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원의 방정식

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

[eqn: x,~y`]에 대한 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+4y+2k=0`]이 원이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수는?

정답 ②

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+4y+2k=0]

[eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} =5-2k]

방정식이 원이 되려면 반지름이 양수이어야 하므로 [eqn: 5-2k`>`0`]

[eqn: THEREFORE `k`<` {5} over {2} `]

따라서 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]
④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

▶2005년 10월 평가원(고1)[2점]

중심의 좌표가 [eqn: (-1`,``2`)`]이고 [eqn: x`]축에 접하는 원의 방정식 은?

정답 ①

중심이 [eqn: (-1`,``2`)`]인 원이 [eqn: x`]축에 접하면

반지름의 길이는 [eqn: r`=`2`]이다. 따라서 이 원의 방정식은

[eqn: (x`+`1)^2`+`(y`-2`)^2 `=`2^2 ``]

[eqn: x^2`+`y^2``+`2x`-`4y`+`1`=`0`]

① [eqn: x^2`+`y^2``+`2x`-`4y`+`1`=`0`]

② [eqn: x^2`+`y^2``+`2x`-`4y`+`3`=`0`]

③ [eqn: x^2`+`y^2`+`2x`+`4y`+`1`=`0`]

④ [eqn: x^2`+`y^2`-`2x`+`4y`+`2`=`0`]

⑤ [eqn: x^2`+`y^2`-`2x`+`4y`+`4`=`0`]

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 원에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

	＜보 기＞
ㄱ. 원점을 지난다. ㄴ. [eqn: y`]축에 접한다. ㄷ. 직선 [eqn: y``=`{1}over{2}`x`]는 원의 둘레를 이등분한다.

정답 ④

원 [eqn: (x-1) ^{2} +( y+1)^2 `=` 4`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 도형의 방정식은 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} `=`4`]

ㄱ. [eqn: x`=`0`,~y`=`0`]을 대입하면 성립하지 않는다. (거짓)

ㄴ. 중심의 좌표가 [eqn: (2,~1)`], 반지름의 길이가 [eqn: 2`]이므로 [eqn: y`]축에 접한다. (참)

ㄷ. 직선  [eqn: y`=` { 1} over {2 } x`]가 중심 [eqn: (2,~1)`]을 지나므로 원의 둘레를 이등분한다. (참)

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2008년 10월 국가수준(고1)[2점]

그림과 같이 점 [eqn: rm A it (2,~1)`]에서 원 [eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `=`1`]에 그은 두 접선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm B,~ rm C`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는?

정답 ③

접점을 [eqn: rm P it (`x _{1} `,~y _{1} `)`]이라고 하면 접선의 방정식은 [eqn: x _{1} `x+y _{1} `y`=`1`]

이 접선이 점 [eqn: rm A it (2,~1)`]를 지나므로
[eqn: 2x _{1} +y _{1} `=`1`]               … ㉠

접점 [eqn: rm P it (`x _{1} `,~y _{1} `)`]은 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} `=`1`]위에 있으므로
[eqn: x_1 ^{2} + y_1 ^{2} `=`1`]    … ㉡

㉠과 ㉡을 연립해서 풀면 [eqn: cases {x _{1} `=`0#y _{1} `=`1`] 또는  [eqn: cases{x _{1} `=` {4} over {5} #y _{1} `=`- {3} over {5} `]

접선의 방정식은 [eqn: y`=`1] 또는 [eqn: 4x-3y-5`=`0`]

두 접선과 [eqn: y``]축과의 교점은 각각 [eqn: rm B`left(`0`,~1`right)`,~ rm C `left(`0`,~- {5} over {3} `right)`]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는 [eqn: {8} over {3} `]이다.

① [eqn: 2`]	② [eqn: {7} over {3} `]	③ [eqn: {8} over {3} `]
④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: {10} over {3} `]

▶2014년 3월 서울[3점]

그림은 원 [eqn: {(x+1) ^{2} +(y-3) ^{2} =4}]와 직선 [eqn: {y=mx+2}]를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 원과 직선의 두 교점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 할 때, 선분 [eqn: \AB]의 길이가 [eqn: 2sqrt { 2}]가 되도록 하는 상수 [eqn: m]의 값은? (단, [eqn: \O]는 원점이다.)

정답 ③

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 구한다.

원의 중심을 [eqn: \C], 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라고 하면,

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로

[eqn: rm {bar{AH}} = {bar{BH}} `= sqrt {2}]

[eqn: {bar{rm CH it}} rm = sqrt {{bar{rm AC it rm}} ^{2} - {bar{rm AH it rm}} ^{2}}]

[eqn: `=` sqrt {2 ^{2} -( sqrt {2} ) ^{2}} `= sqrt {2}]

이때 선분 [eqn: \CH]의 길이는 원의 중심 [eqn: \C]([eqn: -1], [eqn: 3])과 직선 [eqn: mx-y+2=0] 사이의 거리와 같으므로

[eqn: {LEFT | m TIMES (-1)-3+2 RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +(-1) ^{2}}} = sqrt {2}]

[eqn: LEFT | m+1 RIGHT | = sqrt {2} sqrt {m ^{2} +1}]

양변을 제곱하면

[eqn: (m+1) ^{2`}=2(m^2 + 1)]

[eqn: m ^{2} +2m+1=2m ^{2} +2]

[eqn: m^2 -2m+1 = 0]

[eqn: (m-1)^2 = 0]

∴ [eqn: `m=1]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

▶2006년 03월 교육청[3점]

좌표평면에서 직선 [eqn: 2x```-`y```=`5``]와 수직이고 원 [eqn: x ^{2} ``+``y ^{2} ``-``2x```=`0``]의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식은?

정답 ①

[eqn: x^2`+y^2`-2x`=0```]에서  [eqn: (x-1)^2`+y^2`=1]

이므로 중심의 좌표가 [eqn: (1,0)] 이다.

또, 직선 [eqn: 2x-y=5]에 수직인 직선의  기울기는

[eqn: -`1over2] 이므로 구하는 직선은

기울기가 [eqn: -`1over2] 이고 점 [eqn: (1,0)]을 지나는 직선이다.

[eqn: THEREFORE~ `y-0`=-`1over2`(x-1)]

[eqn: THEREFORE`~` x+2y=1]

① [eqn: x```+`2y```=`1``]	② [eqn: x```+`2y```=`-1``]	③ [eqn: 2x```+`y```=`2``]

④ [eqn: 2x```+`y```=`-2``]	⑤ [eqn: 2x```+`2y```=`1``]

▶2011년 10월 인천교육청[3점]

중심이 직선 [eqn: y=x-1] 위에 있는 원이 [eqn: y`]축에 접하고 점 [eqn: (3,~-1)`]을 지날 때, 이 원의 반지름의 길이는?

정답 ②

[출제의도] 원의 방정식 이해하기

중심이 직선 [eqn: y=x-1] 위에 있는 원이 [eqn: y]축에 접하므로 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,~a-1 RIGHT )], 반지름의 길이는 [eqn: LEFT | ``a`` RIGHT |]이다.

원의 방정식은 [eqn: (x-a)^2 +(y-a+1) ^2 =a^2]이고 이 원이 점 [eqn: (3,~-1)]을 지나므로 [eqn: (3-a)^2 +(-1-a+1) ^2 =a^2]

[eqn: THEREFORE] 반지름의 길이는 [eqn: 3]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2011년 03월 부산교육청[3점]

좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2] 위를 움직이는 점 [eqn: \A]와 직선 [eqn: y=x-4] 위를 움직이는 두 점 [eqn: \B ,```C]를 연결하여 삼각형 [eqn: \ABC]를 만들 때, 정삼각형이 되는 삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이의 최솟값과 최댓값의 비는?

정답 ③
[출제의도] 좌표평면에서 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 위를 움직이는 점 [eqn: \A]와 직선 사이의 거리를 구하고자 하는 정삼각형의 높이이고, 원점과 직선 사이의 거리는 [eqn: {4} over {sqrt {2}} `=2 sqrt {2}]이다.

정삼각형의 넓이가 최소일 때의 삼각형은 그림의 삼각형 [eqn: \A _{1} B _{1} C _{1}]이고 높이는 [eqn: 2 sqrt {2} `- sqrt {2} `= sqrt {2}], 최대일 때는 삼각형 [eqn: \A _{2} B _{2} C _{2}]이고 높이는 [eqn: 2 sqrt {2} `+ sqrt {2} `=3 sqrt {2}]이다.

두 삼각형의 닮음비가 [eqn: sqrt {2} `:3 sqrt {2} `=1:3]이므로 넓이의 비는

[eqn: 1 ^{2} `:`3 ^{2} `=1:9]이다.

① [eqn: 1:7]	② [eqn: 1:8]	③ [eqn: 1:9]

④ [eqn: 1:10]　	⑤ [eqn: 1:11]

▶2005년 10월 평가원[3점]

원 [eqn: `x^2`+`y^2`=`16`]과 원 [eqn: (x`-`a)^2`+`(y`-`b)^2`=`1`]이 외접하도록 하는 실수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 점[eqn: (a`,``b`)`]가 그리는 도형의 길이는?

정답 ①

원 [eqn: `x^2`+`y^2`=`16`] : 중심[eqn: (0,~0)], 반지름 [eqn: r=4`]

원 [eqn: (x`-`a)^2`+`(y`-`b)^2`=`1`] : 중심[eqn: (a`,``b`)`], 반지름 [eqn: r=1`]

두 원이 외접하려면, 두 원의 중심 사이의 거리가 각각의 원의 반지름의 합과 같아야 한다. 따라서

[eqn: root{a^2 `+`b^2 ```}`=`4`+`1`=`5]

[eqn: {a^2 `+`b^2 ` }=`5^2 `]

따라서 점[eqn: (a`,``b`)`]가 그리는 도형은 중심[eqn: (0,~0)]이고 반지름 [eqn: r=5`]인  원이다. 따라서 이 도형의 길이는 [eqn: 2`pi`⋅`5`=`10`pi`]

① [eqn: 10`pi`]	② [eqn: 12`pi`]	③ [eqn: 14`pi`]
④ [eqn: 16`pi`]	⑤ [eqn: 18`pi`]

▶2010년 10월 교육청[3점]

원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y+3) ^{2} =9`]와 중심이 [eqn: (-1`,```1)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원이 있다. 두 원이 서로 만난다고 할 때, [eqn: r`]의 최댓값과 최솟값의 합은?

정답 ⑤

[출제의도] 두 원의 위치관계 이해하기

두 원의 중심거리는

[eqn: sqrt {LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2} +(1+3) ^{2}} = sqrt {LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} +4 ^{2}} =5]

이고, 두 원이 만나야 하므로

[eqn: LEFT | r-3` RIGHT | LEQ 5 LEQ r+3], [eqn: THEREFORE `2 LEQ r LEQ 8]

따라서 [eqn: r]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 10]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④
[eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▶2009년 10월 인천교육청[3점]

그림과 같이 원 [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2} =4`] 위의 [eqn: 1]사분면에 있는 임의의 점 [eqn: rm`R`]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm `P][eqn: (-1``,``0`)]를 연결한 선분이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 할 때, [eqn: rm bar{PQ} ㆍ bar{PR}] 의 값은?

정답 ③

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

원과 [eqn: x`]축의 다른 교점을 [eqn: rm P' LEFT ( 3,```0 RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rm POQ�`]□[eqn: � rm TRIANGLE PRP prime ```(AA닮음)`]

[eqn: rm bar{PQ} `: bar{PP'} = bar{PO} `: bar{PR} `]

[eqn: rm bar{PQ} ㆍ bar{PR} = bar{PP prime } ㆍ bar{PO} `]

[eqn: =4 TIMES 1`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar{PQ} ㆍ bar{PR} =4`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2008년 10월 학업성취도[3점]

직선 [eqn: ax-y=0`]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -6x-4y+9=0`]과 서로 다른 두 점 [eqn: rm P`,``Q`]에서 만날 때, [eqn: rm bar{OP} cdot bar{OQ} `]의 값은?
[eqn: (]단, [eqn: rm O`]는 원점[eqn: )`]

정답 ①

[출제의도] 할선의 성질을 이용하여 원과 직선사이의 관계에 대한 문제 해결하기

원의 방정식은 [eqn: (x-3)^2 +(y-2)^2 =2^2]

원이 [eqn: x]축과 접하고 접점을 [eqn: rm R]이라 하면

할선과 접선의 성질에 의해

[eqn: rm bar{OP} ㆍ bar{OQ} `= bar{OR} ` ^{2}=3^2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar{OP} ㆍ bar{OQ}=9]

① [eqn: 9]	② [eqn: 3sqrt { 10}]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 6sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 11]

▶2005년 10월 평가원[3점]

원[eqn: x^2 +y^2 = 4]와 제[eqn: 1]사분면에서 접하고 기울기가[eqn: `-1]인 직선이 있다. 이 직선을 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동하였더니 이 원과 제[eqn: 3]사분면에서 접하였다. 이 때, [eqn: n`]의 값은?

정답 ③

원 [eqn: x^2 +y^2 = 4]에 접하는 기울기가[eqn: `-1]인 직선을 [eqn: y`=`-x`+`k`]

라고 하면, 이 직선은 원의 중심과의 거리가 원의 반지름 [eqn: 2`]와 같다.

[eqn: {|`-k``|}over{root{2```} }`=`2 ~~`~~~`∴ ```k`=`±````2root{2``}]

그러므로 제[eqn: 1]사분면에서 접하는 접선의 [eqn: y`]절편은 [eqn: k``>``0`]이므로

[eqn: y`=`-x`+`2root{2``}`] … ①

이고, 제[eqn: 3]사분면에서 접하는 접선은 [eqn: y`=`-x`-2root{2``}`] … ②

그런데 ①직선을 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동하면 ②직선이 되므로,

[eqn: y`=`-x`-2root{2``}`=``-x`+2root{2``}`-4root{2``}`]

따라서 [eqn: n`=`-4root{2``}`]

① [eqn: -2root2]           ② [eqn: 2root2]	③ [eqn: -4root2]
④ [eqn: 4root2]	⑤ [eqn: -8]

▶2006년 06월 교육청[3점]

세 원 [eqn: C_1 ,` C_2 ,` C_3] 의 중심을 각각 [eqn: rmO_1 ,` O_2 , `O_3] 라 하고, 서로 외접하는 두 원 [eqn: C_2 ,` C_3] 가 원 [eqn: C_1] 에 내접하고 있다. [eqn: rm { TRIANGLE O_1 O_2 O_3}] 의 둘레의 길이가 [eqn: 22] 일 때, 원 [eqn: C_1]의 넓이는?

정답 ④

원 [eqn: C_1 ,``C_2 , ``C_3]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{1`},` `r _{2}, ``r_3]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE O_1 O_2 O_3]의 둘레의 길이가 [eqn: 22]이므로

[eqn: r_1 -r_2 + r_1 -r_3 +r_2 +r_3 =22]

[eqn: 2r_1 =22], [eqn: r_1 =11]

원 [eqn: C_1]의 넓이 [eqn: S] 는 [eqn: 121pi]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rm O _{3}]

① [eqn: 64 pi]	② [eqn: 81 pi]	③ [eqn: 100 pi]

④ [eqn: 121 pi]	⑤ [eqn: 144 pi]

▶2010년 11월 교육청[3점]

직선 [eqn: y= root3 x +k]가 원 [eqn: x^2 +y^2 -6y -7=0]에 접할 때, 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 6]

[해설]

직선 [eqn: root3 x-y+k =0]이

원 [eqn: x^2 + LEFT ( y-3 RIGHT )^2 =16]에 접하므로

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,``3 RIGHT )]에서 직선까지의 거리는

반지름의 길이 [eqn: 4]와 같다.

그러므로 [eqn: {|``k-3``|} overroot3+1 = 4]에서

[eqn: |``k-3``| =8]이므로

[eqn: k=-5] 또는 [eqn: k=11]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 6]

▶2006년 11월 교육청[3점]

점 [eqn: rmP(4,~3)]에서 원 [eqn: x ^{2``} +y ^{2} =9]에 그은 두 접선 중 기울기가 양수인 접선의 기울기를 [eqn: q_` over p]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 31

접점을 [eqn: rm Q(it x _{1} ,~y _{1} )]이라 하면 점 [eqn: rm Q]는 원 위의 점이므로

[eqn: x _{1} ^{2} +y _{1} ^{2} =9]      …… ①

접점 [eqn: rm Q]에서의 접선의 방정식을 구하면

[eqn: x _{1} x +y _{1} y=9]    …… ②

이 때, ②가 점 [eqn: (4,~3)]을 지나므로 점 [eqn: (4,~3)]을 ②에 대입하면

[eqn: 4x _{1} +3y _{1} =9]   …… ③

③을 ①에 대입하면

[eqn: x _{1} ^{2} + LEFT ( - {4} over {3} x _{1} +3 RIGHT ) ^{2} =9]   ⇒   [eqn: 25x _{1} ^{2} -72x _{1} =0]

∴ [eqn: x _{1} =0] 또는 [eqn: x _{1} = {72} over {25}]

이것을 각각 ③에 대입하여 [eqn: y _{1}]을 구하면

[eqn: x _{1} =0]일 때 [eqn: y _{1} =3], [eqn: x _{1} = {72} over {25}]일 때 [eqn: y _{1} =- {21} over {25}]

그러므로 기울기는 [eqn: 0] 또는 [eqn: {24} over {7}]

따라서, 조건에 맞는 기울기는 [eqn: {24} over {7}]이므로 [eqn: p+q=7+24=31]

[별해] [eqn: rm P(4,~3)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y-3=m(x-4)]이다.

원과 직선이 접하려면 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 반지름과 같아야 하므로 [eqn: { LEFT | ``4m-3``RIGHT |} over root {m^2 +1`} =3]이고

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 16m^2 - 24m +9 = 9m^2 +9] ⇒  [eqn: 7m^2 -24m=0]

∴ [eqn: m=0] 또는 [eqn: m= 24 over 7]

따라서, 조건에 맞는 기울기는 [eqn: {24} over {7}]이므로

[eqn: p+q=7+24=31]

▶2006년 10월 교육청[3점]

그림과 같이 두 원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4,``][eqn: `(x-10) ^{2} +(y+3) ^{2} =9``]에 공통내접선을 그을 때, 공통내접선의 기울기는 [eqn: {q} over {p} ``]이다. 이 때, [eqn: p^2`+q^2``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: {q} over {p} ``]는 [eqn: 0``]이 아닌 기약분수이다.)

정답 25

[eqn: rm O]

두 원의 공통내접선과 [eqn: x`]축의 교점을 [eqn: rmC`],

원[eqn: (x-10) ^{2} +(y+3) ^{2} =9`]의 중심에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm{P}`]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rmAOC`]와 [eqn: TRIANGLE rmBPC`]는 닯음이고 닯음비는

[eqn: rmbar{AO`} `: bar{BP`} =2:3`]이므로  [eqn: rmbar{OC`} ``= bar{OP`} `` TIMES {2} over {5} `=4`]이고 [eqn: rmC``(4,~0)`]이다.

공통내접선의 방정식의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 직선의 방정식은 [eqn: y=m LEFT ( x-4 RIGHT ) `]이다.

점 [eqn: rmA(0,~2)`]에서 직선까지 거리는 [eqn: 2`]이므로

[eqn: 2=` {□`-2-4m`□} over {sqrt {m ^{2} +1`}} `], [eqn: m=`- {4} over {3} `]

∴ [eqn: p ^{2} +q ^{2} =25`]

▶2006년 10월 교육청[3점]

그림에서 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =4``]와 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{`1}``], 직선 [eqn: y=ax``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{`2} ``]라 하자. [eqn: S _{`1}= S_{`2}``]일 때, [eqn: 100a``]의 값을 구하시오.

정답 75

[eqn: S _{1} =S _{2} `]이면, 중심[eqn: LEFT ( 3,````1 RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: y=ax`]까지 거리는 [eqn: 1`]이다.

따라서 [eqn: 1= {LEFT | 3a-1 RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} ``]이고 [eqn: `a= {3} over {4} `]이다.

∴[eqn: 100a=75]

▶2006년 11월 교육청[3점]

다음은 ‘서로 다른 두 점 [eqn: rmA(it `x _{1} ,~y _{1} `)], [eqn: rmB( it`x _{2} ,~y _{2} `)]를 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식은

[eqn: (x-x _{1} )(x-x _{2} )+(y-y _{1} )(y-y _{2} )= `]이다.’를 증명한  것이다.

(가)

원의 중심의 좌표는 ( , )이고  반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} `}]이므로 원의 방정식은 ([eqn: x-] )[eqn: `^{2}]+([eqn: y-`])[eqn: ` ^{2}]

(나)

(다)

(나)

(다)

[eqn: = {1} over {4} LEFT { (x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} RIGHT }]이다.

위의 식을 정리하면

[eqn: (x-x _{1} )(x-x _{2} )+(y-y _{1} )(y-y _{2} )=`]이다.

(가)

위의 증명에서 (가) ~ (다)를 바르게 짝지은 것은?

정답 ②

원의 중심의 좌표는 이고

[eqn: LEFT ( `` { x_1 + x_2 } over 2 `` , ``````{ y_1 + y_2 } over 2`` RIGHT )]

반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} `}]이므로

원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x-``` {x _{1} +x _{2}} over {2} ``` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-``` {y _{1} +y _{2}} over {2} ``` RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {1} over {4} LEFT { (x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2} RIGHT }]

⇒  [eqn: x ^{2} -(x _{1} +x _{2} )x+ {1} over {4} (x _{1} +x _{2} ) ^{2} +y ^{2} -(y _{1} +y _{2} )y+ {1} over {4} (y _{1} +y _{2} ) ^{2}]

[eqn: = {1} over {4} (x _{2} -x _{1} ) ^{2} + {1} over {4} (y _{2} -y _{1} ) ^{2}]

⇒  [eqn: x ^{2} -(x _{1} +x _{2} )x+x _{1} x _{2} +y ^{2} -(y _{1} +y _{2} )y+y _{1} y _{2} =0`]

따라서,

[eqn: (x-x _{1} )(x-x _{2} )+(y-y _{1} )(y-y _{2} )=] 이다.

[eqn: 0]

(가)             (나)              (다)

①    [eqn: -1]           [eqn: {x_1 + x_2} over 2]          [eqn: {y_1 + y_2} over 2]

②      [eqn: 0]           [eqn: {x_1 + x_2} over 2]          [eqn: {y_1 + y_2} over 2]

③      [eqn: 0]           [eqn: {x_1 - x_2} over 2]          [eqn: {y_1 - y_2} over 2]

④      [eqn: 1]           [eqn: {x_1 + x_2} over 2]          [eqn: {y_1 + y_2} over 2]

⑤      [eqn: 1]           [eqn: {x_1 - x_2} over 2]          [eqn: {y_1 - y_2} over 2]

▶2007년 10월 학업성취도[3점]

두 원 [eqn: (x+1) ^{2} +y ^{2} =1`], [eqn: x ^{2} +y ^{2} -6x-6y+ 2=0`]의 공통접선의 개수는?

정답 ④

[eqn: (x+1) ^{2} +y ^{2} `=`1`]에서 이 원의 중심을 [eqn: rm C _{1}]이라 하면 점 [eqn: rm C _{1}]의 좌표는

[eqn: (-1,`0)]이고 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -6x-6y+2`=`0`]에서[eqn: (x-3) ^{2} +(y-3)^2 `=`16`]이므로

이 원의 중심을 [eqn: rm C _{2}]이라 하면 점 [eqn: rm C _{2}]의 좌표는[eqn: (3,`3)]이고 반지름의

길이는 [eqn: 4]이다. [eqn: rm bar{C _{1} C _{2}} =5]이고 두 원의 반지름의 길이는 [eqn: 1], [eqn: 4]이므로

두 원은 서로 외접하게 된다. 따라서 공통접선은  [eqn: 3]개이다.

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 2`]

④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 4`]

▶2007년 03월 교육청[3점]

좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +6x-4y+9=0] 에 직선 [eqn: y=m`x] 가 접하도록 상수 [eqn: m] 의 값을 정할 때, 모든 [eqn: m] 의 값의 합은?

정답 ①

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +6x-4y+9=0]   ⇔ [eqn: (x+3) ^{2} +(y-2) ^{2} =4]

이것은 중심이 [eqn: (-3,```2)], 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이다.

이 원에 직선 [eqn: y=mx]가 접하므로 원의 중심 [eqn: (-3,``2)]와

직선 [eqn: mx-y=0]사이의 거리는 반지름의 길이인 [eqn: 2]와 같다.

즉, [eqn: {□`-3m-2□} over {sqrt {m ^{2} +1}} =2]

[eqn: □-3m-2`□=2 sqrt {m ^{2} +1}]    [eqn: cdots]㉠

㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 5m ^{2} +12m=0]

∴ [eqn: `m=0,```````- {12} over {5}]

따라서 구하는  모든 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: - {12} over {5}]이다.

① [eqn: - {12} over {5}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {12} over {5}]

▶2012년 11월 경기[3점]

직선 [eqn: y=root2 x +k]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에 접할 때, 양의 실수 [eqn: k]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기

직선 [eqn: y= sqrt {2} x+k]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에 접하므로

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]에서 직선 [eqn: sqrt {2} x-y+k=0]에

이르는 거리는 [eqn: 2]이다.

[eqn: {LEFT | `k` RIGHT |} over {sqrt {2+1}} =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=2 sqrt {3}] 또는 [eqn: k=`-2 sqrt {3}]

따라서 [eqn: k>0]이므로 [eqn: k=2 sqrt {3}]

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2root2]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

▶2014년 9월 인천[4점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( - sqrt {5} `,~-1 RIGHT ) `,~B LEFT ( rm sqrt {5} `,~3 RIGHT ) `]과 직선 [eqn: y=x-2`] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm P,~Q`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE APB= ANGLE AQB=90 DEG `]일 때, 선분 [eqn: rm PQ`]의 길이를 [eqn: l`]이라 하자. [eqn: l ^{`2} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18``]

[출제의도] 원의 방정식을 활용한 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm ANGLE APB= ANGLE AQB=90 DEG `]이므로 두 점 [eqn: rm P`,~Q`]는 [eqn: rmbar{AB}`]를 지름으로 하는 원 위에 있다. 이 원의 중심은 [eqn: LEFT ( 0`,~1 RIGHT )`], 반지름의 길이는 [eqn: 3`]이므로 원의 방정식은 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =9`]이다.

직선 [eqn: y=x-2`]와 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =9`]의 교점은 [eqn: rm P LEFT ( 0`,~-2 RIGHT ) `,~Q LEFT ( 3`,~1 RIGHT )`]

따라서 [eqn: l ^{`2} =18`]

▶2012년 10월 인천[3점]

[eqn: rmA`]공장에서 서쪽으로 [eqn: 2 rm km`]떨어진 지점에 [eqn: rmB`]공장이 있고, [eqn: rmA`]공장에서 동쪽으로 [eqn: 2 rm km`], 남쪽으로 [eqn: 4 rm km`]떨어진 지점에 [eqn: rmC`]공장이 있다. [eqn: rmA`,```B`,```C`] 세 공장으로부터 거리가 같은 지점에 물류창고를 지을 때, 각 공장에서 물류창고까지의 거리([eqn: rm km])는? (단, 세 공장 [eqn: rmA`,```B`,```C`]와 물류창고는 동일 평면 위에 위치하며, 공장 사이의 거리는 직선으로 연결한 평면상의 거리이다.)

정답  ①

[출제의도] 원의 방정식을 이용하여 수학외적 문제 해결하기

[eqn: rmA]공장의 위치를 원점으로 하여 세 공장의 위치를 좌표평면 위에 나타내면

[eqn: rmA(0,````0)], [eqn: rmB(-2,````0)], [eqn: rmC`(2,```-4)]이고 물류창고의 위치는 [eqn: TRIANGLE][eqn: rmABC]의 외심이다.

세 점 [eqn: rm `A`,```B`,```C]를 지나는 원의 방정식을

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +ax+by+c=0]이라 할 때,

ⅰ) 점 [eqn: rmA]를 지나므로, [eqn: c=0]

ⅱ) 점 [eqn: rmB]를 지나므로, [eqn: 4-2a+c=0]

ⅲ) 점 [eqn: rmC]를 지나므로, [eqn: 4+16+2a-4b+c=0]

따라서, [eqn: a=2], [eqn: b=6], [eqn: c=0]이고 원의 방정식은

[eqn: (x+1) ^{2} +(y+3) ^{2} =10]

[eqn: THEREFORE]거리는 [eqn: sqrt {10}]

① [eqn: sqrt {10}]             ② [eqn: sqrt {11}]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt {13}]              ⑤ [eqn: sqrt {14}]

▶2007년 03월 교육청[3점]

그림과 같이 원점을 중심으로 하는 원 [eqn: rm O] 가 점 [eqn: rmT( 3`,``-4`)] 에서 직선 [eqn: l`] 에 접하고 있다. 직선 [eqn: l`] 을 따라 원 [eqn: rm O] 를 굴려서 생긴 원 [eqn: rmO _{1}] 의 방정식을 [eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} =25] 라 할 때, [eqn: {b} over {a} `] 의 값은?

정답 ③

[출제의도] 좌표평면에서 원과 접선의 관계를 활용할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: l]이 점 [eqn: rmT(3,-4)]에서 원 [eqn: rm O]와 접하므로 직선 [eqn: rmOT]와 직선 [eqn: l] 은 수직이다. 직선 [eqn: rmOT]의 기울기는 [eqn: - 4 over 3]이므로 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: 3 over 4]이다.

한편, 원 [eqn: rm O_1]의 중심의 좌표는 [eqn: (a,``b)]이므로 [eqn: {b} over {a}]의 값은 직선 [eqn: rmOO _{1}]의 기울기와 같고, 직선 [eqn: rmOO _{1}]과 직선 [eqn: l] 은 서로 평행하다.

[eqn: therefore] [eqn: ` {b} over {a} ``=] (직선 [eqn: rm OO _{1}]의 기울기)[eqn: =](직선 [eqn: l]의 기울기)[eqn: `=` {3} over {4} ~]

[참고]

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y-(-4)`= {3} over {4} (x-3)]    [eqn: THEREFORE ~y= {3} over {4} x- {25} over {4} ~]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over 3]

▶2014년 9월 인천[4점]

다음은 한 변의 길이가 [eqn: 2a`]인 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: rm {barAP} ^{``2} +{ barBP} ^{``2} = {barCP} ^{``2} `]을 만족할 때, [eqn: ANGLE rm APB=150 DEG `]임을 증명하는 과정이다.

정답 ④

[출제의도] 원의 방정식을 활용한 원의 성질 추론하기

<증명>

그림과 같이 변 [eqn: rm AB`]를 [eqn: x`]축 위에 놓고

변 [eqn: rm AB`]의 중점을 원점 [eqn: rmO`]라 하면

점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: (-a`,~0)`],

점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (a`,~0)`],

점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: (0`,~ BOX{`root3 a`} `)`]이다.

정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: (x`,~y)`]라 하면

[eqn: rm {barAP} ^{``2} +{ barBP} ^{``2} = {barCP} ^{``2} `]을 만족하므로

[eqn: LEFT { (x+a) ^{2} +y ^{2} RIGHT } + LEFT { (x-a) ^{2} +y ^{2} RIGHT } `][eqn: =`x ^{2} +(y- BOX{` sqrt {3} a`} `) ^{2} `]이다.

위 식을 정리하면

[eqn: x ^{2} +(y+ sqrt {3} a) ^{2} =4a ^{2} `]

점 [eqn: rm P`]는 중심이 점 [eqn: (0`,~ BOX{`-root3 a`} `)`]이고

반지름의 길이가 [eqn: BOX{`2a`} `]인 원 위의 점이다.

점 [eqn: (0`,~` BOX{`- sqrt {3} a`} `)`]에서 두 점 [eqn: rm A`,~B`]까지의 거리가 각각 반지름의 길이 [eqn: BOX{`2a`} `]로 같다.

따라서 점 [eqn: rmP]가 호 [eqn: rm AB`]위의 점이므로

[eqn: ANGLE rm APB=150` DEG]이다.

[eqn: f(a)= sqrt {3} a`,~g(a)=`- sqrt {3} a`,~h(a)=2a`]

따라서 [eqn: f(3)+g LEFT ( 3 RIGHT ) +`h LEFT ( 7 RIGHT ) `=14]

	<증명> 그림과 같이 변 [eqn: rm AB`]를 [eqn: x`]축 위에 놓고 변 [eqn: rm AB`]의 중점을 원점 [eqn: rmO`]라 하면 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: (-a`,~0)`], 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (a`,~0)`], 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: (0`,~ BOX{`(가)`} `)`]이다. 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: (x`,~y)`]라 하면 [eqn: rm {barAP} ^{``2} +{ barBP} ^{``2} = {barCP} ^{``2} `]을 만족하므로 [eqn: LEFT { (x+a) ^{2} +y ^{2} RIGHT } + LEFT { (x-a) ^{2} +y ^{2} RIGHT } `=`x ^{2} +(y- {BOX{`(가)`}} `) ^{2} `]이다. 위 식을 정리하면 점 [eqn: rm P`]는 중심이 점 [eqn: (0`,~ {BOX{`(나)`}} `)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: BOX{`(다)`} `]인 원 위의 점이다. 점 [eqn: (0`,~` BOX{`(나)`} `)`]에서 두 점 [eqn: rm A`,~B`]까지의 거리가 각각 반지름의 길이 [eqn: BOX{`(다)`} `]로 같다. 따라서 점 [eqn: rmP]가 호 [eqn: rm AB`]위의 점이므로 [eqn: ANGLE rm APB=150 DEG]이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a),~g(a),]

[eqn: h(a)`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT ) `]의 값은?

[[eqn: 4]점][2014년 9월 인천]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

▶2009년 11월 경기도교육청[4점]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(0,``0)], [eqn: rm B(0,``2)]가 있다. [eqn: rm bar{PA} ` ^{2} + bar{PB} `` ^{2} =4]를 만족하는 점 [eqn: rm P` it (x,``y)]에 대하여 [eqn: y-x ^{2}]의 최댓값과 최솟값의 합은?

정답 ④

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 이해하여 문제해결하기

주어진 조건 [eqn: rm bar{PA} `^{2} + bar{PB} ` ^{2} =4]를 만족하는

점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: x^2 +(y-1)^2 =1] 위의 점이고 [eqn: y]의

범위는 [eqn: 0 le y le2]이다.

그러므로 [eqn: y-x^2 =y-left{1-(y-1)^2 right}]

[eqn: = y^2 -y]

[eqn: =left( y- 1over2 right)^2 - 1 over4] ([eqn: 0 le y le2])

에서 [eqn: y-x^2]은 [eqn: y=2]일 때, 최댓값 [eqn: 2]를 갖고

[eqn: y= 1over2]일 때, 최솟값 [eqn: - {1} over {4}]을 갖는다.

따라서 [eqn: y-x^2]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: {7} over {4}]이다.

① [eqn: - {7} over {4}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③   [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

▶2010년 10월 교육청[4점]

그림과 같이 두 원
[eqn: {C_1}``:``(x+6) ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}], [eqn: {C_2} ``:``(x-15) ^{2} +y ^{2} =17 ^{2}]
이 [eqn: y`]축 위의 두 점 [eqn: rm A`,```B`]에서 만난다. 점 [eqn: rm A`,```B`]가 아닌 원 [eqn: C _{1} `]위의 어떤 점 [eqn: rmP`]에 대하여 직선 [eqn: rmPA`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 만나는 점 중 [eqn: rm A`]가 아닌 점을 [eqn: rmQ _{ 1}`], 직선 [eqn: rm PB`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 만나는 점 중 [eqn: rm B`]가 아닌 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자.

정답 ⑤

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 닮음도형의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: rm A`,```B`]가 [eqn: y`]축 위의 점이므로 원의 방정식에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: rm A(0`,```8)`], [eqn: rm B(0`,``` -8)`]

[eqn: THEREFORE``bar {rm AB}=16`] (참)

ㄴ. [eqn: rm ANGLE AQ _{2} B= ANGLE AQ _{1} B`]이므로

[eqn: rm ANGLE PQ _{2} A``= ANGLE PQ _{1} B`], [eqn: rm ANGLE Q _{1} PQ _{2}]은 공통

따라서 [eqn: rm TRIANGLE PAQ _{2}]□[eqn: rm TRIANGLE PBQ _{1}] (참)

ㄷ. [eqn: rm bar{PB} `]가 원 [eqn: C _{1`}]의 지름이 되는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 직선 [eqn: rmPA]가 원 [eqn: C _{2}]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{1} `]이라 할 때, [eqn: bar{rmBQ _{1}}]은 원 [eqn: C _{2}]의 지름이다.

(∵ [eqn: rm ANGLE PAB=90 DEG], 세 점 [eqn: rm P,```A,```Q _{1}]은 일직선 위에 있으므로 [eqn: ANGLE rmQ _{1} AB=90 DEG `])

원 [eqn: C _{1`}] 위에 [eqn: rm P`]와 다른 한 점 [eqn: rm P prime `]에 대하여 직선 [eqn: rmP'A`]가 원 [eqn: C _{2}]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{1} ` prime `]이라 하면

[eqn: rm ANGLE APB= ANGLE AP prime `B], [eqn: rm ANGLE AQ _{1} B= ANGLE AQ _{1} prime `B`]이다.([eqn: BECAUSE `]동일한 호에 대한 원주각)

따라서 [eqn: rm TRIANGLE PBQ _{1}`]□[eqn: rm TRIANGLE P prime `BQ _{1} prime `]이므로 [eqn: rm bar{PB} ,` bar{Q _{1} B} `]가 지름일 때 [eqn: rm bar{PQ _{1}} `]이 최대가 된다.

이때 직선 [eqn: rm PQ_1 `]의 방정식은 [eqn: y=8`]이다.

따라서 [eqn: rm P(-12`,```8)``], [eqn: rm Q_1 (30`,```8)`]이다.

그러므로 [eqn: rm {barPQ_1 } = 42 `] (참)

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

[보  기]

ㄱ. [eqn: rm bar{AB} =16]

ㄴ. [eqn: rm TRIANGLE PAQ _{2} `□ rm TRIANGLE PBQ _{1} `]

ㄷ. [eqn: rm bar{PQ _{1}}]의 최댓값은 [eqn: 42]이다.

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2007년 10월 학업성취도[4점]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(1,````0)], [eqn: rm B(5,````0)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]의 중점과 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1``:``3`]으로 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은?

정답 ①

선분 [eqn: rm AB`]의 중점은 [eqn: (3, ``0)]이고,

선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2`:`1]로 외분하는 점은 [eqn: (-1,``0)],

이 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은

중심이 [eqn: rm `M(1,``0)], 반지름 [eqn: rm `2]인 원이다.

따라서 [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2} `=`4`]

① [eqn: (x-1) ^{2} +y ^ {2} =4`]	② [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]

③ [eqn: (x-1)^{2} +y^{2}=2]	④ [eqn: x ^{2} +(y-4) ^{2} =16`]

⑤ [eqn: x^{2}+(y-1)^{2}=2]

▶2009년 10월 인천교육청[4점]

원 [eqn: x^2 + y^2 = 9`]의 내부의 점 [eqn: rm P it (-1`,```2)`]를 지나고 현의 길이가 [eqn: 3 sqrt2 `]가 되는 두 직선이 있다. 이 두 직선의 기울기의 합이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,```q`]는 서로소인 자연수)

정답 [eqn: 113]

[출제의도]  직선의 방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

점 [eqn: rm P(-1,```2)`]를 지나며 기울기가 [eqn: m`]인 직선 [eqn: rm AB`]의 방정식은 [eqn: y=m(x+1)+2] 이다.

반지름이 [eqn: 3`], 직선 [eqn: rm AB`]의 길이가 [eqn: 3 sqrt {2}], 원의 중심[eqn: (0,```0)]에서 직선 [eqn: mx-y+m+2=0] 까지의

거리는 [eqn: {□m+2□} over {sqrt {m ^{2} +1}} = sqrt {3 ^{2} - LEFT ( {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2}} `]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 7m ^{2} -8m+1=0]

[eqn: (m-1)(7m-1)=0]

[eqn: m=1`] 또는 [eqn: m= {1} over {7} `]

기울기의 합은 [eqn: {1} over {7} +1= {8} over {7} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p ^{2} +q ^{2} =49+64=113]

▶2009년 11월 교육청[4점]

이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =1]에 동시에 접하는 직선이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a ^{2} +b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이고 [eqn: b<0]이다.)

정답 [eqn: 70]

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하기

아래 그림과 같이

ⅰ) 직선 [eqn: y=ax+b]가 이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프에 접하므로 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -ax-b=0]의 판별식은 [eqn: D=0]이다. 그러므로 [eqn: a ^{2} =-8b] [eqn: CDOTS `①]

ⅱ) 직선 [eqn: y=ax+b]가 원 [eqn: x ^{2}+ LEFT ( y+1 RIGHT )^2 =1]에

접하므로 [eqn: {LEFT | 1+b RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} =1]이다.

그러므로 [eqn: a^2 +1=b^2 +2b +1] [eqn: CDOTS `②]

[eqn: ①], [eqn: ②]를 연립하여 풀면,

[eqn: b=-10``` LEFT ( b<0 RIGHT )], [eqn: a^2 =80]이다.

따라서 [eqn: `a ^{2`} +b=70]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=ax+b]

[eqn: y=2x^2]

[eqn: b]

[eqn: x^2 + LEFT ( y+1 RIGHT )^2 =1]

▶2009년 05월 교육청[4점]

원 [eqn: x^2 +y^2 -2kx-4ky-2k-1=0`]에 대한 설명 중 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: k`]는 실수이다.)

		<보기>
	ㄱ. 원은 점 [eqn: (-1,``0)`]을 지난다. ㄴ. 원의 중심은 직선 [eqn: y=2x`] 위에 있다. ㄷ. 원은 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

정답 ③

ㄱ. [eqn: x=-1,`y=0]일 때
[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +0 ^{2} -2k(-1)-4k BULLET 0-2k-1=0]이므로 [eqn: (-1,`0)]를 지난다.  (참)

ㄴ. 원 [eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2k RIGHT ) ^{2} =5k ^{2} +2k+1]의 중심[eqn: LEFT ( k,``2k RIGHT )]는 직선 [eqn: y=2x] 위에 있다.  (참)

ㄷ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2kx-4ky-2k-1=0]
[eqn: y=0]을 대입하면 [eqn: x ^{2} -2kx-2k-1=0]이다.
판별식이 [eqn: 4 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} >= 0]이므로 [eqn: x]축과 접하거나 서로 다른 두 점에서 만난다.  (거짓)

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 05월 교육청[4점]

직선 [eqn: y= mx+n]이
두 원 [eqn: x^2 + y^2 =9],  [eqn: (x+4)^2 + y^2 = 4]에 동시에 접할 때, 상수 [eqn: m,n]에 대하여 [eqn: 20mn]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

(ⅰ) 그림에서 두 삼각ㄱ형 [eqn: AO`'` T`'`]와 삼각형 [eqn: AOT]는 닮음이고 닮음비가 [eqn: 2:3]이므로
직선 [eqn: y = mx +n]은 [eqn: (-12,0)]을 지난다.
∴ [eqn: -12 m+n =0]

(ⅱ) 점[eqn: (0,)]으로부터 직선 [eqn: mx-y +n=0]까지의 거리는 [eqn: 3]이므로
[eqn: {|n|} over sqrt{ m^2 +1 } = 3]

따라서, (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여

[eqn: m= { sqrt15 } over 15], [eqn: n={ 4 sqrt15} over 5] 또는 [eqn: m=- { sqrt15} over 15], [eqn: n=- { 4sqrt15} over 5]

∴ [eqn: 20mn = 16]

▶2010년 11월 교육청[4점]

원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4y-7=0]의 내부의 넓이와 네 직선 [eqn: x=-6], [eqn: x=0][eqn: y=-4], [eqn: y=-2]로 둘러싸인 직사각형의 넓이를 모두 이등분하는 직선의 방정식은?

정답 ②

[해설]
원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4y-7=0]을 변형하면,
[eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =12]이다.
이 때, 이 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심 [eqn: (1,~2)]를 지나야 한다.
한편, 네 직선 [eqn: x=-6,~x=0,~y=-4,~y=-2]로 둘러싸인 직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 직사각형의 두 대각선의 교점 [eqn: (-3,~-3)]을 지나야 한다.
그러므로 두 점 [eqn: (1,~2)]와 [eqn: (-3,~-3)]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y-2 = {-3-2}over{-3-1} (x-1)]이다.
따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y= 5over4 x + 3over4]

① [eqn: y= 4over5 x + 6over5]	② [eqn: y= 5over4 x + 3over4]	③ [eqn: y= 8over5 x + 2over5]

④ [eqn: y=4x-2]	⑤ [eqn: y=5x-3]

▶2010년 12월 영남권[4점]

좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]은 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+12=0]과 점 [eqn: P]에서 접한다. 또 직선 [eqn: m]은 [eqn: l]과 수직이고 점 [eqn: P]를 지난다. 이때 두 직선 [eqn: l,`m]그리고 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

정답 ③

주어진 원 [eqn: (x-4) ^{2} +y ^{2} =4]와 원점을 지나는 접선 [eqn: y=mx]를 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 [eqn: D=0]임을 이용하면 [eqn: (x-4) ^{2} +m ^{2} x ^{2} =4], [eqn: (1+m) ^{2} x ^{2} -8x+12=0]에서

[eqn: {D} over {4} =(-4) ^{2} -12(1+m ^{2} )=0]이므로

[eqn: m= {sqrt {3}} over {3} (m>0)](제 [eqn: 1]사분면에서의 접선)이다.

즉, [eqn: l`:`y= {sqrt {3}} over {3} x]

또한 원과 [eqn: l]의 접점에서 [eqn: l]에 수직인 직선은 원의 중심을 지나므로 [eqn: m:`y=- sqrt {3} x+4 sqrt {3}]이고 두 직선 [eqn: l,``m]의 교점은 [eqn: (3,`` sqrt {3} )]이다.

따라서 두 직선 [eqn: l,``m] 그리고 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 sqrt {3} TIMES 2=2 sqrt {3}]이다.

(다른 풀이) 원의 접선에서 접점으로부터 수선은 원의 중심을 지난다. 따라서 피타고라스 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: 3 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

▶2008년 10월 학업성취도[4점]

[eqn: bar{rm AB it} =6`], [eqn: bar{rm AD it} =4`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3`]이고 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 중심인 두 사분원과 변 [eqn: {rm CD it} `]의 중점 [eqn: rm M`]이 중심인 반원이 점 [eqn: rm Q``], [eqn: rm R`]에서 동시에 접한다. [eqn: bar{rm AB it} `]의 중점을 [eqn: rm P`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 넓이는 [eqn: {b} over {a} `]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [eqn: (`]단, [eqn: a`,``b`]는 서로소인 자연수[eqn: )`]

정답 [eqn: 97]

[출제의도] 두 원의 위치관계를 이용한 삼각형 넓이 구하기

중심이 [eqn: rm M]인 반원이 두 사분원과 동시에 접하므로 [eqn: rm bar{AM} = bar{BM}]

삼각형 [eqn: rm ABM]은 이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{MP} BOT][eqn: rm bar { AB}]

[eqn: rm bar{AM} =5], [eqn: rm bar{MR} =2]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABM] □ [eqn: rm TRIANGLE rm RQM]

삼각형 [eqn: rm RQM]의 높이를 [eqn: h]라 할 때,

[eqn: rm bar{AB} ``:`` rm bar{RQ} ``= rm bar{MP} `` it :``h``=5``:``2]

[eqn: TRIANGLE rm PQR it = {1} over {2} TIMES rm bar{RQ} TIMES LEFT (rm bar{PM} it -h RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {12} over {5} TIMES LEFT ( 4- {8} over {5} RIGHT ) = {72} over {25}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=97]

▶2008년 10월 학업성취도[4점]

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rm O prime `]위의 점 [eqn: rm K`]에서 외접하는 원 [eqn: rm O`]의 반지름의 길이는 [eqn: 3]이고, 두 원의 공통외접선의 교점은 [eqn: rm P`]이다. 원 [eqn: rm O prime `]가 원 [eqn: rm O`]의 원주 위를 미끄러지지 않고 한 바퀴 굴러 점 [eqn: rm K`]가 처음으로 원 [eqn: rm O`]의 원주 위에 다시 놓일 때, 두 원의 공통 외접선의 교점 [eqn: rm P`]가 그리는 도형의 길이는?

정답 ②

[출제의도] 두 원의 공통외접선의 교점이 그리는 도형의 길이 구하기

접선과 두 원 [eqn: rm ~O prime ,~O]의 접점을 각각 [eqn: rm Q,~R]이라 할 때, [eqn: TRIANGLE rm PO'Q] □ [eqn: TRIANGLE rm POR]

[eqn: {rm bar { PO'}}=m]이라 하면  [eqn: rm bar{PO} it =m+1+3]

[eqn: rm bar{PO prime } ``:`` bar{PO} ``=`` bar{O'Q} ``:`` bar{OR} ``=`1``:``3]이므로

[eqn: {rm bar { PO}}=6]

원 [eqn: rm O']가 원 [eqn: rm O]위를 한 바퀴 구를 때의 길이는 [eqn: 2pi]이므로 중심각은 [eqn: 120 DEG]이다. 따라서 점 [eqn: rm P]가 그리는 도형의 길이는 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원 둘레의 [eqn: { 1} over {3 }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4pi]

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: 4 pi]	③ [eqn: 6 pi]
④ [eqn: 8 pi]	⑤ [eqn: 10 pi]

▶2007년 11월 교육청[4점]

지름 [eqn: rm AB]의 길이가 [eqn: 8]인 반원의 둘레 위에 한 점 [eqn: rm P]를 택할 때, [eqn: rm `3` bar{AP} `+`4` bar{BP}]의 최대값을 구하시오.

정답[eqn: 40]

[출제의도] 원과 접선의 방정식 이해하기

[eqn: rm bar{AP} `= it x`], [eqn: rm bar{BP} `= it y`]라 하면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =64`]를 만족하는 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여

[eqn: 3x+4y=k`]라 하면 [eqn: k`]의 최대값은 원에 접할 때이다.

원의 중심 [eqn: (0,````0)`]에서 직선 [eqn: 3x+4y-k`=0`]까지의 거리가 [eqn: 8]

[eqn: THEREFORE ~ {□``3times0+4times0-k`□} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =8]

[eqn: {□`-k`□} over {5} =8] ([eqn: k>0])

[eqn: THEREFORE ~k=40`]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: 8]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

▶2007년 11월 교육청[4점]

원 [eqn: x ^{2} `+y ^{2} `-4x-2y=a-3`]이 [eqn: x`]축과 만나고, [eqn: y`]축과 만나지 않도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

정답 ③

[출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기

[eqn: x ^{2} `+y ^{2} `-4x-2y=a-3`] ⇒ [eqn: (x-2)^2 +(y-1)^2 = a+2]

중심이 [eqn: (2,~1)]이고, 반지름이 [eqn: roota+2`]인 원이다.

[eqn: x]축과 만나려면 [eqn: sqrt {a+2} >= 1`]                  [eqn: CDOTS `①]

[eqn: y]축과 만나지 않으려면 [eqn: 0 <sqrt {a+2} <2`]  [eqn: CDOTS `②]

[eqn: ①,~②`]를 동시에 만족하므로 [eqn: therefore] [eqn: -1<=a<2]

① [eqn: a>-2]	② [eqn: a≧-1]	③ [eqn: -1 <= a< 2]

④ [eqn: -2<a <= 2]	⑤ [eqn: -2 <= a< 3]

▶2007년 11월 교육청[4점]

원점 [eqn: rm O]와 세 점 [eqn: rm A(2,~-2),~``B(4,~1),~ C(1,~2)]를 꼭지점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC]의 둘레 위에 있는 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에 대하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+4]의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: m]이라 할 때,   [eqn: 39(M-m)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 147]

[출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+4=k`]라 하면

[eqn: (x-2)^2 +y^2 =k`]는 중심이 [eqn: (2,````0)]이고 반지름이 [eqn: rootk`]인 원이다.

최대값은 [eqn: rm B(4,~1)] 또는 [eqn: rm C(1,~2)]를 지날 때이므로

[eqn: sqrt {k} `= sqrt {(2-4) ^{2} +(0-1) ^{2}} `=` sqrt {(2-1) ^{2} +(0-2) ^{2}} `=` sqrt {5} `]

[eqn: therefore] 최대값 [eqn: k``=5]

최소값은 점[eqn: rm A, ~B`]를 지나는 직선 [eqn: 3x-2y-10=0]과 접할 때이므로

[eqn: root k ` = { LEFT | `3 times 2 - 2 times 0 - 10 ` RIGHT | } over {sqrt {3 ^{2} + (-2) ^{2}}} = {4} over {sqrt {13}}]

[eqn: therefore] 최소값 [eqn: k``={16} over {13}]

따라서 [eqn: 39(M-m)`=`39 LEFT ( 5- {16} over {13} RIGHT )` = `{147}]

[eqn: rm A(2,~-2)]

[eqn: rm B(4,~1)]

[eqn: rm C(1,~2)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

▶2011년 10월 인천교육청[4점]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]와 직선 [eqn: 2x+y-a=0`]이 두 점 [eqn: rm P`,~Q`]에서 만날 때, [eqn: rmTRIANGLE OPQ]가 정삼각형이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

정답 ④

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 수학 내적 문제해결하기

[eqn: rm bar{OP} = rm bar{OQ} `= rm bar{PQ} =2`]이므로 점 [eqn: rmO`]에서 직선 [eqn: rm{barPQ}`]까지의 거리 [eqn: d`]는 [eqn: sqrt {3} `]이다.

[eqn: d= {LEFT | `-a` RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2}}} = sqrt {3} `]

이므로 [eqn: a=`± sqrt {15} `]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= sqrt {15}][eqn: LEFT ( BECAUSE `a>0` RIGHT ) `]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {13}]	③ [eqn: sqrt {14}]

④ [eqn: sqrt {15}]	⑤ [eqn: 4]

▶2005년 10월 인천시[4점]

두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} ``=`18], [eqn: (x-2) ^{2} +(y-2) ^{2} ``=`r ^{2}] 이 접할
때, [eqn: r] 의 값은?

정답 ④

원 [eqn: (x-2) ^{2} +(y-2) ^{2} =r ^{2}] 의 중심 [eqn: (2,``2)] 는 원

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =18]  내부의 점이므로 두 원이 접하려면 내접해야한다.

(중심거리) [eqn: = sqrt {(2-0) ^{2} +(2-0) ^{2}} =2 sqrt {2}]

(두 원의 반지름 차) =[eqn: sqrt {18} -r=3 sqrt {2} -r]

[eqn: 2 sqrt {2} =3 sqrt {2} -r]

[eqn: THEREFORE] [eqn: r= sqrt {2}]

① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

▶2009년 03월 서울시교육청[3점]

원 [eqn: x^2 +y^2 -x-12y=0`] 위에 두 점 [eqn: {rmO}(0,``0)`], [eqn: {rmA}(5,``2)`]가 있다. 이 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: ∠{rmOAP} =90°`]일 때, 직선 [eqn: rm OP`]의 기울기를 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[eqn: rm ANGLE OAP =90 DEG `]이므로 현 [eqn: rm OP`]는 [eqn: rm △OAP`]의 외접원의 지름이다.

따라서 직선 [eqn: rm OP`]는 원의 중심을 지난다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -x-12y=0`]을 변형하면

[eqn: left(x- 1over2 right) ^{2} +(y-6) ^{2} = 145 over 4 `]

이 원의 중심의 좌표는 [eqn: left( 1over2 , ``6 right) `]이므로

구하는 직선 [eqn: rm OP`]의 기울기는 [eqn: 12`]이다.

▶2005년 10월 인천시[4점]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x-4y=0] 의 넓이가 두 직선 [eqn: y=ax] 와[eqn: y=bx+c]  에 의해 [eqn: 4] 등분될 때, [eqn: a`b`c] 의 값은?

정답 ②

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y=ax]

[eqn: y=bx+c]

원이 두 직선에 의해 [eqn: 4]등분 되려면 두 직선은 모두 원의 중심

[eqn: (1,```2)]를 지나고 수직이면 된다.[eqn: a=2], [eqn: b=- {1} over {2}], [eqn: c= {5} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: abc=2 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) =- {5} over {2}]

① [eqn: -3]	② [eqn: - {5} over {2}]	③ [eqn: -2]
④ [eqn: - {3} over {2}]	⑤ [eqn: -1]

▶2013년 11월 서울[4점]

그림과 같이 중심이 원점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: a]인 원 [eqn: C _{`1}]과 중심이 [eqn: LEFT ( it d,``0 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원 [eqn: C _{`2}]가 있다.
원점 [eqn: rmO]에서 원 [eqn: C _{`2}]에 그은 두 접선과 원 [eqn: C _{`1}]의 교점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 다음은 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 구하는 과정이다. (단, [eqn: d>r`])

정답 ②

원점 [eqn: rm O]에서 [eqn: C _{2}]에 그은 접선은

[eqn: y=mx`][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

점 [eqn: LEFT ( d,`0 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=mx`]사이의 거리는 [eqn: r]이므로

[eqn: {LEFT | dm RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =`r]

[eqn: r sqrt {m ^{2} +1} `= LEFT | dm RIGHT |]

[eqn: r ^{2} LEFT ( m ^{2} +1 RIGHT ) =d ^{2} TIMES BOX{`````````` _{{} ^{}} m ^{2 ^{}} ````````} `][eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: therefore] [eqn: f(m)=m ^{2}]

또한, [eqn: ㉠]과 원 [eqn: C _{1} `]의 방정식에서,

[eqn: `x ^{2} +y ^{2} =a ^{2}]의 양변에 [eqn: m ^{2}]을 곱하면

[eqn: m ^{2} x ^{2} +m ^{2} y ^{2} =m ^{2} a ^{2}]이고

[eqn: y ^{2} =m ^{2} x ^{2}]이므로

[eqn: y ^{2} +m ^{2} y ^{2} =m ^{2} a ^{2}]

[eqn: y ^{2} TIMES ` BOX{````````` _{{} ^{}} (m ^{2 ^{}} +1)`````````} =m ^{2} a ^{2}][eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: therefore] [eqn: g LEFT ( m RIGHT ) =m ^{2} +1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 3 RIGHT ) `=`4 TIMES 10=40]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: d]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: C _{`2}]

[eqn: C _{`1}]

원점 [eqn: rmO]에서 원 [eqn: C` _{2}]에 그은 접선을
[eqn: `y=mx] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
라 하자.

점 [eqn: LEFT ( d,``0 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=mx] 사이의 거리는 [eqn: r]이므로

[eqn: r ^{2} (m ^{2} +1)=d ^{2} TIMES BOX{``````````(가) _{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{{} _{}} ``````````}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

이 성립한다.

또한, [eqn: ㉠]과 원 [eqn: C _{`1}]의 방정식에서

[eqn: y ^{2} TIMES BOX{``````````(나) _{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{{} _{}} ``````````} `=m ^{2} a ^{2}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

이 성립한다.

[eqn: ㉡]，[eqn: ㉢] 에서

두 교점의 [eqn: y]좌표는 각각 [eqn: {ar} over {d}], [eqn: - {ar} over {d}] 이다.

따라서 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: {2ar} over {d}]이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) timesg(3)]의 값은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

▶2005년 11월 전국연합[4점]

좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O`]와 세 점 [eqn: rm A(6,~0)], [eqn: rm B(6,~2)],   [eqn: rm C(0,~2)]로 이루어진 직사각형[eqn: rm OABC`]의 넓이를 직사각형에 접하는 반원을 그려서 [그림1], [그림2]와 같이 이등분 할 때, [그림1]에서의 원의 중심의 좌표는 [eqn: (a_1 ,~1`)], [그림2]에서의 원의 중심의 좌표는 [eqn: (a_2 ,~1`)]이다. [eqn: LEFT | a_1 - a_2 RIGHT |]의 값은?

정답 ②

직사각형[eqn: rmOABC]의 넓이는 [eqn: 12]

[그림1]에서 [eqn: 2a_1 + pi over 2 = 6]이므로 [eqn: a_1 = 3 - pi over 4]

[그림2]에서 [eqn: 2(6-a_2 ) + pi over 2 = 6]이므로 [eqn: a_2 = 3 + pi over 4]

[eqn: LEFT | a_1 - a_2 RIGHT | = LEFT | left(3- pi over 4 right) - left( 3 + pi over 4 right) RIGHT | = pi over 2]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm A]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm A]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[그림1]	[그림2]

①  [eqn: 2]	② [eqn: pi over2]	③ [eqn: 5 over 4]

④   [eqn: 1]	⑤ [eqn: pi over4]

▶2012년 03월 부산[4점]

그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =13] 위의 두 정점 [eqn: rm A(-3,``-2)], [eqn: rm B(2,``-3)`]과 원 위의 동점 [eqn: rm P`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABP`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: {q} over {p} LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )`]이다. [eqn: pq`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 26

[출제의도] 원과 직선의 방정식 문제 해결하기

중심 [eqn: rmO`]에서 변 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면

두 점 [eqn: rmA,~B`]를 지나는 직선의 방정식이

[eqn: x+5y+13=0`]이므로 [eqn: rmbar OH = root26 over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rmPAB][eqn: LEQ 1over2 TIMES rm barAB times LEFT ( barOH +root13 RIGHT )]

[eqn: = 13over2 LEFT ( 1+ root2 RIGHT )]

따라서 [eqn: pq=26`]이다.

[별해] 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하면 [eqn: rm M LEFT ( - {1} over {2} ,~- {5} over {2} RIGHT )`]이고, [eqn: rm bar{OM} = sqrt {{1} over {4} + {25} over {4}} = {sqrt {26}} over {2}]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm PAB`]의 넓이가 최대일 때 높이는

[eqn: {sqrt {26}} over {2} + sqrt {13} `]이다. [eqn: rm bar{AB} = sqrt {26}`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm PAB`]의 최댓값은 [eqn: {13} over {2} LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )`]이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

▶2012년 10월 인천[4점]

좌표평면 위의 제[eqn: 1`]사분면에 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C _{1} `,```C _{2} `]가 있다. 원 [eqn: C_1`]은 [eqn: x`]축에 접하면서 움직이고, 원 [eqn: C_2`]는 [eqn: y`]축에 접하는 동시에 원 [eqn: C_1`]에 외접하면서 움직인다. 두 원이 외접하는 접점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: a` pi `]이다. 이때 [eqn: 30a`]의 값을 구하시오.

정답  15

[출제의도] 원의 방정식 이해하기

[eqn: C _{1}]이 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: C _{1}]의 중심을 [eqn: (a,````1)],

[eqn: C _{2}]가 [eqn: y]축에 접하므로 [eqn: C _{2}]의 중심을 [eqn: (1,````b)]라 하자.

[eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]가 서로 외접하므로

[eqn: (a-1) ^{2} +(b-1) ^{2} =4][eqn: (1 LEQ a LEQ 3,`1 LEQ b LEQ 3)],

접점 [eqn: rm P`it(x,````y)]는 [eqn: rm P` itLEFT ( {a+1} over {2} ,```` {b+1} over {2} RIGHT )]이므로

[eqn: a=2x-1], [eqn: b=2y-1]

따라서, 점 [eqn: rmP`]가 그리는 도형은

[eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} =1][eqn: (1 LEQ x LEQ 2,``1 LEQ y LEQ 2)]

[eqn: x]

[eqn: rm rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: y]

따라서, 점 [eqn: rmP`]가 그리는 도형의 길이는 [eqn: {1} over {2} pi]

[eqn: THEREFORE][eqn: 30a=15]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: C _{1}]

[eqn: C _{2}]

▶2007년 10월 교육청[4점]

반지름의 길이가 [eqn: 10 rm km`]인 원 모양의 섬이 있다. 현재 태풍의 중심은 이 섬의 중심으로부터 남쪽으로 [eqn: 200 sqrt {2} rm km`], 서쪽으로 [eqn: 200 sqrt {2} rm km`] 떨어진 곳에서 시속 [eqn: 10rmkm`]의 속력으로 북동쪽으로 진행하고 있다. 태풍의 중심에서 [eqn: 30 rm km`]이내가 폭풍우권이라고 할 때, 처음으로 이 섬 전체가 폭풍우권에 들어가는데 걸리는 시간은 몇 시간인지 구하시오. (단, 폭풍우권의 크기는 일정하다.)

정답 [eqn: 38]

[출제의도] 원의 성질을 활용한 실생활 문제 해결하기

태풍이 [eqn: rmO]에서 출발하여 [eqn: rmP]지점에 도착하면 섬 전체가 폭풍우권에

들어간다.

[eqn: {rmbarOP`}=`380 (rmkm)]이므로 걸리는 시간은 [eqn: 38]시간

▶2014년 9월 인천[4점]

다음은 어떤 전시장에 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 1rmm`]인 원기둥모양의 세 전시물 [eqn: rm A`,~B`,~C`]를 설치하는 방법이다.

	(가) 관람지점 [eqn: rmP]에서 전시물 [eqn: rmA ,~B`]의 밑면의 중심까지의 거리가 각각 [eqn: 2`` rm m`]이고, 관람지점 [eqn: rm P`]와 전시물 [eqn: rm A`,~B`]의 밑면의 중심을 연결한 두 직선이 서로 수직이 되도록 전시물 [eqn: rm A`,~B`]를 설치한다. (나) 관람자가 관람지점 [eqn: rm P`]에서 전시물 [eqn: rm A,~B`]사이로 전시물 [eqn: rm C`]를 보았을 때, 전시물 [eqn: rm C`]가 전시물 [eqn: rm A`,~B`]에 의해 가려지는 부분이 없도록 전시물 [eqn: rmC`]를 설치한다.

정답 ⑤

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 활용한 수학 외적 문제 해결하기

관람지점 [eqn: rmP`]를 좌표평면 위의 원점이라 하면 전시물 [eqn: rmA`]의 밑면은 중심이 [eqn: LEFT ( 0`,~2 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원이다. 또한, 전시물 [eqn: rm B`]의 밑면은 중심이 [eqn: LEFT ( 2`,~0 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원이다. 두 전시물 사이로 전시물 [eqn: rmC`]가 보여야 하므로 원점에서 그은 두 원의 접선 사이에 전시물 [eqn: rmC`]의 밑면이 존재해야 한다. 이때, 원점에서 전시물 [eqn: rmC`]의 밑면의 중심까지의 거리가 최소가 되려면 전시물 [eqn: rmC]의 밑면이 두 접선에 모두 접해야 한다.

따라서 전시물 [eqn: rmC`]의 밑면은 중심이 직선 [eqn: y=x`]위에 있고 두 접선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x`], [eqn: y= sqrt {3} x`]에 모두 접하는 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원이다.

중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( a`,~a RIGHT )`]라 할 때, 중심에서 두 접선까지의 거리는 각각 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: {LEFT | a- sqrt {3} a RIGHT |} over {sqrt {1+3}} = {LEFT | sqrt {3} a-a RIGHT |} over {sqrt {3+1}} =1]

[eqn: a= {2} over {sqrt {3} -1} = sqrt {3} +1`]

원점에서 전시물 [eqn: rmC`]의 밑면의 중심까지의
거리는 [eqn: sqrt {2} a]

따라서 [eqn: d`]의 최솟값은 [eqn: sqrt {6} + sqrt {2}]

관람지점 [eqn: rm P`]로부터 전시물 [eqn: rm C`]의 밑면의 중심까지의 거리를 [eqn: d][eqn: LEFT ( rm`m RIGHT )]라 할 때, [eqn: d`]의 최솟값은? (단, 관람자의 시선은 전시장의 바닥과 평행하고, 전시물의 높이는 관람자의 시선보다 높다.)

① [eqn: sqrt {3} +1]	② [eqn: sqrt {3} + sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3} +2]

④ [eqn: sqrt {6} +1]	⑤ [eqn: sqrt {6} + sqrt {2}]

16년 모의고사 대비 단원별 모의고사	수 학 1	원

빠른정답

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ①

정답 [eqn: 13]

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 670]

정답 ④

정답 [eqn: 21]

정답 ④

정답　③

정답　③

정답　6

정답  ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 9]

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 15

정답　60

정답 [eqn: 18]

정답 [eqn: 16]

정답 [eqn: 25]

정답 [eqn: 54]

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 5]

정답 : [eqn: x ` = ` 4 `, ````` ~ y`=`13``]

정답 [eqn: 24]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 18]

정답 ③

정답 [eqn: 9]

정답 ③

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 42]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답　③

정답 ④

정답　①

정답 ③

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 18]

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ④

정답 13

정답 10

정답 ④

[정답] ①

[정답] ③

정답 ⑤

정답 ②

정답 [eqn: 25]

정답 ④

정답 [eqn: 13``]

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 22]

정답 ⑤

정답 [eqn: 11]

[정답] ④

정답 ③

정답 [eqn: 10``]

정답 [eqn: 16]

정답 ③

정답 ⑤

정답 [eqn: 12``]

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답  20

정답  ②

정답 80

정답 ④

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 25]

[정답] ③

[정답] ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 [eqn: 200]

정답 ①

정답 95

정답 7

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 18]

정답 [eqn: 19]

정답 ➃

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답　②

정답　14

정답 ⑤

정답 [eqn: 11]

정답 ⑤

정답 [eqn: 13``]

정답 ③

정답 [eqn: 12]

정답 50

정답  ④

정답 ⑤

정답 ②

정답　9

정답  11

정답 [eqn: 8]

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 34]

정답 [eqn: 30]

정답 ⑤

정답 [eqn: 24]

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 (1)[eqn: 13 over 5]

(2) [eqn: 13]

정답 [eqn: 8]

정답 30

정답 ①

정답 4

정답  ③

정답 5

정답 [eqn: 13]

정답 ②

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ④

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ③

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ②

정답  ④

정답  ③

정답 8

정답 ①

정답 ⑤

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 15]

정답 [eqn: 28]

정답 ①

정답 [eqn: 8]

정답 ③

정답 ③

정답  (1) [eqn: y`=`4over3 x `]

(2) [eqn: 14over5]

(3) [eqn: `7]

정답 [eqn: 116]

정답 ④

정답 [eqn: 11]

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ①

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 6]

정답 31

정답 25

정답 75

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ④

정답 [eqn: 18``]

정답  ①

정답 ③

정답 ④

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: 113]

정답 [eqn: 70]

정답 ③

정답 [eqn: 16]

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 97]

정답 ②

정답[eqn: 40]

정답 ③

정답 [eqn: 147]

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ②

정답 ②

정답 ②

정답 26

정답  15

정답 [eqn: 38]

정답 ⑤

정답 ③

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답 130

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 150]

정답 ③

정답  ③

정답 ③

정답 ③

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ③

정답 ③

정답 [eqn: 27]

정답 [eqn: 13]

정답 ⑤

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 [eqn: 28]

정답 ④

정답 [eqn: 45]

정답 ①

정답  ②

정답 ⑤

정답 [eqn: 32]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 [eqn: -2 <a < 6 `]

정답 ④

정답 ②

정답 ⑤

정답 ④

정답  ②

정답 ①

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 24

정답15

정답 ⑤

정답 ④

정답 ②

정답 ②

정답 [eqn: 4]

정답 [eqn: 52]

정답 ①

정답 ①

정답 [eqn: 500]

정답 ②

정답 ④

정답 [eqn: 36]

정답 ④

정답 ③

정답 ⑤

정답 ④

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 160]

정답 및 풀이