Chap 1. 평면좌표

Theme Math

Theme #1. 두 점 사이의 거리

Remark) 기하학의 출발은 “측정”을 목적으로 한다. 따라서, 두 도형(여기서는 두 점)이 주어지면 거리(길이)에 관심을 두는 것은 너무 당연하다.

Thm 1.1) 수직선에서의 두 점 사이의 거리(1차원)

수직선 위의 두 점 [eqn: P(x _{1} ),```Q(x _{2} )] 사이의 거리

[eqn: bar{PQ}][eqn: = LEFT | x _{2} -x _{1} RIGHT |]

Pf)

Remind 절대값의 정의!!

Thm 1.2) 좌표평면에서의 두 점 사이의 거리(2차원)

좌표평면 위의 두 점 [eqn: P(x _{1} ,``y _{1} ),```Q(x _{2} ,```y _{2} )] 사이의 거리

[eqn: bar{PQ}][eqn: = sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}}]

Pf) Use Thm 1.1!!!!

Theme Math                                                                                                                    Math Shin

Note) 문제에서 점 [eqn: P]의 좌표가 직접 주어지지 않은 경우 주어진 정보에 맞게 점 [eqn: P]의 좌표를 설정해야 한다.

위치	[eqn: x]축	[eqn: y]축	[eqn: y=x]	[eqn: y=f(x)]	일반적인 상황
좌표	[eqn: (a,```0)]	[eqn: (0,```a)]	[eqn: (a,```a)]	[eqn: (a,```f(a))]	[eqn: (a,```b)]

물론 표에서 확인할 수 있다시피 좌표 설정의 concept은 미지수를 줄이는 것이다!!

ex #1) 세 점 [eqn: A(-2,```3),```B(2,```1),```C(4,```5)]을 세 꼭지점으로 하는 삼각형 [eqn: ABC]는 어떤 삼각형인가?

ex #2) 두 점 [eqn: A(8,```-7),```B(12,```5)]에서 같은 거리에 있는 점 [eqn: P]가 직선 [eqn: x+2y=3]위의 점일 때, 점 [eqn: P]의 좌표는?

ex #3) 세 점 [eqn: A(7,```1),```B(5,```-3),```C(-1,```5)]를 꼭지점으로 하는 삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 구하여라.

ex #4) 좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(2,```7),```B(3,```2)]가 있다. [eqn: y]축 위를 움직이는 점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: bar{AP} + bar{BP}]의 값이 최소일 때, 그 최솟값과 그 때의 점 [eqn: P]의 좌표를 구하여라.

ex #5) 두 점 [eqn: A(1,```2),```B(3,```6)]과 직선 [eqn: y=x]위의 점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: {bar{AP}} ^{2} + {bar{BP}} ^{2}]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: P]의 좌표와 그 때의 최솟값을 구하여라.

ex #6) 두 실수 [eqn: x,```y]에 대하여 [eqn: sqrt {(x-2) ^{2} +y ^{2}} + sqrt {x ^{2} +(y-4) ^{2}}]의 최솟값을 구하여라.

ex #7) 세 점 [eqn: A(2,```1),```B(4,```3),`C(a,```0)]에 대하여 [eqn: TRIANGLE ABC]가 이등변삼각형이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 값은?

ex #8) 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(a+b)x+4(a+b-1)=0]이 중근을 가지도록 실수 [eqn: a,```b]의 값을 정할 때, 좌표평면 위의 두 점 [eqn: P(-1,```0),```Q(a,```b)]사이의 거리의 최솟값을 구하시오.

Thm 1.3) Pappus의 정리

삼각형 [eqn: ABC]에서 변 [eqn: BC]의 중점을 [eqn: M]이라 할 때 [eqn: bar{AB} ^{2} + bar{AC} ^{2} =2( bar{AM} ^{2} + bar{BM} ^{2} )]이 성립한다.

Pf)

ex #9) 평행사변형 [eqn: ABCD]에서 [eqn: bar{AB} =4,``` bar{BC} =5,``` bar{BD} =8]일 때, [eqn: bar{AC}]의 길이를 구하여라.

ex #10) 오른쪽 그림과 같이 [eqn: triangle ABC] 의 변 [eqn: BC]를 삼등분하는 점을 각각 [eqn: M,] [eqn: N] 이라 할 때, 다음이 성립함을 보여라.

[eqn: {bar AB}^2 + { bar AC}^2 = { bar AM }^2 + {bar AN}^2 + 4 { bar MN}^2]

ex #11) 오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: ABCD]에서 대각선의 중점을 [eqn: M]이라 하자. [eqn: BAR AB = 6 ,~ BAR AD = 8 ,~ BAR BD = 4 root 6]일 때, [eqn: bar AM]의 길이를 구하시오.

Def 1.1) 자취의 방정식(흔적 / 발자국^^)

어떤 조건을 만족하는 점 전체의 집합이 한 도형을 이룰 때, 이 점(동점)이 그리는 도형을 점의 자취라고 한다.

Thm 1.4) 자취의 방정식 구하기

ⅰ) 주어진 조건을 만족하는 점을 [eqn: P(x,~y)] 로 놓는다.

ⅱ) 주어진 조건을 이용하여 [eqn: x] 와 [eqn: y] 사이의 관계식을 구한다. (매개변수를 활용)

ⅲ) [eqn: x] 와 [eqn: y] 사이의 관계식을 보고 자취가 무엇인가 판정한다.

이 때, 제한된 범위의 유무를 조사한다.

ex #12) 두 점 [eqn: A(2,~-1) ,~B(4,~3)]으로부터 같은 거리에 있는 점 [eqn: P(x,~y)]의 자취의 방정식은?

ex #13) 세 점 [eqn: A(2,~1) ,~B(3,~-1) ,~C(-1,~2)]에 대하여 [eqn: 3 {BAR AP}^2 = 2 {BAR BP}^2 + {BAR CP}^2]을 만족시키는 점 [eqn: P(x,~y)]의 자취의 방정식을 구하시오.

ex #14) 좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(4,~0),~ B(0,~2)]와 제 [eqn: 1]사분면 위의 임의의 점 [eqn: P]가 [eqn: TRIANGLE OAP + TRIANGLE OBP = 5]를 만족시킬 때,
점 [eqn: P]의 자취의 방정식을 구하시오.  (단, [eqn: O]는 원점)

Theme #2. 선분의 내분점과 외분점

Note) 두 점사이의 거리를 계산할 수 있게 되면 이를 이용하여 다양한 응용이 가능해진다. 이제 일직선 상의 세 점 사이의 위치관계를 거리를 이용하여 정의하자.

Def 2.1) 내분점과 외분점의 정의

(1) 선분 [eqn: bar{AB}]의 내분점 [eqn: C] : [eqn: bar{AB}]위에 점 [eqn: C]가 있을 때, 점 [eqn: C]는 [eqn: bar{AB}]를 내분한다고 하고, 점 [eqn: C]를 [eqn: bar{AB}]의 내분점이라 한다.

(2) 선분 [eqn: bar{AB}]의 외분점 [eqn: C] : [eqn: bar{AB}]의 연장선 위에 점 [eqn: C]가 있을 때, 점 [eqn: C]는 [eqn: bar{AB}]를 외분한다고 하고, 점 [eqn: C]를 [eqn: bar{AB}]의 외분점이라 한다.

(3) 특히, 비율 [eqn: bar{AC`} ````:`` bar{CB} ``=m``:``n]이 주어지면 각각을 “점 [eqn: C]는 [eqn: bar{AB}]를 [eqn: m```:``n]으로 내분한다.”, “점 [eqn: C]는 [eqn: bar{AB}]를 [eqn: m```:``n]으로 외분한다.” 고 한다. (이 정의를 의식하여 읽지 않으면 분명 계산과정에서 실수할 여지가 생김!!)

[eqn: RARROW] 순서가 매우(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)중요!!!! + 계산에 치우치지 말고 위치를 정확히 판단할 것!!!!

Thm 2.1) 수직선(1차원)에서의 선분의 내분점과 외분점

수직선 위의 두 점 [eqn: A(x _{1} ),```B(x _{2} )]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: m```:``n]으로

(1) 내분하는 점 [eqn: P]의 좌표 : [eqn: P( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} )]

(2) 외분하는 점 [eqn: Q]의 좌표 : [eqn: Q( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} )] (단, [eqn: m != n])

Pf)

cf) 선분 [eqn: AB]의 중점 [eqn: M]의 좌표는 [eqn: M( {x _{1} +x _{2}} over {2} )]이다.

[eqn: RARROW] 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 1```:``1]으로 내분하는 점의 좌표로 해석!!

ex #1) 수직선 위의 두 점 [eqn: A(a),```B(b)]를 잇는 선분 [eqn: AB]를 2:3으로 내분하는 점은 [eqn: P(0)], 2:1로 외분하는 점은 [eqn: Q(8)]일 때, 상수 [eqn: a,```b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

Thm 2.2) 좌표평면(2차원)에서의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(x _{1} ,```y _{1} ),```B(x _{2} ,```y _{2} )]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: m```:```n]으로

(1) 내분하는 점 [eqn: P]의 좌표 : [eqn: P( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} ,`` {my _{2} +ny _{1}} over {m+n} )]

(2) 외분하는 점 [eqn: Q]의 좌표 : [eqn: Q( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} ,``` {my _{2} -my _{1}} over {m-n} )] (단, [eqn: m != n])

Pf)

cf) 선분 [eqn: AB]의 중점 [eqn: M]의 좌표는 [eqn: M( {x _{1} +x _{2}} over {2} ,` {y _{1} +y _{2}} over {2} )]이다.

[eqn: RARROW] 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 1```:``1]으로  내분하는 점의 좌표로 해석!!

ex #2) 세 점 [eqn: A(0,```3),```B(-2,```-3),```C(4,```0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: ABC]의 한 변 [eqn: BC] 위에 점 [eqn: P(a,```b)]가 있다. 삼각형 [eqn: ABP]와 삼각형 [eqn: APC]의 넓이의 비가 2:1일 때, 상수 [eqn: a,```b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

ex #3) 직선 [eqn: x-y=1]은 두 점 [eqn: A(1,```3),```B(-2,```-5)]를 이은 선분 [eqn: AB]를 [eqn: m```:```n]으로 내분한다. 이 때. [eqn: m-n]의 값은?

ex #4) 두 점 [eqn: A(1,```1),```B(3,```5)]를 이은 선분 [eqn: AB]의 연장선 위에 있는 점 [eqn: C]가 [eqn: 3 bar{AB} =2 bar{BC}]를 만족할 때, 점 [eqn: C]의 좌표를 구하여라.

ex #5) 두 점 [eqn: A(2,~15) ,~ B(11,~m)]에 대하여 [eqn: bar AB]를 [eqn: 5``:``2]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: (n,~-5)]일 때, 상수 [eqn: m,~n]의 합 [eqn: m+n]의 값을 구하시오.

ex #6) 두 점 [eqn: A(-3,~10),~B(5,~-8)]에 대하여 [eqn: BAR AB]를 [eqn: t``:``2-t]로 내분하는 점이 제 [eqn: 1]사분면에 속할 때, [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: alpha <t< beta]이다. 상수 [eqn: alpha,~ beta]에 대하여 [eqn: 4 alpha + 9 beta]의 값을 구하시오.

ex #7) 네 점 [eqn: A(1,~0),~B(4,~b),~C(a,~3),~D(-1,~2)]를 꼭지점으로 하는 평행사변형 [eqn: ABCD]의 두 대각선의 길이의 제곱의 합을 구하시오.

ex #8) 네 점 [eqn: A(0,~a) ,~B(3,~1),~ C(c,~4),~ D(-2,~b)]를 꼭지점으로 하는 [eqn: □ABCD]가 마름모일 때, 상수 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: a<0])

ex #9) 두 점 [eqn: A(1,```1),```B(2,```2)]에 대하여 선분 [eqn: AB]의 연장선 위에 [eqn: {bar{AB}} : {bar{AP}} =2:3]이 되는 점 [eqn: P]는 2개가 있다. 이 두 점 사이의 거리는?

ex #10) 두 점 [eqn: A(1,```8),```B(4,```-3)]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: k:1]로 내분하는 점이 제 1사분면에 존재하도록 하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은?

Theme #3. 삼각형의 무게중심

Thm 3.1) 삼각형의 무게중심

세 꼭짓점의 좌표가 [eqn: A(x _{1} ,```y _{1} ),```B(x _{2} ,```y _{2} ),```C(x _{3} ,```y _{3} )]인 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심 [eqn: G]의 좌표는

[eqn: G( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,``` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} )]

Pf)

ex #1) 세 점 [eqn: O(0,```0),```A(3,```4),```B(9,```-4)]이고 선분 [eqn: OB]위에 점 [eqn: D]가 있다. [eqn: bar{AD}]가 [eqn: ANGLE OAB]를 이등분할 때, 점 [eqn: D]의 좌표를 구하여라.

ex #2) 세 점 [eqn: A(1,~10) ,~B(-2,~5),~C(4,~0)]을 꼭지점으로 하는 [eqn: TRIANGLE ABC]의 변 [eqn: AB,~BC,~CA]의 중점을 각각 [eqn: P,~Q,~R]라 하자. [eqn: TRIANGLE PQR]의 무게중심 [eqn: G]의 좌표가 [eqn: (a,~b)]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab] 값을 구하시오.

ex #3) [eqn: triangle ABC] 의 세 꼭짓점을 각각 [eqn: A(-6,~4),] [eqn: B(3,~6),] [eqn: C(6,~2)] 라고 할 때, 세 변 [eqn: AB,] [eqn: BC,]  [eqn: CA]를 각각 [eqn: 2``:``1] 로 내분하는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하시오.

ex #4) 좌표평면의 제 1사분면에 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {6}]인 정삼각형 [eqn: ABC]가 있다. 변 [eqn: BC]의 중점 [eqn: M]의 좌표가 [eqn: (5,```2)]이고, 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심 [eqn: G]는 직선 [eqn: y= {1} over {2} x]위에 있다. 점 [eqn: G]의 [eqn: y]좌표가 2 이상일 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 세 꼭짓점 [eqn: A,```B,```C]의 [eqn: y]좌표의 합을 구하시오.

ex #5) 세 점 [eqn: A(1,```2),```B(-4,```-3),```C(3,```1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심을 [eqn: M,] 외심을 [eqn: N]이라 하자. 선분 [eqn: MN]을 [eqn: 6:1]로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (a,```b)]라 할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하시오.

Level up!!

1. 네 점 [eqn: A ( 0,`0) ,`` B (2,`- 2 ) , ``C (5,`4) ,``D (-1,`3)`]에 대하여

[eqn: bar{PA} `+` bar{PB} `+` bar{PC} `+` bar{PD} `]의 최솟값을 구하시오.

(단, [eqn: P`]는 좌표평면위의 임의의 점)

2. 오른쪽 그림과 같이 점[eqn: P``]는  [eqn: y``]축, 점 [eqn: Q``]는 [eqn: x``]축 위를 움직  일 때, [eqn: barAP + bar PQ + bar QB``]의 최소  값을 구하시오.

3.  두 점 [eqn: A(-2,1),B(3,4)``]에 대하여 선분 [eqn: AB``]를

[eqn: (3+k) : (3-k)``]로 내분하는 점[eqn: P``]가 제[eqn: 1``]사분면에 존재할 때, 정수 [eqn: k``]의 개수를 구하시오.

4. 오른쪽 그림과 같이 가로의  길이가 [eqn: 15 rm cm`], 세로의 길이가   [eqn: 10 rm m`]인 직사각형[eqn: ABCD`]에서

[eqn: bar {AP`} =5 rm m`,``bar {CQ} =4 rm m`]이다. 점 [eqn: P`]를 출발하여 변 [eqn: AD`] 위의 임의의 한 점 [eqn: X`]와 변 [eqn: BC`] 위의 임의의 점 [eqn: Y`]를 지나 점 [eqn: Q`]에 이르는 최단 거리를 [eqn: d`]라 할 때 [eqn: d^2`]의 값을 구하시오.

5. 오른쪽그림과 같이 정사각형

[eqn: OABC`]의 내부에 [eqn: bar OP = 3,`` bar AP = 5,``bar CP =7`]을 만족하는 점 [eqn: P`]가 있다. 이 때,정 사각형 [eqn: OABC`]의 넓이를 구하시오.

6.  좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(-1,5) ,``B(5,-3)`]에 대하여 선분 [eqn: AB`]를 [eqn: t` `:` 1-t `]로 내분하는 점이 제 [eqn: 1]사분면에 있을  때, 양수 [eqn: t`]의 값의 범위를 구하시오.

7.  수직선 위의 [eqn: sqrt 6`]과 [eqn: sqrt 7] 사이의 세 수

[eqn: a= {sqrt 7 + sqrt 6 } over 2 , ``````b= {2 sqrt 7 + sqrt 6 } over 3 ,``````c= {sqrt 7 + 3 sqrt 6 } over 4 ``]

사이의 대소 관계를 나타내시오.

8. 두 점 [eqn: A,``B`]사이의 거리가 [eqn: 10`]일 때, [eqn: bar {PA} `^2 - bar {PB} `^2 =20`]인 점 [eqn: P`]의 자취는 선분 [eqn: AB`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분하는 점을 지나고 선분 [eqn: AB`]에 수직인 직선이라고 한다. 이 때, 상수 [eqn: m,``n`]의 합 [eqn: m`+`n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m,``n`]은 서로소)

9. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 한 변의 길이가 각각 [eqn: 1,`` 2,`` 3`]인 세 개의  정삼각형이 있다.  이 때, 두 점 [eqn: C,`` E`] 의 중점의 좌표를 구하시오.

10. [eqn: 0<x<6``]인 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: root {x^2 + 1} + root{x^2 -12x+ 85}``]의 최솟값을 구하시오.

11.   수직선 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm A( it a)], [eqn: rm B( it b)], [eqn: rm C( it c)]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점 [eqn: rmP(itp)]가 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: m:n]으로 외분하는 점이 될 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m != n], [eqn: m>0], [eqn: n>0])

< 보 기 >

ㄱ. [eqn: a=1,```b=5,```m=1,```n=`2]이면 [eqn: c=7]이다.

ㄴ. [eqn: m>n]이면 [eqn: a<p<b<c]이다.

ㄷ. [eqn: p= { a+b} over { 2}]

12. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P(3`,~4)`,~Q(12`,~5)`]에 대하여  [eqn: rm ANGLE POQ`]의 이등분선과 선분 [eqn: rm PQ`]와의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: {b} over {a} `]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

13.  그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm P(3,```7)], [eqn: rm Q(1,```1)], [eqn: rm R(9,```3)]으로부터 같은 거리에 있는 직선 [eqn: l`]이 선분 [eqn: rm PQ], [eqn: rm PR`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하자. 선분 [eqn: rm QR]의 중점을 [eqn: rm C`]라 할 때, [eqn: △rm ABC`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: rm G( it x,~y)]라 하면 [eqn: x+y]의 값은?

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm C]

[eqn: l]

[eqn: rm R(9,``3)]

[eqn: rm Q(1,``1)]

[eqn: rm P(3,``7)]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

14. 좌표평면 위의 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점[eqn: A(1,5)], [eqn: B(6-p, 1+q )], [eqn: C(8+p, 9-p)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심을 [eqn: G]라 하자. 선분 [eqn: AG]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점을 [eqn: P(a,b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

15.  그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} `=8`,] [eqn: rm bar{AC} `=6`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 3``:`1`]로 내분하는 점 [eqn: rmD`]에 대하여 [eqn: rm bar{AD} `=5]일 때, 선분 [eqn: rmBC`]의 길이는?

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: rm 5]

16. 세 꼭짓점의 좌표가 [eqn: {rmA}(0,~3),] [eqn: {rmB}(-5,~-9),] [eqn: {rmC}(4,~0)`]인

삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 그림과 같이 [eqn: bar{rmAC} = bar{ rmAD}`]가 있도록 점 [eqn: rmD`]를 선분 [eqn: rmAB] 위에 잡는다. 점 [eqn: rmA`]를 지나면서 선분 [eqn: rmDC`]와 평행인 직선이 선분 [eqn: rmBC`]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 이때, 점 [eqn: rmP`]의 좌표는?

17. 그림과 같이 일차함수 [eqn: y=x `]의 그래프와 이차함수 [eqn: y=x^2`]의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다. 곡선 [eqn: y=x^2`]위에 두 점 [eqn: rmA`,```B`]를 잡고, 직선 [eqn: y=x`]위에 두 점 [eqn: rmC`,```D`]를 잡아 이 도형 위에 정사각형 [eqn: rmABCD`]를 그린다. 이 정사각형 [eqn: rmABCD`]의 대각선의 길이가 [eqn: 2 sqrt {a} +b`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.)

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: y=x]

18.  다음 두 조건을 만족하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 개수는?

	(가) [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 점 [eqn: rm `A` it (`a``,``b`)`]와 두 점 [eqn: rm `B(-1``,``1)`], [eqn: rm `C`(2```,``-2)`]를 연결하여 삼각형을 만든다. (나) [eqn: y`]축이 선분 [eqn: rm `AB`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분하고, [eqn: x`]축이 선분 [eqn: rm `AC`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분한다. (단, [eqn: m,````n`]은 양의 정수)

19. 그림과 같이 두 산봉우리 [eqn: rm A,~B`]지점을 직선으로 잇는 케이블을 설치하려고 한다. [eqn: rm A,~B`]의 높이 차는 [eqn: rm 200m`]이고, [eqn: rm A`]에서 [eqn: rm B`]를 올려다 본 각은 [eqn: 30°]이다. 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: m```:```n]으로 내분하는 점 [eqn: rm P`]와 [eqn: n```:```m`]으로 내분하는 점 [eqn: rm Q`]에 각각 지지대를 설치했더니, [eqn: rm P`]와 [eqn: rm Q`] 사이의 거리가 [eqn: rm 200m`]가 되었다. 이 때, [eqn: {n} over {m}`]의 값은?

(단, 케이블의 늘어짐은 무시한다.)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm 200m]

[eqn: rm 200m]

[eqn: 30°]

20. [eqn: ANGLE rm B = 90 DEG `]이고 선분 [eqn: rm AB`]의 길이가 [eqn: 6`], 선분 [eqn: rm BC`]의 길이가 [eqn: 4`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm L`], 선분 [eqn: rm BC``]를 [eqn: 3`:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm M`], 선분 [eqn: rm AC`]와 선분 [eqn: rm LM`]의 교점을 [eqn: rm N`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm CMN`]의 넓이를 [eqn: S`]라고 할 때, [eqn: 20S`]의 값을 구하시오.

21. 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`0`,``2)``], [eqn: rm B`(`3`,``0)``]을 잇는 선분 [eqn: rm AB``]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm A`B`C`D``]에 대하여 선분 [eqn: rm OC``]의 길이의 제곱 [eqn: bar{rm OC} it ^{`2}} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O``]는 원점이고 점 [eqn: rm C``]는 제[eqn: `1``]사분면 위의 점이다.)

22.   좌표평면 위에서 세 점  [eqn: rm O(`0,``0)`], [eqn: rm A(`4,`1`)], [eqn: rm B(`1,`4`)] 를 꼭지점으로 하는 삼각형[eqn: rm `OAB]에 대하여 선분[eqn: rm `AB`]를 [eqn: 1:2`]로 외분하는 점을[eqn: rm C`], 선분[eqn: rm `AB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을[eqn: rm D`]라 하자. 두 삼각형[eqn: rm OCB`],[eqn: rm OAD] 의 무게중심을  각각[eqn: rm G _{1} `],[eqn: rm G _{2}] 라 할 때, 선분[eqn: rm {G _{1} G _{2}}] 의 길이는?

23. 두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]가 있다. [eqn: rm A``]그릇에는 농도가 [eqn: a``] %인 소금물 [eqn: 300`` rm g``]이 들어 있고, [eqn: rm B``]그릇에는 농도가 [eqn: b``] %인 소금물 [eqn: 200`` rm g``]이 들어 있다. 두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]의 소금물을 모두 섞을 때의 농도를 [eqn: x``] %라 하자. 이때 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: x``]를 좌표로 하는 수직선 위의 점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q``], [eqn: rm R``]라 하면 점 [eqn: \R``]는 선분 [eqn: \PQ`]를 [eqn: m``:`n``]으로 내분하는 점이다. 두 자연수 [eqn: m``], [eqn: n``]에 대하여 [eqn: {m} over {n} ``]의 값은? (단, [eqn: 0`<`a`<`b``]이다.)

24. 네 점 [eqn: rm O it (0,~0)], [eqn: rm A itLEFT ( 2,~ {1} over {2} RIGHT )], [eqn: rm B it (1,~2)], [eqn: rm C it (-1,~1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC]가 있다. 선분 [eqn: rm OA]의 연장선 위에 점 [eqn: rm D(it`a,~b)]를 잡아 사각형 [eqn: rm OABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm COD]의 넓이가 같도록 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a>2])

25.  그림과 같이 [eqn: △ rm ABC]에서 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 5:2]로 외분하는 점을 [eqn: rm E]라 하고, 두 점 [eqn: rm D]와 [eqn: rm E]를 지나는 직선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자.

다음은 [eqn: bar{rm AF it} `: bar{rm FC it} `=m:n]일 때, [eqn: mn]의 값을 구하면? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rmD]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: l]

26. 그림과 같이 반직선 [eqn: rm OA`]와 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 점 [eqn: \O`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \OB}`]를 반지름으로 하는 원이 반직선 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: \P`], 선분 [eqn: rm OA it}`]를 [eqn: 1``:``3`]으로 내분하는 점 [eqn: \D`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm DB}`]를 반지름으로 하는 원이 반직선 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: \Q`]라 하자.

이때, [eqn: {{bar {\OP}} }^{``2} `+`{bar {\OQ} }^{``2} `]의 값은?

27. 그림에서 [eqn: rm △ABC`]와 [eqn: TRIANGLE rm CDE`]가 정삼각형일 때, <보기> 에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, 세 점 [eqn: rm B`, `E`, `D`]는 한 직선 위에 있다.)

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: rm ANGLE ACD``= ANGLE BCE]	ㄴ. [eqn: rm bar{AD} ``= bar{BE}]

ㄷ. [eqn: rm ANGLE ADB``=60°]

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helpmemath

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28. 그림과 같이 [eqn: angle rm B =90DEG], [eqn: rm bar AB =6 , ~rm bar BC =8 ```]인 삼각형 [eqn: rm ABC```]에서 빗변 [eqn: rm bar AC```]의 중점을 [eqn: rm M], 꼭지점 [eqn: rm B```]에서 빗변 [eqn: rm bar AC```]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H```]라 할 때, [eqn: rm bar HM```]의 길이는?

29. 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmA(-1,~0)], [eqn: rmB(-1,~-1)], [eqn: rmC(0,~-1)], [eqn: rmD(ita,~a)]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다.

[eqn: y]축이 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 이등분할 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

30. 그림과 같이 한변의 길이가 [eqn: root 3 ```]인 정사각형 [eqn: rm ABCD```]를 점 [eqn: rm A``]를 중심으로 [eqn: 30DEG]만큼 회전시켜 정사각형 [eqn: rm AB'C'D'``]을 만들었을 때, 어두운 부분의 넓이는?