정답 및 해설

1 [정답] ➁

해설

[eqn: A=pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}``]이므로

[eqn: A^2 =pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}=pmatrix{`1~~&~0`#`1cdot3 + 2 cdot 3 ~~&~2^2`}]

[eqn: A^3 =AA^2 =pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}pmatrix{`1~~&~0`#`1cdot3 + 2 cdot 3 ~~&~2^2`}=pmatrix{`1~~&~0`#`1cdot3 + 2 cdot 3 +2^2 cdot 3 ~~&~2^3`}]

[eqn: vdots]

[eqn: A^n =pmatrix{`1~~&~0`#`3(1+2+2^2 + cdots+2^n-1 ) ~~&~2^n`}]

따라서 [eqn: a_n = 1 ,~b_n = 0 ,~d_n = 2^ n ``]이고

[eqn: c_n = 3(1+2+2^2 + cdots+2^n-1 ) = 3 times {2^n - 1}over 2-1 = 3(2^n - 1)``]이므로

[eqn: lim_{n->inf}{d_n over c_n } = lim_{n->inf}{2^n over {3(2^n -1)}=lim_{n->inf}{1 over {3 left( 1 - 1 over 2^n right)}= 1 over 3]

[다른 풀이]

[eqn: A^n+1 =AA^n+1 =pmatrix{`1~&0`#`3~&2`}pmatrix{`a_n~&b_n`#`c_n~&d_n`}=pmatrix{`a_n~&~~b_n`#`3a_n +2c_n ~&~~3b_n + 2d_n }]

이고 [eqn: A^n+1 = pmatrix{`a_n+1``~&~b_n+1`#`c_n+1``~&~d_n+1`}``]이므로

[eqn: a_n+1 = a_n ``]에서 [eqn: a_n =1`]

[eqn: b_n+1 = b_n ``]에서 [eqn: b_n = 0``]

[eqn: c_n+1 = 3a_n + 2 c_n ``]에서 [eqn: c_n+1 = 2 c_n + 3``]

[eqn: c_n+1 +3 = 2(c_n + 3)``]

[eqn: therefore~c_n +3 = (c_1 + 3 ) cdot 2^n-1 = (3+3) cdot 2^n-1 = 3 cdot 2^ n``]

[eqn: therefore~c_n = 3(2^n - 1)``]

[eqn: d_n+1 = 3b_n + 2 d_n ``]에서 [eqn: d_n+1 = 2 d_n ``]	[eqn: therefore~d_n = d_1 cdot 2^n-1 ``]

[eqn: therefore~d_n = 2^n ``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{d_n over c_n } = lim_{n->inf}{2^n over {3(2^n -1)}=lim_{n->inf}{1 over {3 left( 1 - 1 over 2^n right)}= 1 over 3]

2 [정답] ➃

해설

[eqn: lim_{n->inf}{` {5^n+1 +2}over{5^n +3^n}}}=lim_{n->inf}{` {5^n + 2over {5^n}}over{1 +left( 3 over 5 right)^n}}} }][eqn: = {5+0}over{1+0}=5]

3 [정답] ➂

해설

[eqn: tan`piover 3 `= a_n over l_n ``]이므로 [eqn: l_1 = a_n over {root3}``]

따라서 [eqn: l_2 = 1- l_1 = 1 - {a_n} over root3 ``]이므로

[eqn: a_n+1 = l_2 times sin`pi over 3 `]

[eqn: = left( 1 - a_n over root3 right) times root3 over 2 = root3 over 2 - 1 over 2 a_n `]

즉, [eqn: a_n+1 = root3 over 2 - 1 over 2 a_n ``]이므로

[eqn: a_n+1 - root3 over 3 = - 1 over 2 left( a_n - root3 over 3 right)``]

[eqn: therefore~a_n = root3 over 3 + left( a_1 - root3 over 3 right) cdot left( - 1 over 2 right)^n-1 ``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`a_n}=root3 over 3``]

4 [정답] [eqn: 30``]

해설

[eqn: {(n+3)b_n}over {(2n^2 + n)a_n }=c_n ``]으로 놓으면

[eqn: b_n = {(2n^2 + n) a_n cdot c_n } over {n+3} ``]이므로 [eqn: {a_n cdot b_n }over n = {2n^2 + n}over {n(n+3)}a_n ^2 cdot c_n ``]이다.

[eqn: n->inf}``]이면 세 수열 [eqn: left{ {2n^2 + n } over {n(n+3)} right}`,~left{ a_n ^2 right} ,~left{c_n `right}``]은 각각 [eqn: 2,~5,~3``]에 수렴하므로 [eqn: lim_{n->inf}{{a_n cdot b_n } over n }= 2 cdot 5 cdot 3 = 30``]이다.

[다른 풀이]

[eqn: lim_{n->inf}{{a_n cdot b_n } over n }= lim_{n->inf}{left{ {(n+3)b_n }over {(2n^2 +n)a_n }cdot {2n^2 +n}over{n(n+3)} cdot a_n ^2 right}`]

[eqn: = lim_{n->inf}{ {(n+3)b_n }over {(2n^2 +n)a_n }}cdotlim_{n->inf}{ {2n^2 +n}over{n(n+3)}} cdotlim_{n->inf}{ a_n ^2 }`]

[eqn: =3 cdot 2 cdot 5 =30``]

5 [정답] ➃

해설

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: b_n = a_n+1 - a_n ``]으로 놓으면

[eqn: a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n-1}{b_k = a_1 + sum_{k=1}^{n-1}{(pk^3 + qk^2 + rk +s)``]

[eqn: = a_1 + p left{ {n(n-1)}over{2}right}^2 + f(n)``]

(단, [eqn: f(n)``]은 [eqn: n``]에 대한 [eqn: 3``]차 이하의 다항식)

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {{n(a _{n+1} -a _{n} )} over {a _{n}}} = lim _{n -> INF } {{n(pn ^{3} +qn ^{2} +rn+s)} over {a _{1} +p LEFT { {n(n-1)} over {2} RIGHT } ^{2} +f(n)}}= p over {p over 4} = 4`]

6 [정답] [eqn: 35]

해설

[eqn: lim_{n->inf}{{(10n+1)b_n}over{a_n}}]

[eqn: =lim_{n->inf}{{(n^2 +1)b_n cdot (10n+1)(n+1)}over{(n+1)a_n cdot(n^2 + 1)}}]

[eqn: = {{{lim_{n->inf}{(n^2 +1)b_n}}over{{lim_{n->inf}{(n+1)a_n}}}cdot {lim_{n->inf}{{(10n+1)(n+1)}over{n^2 +1}}]

[eqn: = 7 over 2 times 10 = 35`]

7 [정답] ➃

해설

[eqn: lim_n->inf `(sqrt{n^2 +an} -sqrt{n^2 +bn} )=lim_n->inf `1over{sqrt{n^2 +an}-sqrt{n^2 +bn}}``]

[eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: lim_n->inf {1over{sqrt{n^2 +an}-sqrt{n^2 +bn}}``=lim_{n->inf}{{root{n^2 +an}+root{n^2 + bn}}over {(a-b)n}][eqn: cdotscdots㉡]

이때, [eqn: ㉠``]의 극한값은 [eqn: {a-b }over 2 ``], [eqn: ㉡``]의 극한값은 [eqn: 2 over {a-b}``]이므로

[eqn: {a-b}over {2} = 2 over {a-b} ,~(a-b)^2 = 4``]

[eqn: therefore~a-b = 2``]또는 [eqn: a-b =-2``]

(ⅰ) [eqn: a-b=2``]인 경우

[eqn: a^2 + b^2 = a^2 + (a-2)^2 = 2a^2 - 4a + 4 = 2(a-1)^2 + 2``]

(ⅱ) [eqn: a-b=-2``]인 경우

[eqn: a^2 + b^2 = a^2 + (a+2)^2 = 2a^2 + 4a + 4 = 2(a+1)^2 + 2``]

따라서 어느 경우나 [eqn: a^2 + b^2 ``]의 최솟값은 [eqn: 2``]이다.

8 [정답] ➄

해설

[eqn: lim_n->inf `{n^4 (n^2 -1)}over{(an^2 +n+1)^k} = 1over8``]이므로 분자의 차수와 분모의 차수가 같아야 한다. 분자의 차수가 [eqn: 6`]이므로 [eqn: a=0``]이면 [eqn: k=6``]이다. 이때, [eqn: lim_{n->inf}{{n^4 (n^2 -1)}over {(n+1)^6 } = 1 ne 1 over 8 ``]이므로 [eqn: a ne 0``]이고 [eqn: 2k=6``]에서 [eqn: k=3``]이다.

따라서

[eqn: lim_{n->inf}{{n^4 (n^2 -1)}over {(an^2 + n+1)^3 } = lim_{n->inf}{{n^6 -1}over {(an^2 + n+1)^3 }]

[eqn: = lim_{n->inf}{{1 - 1 over n^2 } over {{(an^2 + n +1)^3}over n^6 }]

[eqn: = lim_{n->inf}{{1 - 1 over n^2 } over {{left(a + 1 over n +1 over n^2 right)^3}}= 1 over a^3 ``]

이므로 [eqn: 1 over a^3 = 1 over 8 ``]에서 [eqn: a=2``]이다.

[eqn: therefore~a+k=2+3=5``]

9 [정답] ➀

해설

[eqn: 1 over {a_1}+ 2 over {a_2} + 3 over {a_3} + cdots + n over {a_n } = (n+1)^2 ~~cdotscdots㉠]

[eqn: ㉠``]에 [eqn: n``]대신 [eqn: n-1``]을 대입하면

[eqn: 1 over {a_1}+ 2 over {a_2} + 3 over {a_3} + cdots + {n-1} over {a_{n-1} } = n^2 ``(`n ge 2`)~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠-㉡``]을 하면 [eqn: n over {a_n} = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1``]이므로

[eqn: a_n = n over {2n+1}``(``n`ge2``)`]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`a_n}`=lim_{n->inf}{n over {2n+1}= 1 over 2 `]

10 [정답] ➂

해설

[eqn: 2+4+6+cdots+2n = 2(1+2+3+cdots+n)``]

[eqn: = 2 times {n(n+1)}over 2 = n^2 + n``]

이고

[eqn: 1+3+5+cdots+(2n-1)= sum_{k=1}^{n}{(2k-1)``]

[eqn: = 2 times {n(n+1)}over 2 -n = n^2 ``]

이므로

[eqn: {(2n+1)^2 } over 4n^2 } left{ 1+3+5+cdots+(2n-1)right} = {(2n+1)^2 } over 4n^2 times n^2]

[eqn: = {(2n+1)^2 } over 4]

따라서 주어진 식은

[eqn: n^2 + n le a_n ^2 + 2na_n + n^2 le {(2n+1)^2 }over 4 ``]

[eqn: n^2 + n le ( a_n +n)^2 le {(2n+1)^2 }over 4 ``]

[eqn: root{n^2 + n} le a_n + n le {2n+1}over 2 ``] [eqn: (`because``a_n >0``)`]

[eqn: root{n^2 + n } -n le a_n le {2n+1}over 2 - n``]

[eqn: therefore~root{n^2 + n} -n le a_n le 1 over 2 ``]

이때,

[eqn: lim_{n->inf}{(root{n^2 + n} -n) = lim_{n->inf}{ {n}over {root{n^2 + n } +n} `]

[eqn: = lim_{n->inf}{ 1 over {root{1 + 1 over n } +1 } = 1 over 2 ``]

이므로 [eqn: lim_{n->inf}{a_n}= 1 over 2 ``]이다.

11 [정답] ➀

해설

직선 [eqn: rmB_1 A``]의 방정식은 [eqn: y=-2x + 20``]이므로 점 [eqn: rmB_{itn}``]의 좌표는 [eqn: (a_n ,~-2a_n + 20)``]이고, 점 [eqn: rmC_{itn}``]의 좌표는 [eqn: (-a_n ,~-2a_n + 20)``]이다. 따라서 점 [eqn: rmM_{itn}``]의 좌표는 [eqn: left( {10-a_n }over {2},~-a_n + 10 right)``]이다.

점 [eqn: rmM_{itn}``]을 지나고 기울기가 [eqn: 1 over 2 ``]인 직선의 방정식은

[eqn: y-(-a_n + 10) = 1 over 2 left( x- {10-a_n}over 2 right)``][eqn: cdotscdots㉠]

이때, 직선 [eqn: ㉠``]과 직선 [eqn: y=-2x+20``]의 교점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: a_n+1 ``]이므로 [eqn: x``]에 대한 방정식

[eqn: (-2x+20)-(-a_n +10)= 1 over 2 left( x - {10-a_n}over 2 right)``]

의 근은 [eqn: a_n+1``]이다. 따라서

[eqn: 2(-2x+10)-2(-a_n + 10) = x- {10-a_n }over 2 ``]

에서 [eqn: 5x = 3 over 2 a_n + 25``]이므로

[eqn: a_n+1 = 3 over 10 a_n + 5``]

[eqn: a_n+1 - 50 over 7 = 3 over 10 left( a_n - 50 over 7 right) ``]이므로

[eqn: a_n = 50 over 7 + left( a_1 - 50 over 7 right) cdot left( 3 over 10 right)^n-1 ``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{``a_n}= 50 over 7 ``]

12 [정답] ➂

해설

(삼각형 [eqn: {rmA}_n {rmO}{rmB}_n`]의 넓이)[eqn: `=`](삼각형 [eqn: {rmA}_n {rmO}{rmB}_n`]의 넓이) [eqn: +]

(삼각형 [eqn: {rmB}_n {rmA}_n {rmC}_n`]의 넓이)+(삼각형 [eqn: {rmA}_n {rmO}{rmC}_n`]의 넓이)

원 [eqn: C_n`]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n``]이라 하면

[eqn: bar{rmA_{itn}B_{itn}}=1,~bar{rmOA_{itn}}=root{n^2 + 1}`]이므로

[eqn: 1 over 2 times n times 1 = 1 over 2 times n times r_n + 1 over 2 times 1 times r_n + 1 over 2 times root{n^2 + 1} times r_n]

즉, [eqn: n= (n+1+root{n^2 + 1} )r_n`]이므로

[eqn: r_n = n over {n+1 + root{n^2 + 1}}`]

이때, 삼각형 [eqn: {rmA}_n {rmO}{rmC}_n`]의 넓이 [eqn: S_n`]은

[eqn: S_n = 1 over 2 times root{n^2 + 1} times r_n = 1 over 2 times root{n^2 +1} times {n}over {n+1+root{n^2 + 1}]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{{S_n}over {n}= lim_{n->inf}{ left( 1 over 2 times {root{n^2 + 1}over{n+1+root{n^2 +1}}right)`]

[eqn: = 1 over 2 times 1 over {1+1}= 1 over 4]

13 [정답] ➄

해설

자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: [``x^2 ``]=k``]이면 [eqn: k le x^2 < k+1``]이므로

[eqn: -root{k+1}<x le -rootk ``]또는 [eqn: rootk le x < root{k+1}``]

또, [eqn: -1<x<1``]이면 [eqn: 0 le x^2 <1``]이므로 [eqn: [``x^2 ``]=0``]이다.

따라서 [eqn: y=[``x^2 ``] ``]의 그래프는 아래의 왼쪽 그림과 같다.

[eqn: n=1,~2,~3,~cdots``]일 때, 함수 [eqn: y= {n}over{n+1}x^2 ``]의 그래프는 위의 다음 그림과 같으므로

[eqn: a_1 = 1 ,~a_2 = 3 ,~a_3 = 5,~cdots,~a_n = 2n-1``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{{a_n}over {n}= lim_{n->inf}{{2n-1 over {n} }=2``]

14 [정답] ➁

해설

[eqn: 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1)}over 6 ``]이고

[eqn: 1cdot 2 + 2 cdot 3 + 3 cdot 4 + cdots+ n(n+1)``]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)}over 6 + {n(n+1)}over 2 ``]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1+3)}over {6}``]

[eqn: = {n(n+1)(n+2)}over {3}``]

이므로

[eqn: {a_n + 1} over {2-a_n } = {1 cdot 2 + 2 cdot 3 + 3 cdot 4 + cdots + n(n+1)}over{1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots +n^2 }|]

[eqn: = {{n(n+1)(n+2)}over{3}}over{{n(n+1)(2n+1)}over{6}} = {2n+4}over{2n+1}]

따라서 [eqn: (2n+1) (a_n + 1) = (2n+4)(2-a_n )``]에서

[eqn: (2n+1+2n+4)a_n = 4n+8-2n-1``]

[eqn: a_n = {2n+7}over {4n+5}``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{``a_n}=lim_{n->inf}{`{2n+7}over{4n+5}}= 1 over 2 ``]

15 [정답] ➁

해설

제 [eqn: k``]행에 나열된 모든 수의 합을 [eqn: a_k ``]라 하면

[eqn: a_k = 1+3+5+ cdots + (2k-3)+(2k-1)+(2k-3) + cdots + 5+ 3+ 1``]

[eqn: = 2left{ 1+3+5+cdots(2k-1) right} -(2k-1)``]

[eqn: = 2 left{ sum_{i=1}^{k}{(2i-1) right} - (2k-1)``]

[eqn: =2 left{ 2 times {k(k+1)}over 2 - k right} - (2k-1) = 2k^2 -2k + 1``]

이므로

[eqn: S_n = sum_{k=1}^{n}{a_k }=sum_{k=1}^{n}{(2k^2 - 2k +1)``]

[eqn: = 2 times {n(n+1)(2n+1)}over 6 - 2 times {n(n+1)}over 2 +n``]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)}over 3 - n(n+1) +n``]

[eqn: = 2 over 3 n^3 + 1 over 3 n`]

[eqn: T_n = sum_{k=n+1}^{2n}{a_k} = sum_{k=1}^{2n}a_k - sum _{k=1}^{n}a_k ``]

[eqn: = 2 over 3 cdot (2n)^3 + 1 over 3 cdot 2n - left( 2 over 3 n^3 + 1 over 3 n right)`]

[eqn: = 14 over 3 n^3 + 1 over 3 n]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{{T_n}overS_n } = lim_{n->inf}{{14 over 3 n^3 + 1 over 3 n }over{2 over 3 n^3 + 1 over 3 n }}=7``]

16 [정답] ➄

해설

수열 [eqn: left{ a_n right}``]은 첫째항이 [eqn: 2``], 공비가 [eqn: 3``]인 등비수열이므로 [eqn: a_n = 2 cdot 3^n-1 ``]이고, 수열 [eqn: left{ b_n right}``]은 첫째항이 [eqn: 4``], 공비가 [eqn: 5``]인 등비수열이므로 [eqn: b_n = 4 cdot 5 ^n-1 ``]이다.

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`log_{a_n}``b_n = lim_{n->inf}{``log_{2cdot3^n-1 }``(4cdot 5^n-1} )`]

[eqn: = lim_{n ->inf}{``{log``4 +(n-1)log``5}over{log``2+(n-1)log``3}]

[eqn: = {log``5} over {log``3 }=log_{`3}``5`]

17 [정답] ➂

해설

수열 [eqn: left{a_n -1 right}``]이 수렴하므로 [eqn: lim_{n->inf}{`(a_n - 1)=alpha``]로 놓으면

[eqn: lim_{n->inf}{``a_n}=alpha+1``]이다.

수열 [eqn: left{ {a_n ^2 - 2 a_n + 7} over {a_n ^2 - 2 a_n + 2 }right}``]이 수렴하고 그 극한값이 [eqn: alpha``]이므로 수열의 극한값의 기본 성질에 의하여

[eqn: alpha= lim_{n->inf}{{a_n^2 - 2a_n + 7 }over {a_n ^2 - 2 a_n +2 } ={( lim_{n->inf}{a_n })^2 - 2lim_{n->inf}{a_n }+7}over {(lim_{n->inf}{a_n })^2 - 2 lim_{n->inf}{a_n } + 2}``]

[eqn: ={(alpha+1)^2 - 2(alpha+1)+7}over {(alpha+1)^2 - 2 (alpha+1)+2}= {alpha^2 +6 }over {alpha^2 + 1 ``]

따라서 [eqn: alpha^3 + alpha = alpha^2 + 6 ``]에서 [eqn: alpha^3 - alpha^2 + alpha-6 =0``]이므로

[eqn: (alpha-2)(alpha^2 + alpha+3)=0``]

[eqn: alpha^2 + alpha+3 >0``]이므로 [eqn: alpha=2``]이다.

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{`a_n}=alpha+1 = 2+1 = 3``]

18 [정답] ➁

해설

점 [eqn: {rmP}_n``]의 좌표를 [eqn: a_n ``]이라 하면 점 [eqn: {rmP}_n+1 ``]은 선분 [eqn: {rmOP}_n ``]을 [eqn: k``:``1``]로 내분한 점을 수직선의 양의 방향으로 [eqn: 1``]만큼 평행이동시킨 점이므로

[eqn: a_n+1 = {ka_n }over {k+1} +1``]

[eqn: a_n+1 -(k+1)={k}over{k+1}left{a_n - (k+1)right}``]

[eqn: a_n - (k+1) = left{ a_1 - (k+1)right} left( k over k+1 right)^n-1 ``]

[eqn: a_n = k+1 + left{ a_1 - (k+1)right} left( k over k+1 right) ^n-1 ``]

[eqn: k>0``]이므로 [eqn: 0 < k over k+1 < 1``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{bar{rmOP_{itn}}=lim_{n->inf}{a_n}=k+1``(because``a_n >0``)]

[eqn: lim_{n->inf}{bar{rmOP_{itn}}=10``]이므로 [eqn: k+1 = 10``]에서 [eqn: k=9``]이다.

19 [정답] ➃

해설

[eqn: a_n+1 =left(1- 3over n+3 right)a_n = {n}over {n+3} a_n ```` ``(n=1,~2,~3,~cdots)]

[eqn: a_2 = 1 over 4 a_1 ,~ a_3 = 2 over 5 a_2 ,~a_4 = 3 over 6 a_3 ,~a_5 = 4 over 7 a_4 ,~cdots ,~a_n = {n-1}over {n+2} a_n-1]

이 식을 모두 변끼리 곱하면

[eqn: a_2 cdot a_3 cdot a_4 cdot a_5 cdot cdots cdota_n `]

[eqn: = 1 over 4 cdot 2 over 5 cdot 3 over 6 cdot 4 over 7 cdot cdots cdot {n-1}over {n+2} cdot a_1 cdot a_2 cdot a_3 cdot a_4 cdot cdots cdot a_n-1]

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a_n ne 0``]이므로

[eqn: a_ n = {1cdot2 cdot3}over {n(n+1)(n+2)}a_1 ``]

[eqn: a_1 = 1 ``]이므로 [eqn: a_n = 6 over {n(n+1)(n+2)}``]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{n^3 a_n}=lim_{n->inf}{6n^3 over {n(n+1)(n+2)}=6``]

20 [정답] ➃

해설

[eqn: bar{rmP_{itn}R_{itn}}=(n^2 + root n ) - n^2 = rootn ``]이고

[eqn: bar{rmQ_{itn}R_{itn}}= root{n^2 + rootn + 1 }-root{n^2 + 1}``]이므로

[eqn: a_n = 1 over 2 times bar{rmP_{itn}R_{itn} }times bar{rmQ_{itn}R_{itn}}]

[eqn: = 1 over 2 times rootn times (root{n^2 + rootn + 1 } - root{n^2 + 1} `)]

[eqn: = {n}over {2(root{n^2 + rootn + 1 }+root{n^2 + 1} )}]

[eqn: = {1}over { 2 left( root{1 + 1 over {n rootn}+ 1 over n^2 } + root{1+ 1 over n^2 }right)}`]

[eqn: therefore~lim_{n->inf}{``a_n`}= 1 over {2(1+1)}= 1 over 4 ``]

21 [정답] ②

해설

점 [eqn: rm A _{itn} ``]을 직선 [eqn: m``], [eqn: x``]축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmA`'` _{{itn} ``], [eqn: rmA` prime ' _{{itn} ``]이라 하면 [그림 [eqn: 1``]]에서 [eqn: rm bar{A _{{itn}} P} + bar{PQ} + bar{QA _{{itn}} ``]의 값을 최소로 하는 두 점 [eqn: rmP,~Q``]는 선분 [eqn: rmA`'` _{{itn} ``], [eqn: rmA` prime ' _{{itn} ``]이 직선 [eqn: m``] 그리고 [eqn: x``]축과 만나는 점이다.

[그림 [eqn: 2``]]에서 두 직선 [eqn: l,~m``]이 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 [eqn: 30DEG``], [eqn: 60DEG``]이므로 [eqn: rm TRIANGLE OA _{{itn} }A'_{{itn}``]은 정삼각형이고 점 [eqn: rmP_{itn``]은 [eqn: rm TRIANGLE OA _{{itn} }A'_{{itn}``]은 무게중심이다. 또, 두 삼각형 [eqn: rm TRIANGLE OA _{{itn} }A'_{{itn}``], [eqn: rm TRIANGLE OA _{it n+1 rm} A prime _{it n+1 rm ``}]은 닮음비가 [eqn: 2``:``1``]이므로 [eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} ``]이다.

[eqn: rmbarOA_1`=2``]이므로

[eqn: a _{1}][eqn: =2 TIMES {1} over {3} TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {2} TIMES rmbar{OA_1} RIGHT ) = {2 sqrt {3}} over {3} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {{2 sqrt {3}} over {3}} over {1- {1} over {2}} = {4 sqrt {3}} over {3} ``]

22 [정답] ③

해설

첫째항을 [eqn: a``], 공비를 [eqn: r``]라 하면 [eqn: a=1,~r= {1} over {2} ``]에서 [eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ``]이므로

[eqn: y][eqn: =a _{n} x ^{2} +a _{n-1} x+a _{n+2} ``]
[eqn: = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} x ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} x+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+1} ``]
[eqn: = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} x RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+1} ``]
[eqn: = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( x+ {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + {3} over {4} cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+1} ``]

따라서 주어진 이차함수는 [eqn: x=- {1} over {4} ``]일 때 최솟값 [eqn: b _{n} = {3} over {4} cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+1} ``]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``b _{n} = {3} over {4} sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+1} = {3} over {4} times {{1} over {4}} over {1- {1} over {2}} = {3} over {8} ``]

23 [정답] ①

해설

[eqn: A ^{10} =A ^{9} A=AA ^{9} ``]이므로

[eqn: A ^{10} = {pmatrix{9&~~~~1#27&~~-9}} {pmatrix{a&~~b#c&~~d}} = {pmatrix{a&~~b#c&~~d}} {pmatrix{9&~~~~1#27&~~-9}} ``]

즉, [eqn: {pmatrix{9a+c&~~9b+d#27a-9c&~~27b-9d}} = {pmatrix{9a+27b&~~a-9b#9c+27d&~~c-9d}} ``]

위의 식에서 [eqn: (1,~1)``]성분을 비교하면

[eqn: 9a+c=9a+27b``], [eqn: c=27b``]

[eqn: c!=0``]이므로 [eqn: {b} over {c} = {1} over {27} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {b} over {c} RIGHT ) ^{n} = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {27} RIGHT ) ^{n} = {{1} over {27}} over {1- {1} over {27}} = {1} over {26} ``]

24 [정답] ③

해설

[eqn: a _{n} = sum _{k=n} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k} = {LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1- {1} over {3}} = {3} over {2} cdot LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} ``]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {3} over {2} sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} = {3} over {2} CDOT {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} = {3} over {2} CDOT {1} over {2} = {3} over {4} ``]

25 [정답] ③

해설

수열 [eqn: LEFT { a _{n} +S _{n} RIGHT } ``]은 첫째항이 [eqn: 7``], 공차가 [eqn: 3``]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} +S _{n} =7+(n-1)cdot3``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} +S _{n} =3n+4``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, [eqn: a _{1} +S _{1} =7``]이고 [eqn: S _{1} =a _{1} ``]이므로 [eqn: a _{1} = {7} over {2} ``]이다.

㉠에서 [eqn: n``]대인 [eqn: n+1``]을 대입하면

[eqn: a _{n+1} +S _{n+1} =3n+7``]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: (a _{n+1} -a _{n} )+(S _{n+1} -S _{n} )=3``]에서

[eqn: 2`a _{n+1} -a _{n}}=3``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} + {3} over {2} ``]

[eqn: a _{n+1} -3= {1} over {2} (a _{n} -3)``]에서

[eqn: a _{n} -3=(a _{1} -3) CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~a _{1} = {7} over {2} RIGHT )``]

따라서 [eqn: a `_{n} =3+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {``a ` _{n}} = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT { 3+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} =3``]

26 [정답] ②

해설

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {a _{n+1}} over {S _{n} cdotS _{n+1}} ``][eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` {a _{k+1}} over {S _{k} cdot`S _{k+1}} = lim _{n-> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` LEFT ( {1} over {S _{k}} - {1} over {S _{k+1}} RIGHT ) ``}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {`` LEFT { LEFT ( {1} over {S _{1}} - {1} over {S _{2}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {S _{2}}- {1} over {S _{3}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {S _{3}}- {1} over {S _{4}} RIGHT ) ` RIGHT .}]

[eqn: LEFT . + CDOTS + LEFT ( {1} over {S _{n}} - {1} over {S _{n+1}} RIGHT ) RIGHT } ``]
[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {S _{1}} - {1} over {S _{n+1}} RIGHT ) ``}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: S _{1} =a _{1} =3``]이고

[eqn: S _{n+1} = {(n+1)(2cdot3+nd)} over {2} = {(n+1)(dn+6)} over {2} ``]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` {1} over {S _{n+1}} = lim _{n` -> ` INF } {`` {2} over {(n+1)(dn+6)} =0``}}]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {a _{n+1}} over {S _{n} cdotS _{n+1}} = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {S _{1}} - {1} over {S _{n+1}} RIGHT ) = {1} over {S _{1}} = {1} over {3} ``}]

27 [정답] ③

해설

[[eqn: 1``]단계], [[eqn: 2``]단계], [[eqn: 3``]단계], [[eqn: 4``]단계]에 배열된 정육각형의 한 변의 길이는 각각 [eqn: {1} over {3} ``], [eqn: {1} over {5} ``], [eqn: {1} over {7} ``], [eqn: {1} over {9} ``]이므로 [[eqn: n``]단계]에 배열된 정육각형의 한 변의 길이는 [eqn: {1} over {2n+1} ``]이다. 또, [[eqn: n``]단계]에서 배열된 정육각형의 개수는

[eqn: 1+2+3+cdots+n= {n(n+1)} over {2} ``]

이므로 [[eqn: n``]단계]에 배열된 모든 정육각형의 넓이의 합은 [eqn: S _{n} ``]은

[eqn: S _{n} = LEFT { {sqrt {3}} over {4} times LEFT ( {1} over {2n+1} RIGHT ) ^{2} times6 RIGHT } times {n(n+1)} over {2} = {3 sqrt {3}} over {4} times {n(n+1)} over {(2n+1) ^{2}} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {``S _{n} = {3 sqrt {3}} over {4} lim _{n`-> ` INF } {`` {n(n+1)} over {(2n+1) ^{2}}}} = {3 sqrt {3}} over {16} ``]

28 [정답] ②

해설

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {(n+a)(n+a+2)} ``]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {(k+a)(k+a+2)} ``}]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {2} LEFT ( {1} over {k+a} - {1} over {k+a+2} RIGHT ) ``}]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n` -> ` INF } {`` LEFT { LEFT ( {1} over {1+a} - {1} over {3+a} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2+a} - {1} over {4+a} RIGHT ) `` RIGHT .}]

[eqn: + LEFT ( {1} over {3+a} - {1} over {5+a} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4+a} - {1} over {6+a} RIGHT ) +cdots``]

[eqn: + LEFT ( {1} over {n-1+a} - {1} over {n+1+a} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n+a} - {1} over {n+2+a} RIGHT ) RIGHT }}``]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {1+a} + {1} over {2+a} - {1} over {n+1+a} - {1} over {n+2+a} RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {1} over {1+a} + {1} over {2+a} RIGHT ) = {2a+3} over {2(a+1)(a+2)} ``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {(n+a)(n+a+2)} = {8} over {15} ``]이므로

[eqn: {2a+3} over {2(a+1)(a+2)} = {8} over {15} ``]

[eqn: 16(a ^{2} +3a+2)=15(2a+3)``]

[eqn: 16a ^{2} +18a-13=0``], [eqn: (2a-1)(8a+13)=0``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a= {1} over {2} ``] [eqn: ( BECAUSE ````a>0)`]

29 [정답] ③

해설

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 삼각형 [eqn: rm B _{it n rm} A _{it n+1 rm}A _{it n+2 rm}``]는 닮은 도형이다.

이때, 닮음비는 [eqn: 2``:`` sqrt { 3}``]이므로 넓이의 비는 [eqn: 4``:``3``]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }``]은 공비가 [eqn: {3} over {4} ``]인 등비수열을 이룬다.

삼각형 [eqn: rm B _{it 1 rm} A _{it 2 rm} A _{it 3 rm} ``]에서 [eqn: rm bar{A_2 B_1} `= {1} over {2} ``], [eqn: rm ANGLE A _{2} B _{1} A _{3} =60 DEG ``]

[eqn: sin``60 DEG = {rm bar{{A _{2}} A _{3} it} over {{1} over {2}} ``], 즉 [eqn: rm bar{A_2 A_3} =` {sqrt {3}} over {2} TIMES {1} over {2} = {sqrt {3}} over {4} ``]이고

[eqn: cos``60 DEG = {rm bar{B _{1} A _{3} } over {{1} over {2}} ``], 즉 [eqn: rm bar{B _{1} A _{3}} =` {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {4} ``]이다.

따라서 [eqn: S _{1} = {1} over {2} times {sqrt {3}} over {4} times {1} over {4} = {sqrt {3}} over {32} ``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} = {{sqrt {3}} over {32}} over {1- {3} over {4}} = {sqrt {3}} over {8} ``]

30 [정답] ④

해설

[eqn: rm ANGLE OAP_{itn}= theta ``]라 하면 삼각형 [eqn: rmAOP_{itn}``]에서 [eqn: tan`` theta `= {n} over {2} ``]이므로

[eqn: sin`` theta = {n} over {sqrt {n ^{2} +4}} ,~cos`` theta = {2} over {sqrt {n ^{2} +4}} ``]이다.

[eqn: rmangleAR_{itn}O=90DEG``]이므로 삼각형 [eqn: rmAOR_{itn}``]에서

[eqn: sin`` theta = rm{barOR_{itn}} over {barAO} ``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: rmbarOR_{itn}`=2``sin`` theta = {2n} over {sqrt {n ^{2} +4}} ``]

[eqn: cos`` theta =rm {bar{AR_{itn}}} over {bar{AO}} ``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: rm bar{AR _{it n rm}} `=2``cos`` theta = {4} over {sqrt {n ^{2} +4}} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n}][eqn: =rm {1} over {2} TIMES bar{OR_{itn}} ` TIMES bar{AR_{itn}}=it {1} over {2} TIMES {2n} over {sqrt {n ^{2} +4}} TIMES {4} over {sqrt {n ^{2} +4}} ``]
[eqn: = {4n} over {n ^{2} +4} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: b _{n} ``]은 ㉠의 식에서 [eqn: n``]대신 [eqn: {1} over {n} ``]을 대입한 것과 같으므로

[eqn: b _{n}][eqn: = {4times {1} over {n}} over {LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} +4} = {{4} over {n}} over {{1+4n ^{2}} over {n ^{2}}} = {4n} over {4n ^{2} +1} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {b _{n}} over {a _{n}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {{4n} over {n ^{2} +1}} over {{4n} over {n ^{2} +4}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {n ^{2} +4} over {4n ^{2} +1}} = {1} over {4} ``}}]

31 [정답] ①

해설

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {``( sqrt {2n ^{2} +an+b} - sqrt {2n ^{2} +cn} )``}]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` {(a-c)n+b} over {sqrt {2n ^{2} +an+b} + sqrt {2n ^{2} +cn}} ``}]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` {(a-c)+ {b} over {n}} over {sqrt {2+ {a} over {n} + {b} over {n ^{2}}} + sqrt {2+ {c} over {n}}} =3``}]

에서 [eqn: {a-c} over {2 sqrt {2}} =3``]이므로 [eqn: a-c=6 sqrt {2} ``]이다.

이차정사각행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&~~b#c&~~d}} ``]의 역행렬은

[eqn: {1} over {ab-bc} {pmatrix{b&~~-b#-c&~~~``a}} = {1} over {b(a-c)} {pmatrix{b&~~-b#-c&~~~~a}} ``]

이므로 [eqn: A``]의 역행렬의 [eqn: (1,~2)``]성분은

[eqn: {-b} over {b(a-c)} =- {1} over {a-c} =- {1} over {6 sqrt {2}} =- {sqrt {2}} over {12} ``]

32 [정답] ②

해설

[eqn: rmbarOA _{itn} =ita _{itn}``]이라하면 [eqn: rmbarOB _{itn} = {sqrt {2}} over {2} ita _{itn} =rmbarOA _{itn+1} =ita _{n+1} ``], 즉 [eqn: a _{n+1} = {sqrt {2}} over {2} a _{n} ``]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 첫째항이 [eqn: a _{1} =1``]이고 공비가 [eqn: {sqrt {2}} over {2} ``]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} = LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ``][eqn: cdotscdots] ㉠

또, 점 [eqn: rmB _{itn+1} ``]의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} a _{n} = {1} over {2} a _{n} ``]이므로 [eqn: H _{n} ``]의 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =a _{n} ^{2} ``]에서 점 [eqn: rmC _{itn} ``]의 [eqn: y``]좌표는 [eqn: {sqrt {3}} over {2} a _{n} ``]이다.

따라서 [eqn: rmangleC _{itn} OB _{itn+1} =60DEG``]이므로

[eqn: rmangleC _{itn} OA _{itn+1} =15DEG]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: l _{n} = {pi} over {12} timesa _{n} ``]

㉠에서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``l _{n}][eqn: = {pi} over {12} sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {pi} over {12} sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ``]
[eqn: = {pi} over {12} times {1} over {1- {sqrt {2}} over {2}} = {pi} over {12} times {2} over {2- sqrt {2}} = {2+ sqrt {2}} over {12} pi``]

33 [정답] ①

해설

첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} ``]이라 할 때, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: S _{2n-1}][eqn: =1+2r+r ^{2} +2r ^{3} +r ^{4} +2r ^{5} +cdots+r ^{2n-2} ``]
[eqn: =(1+2r)+r ^{2} (1+2r)+r ^{4} (1+2r)`]

[eqn: +cdots+r ^{2n-4} (1+2r)+r ^{2n-2} ``]

[eqn: r!=+-1``]이면 [eqn: {(1+2r) LEFT { (r ^{2} ) ^{n-1} -1 RIGHT }} over {r ^{2} -1} +r ^{2n-2} ``]

[eqn: r=1``]이면 [eqn: 3(n-1)+1``]

[eqn: r=-1``]이면 [eqn: -(n-1)+1``]

또,

[eqn: S _{2n}][eqn: =1+2r+r ^{2} +2r ^{3} +r ^{4} +2r ^{5} +cdots+r ^{2n-2} +2r ^{2n-1} `]
[eqn: =(1+2r)+r ^{2} (1+2r)+r ^{4} (1+2r)+cdots+r ^{2n-2} (1+2r)``]

[eqn: r!=+-1``]이면 [eqn: {(1+2r) LEFT { (r ^{2} ) ^{n} -1 RIGHT }} over {r ^{2} -1} ``]

[eqn: r=1``]이면 [eqn: 3n``]

[eqn: r=-1``]이면 [eqn: -n``]

따라서 주어진 무한급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {``S _{2n-1} = lim _{n`-> ` INF } {``S _{2n} = alpha ~( alpha ``}}]는 상수[eqn: )``]이므로 [eqn: -1<r ^{2} <1``]이어야 한다.

즉, [eqn: -1<r<1``]이고 그때의 극한값은 [eqn: {1+2r} over {1-r ^{2}} ``]이다.

34 [정답] ③

해설

[eqn: a _{n+1} -a _{n}][eqn: = {2} over {(n+3)(n+4)(n+5)} ``]
[eqn: = {1} over {(n+3)(n+4)} - {1} over {(n+4)(n+5)} ``]

이므로

[eqn: a _{2} -a _{1} = {1} over {4cdot5} - {1} over {5cdot6} ``]

[eqn: a _{3} -a _{2} = {1} over {5cdot6} - {1} over {6cdot7} ``]

[eqn: a _{4} -a _{3} = {1} over {6cdot7} - {1} over {7cdot8} ``]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n} -a _{n-1} = {1} over {(n+2)(n+3)} - {1} over {(n+3)(n+4)} ``]

위의 식을 변끼리 더하면

[eqn: a _{n} -a _{1} = {1} over {20} - {1} over {(n+3)(n+4)} ``]

[eqn: a _{n} =a _{1} + {1} over {20} - {1} over {(n+3)(n+4)} ``]

이때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} ``]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``a _{n} =0``}]에서 [eqn: a _{1} + {1} over {20} =0```], 즉 [eqn: a _{1} =- {1} over {20} ``]이고 그때의 무한급수의 합은

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}][eqn: =- sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {(n+3)(n+4)} ``]
[eqn: =- lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {(k+3)(k+4)} ``}]
[eqn: =- lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `` LEFT ( {1} over {k+3} - {1} over {k+4} RIGHT ) ``}]
[eqn: =- lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {4} - {1} over {n+4} RIGHT ) ``}]
[eqn: =- {1} over {4} ``]

따라서 [eqn: alpha =- {1} over {20} ``]이고 [eqn: beta =- {1} over {4} ``]이므로 [eqn: alpha + beta =- {1} over {20} + LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) =- {6} over {20} =- {3} over {10} ``]

35 [정답] ②

해설

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이 공차가 [eqn: d``]인 등차수열이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n+1} -a _{n} =d``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: b _{n}][eqn: =a _{n+1} `^{3} -a _{n}`^{3} =(a _{n+1} -a _{n} )(a _{n+1} `^{2} +a _{n+1} a _{n} +a _{n}` ^{2} )``]
[eqn: =d(a _{n+1} `^{2} +a _{n+1} a _{n} +a _{n} `^{2} )``]

이때, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: {b _{n}} over {a _{n} ` ^{2}} = {d(a _{n+1} ` ^{2} +a _{n+1} a _{n} +a _{n} ` ^{2} )} over {a _{n} ` ^{2}} =d LEFT { LEFT ( {a _{n+1}} over {a _{n}} RIGHT ) ^{2} + {a _{n+1}} over {a _{n}} +1 RIGHT } ``]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` {a _{n+1}} over {a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {`` {a _{1} +nd} over {a _{1} +(n-1)d} = {d} over {d} =1``}}]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {b _{n}} over {a _{n} ^{2}} = lim _{n`-> ` INF } {``d LEFT { LEFT ( {a _{n+1}} over {a _{n}} RIGHT ) ^{2} + {a _{n+1}} over {a _{n}} +1 RIGHT }} =3d``}]

36 [정답] ②

해설

[eqn: 1,~a_1 ,~a_2, ~a_3,~cdots, ~a_n, ~3``]이 등차수열을 이루고,

[eqn: 3``]은 제[eqn: (n+2)``]항이므로

[eqn: 3=1+(n+1)d_n``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: d _{n} = {2} over {n+1} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``(d _{n} `cdotd _{n+1} )][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {2} over {n+1} times {2} over {n+2} RIGHT ) ``]
[eqn: =4 sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) ``]
[eqn: =4 lim _{n`-> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n}} `` LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT ) ``]
[eqn: =4 lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+2} RIGHT ) =4times {1} over {2} =2``}]

37 [정답] ①

해설

[eqn: a _{n} =1+(n-1)cdot {1} over {2} = {n+1} over {2} ``]

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2cdot1+(n-1)cdot {1} over {2} RIGHT }} over {2} = {n(n+3)} over {4} = {n ^{2} +3n} over {4} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {``( sqrt {S _{n}} -a _{n} )}][eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( sqrt {{n ^{2} +3n} over {4}} - {n+1} over {2} RIGHT ) ``}]
[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` {{n ^{2} +3n} over {4} - {n ^{2} +2n+1} over {4}} over {sqrt {{n ^{2} +3n} over {4}} + {n+1} over {2}} = {{1} over {4}} over {{1} over {2} + {1} over {2}} = {1} over {4} ``}]

38 [정답] [eqn: 19``]

해설

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a``], 공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: a _{2} = {1} over {2} ``]에서 [eqn: ar= {1} over {2} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a _{5} = {1} over {6} ``]에서 [eqn: ar `^{4} = {1} over {6} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠[eqn: DIV]㉡을 하면 [eqn: {1} over {r ` ^{3}} =3``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: r `^{3} = {1} over {3} ``]

또, ㉠의 양변을 세제곱을 하면

[eqn: a ` ^{3} r ` ^{3} = {1} over {8} ,~a `^{3} times {1} over {3} = {1} over {8} ``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: a ` ^{3} = {3} over {8} ``]

이때,

[eqn: a `_{n} a ` _{n+1} a ` _{n+2}][eqn: =ar `^{n-1} cdotar `^{n} cdotar `^{n+1} =a `^{3} r `^{3n} ``]
[eqn: =a `^{3} (r ` ^{3} ) `^{n} = {3} over {8} cdot LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} ``]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a `_{n} `a `_{n+1} `a `_{n+2} = {3} over {8} sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} = {3} over {8} times {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} = {3} over {8} times {1} over {2} = {3} over {16} ``]

따라서 [eqn: p=16,~q=3``]이므로 [eqn: p+q=16+3=19``]이다.

39 [정답] ③

해설

[eqn: a _{1`} + {a _{`2}} over {3} + {a _{`3}} over {3 ^{2}} + CDOTS + {a _{`n}} over {3 ^{n-1}} =6- {6} over {5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n`} a` _{n+1} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: n``]대신 [eqn: n-1``]을 대입하면

[eqn: a _{`1`} + {a _{`2}} over {3} + {a _{`3}} over {3 ^{`2}} + CDOTS + {a _{`n-1}} over {3 ^{`n-2}} =6- {6} over {5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1`} a _{`n} ``] [eqn: (n`ge`2)``]

[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: {a _{`n}} over {3` ^{n-1}} =- {6} over {5} CDOT LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( {1} over {3} a` _{n+1} -a` _{n} RIGHT ) ``]

즉, [eqn: 5a `_{n} `=-6` LEFT ( {1} over {3} a `_{n+1} -a `_{n} RIGHT ) ``]에서 [eqn: 5a _{n} =-2a _{n+1} +6a _{n} ``]이므로

[eqn: a `_{n+1} = {1} over {2} a `_{n} ``]

이때, 위의 식은 [eqn: n`ge2``]일 때 성립하므로 [eqn: n``]대신 [eqn: 2,~3,~4,~cdots,~n-1``]을 대입하면

[eqn: a `_{3} = {1} over {2} a `_{2} ,~a `_{4} = {1} over {2} a ` _{3} ,~a `_{5} = {1} over {2} a `_{4} ,~cdots,~a `_{n} = {1} over {2} a `_{n-1} ``][eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: a _{n} !=0``]이므로 ㉢의 모든 식을 변끼리 곱하면

[eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-2} a `_{2} ~(n`ge2)``]

이때, ㉠의 양변에 [eqn: n=1``]을 대입하면

[eqn: a _{1} =6- {6} over {5} times {1} over {3} timesa _{2} ``]

즉, [eqn: 5=6- {2} over {5} a _{2} ``]에서 [eqn: a _{2} = {5} over {2} ``]이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-2} a `_{2} =5cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} (n`ge2)``]

[eqn: a _{1} =5``]이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} =5cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {5} over {1- {1} over {2}} =10``]

40 [정답] ①

해설

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a``], 공비를 [eqn: r``]라 하면 [eqn: a _{n} =ar ^{n-1} ``]이다.

[eqn: a _{1} +a _{2} =3``]에서 [eqn: a(1+r)=3``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: {1} over {a _{n} cdota _{n+1}} = {1} over {ar ^{n-1} cdotar ^{n}} = {1} over {a ^{2} r ^{2n-1}} `]이므로 수열 [eqn: LEFT { {1} over {a _{n} cdota _{n-1}} RIGHT } ``]은 첫째항이 [eqn: {1} over {a `^{2} r} ``]이고 공비가 [eqn: {1} over {r `^{2}} ``]인 등비수열이다.

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {a _{n} cdota _{n+1}} ``]이 수렴하므로 [eqn: -1< {1} over {r ^{2}} <1``]에서 [eqn: r>1``] 또는 [eqn: r<`-1``]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이때, ㉠에서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {a _{n} cdota _{n+1}} = sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {a ^{2} r ^{2n-1}} = {{1} over {a ^{2} r}} over {1- {1} over {r ^{2}}} = {r} over {a ^{2} (r ^{2} -1)} = {r} over {3a(r-1)} ``]

이므로 [eqn: {r} over {3a(r-1)} =1``]즉, [eqn: r=3a(r-1)= {9(r-1)} over {1+r} ``]이다.

[eqn: r(1+r)=9(r-1)``]

[eqn: r ^{2} -8r+9=0``]	[eqn: cdotscdots] ㉢

방정식 ㉢의 두 근은 [eqn: r=4+- sqrt {7} ``]이고 ㉡을 만족시킨다.

이 중에서 [eqn: r<6``]을 만족시키는 것은 [eqn: r=4- sqrt {7} ``]이다.

41 [정답] ①

해설

[eqn: {a _{n} cdotb _{n}} over {3n ^{2} +n+1} =c _{n} ,~ {n ^{2} +n} over {b _{n} ^{2}} =d _{n} ``]으로 놓으면

[eqn: a _{n} = {(3n ^{2} +n+1)c _{n}} over {b _{n}} ,~b _{n} `^{2} = {n ^{2} +n} over {d _{n}} ``]이므로

[eqn: {b _{n}} over {a _{n}} = {b _{n}} over {{(3n ^{2} +n+1)c _{n}} over {b _{n}}} = {b _{n} `^{2}} over {(3n ^{2} +n+1)c _{n}} = {n ^{2} +n} over {(3n ^{2} +n+1)c _{n} cdotd _{n}} ``]

이때, [eqn: n`` -> `` INF ``]이면 세 수열 [eqn: LEFT { {n ^{2} +n} over {3n ^{2} +n+1} RIGHT } ``], [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT } ``], [eqn: LEFT { d _{n} RIGHT } ``]은 각각 [eqn: {1} over {3} ``], [eqn: {1} over {pi} ``], [eqn: 2``]로 수렴하므로 수열의 극한값의 기본 성질에 의하여

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {b _{n}} over {a _{n}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {n ^{2} +n} over {3n ^{2} +n+1}} cdot lim _{n`-> ` INF } {`` {1} over {c _{n}} cdot lim _{n`-> ` INF } {`` {1} over {d _{n}} = {1} over {3} cdotpicdot {1} over {2} = {pi} over {6} ``}}}]

[eqn: alpha = {pi } over {6} ``]이므로 [eqn: sin`` LEFT ( {pi} over {2} + alpha RIGHT ) =cos`` alpha =cos`` {pi} over {6} = {sqrt {3}} over {2} ``]이다.

[다른 풀이]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {a _{n}} over {b _{n}}}][eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {a _{n} cdotb _{n}} over {3n ^{2} +n+1} times {n ^{2} +n} over {b _{n} `^{2}} times {3n ^{2} +n+1} over {n ^{2} +n} RIGHT ) ``}]
[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` {a _{n} cdotb _{n}} over {3n ^{2} +n+1} times lim _{n`-> ` INF } {`` {n ^{2} +n} over {b _{n} ^{2}}}} times lim _{n`-> ` INF } {`` {3n ^{2} +n+1} over {n ^{2} +n} ``}]
[eqn: = {1} over {pi} times2times3= {6} over {pi} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {b _{n}} over {a _{n}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {1} over {{a _{n}} over {b _{n}}}} = {1} over {{6} over {pi}} = {pi} over {6} ``}]

42 [정답] ③

해설

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 공비를 [eqn: r``]라 하면 무한급수 [eqn: sum _{n=4} ^{INF } ``a _{n} ``]이 수렴하므로

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} = sum _{n=4} ^{INF } ``a _{n} ``]에서

[eqn: a _{1} (1+r+r `^{2} )= {a _{1} `r `^{3}} over {1-r} ``]

[eqn: a _{1} != 0``]이므로

[eqn: (1-r)(1+r+r `^{2} )=r `^{3} ``], [eqn: 1-r `^{3} =r ` ^{3} ``][eqn: THEREFORE ````][eqn: r `^{3} = {1} over {2} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: r= {1} over {root {3} of {2}} ``]

43 [정답] ⑤

해설

[eqn: r``]에 대한 지수방정식 [eqn: 4 ^{r} -3cdot2 ^{r+1} -16=0``]에서 [eqn: 2 ^{r} ``]을 [eqn: t``]로 놓으면 [eqn: t>0``]이고 [eqn: t ^{2} -6t-16=0``], 즉 [eqn: (t-8)(t+2)=0``]에서

[eqn: t=8``] [eqn: ( BECAUSE ````t>0)``]

[eqn: 2 ^{r} =8``]에서 [eqn: r=3``]

따라서 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 공비는 [eqn: 3``]이다.

[eqn: a _{1} =1``]이므로 [eqn: a _{n} =3 ^{n-1} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {a _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } `` {1} over {3 ^{n-1}} = {1} over {1- {1} over {3}} = {3} over {2} ``]

44 [정답] ①

해설

만일 어떤 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: p _{n} =0``]이라 하면 [eqn: p _{n+1}=0``}], [eqn: p _{n+2} =0``], [eqn: cdots``]이 되어 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``p _{n} =0``}]이다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: p _{n} !=0`]이다.

[eqn: {1} over {p _{n+1}} = {p _{n} +b} over {ap _{n}} = {1} over {a} + {b} over {a} times {1} over {p _{n}} ``]에서 [eqn: q _{n} = {1} over {p _{n}} ``]이라 하면

[eqn: q _{n+1} = {1} over {a} + {b} over {a} timesq _{n} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a=b``]이면 ㉠에서 [eqn: q _{n+1} = {1} over {a} +q _{n} ``]

수열 [eqn: LEFT { q _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: {1} over {a} ``]인 등차수열이고 [eqn: a>0``]이므로 수열 [eqn: LEFT { q _{n} RIGHT } ``]은 양의 무한대로 발산한다.

따라서 [eqn: lim _{n-> INF } {``p _{n} = lim _{n`-> ` INF } {{1} over {q _{n}}} =0``}]이다.

[eqn: a!=b``]이면 [eqn: q _{n+1} -k= {b} over {a} times(q _{n} -k)``]에서

[eqn: {1} over {a} = LEFT ( 1- {b} over {a} RIGHT ) k`], 즉 [eqn: k= {1} over {a-b} ``]이므로

[eqn: q _{n} -k=(q _{1} -k) LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n-1} ``], [eqn: q _{1} -k= {1} over {a} - {1} over {a-b} = {-b} over {a(a-b)} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: q _{n} = {1} over {a-b} - {1} over {a-b} cdot LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n} ``]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: a>b``]이면 [eqn: 0< {b} over {a} <1``]이므로 ㉡에서 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``q _{n} = {1} over {a-b} ``}]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {``p _{n} =a-b!=0``}]

[eqn: a<b``]이면 [eqn: a-b<0``]이고 [eqn: {b} over {a} >1``]이므로 ㉡에서 수열 [eqn: LEFT { q _{n} RIGHT } ``]은 양의 무한대로 발산한다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n` -> ` INF } {``p _{n}= 0``}]

따라서 [eqn: a>b``]일 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``p _{n} !=0``}]이고, [eqn: a`leb``]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {``p _{n}= 0``}]이다.

45 [정답] ③

해설

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} =3``]이므로 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``S _{n} =3``}]이고 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``a _{n} =0``}]이다.

ㄱ. [eqn: S _{n} -a _{n} =S _{n-1} ````(n ge2)``]이고 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``S _{n-1} = lim _{n`-> ` INF } {S _{n} =3``}}]이므로 수열 [eqn: LEFT { S_n -a_n RIGHT }``]은 수렴한다.

ㄴ. 두 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } ,~ LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 수렴하므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {``(S _{n} cdota _{n} )= lim _{n-> ` INF } {``S _{n} cdot lim _{n`-> ` INF } {``a _{n} =3cdot0=0``}}}]

따라서 수열 [eqn: LEFT { S _{`n} cdot`a _{`n} RIGHT } `]은 수렴한다.

ㄷ. [반례] [eqn: a _{n} =3cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]이라 하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n} = {{3} over {2}} over {1- {1} over {2}} =3``]이고
[eqn: S _{n} = {{3} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {1} over {2}} =3 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } ``]이므로
[eqn: { S _{n}} over {a_n } = {{3} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {3 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} =2 ^{n} -1``]
따라서 수열 [eqn: LEFT { {S _{n}} over {a _{n}} RIGHT } ``]은 발산한다.

그러므로 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄴ이다.

46 [정답] ⑤

해설

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} =3``]이므로 [eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} =0``}]이다.

[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} =b _{n} ``]으로 놓으면 [eqn: a _{n} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} b _{n} ``]이므로

[eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} cdot LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} b _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} b _{n} ``]

이때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {``b _{n} =0``}]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} b _{n} = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} cdot lim _{n`-> ` INF } {``b _{n} =0cdot0=0``}}}}]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {3 ^{n+1} +2 ^{n+1} a _{n}} over {3 ^{n} +4 ^{n} a _{n}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {3+2cdot LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n}} over {1+ LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n}} = {3+2cdot0} over {1+0} =3``}}]

[다른 풀이]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n}}][eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT { LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n} a _{n} times lim _{n`-> ` INF } {`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} =0times0=0``}}]

47 [정답] ⑤

해설

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{5} =r(a _{1} +a _{4} )``]이므로

[eqn: 126=42r``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: r=3``]

[eqn: a _{1} +a _{4} =42``]에서 [eqn: a _{1} (1+r ^{3} )=42``]이므로

[eqn: 28a _{1} =42``]	[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{1} = {3} over {2} ``]

따라서 [eqn: a _{n} = {3} over {2} times3 ^{n-1} = {3 ^{n}} over {2} ``]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {2} over {a _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } `` {4} over {3 ^{n}} = {{4} over {3}} over {1- {1} over {3}} =2``]

48 [정답] ④

해설

[eqn: a _{n} =1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} +cdots+(2n-1) ^{2} ``]이므로

[eqn: a _{n-1} =1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} + CDOTS +(2n-3) ^{2} ``] (단, [eqn: n`ge2``])

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} -a _{n-1} =(2n-1) ^{2} ``](단, [eqn: n`ge2``])

[eqn: THEREFORE ````][eqn: lim _{n`-> ` INF } {`` {a _{n} -a _{n-1}} over {n ^{2}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {(2n-1) ^{2}} over {n ^{2}} = lim _{n`-> ` INF } {`` {4n ^{2} -4n+1} over {n ^{2}} =4``}}}]

49 [정답] ⑤

해설

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이 첫째항이 [eqn: 3``]이고 공비가 [eqn: r(0< LEFT | `r` RIGHT | <1`)``]인 등비수열이므로 [eqn: a _{n} =3r `^{n-1} ``]이다.

따라서 [eqn: a _{n} = sum _{k=n+1} ^{INF } ``a _{k} = sum _{k=n+1} ^{INF } ``3r `^{k-1} = {3r} over {1-r} ``]에서 [eqn: 3r `^{n-1} = {3r `^{n}} over {1-r} ``]이다.

[eqn: r!=0``]이므로 [eqn: 1= {r} over {1-r} ``], 즉 [eqn: 1-r=r``]에서 [eqn: r= {1} over {2} ``]이다.

따라서 [eqn: a _{n} =3cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``(a `_{n} ` CDOT a `_{n+1} )][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT { 3cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} cdot3cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } = {9} over {2} sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} ``]

[eqn: = {9} over {2} times {1} over {1- {1} over {4}} = {9} over {2} times {4} over {3} =6``]

50 [정답] ②

해설

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmA _{itn+1} A _{itn} B _{itn} C _{itn} ``]의 한 변의 길이를 [eqn: x _{n} ``]이라 하면

[eqn: rm bar{P_{itn}C_{itn}} `= itsqrt {x _n^2 {+ LEFT ( {1} over {2} x _{n} RIGHT ) ^{2}}} = {sqrt {5}} over {2} x _{n} ``} ^{2}``]

따라서 [eqn: x _{n+1} = rm bar{A _{itn} A _{itn+1}} = it{sqrt {5}} over {2} x _{n} - {1} over {2} x _{n} = {sqrt {5} -1} over {2} x _{n} ``]

즉, 수열 [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT } ``]은 공비가 [eqn: {sqrt {5} -1} over {2} ``]인 등비수열을 이룬다.

이때, [eqn: x _{1} = rm bar{A _{it 0 rm} C _{it 1 rm}} `= bar{A _{0} A _{1}} `= {sqrt {5} -1} over {2} ``]이므로

[eqn: x _{n} = {sqrt {5} -1} over {2} cdot LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} = LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a _{n} =x _{n} `^{2} = LEFT { LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } ^{2} = LEFT { LEFT ( {sqrt {5} -1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{n} = LEFT ( {3- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``a _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( {3- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{n} ``]
[eqn: = {{3- sqrt {5}} over {2}} over {1- {3- sqrt {5}} over {2}} = {3- sqrt {5}} over {sqrt {5} -1} = {sqrt {5} -1} over {2} ``]