정답 및 해설

1 [정답] ⑤

해설

주어진 그래프에서

[eqn: lim _{ x rarrow-1-0} { } f(x)=1,~f(0)=2,~ lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x)=-1``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow-1-0} { } f(x)+f(0)+ lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x)=1+2+(-1)``]

[eqn: =2``]

2 [정답] [eqn: 5``]

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }[`x`] =2,~ lim _{ x rarrow 2+0} { }[`x+2`]=4``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }{[` x`]^2 +[`x`]-6} over {[`x+2`]} = { 2^2 +2-6} over 4 =0``]

∴ [eqn: a=0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2-0} { }{ x^2 +x-6 } over {|` x-2`|} = lim _{ x rarrow 2-0} { }{(x-2)(x+3)} over {-(x-2)} =-5``]이므로

[eqn: b=-5``]

∴ [eqn: a-b=5``]

3 [정답] ④

해설

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(x) = 1,~lim _{ x rarrow -0} { }f(x) =-1``]이므로 [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(x)``]의 값은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: y=f(-x)``]의 그래프는 [eqn: y=f(x)``]의 그래프를 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이동한 것이므로 그림과 같다.

[eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(-x) =0,~ lim _{ x rarrow 1-0} { }f(-x) =0``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }f(-x) =0``] (참)

ㄷ. [eqn: y=|` f(x)`|``]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y=|` f(x)`|``]는 [eqn: -2<a<1``]인 모든 실수 [eqn: a``]에 대하여 [eqn: lim _{ x rarrow a} { }|` f(x)`|``]의 값이 존재하므로 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 1``]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

4 [정답] ①

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x)= lim _{ x rarrow 1+0} { }(x^2 + ax+1 ) =a+2``]

[eqn: lim _{ x rarrow 1-0} { }f(x) = lim _{ x rarrow 1-0} { }(-x^2 +x+b) = b``]

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }f(x)``]의 값이 존재하므로

[eqn: b=a+2``]

∴ [eqn: a^2 + b^2 = a^2 +( a+2)^2 =2( a+1 )^2 +2``]

따라서 [eqn: a=-1,~ b=1``]일 때, [eqn: a^2 + b^2``]은 최솟값을 갖는다.

5 [정답] ⑤

해설

[eqn: 1 over x = t``]라 하면 [eqn: x= 1 over t``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow inf} { } (3x-1) left{ left( 1 over x right )^10 + left( 2 over x right )^9 + cdots + left( 9 over x right )^2 + left(10 over x right ) right }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow +0} { } 3-t over t left { t^10 +(2t)^9 + cdots+(9t)^2 + 10t right}``]

[eqn: =lim _{ t rarrow +0} { } (3-t) ( t^9 + 2^ 9 t^8 + cdots + 9^2 t +10 )``]

[eqn: =30``]

6 [정답] ②

해설

[eqn: lim _{ x rarrow inf} { }{ 2x+3} over{ sqrt{ 4x^2 +x-1 } + sqrt { x^2 -2x + 3 } }``]

[eqn: lim _{ x rarrow inf} { }{2+ 3 over x } over { sqrt { 4+ 1 over x - 1 over x^2 } + sqrt { 1- 2 over x + 3 over x^2 }}``]

[eqn: = 2 over 2+1``]

[eqn: = 2 over 3``]

7 [정답] ⑤

해설

[eqn: x=-t``]라 하면

[eqn: lim _{ x rarrow - inf} { }1 over { sqrt{ x^2 + 3x+2 } + x+1 }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { } 1 over {sqrt { t^2 -3t +2 } -( t-1)}``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }{ sqrt { t^2 - 3t +2 } +(t-1)} over { -t+1}``]

[eqn: = lim _{t -> INF } {} {sqrt {1- {3} over {t} + {2} over {t ^{2}}} + LEFT ( 1- {1} over {t} RIGHT )} over {-1+ {1} over {t}}``]

[eqn: = 1+1 over -1``]

[eqn: =-2``]

8 [정답] [eqn: 4``]

해설

[eqn: x=-t``]라 하면

[eqn: lim _{ x rarrow - inf} { }{ sqrt {(2x^2 +ax ) + 2x sqrt { x^2 +ax }} ``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }{ sqrt {( 2t^2 -at )- 2t sqrt { t^2 -at }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }sqrt { (2 t^2 -at ) - 2 sqrt { t^2 (t^2 -at )}``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { }( sqrt t^2 - sqrt { t^2 - at })``(∵ a>0)``]

[eqn: = lim _{ t rarrow inf} { }at over { sqrt t^2 + sqrt { t^2 - at }``]

[eqn: =lim _{ t rarrow inf} { } a over { sqrt 1 + sqrt { 1 - a over t }``]

[eqn: = a over 1+1``]

[eqn: = a over 2``]

따라서 [eqn: a over 2 = 2``]이므로 [eqn: a= 4``]

9 [정답] ③

해설

[eqn: f(x)- g(x) = h(x)``]라 하면 [eqn: g(x) = f(x) - h(x)``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }g(x) = lim _{ x rarrow 1} { }left{ f(x) - h(x) right } = 5-2=3``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 1} { }left{ 3 f(x) + 2 g(x) right } = 15 + 6 =21``]

10 [정답] ②

해설

ㄱ. |반례| [eqn: f(x) = x,~ g(x) =[` x`]``]라 하면 [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(x)=0,``]

[eqn: lim _{ x rarrow a} { }f(x) g(x)=0``]이지만 [eqn: lim _{ x rarrow a} { }g(x)``]는 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{ x rarrow a} { } g(x)= alpha,~ lim _{ x rarrow a} { }{ f(x)} over { g(x)}= beta``](단, [eqn: alpha,~ beta``]는 실수)라 하면

[eqn: lim _{ x rarrow a} { }f(x) = lim _{ x rarrow a} { }left{ g(x) cdot {f(x)} over { g(x) } right }``]

[eqn: = lim _{ x rarrow a} { } g(x) cdot lim _{ x rarrow a} { }{f(x)} over { g(x)}``]

[eqn: = alpha beta``] (참)

ㄷ. |반례| [eqn: f(x) =[`x`],~g(x)=x``]라 하면 [eqn: lim _{ x rarrow0} { }g(x)=0``]이지만

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(g(x))= lim _{ x rarrow 0} { }f(x) = lim _{ x rarrow 0} { }[`x`]``]가 되어 극한값이 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

11 [정답] ①

해설

[eqn: ax+ log`2 le f(x) le ax + log`3``]이므로 [eqn: x``]가 한없이 커질 때,

[eqn: {(2x-1)(ax+ log`2 )} over { x^2 + x-1} le {(2x-1) f(x) } over { x^2 + x-1 } le {(2x-10( ax+ log`3 )} over { x^2 + x-1 }``]

[eqn: lim _{ x rarrow inf} { } {(2x-1) (ax + log`2 )} over { x^2 + x-1 } =2a,~ lim _{ x rarrow inf} { } {(2x-1)( ax + log`3)} over {x^2 + x-1 } = 2a``]

이므로 [eqn: lim _{ x rarrow inf} { }{(2x-1) f(x)} over { x^2 +x-1} =2a``]

따라서 [eqn: 2a= 6``]이므로

[eqn: a=3``]

12 [정답] ②

해설

[eqn: lim _{ x rarrow inf} { }{f(x)} over x^3 =0``]이므로 [eqn: f(x)``]의 차수를 [eqn: n``](단, [eqn: n``]은 자연수)이라 하면 [eqn: n le 2``]이다.

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { }{ f(x)} over x =5``]에서 [eqn: x rarrow 0``]일 때 (분모)[eqn: rarrow 0``]이므로 (분자)[eqn: rarrow 0``]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(x) = f(0) =0``]이므로 [eqn: f(x) =ax^2 + bx``](단, [eqn: a,~b``]는 상수)로 놓을 수 있다.

[eqn: lim _{ x rarrow 0} { }{ f(x)} over x = lim _{ x rarrow0} { } { ax^2 + bx} over x = lim _{ x rarrow 0} { }(ax+b) =b``]이므로 [eqn: b=5``]

∴ [eqn: f(x) =ax^2 + 5x``]

방정식 [eqn: ax^2 + 5x =x``]의 한 근이 [eqn: x=-2``]이므로

[eqn: 4a-10 =-2,~4a= 8``]

∴ [eqn: a=2``]

따라서 [eqn: f(x) =2 x^2 + 5x``]이므로

[eqn: f(1) = 7``]

13 [정답] ②

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }{f(x-1) + g( 2-x)} over { x^2 -1 } ``]

[eqn: =lim _{ x rarrow 1} { }{ f(x-1) } over {(x-1)(x+1)} + lim _{ x rarrow 1} { } { g(2-x)} over {(x-1)(x+1)}``]

이때, [eqn: lim _{ x rarrow 1} { }{f(x-1)} over {(x-1)(x+1)}``]에서 [eqn: x-1 = t``]라 하고

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { } { g(2-x)} over {(x-1)(x+1) }``]에서 [eqn: 2-x = s``]라 하면

(주어진 식)[eqn: =lim _{ t rarrow 0} { }f(t) over { t(t+2)}+ lim _{ s rarrow 1} { }{ g(s)} over {(1-s)(3-s)}``]

[eqn: = 1- 3 over 2 = - 1 over 2``]

14 [정답] [eqn: 5``]

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 1-0} { }f(g(x))= lim _{ t rarrow 2+0} { }f(t) =2``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2 +0} { } g(f(x)) = g(2) = 3``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 1-0} { }f(g(x))+ lim _{ x rarrow 2+0} { }g(f(x)) = 2+ 3= 5``]

15 [정답] ⑤

해설

[eqn: f(x) =t``]로 놓으면 [eqn: x rarrow +0``]일 때, [eqn: t rarrow 3-0``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(f(x)) = lim _{ t rarrow 3-0} { }f(t) =3``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { }f(f(x))=f(3)=2``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(f(x)) + lim _{ x rarrow 2 +0} { }f(f(x))=3+2=5``]

16 [정답] ①

해설

[eqn: lim _{ x rarrow 1-0 } { }f(f(x)) = lim _{ t rarrow +0} { }f(t) =2``]

[eqn: f(f(2)) =f(1) =0``]

[eqn: lim _{ x rarrow 3+0} { }f(f(x)) = lim _{ t rarrow 3-0} { }f(t) =1``]

∴ [eqn: lim _{x -> 1-0} {} f(f(x))+f(f(2))+ lim _{x -> 3+0} {} f(f(x))=2+0+1=3``]

17 [정답] ②

해설

[eqn: f(2-x) =f(2+x)``]이므로 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 직선 [eqn: x=2``]에 대하여 대칭이고 [eqn: g(x+2) = g(x-2),``] 즉, [eqn: g(x+4) = g(x)``]이므로 [eqn: y=g(x)``]는 주기가 [eqn: 4``]인 함수이다.

ㄱ. [eqn: lim _{ x rarrow 1+0} { }f(x) g(x) =1,~ lim _{ x rarrow 1-0} { }f(x) g(x) =0``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 1} { }f(x) g(x) ne 0``] (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{ x rarrow 2+0} { } f(g(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }f(t) =1,~ lim _{ x rarrow 2-0} { }f(g(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }f(t)=1``]

이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2} { }f(g(x))=1``]

[eqn: lim _{ x rarrow2+0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t) =1,``]

[eqn: lim _{ x rarrow 2-0} { }g(f(x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t) =1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow 2} { }g(f(x))=1``]

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 2} { }f(g(x)) = lim _{ x rarrow 2} { }g(f(x))``] (참)

ㄷ. [eqn: y=g(x)``]는 주기가 [eqn: 4``]인 함수이므로

[eqn: f(g( x+4)) = f( g( x))``]

[eqn: y=f(x)``]의 그래프는 직선 [eqn: x=2``]에 대하여 대칭이므로

[eqn: g( f ( x+ 4 )) = g( f(-x))``]

따라서 [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }f(g( x+4 )) = lim _{ x rarrow +0} { }f(g(x)) = lim _{ t rarrow 1-0} { } f(t) =-1,``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { }f(g( x+4 )) = lim _{ x rarrow -0} { }f( g(x)) = lim _{ t rarrow 1-0} { }f(t) =-1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow0} { }f(g( x+4 )) =-1``]

또한 [eqn: lim _{ x rarrow +0} { }g( f(x+4)) = lim _{ x rarrow +0} { }g(f(-x)) = lim _{ t rarrow 1-0} { }g(t) =0,~``]

[eqn: lim _{ x rarrow -0} { } g(f(x+4)) = lim _{ x rarrow -0} { }g(f(-x)) = lim _{ t rarrow -0} { }g(t) =1``]이므로

[eqn: lim _{ x rarrow0} { }g(f(x+4))``]의 값은 존재하지 않는다.

∴ [eqn: lim _{ x rarrow 0} { }f(g(x+4)) ne lim _{ x rarrow 0} { }g(f( x+4))``] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

18 [정답] ④

해설

점 [eqn: (2,~1)``]을 지나고 기울기가 [eqn: a``]인 직선의 방정식은 [eqn: y=a(x-2)+1``]

직선 [eqn: y=a(x-2)+1``]이 점 [eqn: (-1,~0)``]을 지날 때 [eqn: a= 1 over3``], 점 [eqn: (0,~1)``]을 지날 때 [eqn: a=0``]이므로

(ⅰ) [eqn: a=0``]일 때, [eqn: f(0) = 3``]

(ⅱ) [eqn: 0< a< 1 over 3``]일 때, [eqn: f(a) = 4``]

(ⅲ) [eqn: a= 1 over 3``]일 때, [eqn: f left( 1 over 3 right ) =3``]

∴ [eqn: lim _{ a rarrow 1 over 3 -0} { }f(a) = 4``]

19 [정답] ②

해설

코싸인법칙에 의하여

[eqn: cos60 DEG `= {rm { bar{OA} } ^{2} +{ rm bar{OB} } ^{2} - rm { bar{AB} } ^{2} it} over {2 rm bar{OA} ·` bar{OB} it}``]

[eqn: {1} over {2} = {(1+x) ^{2} +(1+y) ^{2} -(x+y) ^{2}} over {2(1+x)(1+y)}``]

[eqn: 3xy-x-y-1=0``]

[eqn: THEREFORE ``y= {x+1} over {3x-1}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x -> INF } {} `y= {1} over {3}``]

20 [정답] ⑤

해설

[eqn: rm bar{AB} ``]가 원의 지름이므로 [eqn: rm bar{AB} ``]의 중점 [eqn: rmO``]는 원의 중심이다. 직선 [eqn: rmAB``]에 평행하고 점 [eqn: rmD``]를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rmE``]라 하면 [eqn: rm ANGLE EDB= ANGLE ABD``]

[eqn: rm bar{AD} = bar{CD``}``]이므로
[eqn: rm ANGLE DBC= ANGLE EDB``]

[eqn: THEREFORE rm`` ANGLE DBC= ANGLE EDB``]

[eqn: rm ANGLE CDE= ANGLE EBC``]이므로
[eqn: rm ANGLE CDB= ANGLE CDE+ ANGLE EDB= ANGLE EBC+ ANGLE CBD= ANGLE EBD``]

[eqn: rmbar{DB}``]는 공통

[eqn: rm`bar{CD}=bar{EB}``]

[eqn: THEREFORE `` rm TRIANGLE CBD == TRIANGLE EDB~~( BECAUSE rm SAS``]합동[eqn: )``]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm DE it} = bar{rm BC it} =y``]

점 [eqn: rmD``]에서 [eqn: rmbar{AB}``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF``]라 하면

[eqn: bar{rm OF it} = {y} over {2}``]

[eqn: rm bar{AD} it rm ^{2} - rm bar{AF} it rm ^{2} = rm bar{DF} it rm ^{2} = rm bar{OD} it rm ^{2} - rm bar{OF} it rm ^{2} ``]이므로

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 1- {y} over {2} RIGHT ) ^{2} =1- LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) ^{2}``]

[eqn: y=2-x ^{2}``]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x-> sqrt {2} -0} {} {y} over {sqrt {2} -x} =2 sqrt {2}``]