◦ 자신이 선택한 유형(‘   가   ’형    / ‘   나   ’형   )의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

12

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2012학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (가  형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[eqn: cos theta]━━━━━━━━━━━━━

수리 영역

가   형

수리 영역

가   형

[eqn: 4 ^{{3} over {2}} TIMES 16 ^{- {1} over {2}}]의 값은? [2점]

① [eqn: sqrt {2}]	②  [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{-1&&0`#```````1&&2`}}], [eqn: B```= {pmatrix{`2&```2`#`1&```3`}}]에 대하여 [eqn: 2A+X```=B``]를
만족시키는 행렬 [eqn: X``]는? [2점]

① [eqn: {pmatrix{```````4&```````1#`-3&`-1`}}]	② [eqn: {pmatrix{`2&```4#`1&````1`}}]	③ [eqn: {pmatrix{````````4&````3#`-1&`````2`}}]

④ [eqn: {pmatrix{````````4&```````2#`-1&`-1`}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{`1&```1#`4&````2`}}]

[eqn: cos` {theta } over {2} `= {3} over {4}]일 때, [eqn: cos theta]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: LEFT . 0< theta < {pi } over {2}][eqn: pile{`#`} right)] [2점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {7}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)-2x} over {x ^{2}} `=2}], [eqn: lim _{x` -> ``-1} {` {f(x)} over {x ^{2} -1} `} =3]을
만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③  [eqn: 0]

④    [eqn: 2]	⑤    [eqn: 4]

곡선 [eqn: e ^{3x} `lny=2] 위의 점 [eqn: (0,``e ^{2} )]에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: -6`e ^{2}]	② [eqn: -5`e ^{2}]	③ [eqn: -4`e ^{2}]

④ [eqn: -3`e ^{2}]	⑤ [eqn: -2`e ^{2}]

일차변환 [eqn: f]와 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`6`#`0`}}], [eqn: B```= {pmatrix{`0`#`3`}}]에 대하여
[eqn: f(A)+f(B`)= {pmatrix{`0`#`9`}}]가 성립한다. 일차변환 [eqn: f]의 역변환 [eqn: f ^{`-1}]가
존재할 때, [eqn: f` ^{-1`} (B`)]는? [3점]

① [eqn: LEFT ( pile{`0`#`2`} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( pile{`2`#`0`} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( pile{`2`#`1`} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( pile{`2`#`2`} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( pile{`4`#`2`} RIGHT )]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: y]

[eqn: f(0)=f(2)=0]일 때, 부등식 [eqn: {f(x-2)} over {f(x-4)} LEQ 1]을 만족시키는 모든
자연수 [eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을
만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은? [3점]

(가) [eqn: 3n ^{2} +1<(`2+4+6+` CDOTS `+2n)a _{n}]

(나) [eqn: b _{n} <6-2a _{n}]

(다) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴한다.

①  [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 일부가
그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> ``0} {`f(x)} ``=`-1] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1+0} {LEFT { f(x)-f(-x) RIGHT }} ``=`0] ㄷ. 함수 [eqn: LEFT | `f(x)` RIGHT | `․`sin pi x`]는 열린 구간 [eqn: LEFT ( -2,``2 RIGHT )]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

세 집합 [eqn: A= LEFT { x`|`x ^{3} -6x ^{2} +11x-6>0 RIGHT }],
[eqn: B```= LEFT { x`|`x> alpha RIGHT }], [eqn: C```= LEFT { x`|`x> beta RIGHT }]에 대하여 [eqn: B SUBSET A SUBSET C``]일 때,
[eqn: alpha - beta]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

점근선의 방정식이 [eqn: y=2]인 지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +b]의 그래프를
[eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,`10 RIGHT )]을 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에
대하여 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {2}]	②  [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

해발고도 [eqn: H`( rm m)]인 곳에서의 기압을 [eqn: p( rm hPa)], 평균해수면으로부터
해발고도 [eqn: H`( rm m)]까지의 기층의 평균기온을 [eqn: t LEFT ( DEG rmC RIGHT )]라 할 때, 다음
식이 성립한다고 한다.

[eqn: H```=18400 LEFT ( 1+0.04t RIGHT ) log` {p _{0}} over {p}] (단, [eqn: p _{0}]은 평균해수면의 기압이다.)

어느 지역에서 평균해수면의 기압이 [eqn: 1000 rm `hPa]이고, 평균해수면
으로부터 해발고도 [eqn: 1840 rm `m]까지의 기층의 평균기온이 [eqn: 10rm DEG C]일 때,
해발고도 [eqn: 1840 rm `m]인 곳에서의 기압[eqn: rm LEFT ( hPa RIGHT )]은? [3점]

① [eqn: 10 ^{{29} over {14}}]	② [eqn: 10 ^{{16} over {7}}]	③ [eqn: 10 ^{{5} over {2}}]

④ [eqn: 10 ^{{19} over {7}}]	⑤ [eqn: 10 ^{{41} over {14}}]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) `=f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `=0]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 4], 극솟값이 [eqn: 0]일
때, [eqn: f(3)]의 값은? [4점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 옳은 것만을
<보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: (ABA ^{-1`} ) ^{`2} =AB ^{`2} A ^{-1}]이다. ㄴ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 행렬 [eqn: A ^{2} `]의 역행렬도 존재한다. ㄷ. 행렬 [eqn: AB``]의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬 [eqn: A`]의 역행렬도 존재하지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]
이라 할 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {6S _{k}} over {a _{k} +3} `=S _{n}] [eqn: (n GEQ 1)]
이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: S _{1} >0]이므로 [eqn: a _{1} =`][eqn: BOX{``````````(가) _{} ^{` ^{}} `````````}]이다.

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {6S _{k}} over {a _{k} +3} - sum _{k=1} ^{n-1} {6S _{k}} over {a _{k} +3} `= {6S _{n}} over {a _{n} +3}] ([eqn: n GEQ 2])이고

[eqn: a _{1} = {6S _{1}} over {a _{1} +3}]이므로

[eqn: BOX{``````````(나) _{} ^{` ^{}} `````````}][eqn: CDOT S _{n} =a _{n} ^{``2} +][eqn: BOX{``````````(가) _{} ^{` ^{}} `````````}][eqn: CDOT a _{n}] ([eqn: n GEQ 1])이다.

한편, [eqn: 6(S _{n+1} -S _{n} )=a _{n+1} ^{``2} +3a _{n+1} -(a _{n} ^{``2} +3a _{n} )]이므로

[eqn: 6a _{n+1} =a _{n+1} ^{``2} -a _{n} ^{``2} +3a _{n+1} -3a _{n}]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: a _{n} =`][eqn: BOX{``````````(다) _{} ^{` ^{}} `````````}]

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q`]라 하고, (다)에 알맞은
식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: p+q+f LEFT ( 10 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 48]

정적분 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin2x(sinx+1)dx} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③  [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

그림은 어느 여행 상품의 여행 코스와 코스별 거리, 소요시간이
나타난 안내문의 일부이다.

갑이 승마 코스에서 이동한 평균속력은 뗏목 래프팅 코스에서
이동한 평균속력보다 [eqn: rm 10`km/h] 더 빨랐고, 코끼리 트래킹 코스에서
이동한 평균속력은 [eqn: rm 8`km/h]이었다. 또한 갑이 승마 코스와 코끼리
트래킹 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간의 합은 뗏목 래프팅
코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간과 같았다.
이때, 갑이 승마, 뗏목 래프팅, 코끼리 트래킹 코스에서 이동하는
데 걸린 소요시간의 총합은? (단, 코스를 변경하는 데 걸린 시간은
무시한다.) [4점]

① [eqn: 4]시간	② [eqn: 4]시간 [eqn: 15]분	③ [eqn: 4]시간 [eqn: 30]분

④ [eqn: 4]시간 [eqn: 45]분	⑤ [eqn: 5]시간

음이 아닌 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: ( it x _{n`} ,``y _{n} )]이 다음
조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x _{0} =1], [eqn: y _{0} =0]

[eqn: pile{x _{n+1}#y _{n+1}}]

[eqn: pile{cos {pi } over {8}#sin {pi } over {8}} ``` pile{``-sin {pi } over {8}#``````````cos {pi } over {8}}]

[eqn: {matrix{{1} over {2} ````&0#0````&{1} over {2}}}]

[eqn: pile{x _{n}#y _{n}}]

[eqn: =]

(나)

[eqn: x _{98} +y _{102} =k` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{103}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: 15 sqrt {2}]	② [eqn: 17 sqrt {2}]	③ [eqn: 19 sqrt {2}]

④ [eqn: 21 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 23 sqrt {2}]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -1]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로
고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `=e-2] ㄴ. [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)>x]이다. ㄷ. [eqn: {5 LEFT ( e ^{5} -1 RIGHT )} over {2} `<` int _{0} ^{e ^{5} -1} {f` ^{`-1} (x)dx} `< {(e ^{5} -1) ^{2}} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의
중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여
세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 [eqn: 3]개의
정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 [eqn: H _{1}]이라 하고, 그림 [eqn: H _{1}]의
넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: H _{1}]에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 [eqn: H _{1}]을
얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 [eqn: 3]개의 모양의 그림을 [eqn: H _{2}]라
하고, 그림 [eqn: H _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 그려서 얻은 [eqn: 3 ^{n-1}]개의 모양의
그림을 [eqn: H _{n}]이라 하고, 그림 [eqn: H _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

[4점]

[eqn: H _{1}]

[eqn: H _{2}]

[eqn: 1]

① [eqn: {27} over {11} sqrt {3}]	② [eqn: {9} over {4} sqrt {3}]	③ [eqn: {27} over {13} sqrt {3}]

④ [eqn: {27} over {14} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {9} over {5} sqrt {3}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서
있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime (-x)``=`-f` prime (x)]이다. ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다. ㄷ. 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | ``` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{```````1&```-2`#-3&``````````4`}} LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) `=k` LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT )]
가 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을
구하시오. [3점]

무리방정식 [eqn: x ^{2} +5x-6+ sqrt {x ^{2} +5x} =0]의 모든 실근의 곱을
[eqn: p]라 할 때, [eqn: p^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} `=1- {1} over {(n+1) ^{2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: 100`a _{10}]의 값을 구하시오. [3점]

좌표평면에서 두 점 [eqn: (1,`1)], [eqn: (1,`2)]를 각각 두 점  [eqn: (-1,`2)], [eqn: (3,`-4)]로
옮기는 일차변환에 의하여 점 [eqn: (-3,`-1)]이 옮겨지는 점을 [eqn: LEFT ( a,`b` RIGHT )]라
할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm`O]이고 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는
원 위의 두 점 [eqn: rm`P], [eqn: rm`Q]가 [eqn: ANGLE rm POB=2 ANGLE BOQ], [eqn: 3 rm bar{AP} =7 bar{BQ}]를
만족시킨다. [eqn: ANGLE rmBOQ= theta]라 할 때, [eqn: 90`cos theta]의 값을 구하시오.
[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: LEFT . 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )] [4점]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `O]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `Q]

[eqn: theta]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} = {n ^{2} +3n} over {2}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{7} 2 ^{a _{n}}]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +4x+5]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`n LEFT { g LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT } `}]

의 값을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: 4p]의 값을 구하시오. [4점]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라
할 때, 다음 조건을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 10 ^{{n} over {m}}]이다.

(가) [eqn: f(x)=g(x ^{2} )+g(x ^{3} )]

(나) [eqn: g(x ^{2} )>g(x ^{3} )>g(x ^{4} )]

이때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

[4점]

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]이고 반지름의
길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: RMOAB]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`0 RIGHT )]에서 출발하여
호 [eqn: RMAB] 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로
움직일 때, [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm Q]는 [eqn: bar{rm PQ it} ``= sqrt {5}]를 만족시키면서 [eqn: x]축
위를 움직인다.

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: sqrt { 5}]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmP]

[eqn: y]

[eqn: rm ` ANGLE POA= {pi} over {4}]가 되는 순간, 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 시간(초)에 대한
변화율을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: 9r ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.