<2013학년도> [3학년 문과]	3개년 3월 교육청학력평가 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수

1 일반항이 [eqn: a`_n = n(n+1) over2]([eqn: n=1,`2,`3,`cdots`])인 수열 [eqn: LEFT {`a`_n RIGHT }]에서 [eqn: a_n`]의 값이 [eqn: 6]의 배수인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 [eqn: LEFT {`b`_n RIGHT }]이라 할 때, 다음은 [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b`_k]를 구하는 과정이다.

[eqn: a`_n+12 -a`_n =]이므로 [eqn: a`_n+12 -a`_n]은 [eqn: 6]의

(가)

배수이다.                            [eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], …, [eqn: a_12] 중에서 [eqn: 6]의 배수인 것은

[eqn: a_3 =6], [eqn: a_8 =36], [eqn: a_11 =66], [eqn: a_12 = 78]이므로

[eqn: b_1 =a_3], [eqn: b_2 =a_8], [eqn: b_3 = a_11], [eqn: b_4 =a_12]이다.  [eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: b_4n-3 = a_12n-9][eqn: = 6(4n-3)(3n-2)]

[eqn: b_4n-2 = a_ 12n-4][eqn: = 6(3n-1)(4n-1)]

[eqn: b_4n-1 =]

(나)

[eqn: b_4n = 6n(12n+1)]

따라서 [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b_k][eqn: =sum _{ k=1} ^{n }][eqn: (][eqn: )][eqn: =]

(다)

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(`n`)], [eqn: g(`n`)], [eqn: h(`k`)]라 할 때, [eqn: f(`1)+g(`2)+h(`1)]의 값은? [4점]

① [eqn: 552]	② [eqn: 558]	③ [eqn: 564]

④ [eqn: 570]	⑤ [eqn: 576]

2  그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2root3]이고 [eqn: ∠ \A_1 OB_1][eqn: =`][eqn: 60°]인 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]이 있다.

세 점 [eqn: \A_1], [eqn: \O], [eqn: \B_1]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_1 OB_1]의 무게중심을 [eqn: \C_1]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_1 C_1], [eqn: \B_1 C_1]과 호 [eqn: \A_1 B_1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_1]이라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_1]을 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_1], [eqn: \OB_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \A_2], [eqn: \B_2]라 하자. 세 점 [eqn: \A_2], [eqn: \O], [eqn: \B_2]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_2 OB_2]의 무게중심을 [eqn: \C_2]라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_2 C_2], [eqn: \B_2 C_2]와 호 [eqn: \A_2 B_2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_2]라 하자.

점 [eqn: \O]를 중심으로 하고 점 [eqn: \C_2]를 지나는 원이 두 선분 [eqn: \OA_2], [eqn: \OB_2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A_3], [eqn: \B_3]이라 하자. 세 점 [eqn: \A_3], [eqn: \O], [eqn: \B_3]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \A_3 OB_3]의 무게중심을 [eqn: \C_3]이라 할 때, 두 선분 [eqn: \A_3 C_3], [eqn: \B_3 C_3]과 호 [eqn: \A_3 B_3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 도형의 넓이를 [eqn: S`_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S`_n]의 값은? [4점]

① [eqn: 2` pi - sqrt {3} `]	② [eqn: 2` pi -2 sqrt {3} `]	③ [eqn: 2` pi -3 sqrt {3} `]

④ [eqn: 3` pi -3 sqrt {3} `]	⑤ [eqn: 3` pi -4 sqrt {3} `]

3 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: {\P}_n`], [eqn: {\Q}`_n`]을 다음 규칙대로 잡는다.

(가) 점 [eqn: \P_1]의 좌표는 [eqn: (`0,``0)`]이다.

(나) 점 [eqn: {\P}_n`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만    큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {\Q}`_n`]이다.

(다) 점 [eqn: {\Q}`_n`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]    만큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {\P}_n+1]이다.

점 [eqn: {\Q}`_n`]의 좌표를 [eqn: (`a`_n `,```b`_n )]이라 할 때, [eqn: a`_21 +b`_21]의 값을 구하시오.

[4점]

4 그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 한 점 [eqn: \A`]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=log`_2`x^3`]과 서로 다른 두 점 [eqn: \B,``C]에서 만나고 있다. 두 점 [eqn: \B,``C`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D,``E]라 하고, 두 선분 [eqn: \BD`], [eqn: \CE`]가 곡선 [eqn: y=log`_2`x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \F,``G`]라 하자. [eqn: bar \AB `: bar BC` =1:2`]이고, 삼각형 [eqn: \ADB`]의 넓이가 [eqn: 9over2`]일 때, 사각형 [eqn: \BFGC`]의 넓이를 구하시오. (단, 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]보다 작다.)

[4점]

5 등식 [eqn: 2 ` ^{a} =5 ` ^{b} `]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b= 1over2]이면 [eqn: a= log`_4`5`]이다. ㄴ. [eqn: 2< {a} over {b} <3``] ㄷ. [eqn: 1over a + 1over b`]은 무리수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6 역행렬을 갖는 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A+A ^{-1} =E]

(나) [eqn: A` LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT )`` = LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `]

행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]

④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

7 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1`], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형의 넓이를 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S ` _{n}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {2} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

8 두 수열 [eqn: left{ `a`_n` right}], [eqn: left{ `b`_n `right}`]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf]

(나) [eqn: lim_n->inf `left(`2a`_n -`5b`_n `right)`=3`]

[eqn: lim_n->inf {2a`_n +`3b`_n}over{a`_n +`b`_n} `= q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

9 수열 [eqn: LEFT { `a `_{n} `RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때,  [eqn: S ` _{n} = {6n} over {n+1}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(`a ` _{n} +`a `_{n+1}` right)]의 값을 구하시오. [4점]

10 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 시행을 한다.

[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: n`]에서 [eqn: 1`]을 빼고,

[eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: n`]을 [eqn: 2`]로 나눈다.

자연수 [eqn: n`]이 [eqn: 1`]이 될 때까지 반복한 시행의 횟수를 [eqn: a`_n]이라 정의하자. 예를 들어 [eqn: a`_7 = 4`], [eqn: a`_8 =3`]이다. [eqn: S`_n = sum _{ k=2^n} ^{2^n +3 } a`_k`]라 할 때, [eqn: S`_50`]의 값은? (단, [eqn: a`_1 =0`]이다.) [4점]

① [eqn: 200]	② [eqn: 201]	③ [eqn: 202]

④ [eqn: 203]	⑤ [eqn: 204]

11 신경세포 또는 근육세포와 같은 대부분의 세포에서는 흥분하지 않은 상태에서 세포의 외부와 내부의 전위차가 생기는데 이것을 휴지전위라고 한다. 세포의 외부와 내부의 칼륨이온 농도(단위는 [eqn: \ mM`])가 각각 [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }`], [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }`]일 때의 휴지전위(단위는 [eqn: \ mV])를 [eqn: E`_{\K}`]라 하면 등식

[eqn: E`_{\K} = t` LEFT (` log LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O } -`` log LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I`` } RIGHT )] (단, [eqn: t`]는 양의 상수이다.)

가 성립한다. [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }`], [eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }`], [eqn: E`_{\K}`]의 값이 표와 같을 때, 실수 [eqn: q`]의 값은? [4점]

[eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }]	[eqn: LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I }]	[eqn: E`_{\K}]
[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: p]
[eqn: 10`a]	[eqn: b]	[eqn: p+60]
[eqn: 10^2 `a]	[eqn: root10 `b]	[eqn: p+q]

① [eqn: 90]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 150]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 210]

12 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 개수는? (단, [eqn: LEFT [ `x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

(가) [eqn: LEFT [ `log ` _{3} `n` RIGHT ]` =3`]

(나) [eqn: LEFT [ `log``n ` ^{2} RIGHT ]` = LEFT [ `log``2n RIGHT ] +2]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

13 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: BA+B```=E`]

(나) [eqn: A ^{2} B```=A+E`]

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 행렬 [eqn: B``]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``][eqn: =BA`] ㄷ. 행렬 [eqn: AB``]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,~B```]에 대하여 [eqn: A+B```=E``], [eqn: AB```=`-E```]가 성립할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A ^{2} `+B`` ^{2} =`3E] ㄴ. [eqn: A ^{n+2} +B ^{`n+2} =A ^{n+1} +B ^{`n+1} +A ^{n} +B ^{`n}] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS `]) ㄷ. [eqn: A ^{9} +B ^{`9} `=76E````]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15 그림과 같이 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PR`} =2]이고 [eqn: rm ANGLE QPR=90°]인 삼각형 [eqn: rm PQR]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PQ`], [eqn: rm QR`], [eqn: rm RP`]의 접점을 각각 [eqn: rm P_1], [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm R _{1}]이라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rm PP _{1} R _{1}]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PP _{1} `], [eqn: rm P _{1} R _{1} `], [eqn: rm R _{1} P`]의 접점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 세 점 [eqn: rm P _{it n rm}], [eqn: rm Q _{it `n rm}], [eqn: rm R _{it `n rm}]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm P _{it n` rm} Q _{it `n` rm} R _{it `n rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {p+q sqrt {2}}]를 만족시키는 두 유리수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값은?

① [eqn: 1 over 7]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 3over7]	④ [eqn: 4over7]	⑤ [eqn: 5over7]

16 수열 [eqn: LEFT { `a` _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a` _{n}]은 자연수이다.

(나) [eqn: LEFT | ``a` _{n} `- sqrt {n} `` RIGHT | `< {1} over {2}]

[eqn: sum _{n=1} ^{90} a` _{n}]의 값을 구하시오.

17 좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O``]와 점 [eqn: rm P _{1} (`1,``0`)`]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 점 [eqn: rm P _{it n rm} it LEFT ( `x _{n} `,```y _{n} ` RIGHT )]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 동경 [eqn: rm OP _{it n}]이 나타내는 각의 크기는 [eqn: {`n-1` } over {3}pi]이다.

(나) [eqn: bar{{rm OP} _{n+1}} = cases{&{1} over {2} ` bar{{rm OP} _{n}} `&(`y _{n} >0)#&bar{{rm OP} _{n}} `~~~``&(`y _{n} =0)#&{4} over {3} bar{{rm OP} _{n}} ``````&(`y _{n} <0)} ``]

[eqn: bar{{rm OP}` _{50}}]의 값은?

① [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{8}]	② [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}] ③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{7}]  ④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{14}] ⑤ [eqn: {1} over {4} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{8}]

18 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A _{1} ` LEFT ( `1`,`` sqrt {3} ` RIGHT ) ``]과 점 [eqn: rm B it rm _{1} ` LEFT ( `2`,``0` RIGHT ) ``]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 직선 [eqn: y`=` sqrt {3} x``] 위의 점 [eqn: rm A _{it n} ``]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm B _{it n rm} ``]이 다음 식을 만족시킨다.

[eqn: bar{rm OA _{it n+1}} `=` bar{rm OA _{it n}} `+`a``], [eqn: bar{rm OB _{it n+1}} `=` bar{rm OB _{it n}} `+`b``]

삼각형 [eqn: rm OA _{it n rm} B _{it n rm} ``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{`S _{n} `} over {n ^{2}} `=5 sqrt {3}}]이 되도록 하는 양의 정수 [eqn: a`,``b``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)]의 개수는?

(단, [eqn: \O``]는 원점이다.)

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

19 어느 공원에는 아래 그림과 같이 [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rmA``]지점으로 돌아오는 제[eqn: `1`]산책로, [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rm B``]지점으로 이어지는 제[eqn: `2`]산책로, [eqn: rm B``]지점에서 출발하여 [eqn: rm A``]지점으로 이어지는 제[eqn: `3`]산책로가 있고, 각 산책로의 거리는 [eqn: 1][eqn: ` rm km``]이다.

이 산책로들을 따라 다음과 같은 규칙으로 산책한 거리가 [eqn: n`][eqn: rm km``]일 때, [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rm A``]지점에 도착하는 방법의 수를 [eqn: a` _{n} `], [eqn: rm A``]지점에서 출발하여 [eqn: rm B``]지점에 도착하는 방법의 수를 [eqn: b` _{n}]이라 하자.

(가) 각 산책로에서는 화살표 방향으로만 진행해야 한다.

(나) 같은 산책로를 반복할 수 있다.

(다) 지나지 않는 산책로가 있을 수 있다.

[eqn: a` _{7} +`b` _{7} ``]의 값은? (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

①　[eqn: 21]	②　[eqn: 29]	③　[eqn: 34]	④　[eqn: 42]	⑤　[eqn: 55]

20 액체의 끓는 온도 [eqn: T``]([eqn: ° rm C``])와 증기압력 [eqn: P``]([eqn: rm mmHg`]) 사이에

[eqn: log`P```=`a``+` {b} over {`c``+T``} `] ([eqn: a,``b,``c``]는 상수이고 [eqn: T```>`-c``])

인 관계가 성립한다. 표는 어떤 액체의 끓는 온도에 대한 증기압력을 나타낸 것이다.

끓는 온도([eqn: ° rm C``])	[eqn: 0``]	[eqn: 5`]	[eqn: 10`]
증기압력([eqn: \mmHg`])	[eqn: 4.8``]	[eqn: 6.6``]	[eqn: 8.8``]

이 표를 이용하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: log``2`=`0.301`]로 계산한다.)

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 0.602`<`a`+` {b} over {c} `<`0.699``] ㄴ. [eqn: b`<`0``] ㄷ. [eqn: P``<`10` ^{a} ``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21 자연수 [eqn: `n`]에 대하여 다음과 같이 제[eqn: `n`]행에 [eqn: 0``]과 [eqn: 1``]사이의 유리수 중에서 분모는 [eqn: 2` ^{n} ``]이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다.

제[eqn: `1`]행	[eqn: {1}over{2}`]

제[eqn: `2`]행	[eqn: {1}over{4}`], [eqn: {3}over{4}``]

제[eqn: `3`]행	[eqn: {1}over{8}`], [eqn: {3}over{8}`], [eqn: {5}over{8}`], [eqn: {7}over{8}``]

⋮　　　　　　	⋮

제[eqn: `n`]행의 마지막 수를 [eqn: a` _{n} `], 제[eqn: `n`]행의 모든 수의 합을 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {LEFT ( `2` ^{n} +1` RIGHT ) `a _{n}}}]의 값은?

①　[eqn: 1over4]	②　[eqn: 1over2]	③　[eqn: 1]	④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 4]

22  [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: cosx```= {1} over {(2n-1) pi } x] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS ``])의 양의 실근의 개수를 [eqn: a` _{n} ``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {` LEFT ( a _{n`} +1 RIGHT ) LEFT ( a _{n} +3 RIGHT )} ``]의 값을 구하시오.

23 두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT { ``b _{n} ` RIGHT } ``]은 첫째항이 모두 [eqn: 1``]이고

[eqn: a _{n+1} `=`3`a _{n} `], [eqn: b _{n+1} `=` LEFT ( `n+1` RIGHT ) `b _{n} ``][eqn: (`n=1,``2,``3,``` CDOTS `)]

을 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { c_{n}` RIGHT }``]을

[eqn: c _{n} `=` cases{``a _{n} `&`~~`(a _{n} `` < `b _{n} `)`#``b _{n} `&``````````(a _{n} ``GE`b _{n} `)`} ``]

이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{50} ``2`c _{n} ``]의 값은?

① [eqn: 3` ^{50} -20]	② [eqn: 3` ^{50} -19]	③ [eqn: 3` ^{50} -15]

④ [eqn: 3` ^{50} -11]	⑤ [eqn: 3` ^{50} -7]

24 그림과 같이 지수함수 [eqn: y``=a` ^{x} `]와 [eqn: y``=a` ^{2x} ``]의 그래프는 직선 [eqn: y``=`x``]와 각각 서로 다른 두 점에서 만난다. [eqn: y``=a` ^{x} `]의 그래프, [eqn: y``=a` ^{2x} ``]의 그래프와 직선 [eqn: x``=`k`]의 교점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하고 직선 [eqn: y``=`x`]와 직선 [eqn: x`=`k`]의 교점을 [eqn: rm R``]라 하자.

[eqn: k``=`2``]이면 두 점 [eqn: rm Q`]와 [eqn: rm R``]가 일치할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a``>`1``])

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: k``=`4``]이면 두 점 [eqn: rm Q`]와 [eqn: rm R``]가 일치한다. ㄴ. [eqn: bar{rm PQ it} ``=`12``]이면 [eqn: bar{\QR}`=`8``]이다. ㄷ. [eqn: bar{rm PQ it} ``=` {1} over {8} ``]을 만족시키는 실수 [eqn: k``]의 값의 개수는 [eqn: 2``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

25 그림과 같은 그래프가 있다. 이 그래프의 꼭짓점 [eqn: rm A``]에서 꼭짓점 [eqn: rm B``]로 가는 경로 중에서 세 꼭짓점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R``]를 모두 지나는 것의 개수를 구하시오. [4점]

26 [eqn: n`]차 정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`i,``j`)] 성분 [eqn: a _{ij}``]를

[eqn: a _{ij} `=(`i-1`)`n+j] (단, [eqn: 1 LEQ i LEQ n], [eqn: 1 LEQ j LEQ n])

이라 하자. [eqn: n``]이하의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f(`k`)`]를 행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`k`,``n-k+1`)] 성분이라 할 때, [eqn: 12 `lim _{n -> ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} f(`k`)} over {n ^{3}}}] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: n``]은 자연수이다.)

27 [eqn: 1`]부터 연속된 자연수를 나열하여 각 자릿수로 다음과 같은 수열을 만들었다.

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 4], …

이 수열의 제[eqn: `n`]항부터 연속된 네 개의 항이 차례로 [eqn: 2], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 0`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은?

① [eqn: 2960]	② [eqn: 2964]	③ [eqn: 2968]	④ [eqn: 2972]	⑤ [eqn: 2976]

28 좌표평면에서 직선 [eqn: y=1] 위의 점 [eqn: rm P _{ it n rm} (` it n`,```1)`]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT } `]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: a _{`n}][eqn: =](선분 [eqn: rm OP_{it n }`]의 길이) ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

[eqn: lim _{n` -> INF } {{LEFT [ `a _{`1} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`2} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`3} ` RIGHT ] `+` CDOTS `+ LEFT [ `a _{`n} ` RIGHT ]} over {n ^{`2}}}`]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: LEFT [` `x` RIGHT ]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

29 각 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `b _{`n} ` RIGHT } `]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: b_{`n} =`log _{`3} `a _{`n}] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

수열 [eqn: LEFT { `b _{`n} ` RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{`11} `]의 값은?

(가) [eqn: b_{`1} +b _{`3} +b _{`5} +`` CDOTS ``+b _{`15} +b _{`17} =36]

(나) [eqn: b _{`2} +b _{`4} +b _{`6} +``cdots``+b _{`16} +b _{`18} =45]

① [eqn: 3 ^{`5}]	② [eqn: 3 ^{`6}]	③ [eqn: 3 ^{`7}]	④ [eqn: 3 ^{`8}]	⑤ [eqn: 3 ^{`9}]

30 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서  있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A ^{`2} ``=E], [eqn: B`` ^{`2} =E``]이면 [eqn: (AB`A) ^{`2} =E``]이다. ㄴ. [eqn: A ^{`2} =O], [eqn: B`` ^{`2} =O``]이면 [eqn: AB```=O``]이다. ㄷ. [eqn: (A+E``) ^{`2} =O], [eqn: AB ```=A`]이면 [eqn: B```=E``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

31 좌표평면에서 점 [eqn: {rm A} it _{`n}`] ([eqn: n`=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: rmA _{`1}`]의 좌표는 [eqn: (`0,````0`)`]이다.

(나) 점 [eqn: {rmA} _{`4`n-3}`]을 [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: (4`n-3)`]만큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {rm A }it _{`4`n-2}`]이다.

(다) 점 [eqn: {rm A} it _{`4`n-2}`]를 [eqn: y`]축의 음의 방향으로 [eqn: (4`n-2)`]만큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {rm A} it _{`4`n-1}`]이다.

(라) 점 [eqn: {rm A} it _{`4`n-1}`]을 [eqn: x`]축의 음의 방향으로 [eqn: (4`n-1)`]만큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {rm A} it rm _{`4`n}`]이다.

(마) 점 [eqn: {rm A} it _{`4`n}`]을 [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 4`n`]만큼 평행이동시킨 점은 [eqn: {rm A }it _{`4`n+1}`]이다.

그림은 위의 규칙대로 정한 점 [eqn: rm A _{`1}`], [eqn: rm A _{`2}`], [eqn: rm A _{`3}`], [eqn: cdots`]의 일부를 나타낸 것이다.

점 [eqn: rm A _{`50} `]의 좌표를 [eqn: (`p,````q`)`]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값은?

① [eqn: 41]	② [eqn: 43]	③ [eqn: 45]	④ [eqn: 47]	⑤ [eqn: 49]

32 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A ^{2} =2A+E]

(나) [eqn: AB``=2E]

(다) 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 7`]이다.

행렬 [eqn: B ``]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

33 수직선 위에 점 [eqn: rm P _{it n}] ([eqn: n=] [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: rm P _{1}`]의 [eqn: `]좌표는 [eqn: rmP _{1} (`0`)`]이다.

(나) [eqn: rm bar{P _{1} `P _{2}} ``=1`]이다.

(다) [eqn: rm bar{P _{it n rm} `P _{it n+1 rm}} ``= it {n-1} over {n+1} rm ` TIMES ` rm bar{P _{it n-1 rm} `P _{it n rm}}] ([eqn: n=] [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: CDOTS])

선분 [eqn: rmP _{itn} `P _{itn+1}]을 밑변으로 하고 높이가 [eqn: 1`]인 직각삼각형의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 하자. [eqn: S _{`1} +S _{`2} +S _{`3} +` CDOTS `+S _{`50} = {q} over {p}`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

34 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오.

(가) [eqn: 1<n<10]

(나) [eqn: log` {1} over {n}]의 가수는 [eqn: log``n ^{`2}`]의 가수보다 크다.

35 수열 [eqn: LEFT {` a _{n} `RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 1``․``2`a _{`1} +`3``․``4`a _{`2} +`5``․``6`a _{`3} +`` CDOTS ``+`(2n-1)``․``2n`a _{`n} >= n]

을 만족시킬 때, 다음은 부등식	[eqn: a _{`1} +`a _{`2} +`a _{`3} +`` CDOTS ``+`a _{`n} >=]

(가)

이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: a _{`1} +`a _{`2} +`a _{`3} +`` CDOTS `+`a _{`n}]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )+ LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) (3``․``4`a _{`2} )+ LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} RIGHT ) (5``․``6`a _{`3} )][eqn: +`` CDOTS]

[eqn: + LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { (2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )+ LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +5``․``6`a _{`3} )][eqn: +`` CDOTS]

[eqn: + LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { 1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +`` CDOTS ``+(2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: >=][eqn: LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) `+2` LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT ) `+3` LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT )]

[eqn: +`` CDOTS ``+]

[eqn: =1- {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {4} + {1} over {5} - {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} - {1} over {2n}]

[eqn: =1+ {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} + {1} over {2n} `-]

[eqn: =]

(나)

(다)

(가)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(가)           (나)                  (다)

① [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]	[eqn: LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]	[eqn: 2` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

② [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]	[eqn: n` LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]	[eqn: 2` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

③ [eqn: sum _{k=1} ^{2n} {1} over {n+k}]	[eqn: n` LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]	[eqn: 2` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

④ [eqn: sum _{k=1} ^{2n} {1} over {n+k}]	[eqn: n` LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]	[eqn: LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

⑤ [eqn: sum _{k=1} ^{2n} {1} over {n+k}]	[eqn: LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]	[eqn: LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

36 행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{```````0``&``1`#`-1``&``1`} ` RIGHT )]에 대하여 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A ^{m} =A ^{n}]

(나) [eqn: m], [eqn: n`]은 [eqn: 100`]이하의 서로 다른 자연수이다.

[eqn: |``m-n``|`]의 최댓값을 [eqn: p`], 최솟값을 [eqn: q`]라 할 때, [eqn: p``+q`]의 값을 구하시오.

37 수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 가수를 [eqn: f(`x)`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(`2010)=f(`0.201)] ㄴ. [eqn: f` LEFT ( {x} over {y} RIGHT ) `=f(`x)-f(`y)] ㄷ. [eqn: x>1], [eqn: y>1], [eqn: f(`x)+f(`y)=0`]이면 [eqn: x], [eqn: y`]는 모두 정수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

38 [eqn: 1`]부터 연속된 자연수를 아래와 같이 제[eqn: `n`]행에는 [eqn: n`]개의 자연수가 오도록 나열하였다.

제[eqn: `1`]행             [eqn: 1]

제[eqn: `2`]행            [eqn: 2] [eqn: 3]

제[eqn: `3`]행           [eqn: 4] [eqn: 5] [eqn: 6]

제[eqn: `4`]행          [eqn: 7] [eqn: 8] [eqn: 9] [eqn: 10]

제[eqn: `5`]행       [eqn: 11] [eqn: 12] [eqn: 13] [eqn: 14] [eqn: 15]

제[eqn: `6`]행     [eqn: 16] [eqn: 17] [eqn: 18] [eqn: 19] [eqn: 20] [eqn: 21]

[eqn: VDOTS]               [eqn: VDOTS]

제[eqn: 19`]행에 나열된 모든 자연수의 평균을 구하시오.

39 한 개의 정삼각형에서 각 변의 중점을 선분으로 이으면 [eqn: 4`]개의 작은 정삼각형이 생긴다. 이때, 가운데 정삼각형 하나를 잘라내면 [eqn: 3`]개의 정삼각형이 남는다. 남은 [eqn: 3`]개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 [eqn: 9`]개의 정삼각형이 남고, 다시 [eqn: 9`]개의    각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 [eqn: 27`]개의 정삼각형이 남는다. 그림은 이와 같은 과정을 계속하여 만들어지는 도형을 나타낸 것이다.

[첫 번째]       [두 번째]       [세 번째]

두 정삼각형이 공유하는 꼭짓점은 한 개의 꼭짓점으로 셀 때,  [eqn: n`]번째 도형에서 남은 정삼각형들의 꼭짓점의 개수를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{`1 } =6], [eqn: a _{`2} =15`]이다. [eqn: a _{`5} `]의 값은?

① [eqn: 366]	② [eqn: 376]	③ [eqn: 386]

④ [eqn: 396]	⑤ [eqn: 406]

정답 및 해설

1  ①

[출제의도] 증명 과정을 이해하여 빈 칸에 들어갈 식을 구한다.

[eqn: a_n+12 -a_n = {(n+12)(n+13)}over2 - n(n+1) over2]

[eqn: =6(2n+13)]

[eqn: b_4n-3 = a_12n-9][eqn: = 6(4n-3)(3n-2)]

[eqn: b_4n-2 = a_ 12n-4][eqn: = 6(3n-1)(4n-1)]

[eqn: b_4n-1 = a_12n-1][eqn: = 6n(12n-1)]

[eqn: b_4n =a_12n = 6n(12n+1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{ k=1} ^{4n }b_k][eqn: =sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( b_4k-3 + b_4k-2 + b_4k-1 +b_4k ` RIGHT )]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{n }][eqn: 6LEFT ( 48k^2 -24k +7 RIGHT )]

[eqn: = 6(16n^3 +12n^2 + 3n)]

따라서 [eqn: f(n)=6(2n+13)`], [eqn: g(n)=6n(12n-1)],

[eqn: h(k)= 6(48k^2 -24k+7)]이므로

[eqn: f(1)+g(2)+h(1)= 90+276+186=552`]

2  ④

[출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 무한급수의 합을 구한다.

점 [eqn: rm C_1`]은 정삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1 `]의 무게중심이므로 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 각각 삼각형 [eqn: rm A_1 OB_1`]의 넓이의 [eqn: 1 over3 `]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm C_1 OB_1]의 넓이는 [eqn: {1} over {3}` ·` {sqrt {3}} over {4}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = sqrt {3} `]이다.

[eqn: S _{1}]은 부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]의 넓이에서 두 삼각형 [eqn: rm A _{1} OC _{1} `], [eqn: \C _{1} OB _{1}]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S _{1} `= {1} over {2}` ·` LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}` ·` {pi } over {3} `-2 sqrt {3} =2 pi -2 sqrt {3} `]

부채꼴 [eqn: \A_1 OB_1]과 부채꼴 [eqn: rm A _{2} OB _{2} `]의 닮음비는

[eqn: 2root3` : 2 = root3` :1`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 3:1`]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2pi`-2root3], 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {2 pi -2 sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} =3` pi -3 sqrt {3}]

3  462

[출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 항의 값을 구한다.

점 [eqn: {\P}_n`], [eqn: {\Q}_n]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: \P_1 (0,``0)], [eqn: \Q_1 (1,``1)]

[eqn: \P_2 (0,``2)], [eqn: \Q_2 (2,``4)]

[eqn: \P_3 (1,``5)], [eqn: \Q_3 (4,``8)]

[eqn: \P_4 (3,``9)], [eqn: \Q_4 (7,``13)]

[eqn: \P_5 (6,``14)], [eqn: \Q_5 (11,``19)]

[eqn: \P_6 (10,``20)], [eqn: \Q_6 ( 16,``26)]

[eqn: vdots]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 계차수열이 [eqn: left{n right}`]인

수열이므로 [eqn: a_21 = 1+ sum _{ k=1} ^{ 20} k = 1+ {20``․``21}over2 = 211]

수열 [eqn: LEFT {b_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 계차수열이 [eqn: left{n+2 right}`]인 수열이므로

[eqn: b_21 = 1+ sum _{ k=1} ^{ 20} (k+2) = 1+ {20``․``21}over2 +2``․``20= 251]

∴ [eqn: a_21 +b_21 = 211+251 = 462]

[다른풀이]

[eqn: \P_1 (0,``0)]으로부터 [eqn: \Q_1 (1,``1)]이므로 [eqn: a _{1} =1,`] [eqn: b _{1} =1`]

[eqn: rm Q it ` _{n} `]의 좌표 [eqn: (`a` _{n} `,```b` _{n} )]으로부터

[eqn: rm P it ` _{n+1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} -1,```b _{n} +1 RIGHT ) `]

4  24

[출제의도] 로그함수와 도형의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.

[eqn: log`_2`x^3][eqn: -log`_2`x][eqn: =3log`_2`x][eqn: -log`_2`x]

[eqn: =2log`_2`x]

이므로 두 점 [eqn: \F,``G]는 두 선분 [eqn: \BD,``CE]를 각각 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: □` \BFGC = 2over3 ×□` BDEC]

[eqn: = 2over3 LEFT ( 8 ×△ \ADB RIGHT )]

[eqn: = 16over3 × 9 over 2]

[eqn: = 24]

5  ③

[출제의도] 지수와 로그의 성질을 이해하여 명제의 참ㆍ거짓을 판정한다.

ㄱ. [eqn: b= {1} over {2} `]이면 [eqn: 2 `^{a} =5 ^{{1} over {2}}]에서 [eqn: a=log` _{2} ` sqrt {5} ``=log` _{4} ``5] (참)

ㄴ. [eqn: 2 ` ^{a} =5 `^{b} `]에서 [eqn: 2 ^{{a} over {b}} =5`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {a} over {b} =log _{`2} `5`]

그런데 [eqn: log _{`2} `4<log _{`2} `5<log _{`2} `8`]에서 [eqn: 2<log _{`2} `5<3`]이므     로 [eqn: 2< {a} over {b} <3``] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: 2 ` ^{a} =5 ` ^{b} =10]으로 놓으면

[eqn: 2=10 ^{{1} over {a}} `], [eqn: 5=10 ^{{1} over {b}} `]에서 [eqn: {1} over {a} =log` _{} `2`], [eqn: {1} over {b} =log` _{} ``5`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =log` _{} `2+log _{} ``5][eqn: =log` _{} `10=1] (유리수) (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른풀이]

ㄴ. [eqn: 2 ` ^{a} =5 ` ^{b} `]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: a`log``2=b`log``5`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {a} over {b} = {log``5} over {log``2} =log` _{2} `5]

[참고]

[eqn: 2` ^{a} =5 `^{b} =k``` LEFT ( k>1 RIGHT )]로 놓으면

[eqn: 2= k^{1over a}`], [eqn: 5= k^{1over b}`]에서

[eqn: 1over a = log`_k`2`], [eqn: 1over b = log`_k`5`]

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =log` _{k} `2+log` _{k} `5][eqn: =log`_k`10]

이므로 [eqn: k = 10^{n over m}`](단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수)일 때

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b}]은 유리수이다.

6  ②

[출제의도] 행렬의 연산법칙과 역행렬의 뜻을 이해하여 행렬의 성분의 합을 구한다.

(가)에서 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =E` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]

(나)에서 [eqn: LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) `]

[eqn: A ^{-1} LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) =` LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) - LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`-1`#-2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: A LEFT ( ` pile{-1`#-2`} RIGHT ) = LEFT ( ` pile{2`#3`} RIGHT ) `]

[eqn: A= {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}}]로 놓으면

[eqn: {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT )], [eqn: {pmatrix{`a&`b`#`c`&d`}} LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT ) = LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) `]이므로

[eqn: 2a`+`3b`=`3,```2c`+`3d`=`5]    [eqn: cdots`]㉠

[eqn: -a-`2b`=`2,```-c``-2d`=`3]   [eqn: cdots`]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a`=`12`,`````b`=`-7`,````c`=`19`,````d`=`-11]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A=][eqn: {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

[다른풀이1]

(가)에서 [eqn: A LEFT ( pile{`2`#`3`} RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =E` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]

(나)의 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `] … ㉠을 대입하면

[eqn: LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) +A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) `]에서 [eqn: A ^{-1} LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) - LEFT ( pile{`3`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A LEFT ( ` pile{-1#-2} ` RIGHT ) = LEFT ( pile{`2``#`3`} RIGHT ) `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A {pmatrix{`2&``-1`#`3&``-2`}} = {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} `]

[eqn: A= {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} {pmatrix{`2&``-1`#`3&``-2`}} ^{-1} `]

[eqn: = {pmatrix{`3&``2`#`5&``3`}} {pmatrix{`2&```-1`#`3&```-2`}} `][eqn: = {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

[다른풀이2]

(가)의 양변에 행렬 [eqn: A`]를 곱하면 [eqn: A ^{2} +E=A`]

[eqn: A ^{2} LEFT ( pile{`2#`3} RIGHT ) +E`` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =A` LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT )]에서 (나)의 [eqn: A LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `] … ㉠을

대입하면 [eqn: A LEFT ( ` pile{3`#5`} RIGHT ) + LEFT ( ` pile{2#3} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `A LEFT ( ` pile{3#5} ` RIGHT ) =` LEFT ( ` pile{1#2} ` RIGHT ) `] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A {pmatrix{`2&``3`#`3&``5`}} = {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} `]

[eqn: A= {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} {pmatrix{`2&``3`#`3&``5`}} ^{-1}][eqn: = {pmatrix{`3&``1`#`5&``2`}} {pmatrix{`````````5&```-3`#`-3&``````````2`}} `][eqn: = {pmatrix{`12&``````-7`#`19&``````-11`}} `]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 13`]이다.

7  ③

[출제의도] 도형의 넓이를 나타내는 수열을 구한 후 부분분수로 변형하여 무한급수의 합을 구한다.

네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형은 그림과 같이 평행한 두 변의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: (n+1)`]이고, 높이가 [eqn: n`]인 사다리꼴이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{n} = {n(n+2) over {2} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n}} `= sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)}]

[eqn: = lim _{ n->inf} { } sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) }]

[eqn: = lim _{n`-> INF } left({1+ {1} over {2} - {1} over {n+1}} - {1} over {n+2}right)]

[eqn: = 3over2]

8  23

[출제의도] 수렴하는 수열에 대한 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: c_{it n}=2a_n -5b_n`]이라 하면  [eqn: b _{it n} = {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} = 3]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} over {a _{n}} =`0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3b` _{n}} over {a` _{n} +`b` _{n}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3`·` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} over {a` _{n} +` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16a` _{n} `-3c _{n}} over {7a` _{n} -c _{n} `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16`-3``·`` {c _{n}} over {a _{n}}} over {7- {c _{n}} over {a _{n}} `} `]

[eqn: = {16} over {7}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q`=7`+`16`=`23]

[다른풀이]

[eqn: lim_n->inf (2a_n -5b_n )=3`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} a_n LEFT ( 2-5`` ·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =3]에서

[eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf] 이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2-5` `·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf b_n overa_n = 2over5]

[eqn: lim_n->inf {2a_n +3b_n}over{a_n +b_n} = lim_n->inf {2+3 ``‧``b_n overa_n }over{1+ b_n overa_n }]

[eqn: ={2+3``․`` 2over5}over{1+ 2over5}= 16over7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q``=7`+`16``=`23]

9  9

[출제의도] 수열의 합 [eqn: S_n `]과 일반항 [eqn: a_n `]의 관계를 이해하여 무한급수의 합을 구한다.

[eqn: S _{n`} = {6n} over {n+1}]에서

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: = 6n over n+1 - 6(n-1) over n]

[eqn: = {6n^2 -6(n^2 -1)}over n(n+1)]

[eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 =S_1 = 3]이므로 [eqn: a_n][eqn: = 6 over n(n+1)]([eqn: n≥1])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_n +a_n+1 = 6over{n(n+1)} + 6 over{(n+1)(n+2)}]

[eqn: = 6 LEFT ( 1over n - 1over n+1 RIGHT )+6 LEFT ( 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} +a _{n+1}` right)][eqn: =][eqn: 6 sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} sum _{ k=1} ^{n } LEFT ( 1over k - 1over k+2 RIGHT )]

[eqn: =6 lim _{ n->inf} LEFT ( 1+ 1over2 - 1over n+1 - 1over n+2 RIGHT )]

[eqn: = 6 LEFT ( 1+ 1over2 RIGHT ) = 9]

[다른풀이1]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n} over {n+1} =6``]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} = lim _{n` -> ` INF } {} {6n+6} over {n+2} =6``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} ``+a _{n+1} `)`= lim _{n`-> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} (a _{k} +a _{k+1} )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n} a _{k} + sum _{k=1} ^{n} a _{k+1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( S _{n} +S _{n+1} -a _{1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} `+ lim _{n` -> ` INF } {} S _{n+1} `-a _{1} `]

[eqn: =6+6-3=9`] ([eqn: BECAUSE `a _{1} =S _{1} =3])

[다른풀이2]

[eqn: a_n +a_n+1 = LEFT ( S_n -S_n-1 RIGHT )+ LEFT ( S_n+1 -S_n` RIGHT )]

[eqn: =][eqn: S_n+1 -S_n-1]

[eqn: = 6(n+1) over n+2 - {6(n-1) over n]

[eqn: = {6n(n+1)-6(n-1)(n+2)}overn(n+2)]

[eqn: = 12 over n(n+2)]

[eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥2])

[eqn: a_1 +a_2 = S_2 = 4]이므로

[eqn: a_n +a_n+1][eqn: =6 LEFT ( 1over n - 1over n+2 RIGHT )]([eqn: n≥1])

10  ⑤

[출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 2^n]이 [eqn: 1]이 될 때까지 시행이 [eqn: n]번 반복된다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_{2^n} =n]

따라서 다음이 성립한다.

[eqn: k]	[eqn: 2^n]	[eqn: 2^n +1]	[eqn: 2^n +2]	[eqn: 2^n +3]
시행	[eqn: 2^n-1]	[eqn: 2^n]	[eqn: 2^n-1 +1]	[eqn: 2^n +2]
	[eqn: 2^n-2]	⋮	[eqn: 2^n-1]	⋮
	⋮		⋮
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: a_k]	[eqn: n]	[eqn: n+1]	[eqn: n+1]	[eqn: n+2]

따라서 [eqn: S_n = sum _{ k=2^n} ^{2^n +3 } a_k][eqn: = 4n+4]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S`_50][eqn: =204]

11  ①

[출제의도] 로그의 성질을 이해하여 로그로 나타내어진 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: E`_{\K} = t` log` {LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\O }} over{ LEFT [{\K^+} RIGHT ]_{\I`` }}]이므로 [eqn: p`=`t`log`a over b]

또, [eqn: p+60 `=`t left(1+log`a over b right)]

[eqn: =`t+t`log`a over b]

[eqn: =`t+p]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t`=`60]

따라서 [eqn: p+q``=`t`log`{10^2 a} over {sqrt10 b}]

[eqn: =`t left( 3 over 2 +log`a over b right)]

[eqn: =`3 over 2 t +p]

[eqn: THEREFORE] [eqn: q``= 3 over 2 t ``= 3 over 2 ``․``60`=90]

12  ④

[출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.

[eqn: LEFT [ `log` _{3} `n` RIGHT ] =3`]에서 [eqn: 3 ^{3} ` LEQ `n`<3 ^{4} `]이므로

[eqn: LEFT [ log`2n RIGHT ] =1`] 또는 [eqn: LEFT [ `log`2n RIGHT ] =2`]이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT [ log`2n RIGHT ] =1`]일 때 즉, [eqn: 27` LEQ `n`<50`]일 때

(나)에서 [eqn: LEFT [ `2`log`n RIGHT ] =3]이므로

[eqn: 3` LEQ `2`log`n<4], [eqn: {3} over {2} ` LEQ `log`n<2]

∴ [eqn: log`10 sqrt {10} ` LEQ `log`n`<log`100], [eqn: 10 sqrt {10} LEQ n<100]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 [eqn: n`]은

[eqn: 32` LEQ `n<50`]이므로 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT [ `log`2n RIGHT ] =2`]일 때 즉, [eqn: 50` LEQ`n`<81`]일 때

(나)에서 [eqn: LEFT [ `2`log`n RIGHT ] =4`]이므로

[eqn: 4` LEQ `2`log`n<5`], [eqn: 2` LEQ `log``n< {5} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log`100` LEQ `log`n`<log`100 sqrt {10} `], [eqn: 100 LEQ n<100 sqrt {10}]

따라서 만족시키는 [eqn: n`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

[다른풀이]

[eqn: LEFT [ `log` _{3} `n` RIGHT ] =3`]에서 [eqn: 27 LEQ `n`<81`] …  ㉠

㉠에서 [eqn: 27 LEQ `n`<32`]일 때, [eqn: n ^{2} `]은 세 자리의 정수이므로 [eqn: LEFT [ `log`n ^{2} ` RIGHT ] =2``]이다.

[eqn: 32` LEQ `n`<81`]일 때, [eqn: n ^{2} `]은 네 자리의 정수이므로

[eqn: LEFT [ `log`n ^{2} ` RIGHT ] =3``]이다.

또, [eqn: 27 LEQ `n`<50`]일 때, [eqn: 2n`]은 두 자리의 정수이므로

[eqn: LEFT [ `log``2n` RIGHT ] =1``]이다.

[eqn: 50 LEQ `n`<81`]일 때, [eqn: 2n`]은 세 자리의 정수이므로

[eqn: LEFT [ `log``2n` RIGHT ] =2``]이다.

위에서 (나)를 만족시키는 [eqn: n`]의 값의 범위는

[eqn: 32` LEQ `n`<`50``]이다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18``]이다.

13  ⑤

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 행렬의 성질에 대한 명제의 참ㆍ거짓을 판정한다.

ㄱ. 조건 (가)에서 [eqn: B`(A+E``)=E`]이므로 [eqn: B`]의 역행렬      은 [eqn: A+E``]이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: B```^-1 = A+E``]이므로

[eqn: AB```=][eqn: LEFT ( B```^-1 -E`` RIGHT )B]

[eqn: =E-B]

[eqn: =B`` LEFT ( B```^-1 -E`` RIGHT )]

[eqn: =BA] (참)

ㄷ. [eqn: AB```=BA]이므로 (나)에서

[eqn: A^2 B= A(AB``) =A(BA)]

[eqn: =A(E-B``)][eqn: = A-AB``][eqn: =A+E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB```= `-E`]

따라서 행렬 [eqn: AB`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2`]이다.       (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[참고]

[eqn: B`(A+E``)=E`]에서 역행렬의 정의에 의해

[eqn: `(A+E``)B=E`]가 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB=BA]

14 ⑤

[출제의도] 행렬의 연산에 대한 성질을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A(-B)=E``]이므로 [eqn: A ^{-1} =`-B``]

[eqn: BA=`-A ^{-1`} A=`-E=AB]

ㄱ. [eqn: A ^{2} +B ^{`2} = LEFT ( A+B` RIGHT ) ^{2} -AB``-BA]

[eqn: =3E] (참)

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: A^n+2 + B^n+2]

[eqn: = LEFT ( A ^{n+1} +B ^{`n+1} RIGHT ) (A+B`)-A ^{n+1} B`-B ^{``n+1} A]

[eqn: =A ^{n+1} +B`` ^{n+1} -A ^{n} AB-B`` ^{``n} BA]

[eqn: =A ^{n+1} +B`` ^{n+1} +A ^{n} +B``` ^{n}] (참)

ㄷ. ㄴ을 이용해서

[eqn: A ^{3} +B`` ^{3} =A ^{2} +B`` ^{2} +A+B=3E+E=4E]

[eqn: A ^{4} +B`` ^{4} =A ^{3} +B`` ^{3} +A ^{2} +B`` ^{2} =4E+3E=7E]

[eqn: A ^{5} +B`` ^{5} =A ^{4} +B`` ^{4} +A ^{3} +B`` ^{3} =7E+4E=11E]

[eqn: vdots]

[eqn: A ^{9} +B``` ^{9} =A ^{8} +B`` ^{8} +A ^{7} +B`` ^{7} =76`E] (참)

[다른 풀이]

ㄱ. [eqn: B=E`-A`]이므로

[eqn: AB=A(E-A)=A-A ^{2} `=`-E``]에서

[eqn: A ^{2} =A+E`]   … ㉠

같은 방법으로

[eqn: B ^{`2} =B+E`]   … ㉡

그러므로

[eqn: A ^{2} +B`` ^{2} =A+E+B+E]

[eqn: =(A+B)+2E`=3E`]

ㄴ. ㉠의 양변에  [eqn: A ^{n}]을 곱하면

[eqn: A ^{n+2} =A ^{n+1} +A ^{n} `]  … ㉢

㉡의 양변에  [eqn: B ^{n}]을 곱하면

[eqn: B`` ^{n+2} =B`` ^{n+1} +B`` ^{n} `]  … ㉣

㉢과 ㉣에서

[eqn: A ^{n+2} +B`` ^{n+2} =A ^{n+1} +B ^{``n+1} +A ^{n} +B`` ^{n} `]

15  ④

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: rm PQR``]의 내접원의 반지름을 [eqn: a _{1}]이라 하면[eqn: sqrt {2} a _{1} +a _{1} =root2]에서 [eqn: a _{1} =2-root2]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} times ( 2root2 -2 ) times 1 = root2 -1]

삼각형 [eqn: rm PP_{it n-1} R_{it n-1}]의 내접원의 반지름을 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: sqrt {2} a _{n} +a _{n} = {sqrt {2} a _{n-1}} over {2}]

∴ [eqn: a _{n} = {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}} a _{n-1}`]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_{n}`RIGHT }``]이 공비가 [eqn: {sqrt {2} -1} over {sqrt {2}}]인 등비수열을 이루므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {2} -1} over {root2} RIGHT ) ^{2} = {3-2 sqrt {2}} over {2}]인 등비수열을 이룬다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {sqrt {2} -1} over {1- {3-2 sqrt {2}} over {2}} = {6-2 sqrt {2}} over {7}]

∴ [eqn: p+q={4}over{7}]

16 570

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = k]([eqn: k]는 자연수)라 하면

[eqn: k- 1over 2 < sqrt n < k + 1over 2]

[eqn: k^2 -k + 1over 4 < n < k^2 + k + 1over 4]

그런데 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: a_n = k]을 만족하는 [eqn: n]은 [eqn: k ^2 - k+1]부터 [eqn: k^2 +k]까지 모두 [eqn: 2k]개다. 즉,

[eqn: a_1 = a_2 = 1]

[eqn: a_3 = a_4 = a_5 = a_6 = 2]

[eqn: a _{7} =a _{8} =a _{9} =a _{10} =][eqn: a _{11} =a _{12} =3]

[eqn: vdots]

[eqn: a_73 = a_74 = `cdots` = a_90 = 9]

[eqn: sum _{n=1} ^{90} a _{n} =1 CDOT 2+2 CDOT 4+3 CDOT 6+ cdots+9 CDOT 18]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} k CDOT 2k][eqn: =2 sum _{k=1} ^{9} k ^{2}]

[eqn: =2 TIMES {9 cdot 10 cdot19} over {6}][eqn: =570]

[참고]

두 정수 [eqn: a], [eqn: b] ([eqn: a<b])에 대하여

[eqn: a<n<b]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a-1]

[eqn: a`le`n<b]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a]

[eqn: a<n leb]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a]

[eqn: a le n le b]을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b-a+1]

17 ②

[출제의도] 수열의 일반항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} = rm barOP_{it n}]이라 하자.

[eqn: y_n = a_n`` sin { n-1 }over{3} pi]에서

[eqn: y_1 =0], [eqn: y_2 >0], [eqn: y_3 >0], [eqn: y_4 =0], [eqn: y_5 <0], [eqn: y_6 <0], [eqn: y_7 =0], [eqn: cdots] 으로 [eqn: y_n]의 부호가 주기적으로 바뀐다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 몇 개의 항을 구하면

[eqn: a_1 = 1]	[eqn: a_2 = 1]	[eqn: a_3 = 1 over 2]
[eqn: a_4 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a_5 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a _{6} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} left( {4} over {3} right)]
[eqn: a _{7} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	[eqn: a _{8} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	...

으로 동경 [eqn: {rm OP}_1]에서 동경 [eqn: {rm OP}_7]까지 동경이 [eqn: 2 pi]만큼 회전하면 [eqn: a_7]은 [eqn: a_1]의  [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]배이다.

즉, [eqn: 2 pi]만큼씩 회전할 때마다 그 이전 길이의 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]배가 된다.

[eqn: a_n+6 = LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 a_n]인 관계가 성립하므로

[eqn: a _{50} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} a _{44} = ``CDOTS`` = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16} a _{2} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]

18 ④

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = bar { {rm OA}_n}], [eqn: b_n = bar { {rm OB}_n}]이라 하면

[eqn: a _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) a], [eqn: b _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) b]이므로

[eqn: S _{n} = {1} over {2} a _{n} b _{n} sin {pi } over {3} = {sqrt {3}} over {4} LEFT ( an+2-a RIGHT ) LEFT ( bn+2-b RIGHT )]

이다. 그런데

[eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {n ^{2}}} = lim _{n -> INF } {{sqrt {3}} over {4} LEFT ( a+ {2-a} over {n} RIGHT ) LEFT ( b+ {2-b} over {n} RIGHT )}]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4}ab=5 sqrt { 3}]

이므로 [eqn: ab=20]이다. 따라서 양의 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a`, ``b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 6]이다. 19 ③

출제의도] 수열을 귀납적인 방법을 이용하여 항의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{1} =1,```````b _{1} =1] 이고,

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n} ,``````b _{n+1} =a _{n}] 이므로

[eqn: a _{2} =2], [eqn: b _{2} =1]

[eqn: a _{3} =3], [eqn: b _{3} =2]

[eqn: a _{4} =5], [eqn: b _{4} =3]

[eqn: a _{5} =8], [eqn: b _{5} =5]

[eqn: a _{6} =13], [eqn: b _{6} =8]

[eqn: a _{7} =21], [eqn: b _{7} =13]

∴[eqn: a`_7 + b`_7 = 34]

[다른 풀이]

[eqn: a _{1} =1,```````b _{1} =1] 이고, [eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n} ,``````b _{n+1} =a _{n}] 이므로

[eqn: {pmatrix{a _{n+1}#b _{n+1}}} = {pmatrix{1``&1#1``&0}} {pmatrix{a _{n}#b _{n}}}]로 나타낼 수 있다. 이 때,

[eqn: A= pmatrix{1&`1#1&`0}] 이라 하면,

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{2&`1#1&``1}}], [eqn: A ^{3} = pmatrix{3&`2#2&`1}], [eqn: A ^{4} = pmatrix{5&`3#3&`2}],

[eqn: A ^{5} = pmatrix{8&`5#5&`3}], [eqn: A ^{6} = pmatrix{13&`8#8&`5}]이므로

[eqn: pmatrix{a _{7}#b _{7}} =A ^{6} it pmatrix{a _{1}#b _{1}} = pmatrix{13&8#8&5} pmatrix{1#1} = pmatrix{21#13}]

∴[eqn: a`_7 + b`_7 = 34]

20 ⑤

[출제의도] 로그함수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: T``=`0``]일 때 [eqn: P``=`4.8``]이므로 [eqn: a`+`{b}over{c}`=`log``4.8``]이다.

그런데 [eqn: log``4`<`log``4.8`<`log``5``]에서

[eqn: 2`log``2`<`log``4.8`<`1`-`log``2``]이므로

[eqn: 0.602`<`a`+` {b} over {c} `<`0.699``] (참)

ㄴ. [eqn: y=log`P``]라 하면 [eqn: y=a`+` {b} over {c`+`T``} ``]의 그래프는 점근선이 [eqn: T=-c], [eqn: y=a`]이다. 그런데 주어진 표를 이용하면 [eqn: T````]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값도 증가하므로 분수함수의 그래프는 그림과 같아야 한다.

∴ [eqn: b``<`0``] (참)

ㄷ. ㄴ의 [eqn: y=`a`+` {b} over {c`+`T} ``]의 그래프에서 [eqn: T```>`-c``]인 모든 실수 [eqn: T``]에 대하여 [eqn: y<a]이다.

∴ [eqn: logP<a]

따라서 [eqn: P``<`10` ^{a} ``]이다. (참)

21 ①

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n``]행에 있는 유리수들은

[eqn: 1 over 2^n], [eqn: {3} over {2 ^{n}}], [eqn: {5} over {2 ^{n}}], [eqn: cdots], [eqn: {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}]

이고, 분자를 나열한 수열이 첫째항이 [eqn: 1``]이고 공차가 [eqn: 2``]인 등차수열이므로 [eqn: n``]행의 총 항수를 [eqn: k``]라 하면 [eqn: 2k`-`1`=`2 ^{n} `-`1`]에서 [eqn: k`=`2 ^{n-1} ``]이다.

∴ [eqn: a _{n} `=` {2 ^{n} `-`1`} over {2 ^{n} ``}]

∴ [eqn: b_{n}`=` {1} over {2 ^{n}} ` TIMES ` {2 ^{n-1} ` LEFT { 1`+`(2 ^{n} `-`1`) RIGHT }} over {2} `][eqn: `=` {2 ^{n}} over {4} `]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {(2 ^{n} +1)a _{n}}}`]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{2 ^{n}} over {4}} over {(2 ^{n} +1) {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{2 ^{n} TIMES `2 ^{n}} over {4(2 ^{n} +1)(2 ^{n} -1)}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{4 ^{n}} over {4(4 ^{n} -1)} `]   [eqn: = lim _{n -> INF } {} {1} over {4` LEFT { 1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} = {1} over {4}]

22 [eqn: 120]

[출제의도] 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: a _{n} =2n-1`(n ge1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {LEFT ( `a _{n} +1` RIGHT ) LEFT ( `a _{n} +3` RIGHT )} = sum _{n=1} ^{24} {500} over {2n(`2n+2`)}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{24} {125} over {n(n+1)}]

[eqn: =125 sum _{n=1} ^{24} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )=120]

23 ③

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =3 ^{n-1}], [eqn: b _{n} =n(n-1)cdot cdots cdot 2 cdot 1 =n!]

[eqn: 1 LEQ n LEQ 4] 일 때 [eqn: a _{n} ge b _{n}]이므로 [eqn: c_n = b _{n}]

[eqn: n GEQ 5]일 때 [eqn: a _{n} <b _{n}]이므로 [eqn: c _{n} =a _{n}]

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: a _{n}]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 9]	[eqn: 27]	[eqn: 81]	[eqn: cdots]
[eqn: b _{n}]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 6]	[eqn: 24]	[eqn: 120]	[eqn: cdots]
[eqn: c _{n}]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 6]	[eqn: 24]	[eqn: 81]	[eqn: cdots]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{50} 2c _{n} =`2` LEFT ( sum _{n=1} ^{4} n!+ sum _{n=5} ^{50} 3 ^{n-1} RIGHT )]

[eqn: =2 `LEFT { 1+2+6+24+ {3 ^{4} (3 ^{46} -1)} over {3-1} RIGHT }]

[eqn: =3 ^{50}-15]

24 ②

[출제의도] 지수함수를 이해하고 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {\P}`(k`,``a^{k}`)`,``{\Q}`(k`,``a^{2k}`)`,``{\R}`(k`,``k`)``]라 하면

[eqn: k`=`2``]일 때 [eqn: a^{2k}`=`k``]이므로 [eqn: a^{4}`=`2``]

∴ [eqn: a`=`root{``4}of{2}``] (∵ [eqn: a`>`1`])

∴ [eqn: a ^{x} `=`2 ^{{x} over {4}} `],  [eqn: a ^{2x} `=`2 ^{{x} over {2}} `]

ㄱ. [eqn: k`=`4``]이면 [eqn: LEFT ( root{4}of{2} RIGHT )^{`8}`=`4``]이므로 [eqn: a^{2k}`=`k``]이다.

따라서 점 [eqn: rm Q]와 점 [eqn: rmR]는 일치한다. (참)

ㄴ. [eqn: bar{\PQ}`=` LEFT | `2^{{k}over{2}}`-`2^{{k}over{4}}`RIGHT |``=12``]이다.

이때 [eqn: 2 ^{{k} over {4}} `=`t``(t>0)]라 하면

[eqn: t ^{`2} `-`t`=`12``] 또는 [eqn: t ^{`2} `-`t`=`-12``]이다.

i) [eqn: t ^{`2} `-`t`=`12``]인 경우 [eqn: (t`-`4)(t`+`3)`=`0``]에서

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t=4]

∴ [eqn: 2^{{k}over{4}}`=`4``]

∴ [eqn: {k}over{4}`=`2`]

∴ [eqn: k`=`8``]

ii) [eqn: t ^{`2} `-`t`=`-12``]인 경우 [eqn: t ^{2} `-`t`+`12`=`0``]의 판별식이 음수이므로 [eqn: t>0] 조건을

만족시키는 실수 [eqn: t``]가 존재하지 않는다. 따라서, [eqn: k]도 존재하지 않는다.

i), ii)에 의하여 [eqn: k`=`8``]이므로 [eqn: {\Q}`(8`,``16`)``], [eqn: {\R}`(8`,``8`)``]

∴ [eqn: bar{\QR}`=`8``] (참)

ㄷ. [eqn: bar{\PQ}`=` LEFT | `2^{{k}over{2}}`-`2^{{k}over{4}}`RIGHT |``]에서 [eqn: 2^{{k}over{4}}`=`t``]([eqn: t`>`0``])라 하면 [eqn: bar{\PQ}`=`|`t^{`2}`-`t``|``]이다.

이때 [eqn: y`=` LEFT | t ^{2} `-`t` RIGHT | `=` LEFT | LEFT ( t`-` {1} over {2} RIGHT ) ^{`2} `-` {1} over {4} `` RIGHT | `]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: bar{rm PQ it} `=` {1} over {8} `]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: t]의 값은 3개이므로

실수 [eqn: k``]의 값도 [eqn: 3``]개이다. (거짓)

25 9

[출제의도] 그래프의 경로를 이해하는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 [eqn: rm P `, `Q `,` R] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 4]개, [eqn: rm P `, `Q `,`R,` Q] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 2]개, [eqn: rm Q`, `P `,`Q,` R] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 2]개, [eqn: rm R `, `Q `,` `P] 순으로 지나는 경로가 [eqn: 1]개로 모두 [eqn: 9]개다.

26 [eqn: 6]

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(k)= LEFT ( k-1 RIGHT ) n+n-k+1]

[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) k+1]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f(k)`=` sum _{k=1} ^{n} LEFT { (n-1)k+1 RIGHT }]

[eqn: =`(n-1) {n(n+1)} over {2} +n]

[eqn: = {1} over {2} n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: lim _{n -> INF } {{12 sum _{k=1} ^{n} f(k)} over {n ^{3}}} = lim _{n -> INF } {{6n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )} over {n ^{3}}} =6]

27 ④

연속된 네 개의 항이 처음으로 [eqn: 2,``0,``1,``0`]이 되는 때는 다음과 같이 자연수 [eqn: 1020`]과 [eqn: 1021`]의 각 자릿수를 나열할 때이다.

[eqn: 1,``2,``3,``4, ``CDOTS` ,``1,``0,``2,``0,``1,``0,``2,``1, ``CDOTS]

자연수 [eqn: 1020]이 나타날 때까지 나열된 자릿수의 개수는

한 자리 수의 자릿수 : [eqn: 9](개)

두 자리 수의 자릿수 : [eqn: 90 TIMES 2=180](개)

세 자리 수의 자릿수 : [eqn: 900 TIMES 3=2700](개)

네 자리 수의 자릿수 : [eqn: 20 TIMES4 =80](개)

이를 모두 더하면 [eqn: 9+180+2700+80=2969`]이다.

따라서 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 2969+3=2972]이다.

28 ②

주어진 조건에서 [eqn: a _{n} = sqrt {n ^{2} +1}]이다.

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {n ^{2} +2n+1} =n+1]이므로 [eqn: LEFT [ ``a _{n} ``RIGHT ]=n]이다.

[eqn: lim _{n` -> INF } {{LEFT [ `a _{`1} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`2} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`3} ` RIGHT ] `+` CDOTS `+ LEFT [ `a _{`n} ` RIGHT ]} over {n ^{`2}}} `]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{1+2+3+` CDOTS` +n} over {n ^{2}}}][eqn: = lim _{n` -> INF } {{{n(n+1)} over {2}} over {n ^{2}}}]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{n(n+1)} over {2n ^{2}}} = {1} over {2}]

29 ②

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: b _{1} +b _{3} +b _{5} + `CDOTS` +b _{15} +b _{17}]

[eqn: =log `_{3}` a+log `_{3}` ar ^{2} +log `_{3} `ar ^{4} + `CDOTS `+log ` _{3}` ar ^{14} +log ` _{3} `ar ^{16}]

[eqn: =log `_{3} `a ^{9} r ^{72} =9log ` _{3}` ar ^{8} =36]

∴ [eqn: ar ^{8} =3 ^{4}] … ㉠

[eqn: b _{2} +b _{4} +b _{6} + `CDOTS `+b _{16} +b _{18}]

[eqn: =log `_{3}` ar+log `_{3}` ar ^{3} +log `_{3}` ar ^{5} +` CDOTS` +log ` _{3} `ar ^{15} +log `_{3} `ar ^{17}]

[eqn: =log _{3} a ^{9} r ^{81} =9log _{3} ar ^{9} =45]

∴ [eqn: ar ^{9} =3 ^{5}] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r=3,```a= {1} over {81}]이므로 [eqn: a _{n} =3 ` ^{n-5}]이다.

∴ [eqn: a _{11} =3 ` ^{11-5} =3^6]

30 ③

ㄱ. [eqn: (AB`A) ^{2} =(AB`A)`(AB`A)=AB`A ^{2} B`A]

[eqn: =AB`` ^{2} A=A ^{2} =E] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= LEFT ( matrix{```````1&```````1`#`-1&-1`} RIGHT )], [eqn: B``= LEFT ( matrix{`2&````-1`#`4&````-2`} RIGHT )]라 하면

[eqn: A ^{2} =B ^{`2} =O`]이지만 [eqn: AB`` != O`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: A ^{2} +2`A+E=O`], 즉 [eqn: A `left(- A-2E` right)=E`]이므로 행렬 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

[eqn: AB=A`]의 양변에 [eqn: A ^{-1} `]을 곱하면 [eqn: B``=E`] (참)

31 ⑤

[eqn: n=4k-2 `]([eqn: k=2,`3,`cdots `])일 때, 점 [eqn: rm A it rm _{`it n rm} `]은 제 [eqn: 1`]사분면에 있다.

[eqn: rm A _{`6} (`3,```2`),``` rm A _{`10} (`5,```4`),```rm A _{`14} (`7,```6`),``cdots`,``]

[eqn: rm A it rm _{`it 4k-2 rm} (2k-1`,``2k-2) `]

따라서 [eqn: rmA _50 ( 25,`24)`]이므로 [eqn: p+q = 49 `]이다.

32 ①

[eqn: A ^{2} -2A=A(A-2E``)=E] … ㉠

[eqn: A LEFT ( {1} over {2} B` RIGHT ) `=E] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A ^{-1} =A - 2E```={1} over {2} B]

∴ [eqn: B```=2A-4E]

행렬 [eqn: B ``]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2×7 -4×2 =6]이다.

33 [eqn: 101]

[eqn: rm bar{P _{it n rm} `P _{it n+1 rm}} =it a _{n}]이라 하면 규칙 (다)에서

[eqn: a _{n} = {n-1} over {n+1} a _{n-1}] [eqn: cdots] ㉠

㉠의 [eqn: n]대신 [eqn: 2,``3,``4, `CDOTS` ,`n]을 차례로 대입하면

[eqn: a _{2} = {1} over {3 } a _{1}], [eqn: a _{3} = { 2} over {4} a _{2}], [eqn: a _{4} = {3} over {5 } a _{3}], [eqn: CDOTS] , [eqn: a _{n} = { n-1} over {n+1 } a _{n-1}]

위의 식을 각 변끼리 곱하여 약분하면

[eqn: a _{n} =a _{1`} TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {4} TIMES {3} over {5} TIMES ` CDOTS ` TIMES {n-2} over {n} TIMES {n-1} over {n+1} = {2} over {n(n+1)}]

따라서 [eqn: S _{n} = {1} over {2} a _{n} = {1} over {n(n+1)}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{50} S _{k} = sum _{k=1} ^{50} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) = {50} over {51}]

∴ [eqn: p+q=101]

34 [eqn: 6]

[eqn: log`n = alpha `]라 하면 [eqn: 1<n<10]이므로 [eqn: 0< alpha<1]이다.

[eqn: log` {1} over {n}][eqn: =`-log`n=` - alpha = `-1+(1- alpha)]

[eqn: log`n^2][eqn: =2`log`n =2 `alpha]

(ⅰ) [eqn: 0< alpha< 1over2 `]일 때,

[eqn: 1- alpha >2 alpha`]이므로 [eqn: 0< alpha< 1over3]

따라서 [eqn: 0<log`n< 1over3 `]이므로 [eqn: 1<n< root {3} of {10}]

∴ [eqn: n= 2]

(ⅱ) [eqn: 1over2 <= alpha <1`]일 때,

[eqn: 1- alpha >2 alpha-1`]이므로 [eqn: 1over2 <= alpha < 2over3]

따라서 [eqn: 1over2 <= log`n < 2over3 `]이므로 [eqn: sqrt {10} <= n< root {3} of {100}]

∴ [eqn: n=4]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 2+4=6`]이다.

35 ②

[eqn: a _{`1} +a _{`2} +a _{`3} +`` CDOTS ``+a _{`n}]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )+ LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) (3``․``4`a _{`2} )+ LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} RIGHT ) (5``․``6`a _{`3} )]

[eqn: +`` CDOTS ``+ LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { (2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +5``․``6`a _{`3} )][eqn: + ``cdots]

[eqn: + LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { 1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +`` CDOTS ``+(2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: >= LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) +2 `LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT )]

[eqn: +3 `LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT )+`` CDOTS ``+n` LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]

[eqn: =1- {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {4} + {1} over {5} - {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} - {1} over {2n}]

[eqn: =1+ {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} + {1} over {2n}]

[eqn: -2 `LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]  (나) [eqn: n `LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]

(다) [eqn: 2` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

36 [eqn: 102]

행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{``````0&```1#-1&``1} RIGHT )]에서 [eqn: A ^{3} =`-E``]이므로 [eqn: A ^{6} =E``]이다.

따라서 다음 등식이 성립한다.

[eqn: A=A ^{7} =A ^{13} = `cdots`=A^97]

[eqn: A^2 =A^8 =A^14 =`cdots`=A^98]

[eqn: A^3 =A^9 =A^15 =`cdots`=A^99]

[eqn: A^4 =A^10 =A^16 =`cdots`=A^100]

[eqn: A^5 =A^11 =A^17 =`cdots`= A^95]

[eqn: A^6 =A^12 =A^18 =`cdots`=A^96]

즉, [eqn: A ^{m} =A ^{n}]이 성립하려면 [eqn: |``m-n``|`]의 값이 [eqn: 6]의 배수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: |``m-n``|`]의 최댓값은 [eqn: 96], 최솟값은 [eqn: 6]이다.

∴ [eqn: p```+q`` =96+6=102]

37 ③

ㄱ. [eqn: f(2010)=f(0.201)=log`2.01`](참)

ㄴ. (반례) [eqn: x=10], [eqn: y= sqrt { 10}]이면 [eqn: f LEFT ( {x} over {y} RIGHT ) = 0.5],

[eqn: f(x)-f(y)=`-0.5]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f(x)+f(y)=0`]이므로 [eqn: f(x) = f(y) =0`]이다. 따라서 [eqn: x=10 ^{`m}], [eqn: y=10 ^{`n}`]([eqn: m], [eqn: n`]은 정수)이다. 그런데 [eqn: x>1], [eqn: y>1`]이므로 [eqn: x], [eqn: y`]는 모두 정수이다. (참)

38 [eqn: 181]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 제[eqn: n]항을 제([eqn: 2n-1])행에 나열된 모든 자연수의 평균이라 하자.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 각 항은 [eqn: 1,~5,~13,``~25,~41,~61,] … 이므로 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 계차수열은 첫째 항이 [eqn: 4`]이고 공차가 [eqn: 4]인 등차수열을 이룬다.

따라서 [eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 4k=1+2n(n-1)=2n ^{2} -2n+1]에서 [eqn: a _{10} =181]이므로 제[eqn: 19`]행에 나열된 수들의 평균은 [eqn: 181`]이다.

39 ①

주어진 규칙에 따라 각 항의 값을 구하면

[eqn: a _{`1} =6`], [eqn: a _{`2} =15=3`a _{`1} -3]

[eqn: a _{`3} =3`a _{`2} -3]

…

이므로 [eqn: a _{`n+1} =3`a _{`n} -3`]이 성립함을 알 수 있다.

[eqn: a _{`n+1}- 3over2 =3 `left(a _{`n} - 3over2 right)`]에서

[eqn: a _{`n} - {3} over {2} = LEFT ( a _{`1} - {3} over {2} RIGHT ) ``․``3 ^{`n-1}]

∴ [eqn: a _{`n} = {3} over {2} (3 ^{`n} +1)]

따라서 [eqn: a _{`5} = {3} over {2} (3 ` ^{5} +1) = 366`]이다.