<2012학년도> [3학년 이과]	3개년 9월 수능모의 3학년 ( )반 ( )번 이름 :	점 수

1 그림은 [eqn: bar{AC} = bar{AE} = bar{BE}]이고
[eqn: ANGLE DAC=ANGLE CAB=90 DEG]인 사면체의 전개도이다.

이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점 [eqn: D,``E,``F]가 합쳐지는 점을 [eqn: P]라 하자. 사면체 [eqn: PABC]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점]

<보 기>

ㄱ. [eqn: bar{CP} = sqrt {2} ` BULLET ` bar{BP}]

ㄴ.직선[eqn: AB]와 직선 [eqn: CP]는 꼬인 위치에 있다.

ㄷ.선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: M]이라 할 때, 직선 [eqn: PM]과 직선 [eqn: BC]는 서로 수직이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2 어느 지역 학생들의 1일 인터넷 사용시간 [eqn: X]는 평균이 [eqn: m]분, 표준편차가 30분인 정규분포를 따른다. 이 지역 학생들을 대상으로 9명을 임의추출하여 조사한 1일 인터넷 사용시간의 표본평균을 [eqn: bar { X}]라 하자.
함수 [eqn: LEFT. G(k RIGHT ) ,``H LEFT ( k RIGHT )]를
[eqn: G LEFT ( k RIGHT ) =P LEFT ( X LEQ m+30k RIGHT )]
[eqn: H LEFT ( k RIGHT ) =P LEFT (` bar X GEQ m-30k RIGHT )]
라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점]

<보 기>

ㄱ. [eqn: G LEFT ( 0 RIGHT ) =H LEFT ( 0 RIGHT )]	ㄴ. [eqn: G LEFT ( 3 RIGHT ) =H LEFT ( 1 RIGHT )]

ㄷ. [eqn: G LEFT ( 1 RIGHT ) +H LEFT ( -1 RIGHT ) =1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3 구간 [eqn: LEFT [ 0,`` {pi } over {2} RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은? [4점]

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =1]

(나) [eqn: cos`x` int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sinx` int _{x} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} ` LEFT ( 단,`0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]

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① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

4 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x]로 나눈 몫을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x=0]이 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,`` beta ,`` gamma]를 갖는다.

(나) [eqn: x=3]일 때 극값 [eqn: 7]을 갖는다.

(다) [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =5]

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<보 기>

ㄱ. [eqn: alpha ,`` beta ,`` gamma]는 방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) -x=0]의 근이다.

ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x]	ㄷ. [eqn: g`' LEFT ( 3 RIGHT ) =1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5 첫째항이 [eqn: 12``]이고 공비가 [eqn: 1 over 3 ``]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}``]에 대하여 수열 [eqn: left{b_n right}``]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[eqn: lim_n->inf b_n ``]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: b_1 =1]

(나) [eqn: n>=1``]일 때, [eqn: b_n+1 ``]은 점 [eqn: P_n ``left(-b_n `,```b_n`^2 right)``]을
지나고 기울기가 [eqn: a_n ``]인 직선과 곡선 [eqn: y=x^2 ``]의
교점 중에서 [eqn: P_n ``]이 아닌 점의 [eqn: x``]좌표이다.

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6 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 점 [eqn: A]가 있고, [eqn: alpha]로부터의 거리가 각각 [eqn: 1,``3]인 두 점 [eqn: B,``C]가 있다. 선분 [eqn: AC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점[eqn: P]에 대하여 [eqn: bar{BP} =4]이다. 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이가 9일 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: S ^{2}]의 값을 구하시오.[4점]

7 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x`sinx````` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]에 대하여 이 곡선과 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 이 곡선과 직선 [eqn: x=k], 직선 [eqn: y= {pi } over {2}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을　때, 상수 [eqn: k]의 값은?(단, [eqn: 0 LEQ k LEQ {pi } over {2}])[4점]

① [eqn: {pi } over {4} - {1} over {pi }]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {2} - {2} over {pi }]

④ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {pi }]	⑤ [eqn: {pi } over {2} - {1} over {pi }]

8 평면에 있는 사각형 [eqn: ABCD]가
[eqn: bar{AB} = bar{AD} =1,````` bar{BC} = bar{CD} = bar{DB}]
를 만족시킨다. [eqn: ANGLE DAB= theta]라 할 때, 사각형 [eqn: ABCD]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: 60sin ^{2} theta]의 값을 구하시오.[4점]

9 좌표공간에 두 점 [eqn: A LEFT ( 0,`-1,`1 RIGHT ) ,````B LEFT ( 1,`1,`0 RIGHT )]이 있고, [eqn: xy]평면 위에 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =13]이 있다. 이 원 위의 점 [eqn: LEFT ( a,`b,`0 RIGHT ) `````` LEFT ( a<0 RIGHT )]을 지나고 [eqn: z]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: AB]와 만날 때, [eqn: a+b]의 값은?[4점]

① [eqn: - {47} over {10}]	② [eqn: - {23} over {5}]	③ [eqn: - {9} over {2}]

④ [eqn: - {22} over {5}]	⑤ [eqn: - {43} over {10}]

10 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {12} - {y ^{2}} over {8} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]에서의 접선이 타원 [eqn: {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]의 넓이를 이등분할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.[4점]

11 행렬 [eqn: A= pmatrix { `1```&```1` # `a```&```a` }``]와 이차정사각행렬 [eqn: B``]가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A+B``]의 [eqn: (1,```2)``]성분과 [eqn: (2,```1)``]성분의 합은?[4점]

(가) [eqn: B` pmatrix { ````````1` # `-1` }``= pmatrix { `0` # `0` }``]이다.

(나) [eqn: AB=2A``]이고, [eqn: BA=4B``]이다.

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① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

12 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 [eqn: a_1 =1``]이고,
[eqn: a_n+1 = {3a_n -1} over {4a_n -1} `````(n>=1)]
을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n `]을 구하는 과정의 일부이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)``]이라 할 때, [eqn: f(14) times g(5)``]의 값은? [4점]

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: 4a_n+1 -1 = 4 times {3a_n -1} over {4a_n -1} -1 =2- 1 over {4a_n -1}]

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}``]을
[eqn: b_1 =1], [eqn: b_n+1 =left(4a_n -1 right)`b_n ````(n>=1)```cdotscdots```(*)]
이라 하면,
[eqn: vdots]
[eqn: b_n+2 -b_n+1 =b_n+1 -b_n ``]이다.
즉, [eqn: left{b_n right}``]은 등차수열이므로 [eqn: (*)``]에 의하여
[eqn: b_n = ``box{`````(가)`````}``]이고, [eqn: a_n =``box{`````(나)`````}``]이다.

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① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

13 자연수 [eqn: n``]에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a_n ``]이라 하자.

예를 들어 [eqn: a_1 =12``]이다. [eqn: sum from k=1 to 7 a_k``]의 값을 구하시오.[4점]

(가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고,
두 대각선의 교점은 [eqn: left(n,```2^n right)``]이다.

(나) 정사각형과 그 내부에 있는 점 [eqn: (x,```y)``]중에서
[eqn: x``]가 자연수이고, [eqn: y=2^x``]을 만족시키는 점은
[eqn: 3``]개뿐이다.

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14 같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: A], [eqn: B], 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: C], 직선 [eqn: n] 위의 점 [eqn: D]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: barAB`=2sqrt2], [eqn: barCD=3]

(나) [eqn: barAC` BOT l], [eqn: barAC`=5]

(다) [eqn: barBD` BOT l], [eqn: barBD`=4sqrt2]

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두 직선 [eqn: m], [eqn: n]을 포함하는 평면과 세 점 [eqn: A], [eqn: C], [eqn: D]를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 15tan ^{2} theta]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( 단,`0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

15 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고, [eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) a _{k}] [eqn: LEFT ( n>=2 RIGHT )]를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식으로부터 [eqn: a _{2} =7]이다.

자연수 [eqn: n] [eqn: LEFT ( n>=3 RIGHT )]에 대하여

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) a _{k} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) a _{k} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n-1}]

[eqn: =n ^{2} +a _{n-1} - BOX{``(가)``} `+ LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n-1}]이므로,

[eqn: a _{n} +1=2n LEFT ( a _{n-1} +1 RIGHT )]이 성립한다. 따라서

[eqn: a _{n} +1=n`times LEFT ( n-1 RIGHT ) times`cdots`times3times BOX{``(나)``} times LEFT ( a _{2} +1 RIGHT )]

[eqn: =4timesn!times BOX{``(나)``}]이다.

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위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT ) timesg LEFT ( 9 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 2 ^{13}]	② [eqn: 2 ^{14}]	③ [eqn: 2 ^{15}]

④ [eqn: 2 ^{16}]	⑤ [eqn: 2 ^{17}]

16 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 폐구간 [eqn: [0,`1]]을 [eqn: n]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례대로 [eqn: 0=x _{0} ,`x _{1} ,`x _{2} ,`cdots,`x _{n-1} ,`x _{n} =1]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: n=2m]([eqn: m]은 자연수)이면 [eqn: sum _{k=0} ^{m-1} {f LEFT ( x _{2k} RIGHT )} over {m} <= sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} LEFT { {f LEFT ( x _{k-1} RIGHT ) +f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {2} RIGHT } = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n} <= int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} <= sum _{k=1} ^{n} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ   ⑤ ㄴ, ㄷ

17 함수 [eqn: y=log` _{2} 4x]의 그래프 위의 두 점 [eqn: A,`B]와 함수 [eqn: y=log` _{2} x]의 그래프 위의 점 [eqn: C]에 대하여, 선분 [eqn: AC]가 [eqn: y]축에 평행하고 삼각형 [eqn: ABC]가 정삼각형일 때, 점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( p,`q RIGHT )]이다. [eqn: p ^{2} times2 ^{q}]의 값은?

① [eqn: 6sqrt3]	② [eqn: 9sqrt3]	③ [eqn: 12sqrt3]

④ [eqn: 15sqrt3]	⑤ [eqn: 18sqrt3]

18 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {a} over {3} x ^{3} -ax+a] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이 있다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =g`' LEFT ( x RIGHT ) `]를 만족시키고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =a+1]이다. 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 두 직선 [eqn: x=-1`], [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 [eqn: 50pi]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

19 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]에 접할 때, 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: P _{n}], [eqn: Q _{n}]이라 하자. [eqn: l _{n} =bar{P _{n} Q _{n}]이라 할 때,

[eqn: lim _{n->inf} {{l _{n}} over {2n ^{2}}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

20 평면에서 그림과 같이 [eqn: barAB`=1]이고 [eqn: barBC`=sqrt3]인 직사각형 [eqn: ABCD]와 정삼각형 [eqn: EAD] 가 있다. 점 [eqn: P]가 선분 [eqn: AE] 위를 움직일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: LEFT | vecCB`-vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. [eqn: vecCA`·vecCP]의 값은 일정하다.

ㄷ. [eqn: LEFT | vecDA`+vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다.

① ㄱ  ② ㄷ    ③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 [eqn: ABC=E]이고 [eqn: ACB=E]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: E]는 단위행렬이다.)

[보 기]

ㄱ. [eqn: A=E] 이면 [eqn: B=E] 이다.

ㄴ. [eqn: AB=BA]

ㄷ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A ^{n} B ^{n} C ^{n} =E] 이다.

① ㄴ  ② ㄷ   ③ ㄱ, ㄴ   ④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

22 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{0} A _{1} B _{1}]이 있다. 점 [eqn: A _{1`}]에서 선분 [eqn: A _{0} B _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B _{2}]라 하고, 선분 [eqn: A _{0} A _{1}]위의 [eqn: bar{A _{1} B _{2} }=bar{A _{1} A _{2}]인 점 [eqn: A _{2}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{1} A _{2} B _{2}]를 그린다. 점 [eqn: A _{2}]에서 선분 [eqn: A _{1} B _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B _{3}]이라 하고, 선분 [eqn: A _{1} A _{2}]위의 [eqn: bar{A _{2} B _{3} }=bar{A _{2} A _{3}]인 점 [eqn: A _{3}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{2} A _{3} B _{3}]을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: A _{n}]에서 선분 [eqn: A _{n-1} B _{n}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B _{n+1}]이라 하고, 선분 [eqn: A _{n-1} A _{n}]위의

[eqn: bar{A _{n} B _{n+1} }=bar{A _{n} A _{n+1}]인 점 [eqn: A _{n+1}]에 대하여 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]인 부채꼴 [eqn: A _{n} A _{n+1} B _{n+1}]을 그린다. 부채꼴 [eqn: A _{n-1} A _{n} B _{n}]의 호 [eqn: A _{n} B _{n}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} l _{n}]의 값은?

① [eqn: LEFT ( 4-sqrt2 RIGHT ) pi]	② [eqn: LEFT ( 2+sqrt2 RIGHT ) pi]	③ [eqn: LEFT ( 2+2sqrt2 RIGHT ) pi]

④ [eqn: LEFT ( 4+sqrt2 RIGHT ) pi]	⑤ [eqn: LEFT ( 4+2sqrt2 RIGHT ) pi]

23 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =2]이고,
[eqn: a _{n+1} =a _{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {2n+1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}] [eqn: LEFT ( n>=1 RIGHT )]
을 만족시킨다. [eqn: a _{20} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

24 두 사람 [eqn: A]와 [eqn: B]가 각각 주사위를 한 개씩 동시에 던지는 시행을 한다. 이 시행에서 나온 두 주사위의 눈의 수의 차가 [eqn: 3]보다 작으면 [eqn: A]가 [eqn: 1]점을 얻고, 그렇지 않으면 [eqn: B]가 [eqn: 1]점을 얻는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 15]회 반복할 때, [eqn: A]가 얻는 점수의 합의 기댓값과 [eqn: B]가 얻는 점수의 합의 기댓값의 차는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

25 주머니 안에 스티커가 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개 붙어 있는 카드가 각각 [eqn: 1]장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 [eqn: 1]장을 꺼내어 스티커 [eqn: 1]개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 [eqn: A]라 하자. 시행을 [eqn: 6]번 하였을 때, [eqn: 1]회부터 [eqn: 5]회까지는 사건 [eqn: A]가 일어나지 않고, [eqn: 6]회에서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률을 [eqn: {q} over {p}]라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

26 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x<=t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

27 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm`A _{itn}]이 함수 [eqn: y=4 ^{x}]의 그래프 위의 점일 때, 점 [eqn: rm `A _{itn+1}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: rm`A _{1}]의 좌표는 [eqn: (a,``~4 ^{a} )]이다.

(나) (1) 점 [eqn: rm`A _{itn}]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=2x]          와 만나는 점을 [eqn: rm`P _{itn}]이라 한다.

(2) 점 [eqn: rm`P _{itn}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선                  [eqn: y=log _{4} x]와 만나는 점을 [eqn: rm`B _{it n rm }]이라 한다.

(3) 점 [eqn: rm`B _{it n rm }]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=2x]          와 만나는 점을 [eqn: rm `Q _{it n rm}] 이라 한다.

(4) 점 [eqn: rm `Q _{it n rm}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=4 ^{x}]          와 만나는 점을 [eqn: rm `A _{it n rm +1}]이라 한다.

점 [eqn: rm`A _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {x _{n}}]의 값은?

① [eqn: -`3over4]   ② [eqn: -`11over16]    ③ [eqn: -`5over8]    ④ [eqn: -`9over16]    ⑤ [eqn: - {`1} over {2}]

28 좌표공간에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =50]이 두 평면

[eqn: alpha`:`x+y+2z=15]

[eqn: beta`:`x-y-`4root3`z=25]

와 만나서 생기는 원을 각각 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]라 하자. 원 [eqn: C _{1}]위의 점 [eqn: rm`P]와 원 [eqn: C _{2}]위의 점 [eqn: rm`Q]에 대하여 [eqn: rm ` bar{PQ} ` ^{2}]의 최솟값을 구하시오.

29 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수 [eqn: x]에 대하여  [eqn: int _{0} ^{x} {(x-t)｛f(t)｝ ^{2} dt} `=6 int _{0} ^{1} {x ^{3} (x-t) ^{2} dt}]를 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: x=1], [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 [eqn: a`pi]라 할 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

30 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 일부가 다음 그림과 같고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4)=f(x)]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

<보기>

ㄱ. [eqn: lim _{x-> 0} {g(f(x))} =-2]

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 2} {g(f(x))} =1]

ㄷ. [eqn: lim _{x-> INF } {sum _{k=1} ^{4} g(f(2k+ {1} over {x} ))} =-2]

① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄷ  ④ ㄴ, ㄷ  ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

31 어느 공장에서 생산되는 제품의 길이는 모표준편차가 [eqn: 1over1.96]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산되는 제품 중에서 임의추출한 [eqn: 10]개 제품의 길이를 측정하여 표본평균을 구하였다. 이 표본평균을 이용하여 구한 제품의 길이의 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 [eqn: [ alpha ,`~ beta ]]라 하자. [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이차방정식 [eqn: 10x ^{2} -100x+k=0]의 두 근일 때, [eqn: k]의 값을 구하시오.

(단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z]에 대하여 [eqn: rm`P(0<=itZ<=1.96)=0.4750]이다.)

32 두 수열 [eqn: ｛a _{n} ｝], [eqn: ｛b _{n} ｝]이 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b _{2k-1} =( {1} over {2} ) ^{a _{1} +a _{3} + CDOTS +a _{2k-1}}]  [eqn: b _{2k} =2 ^{a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{2k}}]을 만족시킨다.

[eqn: ｛a _{n} ｝]은 등차수열이고 [eqn: b _{1} TIMES b _{2} TIMES b _{3} TIMES CDOTS TIMES b _{10} =8]일 때, [eqn: ｛a _{n} ｝]의 공차는?

① [eqn: 1over15]     ② [eqn: 2over15]     ③ [eqn: 1over5]     ④ [eqn: 4over15]    ⑤ [eqn: 1over3]

33 행렬 [eqn: A= {pmatrix{0```````&`-1#`1~~&```````0}}]에 대하여  [eqn: A ^{m} =A ^{n}]

을 만족시키는 [eqn: 40] 이하의 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]([eqn: m>n])의 순서쌍 [eqn: (m,n)]의 개수를 구하시오.

34 각각 [eqn: 3]명의 선수로 구성된 [eqn: rm`A]팀과 [eqn: rm`B]팀이 있다. 각 팀 3명의 순번을 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]번으로 정하고 다음 규칙에 따라 경기를 한다.

(가) [eqn: rm`A]팀 [eqn: 1]번 선수와 [eqn: rm`B]팀 [eqn: 1]번 선수가 먼저 대결한다.

(나) 대결에서 승리한 선수는 상대팀의 다음 순번 선수와 대결한다.

(다) 어느 팀이든 [eqn: 3]명이 모두 패하면 경기가 종료된다.

[eqn: rm`A]팀의 [eqn: 2]번 선수가 승리한 횟수가 [eqn: 1]일 확률은? (단 각 선수가 승리할 확률은 [eqn: 1over2]이고, 무승부는 없다.)

① [eqn: 1over32]    ② [eqn: 1over16]    ③ [eqn: 1over8]    ④ [eqn: 1over4]    ⑤ [eqn: 1over2]

35 [eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 9]장의 카드가 있다. 다음은 이 카드 중에서 동시에 [eqn: 3]장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 [eqn: under{않는}] 경우의 수를 구하는 과정이다.

두 자연수 [eqn: m], [eqn: n] ([eqn: 2<=m<=n])에 대하여 [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n]장의 카드에서 동시에 [eqn: m]장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우의 수를 [eqn: N(n,m)]이라 하자.

[eqn: 9]장의 카드에서 [eqn: 3]장의 카드를 선택할 때, [eqn: 9]가 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택되지 않는 경우로 나누면 [eqn: N(9,~3)]에 대하여 다음 관계식을 얻을 수 있다.

[eqn: N(9,~3)=N(□,`~2)+N(8,~3)]

[eqn: N(8,~3)]에 [eqn: 8]이 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택되지 않는 경우로 나누어 적용하면

[eqn: N(9,~3)`=`N(□,~2)`+N(6,~2)`+N(7,~3)]

이다. 이와 같은 방법을 계속 적용하면

[eqn: N(9,~3)`=` sum _{k=3} ^{7} N(k,~2)]

이다. 여기서

[eqn: N(k,~2)=□`-`(k-1)]

이므로

[eqn: N(9,~3)=□]

이다.

위의 과정에서 □, □, □에 알맞은 것은?

	□	□	□
①	[eqn: 7]	[eqn: ` _{k} {rmC} _{2}]	[eqn: 35]
②	[eqn: 8]	[eqn: ` _{k+1} {rmC} _{2}]	[eqn: 48]
③	[eqn: 7]	[eqn: ` _{k} {rmC} _{2}]	[eqn: 48]
④	[eqn: 8]	[eqn: ` _{k} {rmC} _{2}]	[eqn: 48]
⑤	[eqn: 7]	[eqn: ` _{k+1} {rmC} _{2}]	[eqn: 35]

36 수열 [eqn: ｛a _{n} ｝]의 제 [eqn: n]항 [eqn: a _{n}]을 [eqn: {n} over {3 ^{k}}]이 자연수가 되게 하는 음이 아닌 정수 [eqn: k]의 최댓값이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{1} =0]이고 [eqn: a _{6} =1]이다. [eqn: a _{m} =3]일 때, [eqn: a _{m} +a _{2m} +a _{3m} + CDOTS +a _{9m}]의 값을 구하시오.

37 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 [eqn: theta]인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선이 벽면과 지면의 교선 [eqn: l]과 수직으로 만난다. 벽면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 [eqn: l]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: a]라 하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 [eqn: l]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: b]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. 그림자와 교선 [eqn: l]의 공통부분의 길이는 [eqn: 2r]이다.

ㄴ. [eqn: theta=60˚]이면 [eqn: a<b]이다.

ㄷ. [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} = {1} over {r ^{2}}]

① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄱ, ㄷ  ④ ㄴ, ㄷ  ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

38 좌표평면 위에 타원 [eqn: {x ^{2}} over {11 ^{2}} + {y ^{2}} over {3 ^{2}} =1]과 점 [eqn: rm `P(11,~0)]이 있고, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 11]인 원 [eqn: C _{1}]과 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]이 원 [eqn: C _{2}]가 있다. 제[eqn: 1]사분면에 있는 원 [eqn: C _{1}] 위의 점 [eqn: rm`A]에 대하여 선분 [eqn: rm`OA]와 원 [eqn: rm`C _{2}]의 교점을 [eqn: rm`B], 점 [eqn: rm`A]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`H], 선분 [eqn: rm`AH]와 타원의 교점을 [eqn: rm`Q], 선분 [eqn: rm`OA]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. 삼각형 [eqn: rm`ABQ]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하고, 삼각형 [eqn: rm`APQ]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.

[eqn: lim _{theta-> 0} {{S _{2}} over {theta ^{2} BULLET S _{1}} =` {q} over {p}}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

39 한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 [eqn: 5]번 반복한다. 각 시행에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다.

(가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면 △, 뒷면이 나오면 ○를 표시한다.

(나) 두 번째 시행부터

(1) 뒷면이 나오면 ○를 표시하고,

(2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가 앞면이면         ○, 뒷면이면 △를 표시한다.

예를 들어 동전을 [eqn: 5]번 던져 ‘앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면’이 나오면 다음과 같은 표가 작성된다.

시행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]
표시	△	○	△	○	○

한 개의 동전을 [eqn: 5]번 던질 때 작성되는 표에 표시된 △의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm`P(itX=2)]의 값은?

① [eqn: 13over32]    ② [eqn: 15over32]    ③ [eqn: 17over32]    ④ [eqn: 19over32]    ⑤ [eqn: 21over32]

40 함수 [eqn: f(x)`=`sin` {x ^{2}} over {2}]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: 0<x<1]일 때, [eqn: x ^{2} sin` {x ^{2}} over {2} <f(x)`<`cos {x ^{2}} over {2}]이다.

ㄴ. 구간 [eqn: (0,~1)]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx} <=`1over2`sin`1over2]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ    ④ ㄱ, ㄷ     ⑤ ㄴ, ㄷ

41 다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 항상 지나는 점들의 [eqn: y]좌표의 합을 구하시오.

(가) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 1이다.

(나) 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (2,`~f(2))]에서 직선 [eqn: y=2]에 접한다.

(다) [eqn: f'(0)`=0]

정답 및 해설

1 ⑤

[출제의도] 직선과 평면의 위치관계, 직선과 직선의 위치 관계를 파악할 수 있는가?

ㄱ. [eqn: BARAC BOT BARAD], [eqn: BARAC BOT BARAB] 이므로

[eqn: BARAC BOT (평면ABP)]

따라서 삼각형 [eqn: ACP]는 [eqn: BARAC = BARAP] 이고 [eqn: ANGLE C AP = 90DEG]인 직각삼각형이므로

[eqn: BARCP = ROOT{{BARAC}^2 + {BARAP}^2}}]

[eqn: = ROOT{2 {BARAP}^2}]

[eqn: = ROOT{2 BARBP ^2} = ROOT2 BARBP] (참)

ㄴ. 세 점 [eqn: A, B, C]는 한 평면 위에 있으면서 일직선 위에 있지 않고, 점 [eqn: P]는 그 평면 위의 점이 아니므로 직선 [eqn: AB]와 직선 [eqn: CP]는 만나지 않는다. 즉, 직선 [eqn: AB]와 직선 [eqn: CP]는 꼬인 위치에 있다. (참)

ㄷ. ㄱ에서 [eqn: BARAC BOT (평면ABP)] 이므로

[eqn: BARAC BOT BARPM]

또한, [eqn: BARPM BOT BARAB] 이므로

[eqn: barPM BOT (평면ABC)]

따라서 직선 [eqn: PM]과 직선 [eqn: BC]는 서로 수직이다. (참)

2 ③

[출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 확률을 계산할 수 있는가?

[eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N(m,`30^2 )`]을 따르므로

크기가 [eqn: 9`]인 표본평균 [eqn: bar X`]에 대하여

[eqn: E( bar X ) = m`], [eqn: sigma ( bar X )` = 30 over root9 = 10`]

따라서, [eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: N(m`,``10^2 )`]을 따른다.

[eqn: G(k) = P ( X ≤ m+30k )`]

[eqn: = P left( Z ≤ m+30k-m over 30 `right)`]

[eqn: = P (Z≤ k`)`]

[eqn: H(k) = P ( bar X ≥ m-30k )`]

[eqn: = P left( Z ≥ m-30k-m over10 `right)`]

[eqn: = P ( Z`≥ `-3k` )`]

ㄱ. [eqn: G(0) = P(Z≤0) = 0.5`]

[eqn: H(0) = P(Z≥0) = 0.5`]

∴ [eqn: G(0) = H(0)`] (참)

ㄴ. [eqn: G(3) = P(Z ≤3 ) = 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ 3 )`]

[eqn: H(1) = P(Z ≥ -3 )` = P(-3 ≤ Z ≤ 0) + 0.5`]

[eqn: = P(0 ≤ Z ≤ 3 ) + 0.5`]

∴ [eqn: G(3) = H(1)`] (참)

ㄷ. [eqn: G(1) = P(Z≤1 )`], [eqn: H(-1 ) = P( Z ≥3 )`]

이므로

[eqn: G(1) + H(-1) = P( Z ≤ 1) + P(Z ≥ 3 )`]

[eqn: = 1- P(1≤Z≤ 3)`]

[eqn: P(1 ≤ Z ≤ 3 ) > 0`]이므로

[eqn: G(1) + H(-1) `<1`] (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

3 ④

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

조건(나)에서

[eqn: cos x `int_0^x`f(t)`dt` = - sin x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt`]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: - sin x `int_0^x`f(t)`dt`+ cos x` cdotf(x)`]

[eqn: = - cos x `int_{pi over 2 }^x`f(t)`dt` - sin x cdot``f(x)`]

등식의 양변에 [eqn: x= pi over 4`]를 대입하면

[eqn: - root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }` f(t)`dt` + root2 over 2 `f left( pi over 4 right)`]

[eqn: = - root2 over 2 int_{pi over 2}^{pi over 4 }`f(t)`dt` - root2 over 2` f left( pi over 4 right)`]

[eqn: root2` f left( pi over 4 right) = root2 over 2 int_0^{ pi over 4 }`f(t)`dt` + root2 over 2 int_{ pi over 4 }^{pi over 2 }`f(t)`dt`]

[eqn: = root2 over 2 int_0^{ pi over 2 } `f(t`)dt`]

[eqn: = root2 over 2 times 1 `] (∵ 조건(가) )

∴ [eqn: f left( pi over 4 right) = root2 over2 times 1over root2` = 1 over 2`]

4 ③

[출제의도]합성함수의 미분법을 이용하여 미지수를 구할 수 있는가?

ㄱ. [eqn: alpha ,``beta ,``gamma`]는 방정식 [eqn: f(x) = x`]의 근이므로

[eqn: f(alpha ) = alpha`], [eqn: f ( beta ) = beta], [eqn: f( gamma ) = gamma`]

∴ [eqn: f(f(alpha)) = f(alpha)= alpha`]

[eqn: f(f(beta ) ) = f(beta )= beta`]

[eqn: f(f( gamma)) = f(gamma ) = gamma`]

따라서, [eqn: alpha ,`beta ,` gamma`]는 방정식 [eqn: f(f(x)) = x`]의 근이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x) - x`]가 삼차식이므로

[eqn: h(x) = px^2 + qx+r`]로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x` right}` g(x) + h(x)`]

[eqn: = left{ f(x) - x `right} `g(x) + px^2 + qx+r`]

[eqn: f(f(alpha )) = p alpha^2 + q alpha + r = alpha`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: f(f(beta )) = p beta^2 + q beta + r = beta``] [eqn: cdots㉡]

[eqn: f(f( gamma )) = p gamma^2 + q gamma + r = gamma`] [eqn: cdots㉢]

㉠-㉡에서 [eqn: p (alpha^2 - beta^2 ) + q (alpha - beta ) = alpha - beta`]

[eqn: alpha ne beta`]이므로 [eqn: p (alpha + beta ) + q = 1`] [eqn: cdots㉣`]

㉡-㉢에서 [eqn: p (beta^2 - gamma^2 ) + q ( beta - gamma ) = beta - gamma`]

[eqn: beta ne gamma`]이므로 [eqn: p ( beta + gamma ) + q = 1`] [eqn: cdots㉤`]

㉣-㉤에서 [eqn: p (alpha - gamma ) =0`]

[eqn: alpha ne gamma`]이므로 [eqn: p=0`]

㉣에서 [eqn: q = 1`]

㉠에서 [eqn: alpha + r = alpha`]이므로 [eqn: r=0`]

∴ [eqn: h(x) = x`] (참)

ㄷ. [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} `g(x) + x`] [eqn: cdots(*)`]

조건(나),(다)에서

[eqn: f(3) = 7`], [eqn: f(f(3)) = 5`]이므로

[eqn: f(f(3)) = left{ f(3) - 3 right}` g(3) + 3`]에서

[eqn: 5 = (7-3) g(3) + 3`]  ∴ [eqn: g(3) = 1over2`]

[eqn: (*)`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(f(x))` f`'(x) `]  [eqn: = left{ f`'(x) - 1`right} `g(x) + left{ f(x) - x `right} `g`'(x) +1`]

[eqn: x=3`]을 대입하면

[eqn: f`'(f(3)) `f`'(3) `]

[eqn: = left{ f`'(3) -1 `right}` g(3) + left{ f(3) - 3 `right}` g`'(3) +1`]

조건(나)에서 [eqn: f`'(3) = 0`]이므로

[eqn: 0` = (0-1 ) times 1over2 + (7-3) `g`'(3) +1`]

[eqn: 4 `g'(3) = - 1over2`]

∴ [eqn: g`'(3) = - 1over8`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

5 19

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: a_n = 12times left( 1over 3 right)^n-1] ([eqn: n =1,2,3,cdots])

점 [eqn: P_n]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y-b_n ^2 = a_n (x+b_n )] 즉, [eqn: y= a_n x + a_n b_n +b_n ^2]

이 직선과 곡선 [eqn: y=x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표는 방정식

[eqn: a_n x + a_n b_n + b_n ^2 = x^2] 즉,

[eqn: (x+b_n ) (x-a_n -b_n ) =0]의 실근이다.

∴ [eqn: b_n+1 = a_n +b_n] (∵[eqn: b_n+1 != - b_n])

이때, [eqn: b_n+1 - b_n = a_n]이므로 수열 {[eqn: b_n]}의 계차수열이 {[eqn: a_n]}이다.

∴ [eqn: b_n = b_1 + sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^n-1 a_k]

∴ [eqn: lim_n->inf b_n = 1+ lim_n->inf sum_k=1^n-1 a_k]

[eqn: = 1+ sum_k=1^inf 12 left( 1over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1+ 12 over { 1- 1over3} = 1+ 18 = 19]

6 45

[출제의도] 두 평면이 이루는 각을 구하여 정사영의 넓이를 구할 수 있는가?

점 [eqn: P`]가 선분 [eqn: AC`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점이고, 점 [eqn: C`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리가 [eqn: 3]이므로 점 [eqn: P`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리는 [eqn: 1`]이다.

따라서, 직선 [eqn: PB`]는 평면 [eqn: alpha`]와 평행하다.

삼각형 [eqn: ABC`]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라고 하자.

평면 [eqn: alpha`]에 평행하고 직선 [eqn: PB`]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라고 하면

삼각형 [eqn: PBC`]와 평면 [eqn: beta`]가 이루는 각의 크기도 [eqn: theta`]이다.

[eqn: Q]

[eqn: D]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: P]

[eqn: x]

[eqn: theta]

[eqn: beta]

점 [eqn: C`]에서 직선 [eqn: PB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: D`]라 하고, 점 [eqn: C`]에서 평면 [eqn: beta`]에 내린 수선의 발을 [eqn: Q``]라 하자.

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: bar DQ` ⊥`bar PB`]이므로

[eqn: ∠ CDQ = theta`]이다.

[eqn: bar CQ = 3-1 = 2`]이므로

[eqn: bar CD = x`]라 하면 [eqn: sin theta = 2 over x`]이다.

삼각형 [eqn: ABC`]의 넓이가 [eqn: 9`]이므로

삼각형 [eqn: PBC`]의 넓이는 [eqn: 9 times 2 over 3 = 6`]

따라서, [eqn: 1over 2 times bar PB` times x = 6`]에서

[eqn: 1over 2 times 4 times x = 6`], [eqn: x = 3`]

∴ [eqn: sin theta = 2over 3`]

∴ [eqn: cos theta = root{ 1- sin^2 theta } = root{ 1- 4over9} = root5 over 3`]

따라서, 삼각형 [eqn: ABC`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S = 9 cos theta = 9 times root5 over 3 = 3root5`]

∴ [eqn: S^2 = 45`]

7 ③

[출제의도] 정적분의 성질과 부분적분법을 이용하여 두 영역의 넓이가 같을 조건을 구할 수 있는가?

[eqn: int_0^k x sinx dx = int_k^{pi over 2} ( pi over 2 - x sinx dx ) dx]

[eqn: int_0^k x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx - int_k^{pi over 2 } x sinx dx]

[eqn: int_0^k x sinx dx + int_k^{pi over 2 } x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx]

[eqn: int_0^{pi over 2} x sinx dx = int_k^{pi over 2} pi over 2 dx]

이때, [eqn: f(x)= x], [eqn: g``'(x)= sinx]라고 하면

[eqn: f``'(x)=1], [eqn: g(x)= - cosx] 이므로

(좌변)[eqn: = [ - x cosx ]_0^{pi over 2} - int_0^{pi over 2} (- cosx)dx]

[eqn: = int_0^{pi over 2} cos x`dx]

[eqn: = [ sinx]_0^{pi over 2} = 1]

(우변)[eqn: = [ pi over 2 x ]_k^{pi over 2} = pi^2 over 4 - pi over 2 k]

따라서 [eqn: 1 = pi^2 over 4 - pi over 2 k] 이므로

[eqn: pi over 2 k = pi^2 over 4 - 1]

[eqn: therefore] [eqn: k = pi over 2 - 2 over pi]

8 15

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가?

삼각형 [eqn: ABD`]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: bar BD`^2 = 1^2 + 1^2 - 2 cdot 1 cdot 1 cdot cos theta`]

[eqn: = 2- 2 cos theta`]

삼각형 [eqn: BCD`]는 정삼각형이므로

삼각형 [eqn: BCD`]의 넓이는

[eqn: root3 over 4 times bar BD`^2` = root3 over 4 (2- 2 cos theta )`]

[eqn: = root3 over 2 (1- cos theta )`]

삼각형 [eqn: ABD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 1 times1 times sin theta`= 1over2 `sin theta`]

이므로 사각형 [eqn: ABCD`]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S = 1over 2 `sin theta + root3 over2 (1- cos theta )`]

[eqn: = 1over 2 `sin theta - root3 over 2 `cos theta + root3 over2`]

[eqn: = sin left( theta - pi over 3 right) + root3 over2`]

따라서, [eqn: S`]는 [eqn: theta - pi over 3 = pi over 2`] 즉, [eqn: theta = 5over 6 pi`]일때 최댓값을 갖는다.

∴ [eqn: 60 sin^2 theta` = 60 `sin^2 5over6 pi`]

[eqn: = 60 times left( 1over2 right)^2`]

[eqn: = 15`]

9 ②

[출제의도] 좌표공간에서 두 직선의 교점의 좌표를 구할 수 있는가?

직선 [eqn: AB`]의 방정식은

[eqn: x-0 over 1 = y+1 over 2 = z-1 over -1`]

즉, [eqn: x = y+1 over 2 = 1-z`]

점 [eqn: (a,`b,`0)`]을 지나고 [eqn: z`]축에 평행한 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: x=a ,``y= b`]

이므로 직선 [eqn: AB`]와 직선 [eqn: l`]의 교점의 좌표를 [eqn: C(a,`b,`c )`]로 놓을 수 있다.

점 [eqn: C`]는 직선 [eqn: AB`] 위의 점이므로

[eqn: a = b+1 over 2 = 1-c`]

따라서, [eqn: a = b+1 over 2 `]에서 [eqn: b= 2a-1`]이고

점 [eqn: (a,`b,`0`)`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =13`] 위의 점이므로

[eqn: a^2 + b^2 = 13`]

∴ [eqn: a^2 + (2a-1)^2 = 13`]

[eqn: 5a^2 - 4a-12=0`], [eqn: (a-2)(5a+6)=0`]

[eqn: a<0`]이므로 [eqn: a = - 6 over 5`]

∴ [eqn: b = 2a-1 = 2 cdot left( - 6over 5 right) -1 = - 17 over 5`]

∴ [eqn: a+b = - 6over 5 + left( - 17 over 5 right) = - 23 over 5`]

10 52

[출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가?

쌍곡선 [eqn: x^2 over 12 - y^2 over 8 = 1`] 위의 점 [eqn: (a,``b)`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: ax over 12 - by over 8 = 1`]

이고, 접선이 타원 [eqn: {(x-2)^2} over 4 + y^2 = 1`]의 넓이를 이등분하므로 접선은 타원의 중심 [eqn: (2,`0)`]을 지난다.

따라서, [eqn: 2a over 12 - 0 = 1`]에서 [eqn: a = 6`]

또한, [eqn: a^2 over12 - b^2 over 8 = 1`]이므로

[eqn: 36 over12 - b^2 over 8 = 1`]에서 [eqn: b^2 over 8 = 2`], [eqn: b^2 = 16`]

∴ [eqn: a^2 + b^2 = 36 + 16 = 52`]

11 ③

[출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있는가?

[eqn: B= pmatrix{ p&q#r &s }]라 하면 (가)에서

[eqn: pmatrix{ p&q#r &s }][eqn: pmatrix{ 1#-1 }= pmatrix{ p-q#r-s } = pmatrix{ 0#0 }]

∴ [eqn: p=q,~r=s]

∴ [eqn: B= pmatrix{ p&p#r &r }]

이때, (나)에서

[eqn: AB = pmatrix{ p+r&p+r#a(p+r) & a(p+r) } = 2 pmatrix{ 1&1#a&a }]

이므로 [eqn: p+r =2]이다.

또,

[eqn: BA = pmatrix{ p(1+a)&p(1+a)#r(1+a) & r(1+a) } = 4 pmatrix{ p&p#r&r }]

이므로 [eqn: 1+a = 4] 즉, [eqn: a=3]이다.

(∵ [eqn: 1+a != 4]이면 [eqn: p=0], [eqn: r=0]이므로 모

순이다.)

따라서 [eqn: A+B= pmatrix{ 1+p&1+p#a+r&a+r }]의 (1, 2)성분과 (2, 1)성분의 합은

[eqn: 1+p +a+r = 1+a+(p+r)]

[eqn: = 1+3+2= 6]

12 ①

[출제의도] 수열의 일반항을 구할 수 있는가 ?

[eqn: b_2 = (4a_1 -1 ) b_1 = 3]이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n = cdots = b_2 -b_1 =2]

따라서 등차수열 {[eqn: b_n]}은 첫째항이 1이고 공차가 2이므로

[eqn: b_n = 2n-1]

따라서 [eqn: b_n+1 = 2n+1]이므로 (*)에서

[eqn: 2n+1 = (4a_n -1 ) (2n-1)]

∴ [eqn: a_n = 1over 4 left( 2n+1 over 2n-1 +1 right) = n over 2n-1]

따라서 [eqn: f(n) = 2n-1], [eqn: g(n) = n over 2n-1]이므로

[eqn: f(14) times g(5) = 27 times 5 over 9 = 15]

13 392

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론할 수 있는가?

(i) [eqn: n=1]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ii) [eqn: n=2]일 때

세 점 [eqn: (1,2^1 ),~(2,2^2 ) ,~(3,2^3 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(iii) [eqn: n ge 3]일 때

세 점 [eqn: (n-2,2^n-2 ),~(n-1,2^n-1 ) ,~(n,2^n )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(i), (ii), (iii)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1 = 20 + 12 times31 = 392]

참고

위의 풀이의 (iii)에서

세 점 [eqn: (n-1,2^n-1 ),~(n,2^n ) ,~(n+1,2^n+1 )]이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우에는 점 [eqn: (n-2 ,2^n-2 )]도 이 정사각형의 내부에 포함되므로 조건을 만족시키지 않는다.

마찬가지로, 세 점[eqn: (n,2^n ) ,~(n+1,2^n+1 ) ,~ (n+2 ,2^n+2 )]이 정사각형과  그 내부에 포함되는 경우도 조건을 만족시키지 않는다.

14 [eqn: 30`]

두 직선 [eqn: m,`n`]을 포함하는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자.

[eqn: l`□`m ,```l`□`n`]이므로 [eqn: l``□ alpha`]이다.

직선 [eqn: l`] 위의 두 점 [eqn: rm A,``B`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E ,``F`]라 하고, 선분 [eqn: rm FD`]와 직선 [eqn: m`]의 교점을 [eqn: rm G`]라 하자.

[eqn: rm bar{AB} `□ bar{EF} `], [eqn: rm bar{EF} `□` bar{CG} `]이고,

[eqn: rm bar EF = bar CG = 2root2`]

이므로 직각삼각형 [eqn: rm DGC`]에서

[eqn: rm bar GD = root{ 3^2 - (2root2 )^2 } = 1`]

직각삼각형 [eqn: rm ABD`]에서

[eqn: rm bar AD = root{ ( 4 root2 )^2 + (2 root2 )^2 } = 2root10`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]에서

[eqn: rm cos (∠ ACD ) = { 5^2 + 3^2 - (2 root10 )^2 } over { 2 cdot 5 cdot 3}` = - 1 over 5`]

이므로

[eqn: rm sin ( ∠ ACD ) = root{ 1- left( - 1over 5 right)^2 } = { 2root6} over 5`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 5 times 3 times {2root6} over 5 = 3root6`]이다.

[eqn: {rm bar EC} = a`], [eqn: {rm bar AE = bar BF } = b`]라 하면

[eqn: {rm bar FD} = a+1`]이고,

삼각형 [eqn: rm AEC`]에서 [eqn: a^2 + b^2 = 25`] [eqn: cdots ㉠`]

삼각형 [eqn: rm BFD`]에서 [eqn: (a+1)^2 + b^2 = 32`][eqn: cdots㉡`]

㉡-㉠에서 [eqn: 2a+1 = 7`], [eqn: a=3`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rm ECD`]이고,

삼각형 [eqn: rm ECD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times {rm bar EC times bar CG } = 1over 2 times 3 times 2root2 = 3root2`]

따라서, [eqn: 3root6 `times cos theta = 3root2`]에서

[eqn: cos theta = 1over root3`]

∴ [eqn: tan^2 theta = sec^2 theta -1`] [eqn: = 1over { cos^2 theta } -1`]

[eqn: = 3-1`][eqn: = 2`]

∴ [eqn: 15 `tan^2 theta = 30`]

15 ①

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} (2k+1)a _{k}] 에서

[eqn: a _{n-1} =(n-1) ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k}] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k} =a _{n-1} -(n-1) ^{2}]

따라서

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k} +(2n-1)a _{n-1}]

[eqn: =n ^{2} +a _{n-1} -(n-1) ^{2} +(2n-1)a _{n-1}]

[eqn: THEREFORE ```f(n)=(n-1) ^{2}]

또 [eqn: a _{n} +1=2n(a _{n-1} +1)]

[eqn: =2n BULLET 2(n-1)(a _{n-2} +1)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: =n(n-1) CDOTS 2 BULLET1 BULLET2^n-2 (a_2 +1)]

이므로  [eqn: g(n)=2^n-2] 이다.

[eqn: THEREFORE ```f(9) TIMES g(9)=2 ^{6} TIMES 2 ^{7} =2 ^{13}]

16 ②

ㄱ. (반례)

[eqn: x_2k+2 - x_2k = 2 over 2m = 1over m`]이므로

[eqn: sum_k=0^m-1 `{f(x_2k )} over m`]은 [그림1]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

[eqn: x_k+1 - x_k = 1over n`]이므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 [그림2]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

따라서, [eqn: sum_k=0^m-1 { f(x_2k )} over m `> `sum_k=0^n-1 {f(x_k )} over n`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: x_k = k over n`]이므로

[eqn: lim_n->inf` sum_k=1^n 1over n left{ { f(x_k-1 )+f(x_k )} over 2 right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f(x_k-1 ) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f(x_k ) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f left( k-1 over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=0^n-1 f left( k over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over 2 left{ `int_0^1`f(x)`dx + int_0^1 `f(x)`dx` right}`]

[eqn: = int_0^1`f(x)`dx`] (참)

ㄷ. (반례)

ㄱ의 [그림2]에서

[eqn: int_0^1`f(x)`dx`]는 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=0 ,``x=1`]로 둘러싸인 부분의 넓이이고, [eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 직사각형들의 넓이의 합을 나타내므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`>` int_0^1`f(x)`dx`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

17 ③

선분 [eqn: rm AC]가 [eqn: y]축에 평행하므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm C]의 좌표를 각각

[eqn: rm A it (t,```log _{2} 4t),```` rm B it (t,```log _{2} t)] ([eqn: t>1`])라고 하면

[eqn: bar{rm AB it} =log _{2} 4t-log _{2} t=log _{2} {4t} over {t} =2]

선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이므로

[eqn: rm bar{BM} it = {sqrt {3}} over {2} TIMES 2= sqrt {3}]

따라서 점 [eqn: rmB]의 좌표는

[eqn: rm B it (`t- sqrt {3} ,``log _{2} 4(t- sqrt {3} `)] 이고

[eqn: rm bar{AB} it = sqrt {(t- sqrt {3} -t) ^{2} + LEFT { log _{2} 4(t- sqrt {3} )-log _{2} 4t RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = sqrt {3+ LEFT { log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} RIGHT } ^{2}} =2]

이므로  [eqn: log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} =±1]이다.

그런데 [eqn: t>1`]이므로 [eqn: {t- sqrt {3}} over {t} <1]

따라서 [eqn: log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} =-1] 이고

[eqn: {(t- sqrt {3} )} over {t} = {1} over {2} ,````2(t- sqrt {3} )=t]

[eqn: THEREFORE ```t=2 sqrt {3}]

이 때 점 [eqn: rmB]의 좌표는

[eqn: rm B it (` sqrt {3} ,``log _{2} 4 sqrt {3} `)]이므로

[eqn: p= sqrt {3} ,````q=log _{2} 4 sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE ```p ^{2} TIMES 2 ^{q} =( sqrt {3} ) ^{2} TIMES 2 ^{log _{2} 4 sqrt {3}}]

[eqn: =3 TIMES 4 sqrt {3} =12 sqrt {3}]

18 [eqn: 12`]

[eqn: g`'(x) = f`'(x) = ax^2 -a`]이고,

[eqn: g(0) = a+1`]이므로

[eqn: g(x) = a over 3 x^3 -ax+a+1`]이다.

따라서, [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한 것이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: g(x)- f(x) = 1`]이다.

[eqn: f`'(x) = a(x+1)(x-1)=0`]에서

[eqn: x=-1,``1`]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f'(x)]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: 5over3 a]	↘	[eqn: a over 3]	↗

따라서, [eqn: -1<=x<=1`]에서 [eqn: f(x)>= a over 3 >0`]이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x),``y=g(x)`]와 두 직선 [eqn: x=-1,``x=1`]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x`]축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V= pi int_-1^1`[ left{ f(x)`right}^2 - left{g(x)`right}^2 `]``dx`]

[eqn: = pi int_-1^1 left{ f(x)-g(x) right} left{ f(x)+g(x) right}`dx`]

[eqn: = pi int_-1^1`left( 2over3 a x^3 -2ax+2a+1`right)`dx`]

[eqn: = 2pi `int_0^1` (2a+1)`dx`]

[eqn: = 2pi` left[ matrix{#} (2a+1)x`right]_0^1`]

[eqn: = 2(2a+1) pi`]

따라서, [eqn: 2(2a+1)pi = 50pi`]에서

[eqn: 2a+1 = 25`]   ,∴ [eqn: a = 12`]

19 ④

원 [eqn: x^2 + y^2 = n^2]에 접하고 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선의 방정식은

[eqn: y=nx+n sqrt {n ^{2} +1}]

따라서

[eqn: P _{n} (- sqrt {n ^{2} +1} ,0)], [eqn: Q _{n} (0,n sqrt {n ^{2} +1} )]

이므로

[eqn: l _{n} = bar{P _{n} Q _{n}}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1)+n ^{2} (n ^{2} +1)}]

[eqn: = sqrt {n ^{4} +2n ^{2} +1}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1) ^{2}} =n ^{2} +1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { l_n} over 2n^2][eqn: = lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +1} over {2n ^{2}} = {1} over {2}]

20 ⑤

ㄱ. [eqn: rm |` vec CB - vec CP`|` = |`vec PB`|` = bar PB`]이므로

선분 [eqn: rm PB`]의 길이는 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]와 일치할 때 최소이다.

따라서, 최솟값은 [eqn: rm bar AB = 1`]이다. (참)

ㄴ.

[eqn: rm △ACD]에서 [eqn: rm bar AD = root3`], [eqn: rm bar DC = 1`]이므로

[eqn: rm ∠ CAD = 30°`]

[eqn: rm △ EAD`]가 정삼각형이므로

[eqn: rm ∠ EAD = 60°`]

∴ [eqn: rm ∠ EAC = ∠ PAC = 90 °`]

∴ [eqn: rm vec CA ⊥ vec AP`]

∴ [eqn: rm vec CA `•`vec CP = vec CA `•` ( vec CA + vec AP `)`]

[eqn: rm = vec CA `•` vec CA + vec CA `•` vec AP]

[eqn: = rm | vec CA`|`^2 + 0`]

[eqn: = 2^2 = 4`] (참)

ㄷ. 점 [eqn: rm A]를 원점, 직선 [eqn: rm AD]를 [eqn: x`]축으로 하는 좌표평면에 주어진 도형을 나타내면 그림과 같다.

[eqn: rm bar AD = bar DF`]인 [eqn: x`]축 위의 점을 [eqn: rm F`]라 하고

직사각형 [eqn: rm DCGF`]를 그리면

[eqn: rm vec DA + vec CP = vec CB + vec CP = vec GC + vec CP`= vec GP`]

이므로 [eqn: rm |`vec GP`|`]의 최솟값은

점 [eqn: rm G( 2root 3 , `-1)`]에서 직선 [eqn: rm AE`]에 이르는 거리와 같다.

직선 [eqn: rm AE`]의 방정식은

[eqn: y= root3 x`] 즉, [eqn: root3 x - y=0`]이므로

구하는 최솟값은

[eqn: { |` root3 cdot 2 root3 - (-1) `|`} over root{ ( root3 )^2 + (-1)^2 } = 7 over 2`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21 ⑤

ㄱ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{1&0#0&1}}], [eqn: B= {pmatrix{-1&0#0&-1}}]

[eqn: C= {pmatrix{-1&0#0&-1}}]라고 하면

[eqn: A= E], [eqn: ABC=E], [eqn: ACB = E] 이지만 [eqn: B NOT=E] 이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: ABC = E] 에서

[eqn: C = (AB)^-1 = B^-1 A^-1]

[eqn: ACB = AB^-1 A^-1 B = E]

[eqn: B^-1 A^-1 = A^-1 B^-1]

[eqn: (B^-1 A^-1 )^-1 = (A^-1 B^-1 )^-1]

[eqn: AB = BA] (참)

ㄷ. (i) [eqn: n=1]일 때 [eqn: ABC = E] 이므로 성립한다.

(ii) [eqn: n = k] 일 때 [eqn: A^n B^n C^n = E]가 성립한다고 가정하면

[eqn: n = k+1] 일 때

[eqn: A^n+1 B^n+1 C^n+1]

[eqn: = A^n A B^n B C^n C][eqn: = A^n B^n AB C^n C] ([eqn: BECAUSE]ㄴ)

[eqn: =A ^{n} B ^{n} C ^{n} ABC]([eqn: BECAUSE][eqn: (AB)C=C(AB)=E])

[eqn: = E]

따라서 [eqn: n = k+1]일 때도 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A^n B^n C^n = E] 이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

22 ②

[eqn: ANGLEA_n A_n-1 B_n = pi over 4] 이므로

[eqn: bar{A _{n} A _{n+1}} = {sqrt {2}} over {2} bar{A _{n-1} A _{n}}]

따라서 부채꼴 [eqn: A_n-1 A_n B_n]의 중심각의 크기를 [eqn: theta_n], 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라고 하면

[eqn: theta_n = pi over 4], [eqn: r_n = 4 ( root2 over 2 )^n-1]

[eqn: therefore] [eqn: l _{n} =r _{n} theta _{n} = {pi } over {4} TIMES 4( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: = pi ( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore][eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {pi } over {1- {sqrt {2}} over {2}} = {2 pi } over {2- sqrt {2}}]

[eqn: = pi(2+root2 )]

23 39

[eqn: a_n+1 - a_n]

[eqn: = (-1)^n 2n+1 over {n(n+1)}]

[eqn: = (-1)^n ( 2n+1 over n - 2n+1 over n+1 )]

[eqn: = (-1)^n ( 2+ 1 over n - 2 + 1 over n+1 )]

[eqn: = (-1)^n ( 1 over n + 1 over n+1 )]

즉, [eqn: a _{n+1} -a _{n} =(-1) ^{n} ( {1} over {n} + {1} over {n+1} )]이므로

[eqn: a_20 = 2 + sum from k=1 to 19 (-1)^k ( 1 over k + 1 over k+1 )]

[eqn: = 2 + left{ -( 1 + 1 over 2 ) + ( 1 over 2 + 1 over 3 ) - CDOTS]

[eqn: - ( 1 over 19 + 1 over 20 ) right}]

[eqn: = 2 +( -1 - 1 over 20 ) = 1 - 1 over 20 = 19 over 20]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 39]

24 ③

두 주사위의 눈의 수의 차가 3보다 크거나 같은 경우는 모두 12가지이므로 1번의 시행에서  A가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 24} over { 36} = { 2} over { 3}] 이고 B가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 1} over { 3}] 이다.

따라서  15회 시행에서 A가 얻는 점수의 합을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` { 2} over {3 } RIGHT )]를 따른다.

[eqn: THEREFORE```E(X)=15 TIMES { 2} over {3 } =10]

한편 15회 시행에서 B가 얻는 점수의 합을

확률변수 [eqn: Y]라고 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` {1} over {3 } RIGHT )]를 따르므로

[eqn: `E(Y)=15 TIMES { 1} over {3 } =5]

따라서 두 기댓값의 차는 5이다.

25 11

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 [eqn: (a, b, c)]로 나타내기로 하자.

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다.

또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 times 3 = 27]

이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3)

의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다.

따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

[eqn: P(A^C ) =1- 3+3+3 OVER 27 = 2 OVER 3]

또한, 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2) 이므로 4번째 , 5번째 시행에서는 사건 A가 일어나지 않고 6번째 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 [eqn: 1 OVER 3]이다. 따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 OVER 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 OVER 3 = 2 OVER 9]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 11]

26 ①

[eqn: f`'(x) = -12x^3 + 12(a-1)x^2 + 12ax`]

[eqn: = -12x left{ x^2 - (a-1)x - a`right}`]

[eqn: = -12x (x+1)(x-a)`]

[eqn: f`'(x) =0`]에서 [eqn: x= -1,``0,``a`]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	0	+	0	-
[eqn: f(x)]	↗		↘		↗		↘

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f(-1) = 2a+1`], [eqn: f(a) = a^4 +2a^3`]이고,

[eqn: f(a)- f(-1) =][eqn: a^4 + 2a^3 -2a-1`]

[eqn: = (a+1)^3 (a-1)`]

이므로

[eqn: 0<a<1`]이면 [eqn: f(a)`<`f(-1)`]

[eqn: a>=1`]이면 [eqn: f(a)`>= f(-1)`]이다.

(ⅰ) [eqn: 0<a<1`]인 경우

[eqn: t< -1`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>= -1`]이면

[eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

따라서,

[eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at &(t < -1)#~~~0&(t> -1)}`]

이고, [eqn: lim_t->-1-0 g`'(t) = lim_t->-1+0 g`'(t)`=0`]

이므로 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: 0<a<1`]일 때 함수 [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: a>=1`]인 경우

[eqn: f(-1) = f( alpha )] ([eqn: 0< alpha <= a`])이라 하자.

[eqn: t< -1`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: -1<= t< alpha`]이면

[eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

[eqn: alpha` <= t< a`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>=a`]이면

[eqn: g(t) = f(a) = a^4 + 2a^3`]

따라서,

[eqn: g` prime (t)= {cases{-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12at&(t<-1)#~~~~0&(-1<t< alpha )#-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12at&( alpha <t<a)#~~~~0&(t>a)}}]

[eqn: lim_t->-1-0 g`'(t) = lim_t->-1+0 g`'(t)`=0`]이므로

[eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

[eqn: lim_t->a-0 g`'(t) = lim_t->a+0 g`'(t)`]이어야 하므로

[eqn: -12a^3 + 12(a-1)a^2 +12a^3 =0`]에서

[eqn: 12(a-1)a^2 =0`]  ∴ [eqn: a=1`]

[eqn: a=1`]이면 [eqn: f(x) = -3x^4 + 6x^2`]이므로

[eqn: f(-1) = f(1)`]  ∴ [eqn: alpha = a = 1`]

∴ [eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12t &(t< -1)#~~~0&(-1<t<1)#-12t^3 +12t &(t>1)}`]

[eqn: g`'(-1) =0`], [eqn: g`'(1) = 0]이므로

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅰ),(ⅱ)에서 함수 [eqn: g(t)`]가 수 전체의 집합에서 미분가능하기 위한 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 0<a<=1`]이므로

구하는 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 1`]이다.

27 ⑤

지수⋅로그 함수의 그래프와 수열의 극한

[eqn: A_n]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_n]이라고 가정하면 [eqn: A_n =(x_n``,``4^x_n )]이고,

[eqn: y=2x]와의 교점의 좌표는 [eqn: ( {1} over {2} TIMES 4 ^{x _{n}} ``,``4 ^{x _{n}} )]이다.

따라서 [eqn: y=log_4 x]에 [eqn: x= { 1} over { 2} TIMES 4^x_n]를 대입하면

[eqn: B_n]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: y=log _{ 2^2}2 ^{ 2x_n -1}= { 2x_n -1} over {2 }]이다.

따라서 [eqn: y=2x]에 다시 대입하면 [eqn: { 2x_n -1} over {2 }=2x_n+1]이다.

[eqn: THEREFORE x_n+1 = { 1} over { 2}x_n - { 1} over { 4}]에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`x _{n} = lim _{n` -> ` INF } {x _{n+1}}} =alpha]

[eqn: alpha= {1} over {2} alpha- {1} over {4}]에서 ∴ [eqn: alpha= lim _{n` -> ` INF } {x _{n} =- {1} over {2}}]

28 40

구와 평면의 위치관계

[eqn: cdot]

[eqn: theta_{1}]

[eqn: theta_{2}]

[eqn: C_{1}]

[eqn: C_{2}]

[eqn: theta]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmO]

[eqn: { pi} over { 2}-theta]

원 [eqn: C_1]과 중심에서 원 [eqn: C_1]에 그은 벡터 [eqn: rm vec{OP}]와

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터가 이루는 각 [eqn: cos theta _{1} = {sqrt {3}} over {2}] [eqn: ~RARROW ` theta _{1} = {pi } over {6}]

원 [eqn: C_2]과 중심에서 원 [eqn: C_2]에 그은 벡터 [eqn: rm vec{OQ}]와

평면 [eqn: beta]의 법선벡터가 이루는 각 [eqn: cos theta _{2} = {1} over {2} `~~ RARROW ` theta _{2} = {pi } over {3}]

[eqn: THEREFORE theta_{1}+theta_{2} = pi over2]

평면 [eqn: alpha]의 법선 벡터와 평면 [eqn: beta]의 법선벡터가 이루는 각

[eqn: theta]는 [eqn: cos theta= { 4} over {5 }]

따라서 최단거리를 나타내는 벡터 [eqn: rm vec{OP}]와 벡터 [eqn: rm vec{OQ}]가 이루는 각은

[eqn: cos`left(theta- { pi} over {2 }right)= { 3} over {5 }]이다.

[eqn: rm bar{PQ ^{2}} = LEFT | vec{PQ} RIGHT | ^{2} = LEFT | vec{OQ} - vec{OP} RIGHT | ^{2} =( vec{OQ} - vec{OP} ) BULLET ( vec{OQ} - vec{OP} )]

[eqn: rm ~~=|` vec{OQ`} `| ^{2} -2`` vec{OP`} · vec{OQ} `cos LEFT ( {pi } over {2} - theta ` RIGHT ) +rm`|` vec{OP`} | ^{2}]

[eqn: ~~=50-2· sqrt {50} · sqrt {50} · {3} over {5} +50=40]

따라서 최솟값은 [eqn: 40]이다.

29 12

정적분으로 표현된 함수와 회전체의 부피

[eqn: f(x)]가 아래 관계식을 만족시키므로

[eqn: int _{0} ^{x} {} (x-t) LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt`=`6 int _{0} ^{1} {} x ^{3} (x-t)dt]

[eqn: 좌변`= int _{0} ^{x} {} (x-t) LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt`# `````````````````=`x int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt- int _{0} ^{x} {} t LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt]

[eqn: 우변=`6x ^{5} int _{0} ^{1} {} dt-12x ^{4} int _{0} ^{1} {} tdt+6 ^{} x ^{3} int _{0} ^{1} {} t ^{2} dt]

좌변과 우변을 각각 [eqn: x]에 관하여 미분하면

[eqn: {d(좌변)} over {dx} `# ~~= int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt+x {d} over {dx} LEFT ( int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt` RIGHT ) -x LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}# ~~= int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt+x LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -x LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}# ~~= int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dt]

[eqn: {d(우변)} over {dx}# ~~=30x ^{4} int _{0} ^{1} {} dt-48x ^{3} int _{0} ^{1} {} tdt+18x ^{2} int _{0} ^{1} {} t ^{2} dt# ~~=30x ^{4} -24x ^{3} +6x ^{2}]

따라서

[eqn: int _{0} ^{x} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} dx`=30x ^{4} -24x ^{3} +6x ^{2}}] [eqn: ···] ㉠

[eqn: f(x)]의 그래프가 [eqn: x],축과 [eqn: y]축 그리고 [eqn: x=1]에

의해 둘러싸인 부분을 [eqn: x],축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 [eqn: V]라면

[eqn: V`= pi int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx]

그런데

㉠에서 [eqn: int _{0} ^{x} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2} =30x ^{4} -24x ^{3} +6x ^{2}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { f(t) RIGHT } ^{2}dx =30-24+6=12}]

[eqn: THEREFORE V`= pi int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx=12 pi]

30 ④

합성함수의 극한

ㄱ. [eqn: lim_{x->`+0}{g`left(f(x)right)=lim_{t->`+0}{g(t)}=-2]
[eqn: lim_{x->`-0}{g`left(f(x)right)=lim_{t->`-0}{g(t)}=0]  [eqn: therefore] (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> `2+0} {g` LEFT ( f(x) RIGHT )}=` lim _{t -> `-2+0} {g` LEFT ( f(x) RIGHT )}]
[eqn: ~~=g(-1)=1]
[eqn: lim_{x->`2-0}{g`left(f(x)right)=g(1)=1] [eqn: (because``f(x+4)=f(x)`)] [eqn: therefore] (참)

ㄷ. [eqn: lim_{x->inf}{g`left(f`left(2k`+`1overx`right)right)=lim_{t->2k+0}{g`left(f(t)right)]이므로
[eqn: lim_{x->inf}{sum_{k=1}^{4}{g`left(f`left(2k+`1overx`right)right)]
[eqn: ~~=lim_{t->2+0}{g(f(t))}+lim_{t->4+0}{g(f(t))}]
[eqn: ~~~+lim_{t->6+0}{g(f(t))+lim_{t->8+0}{g(f(t))] [eqn: cdotscdots] ㉠
㉠에서
[eqn: lim_{x->2+0}{g(f(t))}&=lim_{t->6+0}{g(f(t))} #&=lim_{t->-2+0}{g(f(t))=g(-1)=1]
[eqn: lim_{t->4+0}{g(f(t))}&=lim_{t->8+0}{g(f(t))}=lim_{t->+0}{g(f(t))} #&=lim_{s->+0}g(s)=-2]
이므로
[eqn: lim_{x->inf}{sum_{k=1}^{4}{g`left(f`left(2k+`1overx`right)right)] [eqn: =1times2`+(-2)times2=-2] [eqn: therefore] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

31 249

신뢰구간, 이차방정식의 근과 계수의 관계

제품의 길이가 정규분포 [eqn: rm `N LEFT ( it m,~ LEFT ( {1} over {1.96} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르므로

표본의 크기 [eqn: 10]으로 임의 추출한 제품의 길이의 표본평균 ([eqn: barX])을 이용하여

모평균([eqn: m])을 [eqn: 95%] 신뢰도로 추정한 신뢰구간은

[eqn: bar{X} `-1.96 TIMES {1} over {1.96 sqrt {10}} <= m` <= bar{X} `+1.96 TIMES {1} over {1.96 sqrt {10}}]

[eqn: ~ RARROW ~~ bar{X} `- {1} over {sqrt {10}} <= m` <= bar{X} `+ {1} over {sqrt {10}}]

[eqn: alpha= bar{X} `- {1} over {sqrt {10}} ,~beta= bar{X} `+ {1} over {sqrt {10}}]

[eqn: alpha], [eqn: beta]가 [eqn: 10x ^{2} -100x+k=0]의 두 근이므로

[eqn: alpha+beta=2barX`= {100} over {10} =10] ∴ [eqn: barX`=5]

[eqn: alpha`beta`=barX` ^{2} - {1} over {10} = {k} over {10}]에서 [eqn: 25- {1} over {10} = {k} over {10}]이므로

∴ [eqn: k=249]

32 ③

지수법칙과 등차수열

[eqn: b _{2k-1} =2 ^{-(a _{1} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2k-1} )}# b _{2k} ```````````=2 ^{a _{2} +a _{4} +` CDOTS `+a _{2k}}]

위 두 식을 곱하면

[eqn: b _{2k-1} `b _{2k} =2 _{} ^{(`a _{2} -a _{1} )+(`a _{4} -a _{3} )+` CDOTS +(`a _{2k} -a _{2k-1} )}# ````````````````````````````````=2 ^{kd}]

[eqn: b _{1} TIMES b _{2} =2 ^{-a _{1} +a _{2}} =2 ^{d}]

[eqn: b _{3} TIMES b _{4} =2 ^{-a _{1} -a _{3} +a _{2} +a _{4}} =2 ^{2d}]

[eqn: ~~ VDOTS]

[eqn: b _{9} TIMES b _{10} =2 ^{5d}]

[eqn: b _{1} b _{2} ` CDOTS b _{10} =2 ^{d+2d+` CDOTS `+5d} =2 ^{15d} =8=2 ^{3}]

∴ [eqn: d= {3} over {15} = {1} over {5}]

33 180

행렬의 거듭제곱과 조합

[eqn: A=` {pmatrix{``0````&-1#1&```0}}]이면

[eqn: A ^{2} =-E# A ^{3} =-A# A ^{4} =E# A ^{5} =A# A ^{6} =A ^{2} =-E# A ^{7} =-A# A ^{8} =-A ^{2} =E# A ^{9} =A ^{}]

[eqn: ~~VDOTS]

[eqn: A ^{m} =A ^{n}]을 만족시키는 두 자연수

[eqn: m,`~n LEFT ( m>n RIGHT )]의 순서쌍의 개수를 [eqn: N LEFT ( m,``n RIGHT )]라고 하자.

[eqn: A ^{1} =A ^{5} =A ^{9} = CDOTS =A ^{37}]이므로

[eqn: N LEFT ( m,n RIGHT ) = _{10} C _{2} =45]

[eqn: -E=A^{2}=A^{6}=A^{10}=···=A^{38}=]이므로

[eqn: N LEFT ( m,n RIGHT ) = _{10} C _{2} =45]

[eqn: -A=A^{3}=A^{7}=A^{11}=···=A^{39}]이므로

[eqn: N LEFT ( m,n RIGHT ) = _{10} C _{2} =45]

[eqn: E=A^{4}=A^{8}=A^{12}=···=A^{40}]이므로

[eqn: N LEFT ( m,n RIGHT ) = _{10} C _{2} =45]

[eqn: therefore```] [eqn: N LEFT ( m,n RIGHT ) = 4times45=180]

34 ④

확률의 응용문제 해결능력

[eqn: rm`A]팀의 출전 선수를 차례로 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}]라고 하고, [eqn: rm`B]팀의 출전 선수를 차례로 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2}], [eqn: b _{3}]라고 하면

[eqn: rm`A]팀의 [eqn: 2]번 선수가 승리한 횟수가 [eqn: 1]일 확률은 다음 세 가지 경우가 가능하다.

ⅰ) [eqn: a _{1}]이 [eqn: b _{1}]에 패하고,  [eqn: a _{2}]는 [eqn: b _{1}]에 이기고 [eqn: b _{2}]에 패하는 경우

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {8}]

ⅱ) [eqn: a _{1}]이 [eqn: b _{1}]에 이기고 [eqn: b _{2}]에 패했을 때, [eqn: a _{2}]가 [eqn: b _{2}]에 이기고 [eqn: b _{3}]에 패하는 경우

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {16}]

ⅲ) [eqn: a _{1}]이 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2}]에 이기고 [eqn: b _{3}]에 패했을 때, [eqn: a _{2}]가 [eqn: b _{3}]에 이기는 경우

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {16}]

∴ ⅰ) ⅱ) ⅲ)에서 구하는 확률은 [eqn: {1} over {8} + {1} over {16} + {1} over {8} = {1} over {4}]

35 ①

수열 - 경우의 수

[eqn: 9]장의 카드에서 [eqn: 3]장의 카드를 선택 할 때,

어느 두 수도 연속하지 않아야 한다.

ⅰ) [eqn: 9]가 선택되는 경우 [eqn: 8]은 선택할 수 없고

나머지 [eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지 카드 중에서

연속하지 않게 두 수를 선택하면 되므로

[eqn: N(7,~2)]

ⅱ) [eqn: 9]가 선택되지 않는 경우

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지 카드에서

어느 두 수도 연속하지 않게 [eqn: 3]장을 선택하면 되므로

[eqn: N(8,~3)]

따라서 [eqn: N(9,~3)=N(box{~```7~},~2)+N(8,~3)]

(∵ 연속불가 [eqn: 9], [eqn: 8] 안됨)

같은 방법으로 [eqn: N`(`8`,`3)=N`(`6`,`2)+N`(`7`,`3)]

∴ [eqn: N`(`9`,`3)=N`(`7`,`2)+N`(`6`,`2)+N`(`7`,`3)]

따라서 [eqn: N(9,~3) = N(7,~2) + N(6,~2) + CDOTS+N(3,~2)]가 된다.

이것을 시그마로 표현하면

[eqn: N(9,~3) = sum _{ k=3} ^{7 }N(k,~2)]이다.

여기서 [eqn: N(k,~2)]는 [eqn: k]개 중 [eqn: 2]개를 선택하여

서로 연속되는 두 수가 나오는 경우를 빼면 되므로

[eqn: N(k,~2)= BOX{``` _{k}rm C _{2} ```}it -(k-1)]이 된다.

(∵ [eqn: k]개에서 [eqn: 2]개 뽑을 때 연속 두 수 불가능 [eqn: RARROW] [eqn: k-1]개)

이것을 계산하면

[eqn: N(9,~3)] [eqn: = sum _{k=3} ^{7} N(k,~2)= sum _{k=3} ^{7} ` LEFT { {} _{k} rmC _{2} it-(k-1) RIGHT }]

[eqn: ~~= rm (` _{3} `C _{2} `+` _{4} `C _{2} + CDOTS +` _{7} `C _{2} )-(2+3+ CDOTS +6)]

[eqn: ~~= BOX{``35``}]

36 31

약수⋅배수와 수열

[eqn: a _{m}]은 [eqn: {m} over {3 ^{k}}]을 자연수가 되게 하는 음이 아닌 정수 [eqn: k]의 최댓값을 의미하므로

[eqn: a _{m} =a _{2m} =a _{4m} =a _{5m} =a _{7m} =a _{8m} =3]

[eqn: a _{3m} =a _{6m} =4]

[eqn: a _{9m} =5]

따라서 [eqn: a _{m} +a _{2m} +` CDOTS `+a _{9m} =31]

37 ③

공간도형 - 정사영

[eqn: theta]

[eqn: theta]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: 2r]

[eqn: theta]

ㄱ. 구의 지름 중 구의 중심을 지나고 교선 [eqn: l]과 평행한 지름의 정사영의 길이는 변치 않으므로

그림자와 교선 [eqn: l]의 공통부분의 길이는 [eqn: 2r] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: a`cos`60 DEG =``b`sin`60 DEG `]에서 [eqn: a= sqrt {3} b] 즉, [eqn: a>b] (거짓)

ㄷ. [eqn: cos theta = {r} over {a} ,`sin theta = {r} over {b}] 이므로

[eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2} theta =1] 에 대입하면

[eqn: {r ^{2}} over {a ^{2}} + {r ^{2}} over {b ^{2}} =1]  [eqn: therefore] [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} = {1} over {r ^{2}}] (참)

38 27

도형에 극한개념 응용하기

점 [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 점 [eqn: rm I `]라 하자.

[eqn: S` _{1} = TRIANGLE rm {ABQ} it = {1} over {2} bar{` rm {AQ} ` it} `․` bar{` rm {H} ` rm {I} ` it}]

[eqn: S`_2 = triangle{ rm AQP}= 1over 2 overline{`rm AQ`}`․`{overline{`rm PH`}}]

점 [eqn: rm A]은 반지름이 [eqn: 11]인 원 위의 점이므로 [eqn: (`11`cos`theta,~11`sin`theta )]라 놓자.

그러면, 점 [eqn: rm H]의 좌표는 [eqn: (`11`cos`theta,~0 )]이다.

또, 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 11`cos`theta]이고 타원 위에 있으므로

[eqn: {`{(11`cos `theta)^2}over 11^2 + y^2 over{3^2} = 1]

[eqn: RARROW] [eqn: y^2 = 9(`1-cos^2`theta) = 9 `sin^2 `theta]

[eqn: RARROW] [eqn: y = +- 3` sin` theta]

따라서 점 [eqn: rm A]이 제 [eqn: 1]사분면에 있으면 점 [eqn: rm Q]도 제 [eqn: 1]사분면에 있으므로

점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: 3 `sin `theta]라 할 수 있다.

[eqn: overline{`rm AQ} =] [eqn: overline{`rm AH`} - overline{`rm QH`} = 11`sin`theta - 3`sin`theta = 8`sin`theta]

[eqn: overline{`rm PH`} = 11 - 11`cos`theta =11(1-cos`theta)]

점 [eqn: {rm B}]는 반지름이 [eqn: 3]인 원과 동경각이 [eqn: theta]인 동경과 만나는 점이므로

그 좌표는 [eqn: (`3`cos`theta,~3`sin`theta )], 따라서 점 [eqn: {rm I}]의 좌표는 [eqn: (`3`cos`theta,~0 )]

[eqn: overline{`rm H`{rm I}`} = 11`cos`theta - 3 `cos`theta = 8`cos`theta]

따라서

[eqn: S`_1 = 1over 2 overline{`rm AQ`}`․`{overline{`rmH `rm I`} = 1over2 `․` 8`sin`theta``․`8`cos`theta] [eqn: = 32`sin`theta``cos`theta]

[eqn: S` _{2} = {1} over {2} bar{` rm {AQ} ` it} `․` bar{` rm {PH} ` it}# ``````````= {1} over {2} `․`8`sin` theta ``․`11(1-cos` theta )]
[eqn: = 44 `sin`theta`(`1-cos `theta`)]

[eqn: lim _{theta -> 0} {`` {S` _{2}} over {theta ^{2} `․`S` _{1}}} = lim _{theta -> 0} {eqalign{{44`sin` theta `(1-cos` theta )} over {theta ^{2} `․`32`sin` theta `cos` theta }# }} = lim _{theta -> 0} {{11`(`1-cos` theta )} over {8` theta ^{2} `cos` theta }}]

[eqn: ~~= lim _{theta -> 0} {{11} over {8} `․` {1-cos` ^{2} ` theta } over {theta ^{2}} `․` {1} over {1+cos` theta } `․`` {1} over {cos` theta }}]

[eqn: ~~= lim _{theta -> 0} {{11} over {8} `․` {sin` ^{2} ` theta } over {theta ^{2}} `․` {1} over {1+cos` theta } `․`` {1} over {cos` theta }}] [eqn: = 11 over 16] [eqn: = q over p]

[eqn: left( because lim_{theta->0} {``{sin^2 `theta} over{ theta^2} =1], [eqn: lim_{theta->0}{``1over {cos`theta}} = 1],  [eqn: lim_{theta->0} {``1over{1+ cos`theta}} = 1over2 right)]
따라서 [eqn: p+q = 16 + 11 = 27]

39 ②

이산확률분포의 계산

앞면을 [eqn: H], 뒷면을 [eqn: T]라고 하면

ⅰ) 맨 처음에 [eqn: H]가 나오는 경우

,, [eqn: T] , [eqn: T] : [eqn: {3!} over {2!} =3]가지

[eqn: H]

[eqn: TH]

, ,[eqn: H] ,[eqn: H] : [eqn: {3!} over {2!} =3]가지

[eqn: H]

[eqn: TH]

, ,[eqn: (`H``,`T`)] [eqn: `]: [eqn: 2!`=2]가지

[eqn: H]

[eqn: TH]

: [eqn: 2]가지

[eqn: H]

[eqn: TH]

[eqn: H(`T`)`,]

,[eqn: T`(`H`)]

∴ [eqn: 10]가지

ⅱ) 맨 처음에 [eqn: T]가 나오는 경우

[eqn: H`(`T`)] , : [eqn: 2]가지

[eqn: TH]

[eqn: TH]

,  , [eqn: H`(`T`)] : [eqn: 2]가지

[eqn: TH]

[eqn: TH]

[eqn: T] ,  ,  : [eqn: 1]가지

[eqn: TH]

[eqn: TH]

∴ [eqn: 5]가지

[eqn: P= {15} over {2 ^{5}} = {15} over {32}]

40 ④

초월함수의 그래프와 대소비교

ㄱ. [eqn: x ^{2} `sin` {x ^{2}} over {2``} -f(`x)# ~~=x ^{2} f(`x)-f(`x)=(x ^{2} -1)f(x)]
[eqn: 0<x<1]이므로

[eqn: 0<x^2 <1] [eqn: RARROW] [eqn: x^2 -1 <0]
[eqn: 0< x^2 over {2``} < 1over 2 < pi over 4]이므로 [eqn: 0< sin` x^2 over {2``} < sqrt2 over 2] [eqn: RARROW] [eqn: 0<f(`x)< sqrt2 over 2]
따라서

[eqn: (x^2 -1 )f(`x) < 0] [eqn: RARROW] [eqn: x^2 `sin `x^2over{2``} < f(`x)]
[eqn: f(`x)-cos` {x ^{2}} over {2``} =sin` {x ^{2}} over {2``} -cos` {x ^{2}} over {2``}# ````````````````````````````````````````````````=cos` {x ^{2}} over {2``} LEFT ( tan` {x ^{2}} over {2``} -1 RIGHT )]
[eqn: 0< x^2 over {2``} < 1over 2 < pi over 4]이므로
[eqn: 0< cos` x^2 over {2``} < sqrt2 over 2], [eqn: 0< tan` x^2 over {2``} < 1]
따라서 [eqn: cos`x^2 over{2``} left( tan`x^2over{2``} -1right)`` <0]  [eqn: RARROW] [eqn: f(`x) < cos` x^2 over {2``}]

[eqn: therefore] [eqn: x^2 `sin `x^2over{2``} < f(`x) < cos `x^2 over{2``}]이므로 참

ㄴ. [eqn: f`'(`x) = x `cos` x^2 over{2``{]
[eqn: f` '' (`x)=cos` {x ^{2}} over {2``} -x ^{2} `sin` {x ^{2}} over {2``}# ``````````````````````=cos` {x ^{2}} over {2``} LEFT ( `1-x ^{2} `tan` {x ^{2}} over {2``} RIGHT )]

구간 [eqn: (`0,~1)]에서 [eqn: 0<x^2 <1], [eqn: 0< x^2 over {2``} < 1over 2 < pi over 4]이므로
[eqn: 0< cos` x^2 over {2``} < sqrt2 over 2], [eqn: 0< tan` x^2 over {2``} < 1],

[eqn: 0< x^2 `tan` x^2 over {2``} < 1]이므로 [eqn: f`''(`x) > 0]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(`x)]는 아래로 볼록이므로 거짓

ㄷ. [eqn: int_0^1{`sin` x^2over{2``} }dx]는 다음 그림에서

점 [eqn: (0,~1)]과 점 [eqn: left(` 1,~sin`1over2 right)]를 지나고 아래로 볼록인

함수 [eqn: f(`x)]를 적분한 값이다.

[eqn: 1 over 2 `sin ` 1over2]는 점 [eqn: (`0,~0)], 점 [eqn: (0,~1)], 점 [eqn: left(` 1,~sin`1over2 right)]으로 이루어진 삼각형의 넓이와 같다.
따라서 [eqn: int_0^1{`sin` x^2over{2``} }dx <= 1over2 ` sin `1over2]이므로 참

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

41 13

정점을 지나는 곡선과 다항함수의 미분

[eqn: f`(`x`)`=x` ^{4} `+ax` ^{3} `+bx` ^{2} `+cx`+d``] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

[eqn: f`'`(`x`)`=4x` ^{3} `+3ax` ^{2} `+2bx``+c``] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

주어진 조건이 [eqn: f`'`(`0`)`=`0`], [eqn: f`'`(`2)`=`0`], [eqn: f(`2)=2``]이므로

㉡식에 적용해보면

[eqn: c=0`], [eqn: b=-3a-8`]

이를 ㉠ 에 적용해보면

[eqn: d`=4a+18``]

이들을 ㉠에 대입하여 정리해보면

[eqn: f(`x)=x` ^{4} `+ax` ^{3} `+`(`-3a-8)`x` ^{2} `+(4a+8)``]

[eqn: ~~=(`x` ^{4} `-8x` ^{2} `+8)`+a(`x` ^{3} `-3x` ^{2} `+4)`]

[eqn: ~~=(`x` ^{4} `-8x` ^{2} `+8)`+a(`x-1)(x-2)` ^{2} ``]

따라서 [eqn: f`(`x)`]는 [eqn: a``]값에 관계없이 [eqn: x=1`,x`=2``]을 지난다.

따라서 점의 좌표는 [eqn: f`(1)`=11`,`f`(2)`=2``]이다.

[eqn: f(1)+f(2)=13``]