이차방정식

수학1		모의고사 단원별 총모음(이차방정식/함수)
				이차방정식 / 함수

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▶2008년 09월 서울교육청(2점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`2x`+`3``=`0``]의 한 근을 [eqn: alpha``]라 할 때, [eqn: alpha ``+{3} over {alpha } ``]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 이차방정식의 근을 구하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`2`x`+`3`=`0``]의 두 근을 [eqn: alpha``], [eqn: beta ``]라 하면,

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha `+` beta ``=`2``], [eqn: alpha ` beta ``=`3``]

∴ [eqn: alpha `+` {3} over {alpha } `=` alpha `+` beta `=`2``]

[별해]

이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`2`x`+`3`=`0``]에서

[eqn: x`=`1`± sqrt {1 ^{2} `-`3`} `=`1`± sqrt {2} `i``]

[eqn: alpha `=`1`+ sqrt {2} `i``]일 때,

[eqn: {3} over {alpha } `=` {3} over {1`+ sqrt {2} `i`} `=` {3`(`1`- sqrt {2} `i`)} over {(`1`+ sqrt {2} `i`)`(`1`- sqrt {2} `i`)} ``][eqn: =` {3`(`1`- sqrt {2} `i`)} over {3} `=`1`- sqrt {2} `i``]

[eqn: alpha `=`1`- sqrt {2} `i``]일 때, 같은 방법으로 [eqn: {3} over {alpha } `=`1`+ sqrt {2} `i``]

[eqn: THEREFORE `` alpha `+` {3} over {alpha } `=`(`1`+ sqrt {2} `i`)`+`(`1`- sqrt {2} `i`)`=`2``]

① [eqn: -3``]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

▶2008년 03월 교육청(2점)

이차방정식 [eqn: x^2`-3x`+`5`=`0`]의 두 근을 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]라 할 때, [eqn: (alpha-beta)^2 ``]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 근과 계수의 관계를 알고 식을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: alpha + beta =3``], [eqn: alphabeta=5``]

∴ [eqn: (alpha -beta)^2 =(alpha+ beta)^2 -4alphabeta =3^2 -4×5=-11``]

① [eqn: -11``]	② [eqn: -9``]	③ [eqn: -7``]

④ [eqn: -5``]	⑤ [eqn: -3``]

▶2008년 05월 경기교육청(2점)

이차방정식 [eqn: x^2 -7x+5=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`,`beta``]라 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^2``]의 값은?

정답 ②
[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[해설] [eqn: alpha+beta`=7`], [eqn: alpha`beta`=5`]이므로,

[eqn: therefore~][eqn: alpha^2 +beta^2``][eqn: =(alpha+beta`)^2 -2alpha`beta``][eqn: =49-10`][eqn: =39`]

① [eqn: 37`]	② [eqn: 39`]	③ [eqn: 41`]

④ [eqn: 43`]	⑤ [eqn: 45`]

▶2008년 03월 교육청(3점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2007`x-2008=0`]의 근 중에서 큰 것을 [eqn: a`]라 하고, 이차방정식 [eqn: 2008 ^{2} x ^{2} +2007 TIMES 2009`x-1=0`]의 근 중에서 작은 것을 [eqn: `b`]라 할 때, [eqn: a-b`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{2} -2007`x-2008=0`]에서

[eqn: (x+1)(x-2008)=0`], [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=2008]

∴ [eqn: a`=2008]   [eqn: cdots]㉠

[eqn: 2008 ^{2} `x ^{2} +2007 TIMES 2009`x-1=0`]에서

[eqn: 2008 ^{2} `x ^{2} +`(2008 ^{ 2}-1) x-1=0`]

[eqn: (x+1)(2008 ^{2} x-1)=0`], [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x= {1} over {2008 ^{2}}]

∴ [eqn: b`=`-1]  [eqn: cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a-b`=2008-(-1)=2009]

[eqn: -2009]	[eqn: -2007]	[eqn: 0]

[eqn: 2007]	[eqn: 2009`]

▶2013년 6월 교육청[3점]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - kx + k-1 =0`]이 중근 [eqn: alpha`]를 가질 때, [eqn: k+alpha`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

정답 ③

방정식 [eqn: x ^{2} -kx+k-1=0]이 중근을 가지므로

판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=k ^{2} -4(k-1)][eqn: =k ^{2} -4k+4][eqn: =(k-2) ^{2}][eqn: =0]

∴ [eqn: k=2]

[eqn: k=2]를 [eqn: x^2 - kx + k-1 =0`]에 대입하면

[eqn: x^2 -2 x +1 =0`]

[eqn: (x-1)^2 =0]

[eqn: x=1`]

∴ [eqn: alpha`=1`]

따라서 [eqn: k+ alpha =3`]

[다른 풀이]

문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다.

그러므로 [eqn: x ^{2} -kx+k-1=0`]을 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: -k(x-1)+x ^{2} -1=0]

[eqn: -k(x-1)+(x+1)(x-1)=0`]

[eqn: LEFT . (x-1) LEFT { -k+(x+1)` RIGHT } =0`]

[eqn: (x-1) LEFT ( x+1-k RIGHT ) =0`]

이 방정식은 중근을 갖고 근이 [eqn: x=1,``k-1]이므로

[eqn: 1=k-1`]

∴ [eqn: k=2`]

그러므로 [eqn: k=2`], [eqn: alpha =1]

따라서 [eqn: k+ alpha =2+1=3`]

[다른 풀이]

주어진 방정식의 중근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: x ^{2} -kx+k-1=(x- alpha ) ^{2} `]으로 인수분해 된다.

그러므로 [eqn: x ^{2} -kx+k-1=x ^{2} -2 alpha x+ alpha ^{2} `]

이 식은 항등식이므로

[eqn: `k`=2` alpha `` CDOTS] ㉠

[eqn: k-1= alpha ^{2} `` CDOTS] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 2 alpha -1`=` alpha ^{2}]

[eqn: alpha ^{2`} -`2alpha+1=0]

[eqn: (alpha-1) ^{2} =0]

∴ [eqn: alpha=1]

㉠에 [eqn: alpha=1]을 대입하면 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: k+ alpha =2+1=3`]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5`]

▶2013년 6월 교육청[3점]

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+1=0``]의 두 근이 [eqn: alpha ,``` beta `]일 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } `]의 값은?

정답 ④

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]이므로

[eqn: alpha+beta=3], [eqn: alpha beta=1]

따라서 [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } `][eqn: = { 3}]

[다른 풀이]

[eqn: x!=0]이므로 방정식 [eqn: x ^{2} -3x+1=0``]의 양변을 [eqn: x^2`]으로 나누면

[eqn: 1-` {3} over {x} `+ {1} over {x ^{2}} `=0`]이다.

[eqn: {1} over {x} =t`]로 치환하면

[eqn: 1-`3t+t ^{2} `=0], [eqn: t^2 -3t+1`=0~ CDOTS `] ㉠

[eqn: {1} over {alpha }], [eqn: {1} over {beta } `]은 ㉠의 근이 된다.

따라서 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: {1} over {alpha } +` {1} over {beta } `=`3`]

① [eqn: -5`]	② [eqn: -3`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

▶2013년 11월 교육청[3점]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} `+2kx+3k-2=0]이 중근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

정답 ①

이차방정식 [eqn: x ^{2} `+2kx+3k-2=0]에서

[eqn: {D} over {4} =k ^{2} -3k+2`]

[eqn: = LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: k=1] 또는 [eqn: k=2]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▶2013년 11월 교육청[3점]

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -4x+k=0]의 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta `]가 [eqn: alpha ^{3} + beta ^{`3} =7]을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 30k]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10]

[eqn: 2x ^{2} -4x+k=0`]에서

[eqn: alpha + beta =- {-4} over {2} =2], [eqn: alpha beta = {k} over {2} `]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =4-k`]

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} = LEFT ( alpha+beta RIGHT ) LEFT ( alpha ^{2} -alphabeta+beta ^{2} RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES LEFT ( 4-k- {k} over {2} RIGHT ) =7`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k= {1} over {3}]

따라서 [eqn: 30k`=10]

▶2011년 08월 경찰대

[eqn: x]에 대한 일차방정식 [eqn: a LEFT ( ax-1 RIGHT ) - LEFT ( x+1 RIGHT ) =0]이 근을 갖지 않을 때, [eqn: x ^{2} - LEFT ( 4a-1 RIGHT ) x-5a+1=0]의 두 근 [eqn: alpha,~beta]에 대해 [eqn: alpha ^{2} +beta ^{2}]의 값은?

정답 ④
[eqn: a(ax-1)-(x+1)=0`], [eqn: (a^2 -1 )x = a+1]
[eqn: (a+1)(a-1)x = a+1] ⋯⋯ [eqn: ㉠]
[eqn: ㉠ ``]에서 [eqn: a=1``]일 때 근을 갖지 않으며
[eqn: a=`-1``]일 때 무수히 많은 근을 갖는다.   [eqn: therefore```a=1]
방정식 [eqn: x ^{2} -(4a-1)x-5a+1=0``]에서
근과 계수의 관계를 이용하면
[eqn: alpha +beta = 4a-1 =3], [eqn: alpha beta = `-5a+1 = `-4]
∴ [eqn: alpha^2 + beta`^2][eqn: = (alpha +beta)^2 -2alpha beta][eqn: = 3^2 -2 cdot(-4)][eqn: = 17]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

▶2013년 9월 인천청[3점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k+2 RIGHT ) x+2k ^{2} -28=0`]이 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 정수 [eqn: k`]의 개수는?

정답 ①

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k+2 RIGHT ) x+2k ^{2} -28=0`]이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 판별식

[eqn: D=4 LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2k ^{2} -28 RIGHT ) >0]

즉, [eqn: k ^{2} -4k-32<0`]이므로 [eqn: -4<k<8]

따라서 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 11`]개

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

▶2014년 9월 인천 [3점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+8k-12=0`]이 허근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 12``]

[출제의도] 이차방정식의 판별식 이해하기

이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하자.

[eqn: D=(2k) ^{2} -4(8k-12)]

[eqn: =4(k ^{2} -8k+12)]

[eqn: =4(k-2)(k-6)]

이차방정식이 허근을 가지려면 [eqn: D<0]

[eqn: 2<k<6`]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 12]

▶2014년 3월 서울[3점]

이차방정식

정답 ④

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식의 두 근의 곱을 구한다.

[eqn: (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)]

[eqn: =][eqn: x ^{2} -(a+b)x+ab+x ^{2} -(b+c)x+bc+x ^{2} -(c+a)x+ca]

[eqn: =3x ^{2} -2(a+b+c)x+ab+bc+ca][eqn: =0]

에서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: {2(a+b+c)} over {3} =4], [eqn: {ab+bc+ca} over {3} =-3]

∴ [eqn: a+b+c=6], [eqn: ab+bc+ca=-9]

[eqn: (x-a) ^{2} +(x-b) ^{2} ＋(x-c) ^{2}]

[eqn: =3x ^{2} -2(a+b+c)x+a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}][eqn: =0]

에서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은

[eqn: {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} over {3}][eqn: =][eqn: 1over3 left{(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca) right}]

[eqn: = 1over3 left(36+18 right)]

[eqn: =18]

[eqn: (x-a)(x-b) +(x-b)(x-c) + ( x-c) ( x-a ) = 0]

의 두 근의 합과 곱이 각각 [eqn: 4], [eqn: -3]일 때, 이차방정식

[eqn: ( x-a) ^2 +( x- b ) ^2 ＋ ( x-c)^2 =0]

의 두 근의 곱은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

▶2014년 9월 인천 [3점]

다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +px+q`] ([eqn: p`,~q`]는 실수)가 다음 두 조건을 만족시킨다.

정답 ①

[출제의도] 나머지정리와 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

(가)에서 [eqn: f(1)=1+p+q=1`]

[eqn: p+q=0]…… ㉠

(나)에서 [eqn: a-i`]도 이차방정식의 근이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: p`=`-2a`], [eqn: q`=`a ^{2} +1`]…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: p+q`=`-2a+a ^{2} +1`=`0]

[eqn: a`=1`], [eqn: p`=-2`,~q`=2`]

따라서 [eqn: p+2q`=`2]

	(가) 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지는 [eqn: 1`]이다. (나) 실수 [eqn: a`]에 대하여 이차방정식 [eqn: f(x)=0`]의 한 근은 [eqn: a+i`]이다.

[eqn: p+2q`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

▶2011년 10월 인천교육청(3점)

실수 계수를 갖는 [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-ax+b=0`]의 한 근이 [eqn: 3+2i`]일 때, [eqn: ab`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 [eqn: 78]

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와외 관계 이해하기

[eqn: a,~b]가 실수이고 방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0`]의 한 근이 [eqn: 3+2i`]이므로 다른 한 근은 [eqn: 3-2i`]이다.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여

두 근의 합 : [eqn: a= LEFT ( 3+2i RIGHT ) `+ LEFT ( 3-2i RIGHT ) =6`]

두 근의 곱 : [eqn: b= LEFT ( 3+2i RIGHT ) ` TIMES LEFT ( 3-2i RIGHT ) =13`]

따라서 [eqn: a=6,~b=13]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=78]

▶2011년 08월 경찰대

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax ^{2} -bx+3c=0]이 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+2b+3c]의 값은?

정답 ②
조건 (나)에서 [eqn: 6<alpha + beta <8], [eqn: 5 < alpha beta<12]
근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha+beta = b over a``]이므로
[eqn: 6< b overa <8], [eqn: 6a <b <8a]
이때, 조건 (가)에서 [eqn: a =1``]이고 [eqn: b=7``]이다.
또한 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha beta = 3c over a``]이므로
[eqn: 5 < 3c<12``], [eqn: 5 over3 < c < \4]
조건 (가)에서 [eqn: c =2] 또는 [eqn: c=3``]이다.
그런데 [eqn: c=2]이면
[eqn: ax^2 -bx +3c][eqn: =x^2 -7x+6 = (x-1)(x-6)``]이므로
조건 (나)에 위배된다. 따라서 [eqn: c=3``]이다.
[eqn: therefore```][eqn: a+2b+3c][eqn: =1 +2 cdot7 +3 cdot3 =24]

(가) [eqn: a,```b,```c]는 한 자리의 자연수이다.

(나) 두 근 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 [eqn: 1<alpha<2,~5<beta<6]이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 48]

▶2011년 09월 인천교육청(3점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2 sqrt {2} x-m(m+1)=0`]은 실근을 갖고, 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(m-2)x+4=0`]은 허근을 갖도록 하는 실수 [eqn: m`]의 값의 범위는?

정답 ②

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2 sqrt {2} x-m(m+1)=0`]이 실근을 가지므로 판별식 [eqn: D`]가 [eqn: D GEQ 0]이어야 한다.

[eqn: { D} / {4} =2+m(m+1)`=`m ^{2} +m+2]

[eqn: = LEFT (m+ {1} over {2} RIGHT) ^{2} `+ {7} over {4} `>0]

[eqn: THEREFORE] 모든 실수 [eqn: m`]에 대하여 실근을 갖는다. [eqn: CDOTS]①

이차방정식 [eqn: x ^{2} -(m-2)x+4=0]은 허근을 가지므로 판별식 [eqn: D`]가 [eqn: D<0]이어야 한다.

[eqn: D=(m-2) ^{2} -16<0]

[eqn: m ^{2} -4m-12<0]

[eqn: (m+2)(m-6)<0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2<m<6] [eqn: CDOTS]②

[eqn: therefore] ①, ②를 동시에 만족시키는 실수 [eqn: m]의 값의 범위는 [eqn: -2<m<6]

① [eqn: -3 LEQ m<4``]	② [eqn: -2<m<6``]
③ [eqn: 0<m LEQ 7``]	④ [eqn: 1<m<8``]
⑤ [eqn: 2 LEQ m<9``]

▶2011년 08월 경찰대

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -10x-5=ax+b]가 두 양의 실근 [eqn: alpha,~beta]를 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하고, 그때의 [eqn: alpha^2 +beta^2]의 최솟값을 [eqn: q]라 하자. [eqn: p]와 [eqn: q]의 곱 [eqn: pq]의 값은?

정답 ④
[eqn: x^2 - 10x -5 = ax +b``]에서
[eqn: x^2 -(a+10)x-(b+5)=0]	⋯⋯ ㉠
근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha+beta = a+10]
[eqn: alpha], [eqn: beta``]가 양수이므로 [eqn: a+10 >0] 즉, [eqn: a >`-10]
[eqn: therefore```]정수 [eqn: a``]의 최솟값 [eqn: p=`-9``]이다.
이때, ㉠은 [eqn: x^2 -x -(b+5)=0``]이고
[eqn: D = 1+4(b+5) ge 0]에서 [eqn: (b+5) ge - 1 over4]
근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha beta =` -(b+5)``]이므로
[eqn: alpha^2 +beta`^2][eqn: = (alpha +beta)^2 -2alpha beta][eqn: = 1 -2 alpha beta]
[eqn: = 1+ 2 (b+5)][eqn: ge 1 +2 cdot LEFT ( - 1 over4 RIGHT )][eqn: = 1 over2]
[eqn: therefore```][eqn: alpha^2 +beta`^2 ``]의 최솟값 [eqn: q = 1 over2]   [eqn: therefore```][eqn: pq =`- 9 over2]

① [eqn: -9]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: - {9} over {2}]	⑤ [eqn: -18]

▶2005년 3월 부산시교육청(3점)

이차방정식 [eqn: x^2 -2x-3=0] 의  두 근을 [eqn: p`], [eqn: q``] 라 할 때,

정답 ⑤

[eqn: x^2 -2x-3=0]을 인수분해하면

[eqn: (x-3)(x+1)=0]     ∴ [eqn: x=3],     [eqn: x=-1]

[eqn: (준식)= -3- 1over3 =- 10over3]

[eqn: q over p + p over q] 의 값을 구하면?

① [eqn: -2]	② [eqn: - 7over3]	③ [eqn: - 8over3]
④ [eqn: - 3]	⑤ [eqn: - 10over3]

▶2012년 10월 인천시교육청(3점)

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +(k-1)x+18=0`]이 중근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

정답  13

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

이차방정식이 중근을 가지므로

[eqn: D`=(k-1) ^{2} -144=0]

[eqn: THEREFORE]자연수 [eqn: k=13]

▶2012년 09월 인천시교육청(3점)

실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 한 근이 [eqn: 2-4i`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?  (단, [eqn: i= sqrt-1 `])

정답　①

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

한 근이 [eqn: 2-4i`]이므로 다른 한 근은 [eqn: 2+4i`]이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: (2+4i)+(2-4i)=-a`]

[eqn: (2+4i)(2-4i)=b`]

따라서 [eqn: a=-4,~b=20]이므로 [eqn: a+b=16]

① [eqn: 16]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 28]

▶2012년 09월 인천시교육청(3점)

이차방정식 [eqn: 3x ^{2} `-12x-k=0`]의 두 실근의 절댓값의 합이 [eqn: 6] 일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

정답 15

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: 3x ^{2} -12x-k=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha ``,`` beta]라 하면,

[eqn: alpha `+` beta ``=4], [eqn: ` alpha beta =- {k} over {3}], [eqn: |` alpha `|`+|` beta `|=6]이므로

[eqn: LEFT ( LEFT | alpha RIGHT | + LEFT | beta RIGHT | RIGHT ) ^{2} = alpha ^{2} +2 LEFT | alpha beta RIGHT | + beta ^{2}] [eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta +2 LEFT | alpha beta RIGHT |]

[eqn: =16+ {2k} over {3} + {2 LEFT | k RIGHT |} over {3}]

따라서 [eqn: k+ LEFT | `k` RIGHT | =30]이다.

[eqn: k LEQ 0`]이면 성립하지 않으므로 [eqn: k>0`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=15]

▶2012년 03월 부산시교육청(3점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2mx-3m-8=0`]의 두 근 중 적어도 하나는 양의 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: m`]의 최솟값을 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: k ^{2} `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 이차방정식의 활용 문제 해결하기

[eqn: f(x)=x ^{2} -2mx-3m-8`]라 두면

이차방정식 [eqn: f(x)=0`]에서

[eqn: {D} over {4} =m ^{2} +3m+8= LEFT ( m+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {23} over {4} `>0`]이므로 [eqn: m`]의 값에 관계없이 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.

두 실근이 모두 [eqn: 0`]이하가 되려면

(ⅰ) 대칭축의 방정식은 [eqn: x=m`]이므로 [eqn: m LEQ 0]

(ⅱ) [eqn: f(0)=`-3m-8 GEQ 0`]에서 [eqn: `m LEQ - {8} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해  [eqn: `m LEQ - {8} over {3}`]이다. 따라서 두 근 중 적어도 하나가 양의 실수가 되려면 [eqn: m>`- {8} over {3}`]이므로 정수 [eqn: m`]의 최솟값 [eqn: k=`-2`]이다.

[eqn: THEREFORE ~k ^{2} =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 25]

▶2012년 10월 인천시산교육청(3점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+7=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라고 할 때, [eqn: LEFT ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } RIGHT ) ^{`2} `]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 식의 값 계산하기

[eqn: LEFT ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } RIGHT ) ^{2} = alpha -2 sqrt {alpha } sqrt {beta } + beta]

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta =6], [eqn: alpha beta =7]이다.

[eqn: alpha >0,```` beta >0``]이므로 [eqn: sqrt {alpha } sqrt {beta } = sqrt {alpha beta }]

[eqn: THEREFORE][eqn: LEFT ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } RIGHT ) ^{2}][eqn: =`6-2 sqrt {7}]

① [eqn: -6-2 sqrt {7} `]       ② [eqn: -4`]	③ [eqn: 6-2 sqrt {7} `]

④ [eqn: 8`]                ⑤ [eqn: 6+2 sqrt {7}]

▶2012년 11월 경기도교육청(3점)

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(m-5)x+m+2=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 모두 자연수일 때, 모든 정수 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: alpha < beta])

정답 29

[출제의도] 이차방정식에서 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: alpha + beta =m-5] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: alpha beta =m+2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: alpha beta = alpha + beta +7]
[eqn: ( alpha -1)( beta -1)=8]

[eqn: alpha], [eqn: beta `]는 자연수이므로

[eqn: alpha=3], [eqn: beta =5] 또는 [eqn: alpha=2], [eqn: beta =9]

(ⅰ) [eqn: alpha=3], [eqn: beta =5]일 때, [eqn: m=13]

(ⅱ) [eqn: alpha=2], [eqn: beta =9]일 때, [eqn: m=16]

따라서 모든 정수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 29]

▶2012년 11월 경기도교육청(3점)

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때,
두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

정답 ①

[출제의도] 이차방정식의 실근과 허근의 뜻 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]이므로

[eqn: (1+i) ^{2} +a(1+i)+b=0]이다.

[eqn: (a+b)+(a+2)i=0]에서 [eqn: a+b=0], [eqn: a+2=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=`-2], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: ab=`-4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

▶2008년 06월 인천교육청(3점)

이차방정식 [eqn: 2kx ^{2} `+(k-3)x`+1=0`]의 한 허근을 [eqn: alpha `]라 하면   [eqn: alpha ^{2} `]은 실수가 된다. 이 때, 방정식의 두 근의 곱은? (단, [eqn: k]는 실수)

정답 ③

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

[eqn: 2kx ^{2} +(k-3)x+1=0``]의 한 허근을 [eqn: alpha ``]라 하면,

[eqn: 2k` alpha ^{2} +(k-3) alpha +1=0] 이다.

[eqn: alpha^2]이 실수이므로, [eqn: k=3] 이다.

[eqn: therefore] 이차방정식 [eqn: 6x^2 +1=0] 의 두 근의 곱은 [eqn: 1over6]

① [eqn: -`1 over 2]             ② [eqn: - 1 over6]              ③ [eqn: 1 over 6]

④ [eqn: 1 over 2]                ⑤ [eqn: 1]

▶2006년 03월 교육청(3점)

[eqn: a,~b``]가 실수일 때, 이차방정식 [eqn: x ^{2} ```+`ax```+`b```=`0``]의 한 근이 [eqn: 4```+`3i``]이다. [eqn: a```+`b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i```=` sqrt {`-1`}]이다.)

정답 17

이차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 [eqn: 4+3i] 일 때 다른 한 근은 [eqn: 4-3i] 이다.

따라서 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: -a`=4+3i+4-3i`=8], [eqn: a=-8]

[eqn: b=(4+3i)(4-3i)`=25]

[eqn: THEREFORE~a+b`=17]

▶2005년 11월 전국연합(3점)

이차방정식 [eqn: (x-2)(x-3) = 3]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 할 때,

정답 19

[eqn: (x-2 ) (x-3) =3]을 전개하여 정리하면 [eqn: x^2 - 5x + 3 =0]

두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 할 때 [eqn: alpha + beta = 5], [eqn: alpha beta = 3]이고

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 = (alpha + beta ) ^2 - 2 alpha beta]이므로 [eqn: alpha^2 + beta ^2 = 5^2 - 2cdot 3=19]

[eqn: alpha^2 + beta^2]의 값을 구하시오.

▶2008년 05월 경기도교육청(3점)

이차방정식[eqn: 2x^2 -8x-1=0``]의 두 근은 [eqn: x= a+- b`root2``]이다. 이때, 유리수 [eqn: a`,``b``]에 대하여 [eqn: |``ab``|``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 3]

[출제의도] 근의 공식을 이용하여 이차방정식의 해 구하기

근의 공식에 의해

[eqn: x= {4+-root{16-2(-2)}over2} = 4+-3root2 over 2 = 2+- 3over2 root2``]이므로

[eqn: |``ab``|= left|``2``․``3over2 ``right| =3``]

▶2006년 10월 교육청(점)

유리수 [eqn: a,~b``]에 대하여 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0``]의 한 근이 [eqn: -4+ sqrt {3} ``]일 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

정답 21

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 계수가 유리수이므로, 한 근이 [eqn: -4+ sqrt {3} `]이면 다른 한 근은 [eqn: -4- sqrt {3} `]이다.

두 근의 합이 [eqn: -8`]이므로 [eqn: a=8`]이고,

두 근의 곱이 [eqn: 13`]이므로 [eqn: b=13`]이다.

∴[eqn: a+b=21`]

▶2005년 10월 평가원(3점)

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(4n+3)x+n ^{2} =0`]의 두 근을

정답 ③

[eqn: x ^{2} -(4n+3)x+n ^{2} =0`]의 두 근이 [eqn: alpha_n ```,~beta _n` ``]이므로

[eqn: alpha_n +beta _n` =`4n+3`,~~alpha_n ⋅beta _n` =`n^2 `] 이다.

[eqn: sqrt{( alpha _n +1)( beta _n +1) `} `=`sqrt{alpha_n ⋅beta _n`+` alpha _n + beta _n +1 ``}]

[eqn: `=`sqrt{4n+3+n^2 +1} ``=``sqrt{n^2 +4n+4 `}]

[eqn: `=`root{(n+2)^2 `}``=`n+2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sqrt {( alpha _{1} +1)(` beta _{1} +1)} +` sqrt {(` alpha _{2} +1)```( beta _{2} +1)} `+` sqrt {(` alpha _{3} +1)(` beta _{3} +1)}]

[eqn: =`(1+2)+(2+2)+(3+2)`=`12]

[eqn: alpha _{n} ```,~ beta _{n} ```]이라 할 때,
[eqn: root{( alpha _{1} +1)(` beta _{1} +1)}+`root{(` alpha _{2} +1)```( beta _{2} +1)}`+`root{ (` alpha _{3} +1)(` beta _{3} +1)}]
의 값은?

① [eqn: 10`]	② [eqn: 11 `]	③ [eqn: 12`]
④ [eqn: 13 `]	⑤ [eqn: 14`]

▶2006년 09월 교육청(3점)

[eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b`=`0``]의 두 근이 [eqn: a``], [eqn: b``]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} ``]의 값은? (단, [eqn: ab ≠ 0``])

정답 ②

[eqn: x^2 + ax+b = 0``]의 두 근이 [eqn: a``], [eqn: b``]이므로

[eqn: a+b=-a``], [eqn: ab=b``]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=1``], [eqn: b=-2``]

∴ [eqn: a^2 + b^2 ` = 5]

[오답풀이]

[eqn: x=a``]를 대입하면 [eqn: 2a^2 +b=0``] ∴ [eqn: b=-2a^2``]   … ㉠

[eqn: x=b``]를 대입하면 [eqn: b^2 +ab +b=0``]   … ㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 풀면

[eqn: a=1``], [eqn: b=-2``] 또는 [eqn: a= - 1 over 2 ``], [eqn: b=- 1 over 2``]

그런데 [eqn: a= - 1 over 2 ``], [eqn: b=- 1 over 2``]일 때 [eqn: x^2 - 1 over 2 x - 1 over 2 =0``]의 두 근은

[eqn: x=- 1 over 2``]과 [eqn: x=1``]이므로 [eqn: a,``b``]는 [eqn: x^2 +ax+b=0``]의 두 근이 아니다.

① [eqn: 3``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 7``]
④ [eqn: 10``]	⑤ [eqn: 13``]

▶2006년 11월 교육청(3점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: f( alpha )=f(beta)=1]을 만족하는 이차식 [eqn: f(x)]는? (단, [eqn: f(x)]의  이차항의 계수는 [eqn: 1`]이다.)

정답 ①

[eqn: x ^{2} +x-3=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,`` beta]이므로

[eqn: alpha +` beta =-1], [eqn: alpha beta =-3], [eqn: alpha ^{2} + alpha =3]이다.

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b]라 하면

[eqn: f( alpha )= alpha ^{2} +a alpha +b=1]   …… ①

[eqn: f( beta )= beta ^{2} +a beta +b=1]   …… ②

①－②에서  [eqn: alpha ^{2} - beta ^{2} +a alpha -a beta =0]

⇒  [eqn: ( alpha + beta )(alpha - beta )+a( alpha - beta )=0]

⇒  [eqn: (alpha - beta )( alpha + beta +a )=0]

⇒  [eqn: alpha != beta]이므로 [eqn: alpha + beta + a =0]

∴ [eqn: a=-( alpha + beta )=-(-1)=1]

[eqn: a=1]을 ①에 대입하면 [eqn: alpha ^{2} + alpha +b=1]

[eqn: b=1-(alpha ^{2} + alpha )=1-3=-2]

∴ [eqn: f(x)=x ^{2} +x-2]

[별해] [eqn: f( alpha )-1=f( beta )-1=0]이므로

이차방정식 [eqn: f(x)-1=0]의 두 근은 [eqn: alpha ,`` beta]이다.

[eqn: f(x)]의 이차항의 계수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)-1=(x- alpha )(x- beta )=x ^{2} +x-3]

∴ [eqn: f(x)=x ^{2} +x-2]

① [eqn: x ^{2} +x-2]	② [eqn: x ^{2} -x-4]

③ [eqn: x ^{2} +x+4]	④ [eqn: x ^{2} -2x+2]

⑤ [eqn: x ^{2} +2x+4]

▶2006년 10월 교육청(3점)

[eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(a ^{2} -2a-3)x-a+1=0``]의 두 실근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 할 때, 조건 [eqn: □` alpha `□=□ beta `□] , [eqn: alpha ` beta `<`0``]을 만족하는 실수 [eqn: a``]의 값은?

정답 ②

주어진 이차방정식의 두 실근의 절댓값은 같고 부호가 반대이므로 [eqn: alpha + beta =0`,~ alpha beta <0``]이다.

[eqn: alpha + beta =0``]이므로 [eqn: -(a ^{2} -2a-3)=0``]

따라서 [eqn: a=3``] 또는 [eqn: a=`-1``] …㉠

[eqn: alpha beta <0``]이므로 [eqn: -a+1<0``]

따라서 [eqn: a>1``] …㉡

㉠, ㉡ 에 의해 [eqn: a=3``]

[eqn: THEREFORE `a=3``]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 3``]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: -1`]	⑤ [eqn: -3]

▶2008년 06월 인천교육청(3점)

두 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+a=0`] , [eqn: x ^{2} +`ax-4=0`] 을 동시에 만족  하는 근이 오직 한 개일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 이차방정식의 공통근 활용하기

동시에 만족하는 근을 [eqn: alpha] 라 하면

[eqn: alpha ^{2} -4 alpha +a=0] … ①

[eqn: alpha ^{2} +a alpha -4=0] … ②

[eqn: ①`-`②``]

[eqn: (a+4)( alpha-1)=0]

[eqn: a=-4``]이면 동시에 만족하는 근이

[eqn: `2±`2 sqrt {2} ``]로 두 개다.

따라서, [eqn: alpha=1]일 때 [eqn: a=3``]이다.

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]
③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]
⑤ [eqn: 4]

▶2005년 11월 전국연합(3점)

길이가 [eqn: rm 160 cm]인 철사를 잘라서 한 변의 길이가 각각[eqn: a rm cm,~ it b rm cm~it(a``＞``b`)]인 두 개의 정사각형을 만들었다. 이 두 정사각형의 넓이의 합이 [eqn: rm 850 cm^2]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. (단, 철사는 모두 사용하고 굵기는 무시한다.)

정답 25

두 정사각형의 둘레의 길이의 합은 [eqn: 4(a+b) = 160] 이고,

넓이의 합은 [eqn: a^2 + b^2 = 850]이므로

연립방정식[eqn: cases {a``+``b`` ``= ` ``40#a^2 + b^2 = 850}] 을 풀면

[eqn: a = 25,~b=15~(``∵``a``＞``b )]

▶2005년 9월 서울시교육청(3점)

[eqn: x] 에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +`2(k-1)x``+`k ^{2`} -`20=0] 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 [eqn: k] 의 값을 정할 때, 자연수 [eqn: k] 의 개수를 구하시오.

정답 10

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k-1)x+k ^{2} -20`=`0`]

이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 (판별식) > [eqn: 0]이어야

하므로[eqn: (k-1) ^{2} -(k` ^{2} -20)``>``0]

이 부등식을 정리하면 [eqn: 2k``<``21]

따라서 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: k``<`` {21} over {2}]이므로

구하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`], … , [eqn: 10]의 [eqn: 10]개이다.

▶2005년 10월 평가원(3점)

[eqn: x``]에 대한 두 이차방정식[eqn: x^2 -kx +2k=0 ,~`x^2 +2kx +3=0``]이 동시에 허근을 가질 때, 실수 [eqn: k``]의 값의 범위는?

정답 ④

[eqn: x^2 -kx +2k=0 `]이 허근을 가지므로

[eqn: D_1`=` (-k)^2 `-` 4⋅2k `=`k `(k-8)`<``0]  ,    [eqn: 0``<``k``<``8`]

[eqn: x^2 +2kx +3=0`]도 허근을 가지므로

[eqn: D_2 /4 ` = ` k^2 `-` 3 `=`(k+root{3` }` )(k-root{3` }`)`<``0]  , [eqn: -root{3` }```<``k``<``root{3` }`]

[eqn: ∴~ 0``<``k``<``root{3` }`]

① [eqn: -root3`<`k`<8]         ② [eqn: `k`<`3]            ③ [eqn: `k``>`root3]

④ [eqn: 0`<`k`<`root3]           ⑤ [eqn: 0`<`k`<`3]

▶2005년 10월 인천교육청(3점)

실수 [eqn: a], [eqn: b] 가 [eqn: sqrt {{b} over {a}} =`- {sqrt {b}} over {sqrt {a}}] 를 만족할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ③

[eqn: sqrt {{b} over {a}} =- {sqrt {b}} over {sqrt {a}}] 가 성립하므로 [eqn: a<0`,````b `≧` 0]

ㄱ. [eqn: ax>b] 의 해는 [eqn: x< {b} over {a}] 이므로 참.([eqn: BECAUSE][eqn: a<0])

ㄴ. [eqn: D=a ^{2} +4b`>0]이므로 참.[eqn: ( BECAUSE ```b `≧` 0)]

ㄷ. 직선 [eqn: y=ax+b] 는 [eqn: b=0] 일 때, 2, 4 사분면을 지나고 [eqn: b>0] 일 때, 1, 2, 4 사분면을 지나므로 거짓.

ㄱ. [eqn: ax>b] 의 해는 [eqn: x< {b} over {a}] 이다.

ㄴ. [eqn: x ^{2} -ax-b=0] 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. 직선 [eqn: y=ax+b] 는 제 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 사분면을 지난다

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

▶20년 월 교육청(3점)

계수가 유리수인 [eqn: x] 에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0] 의 한 근이 [eqn: sqrt { 7-2 sqrt { 12} }] 일 때, [eqn: a ^{2} +`b ^{2}] 의 값은?

정답 ③

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 계산하기

주어진 이차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 [eqn: sqrt {7-2 sqrt {12}} =2- sqrt {3}] 이면 다른 한 근은 [eqn: 2+ sqrt {3}] 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =-a]

[eqn: LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =b] 이므로 [eqn: a=-4,`b=1]

[eqn: THEREFORE `a ^{2} +b ^{2} =17]

① [eqn: 10]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

▶2010년 10월 교육청(3점)

이차방정식 [eqn: 2x^2 +4x-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`,```beta `]라 할 때, [eqn: 1 over alpha + 1 over beta = n over m`]이다. [eqn: mn`]의 값을 구하시오.

정답  [eqn: 12]

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

이차방정식  [eqn: 2x^2 + 4x -3 = 0 `]의 두 근이 [eqn: alpha `,```beta`]이므로 [eqn: alpha + beta = -2 `], [eqn: alpha beta = - 3 over 2 `]이다.

따라서 [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } = {-2} over {- {3} over {2}} = {4} over {3} `]

∴ [eqn: mn= 12`]

(단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 서로소인 자연수이다.)

▶2010년 11월 교육청(3점)

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 4x ^{2} +2 LEFT ( 2k+m RIGHT ) x+k ^{2} -k+n=0]이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 중근을 가질 때, [eqn: m+n]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 이해하기

주어진 이차방정식이 중근을 가지므로

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( 2k+m RIGHT ) ^{2} -4 TIMES LEFT ( k ^{2} -k+n RIGHT ) =0``` CDOTS ㉠]이다. 이 때, [eqn: ㉠]의 식을 [eqn: k]에 대하여 정리하면,

[eqn: 4 LEFT ( m+1 RIGHT ) +m ^{2} -4n=0`` CDOTS ㉡]이고 [eqn: ㉡]의 식이 [eqn: k]의 값에 관계없이 성립하므로  [eqn: m+1=0],  [eqn: m ^{2} -4n=0]이다.

따라서, [eqn: m=-1,``n= {1} over {4}]이므로 [eqn: m+n=- {3} over {4}]

(단, [eqn: m,``n]은 실수이다.)

① [eqn: - {3} over {4}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

▶2010년 11월 교육청(3점)

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 + LEFT ( m+n RIGHT )x -mn =0]의 한 근이 [eqn: 4+root2 i]일 때, [eqn: m^2 +n^2]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 100]

계수가 실수인 이차방정식

[eqn: x^2 + LEFT ( m+n RIGHT )x -mn =0]의

한 근이 [eqn: 4+root2 i]이므로

다른 한 근은 [eqn: 4-root2 i]이다.

그러므로 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터

[eqn: LEFT ( 4+root 2 i RIGHT )+ LEFT ( 4-root2 i RIGHT ) = - LEFT ( m+n RIGHT )]에서

[eqn: m+n =-8]이고

[eqn: LEFT ( 4+root2 i RIGHT ) LEFT ( 4-root2 i RIGHT ) =-mn]에서

[eqn: mn =-18]이다.

따라서 [eqn: m^2 +n^2 = LEFT ( m+n RIGHT )^2 -2mn]

[eqn: = LEFT ( -8 RIGHT )^2 -2 times LEFT ( -18 RIGHT ) =100]

(단, [eqn: i=root-1]이고 [eqn: m,~n]은 실수이다.)

▶2005년 10월 평가원(수행평가)(4점)

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -4x+1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta `]라 할
때, [eqn: alpha ^{3} `+ beta ` ^{3} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

[eqn: alpha `+` beta `=`- {-4```````} over {2} `=``2] , [eqn: alpha ` beta `=` {1} over {2} `]

[eqn: alpha ^{3} `+` beta ^{3} `=`( alpha `+` beta ``) ^{3} `-`3`` alpha ` beta `( alpha `+` beta ``)]

[eqn: =`2^3`-`3``⋅{1over2}⋅`2 `=`8`-`3`=`5]

2012년 03 부산시교육청(4점)

이차방정식 [eqn: x^2`+`ax`+`b`=`0`]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta`]이고
[eqn: x^2`+`bx`+`a`=`0`]의 두 근이 [eqn: 1 over alpha , `~{ 1} over {beta }`]이다. [eqn: a`+`b`]의 값은?
(단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.)

정답 ②

[출제의도] 근과 계수와의 관계 이해하기

[eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 두 근이 [eqn: alpha ,~beta `]이므로

[eqn: alpha + beta =`-a`,``` alpha beta =b`]   …… ㉠

[eqn: x ^{2} +bx+a=0`]의 두 근이 [eqn: {1} over {alpha } ,~ {1} over {beta } `]이므로

[eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } =`-b,~ {1} over {alpha beta } =a]  …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } =`-b`]이므로 [eqn: {-a} over {b} =`-b`]이다.

[eqn: THEREFORE ~a=b ^{2} `]

[eqn: {1} over {alpha beta } =a`]이므로 [eqn: {1} over {b}=a]이다. [eqn: THEREFORE~ ab=1`]

따라서 [eqn: a ^{3} =1,~b ^{3} =1`]이고 [eqn: a, ~b`]가 실수이므로
[eqn: a=1,~b=1`]이다. [eqn: therefore `a +b =2`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2013년 9월 인천청[4점]

계수가 유리수인 [eqn: x`]에 대한 두 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax-4`]이고 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 이차 이상의 다항식이다. 소수인 자연수 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 모두 만족한다.

정답 ③

(가) [eqn: f LEFT ( sqrt {b} -1 RIGHT ) =0]

(나) [eqn: g LEFT ( - sqrt {b} -1 RIGHT ) =1+ sqrt {5}]

ㄱ. [eqn: sqrt {b} -1`]이 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax-4=0`]의 근이므로 [eqn: - sqrt {b} -1`]도 [eqn: x ^{2} +ax-4=0`]의 근
따라서 [eqn: f LEFT ( - sqrt {b} -1 RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax-4=0`]의 두 근이 [eqn: sqrt {b} -1,~- sqrt {b} -1`]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: a=2,~b=5] (참)

ㄷ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +px+q`]라 하면 (나)에서
[eqn: 1+ sqrt {5} =p LEFT ( - sqrt {5} -1 RIGHT ) +q]
그러므로 [eqn: p=-1,~q=0]
따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]로 나눈 나머지는 [eqn: -x] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

(가) [eqn: f LEFT ( sqrt {b+1-2 sqrt {b}} RIGHT ) =0]

(나) [eqn: g LEFT ( - sqrt {b+1+2 sqrt {b}} RIGHT ) =1+ sqrt {5}]

이때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보 기]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( - sqrt {b} -1 RIGHT ) =0]

ㄴ. [eqn: a=2,~b=5]

ㄷ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]로 나누면 나머지는 [eqn: x`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2013년 9월 인천청[4점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) x+2m-1=0`]의 두 근

정답 ①

[풀이1]

주어진 이차방정식에서 [eqn: x= {- LEFT ( m+1 RIGHT ) ± sqrt {D}} over {2}]

[eqn: D= LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) =m ^{2} -6m+5]

두 근이 정수가 되기 위해서는 [eqn: D`]가 제곱수이거나 [eqn: 0]

[eqn: D`]가 제곱수가 아니므로 [eqn: D=0]

따라서 [eqn: m=1] 또는 [eqn: m=5]

[eqn: m=1`]일 때, [eqn: x ^{2} +2x+1=0`]이므로 두 근은 정수

[eqn: m=5`]일 때, [eqn: x ^{2} +6x+9=0`]이므로 두 근은 정수

따라서 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: 6]

[풀이2]

이차방정식의 두 개의 정수근을 [eqn: alpha ,~ beta `]라 하면

[eqn: alpha + beta =-m-1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: alpha beta =2m-1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠에서 [eqn: m=- alpha - beta -1`]을 ㉡에 대입하면

[eqn: alpha beta =2 LEFT ( - alpha - beta -1 RIGHT ) -1`]에서

[eqn: LEFT ( alpha +2 RIGHT ) LEFT ( beta +2 RIGHT ) =1]

[eqn: alpha ,~ beta `]는 정수이므로

[eqn: alpha +2=1,~ beta +2=1] 또는 [eqn: alpha +2=-1,~ beta +2=-1]

그러므로 [eqn: alpha = beta =-1`]일 때, [eqn: m=1]
[eqn: alpha = beta =-3`]일 때, [eqn: m=5]

따라서 모든 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: 6]

이 정수가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 합은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▶2013년 9월 인천[4점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-4 RIGHT ) x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`]와 [eqn: beta], [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`]와 [eqn: gamma`]라 하자. 상수 [eqn: a,````b`]에 대하여 [eqn: 2alpha=beta-gamma`]가 성립할 때, [eqn: 2a-b`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 14]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( a-4 RIGHT ) x-1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha,````beta`]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta=-a+4]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: alpha`beta=-1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 두 근이 [eqn: alpha,````gamma`]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +gamma=-a]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: alpha`gamma=b]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉠, ㉢에서 [eqn: beta-gamma=4`]이므로 [eqn: 2`alpha=beta-gamma`]에서

[eqn: 2alpha=4] 즉, [eqn: alpha=2]

[eqn: alpha=2`]를 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣에 대입하여 풀면

[eqn: beta=- {1} over {2} ,````gamma=- {9} over {2} ,````a= {5} over {2} ,````b=-9]

따라서 [eqn: 2a-b=5- LEFT ( -9 RIGHT ) =14]

▶2014년 9월 인천[4점]

[eqn: {P(x)=3x ^{3} +x+11`,~Q(x)=x ^{2} -x+1`}}]일 때, [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: P`(x)-3(x+1)Q`(x)+mx ^{2} =0`]이 [eqn: 2`]보다 작은 한 근과 [eqn: 2`]보다 큰 한 근을 갖도록 하는 정수 [eqn: m`]의 개수는?

정답 ②

[출제의도] 이차함수를 활용하여 이차방정식의 근 이해하기

[eqn: P`(x)-3(x+1)Q`(x)+mx ^{2} =mx ^{2} +x+8]

이차방정식 [eqn: mx ^{2} +x+8=0`]의 근은 이차함수 [eqn: f(x)=mx ^{2} +x+8`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표이다.

한 근이 [eqn: 2`]보다 크고 다른 한 근이 [eqn: 2`]보다 작은 경우는 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: m>0`]일 때

[eqn: f(2)=4m+10<0`]이므로 만족하는 정수 [eqn: m`]은 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: m<0`]일 때

[eqn: f(2)=4m+10>0`]이므로 [eqn: - {5} over {2} <m<0`]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: - {5} over {2} <m<0`]

따라서 정수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2014년 6월 평가원[4점]

이차방정식 [eqn: x^2 `-`3x`-`2`=`0`]의 두 근이 [eqn: alpha`,`` beta`]일 때,

정답 ③

해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: x ^{2} -3x-2=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,`` beta]이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta =3,``` alpha beta =`-2]

또한 [eqn: alpha]는 [eqn: x ^{2} -3x-2=0]의 근이므로

[eqn: alpha ^{2} -3 alpha -2=0]

즉, [eqn: alpha^2 -3alpha=2]이다.

[eqn: alpha ^{3} -3 alpha ^{2} + alpha beta +2 beta = alpha LEFT ( alpha ^{2} -3 alpha RIGHT ) + alpha beta +2 beta]

[eqn: =2 alpha + alpha beta +2 beta]

[eqn: =2 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) + alpha beta]

[eqn: =6-2=4]이다.

따라서 [eqn: alpha ^{3} -3 alpha ^{2} + alpha beta +2 beta]의 값은 [eqn: 4]이다.

[eqn: alpha^3 `-` 3 alpha^2 `+`alpha beta `+`2 beta `]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

▶2014년 6월 평가원[4점]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`px`+`p`+`3`=`0`]이 허근 [eqn: alpha`]를 가질 때, [eqn: alpha ^3 `]이 실수가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p`]의 값의 곱은?

정답 ②

해설

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질과 복소수의 성질을 이용하여 문제해결하기

복소수 [eqn: alpha]가 이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]의 한 근이면 [eqn: bar alpha]도 근이므로

[eqn: alpha =a+bi]라 하면, [eqn: {bar{alpha }} `=a-bi] ([eqn: a,``b]는 실수, [eqn: b!=0])이고,

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + bar alpha `=2a=p`,``alpha bar alpha `=a ^{2} +b ^{2} =p+3]이므로

[eqn: a= {p} over {2} ,````b ^{2} =`-a ^{2} +p+3=`- {p ^{2}} over {4} +p+3]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: alpha ^{3} = LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =a ^{3} +3a ^{2} bi-3ab ^{2} -b ^{3} i]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} -3ab ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 3a ^{2} b-b ^{3} RIGHT ) i]

[eqn: alpha ^{3}]이 실수이므로 허수부분인 [eqn: 3a ^{2} b-b ^{3} =0]이다.

[eqn: b != 0]이므로 [eqn: b ^{2} =3a ^{2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: `- {p ^{2}} over {4} +p+3=3 LEFT ( {p} over {2} RIGHT ) ^{2}]을 정리하면

[eqn: p ^{2} -p-3=0]이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 [eqn: p]의 곱은 [eqn: -3]이다.

[다른풀이1]

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]이 허근을 가지므로

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D= p^2 -4(p+3) < 0]이므로

[eqn: -2 < p< 6]이다.

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]의 한 허근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: alpha^2 -p alpha+p+3=0]이 성립한다.

즉, [eqn: alpha^2 = p alpha -p-3]이다.

[eqn: alpha^3 `=` alpha^2 times alpha][eqn: =p alpha^2 -(p+3)alpha]

[eqn: =p(p alpha - p-3)-(p+3)alpha]

[eqn: =(p^2 -p-3)alpha -p(p+3)]이므로

[eqn: alpha^3]은 실수, [eqn: p(p+3)]은 실수, [eqn: alpha]는 허수이므로

[eqn: p^2 -p-3=0]이다.

[eqn: f(p)=p^2 -p-3]이라 하면

[eqn: f(p)= left( p - 1over2 right)^2 - 13over4]이다.

ⅰ) 축 [eqn: p= 1over2]은 [eqn: -2]와 [eqn: 6] 사이에 존재하고

ⅱ) [eqn: f(-2) > 0 `,``f(6)>0]

ⅲ) [eqn: f left( 1over 2 right) <0]이므로 실근이 존재한다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 [eqn: p^2 - p - 3 =0]의 두 실근은

[eqn: -2]와 [eqn: 6]사이에 존재한다.

따라서 [eqn: alpha^3]이 실수가 되는 모든 실수 [eqn: p]의 값의 곱은 [eqn: -3]이다.

[다른풀이2]

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]이 허근을 가지므로

판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D= p^2 -4(p+3) < 0]이므로

[eqn: -2 < p< 6]이다.

이차방정식 [eqn: x^2 -px+p+3=0]의 한 허근이 [eqn: alpha]이므로

[eqn: alpha^2 - p alpha +p+3=0]이고, [eqn: alpha^2 -p alpha +p^2 = p^2 -p-3]이다.

식의 양변에 [eqn: alpha+ p]를 각각 곱하면

[eqn: alpha^3 + p^3 = (alpha+p)(p^2 -p-3)]이므로

[eqn: alpha^3 = (p^2 -p-3)alpha -p(p+3)]이다.

[eqn: alpha^3]이 실수이므로 [eqn: p^2 -p-3=0]이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]
④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -6]

▶2014년 6월 평가원[4점]

별은 가스와 먼지가 밀집되어 있는 성운에서 만들어진다. 성운을 이루는 물질들은 중력에 의해 서로 끌어당기며 수축하는데 이를 중력수축이라 한다. 성운이나 별의 반지름의 길이가 태양 반지름의 길이의 [eqn: a`]배일 때, 반지름의 길이가 [eqn: a`]인 성운 또는 별이라 하고, 별의 질량이 태양 질량의 [eqn: b`]배일 때,  질량이 [eqn: b`]인 별이라 한다.

정답 ①

해설

[출제의도] 이차방정식을 활용한 실생활 문제해결하기

[eqn: 3 over 10 = {E`_2} over {E`_1} = {1 over 2 GM`_2`^2 TIMES LEFT ( 1 over 4 - 1 over 16 RIGHT )} over{1 over 2 GM`_1`^2 TIMES LEFT ( 1 over 5 - 1 over 20 RIGHT ) }] [eqn: = {{M`_2`^2} over {M`_1`^2} } TIMES 5 over 4]이다.

[eqn: 3 over 10][eqn: = {{M`_2` ^2} over {M`_1`^2} } TIMES 5 over 4]이므로 [eqn: {{M`_2 `^2} over {M`_1`^2} } = 3 over 10 TIMES 4 over 5 = 6 over 25]

따라서 [eqn: {{M`_2} over {M`_1} } = sqrt`of { 6} over 5]이다.

반지름이 [eqn: R _{0} `]인 원시 성운이 중력수축하여 반지름이 [eqn: R`]이고 질량이 [eqn: M`]인 별이 될 때, 위치 에너지 중 복사 에너지로 전환되는 에너지양을 [eqn: E`]라 하면 다음 관계식이 성립한다.

[eqn: E`=` {1} over {2} GM ^{2} LEFT (` {1} over {R} `-` {1} over {R _{0}} `RIGHT )`] (단, [eqn: G`]는 만유인력 상수이다.)

반지름이 [eqn: 20]인 원시 성운이 중력수축하여 반지름이 [eqn: 5]이고 질량이 [eqn: M_1 `]인 별 [eqn: A`]가 될 때, 위치 에너지 중 복사 에너지로 전환되는 에너지양은 [eqn: E`_1 `]이다. 반지름이 [eqn: 16`]인 원시 성운이 중력수축하여 반지름이 [eqn: 4`]이고 질량이 [eqn: M_2 `]인 별 [eqn: B`]가 될 때, 위치 에너지 중 복사 에너지로 전환되는 에너지양은 [eqn: E`_2 `]이다. [eqn: {E`_2 }over{E`_1 } `=` 3over10 `]일 때, [eqn: {M _{2}} over {M _{1}} `]의 값은?

① [eqn: {sqrt`of6}over5]	② [eqn: {sqrt`of {7}} over {5}]	③ [eqn: {2sqrt`of {2}} over {5}]
④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt`of10} over {5}]

▶2011년 09월 인천교육청(4점)

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} `+(1-3m)x+2m ^{2} -4m-7=0`]의 두 근의 차가 [eqn: 4`]가 되도록 하는 실수 [eqn: m`]의 모든 값의 곱을 구하시오.

정답 [eqn: 13]

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} `+(1-3m)x+2m ^{2} -4m-7=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 하면, 근과 계수의 관계로부터 [eqn: alpha + beta =3m-1`], [eqn: alpha beta =2m ^{2} -4m-7`]이다.

두 근의 차가 [eqn: 4`]이므로 [eqn: LEFT | ` alpha - beta ` RIGHT | `=4``]에서

[eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} `-4 alpha beta]

[eqn: = LEFT ( 3m-1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2m ^{2} -4m-7 RIGHT ) =16]

[eqn: m ^{2} +10m+13=0`]

[eqn: THEREFORE `````]실수 [eqn: m]의 모든 값의 곱은 [eqn: 13]

▶20년 월 인천교육청(4점)

계수가 실수인 [eqn: x] 에 대한 두 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0],[eqn: ax ^{2} +2bx+c=0] 의 근에 대한 설명이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ.이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0] 의 두 근을 [eqn: alpha ,` beta]

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2bx+c=0] 의 두 근을 [eqn: alpha ',` beta `']라 하면 [eqn: alpha beta = {c} over {a}], [eqn: alpha prime beta ` prime = {c} over {a}] 이므로 [eqn: alpha beta = alpha '` beta `']이다.  (참)

ㄴ.실수인 공통근 [eqn: alpha]가 존재한다고 하자.

[eqn: a alpha ^{2} `+b alpha `+c=0]  …①, [eqn: a alpha ^{2} `+2b alpha `+c=0] …②

[eqn: ②``-`①] 하면 [eqn: b alpha =0```]이고 [eqn: ac>0] 이므로 [eqn: alpha != 0]

따라서 [eqn: b=0] 이다.

[eqn: alpha ^{2} =- {c} over {a}]이고 [eqn: ac>0] 이므로 [eqn: alpha] 가 실수라는 조건에 모순이 된다.  (참)

ㄷ.[eqn: ax ^{2} +2bx+c=0]이 허근을 가지면 판별식 [eqn: 4b ^{2} `-4ac`<0] 이므로 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 판별식 [eqn: b ^{2} -4ac LEQ 4b ^{2} -4ac<0] 이다.  (참)

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

[보  기]

ㄱ. 두 이차방정식에서 각각의 두 근의 곱은 서로 같다.

ㄴ. [eqn: ac>0] 이면 두 이차방정식은 실수인 공통근을 갖지 않는다.

ㄷ. [eqn: ax ^{2} +2bx+c=0] 이 허근을 가지면 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0] 도 허근을 가진다.

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2005년 10월 인천시(4점)

이차방정식 [eqn: x ^{2} `-4x`+1`=`0] 의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] 라 할 때,[eqn: {beta } over {alpha ^{2} `-3 alpha `+1} `+ {alpha } over {beta ^{2} `-3 beta `+1}] 의 값을 구하시오.

정답 14

[eqn: x^{ 2} -4x +1=0]의 두 근이 [eqn: alpha , beta]이므로 [eqn: alpha ^{2} `-3 alpha `+1`=` alpha]

[eqn: beta ^{2} `-3 beta `+`1`=` beta][eqn: {beta } over {alpha ^{2} `-3 alpha `+1} `+ {alpha } over {beta ^{2} `-3 beta `+1}][eqn: =` {beta } over {alpha } `+` {alpha } over {beta } `=` {(` alpha `+` beta `) ^{`2} ``-`2 alpha ` beta } over {alpha beta } `# =` {4 ^{2} `-`2``․``1} over {1} `=`14]

▶2010년 12월 영남(4점)

다음은 [eqn: p`,``q``]가 홀수일 때, 이차방정식 [eqn: x^2 +2px+2q=0``]은 유리수 근을 가질 수 없음을 증명한 것이다.

정답 ①

이차방정식 [eqn: x^2 +2px+2q=0``]의 근 [eqn: x= -p+- root{p^2 -2q}``]가 유리수라 가정하자.

그러면, [eqn: p`,``q``]가 홀수이므로 [eqn: box{`p^2 -2q``}``]는 어떤 자연수의 제곱꼴로 나타낼 수 있다.

따라서 [eqn: box{``p^2 -2q``}`=`n^2``]	……… ㉠ 이라 두면, [eqn: n``]은 홀수이다.

한편, ㉠에서  [eqn: q= (p+n)over 2 × box{``p-n``}``]으로 나타내어지고,

[eqn: p`,``n``]이 모두 홀수이므로  [eqn: box{``p-n``}``]이 [eqn: box{``짝수``}``]이다.

따라서 [eqn: (p+n)over 2 × box{``p-n``}``]은 짝수이다.

이것은 [eqn: q``]가 홀수라는 조건에 모순이다.

따라서 주어진 이차방정식은 유리수 근을 가질 수 없다.

[증명]

이차방정식 [eqn: x^2 +2px+2q=0``]이 유리수 근을 가진다고 가정하자.

그러면, [eqn: BOX{```(가)```}``]는 어떤 자연수의 제곱으로 나타낼 수 있다.

따라서 [eqn: BOX{```(가)```}=n^2``]   ……… ㉠

이라 두면, [eqn: n``]은 홀수이다.

한편 ㉠에서 [eqn: q= (p+n)over 2 × box{`````(나)`````}``]으로 나타내어지고,

[eqn: box{````(나)````}``]이 [eqn: box{````(다)````}``]이므로

[eqn: (p+n)over 2 × box{`````(나)`````}``]은 짝수이다.

이것은 [eqn: q``]가 홀수라는 조건에 모순이다.

따라서 주어진 이차방정식은 유리수 근을 가질 수 없다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(가)	(나)	(다)

① [eqn: p^2 -2q`]	[eqn: p-n`]	짝수

② [eqn: p^2 -4q`]	[eqn: p+n`]	짝수

③ [eqn: p^2 -2q`]	[eqn: p-2n`]	홀수

④ [eqn: p^2 -4q`]	[eqn: p-2n`]	홀수

⑤ [eqn: p^2 -2q`]	[eqn: p-n`]	홀수

이차함수

▶2014년 3월 서울[3점]

[eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2x+a]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 21]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

[eqn: f(x)=x^2 -2x +a]

[eqn: =(x-1)^2 +a-1] [eqn: (-`2`le`x`le`2)]

위의 그래프에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(1)=][eqn: a-1]

이고, 최댓값은 [eqn: f(-2)][eqn: =a+8]

최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 21]이므로

[eqn: (a+8)+(a-1)=21]

∴ [eqn: a=7]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▶2014년 6월 평가원[3점]

이차함수 [eqn: y`=`x^2 `+`5]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`mx`]가 접할 때, [eqn: m^2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`]은 상수이다.)

정답 [eqn: 20]

해설

[출제의도] 이차함수와 직선의 위치관계 이해하기

이차함수 [eqn: y=x^2 +5]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]가 접해야하므로 방정식 [eqn: x^2 +5=mx]는 중근을 가져야 한다.

그러므로 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=m ^{2} -20=0]이다.

따라서 [eqn: m ^{2} =20]이다.

▶2014년 9월 인천[3점]

원점을 지나고 기울기가 양수 [eqn: m`]인 직선이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2`]의 그래프와 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`,~B`]에서 만난다. 두 점 [eqn: rm A`,~B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A prime `,~B prime `]이라 하자. 선분 [eqn: rm `AA prime `]과 선분 [eqn: rm BB prime `]의 길이의 차가 [eqn: 16`]일 때, [eqn: m`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 4]

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 이해하기

[eqn: rm ``A prime `], [eqn: rm ``B prime `]의  [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha `], [eqn: beta][eqn: (alpha <0< beta )`]라 하면 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2=mx`]의 두 근이므로  [eqn: alpha `+` beta ``=m`]이다.

[eqn: bar{rm `A`A prime it} `=`-itm alpha], [eqn: bar{rm `B`B prime it} `=itm beta `]이므로

[eqn: LEFT | bar{rm `A`A prime it} -` bar{rm `BB prime it} RIGHT | `=` left|-m alpha -m beta `right|]

[eqn: ```=` LEFT | m( alpha + beta ) RIGHT | =`m ^{2} `=`16]

따라서 [eqn: m=`4]

▶2014년 9월 인천[3점]

직선 [eqn: y=px+q`]와 이차함수 [eqn: y=ax ^{`2} +bx+c`]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 활용하여 추론하기

ㄱ. 이차함수의 그래프가 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 [eqn: b ^{2} -4ac>0] (참)

ㄴ. [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c`]라 하면

[eqn: x>0]일 때, [eqn: f(x)>0]

직선의 [eqn: y`]절편 [eqn: q`]가 양수이므로

[eqn: f(q)=aq ^{2} +bq+c>0`] (참)

ㄷ. 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c`]의 그래프와

직선 [eqn: y=px+q`]의 교점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: alpha `,~ beta `]

[eqn: ax ^{2} +(b-p)x+c-q`]

[eqn: =`a(x- alpha )(x- beta )` LEQ 0]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: alpha le x le beta`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b ^{`2} -4ac>0] ㄴ. [eqn: aq ^{`2} +bq+c>0] ㄷ. 부등식 [eqn: ax ^{`2} +(b-p)x+c-q LEQ 0`]의 해는 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ               ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2014년 6월 평가원[3점]

그림과 같이 두 이차함수 [eqn: f`(`x)`=`(`x`-`2`)^2 `],

정답 ③

해설

[출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 것이므로 선분 [eqn: rm CD]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형과 선분 [eqn: rm AB]와 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형은 합동이다.

따라서 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 선분 [eqn: rm AD], 선분 [eqn: rm BC]로 둘러싸인 도형의 넓이는 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이와 같다.

또한, 선분 [eqn: rm AD]와 선분 [eqn: rm BC]는 평행하고 길이가 같으므로 사각형 [eqn: rm ABCD]는 평행사변형이 된다.

[eqn: rm bar AD][eqn: =g LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이고, 점[eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1], 점[eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 4]이므로 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 높이는 [eqn: 3]이다.

따라서 평행사변형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는 [eqn: 3 times3 =9]이다.

[eqn: g`(`x)`=`(`x`-`2`)^2 `+`3`]의 그래프 위에 네 점 [eqn: {rmA} left(`1`,~f` left(` 1 right)` right)`], [eqn: {rmB}left(`4`,~f`(`4)` right) `], [eqn: {rmC}left(`4`,~g`(`4)`right)`], [eqn: {rmD} left(` 1 `,~g`left(` 1 right) `right)`]이 있다.

두 함수 [eqn: y`=`f`(`x)`], [eqn: y`=`g`(`x)`]의 그래프와 선분 [eqn: rmAD`], 선분 [eqn: rmBC`]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

▶2014년 9월 인천[3점]

처음 속도 [eqn: v _{0} `]으로 지면과 수직하게 위로 던져진 물체의 운동은 위쪽을 [eqn: LEFT ( + RIGHT ) `]방향으로 하면 처음 속도의 방향과 가속도의 방향이 반대가 되어 가속도가 [eqn: -g`]인 등가속도 직선운동을 한다. 이때, 시간 [eqn: t`]초에 대한 물체의 높이 [eqn: h` LEFT ( rmm RIGHT )]은

정답 ②

[출제의도] 이차함수의 최댓값을 활용한 수학 외적 문제 해결하기

처음 속도가 [eqn: 10`]이고 중력가속도가 [eqn: 10`]인 지구에서의 물체의 높이 [eqn: h`]는

[eqn: h`=`10t-5t ^{2}][eqn: LEFT. =`-5(t-1) ^{2} +5]에서

[eqn: M_1 `=`5]

처음 속도가 [eqn: 10`]이고 중력가속도가 [eqn: 6`]인 목성의 한 위성에서의 물체의 높이 [eqn: h`]는

[eqn: h`=`10t-3t ^{2}][eqn: =`-3 LEFT ( t- {5} over {3} RIGHT ) ^{2} + {25} over {3} `]에서

[eqn: M _{2} `= {25} over {3} `]

따라서 [eqn: M _{2} -M _{1} `=` {10} over {3}]

[eqn: h=v _{0} `t- {1} over {2} g`t ^{2} `] ([eqn: g`:`]천체의 중력가속도)

이다. 지구에서의 중력가속도가 [eqn: 10` rm][eqn: LEFT ( rm m/s ^{2} RIGHT )]일 때 처음 속도 [eqn: 10` rm][eqn: LEFT ( rm m/s RIGHT )]로 던져진 물체의 높이 [eqn: h` LEFT (rm m RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: M _{1} `], 목성의 한 위성에서의 중력가속도가 [eqn: 6` rm][eqn: LEFT ( rm m/s ^{2} RIGHT )]일 때 처음 속도 [eqn: 10` rm][eqn: LEFT ( rm m/s RIGHT )]로 던져진 물체의 높이 [eqn: h` LEFT (rm m RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: M _{2} `]이다. [eqn: M _{2} `-`M _{1} `]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

▶2012년 03월 부산[3점]

정의역이 [eqn: LEFT { x``|``-2 LEQ x LEQ 2 RIGHT } `]인 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +6x+a`]의 최솟값이 [eqn: -2`]일 때, 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

정답 22

[출제의도] 이차함수 이해하기

[eqn: y=x ^{2} +6x+a`= LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} +a-9`]이므로 [eqn: x=`-2`]에서 최솟값 [eqn: a-8], [eqn: x=2`]에서 최댓값 [eqn: a+16`]를 가진다. [eqn: x=`-2`]에서 최솟값이 [eqn: -2`]이므로 [eqn: a-8=`-2`]이다. [eqn: THEREFORE ~a=6`] 따라서 최댓값은 [eqn: a+16=22`]이다.

▶2011년 03월 부산[3점]

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2ax] ([eqn: a]는 실수)의 그래프와 직선
[eqn: y=2x+1]이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점 사이의 거리의 최솟값은?

정답 ①
[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 두 교점 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2ax]([eqn: a]는 실수)의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+1]이 서로 다른 두 교점의 좌표를 [eqn: \P( alpha,~2 alpha+1),~Q( beta,~2 beta+1)]이라 하면, [eqn: alpha,~ beta]는 이차방정식 [eqn: x ^2 -2(a+1)x -1=0]의 서로 다른 두 실근이다.

[eqn: alpha+ beta=2(a+1),```~alpha beta=-1]이므로

[eqn: bar { \PQ } = sqrt { ( beta- alpha)^2 +(2 beta+1-2 alpha-1)^2 }= sqrt { 5( beta- alpha)^2 }]

[eqn: =sqrt { 20(a+1)^2 +20}ge sqrt { 20}]

[eqn: THEREFOREa=-1]일 때, 최솟값은 [eqn: 2sqrt { 5}]

① [eqn: 2sqrt { 5}]	② [eqn: sqrt { 22}]	③ [eqn: 2sqrt { 6}]

④ [eqn: sqrt { 26}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 7}]

▶2009년 11월 평가원[3점]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} `+ax+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+b]가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]와 [eqn: 1]일 때, [eqn: 2b-a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

정답 [eqn: 7]

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이해하기

[eqn: y=x ^{2} +ax+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+b]의 두 교점의 [eqn: x]좌표는

이차방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x+3-b=0]의 두 근이다.

이때, 주어진 조건에서  [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x+3-b=0]의 두 근이 [eqn: -2]와 [eqn: 1]이므로

근과 계수의 관계로부터

[eqn: -2+1=-a+2,``` LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES 1=3-b]이다.

그러므로 [eqn: ``a=3,```b=5]이다.

따라서 [eqn: 2b-a=7]

▶2008년 05월 경기[3점]

이차함수 [eqn: y=-2x^2 +ax +b``]의 축의 방정식이 [eqn: x=1``]이고, 최댓값이 [eqn: 3``]이다. 이 때, 상수 [eqn: a`,``b``]에 대하여 [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

[출제의도] 이차함수의 그래프의 성질 이해하기

축의 방정식이 [eqn: x=1`,``]최댓값이 [eqn: 3``]이므로

이차함수의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (1`,``3)``]이다.

따라서 [eqn: y=-2x^2 +ax +b=-2(x-1)^2 +3= -2x^2 +4x+1``]

∴ [eqn: a=4`,```b=1``]

▶2008년 03월 전국[3점]

그림은 점 [eqn: (1`,``0)]을 지나는 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c`]의 그래프를 나타낸 것이다. 이때 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ④

[출제의도] 이차함수의 그래프의 모양을 보고 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]에서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 부호를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 그래프가 위로 볼록하므로 [eqn: a＜0`]이고, 축이 [eqn: y]축의 왼쪽에 있으므로 [eqn: -` {b} over {2a} ＜0]이다. 따라서 [eqn: b＜0] (거짓)

ㄴ. [eqn: y`]절편이 양이므로 [eqn: c＞0]이다. 따라서 [eqn: ab+c`＞0] (참)

ㄷ. [eqn: x`=`-1]일 때 [eqn: y>0]이므로 [eqn: a-b+c＞0] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: b＞0]	ㄴ. [eqn: ab+c＞0]	ㄷ. [eqn: a-b+c＞0]

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① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2008년 03월 전국[3점]

어떤 이차함수의 그래프는 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: (-4`,``0)], [eqn: (2`,``0)]에서 만나고, 이 이차함수의 최댓값은 [eqn: 18]이다. 이 그래프의 [eqn: y`]절편을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[출제의도] 주어진 조건을 만족하는 이차함수의 식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x]축과 두 점 [eqn: (2`,``0)], [eqn: (-4`,``0)]에서 만나므로 축의 방정식은

[eqn: x=` {2+(-4)} over {2} =`-1]

이고 최댓값은 [eqn: 18]이므로 이 이차함수의 식은 다음과 같다.

[eqn: y=a(x+1) ^{2} +18] …㉠

이 포물선이 [eqn: (2`,``0)]을 지나므로 ㉠에 대입하면

[eqn: 0=`a(2+1) ^{2`} +18]  ∴ [eqn: a=`-2]

이것을 다시 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: y=`-2(x+1) ^{2`} +18=`-2x ^{2} -4x+16]

따라서 구하는 [eqn: y]절편은 [eqn: 16]이다.

▶2008년 10월 국가수준[3점]

모든 실수에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)=a(x -1 )^{2} +b`]가 최댓값 [eqn: 3a`]를 가질 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.)

정답 ⑤

ㄱ. 이차함수가 최댓값을 가지므로 위로 볼록한 그래프이고, 따라서 이차항의 계수 [eqn: a`]는 음수이다. (참)

ㄴ. [eqn: y=a(x-1) ^{2} +b`]

이차함수의 최댓값은 [eqn: x`=`1`]일 때 [eqn: b`]이다. 최댓값이 [eqn: 3`a``]라고 하였으므로 [eqn: b`=3a``]이다.

[eqn: therefore`b`=`3a`] (참)

ㄷ. [eqn: y=a(x-1) ^{2} +b`]의 그래프는 대칭축인 직선 [eqn: x`=`1`]에 대하여 대칭이다. (참)

	＜보 기＞
ㄱ. [eqn: a<0`] ㄴ. [eqn: b`=`3a``] ㄷ. [eqn: y`=`f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x`=`1`]에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2008년 03월 교육청[3점]

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b``]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=-x+4``]와 [eqn: y=5x+7``]에 동시에 접할 때, 두 상수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 곱 [eqn: ab``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 24`]

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 접할 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: y=x^2 +ax+b``]와 [eqn: y=-x+4``]가 접할 때

[eqn: x^2 +ax+b=-x+4``]에서 [eqn: x^2 +(a+1)x +b-4=0``]

[eqn: D= (a+1)^2 -4(b-4)=0``]   ……㉠

(ⅱ) [eqn: y=x^2 +ax+b``]와 [eqn: y=5x+7``]이 접할 때,

[eqn: x^2 +ax+b=5x+7``]에서 [eqn: x^2 +(a-5)x +b-7=0``]

[eqn: D= (a-5)^2 -4(b-7)=0``]   ……㉡

㉠-㉡에서 [eqn: 12a-36=0``] ∴ [eqn: a=3``]

또, ㉠에서 [eqn: b=8``]

∴ [eqn: ab=3×8=24``]

▶2013년 11월 서울[3점]

[eqn: x>`-1]에서 정의된 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( 15 RIGHT )]의 값은?

정답 ①

(가)에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c][eqn: LEFT ( x>-1 RIGHT )]라 하면

(나)에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: c=0]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이므로
[eqn: a+b=3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) =2]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =8]이므로

[eqn: 4a+2b=8] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a=1], [eqn: b=2]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x]

[eqn: g LEFT ( 15 RIGHT ) =m]이라 하면

[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =m ^{2} +2m=15]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( m+5 RIGHT ) LEFT ( m-3 RIGHT ) =0]
따라서 [eqn: m=3] [eqn: LEFT ( BECAUSE ``m>-1 RIGHT )]

(가) [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]

(나) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3], [eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) =2]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

▶2008년 03월 교육청[3점]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(1`,```0),~B(0`,```1)``]이 있다. 곡선 [eqn: y=x ^{2`} ``] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm P}( a` ,``` b )``]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAPB``]의 넓이가 [eqn: 5over2 ``]일 때, [eqn: a+b``]의 값은? (단, [eqn: a>0``]이다.)

정답 ②

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P``]에서 [eqn: x``]축과 평행한 직선을 그어서 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: rm C``]라 하면 [eqn: {rm C}(0,~b)``]이고, 점 [eqn: rm P(it a ,~ b )``]는 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점이므로 [eqn: b=a^2``]이다.

삼각형 [eqn: rmAPB``]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S=□ rm OAPC-(△OAB+△BPC)``]

[eqn: = {1} over {2} (1+ a ) b - LEFT { {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1+ {1} over {2} ( b -1) a RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {2} b + {1} over {2}a - 1over2 ``][eqn: = {1} over {2} a^2 + {1} over {2}a - 1over2 ``]

한편 [eqn: S= 5over2 ``]이므로 [eqn: {1} over {2} a^2 + {1} over {2}a - 1over2 = 5over2 ``]

정리하면 [eqn: a^2 + a -6 = 0 ``]

[eqn: (a+3)(a - 2) = 0 ``]

그런데 [eqn: a>0``]이므로 [eqn: a=2``]

[eqn: b=a^2 = 2^2 =4 ``]

∴ [eqn: a+ b=2+4=6``]

① [eqn: 7``]	② [eqn: 6``]	③ [eqn: 5``]
④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 3``]

▶20년 월 [3점]

두 함수 [eqn: f`(`x`) = - x^2 -2x + 5 ,~ g`(`x`) = x^2 - 2a`x + 7`]이 있다. 임의의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x`)` LEQ `g`(`x`)`]가 항상 성립하기 위한 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

정답 ②

임의의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x`) `<=` g`(`x`)`]이므로

[eqn: g`(`x`) - f`(`x`) = 2`x^2 - 2 `(` a - 1 `)` x + 2 `>=` 0`]

[eqn: D over 4 = (` a - 1 `)^2 - 4 `<=` 0`]

[eqn: therefore```-1 `<=` a `<=` 3`]

① [eqn: -3` LEQ `a` LEQ `1`]	② [eqn: -1` LEQ `a` LEQ `3`]	③ [eqn: -2` LEQ `a` LEQ `2`]
④ [eqn: -2` LEQ `a` LEQ `3`]	⑤ [eqn: 1` LEQ `a` LEQ `4`]

▶2008년 06월 인천[3점]

이차항의 계수가 1인 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k`]의 교점이 [eqn: (1`,```k)`,```(11`,```k)`]이다. 부등식 [eqn: f(x)`<f`(2)-2`]의 해가 [eqn: alpha<x<beta`]일 때,  [eqn: alpha beta`]의 값을 구하시오. [3점] [08-06-인천]

정답 [eqn: 22]

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용한 부등식의 해 구하기

[eqn: f(1)=f(11)=k]이므로,

[eqn: f(x)=(x-1)(x-11)+k=x ^{2} -12x+11+k]

따라서, 부등식 [eqn: f(x)<f(2)-2]는

[eqn: x ^{2} -12x+11+k < -11+k]

[eqn: x ^{2} -12x+22<0]이고,

이 부등식을 만족하는 [eqn: x]의 범위 [eqn: alpha<x<beta]에 대하여, [eqn: alpha beta =22]이다.

▶2008년 03월 교육청[4점]

좌표평면에서 점 [eqn: rm A(0`,``8)]을 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}`]의 그래프와 만나는 한 점을 [eqn: rm B]라 하고, 선분 [eqn: rm AB]를  한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm ABCD]를 그림과 같이 그렸다. 또 점 [eqn: rm D]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 한 점을 [eqn: rm E]라 하고, 선분 [eqn: rm DE]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm DEFG]를 그렸다. 이때 두 정사각형 [eqn: rmABCD]와 [eqn: rm DEFG]의 넓이의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 24]

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm B]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 8]이므로 [eqn: {1} over {2} x ^{2} =8]에서 [eqn: x=`±4]  ∴ [eqn: rm B(4,`8)]

따라서 정사각형 [eqn: rmABCD]의 한 변의 길이는 [eqn: 4]이다.

점 [eqn: rm D]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 8-4=4]

또한 점 [eqn: rmE]의 [eqn: y]좌표도 [eqn: 4]이므로

[eqn: {1} over {2} x ^{2} =4] 에서 [eqn: x=`±2 sqrt {2}] ∴ [eqn: rm E(-2 sqrt {2} `,``4)]

따라서 정사각형 [eqn: rmDEFG]의 한 변의 길이는 [eqn: 2 sqrt {2}]이다.

정사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 4 ^{2} =16]이고, 정사각형 [eqn: rmDEFG]의 넓이는 [eqn: (2 sqrt {2} ) ^{2} =8]이다.

그러므로 두 정사각형의 넓이의 합은 [eqn: 16+8=24]

▶2007년 10월 국가수준[3점]

실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 [eqn: y=ax^{2}+bx +c`]가 [eqn: x=2`]에서 최댓값 [eqn: 3`]을 가질 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

[eqn: x`=`2`]에서 최대값 [eqn: 3`]을 갖는 이차함수는 [eqn: y`=`a(x-2)^2 +3`]([eqn: a`<`0`])이다.

[eqn: ax^{2}+bx+c`=`a(x-2)^2 +3`]이므로 [eqn: b`=`-4a`], [eqn: c`=`4a+3`]이다.

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: a`＜`0`]	ㄴ. [eqn: 4a+b=0`]

ㄷ. [eqn: 4a-c`=`-3`]

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① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2007년 03월 교육청[3점]

이차함수 [eqn: y`=`2`x` ^{2} +`4`x`]의 그래프는 [eqn: y`=`2`x` ^{2} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동한 것이다.  이 때, [eqn: a+b`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 이차함수의 그래프의 평행이동을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=2x^2 +`4x`]

[eqn: ``=2(x ^{2} +2x)`]

[eqn: ``=2(x ^{2} +2x+1-1)`]

[eqn: ``=2(x+1) ^{2`} -2`]

따라서 [eqn: y=2x^2 +4x`]의 그래프는 [eqn: y=2x^2 `]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동한 것이다.

∴[eqn: a+b=(-1)+(-2)=-3`]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1`]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

▶2014년 90월 인천[4점]

이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`,~B`]에 대하여 [eqn: rm bar{AB} = it l`]이라 하자. [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=1`]과 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm C`,~D`]에 대하여 [eqn: rm bar{CD} = it l+1`,`~y=f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=4`]와 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm E`,~F`]에 대하여 [eqn: rm bar{EF} = it l+3`]이다. [eqn: l]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 추론하기

[eqn: rm bar{AB}= it l`]이므로 [eqn: rm A LEFT ( it - {l} over {2} `,~0 RIGHT ) `,~ rm B LEFT ( it ` {l} over {2} `,~0 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: y=a LEFT ( x+ {l} over {2} RIGHT ) LEFT ( x- {l} over {2} RIGHT )] (단, [eqn: a != 0]) …… ㉠

㉠의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( {l+1} over {2} `,~1 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 1=a LEFT ( {l+1} over {2} + {l} over {2} RIGHT ) LEFT ( {l+1} over {2} - {l} over {2} RIGHT )]

[eqn: 1=a LEFT ( l+ {1} over {2} RIGHT ) ` TIMES {1} over {2}]     …… ㉡

㉠의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( {l+3} over {2} `,~4 RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: 4=a LEFT ( {l+3} over {2} + {l} over {2} RIGHT ) LEFT ( {l+3} over {2} - {l} over {2} RIGHT )]

[eqn: 4=a LEFT ( l+ {3} over {2} RIGHT ) ` TIMES {3} over {2}]     …… ㉢

㉡, ㉢ 에서 [eqn: 4l+2= {3l+ {9} over {2}}]

따라서 [eqn: ``l= {5} over {2}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

▶2014년 9월 인천[4점]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프 위의 점을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원 중에서 직선 [eqn: y= sqrt {3} x-2`]와 접하는 원은 [eqn: 2`]개이다. 두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a`,~b`]라 할 때, [eqn: 100`a`b]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 200``]

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 활용한 수학 내적 문제 해결하기

원의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( n`,~n ^{2} RIGHT ) `], 반지름의 길이는 [eqn: LEFT | n RIGHT | `]이다. 중심에서 직선 [eqn: y= sqrt {3} x-2``]까지의 거리가 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: {LEFT | n ^{2} - sqrt {3} n+2 RIGHT |} over {sqrt {1+3}} = LEFT | n RIGHT | `]

[eqn: n ^{2} - sqrt {3} n+2=±2n`]에서 실근을 갖는 이차방정식은 [eqn: n ^{2} - LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) n+2=0`]

두 근이 [eqn: a` ,~ b `]이므로 [eqn: ab =2]

따라서 [eqn: 100`ab=200]

▶2014년 6월 평가원[4점]

이차함수 [eqn: f`(`x)`=`(`x`-`a`)(`x`-`b`)`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`,``b`]는 실수이다.)

정답 ⑤

해설

[출제의도] 이차함수의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: a=b]이면 [eqn: f(x)=(x-a)^2]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x) GEQ0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)=x^2 -(a+b)x+ab]이므로

[eqn: f(x)= x^2 - (a+b)x+ LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^2 + ab- LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^2]

[eqn: =LEFT ( x- { a+b over2 RIGHT )^2 + ab- LEFT ( a+b over 2 RIGHT )^2]

[eqn: =LEFT ( x- { a+b over2 RIGHT )^2 - LEFT ( a-b over 2 RIGHT )^2]이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= a+b over 2]일 때 최솟값은

[eqn: f left( {a+b}over2 right)`=`- LEFT ( a-b over 2 RIGHT )^2]이다. (참)

ㄷ. 이차함수 [eqn: f(x)]는 아래로 볼록하고, [eqn: f left( a+b over2 right)]를 최솟값으로 가지고, [eqn: 0<a<b]에서 [eqn: {a-b} over {2} < {b-a} over {2} < {a+b} over {2}]이므로

[eqn: f LEFT ( {a-b} over {2} RIGHT ) >f LEFT ( {b-a} over {2} RIGHT ) >f LEFT ( {a+b} over {2} RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )<f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )]이다. (참)

[다른풀이]

ㄷ. [eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )=LEFT ( b-a over 2 -a RIGHT ) LEFT ( b-a over 2 -b RIGHT )]

[eqn: =LEFT ( b-3a over 2 RIGHT ) LEFT ( -a-b over 2 RIGHT )]

[eqn: ={ ( 3a-b)(a+b) }over 4]이고

[eqn: f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )=LEFT ( a-b over 2 -a RIGHT ) LEFT ( a-b over 2 -b RIGHT )]

[eqn: =LEFT ( -a-b over 2 RIGHT ) LEFT ( a-3b over 2 RIGHT )]

[eqn: ={ ( 3b-a)(a+b) }over 4]

이므로

[eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )-][eqn: f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )][eqn: = (a+b) over 4 LEFT (4a-4b )]

[eqn: =(a+b)(a-b)]이다.

[eqn: 0<a<b]에서 [eqn: a+b>0], [eqn: a-b<0]이므로 [eqn: (a+b)(a-b)<0]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( b-a over 2 RIGHT )<f LEFT ( a-b over 2 RIGHT )]이다. (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: a`=`b`]이면 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x) `GEQ`0`]이다.

ㄴ. 이차함수 [eqn: f`(`x)`]의 최솟값은 [eqn: f` LEFT (` {a`+`b} over2 `RIGHT )`]이다.

ㄷ. [eqn: 0`<`a`<`b`]이면 [eqn: f` LEFT (` {b`-`a} over 2 `RIGHT ) `<` f` LEFT (` {a`-`b} over 2 `RIGHT ) `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2014년 6월 평가원[4점]

그림과 같이 [eqn: -2`<`k`<`2`]인 실수 [eqn: k`]에 대하여 이차함수 [eqn: y`=`-x ^{2} `+`1`]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`2x`+`k`]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A`,``B`]라 할 때, [eqn: rm A`,``B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A_1 `,``B_1 `]이라 하고, 직선 [eqn: y`=`2x`+`k`]와 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rmACA_1 `]과 [eqn: rmBCB_1 `]의 넓이의 합이 [eqn: {3} over {2}]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값이 [eqn: p`+`q sqrt`of {7} `]이다. [eqn: 10p `+`q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,``q`]는 유리수이다.)

정답 [eqn: 39]

해설

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: rm A it ( alpha `,~2 alpha +k)],

[eqn: {rmB}(beta`,~2beta+k)], [eqn: {rmA}_1 (alpha`,~0)], [eqn: {rmB}_1 (beta`,~0)], [eqn: {rmC}left( - k over2 `,~0 right)]이고,
[eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 [eqn: -x^2 +1=2x+k]
즉, [eqn: x^2 +2x+k-1=0`]의 근이므로
근과 계수의 관계에 의해
[eqn: alpha+beta=`-2], [eqn: alpha beta=k-1]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이다.

삼각형 [eqn: rmACA_1]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하면

[eqn: S_1 = 1over2 left( -2alpha-k right) left( - k over2 -alpha right) = left (k over2 +alpha right)^2]이고,

삼각형 [eqn: rmBCB_1]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하면

[eqn: S_2 = 1over2 left( 2beta+k right) left( beta+ k over2 right) = left (k over2 +beta right)^2]이다.

두 삼각형 [eqn: rmACA_1]과 [eqn: rmBCB_1]의 넓이의 합이 [eqn: 3over2]이므로

[eqn: left( alpha + k over 2 right)^2 + left( beta + k over2 right)^2 = 3over2]이고,

[eqn: (alpha^2 + beta`^2 ) +k(alpha + beta)+ k^2 over2 = 3over2]이다.

즉, [eqn: 2(alpha^2 + beta`^2 ) +2k(alpha + beta)+ k^2 - 3=0]이고,
㉠에 의해 [eqn: k^2 -8k+9=0]이다.

그러므로 [eqn: k = 4+- sqrt {7}]이고 [eqn: -2 < k < 2]이므로

[eqn: k=4- sqrt {7}]이다.

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=`-1]이므로 [eqn: 10p+q=39]이다.

▶2014년 9월 인천[4점]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} =6`,~ bar{rm BC it} =8`,~ bar{rm CA it} =10`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]의 두 꼭짓점 [eqn: rm A`,~B`]를 각각 중심으로 하는 두 원 [eqn: O _{1} `,~O _{2} `]가 서로 외접하고 있다. 변 [eqn: rm AC`]와 원 [eqn: O _{1} `]과의 교점을 [eqn: rm P`,] 변 [eqn: rm BC`]와 원 [eqn: O _{2} `]와의 교점을 [eqn: rm Q`]라 할 때, [eqn: rm {barPQ} ^{2} `]의 최솟값은 [eqn: {b} over {a} `]이다. [eqn: ab`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 360``]

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 활용한 수학 내적 문제 해결하기

두 원의 접점을 [eqn: rmT`], 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: {bar{rm BC it}}], [eqn: {bar{rm AB it}}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H_1], [eqn: rm H _{2}]라 하고 원 [eqn: O_1]의 반지름의 길이를 [eqn: r`](단, [eqn: 0<r<6`])라 하자.

∆[eqn: rm `AH _{2} P][eqn: □]∆[eqn: rm `ABC]이므로 [eqn: rm bar{PH _{2}} `= {4} over {5} itr]

[eqn: rm bar{BH _{1}} `=` bar{PH _{2}} `= {4} over {5} it r`,`]

[eqn: rm bar{BQ} `=` bar{BT} `=6- it r`]이므로

[eqn: rm bar{QH _{1}} ` & = LEFT | bar{BH _{1}} - bar{BQ} RIGHT |]

[eqn: rm = LEFT | it {4} over {5} r-(6-r) RIGHT |]

[eqn: & = LEFT | {9} over {5} r-6 RIGHT |]  …… ㉠

∆[eqn: rm `PH _{1} C][eqn: □]∆[eqn: rm `ABC`], [eqn: rm bar CP = 10 - it r`] 이므로

[eqn: rm bar{PH _{1}} = it {3} over {5} (10-r)`]  …… ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: {bar{rm PQ it}}`^2 =][eqn: {bar{rm PH_1 it}}`^2 + {bar{rm QH_1 it}}`^2]

[eqn: = LEFT { {3} over {5} (10-r) RIGHT } ^{2} +` LEFT ( {9} over {5} r-6 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {18} over {5} (r ^{2} -8r+20)]

[eqn: = {18} over {5} (r-4) ^{2} + {72} over {5} `]

[eqn: {bar{rm PQ it}}` ^{2}]은 [eqn: r =4]일 때 최솟값 [eqn: {b} over {a} `=` {72} over {5} `]

따라서 [eqn: ab`=`360`]

▶2014년 6월 평가원[4점]

그림과 같이 [eqn: angle {rmB}`=`90DEG], [eqn: {rm bar AB}`=`2`], [eqn: {rm bar BC}`=`2sqrt`of3 `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서 점 [eqn: rmP]가 변 [eqn: rmAC`]위를 움직일 때, [eqn: rm{{ barPB}^{`2}} `+` {rm {barPC} ^{`2}}`]의 최솟값은?

정답 ④

해설

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를  활용한 문제해결하기

점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하고 변 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E]라 하고 닮음을 이용하면 [eqn: rm bar PD][eqn: =a]이면 [eqn: { rm bar CD} = sqrt { 3}a], [eqn: {rm bar BD }= (2-a) sqrt { 3}]이므로

[eqn: { rm bar PB }^2 = a^2 +3(2-a)^2 = 4a^2 -12a+12]이고,

[eqn: { rm bar PC }^2 = a^2 +3a^2 = 4a^2]이다.

[eqn: { rm bar PB }^2 +{ rm bar PC }^2 =8a^2 -12a+12][eqn: =8 LEFT ( a- 3 over 4 RIGHT )^2 + 15 over 2]이므로
최솟값은 [eqn: 15 over 2]이다.

[다른풀이]

변 [eqn: rm AC]위의 임의의 한 점 [eqn: rm P]에 대해 [eqn: {rm bar PC =][eqn: x]라 하자. 점 [eqn: rm B]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하면

삼각형 [eqn: rm BDP]는 직각삼각형이다.

피타고라스 정리에 의해서 [eqn: rm {bar PB}^2 = {bar PD}^2 + {bar BD}^2]이고,

삼각형 [eqn: rm ADB]는 [eqn: angle {rmA}=60DEG]인 직각삼각형이므로

[eqn: rm barAB =2], [eqn: rmbar AD =1], [eqn: rm bar DB = sqrt { 3}]이다.

[eqn: rm bar PD = 4-bar AD -bar CP][eqn: =4-1-x=3-x]이므로

[eqn: rm {bar PB }^2 =][eqn: (3-x)^2 + (sqrt `of{ 3})^2]이다.

따라서

[eqn: {rm bar PB}^2 +{rm bar PC}^2][eqn: =(3-x)^2 +( sqrt { 3})^2 + x^2]

[eqn: =x^2 -6x+9+3+x^2]

[eqn: =2x^2 -6x+12]

[eqn: =2 LEFT ( x^2 -3x+ 9 over 4 RIGHT )- 9 over 2 +12]

[eqn: =2 LEFT ( x- 3 over 2 RIGHT )^2 + 15 over 2]

이다.

따라서 최솟값은 [eqn: 15 over 2]이다.

① [eqn: 9over2]	② [eqn: 11over2]	③ [eqn: 13over2]
④ [eqn: 15over2]	⑤ [eqn: 17over2]

※이차함수 [eqn: bold{f`(`x)`=`x^2 `}]의 그래프가 그림과 같을 때,  [eqn: 351]번과 [eqn: 352]번의 두 물음에 답하시오.

▶2014년 6월 평가원[3점]

[eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: 1over2 f`(`x) `le`k`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 7`]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합은?

정답 ③

해설

[출제의도] 이차부등식 문제해결하기

이차부등식 [eqn: 1 over 2 f(x) LEQk]에 [eqn: f(x)=x^2]을 대입하면

[eqn: 1 over 2 x^2 LEQ k]이다.

([eqn: k<0]이면 [eqn: {1} over {2} x ^{2} LEQ k]를 만족하는 정수 [eqn: x]가 없다.)

[eqn: x^2 LEQ 2k]이므로 [eqn: x^2 -2k LEQ0]이다.

따라서 [eqn: (x- sqrt { 2k})(x+ sqrt { 2k}) LEQ0]이다.

그러므로 [eqn: -sqrt { 2k} LEQ x LEQ sqrt { 2k}]를 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 7]이므로 [eqn: 3 LEQ sqrt {2k} <4]이다.

즉, [eqn: 9 LEQ 2k<16]이다.

따라서 [eqn: {9} over {2} LEQ k<8]를 만족하는 자연수 [eqn: k=5`,~6`,~7]이므로 [eqn: k]의 합은 [eqn: 18]이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

▶2014년 6월 평가원[4점]

이차함수 [eqn: y`=`f`(`x)`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: p`]만큼 평행이동하였더니 함수 [eqn: y`=`g`(`x)`]의 그래프와 일치하였다.

정답 ④

해설

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼 평행이동한 것이므로

[eqn: g(x)=(x-p) ^{2}]이 된다.

이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1 over 2 x+1]의 교점 [eqn: rmA], [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_1`,~x_2]라 하면 [eqn: x_1`,~x_2]는 방정식 [eqn: x^2 = 1 over 2 x+1]의 근이 된다.

따라서 이차방정식 [eqn: 2x^2 -x-2=0]의 두 근의 합 [eqn: x_1 + x_2 = 1 over 2]이다.

같은 방법으로 이차함수 [eqn: y=(x-p)^2]의 그래프와  직선 [eqn: y= 1 over 2 x+1]의 교점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_3`,```x_4]라 하면 [eqn: x_3`,```x_4]는 방정식 [eqn: (x-p)^2 = 1 over 2 x+1]의 근이 된다.

그러므로 이차방정식 [eqn: 2x^2 -(4p+1)x+2p^2 -2=0]의

두 근의 합 [eqn: x_3 + x_4 = 2p+ 1 over 2]이다.

따라서 [eqn: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =1+2p]이므로 [eqn: 1+2p=9]이고, [eqn: p=4]이다.

직선 [eqn: y`=` 1over2 x `+`1`]이 두 함수 [eqn: y`=`f`(`x) `], [eqn: y`=`g`(`x)`]의 그래프와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 교점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: 9`]가 되도록 하는 [eqn: p`]의 값은? (단, [eqn: p`>`0`]이다.)

① [eqn: 5OVER2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7OVER2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9OVER2]

▶2060년 06월 전국연합[3점]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+b]와 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=2x]는 각각 서로 다른 두 점에서 만난다. 각각의 교점에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 그림과 같이 [eqn: rmA,``B,``C,``D]라 할 때, [eqn: rmLEFT | bar{AB} - bar{CD} `` RIGHT |]의 값은?

정답 ①

[eqn: y=x^2 +ax+b`] 와 [eqn: y=x`] 의 교점의 [eqn: x] 좌표를

[eqn: alpha _{1} ,~ alpha _{2} ``( alpha _{1} < alpha _{2} )`]라 하면

[eqn: alpha _{1} + alpha _{2} =-a+1]

[eqn: y=x^2 +ax+b`] 와 [eqn: y=2x`] 의 교점의 [eqn: x] 좌표를

[eqn: beta _{1} ,~ beta _{2} `( beta _{1} < beta _{2} )`]라 하면

[eqn: beta _{1} + beta _{2} =-a+2]

[eqn: rm bar{AB} = alpha _{1} - beta _{1} ,~ rm bar{CD} = beta _{2} - alpha _{2}]

[eqn: THEREFORE ` LEFT | rm bar{AB} - bar{CD} RIGHT | = LEFT | ( alpha _{1} + alpha _{2} )-( beta _{1} + beta _{2} ) RIGHT | =1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2010년 11월 교육청[4점]

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점 [eqn: LEFT ( alpha ,0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( beta,0 RIGHT )]에서 만나고 [eqn: alpha + beta =20]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( 2x-5 RIGHT ) =0]의 모든 실근의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-alpha RIGHT ) LEFT ( x-beta RIGHT )]라 하면,

방정식 [eqn: f LEFT ( 2x-5 RIGHT ) =a LEFT ( 2x-5-alpha RIGHT ) LEFT ( 2x-5-beta RIGHT ) =0]에서 [eqn: x= {alpha+5} over {2}] 또는 [eqn: x= {beta+5} over {2}]이다. 따라서 모든 실근의 합은 [eqn: {alpha+beta+10} over {2} =15]

▶2012년 11월 경기[4점]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT | `x ^{2} -2` RIGHT | `+x-k=0]이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은?

정답 ①

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 이해하기

주어진 방정식 [eqn: LEFT | `x ^{2} -2` RIGHT | `=`-x+k]가 서로 다른 세 실근을 갖는 경우를 두 함수 [eqn: y= LEFT | `x ^{2} -2` RIGHT |], [eqn: y=`-x+k]의 그래프를 이용하여 나타내면 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y= LEFT | ` x^2 -2 `RIGHT |]

[eqn: -root2]

[eqn: root2]

[eqn: y]

[eqn: y= `-x + 9 over 4]

[eqn: y= `-x + root2]

[eqn: 2]

(ⅰ) [eqn: y=`-x+k]의 그래프가 [eqn: ( sqrt {2} ,``0)]을 지날 때
[eqn: 0=`- sqrt {2} +k]
[eqn: THEREFORE] [eqn: k= sqrt {2}]

(ⅱ) 두 함수 [eqn: y=`-x ^{2} +2], [eqn: y=`-x+k]의 그래프가
접할 때
[eqn: -x ^{2} +2=`-x+k]
[eqn: x ^{2} -x+k-2=0]에서 [eqn: D=1-4k+8=0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: k= {9} over {4}]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: sqrt {2} TIMES {9} over {4}= {9sqrt {2}} over {4}]

① [eqn: {9 sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: {21 sqrt {2}} over {8}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]
④ [eqn: {27 sqrt {2}} over {8}]	⑤ [eqn: {15 sqrt {2}} over {4}]

▶2010년 03월 교육[4점]

그림은 두 이차함수 [eqn: y```=` {1} over {3} `x` ^{2} ``], [eqn: y```=`x` ^{2} `]의 그래프이다. 직선 [eqn: x```=`a``][eqn: (`a```>`0`)``]가 두 포물선 [eqn: y```=` {1} over {3} `x` ^{2} ``], [eqn: y```=`x` ^{2} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P`,``][eqn: rmQ``]라 하자. 점 [eqn: rm `P`]를 지나면서 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 포물선 [eqn: y```=` {1} over {3} `x` ^{2} ``]과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rm S`]라 하고, 점 [eqn: rm Q`]를 지나면서 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 포물선 [eqn: y```=`x` ^{2} `]과 만나는 다른 한 점을 [eqn: rm R`]라 하자. [eqn: rm bar{PQ} ```=` bar{PS} `]일 때, 사각형 [eqn: rm PQRS``]의 넓이를 구하시오.

정답 [eqn: 36]

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하고, 이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 이차함수 [eqn: y= 1 over 3 x^2 ``], [eqn: y = x^2`]에 [eqn: x=a`]를 대입하면,

[eqn: {rmP} `left( a ,~ 1 over3 a^2 right) ,~ {rmQ}`( a ,~ a^2 )`]이다.

[eqn: therefore` rm ` bar{PQ} it =a ^{2} - {1} over {3} a ^{2} = {2} over {3} a ^{2} `]

두 이차함수의 그래프는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: rm S it ` LEFT ( -a,~ {1} over {3} a ^{2} RIGHT )]이다.

[eqn: thereforerm ` bar{PS} it =2a`]

[eqn: rm bar PQ = BAR PS`]이므로

[eqn: 2 over 3 a^2 = 2a]

[eqn: a^2 -3a =0]

[eqn: therefore ~ a=3] 또는 [eqn: a=0`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=3`]

따라서 정사각형 [eqn: rm~ PQRS``]의 한 변의 길이는 [eqn: 2a=6`]

이므로 정사각형의 넓이는 [eqn: 6^2 =36`]이다.

▶2010년 03월 교육청[4점]

그림은 이차함수 [eqn: y``=`a`x` ^{2} `+`b`x```+`c`]의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 이차함수의 그래프와 계수의 부호 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx +c`]는 아래로 볼록인 그래프

이므로 [eqn: a>0`]이다. (참)

ㄴ. 대칭축의 방정식이 [eqn: x=- {b} over {2a}(>0)`]이므로 [eqn: b<0`]이고

[eqn: y`]절편이 양수이므로 [eqn: c>0`]이다.

따라서 [eqn: bc<0`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: x=-2`]일 때 함숫값은 [eqn: 4a-2b+c>0`]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄷ이 참이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: a```>`0]

ㄴ. [eqn: b`c```>`0]

ㄷ. [eqn: 4`a``-`2`b```+`c``>0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2012년 11월 경기[4점]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+2]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자.
점 [eqn: rm P it (a,``b)]가 점 [eqn: rm A]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+2]의 그래프를 따라 점 [eqn: rm B]를 거쳐 점 [eqn: rm C]까지 움직일 때, [eqn: a+b+3]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

정답 9

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 문제해결하기

점 [eqn: rm P it (a,``b)]는 이차함수 [eqn: y=x^2 -3x +2]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: b`=a ^{2} `-3a+2]이다.

[eqn: rm A(0,``2)], [eqn: rm B(1,``0)], [eqn: rmC(2,``0)]이므로 [eqn: 0` LEQ a LEQ 2]이다.

[eqn: a+b+3=a+(a ^{2} `-3a+2)+3]

[eqn: =a ^{2} `-2a+5]
[eqn: =(a-1) ^{2} +4] ([eqn: 0` LEQ a LEQ 2])

[eqn: therefore] [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=2]일 때, 최댓값은 [eqn: 5]
[eqn: a=1]일 때, 최솟값은 [eqn: 4]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 9]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: y=x ^{2} -3x+2]

▶2010년 11월 교육청[4점]

이차항의 계수가 음수인 이차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+1``]이 두 점에서 만나고 그 교점의 [eqn: y``]좌표가 각각 [eqn: 3``]과 [eqn: 8``]이다. 이때, 이차부등식 [eqn: f(x)-x-1>0``]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x``]의 값의 합은?

정답 ⑤

직선 [eqn: y=x+1``]에서 [eqn: y=3``]일 때 [eqn: x=2], [eqn: y=8``]일 때 [eqn: x=7``]이므로

직선 [eqn: y=x+1``]과 이차항의 계수가 음수인 이차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 아래 그림과 같이 [eqn: (2,```3)``]과 [eqn: (7,```8)``]에서 만난다.

이때, 이차부등식 [eqn: f(x)>x+1``]의 해는 이차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가

직선 [eqn: y=x+1``]보다 위쪽에 있을 때, [eqn: x``]값의 범위와 같으므로 [eqn: 2<x<7``]이다. 따라서 이차부등식 [eqn: f(x)-x-1>0``]을 만족시키는 정수 [eqn: x``]는 [eqn: 3,```4,```5,```6``]이므로 모든 정수 [eqn: x``]의 값의 합은 [eqn: 18]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

▶2010년 11월 교육청[4점]

이차함수 [eqn: f(x)``]는 다음 두 조건을 만족시킨다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(3-x) =f(3+x)``]이므로 [eqn: y=f(x)``]의       그래프는 직선 [eqn: x=3``]에 대하여 대칭이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)=a(x-3)^2 +b``]라 놓으면, [eqn: y=f(x)``]가 두 점                  [eqn: (-1, ```2) , ```(4,```17)``]을 지나므로

[eqn: 16a+b=2 ~~ CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: a+b=17~~ CDOTS CDOTS㉡]

이다. 이때, ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면,

[eqn: a=-1,```b=18]

그러므로 [eqn: f(x)= -(x-3)^2 + 18``]은  [eqn: 1<= x<= 8``]에서 [eqn: x=8``]일 때,     이차함수 [eqn: f(x)``]는 최솟값 [eqn: -7``]을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: g(x)=f(x+3)=-x^2 +18``]이므로 [eqn: y=g(x)``]의 그래프는 [eqn: y``]축에     대하여 대칭이다. 그러므로  모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: g(-x)= g(x)``]이다.

[eqn: THEREFORE`` g(-x)!= -g(x)``](거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(3-x) =f(3+x)``]이다.
(나) [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 두 점 [eqn: (-1, ```2) , ```(4,```17)``]을 지난다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: y=f(x)``]의 그래프는 직선 [eqn: x=3``]에 대하여 대칭이다.
ㄴ. [eqn: 1<= x<= 8``]에서 이차함수 [eqn: f(x)``]의 최솟값은 [eqn: -7``]이다.
ㄷ. [eqn: g(x)=f(x+3)``]일 때,
모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g(-x)= -g(x)``]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 09월 교육청[4점]

함수 [eqn: f(x)=x^2 -7x+12`]에 대하여 [eqn: f(alpha)=1`]이고 [eqn: f(beta)=1`]일 때, [eqn: f(alpha beta)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 56]

[출제의도] 방정식 근의 의미를 이해하고 근과 계수와의 관계 적용하기

[eqn: f`(` alpha `)`=`f`( beta `)`=`1]이므로 [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 [eqn: x ^{2} -7x`+11=0`]의 두 근이다.

∴ [eqn: alpha ` beta `=`11]

∴ [eqn: f(`11`)`=11 ^{2} `-`7 cdot 11`+`12`][eqn: =`11(`11`-7`)`+`12]

[eqn: =`11 cdot 4`+`12][eqn: =`56]

▶2009년 11월 평가원[4점]

이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =1]에 동시에 접하는 직선이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a ^{2} +b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이고 [eqn: b<0]이다.)

정답 [eqn: 70]

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하기

아래 그림과 같이

ⅰ) 직선 [eqn: y=ax+b]가 이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프에 접하므로 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -ax-b=0]의 판별식은 [eqn: D=0]이다. 그러므로 [eqn: a ^{2} =-8b] [eqn: CDOTS `①]

ⅱ) 직선 [eqn: y=ax+b]가 원 [eqn: x ^{2}+ LEFT ( y+1 RIGHT )^2 =1]에

접하므로 [eqn: {LEFT | 1+b RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} =1]이다.

그러므로 [eqn: a^2 +1=b^2 +2b +1] [eqn: CDOTS `②]

[eqn: ①], [eqn: ②]를 연립하여 풀면, [eqn: b=-10``` LEFT ( b<0 RIGHT )], [eqn: a^2 =80]이다.

따라서 [eqn: `a ^{2`} +b=70]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=ax+b]

[eqn: y=2x^2]

[eqn: b]

[eqn: x^2 + LEFT ( y+1 RIGHT )^2 =1]

▶2009년 11월 평가원[4점]

그림은 두 점 [eqn: (-1,``0)`], [eqn: (2,``0)]을 지나는 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 나타낸 것이다. 부등식 [eqn: f LEFT ( {x+k} over {2} RIGHT ) LEQ 0]의 해가 [eqn: -3 LEQ x LEQ 3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계를 이해하기

이차함수와 이차부등식의 관계에 의하여 주어진 그림으로부터 이차부등식 [eqn: f(x) le0]의 해는

[eqn: -1 le x le2]이다.

이때, [eqn: f left( x+k over2 right) le0]에서 [eqn: x+k over2 =t]라 하면 [eqn: f(t) le0]이고, 이차부등식 [eqn: f(t) le0]의 해는 [eqn: -1 le t le2]이다.

그러므로 [eqn: -1 le x+k over2 le2]

⇔ [eqn: -2 LEQ x+k LEQ 4]

⇔ [eqn: -2-k le x le4-k] … [eqn: ①]이다.

또한, [eqn: f left( x+k over2 right) le0]의 해가 [eqn: -3 le x le3] … [eqn: ②]

이라 하였으므로 [eqn: ①]의 식과 [eqn: ②]의 식은 같아야 한다.

따라서 [eqn: -2-k=-3], [eqn: 4-k=3]에서 [eqn: k=1]이다.

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

▶2009년 05월 경기[4점]

이차함수 [eqn: f`(x)=x^2 -2ax +b`]가 [eqn: -1`<x`<1`]에서 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만날 때, 점 [eqn: (a,``b)`]가 존재하는 영역을 바르게 색칠한 것은? (단, [eqn: a,``b`]는 실수이고 경계선은 제외한다.)

정답 ④

(ⅰ) [eqn: x ^{2} -2ax+b=0]이 서로 다른 두 실근을 가지므로 [eqn: b<a ^{2}]

(ⅱ) [eqn: f(-1)=1+2a+b>0]이므로
[eqn: b>-2a-1]
[eqn: f(1)=1-2a+b>0]이므로 [eqn: b>2a-1]

(ⅲ) 이차함수 그래프의 축이 [eqn: x=a]이므로
[eqn: -1<a<1]

▶2008년 05월 경기[4점]

그림은 이차함수 [eqn: y=ax^2 + bx + c`]와 일차함수 [eqn: y=dx + e`]의 그래프의 개형이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e`]의 관계로 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면?

정답 ③

[출제의도] 함수의 그래프 해석하기

ㄱ. [eqn: c`]는 이차함수의 [eqn: y`]절편, [eqn: e`]는 일차함수의 [eqn: y`]절편이고 그림에서 [eqn: c<e`]이므로 [eqn: e-c>0`] (참)

ㄴ. 축의 방정식은 [eqn: x = `- b over 2a >1`]이고 [eqn: a>0`]이다.

[eqn: b< -2a < 0`]이므로 [eqn: |`b`| ＞|`-2a`| = 2 |`a`|> |`a`|`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: x=1`]일 때의 두 그래프의 [eqn: y`]값을 비교해보면
[eqn: a+b+c < d+e`] (거짓)

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: e-c >0]

ㄴ. [eqn: |`a`| < |`b`|]

ㄷ. [eqn: a+b+c > d+e]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2007년 06월 인천[4점]

좌표평면에 [eqn: rm `A``(1`,``4)`,````B``(1`,``1)`,````C``(4,``1)]을 꼭지점으로 하는 삼각형[eqn: rm `ABC]가 있다. 이차함수 [eqn: y``=``a`x ^{2}]의 그래프와 삼각형 [eqn: rm `ABC]의 교점의 개수를 [eqn: F```(a)] 라고 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ③
[출제의도] 이차함수 이해하기

ㄱ. [eqn: a=3]일 때, [eqn: y=3x ^{2} `]과 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 교점의 개수는 [eqn: 2]개이므로 [eqn: F(3)=2]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: a>4]이면 [eqn: y=ax ^{2}]과 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 교점은 없으므로 [eqn: F(a)=0]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: a= {1} over {16}] 또는 [eqn: a=4]이면 [eqn: y=ax ^{2} `]과
[eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 교점의 개수는 [eqn: 1`]개이므로 [eqn: F(a)=1]  ∴ 거짓

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=ax ^{2}]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: rm `O]

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `C]

< 보 기 >

변

ㄱ. [eqn: F``(3)=2]

ㄴ. [eqn: a>4]이면 [eqn: F``(a)=0]이다.

ㄷ. [eqn: {1} over {16} LEQ a`leq4]이면 [eqn: F``(a)=2]이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2007년 03월 교육청[4점]

그림과 같이 두 이차함수 [eqn: y`=`a`x` ^{2} `-`b`], [eqn: y`=`-a`x` ^{2} `+`b`]의 그래프가 좌표축과 만나는 점을 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 하자. 사각형 [eqn: rm ABCD`]가 정사각형일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 양수이다.)

정답 ①

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm ABCD`]가 정사각형이므로 [eqn: bar{rm OA it} = bar{\OD} `]이다.

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (`0,``b`)]이므로 [eqn: bar{rm OA it} =b`]

[eqn: y`=`ax ^{ 2}`-`b]에 [eqn: y`=`0`]을 대입하면

[eqn: ax ^{2} -b=0`]에서 [eqn: x=± sqrt {{b} over {a}} `]이므로 점 [eqn: rm D]의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` sqrt {{b} over {a}} `,``0` RIGHT )]

따라서 [eqn: bar{rm OD it} = sqrt {{b} over {a}} `]

[eqn: bar{rm OA it} = bar{\OD} `]에서 [eqn: b = sqrt {{b} over {a}} `]

양변을 제곱하면 [eqn: b ^{2} = {b} over {a} `], [eqn: ab ^{2} -b=0`]

[eqn: b(ab-1)=0`]

[eqn: b !=0`]이므로 [eqn: ab=1`]

① [eqn: a`b`=`1`]	② [eqn: a`-`b`=`0`]	③ [eqn: a`+`b`=`1`]
④ [eqn: a`+`b`=`2`]	⑤ [eqn: a` ^{2} `+`b` ^{2} `=`2`]

▶2008년 06월 인천[4점]

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b```(a>0)`]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]의 교점이 원의 둘레를 삼등분할 때, [eqn: f(5)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 23]

[출제의도] 이차함수와 원의 그래프 이해하기

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b`]의 그래프와 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4`]의 그래프가 세 점 [eqn: rm A(0`,```-2)`], [eqn: rm B(c `,```d )`], [eqn: rm C(-c `,```d )`] [eqn: (c>0)]에서 만날 때, 세 점 [eqn: rm`A`,``B`,``C]가 원의 둘레를 삼등분한다.

원점 [eqn: rm O]에 대하여 [eqn: ANGLE rmAOB`= 120 DEG]이므로,

[eqn: c= sqrt {3} d] …①

또 [eqn: rm B(c `,```d )`]는 원 위의 점이므로 [eqn: c ^{2} +d ^{2} =4] …②

①, ②에 의하여 [eqn: c= sqrt {3} `,```d=1`]

한편 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b`]는 점 [eqn: rm A(0`,```-2)`]를 지나므로, [eqn: b=-2]이고, 점 [eqn: rm B( sqrt {3} `,```1)`]은 포물선 위의 점이므로 [eqn: 1=3a-2`,```a=1]이다.

[eqn: THEREFORE `f(x)=x ^{2} -2]이므로 [eqn: f(5)=23]

▶2007년 03월 교육청[4점]

일차함수 [eqn: y`=`a`x`+`b`]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 이차함수 [eqn: y``=`x` ^{2} -(`a`+`b`)`x`+`a`b`]의 그래프의 모양으로 옳은 것은?

정답 ①

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 이차함수의 그래프의 모양을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

일차함수 [eqn: y`=`ax+b`]의 그래프에서

기울기는 음수이고 [eqn: y`]절편은 양수이므로 [eqn: a``<`0], [eqn: b``>``0]이다.

∴[eqn: ab<0] [eqn: CDOTS`] ㉠

그래프에서 [eqn: x=1]일 때의 [eqn: y`]의 값이 양수이므로

[eqn: a+b``>`0`] [eqn: CDOTS`] ㉡

한편 이차함수 [eqn: y`=`x` ^{2} -(a+b)x+ab`]의 그래프에서

축의 식은 [eqn: x=` {a+b} over {2} `]이고, [eqn: y``]절편은 [eqn: ab`]이다.

따라서 ㉠, ㉡ 에 의해 그래프의 모양은 다음과 같다.

[다른풀이]

[eqn: y`=`ax+b`]의 그래프에서 기울기는 음수이고 [eqn: y`]절편은 양수이므로

[eqn: a``<`0,````b``>``0]

또, [eqn: f`(x)`=`ax+b`]라 할 때, [eqn: f`(1)`=`a+b``>`0`]이므로

([eqn: a]의 절대값)[eqn: ``<``]([eqn: b]의 절대값)이다.

[eqn: y``=`x` ^{2} -(a+b)x+ab`]

[eqn: ``=`(x-a)(x-b)]이므로

[eqn: y`=`x` ^{2} -(a+b)x+ab`]의 그래프는 아래로 볼록하고 [eqn: x`]축 위의 두 점 [eqn: (a,``0),````(b,``0)`]을 지나는 포물선이다.

이 때  [eqn: a``<`0,````b``>``0]이고 ([eqn: a]의 절대값)[eqn: ``<``]([eqn: b]의 절대값)이므로

그래프의 모양은 ① 과 같다.

①			②
③			④
⑤

▶2006년 05월 경기[4점]

그래프는 두 이차함수 [eqn: y=f` LEFT ( `x RIGHT ) `,``][eqn: y=g` LEFT ( `x RIGHT ) ``]를 나타낸 것이다.

정답 ④

ㄱ. [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `=g` LEFT ( `x RIGHT ) ````]의 해집합은 두 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표이므로 [eqn: LEFT { `b`,`d` RIGHT } `]이다.

ㄴ. [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `g` LEFT ( `x RIGHT ) =0``]은 [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `=0``] 또는 [eqn: `g` LEFT ( `x RIGHT ) =0``]일 때이므로 [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `=0``]의 해집합은 [eqn: LEFT { `c`,`d` RIGHT } `], [eqn: g` LEFT ( `x RIGHT ) `=0``]의 해집합은 [eqn: LEFT { `a`,`d` RIGHT } `]이다. 따라서, [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `g` LEFT ( `x RIGHT ) =0``]의 해집합은 [eqn: LEFT { `a`,`c``,`d` RIGHT } `]이다.

ㄷ. [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `g` LEFT ( `x RIGHT ) <=0`````]의 해집합은

[eqn: LEFT [ f` LEFT ( `x RIGHT ) `>=0`이고```g` LEFT ( `x RIGHT ) <= 0 RIGHT ] ``````]또는

[eqn: LEFT [ f` LEFT ( `x RIGHT ) `>=0`이고```g` LEFT ( `x RIGHT ) <= 0 RIGHT ] ``````]이므로 [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `g` LEFT ( `x RIGHT ) <=0`````]의 해집합은 [eqn: LEFT { `x`|`x<=a`또는``x>=`c` RIGHT } ``]이다.

그러므로 옳은 것은 ㄴ,ㄷ

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `=g` LEFT ( `x RIGHT ) ````]의 해집합은 [eqn: LEFT { `a`,`d` RIGHT } `]이다.

ㄴ. [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `g` LEFT ( `x RIGHT ) =0`````]의 해집합은 [eqn: LEFT { `a`,`c`,`d` RIGHT } `]이다.

ㄷ. [eqn: f` LEFT ( `x RIGHT ) `g` LEFT ( `x RIGHT ) <=0`````]의 해집합은 [eqn: LEFT { `x`|`x<=a`또는``x>=`c` RIGHT } ``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄷ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

▶2006년 06월 전국[4점]

이차함수 [eqn: f(`x)= ax^2 +bx +c] 의 그래프가 다음과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

ㄱ. [eqn: x=-q] 일 때, [eqn: f(q)=0]

[eqn: x=-r] 일 때, [eqn: f(r)=0] 이므로

[eqn: f(-x)=0] 의  근은 [eqn: x=-q]  또는 [eqn: x=-r]

∴ 참

ㄴ. [eqn: f(x)-2=0]의 두 근은 [eqn: p,~s] 이다.

[eqn: p+s=q+r] 이므로

두 근의 합은 [eqn: - b over a]   ∴ 참

ㄷ. 대칭축을 이용하면 [eqn: {p+s} over {2} = {q+r} over {2}]

[eqn: p+s=q+r``]  ∴ 참

[eqn: x`]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: y`]

[eqn: q]

[eqn: rm O]

[eqn: p]

[eqn: s]

[eqn: r]

[eqn: 2`]

		<보 기>
	ㄱ. 방정식 [eqn: f(`-x)=0] 의 근은 [eqn: x=`-q] 또는 [eqn: x=`-r] 이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(`x)`-`2`=`0] 의 두 근의 합은 [eqn: -{b } over { a}]이다. ㄷ. [eqn: p+s=q+r] 이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2006년 05월 경기[4점]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: y=f`(x)]는 다음 두 조건을 만족한다.

정답 [eqn: 5]

[eqn: f`(x+2)=f`(x)]에서 함수 [eqn: y=f`(x)]는 주기 [eqn: 2]인 주기함수임을 알 수 있으므로 [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y= {1}over{5}x]의 그래프는 아래 그림과 같다.

따라서 그림에서와 같이 교점의 개수는 [eqn: 5]개다.

그러므로 [eqn: n=5]

Ⅰ. [eqn: f`(x)= cases{~(x-1)^{2} ~~(0`<=`x`<=`1)``#~```x-1~~~``(1`<`x`<=`2)``}]

Ⅱ. [eqn: f`(x+2)=f`(x)]

함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1}over{5}x]와의 교점의 개수가 [eqn: n]개일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

▶2005년 06월 교육청[4점]

이차함수 [eqn: f(x)]가  [eqn: 2f(x)+f(1-x)=3x ^{2} ``]을 만족할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ④

[eqn: 2f`(x)+f`(1-x)=3x ^{2}]   …㉠

㉠에[eqn: x]대신에[eqn: 1-x]를 대입하면,

[eqn: 2f`(1-x)+f`(x)=3(1-x) ^{2}]…㉡

㉠, ㉡를 연립하여 풀면

[eqn: f`(x)=x ^{2} +2x-1]

[eqn: =(x+1) ^{2} -2]

그러므로

ㄱ.[eqn: f`(0)=-1]

ㄴ.[eqn: f`(x)``]의 최소값은[eqn: -2]

ㄷ. 대칭축이 [eqn: x=-1]이므로

[eqn: f`(x)=f`(-2-x)``]가 성립한다.

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(0)=``-1] ㄴ. [eqn: `f(x)]의 최소값은 [eqn: 3``]이다. ㄷ. 모든 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-2-x)``]이다.

① ㄱ               ② ㄷ               ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림은 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(-2)=f(4)=0]인
이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 두 물음에 답하시오.

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

▶2013년 11월 서울[3점]

방정식 [eqn: f` LEFT ( 2x-1 RIGHT ) =0]의 두 근의 합은?

정답 ②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) = LEFT ( 2x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x-5 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) =0]의 두 근 [eqn: - {1} over {2}], [eqn: {5} over {2}]의 합은 [eqn: 2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2013년 11월 서울[4점]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: y=`-f LEFT ( x RIGHT ) +2]의 그래프의
꼭짓점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와
함수 [eqn: y=`-f LEFT ( x RIGHT ) +2]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자. 사각형 [eqn: rm ADBC]의 넓이는?

정답 ⑤

[eqn: rmO]

[eqn: rmD]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmC]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -9]
이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 꼭짓점은 [eqn: rm A` it LEFT ( 1,`-9 RIGHT )]

[eqn: -f LEFT ( x RIGHT ) +2=- LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) +2]

[eqn: =- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +11]

이므로 [eqn: y=`-f LEFT ( x RIGHT ) +2]의 꼭짓점은 [eqn: rm B` it LEFT ( 1,`11 RIGHT )]
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=-f LEFT ( x RIGHT ) +2]의 그래프의
교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -9=- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +11]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x=1± sqrt {10}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm C(1- sqrt {10} ,`1)]，[eqn: rm D(1+ sqrt {10} ,`1)]

사각형 [eqn: rmADBC]가 마름모이므로

사각형 [eqn: rmADBC]의 넓이는
[eqn: {1} over {2} TIMES 20 TIMES 2 sqrt {10} =20 sqrt {10}]

① [eqn: 5 sqrt {10}]	② [eqn: 10 sqrt {5}]	③ [eqn: 10 sqrt {10}]

④ [eqn: 20 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 20 sqrt {10}]

▶2013년 11월 서울[4점]

정의역이 실수 전체의 집합이고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수
[eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 4]

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT )]에서 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
대칭축은 [eqn: x=2]이고,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: -9`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} -9]

[eqn: =`x ^{2} -4x-5]

[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | RIGHT ) =0]에서

[eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | =t(t GEQ 0)]라 하면 [eqn: f(t)=0]이고  [eqn: t=5]
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5], [eqn: -5]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=5], [eqn: y=-5]는
각각 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]

(가) [eqn: f(-2)=f(6)]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -9]이다.

방정식 [eqn: f( LEFT | `f(x)`` RIGHT | )=0]의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

▶2013년 11월 서울[4점]

그림과 같이 [eqn: 135 DEG]로 꺾인 벽면이 있는 땅에 길이가 [eqn: 150rmm]인 철망으로 울타리를 설치하여 직사각형 모양의 농장 [eqn: X`]와 사다리꼴 모양의 농장 [eqn: Y`]를 만들려고 한다.
농장 [eqn: X`]의 넓이가 농장 [eqn: Y`]의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, 농장 [eqn: Y`]의 넓이의 최댓값을 [eqn: S` LEFT ( rm m ^{2} RIGHT )]라 하자. [eqn: S]의 값을 구하시오. (단, 벽면에는 울타리를 설치하지 않고, 철망의 폭은 무시한다.)

정답 [eqn: 750]

[eqn: x]

[eqn: 135 DEG]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: x]

[eqn: 150-2x-y]

[eqn: y]

[eqn: X]

[eqn: Y]

그림과 같이 직사각형의 세로와 가로의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y]라 하자. [eqn: X]의 넓이는 [eqn: xy]이고,
철망의 길이가 [eqn: 150]이므로 사다리꼴의 아랫변의
길이는 [eqn: 150-2x-y]이다.

점 [eqn: rm A`]에서 사다리꼴의 아랫변에 내린 수선의 발을
[eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: x]이고
[eqn: ANGLE rmCAB=45 DEG]이므로 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: x`]이다.

사다리꼴의 윗변의 길이는

[eqn: LEFT ( 150-2x-y RIGHT ) -x=150-3x-y]
[eqn: Y]의 넓이는
[eqn: {1} over {2} x LEFT { LEFT ( 150-3x-y RIGHT ) + LEFT ( 150-2x-y RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} x LEFT ( 300-5x-2y RIGHT )]
[eqn: X]의 넓이는 [eqn: Y]의 넓이의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: xy=x LEFT ( 300-5x-2y RIGHT )]

[eqn: y=100- {5} over {3} x]

[eqn: (][eqn: Y]의 넓이[eqn: )][eqn: = it {1} over {2} xy][eqn: = {1} over {2} x LEFT ( 100- {5} over {3} x RIGHT )][eqn: =- {5} over {6} x ^{2} +50x]

[eqn: =- {5} over {6} LEFT ( x-30 RIGHT ) ^{2} +750]

따라서 [eqn: x=30]일 때, [eqn: Y]의 넓이의 최댓값 [eqn: S]는 [eqn: 750]

벽면

벽

[eqn: 135 DEG]

[eqn: X]

[eqn: Y]

면

정답 및 풀이