x)])

[eqn: lim _x->1][eqn: h(x)][eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: ab(x-1)(x-beta)][eqn: =0] (참)

ㄷ. [eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over g(x) =][eqn: lim _x->1][eqn: left{ f(x) over x-1 times x-1 over g(x) right}]

[eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1][eqn: times][eqn: lim _x->1][eqn: x-1 over g(x)]

[eqn: =][eqn: 0 times (-1) =0] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄴ. [eqn: x ne 1]일 때 [eqn: h(x)][eqn: = {f(x)g(x)} over (x-1)^2]

이때,

[eqn: lim _x->1][eqn: h(x)][eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: {f(x)g(x)} over (x-1)^2]
[eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1][eqn: cdot 1 over { x-1 over g(x)}]
[eqn: =][eqn: lim _x->1][eqn: f(x) over x-1][eqn: cdot 1 over { lim _x->1 x-1 over g(x)}]
[eqn: =][eqn: 0 times 1 over -1 =0] (참)

29 [정답] ①

해설

[eqn: y=][eqn: 4^x-1]에서 [eqn: y=t]일 때, [eqn: x=][eqn: log _4 ` t+1]

[eqn: y= 2^x-1]에서 [eqn: y=t]일 때, [eqn: x=][eqn: log _2 ` t+1]

따라서 [eqn: 0<t<1]일 때, [eqn: log ` _4 `t > log `_2 ` t]이므로

[eqn: bar { rm AB}][eqn: =(log _4 `t +1) -(log `_2 `t+1 )]

[eqn: = log `_4 `t - log `_2 `t = 1 over 2 `log `_2 `t - log `_2 `t]

[eqn: = - 1 over 2` log `_2 `t]

[eqn: lim _t->1-0][eqn: {rm bar AB} over t-1 =][eqn: lim _t->1-0][eqn: {- 1 over 2` log `_2 `t} over t-1]

에서 [eqn: t-1 =s]로 치환하면 [eqn: t-> 1-0]일 때 [eqn: s->-0]이므로

[eqn: lim _t->1-0][eqn: {rm bar AB} over t-1 =][eqn: lim _t->1-0][eqn: {- 1 over 2` log `_2 `t} over t-1]
[eqn: =][eqn: lim _s->-0][eqn: {- log `_2 `(1+s)} over 2s]
[eqn: =][eqn: lim _s->-0][eqn: left( - 1 over 2 right) `log `_2 `(1+s)^{1over s}]
[eqn: =][eqn: - 1 over 2 times log `_2 `e]
[eqn: = - 1 over {2` ln `2}]

30 [정답] ⑤

해설

[eqn: f(x+y) =f(x) +f(y+1) +2xy -2y]	[eqn: cdots CDOTS] ㉠

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) =][eqn: f(1)]	[eqn: cdots CDOTS] ㉡

ㄱ. ㉠의 양변에 [eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: f(0)][eqn: =][eqn: f(0)][eqn: +f(1)]

[eqn: therefore] [eqn: f(1)][eqn: =0] (참)

ㄴ. ㉡에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. 즉

[eqn: lim _x->1][eqn: f(x) =][eqn: f(1)][eqn: =0]

이때

[eqn: lim _h->0][eqn: f(h)][eqn: =][eqn: lim _h->0][eqn: f(0+h)]

[eqn: =][eqn: lim _h->0][eqn: left{f(0) +f(h+1) +0 -2h right}]

[eqn: =][eqn: lim _h->0][eqn: f(0)][eqn: +][eqn: lim _h->0][eqn: f(h+1) -][eqn: lim _h->0][eqn: 2h]

[eqn: =][eqn: f(0)][eqn: +f(1) -0] ([eqn: because] 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속)

[eqn: =][eqn: f(0)]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄷ. 실수 전체에서 연속임을 보이기 위해서 임의의 실수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: lim _x->a][eqn: f(x) =][eqn: f(a)]임을 보이면 된다.

[eqn: x-a =h]로 치환하면 [eqn: x ``->][eqn: a`]일 때 [eqn: h->0]이므로

[eqn: lim _x->a][eqn: f(x) =][eqn: lim _h->0][eqn: f(a+h)]

[eqn: =][eqn: lim _h->0][eqn: left{ f(a) +f(h+1) +2(a-1) h right}]

[eqn: =][eqn: lim _h->0][eqn: f(a)][eqn: +][eqn: lim _h->0][eqn: f(h+1)][eqn: +2][eqn: lim _h->0][eqn: (a-1) h]

[eqn: =][eqn: f(a)][eqn: +f(1) +0] ([eqn: because] 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속)

[eqn: =][eqn: f(a)]

따라서 [eqn: f(x)]는 실수 전체에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

31 [정답] ⑤

해설

[eqn: angle][eqn: rm OAB = alpha]라 하면 [eqn: sin][eqn: alpha][eqn: = 1 over root 5]

삼각형 [eqn: rm OAP]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: {rm bar AP} over {sin ` theta}= 2 over { sin ` left{ pi -(theta +alpha) right}]이므로

[eqn: rm bar AP =][eqn: {2 sin ` theta} over {sin left{ pi - (theta +alpha) right}} = {2 ` sin ` theta} over {sin ` (theta + alpha )}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _theta->+0][eqn: rm {bar AP} over theta][eqn: =][eqn: lim _theta->+0][eqn: {2`sin ` theta} over {theta ` sin ` (theta +alpha)}]
[eqn: =][eqn: lim _theta->+0][eqn: {sin ` theta} over theta cdot][eqn: lim _theta->+0][eqn: 2 over {sin ` (theta +alpha)}]
[eqn: =][eqn: 1 times 2 over {sin ` alpha} = 2 over {1 over root 5} = 2root 5]

32 [정답] ④

해설

[eqn: lim_x->inf `g(x)=][eqn: lim _x->inf][eqn: {f(x) -x^2} over x-3 =5]이므로 다항함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x) =][eqn: x^2 +5x +k] ([eqn: k]는 실수)로 놓을 수 있다.

함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수에서 연속이므로

[eqn: lim _x->3][eqn: g(x)=][eqn: lim _x->3][eqn: 5x+k over x-3 =a]

가 성립한다.

[eqn: x ``->][eqn: 3]일 때, (분모)[eqn: -> ` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: -> ` 0]이어야 한다.

[eqn: lim _x->3][eqn: (5x+k) =15+k =0]

[eqn: therefore] [eqn: k=-15]

따라서 함수 [eqn: f(x) =][eqn: x^2 +5x-15]이고 [eqn: f(2) =-1]

[eqn: lim _x->3][eqn: g(x)=][eqn: lim _x->3][eqn: 5x-15 over x-3 =5]

[eqn: therefore] [eqn: a=5]

[eqn: therefore] [eqn: a+f(2) =5+(-1)][eqn: =4]