◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2011학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						3

‘가’형

수리 영역

‘가’형

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수리 영역

‘가’형

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: log` _{3} 12`-`log` _{3} {4} over {27} `]의 값은? [2점]

① [eqn: log` _{3} `16]	② [eqn: log` _{3} `21`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: log` _{3} `90]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{1&```-1#`1`&```-1}], [eqn: B= pmatrix{`0&```1`#`1&```0`} ``]에 대하여 [eqn: X+AB=B```]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: lim _{x -> 3} { {x ^{2} -3x} over {sqrt {x+1} -2} `}]의 값은? [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 12]

4. [eqn: 0 LEQ x < 2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: 2`cos2x=1+cosx`]의 모든 실근의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: {3 } over {2 } pi]	③ [eqn: 2 pi]	④ [eqn: { 5} over { 2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

5. 삼차부등식 [eqn: left(`x-a ^{2} `+2a`right)` left(`x-a ^{2} `+4a`right)`left(x-a ^{2} `+6a right)``>`0`]의 해가 [eqn: 8`<`x``<`12], [eqn: x>16`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

6. 함수 [eqn: f(`x`)`=`(`x-1`)`e ^{x}] [eqn: (`x>0)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(`x`)`] 위의 점 [eqn: left(`e ^{2} ,```2` right)``]에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: 1 over 2e^ 2]	② [eqn: 1 over 2e]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 2e^2]

7. 그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원이 있다. 원의 둘레를 [eqn: 10`]등분하여 각 등분점을 시계 방향으로 차례로 [eqn: RMP _{1}], [eqn: rm P _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: RM P _10 `]이라 할 때, 다음 중 [eqn: rm bar{P _{1} `P _{2}} ` CDOT ` bar{P _{1} P _{4}} `CDOT ` bar{P _{1} P _{5}} `]의 값과 같은 것은? [3점]

① [eqn: 2`sin {` pi } over {10}]	② [eqn: sin {` pi } over {5}]	③ [eqn: 2`sin {` pi } over {5}]

④ [eqn: sin {`2} over {5} pi]	⑤ [eqn: 2`sin {2`} over {5} pi]

8. 연속함수 [eqn: f` LEFT ( `x` RIGHT ) ``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x+5`)=f`(`x`)]

(나) [eqn: f` LEFT ( `x` RIGHT ) `= cases{&2x+a&`(`-2 LEQ x<1`)#&x ^{2} +bx+3&`(`1 LEQ x LEQ 3`)} `]

이때, [eqn: f` LEFT ( `2011` RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

9. 양의 정수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: log``n``]의 지표를 [eqn: f`(`n`)``], 가수를 [eqn: g`(`n`)``]이라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 [eqn: n``]의 개수는? [3점]

(가) [eqn: f`(`3`)`<`f`(`n`)`<`f`(`2011`)``]

(나) [eqn: LEFT { `g`(`n`) RIGHT } ^{2} `-`g`(`n`)`+`log`2`․`log`5``<0``]

① [eqn: 326]	② [eqn: 328]	③ [eqn: 330]	④ [eqn: 332]	⑤ [eqn: 334]

10. 두 행렬

[eqn: A```=` pmatrix{``log _{``2} `(`x`+1`)`&````log` _{2} `(`y`-3`)`#-`1`&```1`} ``], [eqn: B```=` pmatrix{``1`+`log` _{3} `x``&``1`#`log` _{`3} `y`&``1`} ``]

에 대하여 [eqn: A``]의 역행렬이 존재하지 않고, [eqn: B``]의 역행렬도 존재하지 않을 때, 두 실수 [eqn: x], [eqn: y`]의 곱 [eqn: x`y``]의 값은? [3점]

① [eqn: {11}over{3}``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: {13}over{3}``]	④ [eqn: {14}over{3}``]	⑤ [eqn: 5``]

11. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,~B```]에 대하여 [eqn: A+B```=E``], [eqn: AB```=`-E```]가 성립할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A ^{2} `+B`` ^{2} =`3E] ㄴ. [eqn: A ^{n+2} +B ^{`n+2} =A ^{n+1} +B ^{`n+1} +A ^{n} +B ^{`n}] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS `]) ㄷ. [eqn: A ^{9} +B ^{`9} `=76E````]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. [eqn: x]에 대한 분수방정식 [eqn: {1} over {`x-1`} `- {1} over {`x+1`} `= {a} over {`2x ^{2`}}]의 실근이 존재하지 않도록 하는 정수 [eqn: a``]의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

13. 액체의 끓는 온도 [eqn: T``]([eqn: ° rm C``])와 증기압력 [eqn: P``]([eqn: rm mmHg`]) 사이에

[eqn: log`P```=`a``+` {b} over {`c``+T``} `] ([eqn: a,``b,``c``]는 상수이고 [eqn: T```>`-c``])

인 관계가 성립한다. 표는 어떤 액체의 끓는 온도에 대한 증기압력을 나타낸 것이다.

끓는 온도([eqn: ° rm C``])	[eqn: 0``]	[eqn: 5`]	[eqn: 10`]
증기압력([eqn: \mmHg`])	[eqn: 4.8``]	[eqn: 6.6``]	[eqn: 8.8``]

이 표를 이용하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: log``2`=`0.301`]로 계산한다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 0.602`<`a`+` {b} over {c} `<`0.699``] ㄴ. [eqn: b`<`0``] ㄷ. [eqn: P``<`10` ^{a} ``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. 그림과 같이 지수함수 [eqn: y``=a` ^{x} `]와 [eqn: y``=a` ^{2x} ``]의 그래프는 직선 [eqn: y``=`x``]와 각각 서로 다른 두 점에서 만난다. [eqn: y``=a` ^{x} `]의 그래프, [eqn: y``=a` ^{2x} ``]의 그래프와 직선 [eqn: x``=`k`]의 교점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하고 직선 [eqn: y``=`x`]와 직선 [eqn: x`=`k`]의 교점을 [eqn: rm R``]라 하자.

[eqn: k``=`2``]이면 두 점 [eqn: rm Q`]와 [eqn: rm R``]가 일치할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a``>`1``]) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: k``=`4``]이면 두 점 [eqn: rm Q`]와 [eqn: rm R``]가 일치한다. ㄴ. [eqn: bar{rm PQ it} ``=`12``]이면 [eqn: bar{\QR}`=`8``]이다. ㄷ. [eqn: bar{rm PQ it} ``=` {1} over {8} ``]을 만족시키는 실수 [eqn: k``]의 값의 개수는 [eqn: 2``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 그림과 같이 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PR`} =2]이고 [eqn: rm ANGLE QPR=90°]인 삼각형 [eqn: rm PQR]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PQ`], [eqn: rm QR`], [eqn: rm RP`]의 접점을 각각 [eqn: rm P_1], [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm R _{1}]이라 하자. 또, 삼각형 [eqn: rm PP _{1} R _{1}]의 내접원과 세 변 [eqn: rm PP _{1} `], [eqn: rm P _{1} R _{1} `], [eqn: rm R _{1} P`]의 접점을 각각 [eqn: rm P _{2}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 세 점 [eqn: rm P _{it n rm}], [eqn: rm Q _{it `n rm}], [eqn: rm R _{it `n rm}]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm P _{it n` rm} Q _{it `n` rm} R _{it `n rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {p+q sqrt {2}}]를 만족시키는 두 유리수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over 7]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 3over7]	④ [eqn: 4over7]	⑤ [eqn: 5over7]

16. 닫힌구간 [eqn: [`-1], [eqn: 2`]`]에서 정의된 두 함수 [eqn: y`=f`(`x`)`], [eqn: y`=g(`x`)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x -> -0} {f`(`x`)=`-1}] ㄴ. 함수 [eqn: f`(`x`)+g`(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( `f CIRC g` RIGHT ) (`x`)`]는 열린구간 [eqn: LEFT ( `-1,```2` RIGHT )]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 다음은 자연수 [eqn: n``]에 대하여 등식

[eqn: sum _{i=1} ^{2n-1} LEFT { `i+ LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} ` RIGHT } = LEFT ( `n-1` RIGHT ) ^{3} +n ^{3}] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1+0 ^{2} =0 ^{3} + 1 ^{3}] 이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때, (*)이 성립한다고 가정하고,
[eqn: n=k+1]일 때 (*)이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{i=1} ^{2k+1} LEFT ( `i+k ^{2} ` RIGHT )] [eqn: = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { `i+ LEFT ( `k-1` RIGHT ) ^{2} ` RIGHT } `+ sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( `2k-1` RIGHT ) +]

(가)

[eqn: =]
그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

(나)

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(`k`)``], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(`k`)``]라 할 때, [eqn: {g(`4`)} over {f(`4`)} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: {23} over {7}]	② [eqn: {24} over {7}]	③ [eqn: {25} over {7}]	④ [eqn: {26} over {7}]	⑤ [eqn: 27 over 7]

18. 곡선 [eqn: y``=x ^{3} ``-3`x ^{2} +2x``]에 기울기가 [eqn: m``]인 접선을 두 개 그었을 때, 두 접점을 [eqn: rm P], [eqn: rm Q``]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rm P], [eqn: rm Q``]는 서로 다른 점이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]의 [eqn: x`]좌표의 합은 [eqn: 2`]이다. ㄴ. [eqn: m``>`-1] ㄷ. 두 접선 사이의 거리와 [eqn: bar{rm PQ it} `]가 같아지는 실수 [eqn: m``]이 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 자연수 [eqn: `n`]에 대하여 다음과 같이 제[eqn: `n`]행에 [eqn: 0``]과 [eqn: 1``]사이의 유리수 중에서 분모는 [eqn: 2` ^{n} ``]이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다.

제[eqn: `1`]행	[eqn: {1}over{2}`]

제[eqn: `2`]행	[eqn: {1}over{4}`], [eqn: {3}over{4}``]

제[eqn: `3`]행	[eqn: {1}over{8}`], [eqn: {3}over{8}`], [eqn: {5}over{8}`], [eqn: {7}over{8}``]

⋮　　　　　　	⋮

제[eqn: `n`]행의 마지막 수를 [eqn: a` _{n} `], 제[eqn: `n`]행의 모든 수의 합을 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {LEFT ( `2` ^{n} +1` RIGHT ) `a _{n}}}]의 값은? [4점]

①　[eqn: 1over4]	②　[eqn: 1over2]	③　[eqn: 1]	④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 4]

20. 그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 사분원 [eqn: rm OAB``]에 대하여 각 [eqn: rm AOB``]를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 [eqn: rm C``]라 하자. 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q``]는 점 [eqn: rm C``]에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: {pi } over {36} ``]의 일정한 속력으로 움직인다. 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q``]가 점 [eqn: rm C``]에서 출발하여 [eqn: t``]초[eqn: `(0<t<9)`]가 되는 순간, 선분 [eqn: rm PQ``]를 한 변으로 하고 사분원 [eqn: rm OAB``]에 내접하는 직사각형의 넓이를 [eqn: S`(`t`)``]라 하자. 출발한 지 [eqn: 6``]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S`(`t`)``]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

① [eqn: {1- sqrt {3} } over {36} pi]	② [eqn: {1- sqrt {3} } over {72} pi]	③ [eqn: { sqrt {3}-1 } over {72} pi]

④ [eqn: { sqrt {3}-1 } over {36} pi]	⑤ [eqn: { sqrt {3} } over {36} pi]

21. 좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O``]와 점 [eqn: rm P _{1} (`1,``0`)`]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 점 [eqn: rm P _{it n rm} it LEFT ( `x _{n} `,```y _{n} ` RIGHT )]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 동경 [eqn: rm OP _{it n}]이 나타내는 각의 크기는 [eqn: {`n-1` } over {3}pi]이다.

(나) [eqn: bar{{rm OP} _{n+1}} = cases{&{1} over {2} ` bar{{rm OP} _{n}} `&(`y _{n} >0)#&bar{{rm OP} _{n}} `~~~``&(`y _{n} =0)#&{4} over {3} bar{{rm OP} _{n}} ``````&(`y _{n} <0)} ``]

[eqn: bar{{rm OP}` _{50}}]의 값은? [4점]

① [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{8}]	② [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]	③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{7}]

④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{14}]	⑤ [eqn: {1} over {4} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{8}]

단답형

22. [eqn: root {n} of {2} times root {n} of {8} `` = root 8 of 2 `]를 만족시키는 자연수 [eqn: n``]의 값을 구하시오.

[3점]

23. 방정식 [eqn: 3` ^{x} - sqrt {3` ^{x} +2`} `=`4`]의 실근을 [eqn: alpha `]라 할 때, [eqn: 9` ^{alpha } `]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: alpha - beta ```= {pi } over {3} ``]일 때, [eqn: sin` alpha ``+cos` alpha +sin` beta ``+cos` beta ``]의 최댓값을 [eqn: M`]이라 하자. [eqn: M`` ^{2} ``]의 값을 구하시오. [3점]

25. 그림과 같이 좌표평면 위의 원점을 지나는 서로 다른 두 직선 [eqn: l`], [eqn: m``]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta ``]라 하자. 반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 3``]인 두 원 [eqn: rm C` _{1}], [eqn: rm C` _{2} ``]가 제[eqn: `1`]사분면 위에서 두 직선 [eqn: l`], [eqn: m``]에 동시에 접하고 [eqn: rm bar {`C_1 C_2} `` = 2 root 10]일 때, [eqn: 120 `tan theta``]의 값을 구하시오. [3점]

26. 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x`)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y``]에 대하여

[eqn: f`(`x+y`)=f`(`x`)f`(`y`)+4f`(`x`)+4f`(`y`)+12]

(나) [eqn: f`(`ln2`)=0``], [eqn: f`` prime (`0`)=2``]

이때, [eqn: f`` prime (`ln2`)`]의 값을 구하시오. [3점]

27. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2``]인 선분 [eqn: rm AB``]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: rm AB``]의 중점 [eqn: rm O`]와 반원 위를 움직이는 점 [eqn: rm C``]에 대하여 부채꼴 [eqn: rm OBC``]에 내접하는 원을 [eqn: rm `O _{1}], 현 [eqn: rm BC``]와 호 [eqn: rm BC``]로 둘러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을 [eqn: rm O _{2} ``]라 하자. [eqn: angle rm ABC = theta``]라 하고 두 원 [eqn: rm `O _{1} `], [eqn: rm O _{2} `]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: f`(` theta `)], [eqn: g`(` theta `)``]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> {pi } over {2} -0} {{g`(` theta `)} over {LEFT { f`(` theta `) RIGHT } ^{2}} = {q} over {p}}]이다. [eqn: p` ^{`2} +q` ^{`2} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: cosx```= {1} over {(2n-1) pi } x] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS ``])의 양의 실근의 개수를 [eqn: a` _{n} ``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {` LEFT ( a _{n`} +1 RIGHT ) LEFT ( a _{n} +3 RIGHT )} ``]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같은 그래프가 있다. 이 그래프의 꼭짓점 [eqn: rm A``]에서 꼭짓점 [eqn: rm B``]로 가는 경로 중에서 세 꼭짓점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R``]를 모두 지나는 것의 개수를 구하시오. [4점]

30. [eqn: n`]차 정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`i,``j`)] 성분 [eqn: a _{ij}``]를

[eqn: a _{ij} `=(`i-1`)`n+j] (단, [eqn: 1 LEQ i LEQ n], [eqn: 1 LEQ j LEQ n])

이라 하자. [eqn: n``]이하의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f(`k`)`]를 행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`k`,``n-k+1`)] 성분이라 할 때, [eqn: 12 `lim _{n -> ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} f(`k`)} over {n ^{3}}}] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: n``]은 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.