• 2012-4월 수학 •

1	②	2	④	3	④	4	①	5	①
6	③	7	⑤	8	①	9	③	10	①
11	②	12	⑤	13	④	14	③	15	②
16	⑤	17	③	18	②	19	⑤	20	④
21	⑤	22	5	23	16	24	55	25	29
26	70	27	508	28	3	29	14	30	8

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 4 ^{{3} over {2}} TIMES 16 ^{- {1} over {2}} =2 ^{3} TIMES 2 ^{-2} =2]

[출제의도] 행렬 연산하기

[eqn: X=B-2A][eqn: = {pmatrix{2&2#1&3}} -2 {pmatrix{-1&0#```````1&2}}][eqn: = {pmatrix{``````4&```````2#-1&-1}}]

[출제의도] 삼각함수의 성질을 알고 계산하기

[eqn: cos theta = 2cos ^{2} theta over 2 -1 = {1} over {8}]

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)-2x} over {x ^{2}} =2}]에서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 2]인
이차함수이고

[eqn: lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} =3]에서 [eqn: lim _{x -> -1} {f(x)=0}]이므로

[eqn: f(x)=2(x+1)(x+a)]이다.

[eqn: lim _{x -> -1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} =lim _{x -> -1} {{2(x+a)} over {x -1}}}][eqn: = {2(-1+a)} over {-2} =3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=`-2]

따라서 [eqn: f(x)=2(x+1)(x-2)]이므로 [eqn: f(1)=`-4]

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법 이해하기

[eqn: `lny=2e ^{-3x}]이고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {y prime } over {y} =`-6e ^{-3x}]

[eqn: y prime =`-6e ^{-3x} cdot y]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]에 [eqn: x=0,```y=e ^{2}]을 대입하면 [eqn: y prime =`-6e ^{2}]

따라서 점 [eqn: LEFT ( 0,`e ^{2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -6e ^{2}]

[출제의도] 일차변환과 행렬 이해하기

[eqn: A+B=C``]라 하면 [eqn: C= {pmatrix{6#3}}]

[eqn: f(A)+f(B)=f(A+B)=f(C``)=3B]

따라서 [eqn: f ^{``-1} (B)= {1} over {3} C``]이므로 [eqn: f ^{``-1} (B)= {pmatrix{2#1}}]

[출제의도] 분수부등식 이해하기

[eqn: f(x)=ax(x-2)]([eqn: a>0])라 하면

부등식 [eqn: {f(x-2)} over {f(x-4)} LEQ 1]에서 [eqn: {a(x-2) LEFT ( x-4 RIGHT )} over {a(x-4)(x-6)} LEQ 1]이므로
[eqn: x != 4]이고 [eqn: {4} over {x-6} LEQ 0]이다.

[eqn: {4} over {x-6} LEQ 0]의 양변에 [eqn: LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2}]을 곱하여 정리하면

[eqn: x LEQ 6]([eqn: x != 4], [eqn: x != 6])이다.

따라서 부등식 [eqn: {f(x-2)} over {f(x-4)} LEQ 1]을 만족시키는 자연수
[eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]이므로 모든 자연수의 합은 [eqn: 11]

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

(가)에서 [eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n}]이고

(나)에서 [eqn: a _{n} <3- {1} over {2} b _{n}]이므로

[eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n} <3- {b _{n}} over {2}]이다.

한편, [eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +1} over {n(n+1)}} le lim _{n -> INF } {a _{n}} LEQ lim _{n -> INF } {LEFT. LEFT ( 3- {b _{n}} over {2} RIGHT . RIGHT )}]이고

(다)에서 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} =0}]이므로

[eqn: 3 le lim _{n -> INF } {a _{n}} le3]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =3]

[출제의도] 함수의 연속성 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `+0} {`f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `-0} {f LEFT ( x RIGHT ) =`} `-1}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1`+0} {LEFT { `f LEFT ( x RIGHT ) `-`f(-x) RIGHT } =`-1-1=`-2}] (거짓)

ㄷ. [eqn: ` LEFT | `f(-1)` RIGHT | CDOT sin LEFT { pi TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } =0],

[eqn: lim _{x` -> `-1+0} {` LEFT | `f(x)` RIGHT | CDOT sin pi x} ``= lim _{x` -> `-1-0} {` LEFT | `f(x)` RIGHT | CDOT sin pi x} ``=0]

이므로 함수 [eqn: {` LEFT | `f(x)` RIGHT | cdot sin pi x}]는 [eqn: x=`-1]에서 연속이다.

같은 방법으로 함수 [eqn: {` LEFT | `f(x)` RIGHT | cdot sin pi x}]는

[eqn: x=0], [eqn: x=1]에서 연속이다.

[eqn: THEREFORE] 함수 [eqn: {` LEFT | `f(x)` RIGHT | cdot sin pi x}]는

열린 구간 [eqn: LEFT ( -2,``2 RIGHT )]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[출제의도] 고차부등식 이해하기

[eqn: x^3 -6x^2 +11x-6 >0]

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3)>0]

[eqn: therefore] [eqn: 1<x<2] 또는 [eqn: x>3]

[eqn: B SUBSET A SUBSET C``]이므로 [eqn: alpha ge 3], [eqn: beta le 1]

따라서 [eqn: alpha - beta]의 최솟값은 [eqn: 2]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +b]의 그래프에서 점근선의
방정식이 [eqn: y=2]이므로 [eqn: b=2]이다.

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +2]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 함수 [eqn: y=2 ^{-`2x+a} +2]의

그래프이다.

함수 [eqn: y=2 ^{-`2x+a} +2]의 그래프가 점 [eqn: (-1,10)]을
지나므로 [eqn: a=1]이다.

따라서 [eqn: a+b=3]

[출제의도] 로그의 뜻을 알고 문제해결하기

해발고도 [eqn: 1840rmm]인 곳에서의 기압을 [eqn: p_1 (rmhPa)]이라 하면
[eqn: p _{0} =1000], [eqn: t=10], [eqn: H=1840]이므로

[eqn: 1840=18400 LEFT ( 1+0.04 TIMES 10 RIGHT ) log {1000} over {p _{1}}]

[eqn: therefore] [eqn: {1} over {14} =3-log`p _{1}]이므로 [eqn: p _{1`} =10 ^{{41} over {14}}]

따라서 해발고도 [eqn: 1840rmm]인 곳에서의 기압[eqn: ( rm hPa)]은 [eqn: 10 ^{{41} over {14}}]

[출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f` prime (x)=a(x+1)(x-1)]([eqn: a>0])이므로

[eqn: x=`-1]에서 극댓값, [eqn: x=1]에서 극솟값을 가진다.

[eqn: LEFT . f(x)= int _{} ^{} {a(x+1)(x-1)dx} RIGHT .]

[eqn: LEFT . = int _{} ^{} {a(x ^{2} -1)} dx=a` LEFT ( ` {x ^{3}} over {3} -x` RIGHT ) `+C RIGHT .]
(단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f(-1)=a` LEFT ( `- {1} over {3} +1` RIGHT ) `+C=4]     [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f(1)=a` LEFT ( ` {1} over {3} -1` RIGHT ) `+C=`0]          [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여

[eqn: a=3], [eqn: C=2]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x`+2]이다.

따라서 [eqn: f(3)=20]

[출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: (ABA ^{-1} `) ^{`2} =(ABA ^{-1} `)(ABA ^{-1} `)]

[eqn: =AB(A ^{-1} A)BA ^{-1} =ABEBA ^{-1}]

[eqn: =ABBA ^{-1} =AB ^{2} A ^{-1}] (참)

ㄴ. 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하면

[eqn: A^2 (A^-1 ) ^2 =AAA^-1 A^-1 = A(AA^-1 )A^-1]

[eqn: =AEA ^{-1} =AA ^{-1} =E]

[eqn: therefore] [eqn: (A ^{2`} ) ^{-1} =(A ^{-1} ) ^{`2}] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{0&```1#1&```0}}], [eqn: B``= {pmatrix{0&``0#0&``1}}] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

[eqn: p=3], [eqn: q=6], [eqn: f(n)=3n]이므로 [eqn: p+q+f(10)=39]

[출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin2x(sinx+1)dx=} int _{0} ^{{pi } over {2}} {2sinx`cos`x(sinx+1)dx}]

[eqn: sinx=t]로 치환하면 [eqn: cosx`dx=dt]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0]이고, [eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {(2t ^{2} +2t)`dt}][eqn: = LEFT [ {2t ^{3}} over {3} +t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {5} over {3}]

[출제의도] 분수방정식의 뜻을 알고 문제해결하기

코끼리 트래킹 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은 [eqn: {12} over {8} =1.5]

뗏목 래프팅 코스에서 이동한 평균속력을 [eqn: v]라 하면

뗏목 래프팅 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은
[eqn: 13.5 over v],

승마 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은
[eqn: 12 over v+10]이므로

[eqn: 1.5+ {12} over {v+10} = {13.5} over {v}]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: v(v+10)]을 곱하여 정리하면

[eqn: v^2 +9v-90=(v-6)(v+15)=0]

[eqn: therefore] [eqn: v=6]([eqn: BECAUSE v>0])

뗏목 래프팅 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은

[eqn: 13.5 over 6 = 2.25]

승마 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간은
[eqn: 12 over 16 = 0.75]

(세 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간의 총합)
[eqn: =1.5+2.25+0.75= 4.5]

따라서 갑이 승마, 뗏목 래프팅, 코끼리 트래킹 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간의 총합은 [eqn: 4]시간 30분

[출제의도] 일차변환의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]

[eqn: pile{cos {pi } over {8}#sin {pi } over {8}} ``` pile{``-sin {pi } over {8}#``````````cos {pi } over {8}}]

[eqn: pile{`#`} right)]

[eqn: A=]

,

이라 하자.

[eqn: {matrix{{1} over {2} ````&0#0````&{1} over {2}}}]

[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]

[eqn: pile{`#`} right)]

[eqn: B=]

행렬 [eqn: A]는 원점을 중심으로 [eqn: pi over 8]만큼 회전시키는
회전변환을 나타내는 행렬이고, 행렬 [eqn: B]는 원점을
닮음의 중심으로 하고 닮음비가 [eqn: 1over2]인 닮음변환을
나타내는 행렬이다.

(나)에서 [eqn: LEFT ( pile{x _{n+1}#y _{n+1}} RIGHT ) =AB` LEFT ( pile{x _{n}#y _{n}} RIGHT )]이고

(가)에서 [eqn: x _{0} =1], [eqn: y _{0} =0]이므로

[eqn: x _{98} = ROOT 2 OVER 2 left( 1over2 right)^98], [eqn: y _{102} ={sqrt {2}} over {2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{102}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x_98 + y_102 = 17root2 left( 1over2 right)^103]

따라서 [eqn: k=17root2]

[출제의도] 정적분의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `= LEFT [ e ^{x} -x RIGHT ] _{0} ^{1} =e-2] (참)

ㄴ. [eqn: g(x)=f(x)-x]라 하자.

[eqn: x>0]에서 [eqn: g prime (x)=e ^{x} -1>0]이므로

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,` INF RIGHT )]에서 증가한다.
따라서 [eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)>x]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x+1 RIGHT )]이므로
[eqn: rm TRIANGLE OAB= {5(ite ^{5} -1)} over {2} ` it <` int _{0} ^{e ^{5`} -1} {f ^{`-1} (x)dx} `],

[eqn: ` int _{0} ^{e ^{5`} -1} {f ^{`-1} (x)dx} `< {(e ^{5} -1) ^{2}} over {2} = rm TRIANGLE OAC] (참)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: 5]

[eqn: rm A LEFT ( ite ^{5} -1,`0 RIGHT )]

[eqn: e ^{5} -1]

[eqn: y=x]

[eqn: y=ln LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: y= {5} over {e ^{5} -1} x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: H _{n}]의 한 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하고
[eqn: H _{n+1}]의 한 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{n+1}]이라 하자.

[eqn: l _{n}]

[eqn: l _{n+1}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm 2 bar{AB} = bar{EF}]이므로 [eqn: rm {3} over {2} bar{AB} = bar{CD}]이다.

[eqn: {3} over {2} l _{n} =4 TIMES {sqrt {3}} over {2} l _{n+1}]이 성립하므로, [eqn: l _{n+1} = {sqrt {3}} over {4} l _{n}]에서

[eqn: S _{n+1} =3 TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} S _{n} = {9} over {16} S _{n}]

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은

[eqn: S _{1} = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} TIMES 6 TIMES 3= {27} over {32} sqrt {3}]이고, 공비가
[eqn: {9} over {16}]인 무한등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{27} over {32} sqrt {3}} over {1- {9} over {16}} = {27} over {14} sqrt {3}]

[출제의도] 도함수의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {4x} over {2x ^{2} `+1}]이므로 [eqn: f`'`(-x)`=`-`f`'`(x)] (참)

ㄴ. [eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) = {4 LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) -4x CDOT 4x} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}} = {4 LEFT ( 1-2x ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=- {1} over {sqrt {2}}] 또는 [eqn: x= {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: x]	⋯	[eqn: - {1} over {sqrt {2}}]	⋯	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]	⋯
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	↘	[eqn: - sqrt {2}]	↗	[eqn: sqrt {2}]	↘

[eqn: lim _{x -> - INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x -> INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} =0]이므로 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의

그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다. (참)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: - {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: - sqrt {2}]

ㄷ. ⅰ) [eqn: x _{1} =x _{2}]일 때, 주어진 부등식은 성립한다.

ⅱ) [eqn: x _{1} != x _{2}]일 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ x _{1} ,~x _{2} RIGHT ]]에서
평균값의 정리에 의하여 [eqn: {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} =f` prime LEFT ( c RIGHT )]인
[eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다.

ㄱ, ㄴ에 의하여 [eqn: - sqrt {2} LEQ f` prime LEFT ( x RIGHT ) LEQ sqrt {2}]이므로

[eqn: LEFT | {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} RIGHT | ``= LEFT | `f` prime LEFT ( c RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2}]이다.

[eqn: THEREFORE] ⅰ), ⅱ)에 의하여 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에
대하여 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 행렬과 연립일차방정식 이해하기

연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{1-k````&-2#-3&4-k}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{0#0} RIGHT )]가

[eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로

[eqn: LEFT ( 1-k RIGHT ) LEFT ( 4-k RIGHT ) -6=0], [eqn: k ^{2} -5k-2=0]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여
모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 5]

[출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: x^2 + 5x -6+root{x^2 +5x}=0]에서

[eqn: root{x^2 + 5x} = t] ([eqn: t ge 0])라 하면,

[eqn: t^2 + t -6 = 0] [eqn: therefore] [eqn: t=2] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```t GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: root{x^2 + 5x} = 2]의 양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: x^2 + 5x -4 =0]

[eqn: therefore] 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실근의 곱 [eqn: p=`-4]

따라서 [eqn: p ^{2} =16]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} = {n ^{2} +2n} over {(n+1) ^{2}}][eqn: = {n+2} over {n+1} TIMES {n} over {n+1}]

[eqn: {a _{2}} over {a _{1}} = {3} over {2} TIMES {1} over {2}], [eqn: {a _{3}} over {a _{2}} = {4} over {3} TIMES {2} over {3}], [eqn: CDOTS] , [eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} = {n+1} over {n} TIMES {n-1} over {n}]

[eqn: {a _{2}} over {a _{1}} TIMES {a _{3}} over {a _{2}} TIMES ` CDOTS ` TIMES {a _{n}} over {a _{n-1}} = {1 TIMES 3} over {2 TIMES 2} TIMES {2 TIMES 4} over {3 TIMES 3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n TIMES n}]

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} = {1} over {2} TIMES {n+1} over {n} = {n+1} over {2n}]

따라서 [eqn: 100`a _{10} =55]

[출제의도] 일차변환과 행렬의 성질 이해하기

일차변환을 나타내는 행렬을 [eqn: {pmatrix{p&q#r&s}}]라 하면

[eqn: {pmatrix{p&q#r&s}} ` {pmatrix{1#1}} = {pmatrix{-1#```````2}}]      [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: {pmatrix{p&q#r&s}} ` {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{````````3#-4}}]      [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여 [eqn: p=`-5], [eqn: q=4], [eqn: r=8], [eqn: s=`-6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {pmatrix{-5&```````4#``````8&-6}} ` {pmatrix{-3#-1}} = {pmatrix{```````11#-18}}]

따라서 [eqn: a=11], [eqn: b=`-18]이므로 [eqn: a-b=29]

[출제의도] 삼각방정식의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: rm ANGLE POB=2theta]이므로 [eqn: ANGLE rm PAB= theta],
[eqn: rm ANGLE BOQ=theta]이므로 [eqn: ANGLE rm QAB = theta over 2]이다.

[eqn: rm TRIANGLE ABP]에서 [eqn: rm bar{AP} =2cos theta], [eqn: rm TRIANGLE AQB]에서 [eqn: rmbarBQ = 2sin thetaover2]

[eqn: 3 rm bar AP = 7 bar BQ]이므로 [eqn: 3cos theta = 7sin thetaover2]이다.[eqn: sin^2{theta over 2 = {1-cos theta} over {2}]이므로

[eqn: 18cos^2 theta + 49cos theta -49=0]이다.

[eqn: cos theta = 7over9] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]  따라서 [eqn: 90`cos theta =70]

[출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기

[eqn: a_n = S_n - S_{n-1} =n+1] [eqn: (n ge 2)], [eqn: a _{1} =S _{1} =2]이므로
[eqn: a _{n} =n+1``(n GEQ 1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{7} 2 ^{a _{n}} = sum _{n=1} ^{7} 2 ^{n+1} = {2 ^{2} (2 ^{7} -1)} over {2-1} =508]

[출제의도] 미분계수의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: {1} over {n} =h]라 하면, [eqn: n` -> ` INF]일 때, [eqn: h` -> `0]이다.

(준식)[eqn: = lim _{h` -> `0} {{LEFT { g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g(1) RIGHT } - LEFT { g LEFT ( 1-2h RIGHT ) -g(1) RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g(1)} over {h} +2 lim _{h` -> `0} {{g LEFT ( 1-2h RIGHT ) -g(1)} over {-2h}}}]

[eqn: =g` prime (1)+2`g` prime (1)=3g` prime (1)]

[eqn: g(1)=f ^{`-1} (1)=a]라 하면 [eqn: f(a)=1]이므로

[eqn: f(a)=a ^{3} +3a ^{2} +4a+5=1]에서 [eqn: a=`-2]이다.

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} + 6x +4]에서 [eqn: f` prime (-2)=4]이고
[eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]에서 [eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( x RIGHT )}]이므로

[eqn: 3g` prime (1)=3 TIMES {1} over {f` prime (-2)} ={3} over {4}]이다.

따라서 [eqn: 4p=3]

[출제의도] 지표와 가수의 뜻을 알고 문제해결하기

[eqn: log`x=f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) `] ([eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 정수, [eqn: 0 LEQ g LEFT ( x RIGHT ) <1])

[eqn: 0 LEQ g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) <1], [eqn: 0 LEQ g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) <1]이므로
(가)에서 [eqn: 0 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) <2]이다.
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 정수이므로 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.
한편, (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) !=0]

∴ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]

[eqn: log`x ^{2} =f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) +2g LEFT ( x RIGHT )]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: log`x ^{3} =f LEFT ( x ^{3} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) =3f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT )]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서

[eqn: f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +f LEFT ( x ^{3} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) +g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) =5f LEFT ( x RIGHT ) +5g LEFT ( x RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: ㉢]의 좌변은 정수이므로 [eqn: 5g LEFT ( x RIGHT )]는 정수이다.

[eqn: THEREFORE `] [eqn: 0<g LEFT ( x RIGHT ) <1]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 될 수 있는 값은
[eqn: {1} over {5}], [eqn: {2} over {5}], [eqn: {3} over {5}], [eqn: {4} over {5}]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {5}]일 때, [eqn: g LEFT ( x ^{2} RIGHT ) = {3} over {5}], [eqn: g LEFT ( x ^{3} RIGHT ) = {2} over {5}], [eqn: g LEFT ( x ^{4} RIGHT ) = {1} over {5}]
이므로 [eqn: g(x ^{2} )>g(x ^{3} )>g(x ^{4} )]이 성립한다.
∴ [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {5}]이므로 [eqn: log`x=1+ {4} over {5} = {9} over {5}], [eqn: x=10 ^{{9} over {5}}]

따라서 [eqn: m=5], [eqn: n=9]이므로 [eqn: m+n=14]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: rmAB] 위의 점이고 시각 [eqn: t]일 때 [eqn: ANGLE rm POA= it t] [eqn: LEFT ( 0 LEQ t LEQ {pi } over {2} RIGHT )]이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: it LEFT ( cos`t,~sin`t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rm Q( it x,`0)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는

[eqn: x=cos`t+ sqrt {5-sin ^{2} `t}], [eqn: y=0]

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 시간에 대한 변화율

[eqn: {dx} over {dt} =`-sin`t- {sin`t`cos`t} over {sqrt {5-sin ^{2} `t}}]

[eqn: therefore] [eqn: ANGLE rm POA= pi over 4]가 되는 순간, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의
시간에 대한 변화율

[eqn: r=`- {sqrt {2}} over {2} - {{1} over {2}} over {sqrt {5- {1} over {2}}} =`- {sqrt {2}} over {2} - {sqrt {2}} over {6} =`- {2} over {3} ` sqrt {2}]

따라서 [eqn: 9r ^{2} =8]

• 2011-4월 수학 •

[가 형]

1	③	2	②	3	①	4	④	5	①
6	⑤	7	③	8	③	9	④	10	④
11	①	12	③	13	②	14	⑤	15	⑤
16	④	17	①	18	②	19	⑤	20	②
21	③	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 10]	24	[eqn: 32]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 2]	27	[eqn: 120]	28	[eqn: 24]	29	[eqn: 170]	30	[eqn: 9]

1. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈 계산하기

[eqn: AB+B= {pmatrix{`1&```````````1`#`0&````-2`}} {pmatrix{`3&```0`#`2&```1`}} + {pmatrix{`3&````0`#`2&````1`}} = {pmatrix{````````8&``````````1`#`-2&```-1`}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 6]

2. [출제의도] 지수와 로그의 성질을 알고 계산하기

[eqn: log` _{4} `(`2 ^{{7} over {2}} TIMES 2 ^{{1} over {2}} )][eqn: `=log _{`4} `2 ^{4} =` log_ {`4} {4^2}=` 2]

3. [출제의도] 함수의 극한의 뜻을 이해하기

[eqn: lim _{x`` -> `` INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} RIGHT } ^{-2}}=e ^{-2} ``= {1} over {e ^{2}}]

4. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하기

[eqn: y= {pi } over {3} -x]이므로
(준식) [eqn: = sqrt {3} `cosx+2sin LEFT ( {pi } over {3} -x RIGHT )]
[eqn: =2 sqrt {3} `cosx`-sinx]

[eqn: = sqrt {13} `sin LEFT ( alpha -x RIGHT ) `]
[eqn: left(pile{` #` }]단, [eqn: sin `alpha = {2 sqrt {39}} over {13}], [eqn: cos` alpha `= {sqrt {13}} over {13}][eqn: pile{` #` } right)]

따라서 최댓값은 [eqn: sqrt {13}]

5. [출제의도] 무리방정식의 해 구하기

[eqn: sqrt {x ^{2} +x-1} =t]라 하면
[eqn: 2x ^{2} +2x-1+ sqrt {x ^{2} +x-1} `=2]에서

[eqn: 2t ^{2} +1+t=2]이므로 [eqn: LEFT ( 2t-1 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT ) `=0]

그러므로 [eqn: t= {1} over {2} `` LEFT ( BECAUSE `t GEQ 0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE] [eqn: sqrt {x ^{2} +x-1} = {1} over {2}]에서 [eqn: x ^{2} +x- {5} over {4} =0]

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: - {5} over {4}]

6. [출제의도] 여러 가지 수열의 일반항 구하기

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =n+1]이므로

[eqn: a_n = a _1 + sum _{k=1} ^{n-1 } {(k+1)]

[eqn: = 1+ {(n-1)(n+2)} over 2]

따라서 [eqn: a _{15} =1+ {14 TIMES 17} over {2} =120]

7. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}][eqn: =2n+2(`n GEQ 2)]

[eqn: S _{`1}=5]이므로 [eqn: a_{`1}=5]

따라서 [eqn: a _{`1} + a _{`6} = 5+2 TIMES6+2=19]

8. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]의 정의역은 [eqn: x<5`]이다.

[eqn: f` prime (x)= {-2} over {5-x} + {x} over {2}=0`]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4],

[eqn: f` prime prime (x)= {-2} over {(x-5) ^{2}} + {1} over {2}=0`]에서
[eqn: x=3`( BECAUSE ~x<5)`]이므로 함수 [eqn: f` prime (x)`], [eqn: f prime prime(x)`], [eqn: f(x)]를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: 3`]	…	[eqn: 4`]	…	[eqn: 5`]
[eqn: f` prime (x)`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]
[eqn: f prime prime(x)`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: 0]	[eqn: -`]	[eqn: -`]	[eqn: -`]
[eqn: f(x)`]	□	[eqn: f(1)]	□	[eqn: f(3)]	□	[eqn: f(4)]	□

[eqn: left( pile{` #` }]단, [eqn: f(1)= 1 OVER 4 + 4ln 2], [eqn: f(3) = 9 over 4 + 2ln 2],
[eqn: f(4)=4][eqn: pile{` #` } right)]

ㄱ. (참)

ㄴ. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점의 개수는 [eqn: 1]이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1over4]은 다음과 같으므로 방정식 [eqn: f(x)= 1over 4]의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y= rm {1} over {4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

9. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계를 이해하기

주어진 그래프를 행렬로 나타내면

[eqn: rm A``B``C``D``E]

[eqn: {matrix{0&``0&``1&``1&``0#0&``0&``1&``0&``1#1&``1&``0&``1&``1#1&``0&``1&``0&``0#0&``1&``1&``0&``0}}]

[eqn: pile{ rm A # B # C # D # E }]

이므로 [eqn: p=1], [eqn: q=0]이고 꼭짓점 [eqn: rm C`]에서 다른 한 꼭짓점을 지나 다시 꼭짓점 [eqn: rm C`]로 돌아오는 방법은 [eqn: rmCAC], [eqn: rm CBC], [eqn: rm CDC], [eqn: rm CEC]이므로 [eqn: r=4]이다.

따라서 [eqn: p+q+r=5]

10. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계를 이해하기

연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{1&``2`#``2``&`3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`k&``1`#```1``&``k`}} {pmatrix{`x`#`y`}}]에서

[eqn: {pmatrix{`1-k&1``#`1&3-k`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`0`#`0`}}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로
[eqn: (1-k)(3-k)-1=0]

따라서 모든 상수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 4]

11. [출제의도] 행렬의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: A=2B+E`]이므로

[eqn: AB=(2B+E)B][eqn: =2B^2 + B]

[eqn: = B(2B+E)][eqn: =BA] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{`1&```0`#`0&```1`}}], [eqn: B= {pmatrix{`-1`````&```````0`#````````0`````&-1`}}] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{``1``&``0`#`1&``1`}}], [eqn: B= {pmatrix{`0```&`0`#`0```&`1`}}] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ

12. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: rm bar{P _{it 0 rm} rm `P _{1}} = bar{P _{it 1 rm} rm `P _{2}} =` CDOTS `= bar{P _{it n-1 rm} rm `P _{it n rm}} =2sin {pi } over {2n}]
이므로 각 정삼각형의 넓이는 [eqn: sqrt {3} `sin ^{2} LEFT ( {pi } over {2n} RIGHT ) `]이다.
따라서 [eqn: lim _{n`` -> ``INF } {n`․`S(n)}`` = lim _{n`` -> `` INF } {sqrt {3} n ^{2} TIMES sin ^{2} LEFT ( {pi } over {2n} RIGHT )}]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} pi ^{2} `]

13. [출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: f(n)= {{n(n+1)(2n+1)} over {6}} over {n ^{2} +2n} ``= {2n ^{`2} +3n+1} over {6n+12}]

따라서 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{f(n)} over {n}} `` = lim _{n`` -> `` INF } {{2n ^{`2} +3n+1} over {6n^{`2}+12n}}][eqn: = 1 over 3]

14. [출제의도] 정적분을 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. 구간 [eqn: (`0,``1`)]에서 [eqn: {d` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx} `=2f(x)f` prime (x)`]

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} `=2 LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2} `+2f(x)f` '' (x)]이므로

[eqn: {d ^{2} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {dx ^{2}} >0]

[eqn: THEREFORE `]함수 [eqn: y= LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}]의 그래프는 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 아래로 볼록하다. (참)

ㄴ. [eqn: 1-x=t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)dx= int _{0} ^{1} {f(t)dt}}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx=2 int _{0} ^{1} {f(x)dx}}]

조건에 의해 구간 [eqn: (`0,```1`)]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프의 개형은 다음과 같고

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`A(`1,``0`)]

[eqn: rm`B(`1,``2`)]

[eqn: rm`C(`0,``1`)]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은 사다리꼴 [eqn: rm COAB]의 넓이보다 작다.

[eqn: therefore] [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)+f(1-x) RIGHT } dx<3}] (참)

ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해

[eqn: {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{{k-1} over {n}} ^{{k} over {n}} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {LEFT { f LEFT ( {k-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {2} · {1} over {n}][eqn: GEQ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx}](참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 문제해결하기

[eqn: f` prime (0)= lim _{x ``-> ``0} {{f(x)-f(0)} over {x-0} `} `]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{{x ^{2} `sin2x} over {1-cosx} -0} over {x-0} `} `][eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{x`sin2x} over {1-cosx}}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{2x`sinx`cosx(1+cosx)} over {sin ^{2} x}}]

[eqn: = lim _{x`` -> ``0} {`2cosx(1+cosx){{x`} over {sinx}}}][eqn: =4`]

16. [출제의도] 지수방정식을 활용한 실생활문제 해결하기

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k+2], 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k+4]이다.

[eqn: a ^{k} +2= {12} over {5}]에서 [eqn: a ^{k} = {2} over {5}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: a ^{k+2} +2= {9} over {2}]에서 [eqn: a ^{k+2} = {5} over {2}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의해 [eqn: a ^{2} =left( {5} over {2} `right) ^{2}]이므로 [eqn: a= {5} over {2}]

[eqn: h=a ^{k+4} +2 = LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ` LEFT ( {5} over {2} ` RIGHT ) ^{4} +2= {141} over {8}]

따라서 [eqn: h= {141} over {8}]

17. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 알고 추론하기

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {n+1} over {n}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =5n`]이므로

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 10 RIGHT ) =60]

18. [출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[eqn: rm B_{it n}]

[eqn: rm G_{it n}]

[eqn: rm E_{it n}]

[eqn: rm H_{it n}]

[eqn: rm C_{it n}]

[eqn: rm D_{it n}]

[eqn: rm A_ {it n}]

[eqn: O_{it n}]

[eqn: O_{it n+1}]

[eqn: rm I _{it n+1}]

[eqn: rm F_{it n}]

원 [eqn: O _{it `n+1}]의 중심을 [eqn: rm `I _{`itn+1}]이라 하고 반지름의 길이를 [eqn: r _{n+1}]이라 하면 직각삼각형 [eqn: rm `I _{it n+1} B _{it n} F _{it n}]에서
피타고라스의 정리에 의해
[eqn: LEFT ( r _{n} +r _{n+1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ^{2} +r _{n} ^{2}]
[eqn: 2r _{n} r _{n+1} =4r _{n} ^{2} -4r _{n} r _{n+1}]
[eqn: {r _{n+1}} over {r _{n}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {4} over {9}]
[eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {2} over {3}]이므로 [eqn: `S _{1} =4- LEFT ( 2+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} pi RIGHT ) =2- {4} over {9} pi]
[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2- {4} over {9} pi], 공비가 [eqn: {4} over {9}]인

무한등비수열이다.
따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{it `n} = {2- {4} over {9} pi } over {1- {4} over {9}} = {18-4 pi } over {5}]

19. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f(x)=px ^{3} +qx ^{2} +rx```(p>0)]라 하고
[eqn: g(x)=mx][eqn: (m != 0)]라 하자.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {q} over {3p}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)]의

변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다. (참)

ㄴ. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프는 원점을 지나고 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축에 접하므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =px(x-b) ^{2}]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: {b} over {3}]

[eqn: y=f(x)-g(x)]

[eqn: LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } { prime } =p(x-b)(3x-b)]이므로

함수 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x= {b} over {3}]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=f(x)-g(x)= px(x-b)^2]
이라 하면 ㄱ 에서 [eqn: h prime prime(a) =0]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 2b over 3]이므로 [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수를 미분하기

[eqn: {dx} over {d theta } =sec ^{2} theta `], [eqn: {dy} over {d theta } =`-2cos theta `sin theta `]이고

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: theta = {pi } over {4} `]이므로

(접선의 기울기)[eqn: ={-2cos {pi } over {4} `sin {pi } over {4}} over {sec ^{2} {pi } over {4}} =- {1} over {2}]

21. [출제의도] 함수의 연속의 뜻을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{ x``->``1} {f(x)g(x)} = f(1)g(1) = 0]이므로

[eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``-> ``0} {f(g(x))=} 0]이고 [eqn: f(g(0))=`-1]이므로

[eqn: x=0]에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x`` ->`` -1} {g(f(x))} =g(f(-1))=1]이므로

[eqn: x=-1]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

22. [출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[eqn: cosx=t]([eqn: -1 LEQ t LEQ 1])라 하면
[eqn: cos 2x - 2cos x=2t ^{2} -2t-1]
[eqn: 2t ^{2} -2t-1=k]가 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: - {3} over {2} LEQ k LEQ 3]이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 3]

23. [출제의도] 접선의 방정식 구하기

곡선 [eqn: y=2x ^{2} +1`]위의 점 [eqn: (`-1,```3`)`]에서의

접선의 방정식은 [eqn: y=-4x-1] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

직선 [eqn: ㉠]이 곡선 [eqn: y=2x ^{3} -ax+3`]에 접하므로
접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하면

점 [eqn: (` t,```2t ^{3} -at+3 `)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(6t ^{2} -a)(x-t)+2t ^{3} -at+3`]

[eqn: =(6t ^{2} -a)x-4t ^{3} +3`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]이 [eqn: ㉠]과 같으므로 [eqn: `t=1`]

따라서 [eqn: a=10]

24. [출제의도] 연속함수의 뜻 이해하기

[eqn: lim _{ x`` ->``2} {left( {a sqrt {x + 2} +b }right) =0]이므로 [eqn: 2a+b=0]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {{a sqrt {x+2} -2a} over {x-2}}][eqn: = lim _{x`` -> ``2} {{a} over { sqrt {x+2} + 2 }}][eqn: = 2]

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=`-16]이므로 [eqn: 2a-b=32]

25. [출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이해하여 문제해결하기

[eqn: ANGLE{rmCAD= ANGLEBAD}``= theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {4} RIGHT )]라 하면

[eqn: cos`2 theta = 1-2sin ^{2} theta = {5} over {8}]이므로 [eqn: sin` theta = {sqrt {3}} over {4}]
[eqn: {bar{rm CD it}} over {bar{rm `AD it}} `= sin theta][eqn: =p root3]

따라서 [eqn: 1 over p^2 `=16]

26. [출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 구하기

[eqn: int _{0 } ^{ 1} {left( 1+2e^-x right) }`dx - int _{1} ^{e} {` {lnx} over {x ^{`2}} `} dx`][eqn: = LEFT [ x-2e ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{1} - LEFT { LEFT [ - {ln`x} over {x} RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {LEFT. LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) dx` RIGHT }} RIGHT .]

[eqn: =2]

27. [출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제해결하기

[eqn: a_n]부터 [eqn: a_n+5]까지의 항의 값을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 나열하면 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 0], [eqn: 0]이므로 [eqn: S_{`n}]부터 [eqn: S_{`n+5}]까지의 항의 값을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 나열하면
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 0]이다. (단, [eqn: n=6k-5], [eqn: k]는 자연수)

따라서 [eqn: 40 TIMES 3=120]

28. [출제의도] 도함수를 활용하여 실생활문제 해결하기

잘라낸 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하고
상자의 부피를 [eqn: V(x)`]라 하면

[eqn: V(x)`][eqn: =x(6-2x)(12-2x)`][eqn: (단,`0<x<3)]

[eqn: V`` prime (x)`][eqn: =12(x ^{2} -6x+6)`=0]이므로

[eqn: x=3- sqrt {3} `]에서 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: M=24 sqrt {3} `]이므로 [eqn: sqrt {3}over 3 M=24]

29. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을
이용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: 1 LEQ n LEQ 9]일 때, [eqn: [f(2)] LEQ 3], [eqn: [f(3)] >3]
이므로 [eqn: n GEQ `3]이면 [eqn: [f(n)]>3]
∴ [eqn: [f(n)] LEQ 3]을 만족시키는 [eqn: n]은 [eqn: 1,`2]이므로
[eqn: n]의 개수는 [eqn: 2]이다.

ⅱ) [eqn: 10 LEQ n LEQ 99]일 때,
[eqn: [f(25)] LEQ 3], [eqn: [f(26)]>3]이므로
[eqn: n GEQ `26]이면 [eqn: [f(n)]>3]
∴ [eqn: [f(n)] LEQ 3]을 만족시키는
[eqn: n]은 [eqn: 10,`11,`12, ```CDOTS ,`25]이므로 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 16]이다.

ⅲ) [eqn: 100 LEQ n LEQ 999]일 때,

[eqn: [f(251)]=3], [eqn: [f(252)]=4]이므로
[eqn: n GEQ `252]이면 [eqn: [f(n)]>3]

∴ [eqn: [f(n)] LEQ 3]을 만족시키는
[eqn: n]은 [eqn: 100,`101,`102,` ```CDOTS ,`251]이므로
[eqn: n]의 개수는 [eqn: 152]이다.

따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: [f(n)] LEQ 3]을

만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 170]이다.

30. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: x<1`]일 때, [eqn: int _{0} ^{x} {(-t+1)`dt=x}]이므로

[eqn: - {x ^{2}} over {2} +x=x`] [eqn: THEREFORE] [eqn: x=0`]

ⅱ) [eqn: x GEQ 1`]일 때,

[eqn: int _{0} ^{1} {(-t+1)`dt} `+ int _{1} ^{x} {(t-1)`dt} ``=x]

[eqn: {1} over {2} + LEFT ( {x ^{2}} over {2} -x+ {1} over {2} RIGHT ) =x`]

[eqn: x ^{2} -4x+2=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=2+ sqrt {2} ( BECAUSE x GEQ 1)`]

ⅰ), ⅱ)에 의해 양수인 실근은 [eqn: x=2+ sqrt {2} `]이므로
[eqn: m=2], [eqn: n=1]이다.

따라서 [eqn: m ^{3} +n ^{3} =9]

• 2009-4월 수학 •

[가 형]

1	①	2	①	3	④	4	⑤	5	④
6	②	7	③	8	③	9	④	10	⑤
11	⑤	12	③	13	②	14	③	15	②
16	③	17	①	18	[eqn: 76]	19	[eqn: 65]	20	[eqn: 207]
21	[eqn: 84]	22	[eqn: 23]	23	[eqn: 75]	24	[eqn: 211]	25	[eqn: 59]

1. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 계산하기

[해설] [eqn: log` {LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {2}} over {18} =log {1} over {100} =-2]

2. [출제의도] 행렬의 연산 성질을 이해하고 계산하기

[해설][eqn: X=3A-B= {pmatrix{6&-3#0&```````3}} - {pmatrix{4&``0#2&``3}} = {pmatrix{``````2&-3#-2&```````0}}]

3. [출제의도] 함수의 극한값 구하기

[해설][eqn: lim _{x -> -1} {{(x+1)(x-1)(x-2)} over {(x+1)}} =6]

4. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: A ^{-1} B=A ^{-1} (ABA ^{-1} )=BA ^{-1}] (참)

ㄴ. [eqn: B ^{3} =(ABA ^{-1} )(ABA ^{-1} )(ABA ^{-1} )]

[eqn: =AB ^{3} A ^{-1}]

[eqn: (B ^{3} ) ^{-1} =(AB ^{3} A ^{-1} ) ^{-1} =A(B ^{-1} ) ^{3} A ^{-1}](참)

ㄷ. [eqn: ABA ^{-1} A=BA]에서 [eqn: AB=BA]이므로

[eqn: (A+B)(A-B)][eqn: `=A ^{2} -B ^{``2}]이다. (참)

5. [출제의도] 사차부등식의 해를 이해하기

[해설] [eqn: (x-1)(x+2)(x ^{2} -mx+m)>0]에서

이차방정식 [eqn: x ^{2} -mx+m=0]의 근을 분류하면

ⅰ) 허근일 경우

주어진 사차부등식의 해를 만족한다.

[eqn: D=m ^{2} -4m<0] [eqn: THEREFORE][eqn: 0<m<4]

ⅱ) 중근일 경우

주어진 사차부등식의 해를 만족하기 위해서는 중근이 [eqn: x`<`-2] 또는 [eqn: x>1]에 포함되지 않아야 한다.

[eqn: D=0]일 때, [eqn: m=0]이면 중근이 [eqn: 0]이고 [eqn: m=`4]이면 중근이 [eqn: 2]이다. [eqn: THEREFORE][eqn: m=0]

ⅲ) 서로 다른 두 실근일 경우

주어진 사차부등식의 해를 만족하지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: 0 LEQ m<4]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 4]개이다.

6. [출제의도] 행렬을 실생활에 적용하여 문제해결하기

[해설] [eqn: p+q=5], [eqn: p+r=6][eqn: CDOTS]①, [eqn: q+r=7][eqn: CDOTS]②

①-②에서 [eqn: p-q=-1]이다. 따라서 [eqn: A= {pmatrix{1&`````````1#1&``-1}}]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 2]이다.

7. [출제의도] 무한급수의 수렴조건 이해하기

[해설] ㄱ. 공비가 [eqn: - {1} over {2}]이므로 수렴한다.

ㄴ. (준식)[eqn: =][eqn: lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT . LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )=1] [eqn: THEREFORE]수렴

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {left(1- {1} over {n} right)=1 != 0}] [eqn: THEREFORE]발산

8. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 수의 대소 비교하기

[해설] [eqn: 8 ^{A} =27], [eqn: 9 ^{B} =25], [eqn: 7 ^{C}=27]

ⅰ) [eqn: 8 ^{A} >9 ^{B} >8 ^{B}] [eqn: THEREFORE][eqn: A>B]

ⅱ) [eqn: 7 ^{C} >9 ^{B} >7 ^{B}] [eqn: THEREFORE][eqn: C>B]

ⅲ) [eqn: 7 ^{C} =8 ^{A} >7 ^{A}] [eqn: THEREFORE][eqn: C>A]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: B<A<C]이다.

9. [출제의도] 수학적귀납법으로 증명하기

[해설] (가)  , (나)  ,

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {1} over {2k+1} - {1} over {2k+2}]

(다)

[eqn: {1} over {k+1} - {1} over {2k+2}]

10. [출제의도] 확률밀도함수를 이용하여 확률값 구하기

[해설] 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1]이므로 [eqn: (pi+2)r ^{2} =1]이다.

따라서 [eqn: r= {1} over {sqrt {pi+2}}]이므로

[eqn: rm P LEFT ( it `0 LEQ X LEQ r RIGHT )][eqn: = {pi r ^{2}} over {4} +r ^{2}][eqn: = {pi +4} over {4 pi+8 }]이다.

11. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

[해설] ⅰ) [eqn: a=0]인 경우, [eqn: f(x)=0]

ⅱ) [eqn: a>0]인 경우

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: left(1,` {a} over {2} right)]

[eqn: a]

[eqn: y]

ⅲ) [eqn: a<0]인 경우

ⅱ)의 그래프를 [eqn: x]축으로 대칭이동한 그래프이다.

ㄱ.[eqn: lim _{x` -> `-1} {f} (x)=f(-1)= {a} over {2}] (참)

ㄴ. [eqn: a=0]일 때, 함수 [eqn: f(x)=0]이므로 모든 실수에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=a]와 오직 한 점에서 만난다. (참)

12. [출제의도] 주어진 수열의 특징을 이해하고 합 구하기

[해설] ㄱ. [eqn: m=2]일 때, [eqn: a _{5} = LEFT [ {5} over {2} RIGHT ] =2]이다. (참)

ㄴ. [eqn: m=3]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{100} LEFT [ {k} over {3} RIGHT ] =3 sum _{k=1} ^{32} k`+33+33=1650]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{mn} LEFT [ {k} over {m} RIGHT ] =m sum _{k=1} ^{n-1} k+n]

[eqn: =` {n(mn-m+2)} over {2}] (참)

13. [출제의도] 경우의 수 구하기

[해설]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

지도에서 [eqn: rmB]지역→[eqn: rmE]지역→[eqn: rmC]지역→[eqn: rmD]지역→[eqn: rmA]지역 순으로 색을 칠하는 경우의 수는

[eqn: 4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 3][eqn: =144]가지이다.

[다른풀이][eqn: rm `B]지역→[eqn: rmC]지역→[eqn: rmD]지역→[eqn: rmE]지역→[eqn: rmA]지역

ⅰ) [eqn: rmC], [eqn: rmD]지역에 같은 색을 칠할 경우

[eqn: 4 TIMES 3 TIMES 1times2 TIMES 3=72]

ⅱ) [eqn: rmC], [eqn: rmD]지역에 다른 색을 칠할 경우

[eqn: 4 TIMES 3times2 TIMES 1 TIMES 3=72]

14. [출제의도] 분수방정식의 근 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: a=0]일 때, [eqn: {1} over {x(x+2)} =1]이다.

[eqn: x ^{2} +2x-1=0] 이므로 [eqn: x=-1± sqrt {2}] 이다.

두 실근의 합은 [eqn: -2]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a=2]일 때, [eqn: {1} over {x(x+2)} + {2} over {x+2} =1]이므로

[eqn: x=1,`-1]인 두 실근을 가진다. (거짓)

ㄷ. [eqn: {x ^{3} +2x ^{2} -x-a} over {x(x+2)(x+a)} =0]이다.

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -x-a=0]은 적어도 한 개의 실근을 갖는다. 한 실근이 무연근일 수 있으므로

한 실근을 [eqn: x=-a]라고 가정하면

[eqn: -a^3 +2a^2 +a-a=0]이므로 [eqn: a=0], [eqn: 2]이다.

ㄱ, ㄴ에 의하여 두 개의 실근을 갖는다. 따라서,

주어진 방정식은 적어도 한 개의 실근을 갖는다. (참)

15. [출제의도] 합성 함수의 불연속점의 개수 찾기

[해설] 함수 [eqn: y=(g` CIRC `f)(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: -3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=(g` CIRC `f)(x)]는 [eqn: x=-3], [eqn: -2], [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3]에서 불연속이다. 따라서 불연속점은 [eqn: 5]개이다.

16. [출제의도] 정규분포의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: f(12)][eqn: = rm P it (4 LEQit X LEQ 12)]

[eqn: `= rm P(28 LEQ it X LEQ 36)=f(36)] (참)

ㄴ. [eqn: f(k)]가 최대일 때,

[eqn: {(k-8)+k} over {2} =20]이므로 [eqn: k=24]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f(k)]는 [eqn: k=24]에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(k)=f(24-k)]는 [eqn: k=12]에 대하여 대칭임을 의미한다. (거짓)

17. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하고 수열의 합 구하기

[해설] [eqn: rm A_{it n} ( it2^n-1 , ``0)], [eqn: rm A_{it n+1} it(2^n , ``0)], [eqn: rm B_{it n}it(2^n , ``n)],

[eqn: rm C_{it n} it(2^n ,``-n )]이므로 [eqn: S_n][eqn: =n· LEFT . 2 ^{n-1} RIGHT .]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{k} =S``]라 하면

[eqn: S=1+2·2+3·2 ^{2} +` CDOTS `+10·2 ^{9}][eqn: CDOTS CDOTS]①

[eqn: 2S=][eqn: 1·2+2·2 ^{2} +3·2 ^{3} +` CDOTS `+10·2 ^{10}][eqn: CDOTS CDOTS]②

①[eqn: -]②를 하면

[eqn: -S=`1+2`+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{9} -10·2 ^{10}][eqn: =-9·2 ^{10} -1~]이다. 따라서 [eqn: S=9·2 ^{10} +1]이다.

18. [출제의도] 무리방정식에서 실근의 개수 구하기

[해설]

[eqn: 1]

[eqn: y= sqrt {|x-1|}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=x-k]

직선 [eqn: y=x-k]가 [eqn: (1, ``0)]을 지나면 [eqn: k= 1]이다.

[eqn: y= sqrt {x-1}]과 [eqn: y=x-k]가 접하는 경우

[eqn: x ^{2} -(2k+1)x+k ^{2} +1=0]에서

[eqn: D=4k-3=0] 이므로 [eqn: k=`3over4]이다.

따라서 구하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: {3} over {4}< `k`<`1]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 100a+b`=76]

19. [출제의도] 여사건의 확률 구하기

[해설] 주어진 사건을 [eqn: A]라 하면, 구하는 확률은 [eqn: rm P( it A ^{rm } )=1- rm P( it A ^{C```} )]이다.

[eqn: 1]회	[eqn: 2]회	[eqn: 3]회	[eqn: 4]회
●	●	●		[eqn: {3} over {8} {TIMES}{ 2} over {7} TIMES {1} over {6} = 1over56]
○	●	●	●	[eqn: {5} over {8} TIMES {3} over {7} TIMES {2} over {6} TIMES {1} over {5} = {1} over {56}]
●	○	●	●	[eqn: {3} over {8} TIMES {5} over {7} TIMES {2} over {6} TIMES {1} over {5} = {1} over {56}]
●	●	○	●	[eqn: {3} over {8} TIMES {2} over {7} TIMES {5} over {6} TIMES {1} over {5} = {1} over {56}]

[eqn: rm P( it A ^{C} ``)= {1} over {14`}]이므로 [eqn: p= rm P( it A ^{rm } )= {13} over {14}]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 70 p=65]

20. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활문제 해결하기

[해설] [eqn: k= {4 ^{{1} over {10}} -1} over {2 ^{{1} over {10}} -1} =2 ^{{1} over {10}} +1]

그런데 [eqn: 2^{11over10}= 2·2^{ 1over 10} =2.14]이므로 [eqn: 2^ {1over10} =1.07]이다. [eqn: k=2 ^{{1} over {10}} +1=2.07] [eqn: THEREFORE][eqn: 100k=207]

21. [출제의도] 로그부등식을 만족하는 최대, 최소 구하기

[해설] ⅰ) [eqn: log_3 x geq0], [eqn: log_3 y GEQ 0]인 경우

[eqn: x geq1], [eqn: y geq 1]이고 [eqn: xy leq9]이므로 [eqn: y leq 9 overx]이다.

ⅱ) [eqn: log_3 x geq0], [eqn: log _{3} y<0]인 경우

[eqn: x geq1], [eqn: 0<y <1]이고 [eqn: x over y leq9]이므로 [eqn: y geq x over9]이다.

ⅲ) [eqn: log_3 x <0], [eqn: log_3 y GEQ 0]인 경우

[eqn: 0<x <1], [eqn: y geq1]이고 [eqn: y over x leq9]이므로 [eqn: y leq 9 x]이다.

ⅳ) [eqn: log_3 x <0], [eqn: log_3 y <0]인 경우

[eqn: 0<x <1], [eqn: 0<y <1]이고 [eqn: xy GEQ {1} over {9}]이므로 [eqn: y GEQ {1} over {9x}]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: (1,9)]

[eqn: (9,1)]

[eqn: y]

[eqn: x^2 +y^2 =k]라 하면 최댓값은 [eqn: (1,9)], [eqn: (9,1)]을 지날 때이므로 [eqn: M={82}], 최솟값은 [eqn: left( {1} over {3} ,`` {1} over {3} right)]에서 접할 때이므로 [eqn: m= 2over9]이다. 따라서 [eqn: M+9m=84]이다.

22. [출제의도] 조건부확률 구하기

[해설] [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라인에서 생산될 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], 불량품일 사건을 [eqn: M`]이라 할 때,

[eqn: rm P(itA)=0.5], [eqn: rmP(itB)=0.3], [eqn: rm ``P(itC)=0.2]이고

[eqn: rm `P( it M``□`A)=0.01], [eqn: rm `P(itM``□`B)=0.03],

[eqn: rm `P(itM``□`C)=0.02]이다.

구하는 확률은 [eqn: rm P( it A|M)= {rm P( it A SMALLINTER M)} over {rm P( it M)}]

[eqn: = {rm P( it A SMALLINTER M)} over {rm P( it A SMALLINTER M)+ rm P( it B SMALLINTER M)+rmP( it C SMALLINTER M)}]

[eqn: ={0.01` TIMES `0.5}over{0.01times0.5 +0.03 times0.3 +0.02 times 0.2}][eqn: =` {5} over {18}]이다. 따라서 [eqn: p+q=23]이다.

23. [출제의도] 무한급수의 합 구하기

[해설] [eqn: sqrt {x ^{2} +y ^{2}} : sqrt {LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}} =1:n]이므로

[eqn: LEFT ( x+ {5} over {n ^{2} -1} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5n} over {n ^{2} -1} RIGHT ) ^{2}]이다.

[eqn: T _{n}]의 임의의 두 원소 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm bar{PQ}]의 최댓값 [eqn: M` LEFT ( n RIGHT ) = {10n} over {n ^{2} -1}]이다.

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` {10M` LEFT ( n RIGHT )} over {n} =50 sum _{n=2} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) =75]

24. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: n(B) = k]일 때, [eqn: A subset B]를 만족하는 집합 [eqn: B]의 개수는 [eqn: rm _{5} rm C _{itk}]이고 집합 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 2^k -1]개이므로 순서쌍 [eqn: (A, ``B)]의 개수는 [eqn: sum _{k=1} ^{5} rm _{5} rm C _{it k rm} (2 ^{itk} -1)]이다.

[eqn: sum _k=1 ^5 rm _5 rm C_{itk} (2^{itk} - 1)][eqn: = sum _{k=0} ^{5} rm _{5} rm C _{it k rm} (2 ^{it k rm} -1)]

[eqn: = sum _{k=0} ^{5} rm _{5} rm C _{itk} `2 ^{itk} - sum _{itk=0} ^{5} rm _{5} C _{itk}][eqn: = (2+1)^5 - 2^5] [eqn: = 211]

25. [출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 무한등비급수의 합 구하기

[해설] 지름이 [eqn: 6]인 원의 넓이를 [eqn: A _{0}], [eqn: (A_0 = 9pi )]

[eqn: C_1]에서 그려진 [eqn: 2]개 원의 넓이의 합을 [eqn: A _{1}],

[eqn: C_2]에서 그려진 [eqn: 4]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: A _{2}],[eqn: cdots]

[eqn: C_n]에서 그려진 [eqn: 2 ^{n}]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: A _{n}]이라 하자.

[eqn: C_1]에서 바깥 원을 [eqn: O_1], [eqn: O_1]의 내부에 내접하는 두 원을 크기 순서대로 [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]라 하면

넓이의 비는 [eqn: 9`:`4:`1]이므로 [eqn: A _{1`} = 5 over9 A_0]이다.

[eqn: C _{n}]에서 한 원과 그 원에 내접하는 두 원의 넓이의 비가 [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]의 넓이의 비와 같으므로

[eqn: A_n = 5over9 A_n-1]이다.

따라서 [eqn: C _{n}]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: lim _{ n->inf} { }S_n = A_0 left{ 5over9 - left(5 over9 right) ^2 +left( 5over9 right) ^3 - left(5over9right) ^4 + cdots right]

[eqn: = 45over14 pi]이다. [eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=59]

[미분과 적분]

26	⑤	27	②	28	④	29	①	30	[eqn: 53]

26. [출제의도] 삼각함수의 배각공식 이해하기

[해설] [eqn: cos alpha = 2 overroot13], [eqn: sin alpha = {3} over {sqrt {13}}]이고,

[eqn: alpha + beta = pi over2]이므로

[eqn: cos( alpha - beta) = cos left(2 alpha - piover2 right)][eqn: = sin `2 alpha]

[eqn: =2`sin alpha `cos alpha][eqn: = 12over13]이다.

27. [출제의도] 삼각함수의 합성 이해하기

[해설] [eqn: y= sqrt {2} rm sin it x+3cos LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: ={ 3root2} over2 rm cos it x - root2 over2 rm sin itx]

[eqn: = sqrt {5} rm cos( it x+ alpha )] (이 때, [eqn: tan alpha = 1over3])

주어진 함수는 [eqn: x=2n pi - alpha]([eqn: n]은 정수)일 때 최댓값을 가지므로 [eqn: tan theta =tan(2n pi - alpha )=- {1} over {3}]이다.

28. [출제의도] 삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 변형하기

[해설] [eqn: LEFT . sin(x+y)-sin` LEFT { {pi } over {2} -(x-y) RIGHT } GEQ 0 RIGHT .]

[eqn: 2cos`left(y+ {pi } over {4} right)sin`left(x- {pi } over {4} right) GEQ 0]

ⅰ) [eqn: LEFT. cos`left(y+ {pi } over {4} RIGHT ) GEQ 0], [eqn: sin`left(x- {pi } over {4} right) GEQ 0]인 경우

[eqn: pi over4 leq x leq pi over2]이고 [eqn: 0 leq y leq pi over4]이다.

ⅱ) [eqn: cos`left(y+ {pi } over {4} right) LEQ 0], [eqn: sin`left(x- {pi } over {4} right) LEQ 0]인 경우

[eqn: 0 leq x leq pi over4]이고 [eqn: pi over4 leq y leq pi over2]이다.

따라서 [eqn: x= pi over4], [eqn: y= pi over2] 일 때 [eqn: x+2y]의 최댓값은[eqn: 5 over4 pi]이다.

29. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기

[해설] 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: 4a]라 하면

[eqn: rm bar{CE} =4 sqrt {3} ita], [eqn: rm bar{EM} =2 it a], [eqn: rm bar{EN} = it a rm]이고,

[eqn: rm angle MCE = alpha,] [eqn: rm angle NCE = beta]라 하면

[eqn: tan alpha = 1 over{2root3}], [eqn: tan beta = 1 over{ 4root3 }]이다.

[eqn: tan theta = tan( alpha - beta )][eqn: = {tan alpha - tan beta }over { 1+tan alpha tanbeta }][eqn: = {2root3 } over 25]

30. [출제의도] 삼각방정식 해의 존재조건 구하기

[해설] [eqn: cos ^{2} ` {x} over {2} = {1+cosx} over {2}]을 이용하면

주어진 방정식은 [eqn: 3cos^2 x -2cos x = 4k -7]이다.

이 방정식의 해는 두 함수 [eqn: y=3cos ^{2} x-2cosx]와

[eqn: y=4k-7]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: cosx= t]로 치환하면

[eqn: y=3t ^{2} -2t][eqn: (-1le t le 1)]이고,

[eqn: - {1} over {3} LEQ y LEQ 5]이므로 [eqn: - 1over3 le 4k -7 le 5]이다.

따라서 [eqn: 5 over3 le k le 3] 이므로 [eqn: 30alpha + beta = 53]이다.

• 2008-4월 수학 •

[가 형]

1	③	2	①	3	④	4	②	5	①
6	③	7	⑤	8	⑤	9	④	10	①
11	④	12	②	13	②	14	③	15	③
16	③	17	⑤	18	8	19	415	20	15
21	48	22	37	23	36	24	18	25	512

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 값 구하기

[해설] [eqn: 2 ^{{5} over {3}} TIMES 2 ^{{1} over {2}} ÷2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{3} over {2}} =2 sqrt {2}]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[해설] [eqn: log _{`2} ` LEFT ( {2} over {9} TIMES 12 ^{2} RIGHT ) =log _{2} 2 ^{5} =5]

3. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설] [eqn: 2 ^{n-1}] 으로 분모와 분자를 나누어 정리하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{4+ LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} over {1+ {1} over {3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} =4}]

4. [출제의도] 지수함수 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: x<0]일때, [eqn: g(x)<f(x)] (거짓)

ㄴ. [eqn: 12f(x)g(x)=12 CDOT 2 ^{x} CDOT 3 ^{x}=2 ^{x+2}cdot3 ^{x+1}]

[eqn: =f(x+2)g(x+1)] (참)

ㄷ. [eqn: y=f(-2x)g(x)=2 ^{-2x} cdot 3 ^{x} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{x}]는 감소  (거짓)

5. [출제의도] 연립방정식의 해와 역행렬의 관계 이해하기

[해설] 주어진 연립방정식을 정리하면

[eqn: pmatrix{LEFT | a RIGHT | -3```````&LEFT | b RIGHT |#-3 `````&2} pmatrix{x#y} = pmatrix{0#0}]이고

[eqn: pmatrix{LEFT | a RIGHT | -3```````&LEFT | b RIGHT |#-3`````&2} }]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: 2 LEFT | a RIGHT | +3 LEFT | b RIGHT | =6]이다. 점 [eqn: {rmP}(a,``b)]를 좌표평면위에 나타내면

[eqn: a]

[eqn: -2]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: -3]

[eqn: b]

[eqn: rm O]

[eqn: THEREFORE]도형의 둘레의 길이는 [eqn: 4 sqrt {13}]

6. [출제의도] 로그방정식의 해 구하기

[해설] 주어진 로그방정식을 정리하면

[eqn: log _{10} LEFT ( y+5 RIGHT ) =log _{10} x LEFT ( y+1 RIGHT )]이므로

[eqn: y+5=xy+x]이다.

[eqn: xy+x-y-5=0], [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( y+1 RIGHT ) =4]이므로

[eqn: x>0], [eqn: y>-1]인 정수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,``0 RIGHT )]이다.

7. [출제의도] 로그의 대소관계 이해하기

[해설] Ⅰ에서 [eqn: log _{10} A>log _{10} B``]이므로 [eqn: A>B]

Ⅱ에서 [eqn: log _{10} A-log _{10} B=log _{10} B-log _{10} C``]이고

Ⅰ에 의해 [eqn: log _{10} B-log _{10} C>0]이므로 [eqn: B>C]

[eqn: THEREFORE ``C<B<A]

8. [출제의도] 합성함수의 연속성 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: g(f(0))=g(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x``-> ``0} {g(f(x))=0}], [eqn: g(f(0))=0]이므로 [eqn: x=0]에서 연속 (참)

ㄷ. [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=1]에서 불연속이므로 주어진 구간에서 [eqn: y=g(f(x))]는 [eqn: f(x)=1]인 [eqn: x= {1} over {2}]에서 불연속,

[eqn: lim _{x`` -> ``2+0} {g(f(x))=`-1}], [eqn: lim _{x`` -> ``2-0} {g(f(x))=`-2}]

이므로 [eqn: x=2]에서 불연속,

구간내의 이외의 점에서는 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 모두 연속이므로 [eqn: y=g(f(x))]는 연속 (참)

9. [출제의도] 조건부확률 구하기

[해설] 노란 공을 꺼내는 사건을 [eqn: rmA], 노트북컴퓨터가 있는 문을 택하는 사건을  [eqn: rmB]라 하면,

[eqn: rm P(A|B)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(B)} = {{4} over {5} TIMES {1} over {3}} over {{4} over {5} TIMES {1} over {3} + {1} over {5} TIMES {1} over {2}} = {8} over {11}]

10. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: A ^{-1} =`-A]이고 [eqn: A ^{2} =`-E``]이므로

[eqn: A ^{3} =`-A], [eqn: LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{3} =(-A) ^{3} =A]이다.

따라서, [eqn: A ^{3} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{3} =O] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: n=2]일 때, [eqn: A ^{4} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{4} =2E] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: n=2]일 때, [eqn: A ^{10} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{10} =-2E] (거짓)

11. [출제의도] 순열을 이용하여 확률 계산하기

[해설] 바둑돌이 [eqn: 5]회 이동으로 [eqn: rmA]지점으로 이동하는 것은

ⅰ) 왼쪽 3회, 오른쪽 1회, 아래쪽1회로 이동하는 경우

[eqn: {5!} over {3!} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) = {10} over {3 ^{5}}]

ⅱ) 왼쪽 2회, 아래쪽 2회, 위쪽1회로 이동하는 경우

[eqn: {5!} over {2! CDOT 2!} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{3} = {5} over {2 ^{2} CDOT `3 ^{4}}]

ⅰ),ⅱ)에 의하여 [eqn: {10} over {3 ^{5}} + {5} over {2 ^{2} CDOT `3 ^{4}} = {55} over {972}]

12. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설] 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{n} +1]위의 점 [eqn: {rm P it } _{n} (2 ^{n} ,````1)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=-2^n x+4^n +1]이므로 점 [eqn: {rm Q} _{n}}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2 ^{n} `+2 ^{-n} `,`0 RIGHT )]이다. 삼각형[eqn: rm{OP}_{itn} rm{Q}_{itn}]의 넓이 [eqn: S _{n} =`2 ^{n-1} +2 ^{-n-1} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {S _{n+1}} over {S _{n}}][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {` {2 ^{n} +2 ^{-n-2}} over {2 ^{n-1} +2 ^{-n-1}} `}=2]

13. [출제의도] 정규분포의 확률밀도함수 이해하기

[해설] [eqn: f(100-x)=f(100+x)]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=100]에 대하여 대칭이다. [eqn: THEREFORE ``m=100]

[eqn: rm P it (100 <= X <= 108)= rm P it (0 <= Z <= 2)=0.4772] [eqn: {108-100} over {sigma } =2]  [eqn: THEREFORE `` sigma =4]

[eqn: rm P it (94 <= X <= 110)= rm P it LEFT ( -1.5 <= Z <= 2.5 RIGHT ) =0.9270]

14. [출제의도] 같은 것을 포함하는 순열의 수 구하기

[해설] 차가 [eqn: 4]의 배수인 두 자연수는 이진법의 수로 표현 했을 때, [eqn: 2 ^{1}]의 자리의 수와 [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 같아야 한다.

ⅰ) [eqn: 2 ^{1}], [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 [eqn: 0], [eqn: 0]인 수(‘[eqn: 1]’을 [eqn: 4]개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우 : [eqn: 1 TIMES 1=1]가지

ⅱ) [eqn: 2 ^{1}], [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 [eqn: 0], [eqn: 1] 또는 [eqn: 1], [eqn: 0]인 수(‘[eqn: 1]’을 [eqn: 3]개, ‘[eqn: 0]’을 [eqn: 1]개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우  [eqn: LEFT ( {4!} over {3!} TIMES {4!} over {3!} RIGHT ) + LEFT ( {4!} over {3!} TIMES {4!} over {3!} RIGHT ) =32] 가지

ⅲ) [eqn: 2 ^{1}], [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 [eqn: 1], [eqn: 1]인 수(‘[eqn: 1]’을 [eqn: 2]개, ‘[eqn: 0]’을 [eqn: 2]개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우

[eqn: {4!} over {2! CDOT 2!} TIMES {4!} over {2! CDOT 2!} =36] 가지

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: 1+32+36=69]

15. [출제의도] 여러 가지 수열의 합 구하기

[해설] 그래프가 지나는 정사각형 내부에 있는 수들의 합을 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +109 RIGHT )][eqn: -(2+6+12+ CDOTS +90)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{109} k- sum _{k=1} ^{9} LEFT ( k+k ^{2} RIGHT )][eqn: =5665]

16. [출제의도] 수학적귀납법으로 증명하기

[해설] (가) [eqn: {1} over {k+1}], (나) [eqn: >], (다) [eqn: 2k-1]

17. [출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[해설] [eqn: k]번째 만들어진 정육각형 [eqn: rm{H} _{itk}]와 [eqn: k+1]번째 만들어진 정육각형 [eqn: rm H _{it k+1 rm}]의 한 변의 길이를 각각 [eqn: a _{k}], [eqn: a _{k+1}]이라 하면

[eqn: a _{k}]

[eqn: 30°]

[eqn: a _{k+1}]

[eqn: a _{k+1} `cos30 DEG = {1} over {2} a _{k} `]   ∴ [eqn: a _{k+1} = {1} over {sqrt {3}} a _{k}]

길이의 비가 [eqn: {1} over {sqrt {3}}] 이므로 넓이의 비는 [eqn: {1} over {3}]이고 첫 번째 과정에서 생기는 [eqn: 6]개의 정삼각형의 넓이의 합은 [eqn: 6 TIMES {sqrt {3}} over {4} LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = {9} over {2} sqrt {3}] 이다.  모든 정삼각형의 넓이의 합은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} sqrt {3}]이고, 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 무한 등비급수의 합이므로  ∴ [eqn: {{9} over {2} sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} = {27} over {4} sqrt {3}]

18. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 성분 구하기

[해설] [eqn: A= pmatrix{`2-k``&``6#-7&``7}], [eqn: B=` pmatrix{k-1&````-6#7&````-6}]

[eqn: AB= pmatrix{40+3k-k ^{2}&`````6k-48#56-7k&````0} =O]이므로

[eqn: THEREFORE ``k=8]

19. [출제의도] 이항분포에서 평균과 분산 이해하기

[해설] 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 80,` {1} over {4} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E( it X)=80 TIMES {1} over {4} =20], [eqn: rm V( it X)=80 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} =15]

[eqn: rm E( it X ^{2} )=][eqn: rm V( it X)+ LEFT {rm{E}(it X) RIGHT }^2 = 15+400=415]

20. [출제의도] 분수방정식의 해 구하기

[해설] [eqn: {g(x) LEFT { g(x)-f(x) RIGHT }} over {f(x)} =0]

⇔ [eqn: g(x)=0], [eqn: g(x)-f(x)=0], [eqn: f(x)!=0]

∴ [eqn: 1+3+5+6=15]

21. [출제의도] 무리함수의 극한값 구하기

[해설] [eqn: lim _{x-> 3} {(x-3)=0}]이므로

[eqn: lim _{x-> 3} {(a sqrt {x+6} -b)=0}]이고 [eqn: b=3a]이다.

[eqn: lim _{x -> 3} {{a sqrt {x+6} -3a} over {x-3}} = {a} over {6} =2]

[eqn: THEREFOREa=12], [eqn: b=36]

22. [출제의도] 분수부등식의 해 구하기

[해설] (준식)[eqn: LRARROW ``x !=5], [eqn: (x-2)(x-10)<0]

[eqn: LRARROW ``x !=5], [eqn: 2<x<10]

부등식을 만족하는 정수는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]이다.

23. [출제의도] 중간값의 정리 이해하기

[해설] [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라고 하면

[eqn: h(x)=x ^{5} +2x ^{2} +k-3]

[eqn: x>0]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 연속이고 증가하므로

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) h LEFT ( 2 RIGHT ) =k(k+37)<0]이면 구간[eqn: (1,````2)]에서 실근을 갖는다.

[eqn: -37<k<0]인 정수 [eqn: k]는 [eqn: 36]개

24. [출제의도] 분수부등식을 이용하여 문제 해결하기

[해설] 전체 거리를 [eqn: 3l], 달리기 구간의 속력을 시속 [eqn: a]km라고 하면

[eqn: {l} over {30} + {l} over {9} + {l} over {a} <= {3l} over {15}], [eqn: {1} over {a} <= {1} over {18}] [eqn: THEREFORE ``a >= 18]

25. [출제의도] 등비수열의 항의 값 구하기

[해설] 원 [eqn: rm C _{ itk}]의 반지름을 [eqn: r_{ k}], 넓이를 [eqn: S_{ k}], 원 [eqn: rm C _{ itk+1}]의 반지름을 [eqn: r_{ k+1}], 넓이를 [eqn: S_{ k+1}]이라 하면,

[eqn: r _{k+1}]

[eqn: r _{k+1} -r _{k}]

[eqn: {rm C}_{ k}]

[eqn: {rm C } _{k+1}]

[eqn: {r _{k+1} -r _{k}} over {r _{k+1}} =p](상수), [eqn: r _{k+1} = {1} over {1-p} r _{k}]

수열 [eqn: LEFT { r _{k} RIGHT }]가 등비수열이므로 수열 [eqn: LEFT {S _{k} RIGHT }]도 등비수열이고, [eqn: LEFT {S _{k} RIGHT }]의 공비를 [eqn: a]라 하면

[eqn: S _{1} =1], [eqn: S _{5} =a ^{4} =4]이므로 [eqn: a^2 =2]

[eqn: THEREFORE S _{19} =a ^{18} =2 ^{9} =512]

[미분과 적분]

26	①	27	②	28	④	29	⑤	30	11

26. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용한 최대값 구하기

[해설] [eqn: ANGLE rmDBC= theta], 사각형[eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 5 TIMES 6 TIMES sin theta + {1} over {2} TIMES 4 TIMES 6 TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: =15sin theta+12cos theta][eqn: =3 sqrt {41} `sin( theta + alpha )]

(단, [eqn: cos` alpha = {5} over {sqrt {41}}], [eqn: sin` alpha = {4} over {sqrt {41}}])

따라서, 최대값은 [eqn: 3 sqrt {41}]이다.

27. [출제의도] 합의 공식 이용하여 식 정리하기

[해설] [eqn: sin alpha +cos beta=-sin gamma]과

[eqn: cosalpha +sin beta =-cos gamma]의 양변을 제곱하여 더하면

[eqn: 2+2sin( alpha + beta )=1]  [eqn: THEREFORE `sin( alpha + beta )=- {1} over {2}]

28. [출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[해설]

[eqn: (sinx-cosx)(4sin ^{2} x+4sinx`cosx+4cos ^{2} x-3)=0]

[eqn: sqrt {2} `sin LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) (2sin2x+1)=0]

[eqn: sin LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) =0] 또는 [eqn: sin2x=- {1} over {2}]

[eqn: x=n pi + {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {n pi } over {2} +(-1) ^{n} {7} over {12} pi]

따라서 [eqn: 0≦x≦ pi] 이므로, 해는 [eqn: {pi } over {4}], [eqn: {7} over {12} pi], [eqn: {11} over {12} pi]

29. [출제의도] 삼각함수의 합을 곱으로 고쳐 계산하기

[해설] [eqn: tan {theta } over {2} = {1} over {2}] [eqn: (0< theta < {pi } over {2} )]이므로

[eqn: sin {theta } over {2} = {sqrt {5}} over {5}], [eqn: cos {theta } over {2} = {2 sqrt {5}} over {5}]이다.

[eqn: sin {theta } over {2} +sin {3 theta } over {2}][eqn: =2sin theta cos {theta } over {2}][eqn: =4sin {theta } over {2} `cos ^{2} {theta } over {2}]

[eqn: =4 TIMES {sqrt {5}} over {5} TIMES {4} over {5} = {16 sqrt {5}} over {25}]

30. [출제의도] 반각의 공식 이용하여 값 구하기

[해설] 삼각형[eqn: rm EAB]가 이등변삼각형이므로 [eqn: beta = {alpha } over {2}], [eqn: sin alpha = {3} over {5}] [eqn: LEFT ( 0< alpha < {pi } over {2} RIGHT )]이므로 [eqn: cos alpha = {4} over {5}]

[eqn: sin ^{2} beta =sin ^{2} {alpha } over {2}][eqn: = {1-cos alpha } over {2}][eqn: = {1} over {10}] [eqn: THEREFORE a+b=11]