식의 계산

수학1		모의고사 단원별 총모음(다항식)
				다항식

Theme Math		Math shin

▶ 2014년 6월 평가원 [2점]

두 다항식

정답 ⑤

[출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: 3A-B=3(x ^{2} +1)-(2x ^{2} +x-1)]

[eqn: =3x ^{2} +3-2x ^{2} -x+1]

[eqn: =x ^{2} -x+4]

[eqn: A`=`x ^{2} `+`1`], [eqn: B`=`2x ^{2} `+`x`-`1`]

에 대하여 [eqn: 3A`-`B`]를 간단히 하면?

① [eqn: 3x^2 `+`x`+`2`]	② [eqn: 3x^2 `+` x`]	③ [eqn: x^2 `+`2x`-`4`]

④ [eqn: x^2 `-`x`+`6`]	⑤ [eqn: x^2 `-`x`+`4`]

▶ 2014년 9월 인천

두 다항식
[eqn: A= 2 x^3 +x^2 -4x +1]
[eqn: B=x ^{2} -4x+3]
에 대하여 [eqn: A-2X=B`]를 만족시키는 다항식 [eqn: X`]는?

정답 ③

[출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈 계산하기

[eqn: A- 2X = B]

[eqn: 2X=A-B]

[eqn: =][eqn: 2x ^{3} +x ^{2} -4x+1][eqn: -(x ^{2} -4x+3)]

[eqn: =2x ^{3} -2]

따라서 [eqn: X=x ^{3} -1]

① [eqn: x ^{2} +1]	② [eqn: x ^{2}+2]	③  [eqn: x ^{3} -1]
④ [eqn: x ^{3} -2]	⑤ [eqn: x ^{3} +3]

▶2005년 6월 경기교육청[2점]

[eqn: A=-3x^2 +x+2], [eqn: B=2x-1], [eqn: C=-x^2 +2x`]일 때,   [eqn: A+B-C```]를 간단히 나타낸 것은?

정답 ③

[eqn: A+B-C`][eqn: = (-3x^2 +x+2) +(2x-1)-(-x^2 +2x)]

[eqn: = -3x^2 +x+2 +2x-1+x^2 -2x]

[eqn: = -2x^2 +x+1]

① [eqn: -4x^2 `+`x`+1]	② [eqn: -4x^2 +5x+3]

③ [eqn: -2x^2 `+`x`+1]	④ [eqn: -2x^2 +5x+1]

⑤ [eqn: -2x^2 +5x+3]

▶2009년 11월 경기교육청[2점]

다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x+2]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지를 구하시오.

정답 [eqn: 20]

다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x+2]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때,몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R]라 하면,

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x+2= LEFT ( x-2 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R cdots①]이다.

이때, [eqn: ①]의 식에 [eqn: x=2]를 대입하면,

[eqn: R=2 ^{3} +3․2 ^{2} -2+2=20]이다.

▶2009년 09월 부산교육청[2점]

세 다항식 [eqn: A``=`x`+`2`], [eqn: B``=`x`-`1`], [eqn: C``=`x`]에 대하여
[eqn: A``-`(`B``-`C``)`]를 간단히 한 것은?

정답 ①

[eqn: A-B+C`=`x+2-x+1+x`=x+3]

① [eqn: x+3]	② [eqn: x-3]	③ [eqn: 3x+2]

④ [eqn: x+1]	⑤ [eqn: 2x+3]

▶2009년 10월 인천교육청[2점]

두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -4x+5 `], [eqn: B=x ^{2} +2x+3 `]에 대하여   [eqn: 2X-3A=B`]를 만족하는 다항식 [eqn: X`]는?

정답 ⑤

[eqn: X= {1} over {2} LEFT ( 3A+B RIGHT ) `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( 10x ^{2} -10x+18 RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: X=5x ^{2} -5x+9`]

① [eqn: 2x^2 -x]	② [eqn: 2x^2 + 2x-5]
③ [eqn: 3x^2 +2x+9]	④ [eqn: 5x ^{2} -3x+5]
⑤ [eqn: 5x^2 -5x+9]

▶2013년 11월 서울교육청[2점]

세 다항식 [eqn: A=x ^{2} -xy+2y ^{2}], [eqn: B=x ^{2} +xy+y ^{2}],
[eqn: C=x ^{2} -y ^{2}]에 대하여 [eqn: LEFT ( A+2B` RIGHT ) - LEFT ( B+C` RIGHT )]를 간단히 한 것은?

정답 ③

[eqn: LEFT ( A+2B RIGHT ) - LEFT ( B+C` RIGHT ) =A+B-C][eqn: =x ^{2} +4y ^{2}]

① [eqn: x ^{2} +y ^{2}]	② [eqn: x ^{2} -2y ^{2}]	③ [eqn: x ^{2} +4y ^{2}]

④ [eqn: 2x ^{2} -2y ^{2}]	⑤ [eqn: 2x ^{2} +4y ^{2}]

▶2008년 10월 학업성취도(고1)[2점]

세 다항식 [eqn: A`,``B`,``C``]에 대하여
[eqn: A``+B=3a ^{2} -ab-b ^{2}]
[eqn: B``+C=2a ^{2} +3ab+2b ^{2} `]
[eqn: C``+A=a ^{2} -6ab+3b ^{2}]
일 때, 세 다항식의 합 [eqn: A`+B`+C`] 는?

정답 ④

세 식을 모두 더하면 [eqn: 2(A+B+C)`=6a ^{2} -4ab+4b ^{2}]

[eqn: THEREFORE ``A+B+C=3a ^{2} -2ab+2b ^{2}]

① [eqn: -3a ^{2} +4ab+b ^{2}]	② [eqn: -a ^{2} -5ab+2b ^{2}]

③ [eqn: a ^{2} +3ab+4b ^{2}]	④ [eqn: 3a ^{2} -2ab+2b ^{2}]

⑤ [eqn: 5a ^{2} +ab+4b ^{2}]

▶2012년 11월 경기도교육청[2점]

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: A+B``=x ^{2} +3x+4], [eqn: A-B``=x ^{2} -x+2]
일 때, 다항식 [eqn: B`]는?

정답 ④

[eqn: A+B=x ^{2} +3x+4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: A-B=x ^{2} -x+2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: 2B=4x+2]

따라서 [eqn: B=2x+1]

① [eqn: x+1]	② [eqn: x+2]	③ [eqn: 2x]

④ [eqn: 2x+1]	⑤ [eqn: 2x+2]

▶2008년 03월 서울시교육청(고1)[2점]

[eqn: A=2x-3y], [eqn: B```=`-3x+5y]일 때 [eqn: 3A-(A-B)`]를 간단히 한 것은?

정답 ③

[eqn: 3A-(A-B)][eqn: =2A+B]

[eqn: =2(2x-3y)+(-3x+5y)]

[eqn: =4x-6y-3x+5y]

[eqn: =x-y]

① [eqn: 2x-3y]	② [eqn: 2x-y]	③ [eqn: x-y]

④ [eqn: x-3y]	⑤ [eqn: 2x+3y]

▶2008년 05월 경기도교육청(고1)[2점]

[eqn: A-B = -x^2 +x,~ A+2B = 5x^2 - 2x+3]일 때, 다항식 [eqn: A]는?

정답 ②
[eqn: A-B = -x^2 + x ~ cdots ~㉠]
[eqn: A+2B = 5x^2 - 2x+3 ~CDOTS ~ ㉡]
[eqn: ㉠times 2+ ㉡]하면
[eqn: 3A =3x^2 +3]이므로 [eqn: A= x^2 +1]

① [eqn: x^2 -1]	② [eqn: x^2 +1]	③ [eqn: x^2 -x-1]
④ [eqn: x^2 -x+1]	⑤ [eqn: x^2 +x+1]

▶2008년 11월 경기교육청(고1)[2점]

세 다항식 [eqn: A=x+1], [eqn: B=x], [eqn: C=x-1]에 대하여 [eqn: A-BC``]는?

정답 ⑤
[eqn: A-BC=( it x+1)-x(x-1)=-x ^{2} +2x+1]

① [eqn: 3x]	② [eqn: x-1]	③ [eqn: x^2 +x]

④ [eqn: -x ^{2} -x-1]	⑤ [eqn: -x ^{2} +2x+1]

▶2013년 6월 교육청)[2점]

두 다항식

정답 ①

두 다항식 [eqn: A=3x^2 +xy +y^2`], [eqn: B=x ^{2} +2y ^{2} `]을 [eqn: A-2B`]에 대입하면

[eqn: A-2B=(3x ^{2} +xy+y ^{2} )-2(x ^{2} +2y ^{2} )]

[eqn: =3x ^{2} +xy +y^2 -2x^2 -4y^2][eqn: =x ^{2} +xy-3y ^{2}]

[eqn: A=3x^2 +xy +y^2`], [eqn: B=x ^{2} +2y ^{2} `]

에 대하여 [eqn: A-2B`]를 간단히 하면?

① [eqn: x ^{2} +xy-3y ^{2} `]	② [eqn: x ^{2} +xy+3y ^{2} `]	③ [eqn: x ^{2} +2xy-3y ^{2}]

④ [eqn: 2x ^{2} -xy+3y ^{2}]	⑤ [eqn: 2x ^{2} +xy`]

▶2005년 9월 서울시교육청[2점]

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -2xy+2y ^{2} `], [eqn: B=2x ^{2} +xy-y ^{2} `] 에 대하여 [eqn: 2A-3B`] 를 계산한 식에서 [eqn: y ^{2}] 의 계수는?

정답 ④

[eqn: 2A-3B & =2(x ^{2} -2xy+2y ^{2} )-3(2x ^{2} +xy-y ^{2} )]

[eqn: =-4x ^{2} -7xy+7y ^{2}]

따라서 [eqn: y ^{2}]의 계수는 [eqn: 7] 이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

▶2010년 10월 시교육청[2점]

다항식 [eqn: A=4x^3 + 2 x^2 + x -1 `], [eqn: B=x^2 -3 `], [eqn: C=x+1`]에 대하여 [eqn: A-2BC`]를 계산하면?

정답 ⑤

[eqn: A-2BC= LEFT ( 4x ^{3} +2x ^{2} +x-1 RIGHT ) -2 LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 4x ^{3} +2x ^{2} +x-1 RIGHT ) -2 LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -3x-3 RIGHT )]

[eqn: =2x ^{3} +7x+5]

① [eqn: 2x^3 -3x^2 + 5]              ② [eqn: 2x^3 +7x^2 + 5]

③ [eqn: 2x^3 -7x - 5]               ④ [eqn: 2x^3 -3x + 7]

⑤ [eqn: 2x^3 +7x + 5]

▶2010년 11월 교육청[2점]

다항식 [eqn: 2x^2 + xy - y^2 -2 (x^2 -2xy +y^2 )]을 간단히 한 것은?

정답 ②

[eqn: 2x^2 + xy - y^2 -2 (x^2 -2xy +y^2 )]

[eqn: = 2x^2 +xy - y^2 -2x^2 +4xy -2y^2]

[eqn: = 5xy - 3y^2]

① [eqn: -3xy + y^2]	② [eqn: 5xy - 3y^2]	③ [eqn: 5xy +3y^2]

④ [eqn: 4x^2 - 3xy + y^2]	⑤ [eqn: 4x^2 +5xy + y^2]

▶2013년 6월 교육청)[2점]

[eqn: x=2 sqrt {3} `], [eqn: y= sqrt {5} `]일 때 [eqn: (x+y)(x-y)]의 값은?

정답 ②

[eqn: x=2root3], [eqn: y=root5`]이므로

[eqn: (x+y)(x-y)][eqn: =x^2 -y^2][eqn: =(2root3 )^2 -( root5 )^2][eqn: =12-5][eqn: =7]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 9`]

④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

▶2009년 05월 경기교육청[2점]

[eqn: (x+2y)(3x+y)-(3x ^{2} -xy+2y ^{2} )]을 간단히 한 것은?

정답 ③

(준 식)=[eqn: (3x ^{2} +7xy+2y ^{2} )-(3x ^{2} -xy+2y ^{2} )=8xy]

① [eqn: 5y ^{2}]	② [eqn: 6xy]	③ [eqn: 8xy]
④ [eqn: x ^{2} +6xy]	⑤ [eqn: x ^{2} +8xy]

▶2009년 11월 경기교육청[2점]

다항식 [eqn: LEFT ( x -1RIGHT ) (x+1)(x ^{2} +1)+1 `]을 간단히 한 것은?

정답 ①

[eqn: LEFT ( x -1RIGHT ) (x+1)(x ^{2} +1)+1 = LEFT ( x^2 -1 RIGHT ) LEFT ( x^2 +1 RIGHT )+1]

[eqn: = LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) +1]

[eqn: =x ^{4}]

① [eqn: x^4]	② [eqn: x^4 -1]	③ [eqn: x^4 +1]

④ [eqn: x^4 +x^2 -1]	⑤ [eqn: x^4 +x^2 +1]

▶2007년 10월 국가수준[2점]

[eqn: (2x-3y+z) ^{2} `]을 전개하였을 때, [eqn: xz`]의 계수는?

정답 ⑤

[eqn: (2x-3y+z) ^{2} `][eqn: =(2x-3y+z)(2x-3y+z)]

[eqn: =4x^2 + 9y^2 +z^2 -12xy+4xz-6yz]

그러므로 [eqn: xz]의 계수는 [eqn: 4]

① [eqn: -4`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 0`]
④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

▶2006년 11월 [2점]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: (ax-1) ^{3} `]의 전개식에서 모든 항의 계수의 합이 [eqn: 64`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ④

[eqn: (ax-1) ^{3}```=a ^{3} x ^{3} `-`3a ^{2} x ^{2} `+3ax`-1]이므로

모든 항의 계수의 합은 [eqn: a ^{3} -3a ^{2} +3a-1=64``]

⇒  [eqn: a ^{3} -3a ^{2} +3a-65=0```]

⇒  [eqn: (a-5)(a ^{2} +2a+13)=0````]

따라서, 만족하는 실수 [eqn: a=5]

［별해］다항식 [eqn: f(x)]의 모든 항의 계수의 합은 [eqn: f(1)]과 같으므로

[eqn: (ax-1) ^{3} ``]의　모든　항의　계수의　합은 [eqn: (a-1) ^{3}]이다.

[eqn: (a-1) ^{3} `=`64``]

따라서, 만족하는 실수 [eqn: a=5]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2005년 9월 서울시교육청[2점]

[eqn: a+b`=`3`], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =11`]일 때, [eqn: ab`]의 값은?

정답 ②

[eqn: (a+b) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +2ab] 에서

[eqn: ab`=` {1} over {2} LEFT { (a+b) ^{2} -(a ^{2} +b ^{2} ) RIGHT }][eqn: =` {1} over {2} (9-11)`=`-1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2009년 03월 서울교육청[2점]

[eqn: x=5 sqrt {2} `], [eqn: y=2 sqrt {5}`]일 때, [eqn: (2x+y)(2x-y)`]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: (`2x+y``)(`2x-y`)`= (2 x) ^{2} -y ^{2} `]

[eqn: =`4x ^{2} `-`y` ^{2} `]

[eqn: =4 TIMES (5 sqrt {2} ) ^{2} -(2 sqrt {5} ) ^{2}]

[eqn: `=`4 TIMES 50-20`][eqn: =`180`]

① [eqn: 100]　　	② [eqn: 120]　　	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 160]　　	⑤ [eqn: 180]

▶2012년 11월 경기도 [2점]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: a+b+c=4], [eqn: ab+bc+ca=5]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은?

정답 ①

[eqn: a ^{`2} +b ^{`2} +c ^{`2} =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)]

[eqn: =16-10=6]

따라서 [eqn: a ^{`2} +b ^{`2} +c ^{`2} =6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

▶2007년 11월 교육청[2점]

[eqn: a=2+ sqrt {3}], [eqn: b=2- sqrt {3}]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: a+b=4], [eqn: ab=1`]이므로

[eqn: a^2 +b^2 =(a+b)^2 -2ab=4^2 -2times 1=14]

①   [eqn: 10]	② [eqn: 6 root 3]	③   [eqn: 12]
④ [eqn: 8 root 3]	⑤   [eqn: 14]

▶2011년 08월 경찰대[2점]

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z} =0], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =2]일 때, [eqn: LEFT ( x+y+z RIGHT ) ^{12}]의 값은?

정답 ⑤
[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z}][eqn: ={ xy+yz+zx} over { xyz}=0``]에서 [eqn: xy+yz+zx=0]
∴ [eqn: (x+y+z)^2 = x^2 +y^2 +z^2 =2]
∴ [eqn: (x+y+z)^12`][eqn: = left{(x+y+z)^2 right}^6 = 2^6 = 64]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

▶2005년 10월 평가원[2점]

다항식[eqn: (x+a)(x^2 -3x +2)``]의 전개식에서 상수항이[eqn: -4```]일 때, [eqn: x^2] 의 계수는? (단, [eqn: a``]는 상수)

정답 ①

다항식[eqn: (x+a)(x^2 -3x +2)]의 전개식에서

상수항은 [eqn: 2a`=`-4~~~``∴~a`=`-2``]

따라서 [eqn: (x-2)(x^2 -3x +2)]의 전개식에서 [eqn: x^2``]의 계수는

[eqn: -3`-`2`=`-5``]이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2014년 09월 인천[3점]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: (ax+2) ^{3} +(x-1) ^{2} `]을 전개한 식에서 [eqn: x`]의 계수가 [eqn: 34`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 다항식의 곱셈 계산하기

주어진 다항식을 전개하면

[eqn: a ^{3} x ^{3} +(6a ^{2} +1)x ^{2} +(12a-2)x+9]

[eqn: x`]의 계수가 [eqn: 34]이므로 [eqn: 12a-2=34]

따라서 [eqn: a=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

▶2014년 06월 평가원[3점]

[eqn: (`2x`+`y`-`1`) ^{2} `=`3`]을 만족시키는 [eqn: x`,``y`]에 대하여

정답 ②

[출제의도] 다항식의 곱셈공식 이해하기

곱셈공식 [eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab+2bc+2ca]이므로

[eqn: LEFT ( 2x+y-1 RIGHT ) ^{2} =3]의 좌변을 전개하면

[eqn: 4x ^{2} +y ^{2} +(-1) ^{2} +4xy-2y-4x=3]이다.

따라서 [eqn: 4x ^{2} +y ^{2} +4xy-4x-2y=2]이다.

[다른풀이]

[eqn: 2x+y-1=`+-sqrt`of3]이므로 [eqn: 2x+y `=`1+-sqrt`of3]이다.

식의 양변을 제곱하면

[eqn: (2x+y)^2 =(1+-sqrt`of3 )^2]이므로

[eqn: 4x^2 + 4xy + y^2 = 4+-2sqrt`of3]이다.

주어진 식

[eqn: 4x^2 + y^2 +4xy -2y-4x]

[eqn: = (4x^2 + 4xy + y^2 )-2(2x+y)]

[eqn: =(4+-2sqrt`of3 )-2(1+-sqrt`of3 )] (복호동순)

[eqn: =2]이다.

[eqn: 4x ^{2} `+`y ^{2} `+`4xy`-`4x`-`2y`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2009년 05월 경기교육청[3점]

단항식의 계산으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

지수법칙을 적용하면
ㄱ. [eqn: x ^{2} TIMES x ^{5} =x ^{2+5} =x ^{7}]   (참)
ㄴ. [eqn: LEFT ( x ^{5} RIGHT ) ^{2} =x ^{5 TIMES 2} =x ^{10}]  (참)
ㄷ. [eqn: LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{3} ÷ LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{2} =x ^{6} ÷x ^{6} =1]  (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: x ^{2} TIMES x ^{5} =x ^{7}]

ㄴ. [eqn: LEFT ( x ^{5} RIGHT ) ^{2} =x ^{10}]

ㄷ. [eqn: LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{3} ÷ LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{2} =1](단, [eqn: x != 0])

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ ,ㄷ

▶2005년 3월 부산교육청[3점]

집합 [eqn: A= LEFT { `n vert 1`≦`n``≦`10~]인 자연수[eqn: RIGHT }] 이다.  다음 등식의 ㉠～㉫에 집합 [eqn: A`]의 어떠한 원소를 사용하여도

정답 ⑤

① [eqn: (x+3)^2 =x^2 +6x+9]

② [eqn: (x-2)^2 =(x+2)^2 -8x`]

③ [eqn: (2x+3)(2x-3)=4x^2 -9]

④ [eqn: (4x+3)(2x-1)=8x^2 +2x-3]

⑤ [eqn: -(5x+1)(-2x+3)=10x^2 -13x-3]

등식이 성립되지 않는 것은?

① [eqn: (x+㉠)^2 =x^2 +6x+㉡]

② [eqn: (x-㉢)^2 =(x+2`)^2 -㉣x]

③ [eqn: (2x+㉤)(2x-3)=㉥x^2 -9]

④ [eqn: (㉦x+3)(2x-㉧)=8x^2 +㉨x-3]

⑤ [eqn: -(㉩x+1)(-2x+㉪)=10x^2 -13x+㉫]

▶2014년 09월 인천[2점]

두 실수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: a+b=4`,~a ^{3} +b ^{3} =40`]일 때, [eqn: ab`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 곱셈 공식을 활용하여 계산하기

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)`]에서

[eqn: 40=64-12ab`]

따라서 [eqn: ab=2`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2014년 06월 평가원[2점]

다항식 [eqn: x ^{3} `-`3x ^{2} `+`2x`+`4`]를 [eqn: x`-`2`]로 나눈 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정이다.

정답 ⑤

[출제의도] 조립제법 이해하기

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
		[eqn: 2]	[eqn: box{``-2``}]	[eqn: 0]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: box{``4``}]

[eqn: a=`2 TIMES (-1)=`-2,~b=4+0=4]

따라서 [eqn: a+b=`2]이다.

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 2]			[eqn: 4]
		[eqn: 2]	[eqn: a]			[eqn: 0]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 0]		[eqn: b]

[eqn: a`+`b`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2008년 05월 경기도교육청(고1)[3점]

다음은 다항식 [eqn: x^3 + ax^2 +3x -1]을 [eqn: x-1]로 나눈 것이다. 이 때 상수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 +c^2]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

㉠에서 [eqn: ax^2 - (-x)^2 = -x^2]이므로 [eqn: a = -2]
㉡에서 [eqn: (x-1) times b = 2x+c]이므로 [eqn: b =2], [eqn: c =-2]

▶2009년 05월 경기교육청[3점]

다음은 다항식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -5x+4]를 [eqn: x-1]로 나눌 때, 몫과 나머지를 구하는 과정이다.

이 때, [eqn: B-A]를 간단히 한 것은?

정답 ④

[eqn: `````````````````` under{``` BOX{``x ^{2}} `+3x-2````````````} `# x-1`)`x ^{3} ```+2x ^{2} -5x+4# ``````````````````` under{``x ^{3} ``-````x ^{2}}# ```````````````````````````````````` BOX{``3x ^{2}} ``-`5x# `````````````````````````````````` under{``3x ^{2} `````-`3x} `# `````````````````````````````````````````````````````-`2x`+`4# `````````````````````````````````````````````````` under{`````-2x`+`2}# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````2`]
이때, [eqn: B-A=3x ^{2} -x ^{2} =2x ^{2}]이다.

① [eqn: -2x ^{2}]	② [eqn: -x ^{2}]	③ [eqn: x ^{2}]
④ [eqn: 2x ^{2}]	⑤ [eqn: 3x ^{2}]

▶2011년 10월 교육청[3점]

[eqn: 0`]이 아닌 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 1overa + 1overb =2`], [eqn: ab=2`]일 때, [eqn: a^3 +b^3 `]의 값을 구하시오. [

정답 [eqn: 40]

[eqn: { 1} over {a } + { 1} over { b} = { a+b} over {ab } = { a+b} over {2 } =2]  즉, [eqn: a+b=4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a^3 +b^3 = LEFT ( a+b RIGHT )^3 -3ab(a+b)=40]

▶2011년 06월 교육청[3점]

[eqn: x+y+z=0`], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =5`]일 때,
[eqn: x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} = {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 29]

[eqn: (x+y+z) ^{2} =x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2(xy+yz+zx)`]…㉠

[eqn: x+y+z=0`], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =5`]이므로

㉠에 각 식의 값을 대입하면 [eqn: 0 ^{2} =5+2(xy+yz+zx)`]

즉, [eqn: xy+yz+zx=- {5} over {2} `]…㉡

㉡의 양변을 각각 제곱하면 [eqn: (xy+yz+zx) ^{2`} =left(- {5} over {2} ````right ) ^{2}}]

그런데

[eqn: (xy+yz+zx) ^{2`}][eqn: =(xy) ^{2`} +(yz) ^{2`} +(zx) ^{2`} +`2(`xy ^{2`} z+`xyz ^{2} +`x ^{2} yz)]

[eqn: =(xy) ^{2`} +(yz) ^{2`} +(zx) ^{2`} +`2xyz(`y+`z+`x)]

그러므로

[eqn: x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} =(xy+yz+zx) ^{2} -2xyz(x+y+z)][eqn: = {25} over {4}]

따라서 [eqn: p=4`], [eqn: q=25`]이므로  [eqn: p+q=29]

▶2008년 03월 서울시교육청(고1)[3점]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a+b`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다.  두 변 [eqn: rm{AB}], [eqn: rm AD]의 중점이 각각 [eqn: rm M], [eqn: rmN]일 때, 다음 중 색칠한 두 정사각형의 넓이의 합을 나타낸 것은? (단, [eqn: a>b`]이고 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 내부의 선들은 각 변과 평행하거나 수직이다.)

정답 ②

색칠한 큰 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: {a+b} over {2}]

색칠한 작은 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: a- {a+b} over {2} = {a-b} over {2}]

따라서 두 정사각형의 넓이의 합은

[eqn: left( {a+b} over {2} right)^2 + left( {a-b} over {2} right)^2 = {a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 } over 4 = {a^2 + b^2 } over 2]

① [eqn: ab]	② [eqn: a ^{2}+b ^{2} } over 2]	③ [eqn: { a ^{2} +b ^{2} }over 3]

④ [eqn: a ^{2} -b ^{2} } over 2]	⑤ [eqn: a ^{2} -b ^{2} } over 3]

▶2008년 09월 서울시교육청(고1)[3점]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} =a``], [eqn: bar{rm BC it} =b``]인 직사각형 [eqn: rm A`B`C`D``]가 있다. 세 사각형 [eqn: rm A`B`F`E``], [eqn: rm G`F`C`H``], [eqn: rm `I`J`H`D```]가 모두 정사각형일 때, 사각형 [eqn: rm E`G`J`I``]의 넓이를 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대한 식으로 나타낸 것은? (단, [eqn: {3} over {2} `a``<`b``<`2`a``]이다.)

정답 ①

사각형 [eqn: rm A`B`F`E``]의 넓이 : [eqn: a ^{2}``]

사각형 [eqn: rm G`F`C`H``]의 넓이 : [eqn: (`b`-`a`) ^{2} ``]

사각형 [eqn: rm I`J`H`D``]의 넓이 : [eqn: LEFT { `a`-`(`b`-`a`)` RIGHT } ^{2} `=`(`2`a`-`b`) ^{2} ``] 이므로

사각형 [eqn: rm E`G`J`I``]의 넓이는

[eqn: a`b`- LEFT { `a ^{2} `+`(`b`-`a`) ^{2} `+`(`2`a`-`b`) ^{2} RIGHT } ``]

[eqn: =`a`b`-` LEFT { `a ^{2} `+`b ^{2} `-`2`a`b`+`a ^{2} `+`4`a ^{2} `-`4`a`b`+`b ^{2} ` RIGHT } ``]

[eqn: =`a`b`-`(`6`a ^{2} `+`2`b ^{2} `-`6`a`b`)``]

[eqn: =`-`6`a ^{2} `+`7`a`b`-`2`b ^{2} ``]

[별해]

그림에서

[eqn: rm bar{FC} `=` bar{CH} it `=`b`-`a``]

[eqn: rm bar{IJ} `=` bar{JH} `=` bar{DH} it `=`a`-`(b`-`a)`=`2a`-`b``]

[eqn: rm bar{GJ} it `=`(b`-`a)`-`(2a`-`b)`=`-3a`+`2b``]

구하는 사각형 [eqn: rm E`G`J`I``]의 넓이는

[eqn: rm bar{GJ} ` TIMES ` bar{IJ} ` it =`(2a`-`b)(-3a`+`2b)``]

[eqn: =`-6a ^{2} `+`7ab`-`2b ^{2} ``]

① [eqn: -6a ^{`2}` +`7ab`-`2b ^{2}]	② [eqn: 3a ^{2} `-`8ab`+`4b ^{2} `]

③ [eqn: -2a ^{2}` +`3ab`-`b ^{2}]	④ [eqn: 9a ^{2} `-`6ab`+`b ^{2}]

⑤ [eqn: a ^{2} `-`4ab`+`4b ^{2}]

▶2008년 06월 인천시교육청(고1)[3점]

반지름의 길이가 [eqn: x`], 높이가 [eqn: x+3`]인 원기둥 모양의 통나무가 있다. 이 통나무에서 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: x-2`], 높이가 [eqn: x`]인 원기둥을 파냈을 때, 남아 있는 통나무의 부피는?

정답 ②

(통나무의 부피)[eqn: =][eqn: pi ``x ^{2} `(`x+3)]

(파낸 원기둥의 부피)[eqn: =] [eqn: pi ``(`x-2) ^{2} `x]

(남은 부피) [eqn: =` pi ` LEFT { `x ^{2} (x+3)-(x-2) ^{2} x` RIGHT }]

[eqn: = pi `x`(x ^{2} +3x-x ^{2} +4x-4)]

[eqn: = pi `x`(7x-4)]

① [eqn: pi x^2 (x+3)]	② [eqn: pi x(7x-4)]

③ [eqn: pi x(7x+4)]	④ [eqn: pi x(2x^2 -x+4)]

⑤ [eqn: 4pi (x+3)(x-1)]

▶2009년 05월 경기교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: a+b=4]이고 [eqn: (a+1)(b+1)=1]일 때, [eqn: a ^{3} +b ^{3}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 112]

[eqn: a+b=4]이고 [eqn: (a+1)(b+1)=1]에서
[eqn: ab+a+b+1=1]이므로 [eqn: ab=-4]이다.
따라서
[eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)=4 ^{3} -3 TIMES (-4) TIMES 4][eqn: =112]이다.

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: a+b`=`5``], [eqn: ab`=`3``]일 때, [eqn: a ^{3} +b ^{3} ``]의 값을 구하시오.

정답 80

[eqn: a^3 +b^3`=(a+b)^3 -3a b (a+b) =5^3 -3 ×3×5 =80``]

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

실수 [eqn: x,``y] 에 대하여 [eqn: x+y=3], [eqn: x ^{2} +xy+y ^{2} =10] 일 때, [eqn: x ^{3} +y ^{3}] 의 값을 구하시오.

정답 36

[eqn: x ^{2`} +xy+y ^{2} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -xy=10]

[eqn: xy=-1]

∴[eqn: x ^{3`} +y ^{3} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{3} -3xy LEFT ( x+y RIGHT ) =36]

▶2012년 6월 서울교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: a+b+c=5], [eqn: ab+bc+ca=`-8`]일 때, [eqn: a ^{`2} +b ^{`2} +c ^{`2} `]의 값을 구하시오.

정답 41

다항식의 곱셈 공식을 이용하면

[eqn: LEFT ( `a+b+c` RIGHT ) ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2} +c ^{`2} +2 LEFT ( `a`b+b`c+c`a` RIGHT )]

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{`2} = LEFT ( `a+b+c` RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( `a`b+b`c+c`a` RIGHT )]

[eqn: =5 ^{2} -2 ``․`` LEFT ( -8 RIGHT )] [eqn: =41]

▶2012년 10월 인천교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: a-b=2`], [eqn: ab=1`]일 때, [eqn: a ^{`3} -`b ^{`3} `]의 값을 구하시오.

정답  14

[eqn: a ^{3} -b ^{3} =(a-b) ^{3} +3ab(a-b)`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a ^{3} -b ^{3} =14`]

▶2012년 6월 서울교육청[[eqn: 3]점]

한 모서리의 길이가 [eqn: x-1`]인 정육면체의 부피를 [eqn: A], 한 모서리의 길이가 [eqn: x+1`]인 정육면체의 부피를 [eqn: B``]라 할 때, 두 부피의 합 [eqn: A+B``]를 간단히 하면?

정답 ①

한 모서리의 길이가 [eqn: x-1`]인 정육면체의 부피 [eqn: A`]는 [eqn: A`= LEFT ( `x`-`1` RIGHT ) ^{3}]

한 모서리의 길이가 [eqn: x+1]인 정육면체의 부피 [eqn: B``]는 [eqn: B```= LEFT ( `x+1` RIGHT ) ^{3} `]

두 정육면체의 부피의 합 [eqn: A+B`]는

[eqn: A+B``= LEFT ( `x-1` RIGHT ) ^{`3} + LEFT ( `x+1` RIGHT ) ^{`3} `]

[eqn: = LEFT ( `x ^{3} -3x ^{2} +3x-1` RIGHT ) `+ LEFT ( `x ^{3} +3x ^{2} +3x+1` RIGHT )]

[eqn: =2x ^{3} +6x`]

[다른 풀이] 인수분해 공식을 이용한 방법

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( `a+b` RIGHT ) LEFT ( `a ^{2} -ab+b ^{2} ` RIGHT ) `]이므로

[eqn: A+B``= LEFT ( `x-1` RIGHT ) ^{`3} + LEFT ( `x+1` RIGHT ) ^{`3} `]

[eqn: = LEFT { LEFT ( `x-1` RIGHT ) `+ LEFT ( `x+1` RIGHT ) RIGHT } LEFT { LEFT ( `x-1` RIGHT ) ^{`2} - LEFT ( `x-1` RIGHT ) LEFT ( `x+1` RIGHT ) + LEFT ( `x+1` RIGHT ) ^{`2} RIGHT } `]

[eqn: =2x LEFT ( `x ^{2} -2x+1-x ^{2} +1+x ^{2} +2x+1` RIGHT )]

[eqn: =2x LEFT ( `x ^{2} +3` RIGHT )][eqn: =2x ^{3} +6x`]

① [eqn: 2x^3 +6x]	② [eqn: 2x^3 -6x]          ③ [eqn: 2x ^{3}]

④ [eqn: 2x^3 +6x^2 +6x+2]    ⑤ [eqn: 2x ^{3} -6x ^{2} +6x-2]

▶2012년 6월 서울교육청[[eqn: 3]점]

그림과 같이 점 [eqn: rm O`]를 중심으로 하는 반원에 내접하는 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm bar{OC} + bar{CD} `= it x+y+3]

(나) [eqn: rm ` bar{DA} + bar{AB} + bar{BO} `=it 3x+y+5]

직사각형 [eqn: RM ABCD`]의 넓이를 [eqn: x`], [eqn: y`]의 식으로 나타내면?

정답 ⑤

[eqn: rm ` bar{OC} = it `P], [eqn: rm ` bar{CD} = it Q`]라고 하면

[eqn: rm ` bar{DA} = it `2P], [eqn: rm ` bar{AB} = it Q], [eqn: rm ` bar{BO} = it P`]이고

[eqn: rm bar{OC} + bar{CD} `= it x+y+3]에서

[eqn: P``+Q=x+y+3]	[eqn: cdots`]㉠

[eqn: rm ` bar{DA} + bar{AB} + bar{BO} `= it 3x+y+5]에서

[eqn: 3P+Q```=3x+y+5`]	[eqn: cdots`]㉡

㉡-㉠에서 [eqn: 2P=2x+2]

[eqn: P=x+1`]	[eqn: cdots`]㉢

㉢을 ㉠에 대입하면  [eqn: Q=y+2`]

직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이 [eqn: S``]를 구하면

[eqn: S```][eqn: rm =` bar{DA} TIMES ` bar{AB} `] [eqn: =2P TIMES Q]  [eqn: =2(`x+1`)(`y+2`)]

① [eqn: (`x-1`)(`y+2`)]	② [eqn: (`x+1`)(`y+2`)]

③ [eqn: 2(`x-1`)(`y+2`)]	④ [eqn: 2(`x+1`)(`y-2`)]

⑤ [eqn: 2(`x+1`)(`y+2`)]

▶2006년 11월 교육청[3점]

[eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대한 다항식 [eqn: xy(x+y) -yz(y+z) -zx(z-x)`]의 인수는?

정답 ②

[eqn: xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z-x)]

[eqn: =(y+z)x ^{2} +(y ^{2} `-z ^{2} `)x-yz(y+z)`][eqn: =(y+z) LEFT { x ^{2} +(y-z)x-yz RIGHT }]

[eqn: =(y+z)(x+y)(x-z)][eqn: =(x+y)(y+z)(x-z)]

① [eqn: x-y]	② [eqn: x-z]	③ [eqn: y-z]

④ [eqn: x-y+z]	⑤ [eqn: x+y+z]

▶2014년 06월 평가원[4점]

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB`] 위의 점 [eqn: rmC`]에 대하여 선분 [eqn: rmAC`]를 한 모서리로 하는 정육면체와 선분 [eqn: rmBC`]를 한 모서리로 하는 정육면체를 만든다. [eqn: {rmbar{AB}} `=`8`]이고 두 정육면체의 부피의 합이 [eqn: 224`]일 때, 두 정육면체의 겉넓이의 합을 구하시오. (단, 두 정육면체는 한 모서리에서만 만난다.)

정답 [eqn: 240]

[출제의도] 곱셈공식을 활용한 문제해결하기

[eqn: {rm barAC} `=x], [eqn: {rm bar CB}`=y]라 하면 [eqn: x+y=8]이고, [eqn: x^3 + y^3 = 224]이다. 두 정육면체의 겉넓이의 합은 [eqn: 6(x^2 + y^2 )]이므로 [eqn: xy]의 값을 구해야 한다.

[eqn: (x+y)^3 = (x^3 + y^3 ) +3xy(x+y)]이므로 [eqn: 8^3 = 224 + 3xy`times 8]에 의해 [eqn: xy=12]이다.

[eqn: x^2 + y^2 =(x+y)^2 -2xy]를 이용하면 [eqn: x^2 +y^2 = 40]이고,

두 정육면체의 겉넓이의 합은 [eqn: 240]이다.

[다른풀이]

[eqn: {rm barAC} `=x]라 하면 [eqn: {rm bar CB}`=8-x]이므로 [eqn: x^3 +(8-x)^3 =224]
이고, [eqn: x^3 -x^3 +24x^2 -192x+512=224]이므로

[eqn: 24x^2 -192x+288=0]이다.

[eqn: x^2 -8x+12=0]이므로 [eqn: (x-6)(x-2)=0]이다.

[eqn: x=6] 또는 [eqn: x=2]이므로 두 정육면체의 변의 길이는 각각 [eqn: 6]과 [eqn: 2]이다.

따라서 두 정육면체의 겉넓이는 [eqn: 6times6^2 + 6times2^2 = 240]이다.

▶2008년 05월 경기도교육청(고1)[4점]

세 실수 [eqn: x,``y,``z]에 대하여 [eqn: ≪ x,``y,``z≫ = xy + yz +zx]라고 정의하자.
[eqn: ≪x,``x,``x≫ + ≪y,``y,``y≫+≪z,``z,``z≫ = 90]이고,
[eqn: ≪x,``1,``1≫ + ≪y,``1,``1≫+≪z,``1,``1≫ = 19]일 때,
[eqn: ≪ x,``y,``z≫]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 17]
[eqn: ≪x,``x,``x≫ + ≪y,``y,``y≫+≪z,``z,``z≫ = 90]에서
[eqn: 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 90]이므로 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 = 30]
[eqn: ≪x,``1,``1≫ + ≪y,``1,``1≫+≪z,``1,``1≫ = 19]에서
[eqn: (2x+1)+( 2y +1) +(2z+1 ) = 19]이므로 [eqn: x+y+z = 8]
[eqn: (x+y+z)^2 = x^2 +y^2 + z^2 + 2(xy +yz+ zx)]이므로
[eqn: xy + yz + zx = 17]
∴ [eqn: ≪x,``y,``z``≫ = xy +yz +zx = 17]

▶2008년 09월 서울시교육청(고1)[4점]

두 다항식 [eqn: A``=`x ^{3} `+`x`+`4``], [eqn: B```=`x`+`4``]에 대하여 [eqn: A ^{3``} -`B ^{``3``} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} ``]의 계수를 구하시오.

정답 [eqn: 48``]

주어진 조건에서 [eqn: A`=`x ^{3} `+`B```]이므로,

[eqn: A ^{3} `-`B ^{3} `=(`x ^{3} `+`B`) ^{3} `-`B ^{3}]

[eqn: =`x ^{9} `+`3`x ^{6} `B`+`3`x ^{3} `B ^{2} `+`B ^{3} `-`B ^{3}]

[eqn: =`x ^{9} `+`3`x ^{6} `B`+`3`x ^{3} `B ^{2}]

여기서, [eqn: x ^{3`}]의 항은 [eqn: 3`x ^{3} `B ^{2}]에만 존재한다.

[eqn: 3`x ^{3} `B ^{2} ``=`3`x ^{3} ``(`x`+`4`) ^{2} `=`3`x ^{3} `(`x ^{2} ``+``8x`+`16)``]이므로

[eqn: 3`x ^{3} `B ^{2}]의 [eqn: x ^{3`}]의 계수는 [eqn: 3` TIMES `16``=``48``]이다.

따라서 구하는 [eqn: x ^{3} ``]의 계수는 [eqn: 48``]이다.

▶2012년 9월 인천시교육청(고1)[4점]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 8`]인 원 [eqn: rmO`]의 내부에 반지름의 길이가 각각 [eqn: r _{1} `], [eqn: r _{2} `], [eqn: r _{3} `]인 세 원 [eqn: rm O _{1} `], [eqn: rm O _{2} `], [eqn: rm O _{3} `]이 있다. 네 원 [eqn: rm O`], [eqn: rm O _{1} `], [eqn: rm O _{2} `], [eqn: rm O _{3} `]의 중심이 한 직선 위에 있고 원 [eqn: rm O _{1} `], [eqn: rm O _{3} `]은 각각 원 [eqn: rm O`]와 내접하며 원 [eqn: rm O _{2} `]는 원 [eqn: rm O _{1} `], [eqn: rm O _{3} `]과 동시에 외접한다. 원 [eqn: rm O _{1} `], [eqn: rm O _{2} `], [eqn: rm O _{3} `]의 넓이의 합이 어두운 부분의 넓이와 같을 때, [eqn: r _{1} r _{2} +r _{2} r _{3} `+r _{3} r _{1}]의 값을 구하시오.  (단, 원 [eqn: rm O _{1} `], [eqn: rm O _{2} `], [eqn: rm O _{3} `]의 중심의 위치는 서로 다르다.)

정답　16

[eqn: r _{1} +r _{2} +r _{3} =8`]이고, 어두운 부분과 원 [eqn: rm O _{1} ``], [eqn: rm `O _{2} `], [eqn: rm `O _{3} `]의 넓이의 합이 같으므로 원 [eqn: rm O _{1} ``], [eqn: rm `O _{2} `], [eqn: rm `O _{3} `]의 넓이의 합은 원 [eqn: rm O]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]이다. 즉, [eqn: pi r _{1} ^{`2} + pi r _{2} ^{`2} + pi r _{3} ^{`2} = {1} over {2} TIMES 64 pi `]이다.

[eqn: THEREFORE ``r _{1} ^{`2} +r _{2} ^{`2} +r _{3} ^{`2} ``=32`]

[eqn: r _{1} r _{2} +r _{2} r _{3} +r _{3} r _{1} `]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( r _{1} +r _{2} +r _{3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( r _{1} ^{`2} +r _{2} ^{`2} +r _{3} ^{`2} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 64-32 RIGHT ) =16]

▶2012년 3월 부산시교육청(고1)[4점]

한 변의 길이가 [eqn: p`]인 정사각형과 세 변의 길이가 각각 [eqn: a,~b,~c`]인 직각삼각형이 있다. 직각삼각형의 빗변의 길이가 [eqn: c`]이고  [eqn: c`=`a+2`]를 만족한다. 다음은 ‘두 도형의 넓이가 같으면 [eqn: a,~b,~p`] 중 적어도 하나는 정수가 아니다.’라는 것을 증명하는 과정이다.

[증명]

두 도형의 넓이가 같으므로 [eqn: ab``=`] 이다.

(가)

[eqn: a ^{2} ``+`b ^{2} ``=c ^{2} `]이므로 [eqn: b ^{2} `=`] 이고

(나)

[eqn: 8`p ^{2} =] 이다.

(다)

여기서 [eqn: a,~b,~p`]를 모두 정수라 하면,

[eqn: b ^{2} `=`] 에서 [eqn: b`]는 짝수이므로  [eqn: b=2b']( [eqn: b prime`]은 자연수)라 할 때,

(나)

[eqn: p ^{2} `=` {2b prime } over {2} ` TIMES {2b prime +2} over {2} ` TIMES ` {2b prime -2} over {2}`=`b prime `(b prime +1)(b prime -1)`]이 된다.

우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 [eqn: a,~b,~p`] 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(p)], [eqn: g(a)], [eqn: h(b)`]라 할 때, [eqn: f(1)+g(2)+h(3)`]의 값은?

정답 ③

정사각형의 넓이와 직각 삼각형의 넓이가 같으므로

[eqn: ab=]이고 직각 삼각형에서

(가)=[eqn: 2p ^{2}]

[eqn: a ^{2} ``+`b ^{2} ``=c ^{2}`]이므로 [eqn: b ^{2} `=`] 이고

(나)=[eqn: 4a+4]

[eqn: 8p ^{2} =4ab][eqn: =b`(`b ^{2} `-4)`=`] 이다.

(다)=[eqn: b`(`b+2)(b-2)`]

여기서 [eqn: a,~b,~p`]가 모두 정수라 하면,

[eqn: b ^{2} `=`] 에서 [eqn: b`]는 짝수이므로 [eqn: b=2b']

(나)=[eqn: 4a+4]

([eqn: b prime`]은 자연수)라 할 때

[eqn: p ^{2} `=` {2b prime } over {2} `․ {2b prime +2} over {2} `․` {2b prime -2} over {2}]= [eqn: b prime `(b prime +1)(b prime -1)`]가 된다. 우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다. 따라서 모순이다. 그러므로 [eqn: a,~b,~p`] 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

그러므로 [eqn: f(p)=2p^2], [eqn: g(a)=4a+4],

[eqn: h(b)=b LEFT ( b+2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT )`]이다.

[eqn: THEREFORE ``][eqn: f(1)+g(2)+h(3)`=`29]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]
④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

▶2005년 10월 인천시[4점]

[eqn: x`+`y`=`-1], [eqn: x ^{2} ``+``y ^{2`} `=`-1] 일 때,  [eqn: x ^{2005} ``+``y ^{2005} `]
의 값은?

정답 ②

[eqn: x ^{2} `+`y ^{2} `=`(x`+`y`) ^{2} `-2xy`이므로`````xy`=`1]

[eqn: x`+`y`=`-1`이고`````xy=1`이므로``]

[eqn: x,``y] 를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t ^{2} `+`t`+`1`=`0``이다.]양변에 [eqn: t-1]을 곱하면 [eqn: t ^{3} ``=1]

[eqn: x,```y] 가 두 근이므로 [eqn: x ^{3} `=`1,````y ^{3} `=`1]

[eqn: THEREFORE ````x ^{2005} `+`y ^{2005} `=(x ^{3} ) ^{668} x`+(y ^{3} ) ^{668} y][eqn: =x+y=-1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2005년 3월 부산시[4점]

[eqn: x-y=1,~ y-z=2] 일 때,
[eqn: (x-y`)^2 +(y-z`)^2 + (x-z`)^2 ``] 의 값을 구하면?

정답 ①

[eqn: x - y =`1``]…①   [eqn: y-z=`2``]…② 에서

① + ② : [eqn: x-z=`3``]

[eqn: therefore ```(x-y`)^2 +(y-z`)^2 +(x-z`)^2]

[eqn: =``1^2 +2^2 + 3^2 `=`14``]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

▶2011년 06월 서울시교육청[4점]

원 [eqn: rm O`]에 내접하는 정사각형
[eqn: rm ABCD`]의 내부에 한 점 [eqn: rm P`]를 잡는다. 그림과 같이 점 [eqn: rm P`]를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 [eqn: rm E`], [eqn: rm F`], [eqn: rm G`], [eqn: rm H`]라 하자. 다음은  네 직사각형 [eqn: rm AEPH], [eqn: rm EBFP], [eqn: rm PFCG], [eqn: rm HPGD]의 외접원의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} `], [eqn: S _{2} `], [eqn: S _{3} `], [eqn: S _{4} `]라 할 때, [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]의 값이 원 [eqn: rm O`]의 넓이보다 크거나 같음을 증명한 것이다.

정답 ④

[eqn: rm bar{AH} = it x`], [eqn: rm bar{HD} = it y`], [eqn: rm bar{DG} = it u`], [eqn: rm bar{GC} = it v`]라 하자
그러면 [eqn: x+y=u+v`]이고, 직사각형 [eqn: rm AEPH`]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} sqrt {x ^{2} +u ^{2}} `]이므로 직사각형 [eqn: rm AEPH`]의 외접원의 넓이 [eqn: S _{1} `]은 [eqn: S _{1} `][eqn: = {pi } over {4} LEFT ( x ^{2} +u ^{2} ` RIGHT ) `]이다.

또, 직사각형 [eqn: rm EBFP`]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} sqrt {x ^{2} +v ^{2}} `]이므로 직사각형 [eqn: rm EBFP`]의 외접원의 넓이 [eqn: S _{2} `]는

[eqn: S _{2} `][eqn: = {pi } over {4} LEFT ( x ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `]이다.

마찬가지로 직사각형 [eqn: rm PFCG`]의 외접원의 넓이 [eqn: S _{3} `]은

[eqn: S _{3} `][eqn: = {pi } over {4} LEFT ( y ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `]이고, 직사각형 [eqn: rm HPGD`]의 외접원의 넓이 [eqn: S _{4} `]는

[eqn: S _{4} `][eqn: = {pi } over {4} LEFT ( y ^{2} +u ^{2} ` RIGHT ) `]이다.

따라서

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `][eqn: = {pi } over {4} LEFT ( x ^{2} +u ^{2} ` RIGHT ) `][eqn: + {pi } over {4} LEFT ( x ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `][eqn: + {pi } over {4} LEFT ( y ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `]

[eqn: + {pi } over {4} LEFT ( y ^{2} +u ^{2} ` RIGHT ) `]

[eqn: = {pi } over {4} LEFT ( x ^{2} +u ^{2} +x ^{2} +v ^{2} +y ^{2} +v ^{2} +y ^{2} +u ^{2} ` RIGHT ) `][eqn: = {pi } over {4} LEFT ( 2x ^{2} +2y ^{2} +2u ^{2} +2v ^{2} ` RIGHT ) `]

[eqn: = {pi } over {2} LEFT ( x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `]

∴ (가)에 들어갈 값은 [eqn: {pi } over {2} `]이다.

한편 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 대각선이 원 [eqn: rm O`]의 지름이므로 원 [eqn: rm O`]의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {2}over2 (x+y)`]이다.

따라서 원 [eqn: rm O`]의 넓이는 [eqn: {pi } over {2} LEFT ( x+y` RIGHT ) ^{2} `]이다.

∴ (나)에 들어갈 값은 [eqn: {pi } over {2} `]이다.

또, [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]-[eqn: {pi } over {2} LEFT ( x+y` RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: = {pi } over {2} (x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )- {pi } over {2} (x+y) ^{2}]

[eqn: = {pi } over {4} LEFT { 2(x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )-2(x+y) ^{2} RIGHT } `]

한편 [eqn: 2(x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )-2(x+y) ^{2}]

[eqn: =2(x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )-2(x+y)(u+v)]

[eqn: =2(x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )-2(xu+xv+yu+yv)][eqn: =(x-u) ^{2`} +(x-v) ^{2} +(y-u) ^{2} +(y-v) ^{2} `][eqn: GEQ 0`]

∴ (다)에 들어갈 값은 [eqn: 2`]이다.

따라서 [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]의 값은 [eqn: x=y=u=v]일 때 최소이고 원 [eqn: rm O`]의 넓이와 같다.

그러므로 [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]의 값은 원 [eqn: rm O`]의 넓이보다 크거나 같다.

∴ (가), (나), (다)에 들어갈 값을 모두 더하면 [eqn: pi +2`]이다.

	<증 명>
[eqn: rm bar{AH} = it x`], [eqn: rm bar{HD} = it y`], [eqn: rm bar{DG} = it u`], [eqn: rm bar{GC} = it v`]라 하면 [eqn: x+y=u+v]이다. 또, [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4}= box { ~~㈎~~}][eqn: LEFT ( x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} ` RIGHT ) `]이고 원 [eqn: rm O`]의 넓이는 [eqn: box { ~~㈏~~} LEFT ( x+y` RIGHT ) ^{2} `]이다. 한편 [eqn: 2(x ^{2} +y ^{2} +u ^{2} +v ^{2} )- box { ~~㈐~~} (x+y) ^{2}] [eqn: =(x-u) ^{2`} +(x-v) ^{2} +(y-u) ^{2} +(y-v) ^{2} `][eqn: GEQ 0`] 이므로 [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} +S _{4} `]의 값은 원 [eqn: rm O`]의 넓이보다 크거나 같다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 모두 더하면?

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: pi +1`]

④ [eqn: pi +2]	⑤ [eqn: 2pi+2 `]

▶2013년 6월 교육청[4점]

그림과 같이 크기가 다른 직사각형 모양의 색종이 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]가 각각 [eqn: 5`]장, [eqn: 11`]장, [eqn: 8`]장 있다.

정답 [eqn: 24``].

[eqn: sqrt {3} =x]라고 하면

[eqn: rmA] 색종이 한 장의 넓이는 [eqn: x^2]

[eqn: rmB] 색종이 한 장의 넓이는 [eqn: 2x]

[eqn: rmC] 색종이 한 장의 넓이는 [eqn: 1]

[eqn: rmA] 색종이 [eqn: 5]장, [eqn: rmB] 색종이 [eqn: 11]장, [eqn: rmC] 색종이 [eqn: 8]장을 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 만든 직사각형의 넓이는 [eqn: 5x ^{2} +22x+8`]이다.

이 식을 자연수 계수를 갖는 두 일차식의 곱으로 표현하면

[eqn: 5x^2 + 22x + 8 = (5x+2 ) (x+4)]

즉, 직사각형의 두 변의 길이는

[eqn: 5x+2], [eqn: x+4`]

로 나타낼 수 있다.

∴ 구하는 직사각형의 둘레의 길이는

[eqn: 2(5x+2)+2(x+4)=10x+4+2x+8]

[eqn: =12x+12]

[eqn: =12+12 sqrt {3}]

따라서 [eqn: a=12], [eqn: b=12]이고 [eqn: a+b=24]

[참고]

색종이 [eqn: 24 `]장 각각의 넓이의 합 [eqn: S`]는

[eqn: S=][eqn: 5`cdot( sqrt {3} ` TIMES sqrt {3} )+11 cdot(2 TIMES sqrt {3} )+8 cdot(1 TIMES 1)`]

[eqn: =5` cdot left ( sqrt {3} `right) ^{2} +22 cdot left( sqrt {3} right )+8`]

[eqn: =left(5 sqrt {3} +2 right) left( sqrt {3} +4 right)]

이므로 [eqn: 5 sqrt {3} +2 `]와 [eqn: sqrt {3} +4`]를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이 [eqn: LEFT ( 5 sqrt {3} +2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {3} +4 RIGHT )`]와 같다.

따라서 24장의 색종이를 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙인 직사각형의 두 변의 길이는 [eqn: 5 sqrt {3} +2 `]와 [eqn: sqrt {3} +4`]이다.

이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 [eqn: a+b sqrt { 3}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이다.)

▶2013년 06월 교육청[4점]

두 다항식 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: left<A,`B right>`]를

정답 ①

[eqn: <A,``B> = A ^{2} +AB+B ^{2}]의 양변에 [eqn: left(A-B `right)`]를 곱하면

[eqn: LEFT ( A-B `RIGHT ) TIMES <A,`B> = LEFT ( A-B` RIGHT ) LEFT ( A ^{2} +AB+B ^{2} RIGHT )]

[eqn: =A^3 -B``^3]

이 식에 [eqn: A=x^2 +x+1`], [eqn: B=x^2 +x`]를 대입하면

[eqn: A-B= left( x^2 +x+1 right) - left( x^2 +x right ) =1]이므로

[eqn: 1 TIMES LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{3}]

[eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{3}]

우변을 정리하면

[eqn: LEFT { x ^{2} +(x+1) RIGHT } ^{3} -(x ^{2} +x) ^{3}]

[eqn: =x ^{6} +3x ^{4} (x+1)+3x ^{2} (x+1) ^{2} +(x+1) ^{3} -(x ^{2} +x) ^{3}]

[eqn: (x+1)^3] 이외의 항에는 차수가 이차 이상인 항들이 곱해져 있으므로 일차항이 나올 수 없다.

그러므로 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는 [eqn: (x+1)^3]의 [eqn: x`]의 계수와 일치한다.

[eqn: (x+1) ^{3} =x^3 +3x^2 +3x+1`]에서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 3]이다.

따라서 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 3]

[다른 풀이]

[eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =3x^4 +6x^3 +6x^2 +3x+1]

따라서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 3]

[다른 풀이]

다항식 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수를 구할 때, 이차항인 [eqn: x ^{2}`]은 의미를 갖지 않는다. 그러므로 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수와 [eqn: LEFT < x+1,``x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는 같다.

[eqn: LEFT < x+1,``x RIGHT >`]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수를 구하면

[eqn: LEFT < x+1,``x RIGHT >`][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{3} -x ^{3}`]

[eqn: =x ^{3} +3x ^{2} +3x+1-x ^{3}`]

[eqn: =3x ^{2} +3x+1`]

따라서 [eqn: x`]의 계수는 [eqn: 3 `]

[eqn: LEFT < A,`B RIGHT > = A ^{2} +AB+B ^{2}]

으로 정의할 때, 다항식 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT > `]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는?

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 11`]

▶2013년 06월 교육청[4점]

세 실수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]가 다음 조건을 만족시킨다.

정답 [eqn: 135``]

조건 (가)에서 [eqn: (x-3)`(y-3)`(2z-3)=0~~ CDOTS `] ㉠

조건 (나)에서 [eqn: ``3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx~ CDOTS `]㉡

㉠에서

[eqn: (x-3)`(y-3)`(2z-3)`]

[eqn: =(xy-3x-3y+9)(2z-3)`]

[eqn: =2xyz-6xz-6yz+18z-3xy+9x+9y-27`]

[eqn: =2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27``=0]

㉡을 이 식에 대입하면

[eqn: 2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27``]

[eqn: =2xyz-3 left {3(x+y+2z) right}+9(x+y+2z)-27``]

[eqn: =2xyz-9(x+y+2z) +9(x+y+2z)-27``]

[eqn: =2xyz-27``=0]

그러므로 [eqn: xyz= {27} over {2}]

따라서 [eqn: 10xyz=135`]

[다른 풀이]

[eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: 2z`] 중에서 적어도 하나는 [eqn: 3]이다. (나)의 식에서 [eqn: 3(x+y+2z)=xy+y(2z)+(2z)x`]이므로 [eqn: x`=3`]을 조건 (나)의 식에 대입하여 문제를 풀어도 일반성을 잃지 않는다.

그러므로 [eqn: x=3`]이라고 가정하면

[eqn: 3(x+y+2z)=3(3+y+2z)]

[eqn: =9+3y+6z]

[eqn: xy+2yz+2zx`=`3y+2yz+6z]

이므로

[eqn: 9+3y+6z=`3y+2yz+6z]

∴ [eqn: 9=`2yz]

따라서 [eqn: 10xyz=10`times`3times`9over2]

[eqn: =135]

(가) [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: 2z`] 중에서 적어도 하나는 [eqn: 3]이다.

(나) [eqn: 3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx`]

[eqn: 10xyz]의 값을 구하시오.

▶2013년 9월 인천청[4점]

두 실수 [eqn: a,````b`]에 대하여 [eqn: a ^{3} =9-4 sqrt {5} ,````b ^{3} =9+4 sqrt {5} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 3]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =18,````a ^{3} b ^{3} =1`]에서 [eqn: ab=1]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT ) =18]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a+b=t`]([eqn: t`]는 실수)라 하면 ㉠에서

[eqn: t ^{3} -3t-18= LEFT ( t-3 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} +3t+6 RIGHT ) =0]

따라서 실수 [eqn: t=a+b=3]

▶2007년 05월 교육청[4점]

[eqn: x+y=2], [eqn: x^2 +y^2 =6```]을 만족하는 두 실수 [eqn: x,``y```]에 대하여  [eqn: x^7 +y^7```]의 값은?

정답 ④

[eqn: x^2 +y^2 &= (x+y)^2 -2xy]
[eqn: 6= 2^2 -2xy ~~~~~~~~~~~~~~~~~]
[eqn: thereforexy=-1]

[eqn: x^3 +y^3 &= (x+y)^3 - 3xy(x+y)]
[eqn: =2^3 +3 times 2 =14]

[eqn: x^4 +y^4 &= (x^2 +y^2 )^2 -2x^2 y^2]
[eqn: = 6^2 -2= 34]

[eqn: x^7 +y^7 &=( x^3 + y^3 )(x^4 +y^4 ) -x^3 y^3 (x+y)]
[eqn: = 14 times 34 + 2 = 478]

① [eqn: 34]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 198]
④ [eqn: rm 478]	⑤ [eqn: rm 1054]

▶20년 월 인천교육청[4점]

다음은 [eqn: x={b-c}over{1+bc}], [eqn: y={c-a}over{1+ca}], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 일 때,	[eqn: x+y+z=BOX{``(가)``}]  임을 증명하는 과정이다.

정답 ①

[eqn: x={b-c}over{1+bc}] 에서 [eqn: (1+bc)x=b-c] 이고,

정리하면 [eqn: (bx+1)c=b-x]  … ①

같은 방법으로

[eqn: y={c-a}over{1+ca}] 에서 [eqn: (ay-1)c =-a-y]  … ②

①과 ②에서

[eqn: (a+y)(bx+1)c =][eqn: (x-b)(ay-1)c]  … ③

(ⅰ) ③에서 [eqn: c!=0]이면

[eqn: (a+y)(bx+1)=][eqn: (x-b)(ay-1)] 이고 정리하면

[eqn: (ab+1)(x+y)=][eqn: (a-b)(xy-1)]

[eqn: ab+1!=0] 이므로 [eqn: x+y= {a-b} over {ab+1} (xy-1)]

[eqn: x+y+z=xyz]

(ⅱ) ③에서 [eqn: c=0] 이면

[eqn: x=b], [eqn: y=`-a], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 이므로

[eqn: x+y+z=xyz]

따라서 [eqn: x= {b-c} over {1+bc}], [eqn: y={c-a}over{1+ca}], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 일 때, [eqn: x+y+z=xyz] 이다.

[증명]

[eqn: x={b-c}over{1+bc}] 에서 [eqn: (1+bc)x=b-c] 이고,

정리하면 [eqn: (bx+1)c=b-x]               …… ①

같은 방법으로

[eqn: y={c-a}over{1+ca}] 에서 [eqn: (ay-1)c =-a-y]      …… ②

①과 ②에서

[eqn: (a+y)(bx+1)c = BOX{``(나)``}][eqn: (ay-1)c]        …… ③

(ⅰ) ③에서 [eqn: c!=0] 이면

[eqn: (a+y)(bx+1)=][eqn: BOX{``(나)``}(ay-1)] 이고 정리하면

[eqn: (ab+1)(x+y)=][eqn: BOX{``(다)``}(xy-1)]

[eqn: ab+1!=0] 이므로 [eqn: x+y={ BOX{``(다)``}} over {ab+1}(xy-1)]

[eqn: x+y+z=BOX{``(가)``}]

(ⅱ) ③에서 [eqn: c=0] 이면

[eqn: x=b], [eqn: y=`-a], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 이므로

[eqn: x+y+z=BOX{``(가)``}]

따라서 [eqn: x={b-c}over{1+bc}], [eqn: y={c-a}over{1+ca}], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 일 때,

[eqn: x+y+z=BOX{``(가)``}]        이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)		(나)		(다)
①	[eqn: xyz]		[eqn: x-b]		[eqn: a-b]
②	[eqn: xyz]		[eqn: b-x]		[eqn: a-b]
③	[eqn: xyz]		[eqn: x-b]		[eqn: a+b]
④	[eqn: xy+yz+zx]		[eqn: x-b]		[eqn: a-b]
⑤	[eqn: xy+yz+zx]		[eqn: b-x]		[eqn: a+b]

▶2013년 6월 교육청[4점]

두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]([eqn: a>b])에 대하여 그림과 같은 직육면체 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S], [eqn: rm T`]의 부피를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s], [eqn: t`]라 하자.

정답 ⑤

입체도형 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R], [eqn: \S], [eqn: \T`]의 부피가 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s], [eqn: t`]이므로

[eqn: p=a^3], [eqn: q=b^3], [eqn: r=a^2], [eqn: s=b^2], [eqn: t=ab(a-b)]

[eqn: p=q+r+s+t`]이므로

[eqn: a ^{3} =b ^{3} `+a ^2 `+ b ^{2} +ab(a-b)]

[eqn: a^3 -b^3 -a^2 -b^2 -ab(a-b)=0]

[eqn: (a-b)(a^2 +ab +b^2 )-(a^2 +b^2 ) -ab (a-b)=0]

[eqn: (a-b)(a^2 +b^2 ) -(a^2 +b^2 )=0]

[eqn: (a -b-1)(a^2 +b^2 )=0]

[eqn: a^2 +b^2 !=0`]이므로 [eqn: a-b-1 =0]

따라서 [eqn: a-b=1]

[다른 풀이]

문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다.

그러므로

[eqn: a^3 -b^3 -a^2 -b^2 -ab(a-b)=0]의 좌변을 모두 전개한 후 [eqn: a]에 대하여 정리하면

[eqn: a^3 -b^3 -a^2 -b^2 -ab(a-b)]

[eqn: =a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{3} -b ^{2}]

[eqn: =a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{2} (b+1`)]

[eqn: f(x)=x ^{3} -(b+1)x ^{2} +b ^{2} x-b ^{2} (b+1`)]이라고 놓으면

[eqn: f(b+1)=(b+1) ^{3} -(b+1)(b+1) ^{2} +b ^{2} (b+1)-b ^{2} (b+1)=0]

그러므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-b-1]을 인수로 갖는다.

	[eqn: 1]	[eqn: -b-1]	[eqn: b ^{2}]	[eqn: -b ^{2} (b+1)]
[eqn: b+1]		[eqn: b+1]	[eqn: 0]	[eqn: b ^{2} (b+1)]
	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: b ^{2}]		[eqn: 0]

[eqn: f(x)]는 [eqn: (x-b-1)(x ^{2} +b ^{2} )]으로 인수분해 된다.

[eqn: f(x)]에 [eqn: a]를 대입하면 [eqn: (a-b-1)(a ^{2} +b ^{2} )]

즉, [eqn: a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{2} (b+1`)=(a-b-1)(a ^{2} +b ^{2} )]으로

인수분해 된다.

[eqn: a ^{3} -(b+1)a ^{2} +b ^{2} a-b ^{2} (b+1`)=0]에서

[eqn: (a-b-1)(a ^{2} +b ^{2} )=0]

[eqn: a>0`,``b>0]이므로 [eqn: a^2 +b^2 >0]

양변을 [eqn: a^2 +b^2`]으로 나누면 [eqn: a-b-1=0]

따라서 [eqn: a-b=1]

[eqn: p=q+r+s+t`]일 때, [eqn: a-b`]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1`]

▶2011년 09월 인천교육청[4점]

[eqn: rm bar{AB} = bar{AC} =4`]인 이등변삼각형 [eqn: rm `ABC`]가 있다. 그림과 같이 변 [eqn: rm AB`]위에 두 점 [eqn: rm L _{1} `], [eqn: rm L _{2} `]를 잡고, 점 [eqn: rm L _{1} `], [eqn: rm L _{2} `]에서 변 [eqn: rm AC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm M _{1} `], [eqn: rm M _{2} `]라 하고, 또한 점 [eqn: rm M _{1} `], [eqn: rm M _{2} `]에서 변 [eqn: rm AB`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AC`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm N _{1} `], [eqn: rm N _{2} `]라 하자.

정답 [eqn: 15]

[eqn: rm bar{AL _{1}} ``=` it a``(a>0)`]라 하면, [eqn: bar{rm N _{1} M _{1} it} = bar{rm N _{1} C it} `=a`],

[eqn: bar{rm AL _{1} it} cdotbar{rm L _{2} B it} `=1]이므로 [eqn: rm bar{L _{2} B} ``= it ` {1} over {a} `=rm bar{L _{2} M _{2}}]

또한, [eqn: rm bar{L _{1} M _{1}} `]과 [eqn: rm bar{M _{2} N _{2}} `]의 교점을 점[eqn: rmP]라 하고, [eqn: rm bar{L _{1} L _{2}} =][eqn: x]라 하면 [eqn: rm bar{PM _{2}} = bar{rm PM _{1}}][eqn: =x]

평행선의 성질에 의해 [eqn: rm TRIANGLE ABC`], [eqn: rm TRIANGLE L _{2} BM _{2} ``],

[eqn: rm TRIANGLE PM _{2} M _{1} ``], [eqn: rm TRIANGLE N _{1} M _{1} C``]는 모두 닮음이고

닮음비는 [eqn: 4``:` {1} over {a} `:x`:a``]이므로

넓이의 비는 [eqn: 16``:` {1} over {a ^{2}} `:x ^{2} :a ^{2} ``]이다.

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 [eqn: S``], 어두운 부분 전체의 넓이를 [eqn: T`]라 하면

[eqn: S=2T`] 이므로

[eqn: 16k=`2 LEFT ( {1} over {a ^{2}} `+`x ^{2} +a ^{2} ` RIGHT ) k] ([eqn: k`]는 비례상수)

[eqn: 8=` LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) ^{2} -2+x ^{2} `]

[eqn: 8=` LEFT ( 4-x RIGHT ) ^{2} -2+x ^{2} `]

[eqn: x ^{2} -4x+3=0`]

[eqn: THEREFORE x=`1`]또는 [eqn: 3`]

[eqn: a+ {1} over {a} =4-x]이고 [eqn: a>0`]이므로 [eqn: 4-x GEQ 2]

즉, [eqn: 0<x LEQ 2`]이므로 구하는 [eqn: x`=1`]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: 15` bar{rm L _{1} L _{2} it} `=15]

[eqn: rm bar{AL _{1}} cdot bar{L _{2} B} ``=`1`]이고 어두운 부분 전체의 넓이가 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이의 [eqn: {1} over {2} `]이 되도록 두 점 [eqn: rmL _{1} } `], [eqn: rm L _{2} `]를 잡을 때, [eqn: rm 15` bar{L _{1} L _{2}} `]의 값을 구하시오.

▶2009년 05월 경기교육청[4점]

[eqn: A] 도서관 출입카드의 번호는 다음 원리가 성립되는 □[eqn: 8]자리 수만을 사용한다.

정답 [eqn: 11]

[eqn: 9]이하의 자연수 중 하나를 임의로 택하여 □를 정할 때, (나)의 원리로부터 □[eqn: 2(a-1)]의 값은 다음 두 가지 경우로 나누어진다.

(ⅰ) [eqn: 2(a-1)]이 □[eqn: 10]미만인 경우
주어진 □[eqn: 8]자리 수의 번호에서 짝수 번째 자리 수의 합은
[eqn: 8+6+2(a-1)+9=2a+21]이고 홀수 번째 자리수의 합은□
[eqn: 8+a+5+4=a+17]이므로 얻어진 수의 합은 [eqn: 3a+38]이다.
그러므로 [eqn: a=4]일 때만 □[eqn: 3a+38]은 □[eqn: 10]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: 2(a-1)]이 □[eqn: 10]이상인 경우
주어진 [eqn: 8]자리 수의 번호에서 짝수 번째 자리 수의 합은
[eqn: 8+6+2(a-1)-9+9=2a+12]이고 홀수 번째 자리수의 합의
[eqn: 8+a+5+4=a+17]이므로 얻어진 수의 합은 [eqn: 3a+29]이다.
그러므로 [eqn: a=7]일 때만 [eqn: 3a+29]는 □[eqn: 10]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 얻어진 수의 합이 □[eqn: 10]의 배수가 되는 경우는
[eqn: a=4] 또는 [eqn: a=7]로 두 가지이다.
따라서 [eqn: a]값에 □[eqn: 1]부터 □[eqn: 9]까지의 자연수를 하나씩 대입하여 □[eqn: 8]자리 수로 이루어진 번호 □[eqn: 9]개 중 임의로 한 개를 택할 때, 그 번호가 [eqn: A]도서관 출입카드의 번호일 확률은 □□[eqn: {2} over {9}]이다.
∴ [eqn: m+n=11]

[원리]

오른쪽부터 왼쪽으로 순서를 매길 때,

(가) 홀수 번째 자리 수들은 그 수를 더하고

(나) 짝수 번째 자리 수들은 그 수에 [eqn: 2]를 곱해서 더한다.
(단, [eqn: 2]를 곱한 수가 [eqn: 10]이상일 때는 그 수에서□[eqn: 9]를 뺀 수를 더한다.)

(가)와 (나)에서 얻어진 수의 합은 [eqn: 10]의 배수가 된다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

예를 들면, 위 그림의 A 도서관 출입카드 번호에서 홀수 번째 자리 수를 더하면, □[eqn: 6+4+9+8=27]이고, 짝수 번째 자리 수를 위의 원리에 의해 더하면, [eqn: 8+7+0+8=23]이다.
이 때, 얻어진 수의 합은 [eqn: 27+23=50]이므로 [eqn: 10]의 배수가 된다.
다음과 같이 두 수 [eqn: a-1]과 [eqn: a]를 포함한 [eqn: 8]자리 수로 이루어진 번호가 있다.

[eqn: a]값에 □[eqn: 1]부터 □[eqn: 9]까지의 자연수를 하나씩 대입하여 □[eqn: 8]자리수로 이루어진 번호 [eqn: 9]개를 만들었다. 이 번호 중 임의로 한 개를 택할 때, 그 번호가 [eqn: A]도서관 출입카드의 번호일 확률은 [eqn: {n} over {m}]이다. 이때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m,`n]은 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 9`````````4``````````(a-1)````````5```````````3``````````a```````````4```````````8]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

수학1		모의고사 단원별 총모음

수학자료실, 수학세상		http://www.math114.net

항등식과 나머지정리

▶2006년 11월 교육청[2점]

등식 [eqn: x ^{2} -3x+6`][eqn: =`a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1)``]이  [eqn: x``]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: c``]의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} ``]의 값을 구하시오.

정답 29

[eqn: x ^{2} -3x+6=a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1)]

에서

[eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: 1^2 - 3 cdot1 + 6} =2b``]에서 [eqn: b=2``]

[eqn: x=2`]를 대입하면 [eqn: 2^2 - 3cdot2 + 6=-c``]에서 [eqn: c=-4``]

[eqn: x= 3 ``]을 대입하면 [eqn: 3^2 - 3cdot3+6=2a``]에서 [eqn: a=3``]

∴ [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =9+4+16=29``]

[다른 풀이]

우변을 전개하면

[eqn: (a+b+c)x^2 -(3a+5b+4c)`x```+2a+6b+3c``]에서

[eqn: a+b+c=1``], [eqn: 3a+5b+4c=3``], [eqn: 2a+6b+3c=6``]

위의 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=3``], [eqn: b=2``], [eqn: c=-4``]

∴ [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =9+4+16=29``]

▶2006년 11월 교육청[2점]

[eqn: x] 에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +8x+1] 을 [eqn: x+2]와 [eqn: x-1] 로  나눈 나머지가 같을 때, 상수 [eqn: a] 의 값을 구하시오.

정답 11

[eqn: `x ^{3} +ax ^{2} +8x+1]을 [eqn: x+2], [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 같으므로

[eqn: -8+4a-16+1=1+a+8+1]

∴ [eqn: a=11]

▶2008년 11월 경기교육청(고1)[2점]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x+13]을 [eqn: x-5]로 나눈 나머지를 구하시오.

정답 173

[eqn: P`(x)=x ^{3} +2x ^{2} -3x+13]이라 하면

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지는

[eqn: P`(5)=5 ^{3} +2 TIMES 5 ^{2} -3 TIMES 5+13=173]

▶2005년 9월 서울시교육청

다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +4x-a`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지가 [eqn: 3] 일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

정답 17

나머지정리에 의해 다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +4x-a`]를 [eqn: x-2`]로    나눈 나머지는 [eqn: f`(2)`]이므로 [eqn: f(2)=2 ^{3} +2 ^{2} +4 TIMES 2-a`=`3]

[eqn: THEREFORE ``a`=`17]

▶2011년 06월 서울교육청[2점]

다항식 [eqn: x ^{7} +27x ^{4} -x+k`] 를 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 12`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

정답 ④

[eqn: f(x)=x ^{7} +27x ^{4} -x+k`]라 할 때 [eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: 12`]이므로 나머지정리에 의해 [eqn: f(-1)=12`]이다.

[eqn: f(x)`]에 [eqn: x=-1`]을 대입하면

[eqn: -1+27+1+k=12`]      ∴ [eqn: k=-15`]

① [eqn: -21`]	② [eqn: -19`]	③ [eqn: -17`]

④ [eqn: -15`]	⑤ [eqn: -13`]

▶2007년 05월 교육청[2점]

다항식 [eqn: 2x^3 -3x+1```]을 [eqn: x+2```]로 나눈 나머지는?

정답 ④

[eqn: x`=`-2]를 대입하면

[eqn: 2 times (-2)^3 -3 times (-2) +1`=`-9]

① [eqn: -21]	② [eqn: -17]	③ [eqn: -13]
④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -5]

▶2012년 3월 부산시교육청[2점]

다항식 [eqn: x ^{3} -2x+4`]를 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지는?

정답 ⑤

[eqn: f(x)=x ^{3} -2x+4`]라 하면 나머지 정리에 의해서 나머지는 [eqn: f(-1)=5`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2012년 6월 서울시교육청[2점]

다항식 [eqn: x ^{11} +5`x ^{7} -3`x ^{4} +k`] 를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 10`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

정답 ④

[eqn: f`(`x`)=x ^{11} +5x ^{7} -3x ^{4} +k`]라 하면

다항식 [eqn: f`(`x`)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 10]이므로

나머지 정리에 의하여

[eqn: f`(`1`)`][eqn: =1+5-3+k] [eqn: =3+k]  [eqn: =10]

[eqn: THEREFORE ``k=7]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

▶2007년 06월 인천교육청[2점]

[eqn: x ^{3} -ax+6=(x-1)(x+b)(x+c)`]가 [eqn: x]에 관한 항등식일 때,  상수 [eqn: a`,````b`,````c]에 대하여 [eqn: a+b+c`]의 값은?

정답 ①

[eqn: x ^{3} -ax+6=(x-1)(x+b)(x+c)]의 양변에

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=7]

[eqn: x ^{3} -7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)]

따라서 [eqn: b=`-2,````c=3] 또는 [eqn: b=3,````c=`-2]

[eqn: THEREFORE ``a+b+c=8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▶2014년 09월 인천교육청[3점]

두 다항식 [eqn: {P(x)=3x ^{3} +x+11`,~Q(x)=x ^{2} -x+1`}}]에 대하여 다항식 [eqn: P(x)+4x`]를 다항식 [eqn: Q(x)`]로 나눈 나머지가 [eqn: 5x+a`] 일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 다항식의 나눗셈 계산하기

[eqn: P`(x)+4x=3x ^{3} +5x+11`]을

[eqn: Q`(x)=x^2 -x+1`]로 나누면

몫이 [eqn: 3x+3`]이고 나머지는 [eqn: 5x+8`]

따라서 [eqn: a=8]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

▶2014년 09월 평가원[3점]

등식 [eqn: x ^{2} `+`5x`+`7`=`(`x`-`1`) Q(`x)`+`a`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: Q(`x)`]는 [eqn: x`]에 대한 다항식이다.)

정답 [eqn: 13]

해설

[출제의도] 항등식 이해하기

등식 [eqn: x ^{2} `+`5x`+`7`=`(`x`-`1`) Q(`x)`+`a`]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1+5+7=a]이다.

따라서 [eqn: a=13]이다.

▶2014년 09월 평가원[3점]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: 2x ^{3} `+`ax ^{2} `+`bx`+`6`]이 [eqn: x ^{2} `-`1`]로 나누어떨어질 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.)

정답 ④

해설

[출제의도] 인수정리 이해하기

다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]이 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6=(x ^{2} -1)Q(x)]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이다. ([eqn: Q(x)]는 다항식)

[eqn: x ^{2} -1= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 ㉠의 양변에

ⅰ) [eqn: x=`-1]을 대입하면

[eqn: -2+a-b+6=0]이므로

[eqn: a-b=`-4]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

ⅱ) [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2+a+b+6=0]이므로

[eqn: a+b=`-8]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉡, ㉢에 의해 [eqn: a=`-6], [eqn: b=`-2]이다.

따라서 [eqn: ab=12]이다.

[다른풀이]

다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]이 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6]을 [eqn: x ^{2} -1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+6 = (x-1)(x+1)Q(x)]가 된다.

그러므로 조립제법을 이용하면

1	[eqn: 2]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 6]
		[eqn: 2]	[eqn: a+2]	[eqn: a+b+2]
				[eqn: a+b+8]
[eqn: -1]	[eqn: 2]	[eqn: a+2]	[eqn: a+b+2]
		[eqn: -2]	[eqn: -a]
	[eqn: 2]	[eqn: a]	[eqn: b+2]

[eqn: a+b+8=0,```b+2=0]이므로 [eqn: a=`-6,~b=`-2]이다.

따라서 [eqn: ab=12]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

▶2011년 09월 인천교육청[3점]

등식 [eqn: x ^{4} -ax ^{2} -x+b=(x+1)(x-2)f(x)`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때, [eqn: f(3)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 11]

[eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=`-1`]대입, [eqn: 1-a+1+b=0]

[eqn: x=2] 대입, [eqn: 16-4a-2+b=0]

[eqn: a]와 [eqn: b]에 관한 연립방정식을 풀면, [eqn: a=4,`b=2]

[eqn: x ^{4} -4x ^{2} -x+2=(x+1)(x-2)f(x)] 이므로

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: f(3)=11]

▶2011년 06월 교육청[3점]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여  [eqn: (x+1) ^{4}=x^4 + ax^3 + bx^2 +4x + 1`]이 성립할 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10]

[eqn: (x+1) ^{2} = x^2 + 2x+1 `]이므로

[eqn: (x+1) ^{4} `][eqn: = LEFT { (x+1) ^{2} RIGHT } ^{2}`][eqn: =(x ^{2} +2x+1) ^{2}][eqn: =(x ^{2} ) ^{2} +(2x) ^{2} +1 ^{2} +2(x ^{2} `‧` 2x+2x `‧` 1+1 `‧` x ^{2} )]

[eqn: =x ^{4} +4x ^{2} +1+4x ^{3} +4x+2x ^{2}][eqn: =x ^{4} +4x ^{3} +6x ^{2} +4x+1 ``~cdots~㉠]

㉠과 [eqn: x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +4x+1`]의 계수를 비교하면

[eqn: a=4`], [eqn: b=6`]이다.

따라서 [eqn: a+b=10`]

[다른 풀이]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 주어진 등식이 성립하므로 [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: 2 ^{4} =1+a+b+4+1]이다.

따라서 [eqn: a+b=10]

▶2011년 06월 서울교육청[3점]

다항식 [eqn: f it `(x)`=x ^{3} +9x ^{2} +4x-45`]에 대하여 등식

정답 ①

[eqn: f(x+a)=(x+a) ^{3} +9(x+a) ^{2} +4(x+a)-45]

[eqn: =(x ^{3} +3ax ^{2} +3a ^{2} x+a ^{3} )+9(x ^{2} +2ax+a ^{2} )+4(x+a)-45`]

[eqn: = x^3 + 3ax^2 + 3a^2 x+ a^3 + 9x^2 + 18ax + 9a^2 + 4x +4a-45`][eqn: =x ^{3} +(3a+9)x ^{2} +(3a ^{2} +18a+4)x+a ^{3} `+9a ^{2} +4a-45`]

주어진 조건에서 이차항의 계수가 [eqn: 0`]이므로

[eqn: 3a+9=0`]에서 [eqn: a=-3`]이다.

[eqn: x ^{3} +(3a+9)x ^{2} +(3a ^{2} +18a+4)x+a ^{3} `+9a ^{2} +4a-45`]에 [eqn: a=-3`]을 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{3} +(-9+9)x ^{2} +(27-54+4)x-27`+81-12-45`]

[eqn: =x ^{3} -23x-3]

따라서 [eqn: b=-23`]이므로 [eqn: a+b=-26`]

[다른 풀이]

[eqn: f`(x+a)=x ^{3} +bx-3`]이고 [eqn: a=-3`]이므로 [eqn: f`(x-3)=x ^{3} +bx-3]

[eqn: x=3`]을 대입하면 [eqn: f(0)=3 ^{3``} +3b`-3`]

[eqn: f it `(x)`=x ^{3} +9x ^{2} +4x-45`]에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)`=`-45`]이다.

그러므로 [eqn: 24+3b=-45``]에서 [eqn: b=-23]

따라서 [eqn: a+b=-26`]이다.

[eqn: f`(x+a)=x ^{3} +bx-3]

이 [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

① [eqn: -26]	② [eqn: -24`]	③ [eqn: -22`]

④ [eqn: -20`]	⑤ [eqn: -18`]

▶2011년 09월 인천교육청[3점]

다항식 [eqn: 4x ^{3} `-2x ^{2} `+3x+1`]을 [eqn: x ^{2} -x+1`]로 나눈 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: Q` LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: x ^{2} -x`+1`]

[eqn: 4x+2]

[eqn: 4x ^{3} -2x ^{2} +3x`+1`]

[eqn: 4x ^{3} -4x ^{2} +4x]

[eqn: 2x ^{2} -``x`+``1`]

[eqn: 2x ^{2} -2x`+2`]

[eqn: x`-1`]

[eqn: Q(x)=4x+2```]	∴ [eqn: Q(1)=6]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]
④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

▶2011년 03월 부산교육청[3점]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]는 [eqn: x^2 -2x -3]으로 나누어떨어지고, [eqn: f`(x)-2]는 [eqn: x-1]로 나누어떨어진다. 이때, [eqn: f`(x)+1]을
[eqn: x^2 -1]로 나눈 나머지는?

정답 ①

[eqn: f(x)= (x+1)(x-3) Q_{ 1} (x)]에서 [eqn: f(-1)=0]	…… ㉠

[eqn: f(x)-2= (x-1) Q_{ 2} (x)]에서 [eqn: f(1)=2]	…… ㉡

[eqn: f`(x)+1]을 [eqn: x^2 -1]로 나눈 나머지를 [eqn: ax+b]라 하면

[eqn: f`(x)+1=(x-1)(x+1) Q_{3 } (x)+ax+b]

㉠, ㉡에서 [eqn: -a+b=1,~a+b=3]이므로 [eqn: a=1,~b=2]

[eqn: THEREFORE]나머지는 [eqn: x+2]

① [eqn: x+2]	② [eqn: x+3]	③ [eqn: 2x-1]

④ [eqn: 2x]	⑤ [eqn: 2x+1]

▶2011년 10월 인천교육청[3점]

다음은 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: (2x+1)(x+1)(x-3)]으로 나눈 몫이 [eqn: Q(x)`]이고 나머지가 [eqn: 2x ^{2} -4`]일 때, [eqn: f(x+2)`]를 [eqn: (x+3)(x-1)]로 나눈 나머지를 구하는 과정이다.

정답 ④

[eqn: f(x)=(2x+1)(x+1)(x-3)Q(x)+2x ^{2} -4`]

[eqn: f(x+2)][eqn: =(2x+5)(x+3)(x-1)Q(x+2)][eqn: +2x ^{2} +8x+4]

[eqn: =(x+3)(x-1) LEFT { `(2x+5)Q(x+2)+2` RIGHT }][eqn: +4x+10]

이므로 [eqn: alpha =2`], [eqn: R LEFT ( x RIGHT ) =4x+10`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha +R(0)=12]

[eqn: f(x)=(2x+1)(x+1)(x-3)Q(x)+2x ^{2} -4`]이므로

[eqn: f(x+2)=(2x+5)(x+3)(x-1)Q(x+2)+][eqn: 2(x+2) ^{2} -4]

[eqn: =(x+3)(x-1) LEFT { `(2x+5)Q(x+2)+ BOX{``(가)``} `` RIGHT }][eqn: `+`][eqn: BOX{```(나)``}]

따라서 [eqn: f(x+2)`]를 [eqn: (x+3)(x-1)]로 나눈 나머지는 [eqn: BOX{```(나)``}]이다.

위 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: alpha `]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: R(x)`]라 할 때, [eqn: alpha +R(0)]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: x ^{3} -ax+9``]를  [eqn: x-2``]로 나눈 몫은 [eqn: Q(x)``]이고 나머지는 [eqn: 3``]이다. 이때, [eqn: Q(10)``]의 값을 구하시오.

정답 117

[eqn: f(x)= x^3 -ax+9]로 놓자.

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 3]이므로 나머지 정리에 의해

[eqn: f(2)= 2^3 - 2 a +9=3]

[eqn: therefore] [eqn: a=7]

조립제법을 이용하여 [eqn: f(x)= x^3 -7x+9]를 [eqn: x-2]로 나눌 때의 몫 [eqn: Q(x)]를 구하면

[eqn: 2``]	[eqn: 1``]	[eqn: 0``]	[eqn: -7``]	[eqn: 9``]
		[eqn: 2``]	[eqn: 4``]	[eqn: -6``]
	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: -3``]	[eqn: 3``]

[eqn: x^3 -7x+9][eqn: =(x-2)(x^2 +2x -3) +3]

[eqn: THEREFORE````][eqn: Q(x)= x^2 +2x -3]

따라서 [eqn: Q(10)= 10^2 +2cdot10 -3=117] 이다.

▶2013년 6월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: x^4`]을 [eqn: x-1`]로 나눈 몫을 [eqn: q(x)`], 나머지를 [eqn: r_1`]이라 하고, [eqn: q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지를 [eqn: r_2`]라 하자. [eqn: r _{1} +3r _{2} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 256``]

[eqn: x^4 `]을 [eqn: x-1]로 나눈 몫이 [eqn: q(x)`], 나머지가 [eqn: r_1]이므로

[eqn: x^4 =(x-1)q(x) +r_1`] [eqn: cdots]　㉠

[eqn: q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지가 [eqn: r_2`]이므로 몫을 [eqn: q_1 (x)`]라 하면

[eqn: q(x) =(x-4)q_1 (x)+r _{2} `] [eqn: cdots]　㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x^4 =(x-1) left{ (x-4)q_1 (x)+r_2 right}+r_1] [eqn: cdots]　㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=4`]를 대입하면

[eqn: 4^4 =3timesr_2 +r_1]

따라서 [eqn: r_1 +3r_2 =256]

[다른 풀이]

[eqn: x ^{4}]을 [eqn: x-1`]로 나눈 몫이 [eqn: q (x)`]이고 나머지가 [eqn: r _{1} `]이므로

[eqn: x ^{4} = LEFT ( x-1 RIGHT ) `q (x)+r _{1} `]

이 식에 [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: r _{1} =1]

[eqn: x ^{4} = LEFT ( x-1 RIGHT ) q(x)+1`]에서

[eqn: x ^{4} -1= (x-1)(x ^{3} +x ^{2} +x+1)`]이 된다.

그러므로 [eqn: q (x)`=x ^{3} +x ^{2} +x+1`]

[eqn: q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 몫을 [eqn: q _{1} (x)`]라 하면

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x+1= LEFT ( x-4 RIGHT ) q _{1} (x)+r _{2} `]

이 식에 [eqn: x=4]를 대입하면

[eqn: 4 ^{3} +4 ^{2} +4+1=(4-4)times q_1 (4) +r _{2}]

그러므로 [eqn: r _{2} =64+16+4+1=85`]

따라서 [eqn: r _{1} +3r _{2} =1+3 TIMES 85=256`]

[다른 풀이]

다항식 [eqn: x^4]을 [eqn: x-1]로 나누고 그 몫을 다시 [eqn: x-4]로 나누면

	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]		[eqn: 0]
[eqn: 1]		[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]		[eqn: 1]
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]			[eqn: 1]
[eqn: 4]		[eqn: 4]	[eqn: 20]	[eqn: 84]
	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 21]		[eqn: 85]

[eqn: x ^{4} =(x-1)(x ^{3} +x ^{2} +x+1)`+1]

[eqn: =(x-1) LEFT { (x-4)(x ^{2} +5x+21`)+85 RIGHT } `+1]

그러므로 [eqn: r_1 =` 1]이고 [eqn: r_2 = 85]

따라서 [eqn: r _{1} +3r _{2} =1+3 TIMES 85=256`]

▶2008년 10월 인천시교육청(고1)[[eqn: 3]점]

[그림[eqn: 1]]의 연산장치는 다항식 [eqn: f(x)]가 입력되면 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1`]로 나눈 몫 [eqn: Q(x)``]와 나머지 [eqn: R``]이 나오는 연산장치이다.

정답 ②

연산장치는 조립제법과 같은 원리이므로

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: -2]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -1]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: -3]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]
	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]

[eqn: THEREFORE] 나머지는 [eqn: 2]

예를 들어 다항식 [eqn: f(x)=x^2 +x+3] 을 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력하면 [그림[eqn: 2]]와 같다.

다항식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -3x-2`]를 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력하여 나온 몫을 다시 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력할 때 나오는 나머지는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

▶2007년 06월 인천교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f(`x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x ^{2} +x+1]이다. 다항식 [eqn: f(`6x)]를 [eqn: 6x ^{2} `-5x+1]로 나누 었을 때의 나머지를 [eqn: ax+b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 31``]

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q _{1} (x)`+x ^{2} +x+1]

이므로 [eqn: f(1)=3,````f(2)=7,````f(3)=13]

[eqn: f(6x)=(2x-1)(3x-1)Q _{2} (x)`+ax+b]

[eqn: x= {1} over {2}]을 대입하면 [eqn: f(3)= {1} over {2} a+b=13]

[eqn: x= {1} over {3}]을 대입하면 [eqn: f(2)= {1} over {3} a+b=7]

따라서 [eqn: a=36,````b=`-5]

[eqn: THEREFORE ``a+b=31]

▶2005년 6월 인천교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f(x)] 를 [eqn: (x-1)(x-2)] 로 나누면 몫이 [eqn: q(x)], 나머지는 [eqn: x+1] 이다. [eqn: f(x)] 를 [eqn: x-3] 으로 나눈 나머지가 [eqn: 8] 일 때, [eqn: q(x)] 를 [eqn: x-3] 으로 나눈 나머지는?

정답 ②

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)q(x) +x+1]

[eqn: f(3)=(3-1)(3-2)q(3)+3+1]

[eqn: f(3)=8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: q(3)=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

▶2005년 10월 평가원[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: P(x)] 를 [eqn: x-2] 로 나눈 몫은 [eqn: x^2 +1], 나머지는 [eqn: 3``]이다. 이 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x+1] 로 나눈 나머지는?

정답 ②

[eqn: P(x)`=`(x-2)(x^2 +1)+3`]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: P(-1)]이므로

[eqn: P(-1)`=`(-1-2)left{(-1)^2 +1 right}+3`=`-3⋅2`+`3`=`-3]

① [eqn: -4]4	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]
④  [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: 3x ^{3} +ax+b``]를 다항식 [eqn: x ^{2} +x-1``]로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 2x+3``]이면 [eqn: a+b``]의 값은?

정답 ③

[eqn: 3x``````-3]

[eqn: 3x ^{3} ~~~~~+ax~~~~~+b]

[eqn: 3x ^{3} +3x ^{2} -3x]

[eqn: ``-3x ^{2} +(a+3)x+b]

[eqn: ``-3x ^{2} `````````````````-3x````+3]

[eqn: (a+6)x+b-3]

[eqn: x ^{2} +x-1]

나머지는 [eqn: 2x+3``]이므로 [eqn: a=`-4,] [eqn: b=6``]

∴ [eqn: a+b=2`]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 다항식 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +1`]이 [eqn: x ^{2} -x-1`]로 나누어떨어질 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}`]의 값을 구하시오.

정답 5

다항식 [eqn: ax^3 +bx^2 +1]이 [eqn: x^2 -x -1]로 나누어떨어지므로 [eqn: ax^3 +bx^2 +1=(x^2 -x -1)(ax-1)]

⇒  [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +1=ax ^{3} -(a+1)x ^{2} -(a-1)x+1]

위 식은 항등식이므로 [eqn: b=-a-1], [eqn: -a+1=0]

∴ [eqn: a=1], [eqn: b=-2]

따라서, [eqn: a ^{2} +b ^{2} = 5]

▶2012년 11월 경기도교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지가 [eqn: 10]이고, [eqn: x+3]으로 나눈 나머지가 [eqn: -6]이다. [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]으로 나눈 나머지를 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: R` LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

정답 ③

다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]으로 나누었을 때의

몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =ax+b]라 하면

[eqn: P`` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +ax+b]이다.

[eqn: P`` LEFT ( 5 RIGHT ) =10], [eqn: P` LEFT ( -3 RIGHT ) =`-6]이므로

[eqn: P` LEFT ( 5 RIGHT ) =5a+b=10], [eqn: P` LEFT ( -3 RIGHT ) =`-3a+b=`-6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2], [eqn: b=0]

따라서 [eqn: R`(x)=2x]이므로 [eqn: R`(1)=2]

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

▶2012년 6월 서울시교육청[[eqn: 3]점]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-4=(`x-2`) ^{3} +a(`x-2`) ^{2} +b(`x-2`)+c``]

가 성립할 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]의 곱 [eqn: a`b`c`]의 값을 구하시오.

정답 30

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-4=(`x-2`) ^{3} +a(`x-2`) ^{2} +b(`x-2`)+c]

(ⅰ) [eqn: x=2`]을 대입하면  [eqn: 2=c]

(ⅱ) [eqn: x=0`]을 대입하면  [eqn: -4=`-8+4a-2b+c]

[eqn: c``]의 값을 대입하여 정리하면

[eqn: 2a-b=1]	[eqn: CDOTS] ㉠

(ⅲ) [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: -1=`-1+a-b+c]

[eqn: c]의 값을 대입하여 정리하면  [eqn: a-b=`-2]   [eqn: CDOTS] ㉡

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: ``a=3]

[eqn: a]의 값을 ㉡에 대입하면 [eqn: ``b=5]

따라서 [eqn: a=3,``b=5,``c=2]이므로

[eqn: a`b`c=30]

[다른 풀이] 인수정리를 이용한 방법

(ⅰ) 다항식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-4``]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 아래와 같이 조립제법으로 구하면 몫이 [eqn: x ^{2} -x+3], 나머지가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-4=(`x-2`) LEFT ( `x ^{2} -x+3` RIGHT ) +2]

(ⅱ) 다항식 [eqn: x ^{2} -x+3`]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 아래의 조립제법에 의하면 몫이 [eqn: x+1], 나머지가 [eqn: 5]이므로 (ⅰ)에서

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-4=(`x-2`) left(`x ^{2} -x+3`right)+2]

[eqn: =(`x-2`) LEFT { (`x-2`)(`x+1`)+5 RIGHT } +2]

[eqn: =(`x-2`) ^{2} (`x+1`)+5(`x-2`)+2]

(ⅲ) 다항식 [eqn: x+1`]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 아래와 같이 조립제법에 의하면 몫이 [eqn: 1], 나머지가 [eqn: 3]이므로 (ⅱ)에서

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +5x-4=(`x-2`) ^{2} (`x+1`)+5(`x-2`)+2]

[eqn: =(`x-2`) ^{2} LEFT { (`x-2`)+3` RIGHT } +5(`x-2`)+2]

[eqn: =(`x-2`) ^{3} +3(`x-2`) ^{2} +5(`x-2`)+2]

(ⅰ) [eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 5]	[eqn: -4]
		[eqn: 2]	[eqn: -2]	[eqn: 6]
(ⅱ) [eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]
		[eqn: 2]	[eqn: 2]
(ⅲ) [eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 5]
		[eqn: 2]
	[eqn: 1]	[eqn: 3]

따라서 (ⅲ)의 결과와 주어진 식을 비교하면 [eqn: a,``b,``c``]의 값이 각각 [eqn: a=3,``b=5,``c=2``]이므로 [eqn: `a`b`c=30]

▶2012년 6월 서울시교육청[[eqn: 3]점]

등식 [eqn: (`k+3`)`x-(`3k+4`)`y+5`k```=`0`]이 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, [eqn: x``+`y`]의 값은?

정답 ②

[eqn: (`k+3`)x-(`3k+4`)y+5k=0`]을 [eqn: k`]에 대하여 정리하면

[eqn: (`x-3y+5`)k+(`3x-4y`)=0]

이고, 이 식은 [eqn: k`]에 대한 항등식이므로

[eqn: {cases{x-3y+5=0~~~ & cdots㉠#3x-4y=0~~~~~ & cdots㉡}}]

[eqn: 3times]㉠[eqn: -]㉡에서

[eqn: 3(`x-3y+5`)-(`3x-4y`)=0]

[eqn: -5y+15=0]

[eqn: THEREFORE ``y=3]

[eqn: y`]의 값을 ㉡에 대입하면

[eqn: 3x-12=0]

[eqn: THEREFORE ``x=4]

따라서 [eqn: x=4], [eqn: y=3`]이므로

[eqn: ``x+y=7]

[다른 풀이]

[eqn: (`k+3`)x-(`3k+4`)y+5k=0`]은 [eqn: k`]에 대한 항등식이므로

(ⅰ) [eqn: k=0`]을 대입하면

[eqn: 3x-4y=0]	… ㉠

(ⅱ) [eqn: k=`-1`]을 대입하면

[eqn: 2x-y-5=0]	… ㉡

㉠[eqn: -][eqn: 4TIMES]㉡에서

[eqn: (`3x-4y`)-4(`2x-y-5`)=0]

[eqn: -5x+20=0]

[eqn: THEREFORE ``x=4]

[eqn: x`]의 값을 ㉠에 대입하면

[eqn: 12-4y=0]

[eqn: THEREFORE ``y=3]

따라서 [eqn: x=4], [eqn: y=3`]이므로

[eqn: ``x+y=7]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

▶2012년 10월 인천교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: f(`x`)`]를 이차식 [eqn: x ^{2} `-7x+12`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 4x+5`]이다. 이때 다항식 [eqn: f(`2x-1`)`]을 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지를 구하시오.

정답 17

[eqn: g(x)=f(2x-1)]이라 하자.

주어진 조건에 의해

[eqn: f(x)=(x ^{2} -7x+12)Q(x)+4x+5]이므로

[eqn: g(x)=f(2x-1)]을 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는

나머지 정리에 의해 [eqn: g(2)=f(3)=17]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(2x-1)`]을 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는 [eqn: 17]

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f(`x`)``]를 [eqn: (`x```+`1`)`(`x```-`2`)``]로 나눈 나머지가 [eqn: 2x```-`15``]일 때, 다항식 [eqn: x`f `left(` {`1`} over {`2`} `x`right)``]를 [eqn: x```+`2``]로 나눈 나머지를 구하시오.

정답 34

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)(x-2)]로 나눌 때의 몫을 [eqn: Q(x)] 라 하면

[eqn: f(x)`=(x+1)(x-2)Q(x)`+2x-15]

[eqn: x`f`left(`1over2 x `right )]를 [eqn: x+2] 로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 [eqn: x`f`left(`1over2 x `right )] 에 [eqn: x=`-2] 를 대입한 값과 같다.

따라서 구하는 나머지는

[eqn: -2`f(-1)`= -2 times( -17)`=34] 이다.

[다른 풀이]

[eqn: f(x) = (x+1) (x-2) Q(x) +2x-15] 이므로

[eqn: x f left( 1 over 2 x right)][eqn: = x left{ left( 1 over 2 x +1 right) left( 1 over 2 x - 2 right) Q left( 1 over 2 x right) + 2․ 1 over 2 x - 15 right}]

[eqn: = 1 over 4 x (x+2) (x-4) Q left( 1 over 2 x right) + x^2 -15x]

따라서 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는

[eqn: -2f(-1)=(-2) ^{2} -15(-2)=34]

▶2006년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f(`x)] 에 대하여 [eqn: (`x+2)f(`x)] 를 [eqn: x-1] 로 나눈 나머지가 [eqn: 3] 이고, [eqn: (`2x-3)f(`2x-5)] 를 [eqn: x-2] 로 나눈 나머지가 [eqn: -7] 이다. [eqn: f(`x)] 를 [eqn: (x+1)(x-1)] 로 나눈 나머지를 [eqn: R(`x)] 라 할 때, [eqn: R(`3)] 의 값은?

정답 ②

[eqn: f(1)=1,``f(-1)=-7]

[eqn: R(x)=ax+b] 라 놓으면

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b] 에서

[eqn: a+b=1]    --- ①

[eqn: -a+b=-7]  --- ②

①, ② 에서 [eqn: a=4,~b=-3]

[eqn: R(x)=4x-3]

∴ [eqn: R(3)=9]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

▶2009년 10월 인천교육청[[eqn: 3]점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x ^{2} -2x`]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)`]라 하자. [eqn: f(1)=R(1)=0`]이고 [eqn: f(2)=1`]일 때,[eqn: f(3)`]의 값은?

정답 ⑤

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x ^{2} -2x`]로 나눈 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) `], 나머지를 [eqn: R(x)`]라 하면 [eqn: Q(x)`]와 [eqn: R LEFT ( x RIGHT ) `]는 모두 일차식이다.

또한, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R LEFT ( x RIGHT ) `]일 때,

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-Q LEFT ( 1 RIGHT ) +R LEFT ( 1 RIGHT ) `]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`], [eqn: R LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: Q LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x-1`], [eqn: R LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) +a LEFT ( x-1 RIGHT ) `]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]이므로 [eqn: a=1`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =8`]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	[eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

▶2005년 10월 평가원[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: P(x)=2x^4 +5x^3 +ax -2] 가 [eqn: x+1] 로 나누어 떨어질 때, 다음 중[eqn: P(x)]의 인수가 아닌 것은?

정답 ④

[eqn: P(x)=2x^4 +5x^3 +ax -2`]가 [eqn: x+1]로 나누어 떨어지므로

[eqn: P(-1)=2(-1)^4 +5(-1)^3 +a(-1) -2`=`2-5-a-2]

[eqn: =`-5-a`=`0]

[eqn: ∴~a`=`-5`]

[eqn: P(x)=2x^4 +5x^3 -5x -2`=`(x+1)(x-1)(x+2)(2x+1)]

	2	5	0	-5	-2
-1		-2	-3	3	2
	2	3	-3	-2	0
1		2	5	2
	2	5	2	0
-2		-4	-2
	2	1	0

또는 [eqn: P(x)=2x^4 +5x^3 -5x -2`=`2x^4 -2+5x^3 -5x]

[eqn: =`2(x^4 -1)+5x(x^2 -1) `=`2(x^2 -1)(x^2 +1)+5x(x^2 -1)]

[eqn: =`(x^2 -1)left{2(x^2 +1)+5x right}`=`(x^2 -1)(2x^2 +5x+2)]

[eqn: =`(x+1)(x-1)(x+2)(2x+1)]

① [eqn: x-1]          ② [eqn: x+1]            ③ [eqn: x+2]

④ [eqn: 2x-1]         ⑤ [eqn: 2x+1]

▶2007년 05월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f``(x)= x^3 +ax^2 +bx+c```]에 대하여[eqn: f``(0)=0, ~f``(1)=1],   [eqn: f``(2)=2```]일 때, [eqn: f``(x)```]를 [eqn: x-3```]으로 나눈 나머지를 구하시오.  (단, [eqn: a, ~b,~c```]는 상수이다.)

정답 [eqn: 9``]

다항식 [eqn: f(x)= x^3 +ax^2 +bx +c] 에 대하여

[eqn: f(0)= c=0],

[eqn: f(1) = 1+a+b=1],

[eqn: f(2) = 8+4a+2b =2~]이므로

연립하여 [eqn: a,``b,``c]의 값을 구하면 [eqn: a=-3], [eqn: b=3], [eqn: c=0] [eqn: f(x)= x^3 - 3x^2 +3x]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 [eqn: f(3)]이므로    [eqn: therefore f(3) = 3^3 - 3 times 3^2 +3 times 3 =9]

▶2008년 06월 인천시교육청(고2)[[eqn: 3]점]

두 다항식 [eqn: f(x)`,```g(x)`]에 대하여 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 3`]이고, [eqn: g(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 4`]이다. [eqn: 3f(x) + 2g(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지는?

정답 ②

[eqn: f(x)=(x-1)Q(x)+3] …①

[eqn: g(x)=(x-1)Q` prime (x)+4] …②

①에서 [eqn: f(1)=3]이고,

②에서 [eqn: g(1)=4]이므로

[eqn: THEREFORE `3f(1)+2g(1)=17]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

▶2008년 03월 서울시교육청(고2)[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f(x)``]를 두 일차식 [eqn: x-a``], [eqn: x+a``]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: R_1``], [eqn: R_2``]일 때, [eqn: f(x)``]를 [eqn: x^2 -a^2 ``]으로 나눈 나머지는? (단, [eqn: a``]는 [eqn: 0``]이 아닌 상수이다.)

정답 ①

나머지정리에 의하여 [eqn: f(a)=R_1 ``], [eqn: f(-a)=R_2``]

[eqn: f(x)``]를 [eqn: x^2 -a^2 ``]으로 나눌 때의 몫을 [eqn: Q(x)``], 나머지를 [eqn: px+q``]라 하면

[eqn: f(x)=(x^2 -a^2 )Q(x)+px+q``]

[eqn: f(a)=R_1 ``]에서 [eqn: pa+q=R_1``]   ……㉠

[eqn: f(-a)=R_2``]에서 [eqn: -pa +q=R_2``]   ……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: p= {R_1 -R_2 } over 2a``], [eqn: q= {R_1 +R_2 } over 2``]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: {R_1 -R_2 } over 2a x + {R_1 +R_2 } over 2``]이다.

① [eqn: {R _{1} -R _{2}} over {2a} x+ {R _{1} +R _{2}} over {2} ``]	② [eqn: {R_1 -R_2 } over 2a x + {R_1 -R_2 } over 2``]

③ [eqn: {R _{1} +R _{2}} over {2a} x+ {R _{1} +R _{2}} over {2} ``]	④ [eqn: {R _{1} +R _{2}} over {2a} x+ {R _{1} -R _{2}} over {2} ``]

⑤ [eqn: {R_1 R_2 } over 2a x - {R_1 +R_2 } over 2``]

▶2008년 11월 경기교육청(고1)[[eqn: 3]점]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: P(x)=6x ^{3} -3x ^{2} +kx-1]은 [eqn: 2x-1]로 나누어  떨어진다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 몫은?

정답 ②

[eqn: P ``left( {1} over {2}right )=0]이므로 [eqn: k=2]

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x+1]로 나누면

[eqn: P`(x)=(x+1)(6x ^{2} -9x+11)-12]

따라서 몫은 [eqn: 6x^2 -9x+11]이다.

① [eqn: 6x ^{2} +9x-10]	② [eqn: 6x ^{2} -9x+11]

③ [eqn: 6x ^{2} -9x-9]	④ [eqn: 6x ^{2} +3x+5]

⑤ [eqn: 6x ^{2} -3x+9]

▶2005년 11월 전국연합[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: f``(x)]를 [eqn: x+3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]일 때, 다항식  [eqn: f``(x+2005)]를 [eqn: x+2008]로 나눈 나머지는?

정답 ①

나머지 정리에 의해 [eqn: f``(-3)=1]

[eqn: f``(x+2005)]를 [eqn: x+2008]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)], 나머지를 [eqn: R`]이라

하면[eqn: f``(x+2005) = (x+2008)Q`(x)+R]이다. 양변에
[eqn: x=-2008]을 대입하면

[eqn: f``(-2008+2005) = (-2008 + 2008) Q`(-2008) +R]이므로

[eqn: R=f``(-3)=1]

① [eqn: 1]               ② [eqn: 2]                  ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]               ⑤ [eqn: 5]

▶2007년10월 교육청[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: x ^{4} -1`]을 [eqn: (`x-1) ^{2}`]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(`x)`]라 할 때, [eqn: R(`5)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[eqn: x^4 -1=(x-1)^2 Q(x)+ax+b]라 하면,

[eqn: R(x)=ax+b] 이다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a+b=0] 이므로 [eqn: `b=-a]

[eqn: x^4 -1=(x-1)^2 Q(x)+a(x-1)]

[eqn: x^3 +x^2 +x+1=(x-1) Q(x)+a]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=4], [eqn: b=-4]

그러므로, [eqn: R(x)=4x-4]

따라서, [eqn: R(5)=16]

▶2007년10월 교육청[[eqn: 3]점]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식 [eqn: ax-5x+2a-b=0`]이 항상 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

[eqn: (a-5)x +2a-b=0]이  [eqn: x`]에 대한 항등식이므로,

[eqn: a-5=0`,`2a-b=0]

[eqn: a=5`,`b=10]

따라서, [eqn: a+b=15]

▶2005년 11월 전국연합[[eqn: 3]점]

[eqn: m`]차 다항식 [eqn: f``(x)]를 [eqn: n`]차 다항식 [eqn: g``(x)]로 나눈 몫을 [eqn: Q``(x)], 나머지를 [eqn: R``(x)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: m``＞``n``＞``0] )

정답 ③

[eqn: f``(x) = g``(x) Q`(x) + R`(x)]

ㄱ. [eqn: f``(x)]의 차수는 [eqn: g``(x)]의 차수와 [eqn: Q`(x)]의 차수의 합이므로

[eqn: Q`(x)]의 차수는 [eqn: m-n`] : 참

ㄴ. 반례) [eqn: f``(x) = 2x^2 +4x+3], [eqn: g``(x)=x^2 + x] 일 때,

[eqn: Q`(x) =2]이고    [eqn: R`(x)= 2x+3] : 거짓

ㄷ. [eqn: R`(x)]의 차수는 [eqn: g``(x)]의 차수보다 작다. : 참

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: Q``(x)]의 차수는 [eqn: m-n`]이다. ㄴ. [eqn: Q``(x)]의 차수는 [eqn: R``(x)]의 차수보다 크다. ㄷ. [eqn: n=3]일 때, [eqn: R``(x)]의 차수는 [eqn: 2]차 이하이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 10월 인천교육청[[eqn: 3]점]

등식 [eqn: x^2 +ax+12= LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT )]가 [eqn: x`]에 대한 항등식이 되도록 양의 실수 [eqn: a`,```b`,```c`]의 값을 정할 때, [eqn: a]의 최솟값은?

정답 ①

[eqn: x`]에 대한 항등식이 되기 위해서는

[eqn: b+c=a,~`bc=12`]

[eqn: a=b+c GEQ 2 sqrt {bc} =4 sqrt {3} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 4 sqrt {3} `]

① [eqn: 4sqrt3]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 5 sqrt2]

④ [eqn: sqrt51]	⑤ [eqn: 2 sqrt13]

▶2005년 6월 인천교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: 2x ^{2} `+`x`-`2`=`a(x`+`1) ^{2} `+`b(x`-`1)`+`c] 가 [eqn: x] 에 관한 항등   식이 되도록 하는 [eqn: a,`b,`c] 에 대하여 [eqn: abc] 의 값을 구하시오.

정답 42

[eqn: 2x^2 +x- 2=a {x }^{ 2} + (2a +b)x+a-b+c] 에서

[eqn: cases{``a=2~~~~```~~~#2a+b=1~~`````#a-b+c=-2}] 이다.

따라서 [eqn: a=2,~b=-3,~c=-7] 이므로   [eqn: abc=42]

▶2007년 09월 서울교육청-3점

[eqn: a`(`x`+`y`)`+`b`(`x`-`y`)`+`2`=`3`x`-`5`y`+`c`]가 [eqn: x,~y`]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 [eqn: a`+`2`b`+`3`c`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 13``]

[eqn: a`(`x`+`y`)`+`b`(`x`-`y`)`+`2`=`3`x`-`5`y`+`c`]

[eqn: (`a`+`b`)`x` +` (`a`-`b`)`y`+`2`=`3`x`-`5`y`+`c`]

∴ [eqn: a+b=3], [eqn: a-b=-5], [eqn: c`=`2`]

연립하여 풀면 [eqn: a=-1,~b=4,~c=2`]이다.

∴ [eqn: a+2b+3c=13]

▶2007년 11월 교육청[[eqn: 3]점]

등식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -8x+7=(x-1) ^{3} +a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c`]가  [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 다항식 [eqn: ax ^{2} -bx-c`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는?

정답 ④

[eqn: x ^{3} +x ^{2} -8x+7=(x-1) ^{3} +a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c`]는 [eqn: x`]에 대한

항등식이다. 주어진 식의 양변에 [eqn: x=0,~1,~2`]를 대입하면

[eqn: cases{7=-1+a-b+c _`# 1=c _`# 3=1+a+b+c]

[eqn: a=4,~b=-3,~c=1]

[eqn: f(x)=ax ^{2} -bx-c=4x^2 +3x -1`]

[eqn: x-2]로 나눈 나머지는 [eqn: f(2)=21]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

▶2005년 9월 서울시교육청[[eqn: 3]점]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n ^{2}]을 [eqn: 6]으로 나눈 나머지를 [eqn: R`(`n)`]이라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ③

[eqn: n]이 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]일 때까지의 값에 대해 [eqn: n ^{2}] 과 [eqn: R(n)] 의 값을 구하면 다음과 같다.

[eqn: n]	1	2	3	4	5	6
[eqn: n ^{2}]	1	4	9	16	25	36
[eqn: R(n)]	1	4	3	4	1	0

ㄱ. [eqn: R(3)``=`3] (참)

ㄴ. [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: R(n)``=4] 또는 [eqn: R(n)``=`0] (거짓)

ㄷ. [eqn: n `≧` 7]일 때는 위의 표와 같은 [eqn: R(n)]의 값이 반복되므로

[eqn: LEFT { R(n)``|```n`은````자연수 RIGHT }`` = LEFT { `0,`1,`3,`4` RIGHT }] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: R`(`3)=3]

ㄴ. [eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: R`(`n)=4]이다.

[eqn: rm"{" R(it n) vert n``은~자연수 "}"rm = rm"{" 0,``1,``3,``4`` rm"}"]

ㄷ.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2009년 10월 인천교육청[[eqn: 3]점]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`]를 [eqn: 7]로 나눈 나머지를 [eqn: LEFT < n RIGHT >`]로 정의할 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

ㄱ. [eqn: LEFT < 18 RIGHT > = LEFT < 7 TIMES 2+4 RIGHT > = LEFT < 4 RIGHT >]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT < 18RIGHT > = LEFT < 4 RIGHT > `] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a=5,```b=12`]일 때,

[eqn: LEFT < a+b RIGHT > = LEFT < 5+12 RIGHT > =3`]

[eqn: LEFT < a RIGHT > + LEFT < b RIGHT > = LEFT < 5 RIGHT > + LEFT < 12 RIGHT > =10`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT < a+b RIGHT > != LEFT < a RIGHT > + LEFT < b RIGHT > `] (거짓)

ㄷ. [eqn: a=7k _{1} +r _{1} ,~b=7k _{2} +r _{2} `]  ([eqn: k _{1} ,~k _{2} `]는 정수)

(좌변)[eqn: = LEFT <p( 7k _{1} +r_1 ) +7k_2 + r_2 RIGHT > `]

[eqn: = LEFT < 7(pk _{1} +k _{2} )+pr _{1} +r _{2} RIGHT > `]

[eqn: = LEFT < pr _{1} +r _{2} RIGHT > `]

(우변)[eqn: =left<p left<7k_1 + r_1 right> + left<7k_2 + r_2 right>`right>]

[eqn: = LEFT < pr _{1} +r _{2} RIGHT > `]

[eqn: therefore `][eqn: LEFT < pa+b RIGHT > = LEFT < p LEFT < a RIGHT > + LEFT < b RIGHT > RIGHT >] (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: LEFT < 18 RIGHT > = LEFT < 4 RIGHT >]

ㄴ. [eqn: LEFT < a+b RIGHT > = LEFT < a RIGHT > + LEFT < b RIGHT >]

ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: p`]에 대하여 [eqn: LEFT < pa +b RIGHT > = LEFT < p LEFT < a RIGHT >+LEFT < b RIGHT > RIGHT >]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2010년 6월 부산교육청[3점]

다항식 [eqn: f(x)] 를 [eqn: x+1] 로 나눈 나머지는 [eqn: 5] 이고, [eqn: x-1] 로 나눈 나머지는 [eqn: 13] 이다. [eqn: f(x)] 를 [eqn: x^2 -1] 로 나눈 나머지를 [eqn: R`(x)] 라 할 때, [eqn: R`(10)] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 49]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +ax+b]라 하면

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-a+b=5]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b=13]

[eqn: a=4,`b=9]이므로 [eqn: R(x)=4x+9]

[eqn: THEREFORE ``R(10)=49]

▶2010년 6월 부산교육청[3점]

자연수 [eqn: n] 에 대하여 [eqn: n] 차 다항식
[eqn: P _{n} (x)=(x-1)(x-2)(x-3)~ CDOTS `(x-n)] 이라 할 때,
[eqn: 2x^3 -3x^2 +1 = a +bP_1 (x) +cP_2 (x) + dP_3 (x)] 는 [eqn: x] 에 대한 항등식이다. 상수 [eqn: a`,~b`,~c`,~d] 의 합 [eqn: a+b+c+d] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[eqn: 2x^3 -3x^2 +1 &= a +b(x-1) +c (x-1)(x-2)]

[eqn: +d(x-1)(x-2)(x-3)]

이 [eqn: x] 에 대한 항등식이므로

최고차항의 계수를 비교하면 [eqn: d=2]

등식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=0]

등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: a+b=5], [eqn: b=5]

등식의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: a+2b+2c=28], [eqn: c=9]

[eqn: THEREFORE~a+b+c+d=16]

▶2010년 10월 교육청 [[eqn: 3`]점]

삼차다항식 [eqn: ax ^{3} +3x+b`]가 [eqn: (x-1) ^{2} `]으로 나누어 떨어지도록 상수 [eqn: a,~b`]의 값을 정할 때, [eqn: a-b`]의 값은?

정답 ③

[eqn: ax ^{3} +3x+b=(x-1) ^{2} Q(x)`]에서 [eqn: x=1`]대입

[eqn: a+3+b=0`] 즉 [eqn: b=-(a+3)]

[eqn: ax ^{3} +3x-(a+3)=(x-1) ^{2} Q(x)]

[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: -(a+3)]
		[eqn: a]	[eqn: a]	[eqn: a+3]
	[eqn: a]	[eqn: a]	[eqn: a+3]	[eqn: 0]

[eqn: (x-1)(ax ^{2} +ax+a+3) & =(x-1) ^{2} Q(x)]

[eqn: (ax ^{2} +ax+a+3) & =(x-1)Q(x)]

[eqn: a+a+a+3 & =0]

[eqn: a=-1], [eqn: b=-2`]이므로  ∴[eqn: a-b=1]

① [eqn: -2]	②  [eqn: -1]
③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

▶2010년 11월 교육청 [[eqn: 3`]점]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]일 때, [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) f(x)]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지는?

정답 ②

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]이므로

나머지 정리에 의하여 [eqn: f` LEFT ( 5 RIGHT ) =3]이다.

이때, [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) f(x)]를 [eqn: x-5]로 나눈 나머지 [eqn: R]이라 하면

[eqn: R=4f LEFT ( 5 RIGHT ) =4 TIMES 3=12]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

▶년 월 인천교육청    [3점]

다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+3] 에 대하여 [eqn: f(x)] 를 [eqn: x-1] 로 나눈 나머지를 [eqn: R _{1}] , [eqn: x+1] 로 나눈 나머지를 [eqn: R _{2}] 라 하자. [eqn: R _{1} -R _{2} =38] 일 때, 상수 [eqn: a] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 19]

[eqn: R _{1} =f(1)=1+a+3=4+a]

[eqn: R _{2} =f(-1)=1-a+3=4-a]

[eqn: R _{1} -R _{2} =2a=38] 이므로 [eqn: `a=19]

▶2013년 9월 인천청 [[eqn: 3`]점]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 모두 만족할 때 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `]의 값은?

정답 ①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) `]로 나누었을 때 나머지를 [eqn: ax+b`]라 하면 조건 (다)에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT ) +ax+b]

(가), (나)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2a+b=7,~f LEFT ( -1 RIGHT ) =-a+b=1]

즉, [eqn: a=2,~b=3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x+3 RIGHT ) +2x+3]

이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-2`]로 나누면 나머지가 [eqn: 7`]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+1`]로 나누면 나머지가 [eqn: 1`]이다.

(다) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) `]로 나누면 몫과 나머지가 서로 같다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

▶2008년 09월 서울시교육청(고1)[3점]

상수가 아닌 두 다항식 [eqn: f`(x)``], [eqn: g`(x)``]에 대하여 [eqn: f`(x)``]를 [eqn: g`(x)``]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)``], 나머지를 [eqn: R`(x)``]라 할 때 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f`(x)``]의 차수는 [eqn: g`(x)``]의 차수보다 작지 않다.)

정답 ②

다항식 [eqn: f`(`x`)``]를 [eqn: g`(`x`)``]로 나눌 때의 몫은 [eqn: Q`(`x`)``], 나머지가 [eqn: R`(`x`)``]에서 [eqn: f`(`x`)`=`g`(`x`)`Q`(`x`)`+`R`(`x`)``]이다. 여기서 [eqn: R`(`x`)``]의 차수는 [eqn: g`(`x`)``]의 차수보다 작다.

ㄱ. [eqn: f`(`x`)`-`R`(`x`)`=`g`(`x`)`Q`(`x`)``]이므로

[eqn: f`(`x`)`-`R`(`x`)``]는 [eqn: g`(`x`)``]로 나누어 떨어진다.  ∴참

ㄴ. [eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)`=`g`(`x`)` LEFT { `Q`(`x`)`+`1` RIGHT } `+`R`(`x`)``]

[eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)``]를 [eqn: g`(`x`)``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(`x`)``]이다.  ∴참

ㄷ. (반례) [eqn: f`(`x`)`=`x ^{3} `+`1``], [eqn: g`(`x`)`=`x ^{2} `-`1``]이면 [eqn: Q`(`x`)`=`x``], [eqn: R`(`x`)`=`x`+`1``]

∴거짓

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f`(x)``-`R`(x)``]는 [eqn: g`(x)``]로 나누어 떨어진다. ㄴ. [eqn: f`(x)``+``g(x)``]를 [eqn: g`(x)``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(x)``]이다. ㄷ. [eqn: f`(x)``]를 [eqn: Q`(x)``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(x)``]이다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ，ㄷ

▶2013년 11월 서울교육청 [[eqn: 3`]점]

다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-1]을 [eqn: x ^{2} -1]로 나눈 몫은 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]이고, 나머지는 상수 [eqn: R]이다. [eqn: Q` LEFT ( a RIGHT ) =R`]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

정답 ②

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-1= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q(x)+R] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: x=1], [eqn: x=`-1]을 대입하면 나머지
[eqn: R=a-1]이다.

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-1= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +a-1]에서

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-a= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `Q LEFT ( x RIGHT ) =x+a]

[eqn: Q LEFT ( a RIGHT ) =R]이므로 [eqn: 2a=a-1]

따라서 [eqn: a=`-1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2012년 9월 인천시교육청(고1)[4점]

[eqn: x]에 대한 이차 다항식 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족한다.

	(가) [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2`]를 [eqn: f(x)`]로 나눈 나머지는 [eqn: g(x)`]이다. (나) [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2`]를 [eqn: g(x)`]로 나눈 나머지는 [eqn: f(x)-x ^{2} -2x`]이다.

이때, [eqn: g(1)`]의 값은?

정답　②

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2=`f(x)`Q(x)`+g(x)`````` CDOTS `]㉠

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2] [eqn: =`g(x)`Q` prime `(x)`+`f(x)`-x ^{2} -2x```` CDOTS `]㉡

[eqn: f(x)]는 [eqn: 2]차의 다항식이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: 1]차 이하의 다항식임을 알 수 있다. 또한 ㉡식으로부터 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지는 상수항이 되어야 하므로

[eqn: f(x)-`x ^{2} -2x=a`]([eqn: a]는 상수)이다.

등식 ㉠으로부터 [eqn: `g(x)=(2-a)(x+1)`]이다.

식 ㉡은

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +4x+2=`(2-a)(x+1)`Q` prime (x)`+a]

인 항등식이므로 [eqn: x=`-1]을 대입하면 [eqn: a=0]

[eqn: THEREFORE ``g(x)`=2(x+1)]

따라서 [eqn: g(1)`=`4]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

▶2007년 10월 국가수준[4점]

다항식 [eqn: x ^{10} -x ^{9} +x ^{8} -x ^{7} +…-x+1`]을 [eqn: x ^{2} -1`]로 나눈 나머지를 구하는 과정이다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[eqn: x ^{10} -x ^{9} +x ^{8} -x ^{7} +…-x+1`]을 [eqn: x ^{2} -1`]로

나눈 몫을 [eqn: Q(x)`], 나머지를 [eqn: ax+b`]라 하면

[eqn: x ^{10} -x ^{9} +x ^{8} -x ^{7} +…-x+1`]

[eqn: =(x ^{2} -1)Q(x)+ax+b`] … ㉠

㉠에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: =a+b``] … ㉡

(가)

㉠에 [eqn: x=`-1``]을 대입하면

[eqn: =`-a+b``] … ㉢

(나)

㉡, ㉢을 연립하여 나머지를 구하면

(다)

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

정답 ④

[eqn: x ^{10} -x ^{9} +x ^{8} -x ^{7} +…-x+1`]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1-1+1- …+1-1+1=1=a+b]

[eqn: x ^{10} -x ^{9} +x ^{8} -x ^{7} +…-x+1`]에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 1+1+1+ …+1+1+1=11=-a+b]

두 식을 연립하면 [eqn: a=-5,``b=6]

그러므로 나머지는 [eqn: -5x+6]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: 0``]	[eqn: 10`]	[eqn: -5x+6``]

②	[eqn: 0``]	[eqn: 11`]	[eqn: -6x+5`]

③	[eqn: 1``]	[eqn: 10`]	[eqn: -5x+5`]

④	[eqn: 1``]	[eqn: 11`]	[eqn: -5x+6``]

⑤	[eqn: 1``]	[eqn: 11`]	[eqn: -6x+5`]

▶2008년 05월 경기도교육청(고1)[4점]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x) +1]을 [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 5이고, [eqn: 2f(x) -1]을 [eqn: 2x-1]로 나누면 나머지가 1이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1) (2x-1)]로 나누었을 때의 나머지는?

정답 ④
[eqn: f(x) + 1 = (x+1 ) Q_1 (x) + 5]	[eqn: therefore f(-1) =4]
[eqn: 2f(x) -1 = (2x-1) Q_2 (x) +1]	[eqn: therefore f left( 1over2 right) = 1]
[eqn: f(x) = (x+1) (2x-1) Q(x) + ax+b]에서
[eqn: f(-1) = -a+b = 4]	[eqn: cdots] ㉠
[eqn: f left( 1over2 right) = 1over2 a +b = 1]	[eqn: cdots] ㉡
㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: a=-2 ,~ b=2]
따라서 나머지는 [eqn: -2x+2]

① [eqn: -3x-1]	② [eqn: -3x+1]	③ [eqn: -2x+1]
④ [eqn: -2x+2]	⑤ [eqn: -x+3]

▶2008년 06월 인천시교육청(고1)[4점]

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -6x`]로 나눈 나머지는 [eqn: x ^{2} +ax+4`]이고, [eqn: x ^{2} -x-6`]으로 나눈 나머지는 [eqn: 5x+`b`]이다. 이 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

정답 14

[eqn: f(x)=(x ^{3} -x ^{2} -6x)Q(x)+x ^{2} +ax+4]

[eqn: =x(x ^{2} -x-6)Q(x)+x ^{2} +ax+4]

[eqn: =x(x ^{2} -x-6)Q(x)+x ^{2} -x-6][eqn: +(a+1)x+10]

[eqn: =(x ^{2} -x-6)left{xQ(x)+1`right}+(a+1)x+10]

따라서 [eqn: 5x+`b=(a+1)x+10]

[eqn: a=4,```b=10]

∴  [eqn: a+b=14]

▶2008년 05월 경기도교육청(고2)[4점]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 2이고, [eqn: x-2]로 나눈 나머지는  3, [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 1이다. [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]으로 나눈 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: R LEFT ( 10 RIGHT )]의 값은?

정답 ②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT )]로 나눈 나머지는 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2,``f LEFT ( 2 RIGHT ) =3,``f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이다.

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: R LEFT ( x RIGHT ) =ax+b] 이다.

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =3a+b=2# THEREFORE a=- {1} over {2} ,``b= {7} over {2} 이므로``R LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {2} x+ {7} over {2}# THEREFORE R LEFT ( 10 RIGHT ) `=`- {3} over {2}]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {2}]
④  [eqn: {1} over {2}]	⑤  [eqn: {3} over {2}]

▶2009년 09월 부산교육청[4점]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x`^2 `-`8x `+`12`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2x+1`]이고, [eqn: (x ` ^{2} +1)``f(x+3)`]을 [eqn: x `^{2} `-`2x`-`3`]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: R`(`x`)`]일 때, [eqn: R`(`1`)`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 70]

[eqn: f(x)````=(x ^{2} -8x+12)P(x)+2x+1]

[eqn: =(x-2)(x-6)P(x)+2x+1]……①

[eqn: (x ^{2} +1)f(x+3)=(x ^{2} -2x-3)Q(x)+R(x)]

[eqn: =(x-3)(x+1)Q(x)+ax+b]……②

①에서 [eqn: f(2)=5,] [eqn: f(6)=13]

②에 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: 2f(2)=-a+b=10],

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: 10f(6)=3a+b=130]

∴[eqn: `a=30,```b=40``]

[eqn: therefore``][eqn: R(1)=a+b=70]

▶2012년 6월 서울시교육청[4점]

삼차식 [eqn: f`(`x`)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f`(`0`)``=3`]

(나) [eqn: f`(`x+1`)=f`(`x`)``+x ^{2}]

[eqn: f`(`x`)`]를 [eqn: x ^{2} -3x+2`]로 나눈 나머지는?

정답 ②

삼차식 [eqn: f`(`x`)]를 [eqn: x ^{2} -3x+2``]로 나눈 몫을 [eqn: Q``(`x`)]라 하고 나머지를 [eqn: ax+b``]라 하면

[eqn: f`(`x`)= LEFT ( `x ^{2} -3x+2` RIGHT ) Q``(`x`)+ax+b]

[eqn: =(`x-1`)(`x-2`)Q``(`x`)+ax+b]	[eqn: cdots] ㉠

한편, [eqn: f`(`x`+1`)=f`(`x`)+x ^{2} `]이므로

(ⅰ) [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f`(`1`)=f`(`0`)+0=3] ([eqn: BECAUSE ``f`(`0`)``=`3])

(ⅱ) [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f`(`2`)=f`(`1`)+1=4] ([eqn: BECAUSE ``f`(`1`)``=3])

(ⅰ), (ⅱ)의 결과를 ㉠에 각각 대입하면

[eqn: f`(`1`)=`a``+b=3]	[eqn: cdots] ㉡

[eqn: f`(`2`)=2a+b```=4]	[eqn: cdots] ㉢

㉢-㉡에서 [eqn: `a=1]

[eqn: a]의 값을 ㉡에 대입하면 [eqn: `b=2]

따라서 [eqn: a=1,``b=2``]이므로

삼차식 [eqn: f`(`x`)`]를 [eqn: x ^{2} -3x+2`]로 나눈 나머지는 [eqn: x+2`]이다.

① [eqn: x+3]	② [eqn: x+2]	③ [eqn: x+1]

④ [eqn: x]	⑤ [eqn: x-1]

▶2009년 05월 경기교육청[4점]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식
[eqn: x ^{2009} =a _{0} +a _{1} (x+1)+a _{2} (x+1) ^{2} + CDOTS +a _{2009} (x+1) ^{2009}]
이 성립할 때, [eqn: a _{0} +a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{2008}]의 값은?

정답 ②

준식에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{2009} =0`` CDOTS ㉠]
[eqn: x=-2]를 대입하면 [eqn: a _{1} -a _{2} +a _{3} -` CDOTS `-a _{2009} =(-2) ^{2009} ` CDOTS ㉡]
이때,㉠,㉡의 식을 변변 더하면
[eqn: 2(a _{0} +a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{2008} )=-2 ^{2009}]
[eqn: THEREFORE a _{0} +a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{2008} =-2 ^{2008}]

① [eqn: -2 ^{2009}]	② [eqn: -2 ^{2008}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2 ^{2008}]	⑤ [eqn: 2 ^{2009}]

▶2012년 9월 인천시교육청[4점]

다음은 계수가 실수인 다항식 [eqn: P(x)`]에 대하여 방정식 [eqn: x^3 + 2x - 1 =0 `]의 서로 다른 세 근이 모두 방정식 [eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)= 1 `]의 근이 되도록 하는, 차수가 최소인 다항식 [eqn: P(x)`]를 구하는 과정이다.

	[eqn: x^3 + 2x - 1 =0 `]의 서로 다른 세 근이 모두 방정식 [eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)= 1 `]의 근이므로 [eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)-1=(x^3 + 2x -1) Q(x) `] 인 다항식 [eqn: Q(x)`]가 존재한다. 즉, [eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)=(x^3 + 2x -1) Q(x) +1`]이다. 그런데, [eqn: x^3 + 2 x -1 `]을 [eqn: x^2 + x+ 1`]로 나눈 몫과 나머지는 각각 [eqn: x-1`], [eqn: BOX{```(가)```} `]이므로 [eqn: (x ^{2} +x+1)P(x)] [eqn: =(x-1)(x ^{2} +x+1)Q(x)+ BOX{```(가)```} Q(x)+1`] [eqn: CDOTS `㉠] 이다. 등식 [eqn: ㉠`]을 만족하는 다항식 [eqn: P(x)`]의 차수가 최소가 되기 위해서는 [eqn: Q(x)``]가 다항식이므로 [eqn: BOX{```(가)```} Q(x)+1=x ^{2} +x+1] 이어야 한다. 따라서 [eqn: Q(x) =box{```(나)```}`]이다. 그러므로 구하고자 하는 다항식 [eqn: P(x) =box{```(다)```}`]이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`], [eqn: h(x)`]라 할 때, [eqn: f(1)+ g(3)+h(5)`]의 값은?

정답　②

[eqn: x ^{3} +2x-1`=0`]의 서로 다른 세 근이 모두 방정식 [eqn: (x ^{2} +x+1)P(x)=1`]의 근이므로

[eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)-1=(x^3 + 2x -1) Q(x) `]

인 다항식 [eqn: Q(x)`]가 존재한다.

즉, [eqn: (x^2 + x + 1 ) P(x)=(x^3 + 2x -1) Q(x) +1`]이다.

그런데, [eqn: x^3 + 2 x -1 `]을 [eqn: x^2 + x+ 1`]로 나눈 몫과 나머지는 각각 [eqn: x-1`], [eqn: BOX{```2x```} `]이므로

[eqn: (x ^{2} +x+1)P(x)]

[eqn: =(x-1)(x ^{2} +x+1)Q(x)+ BOX{`2x`} Q(x)+1][eqn: CDOTS `㉠]

이다. 등식 ㉠을 만족하는 다항식 [eqn: P(x)`]의 차수가 최소가 되기 위해서는[eqn: Q(x)`]가 다항식이므로

[eqn: BOX{``2x``} Q(x)+1`][eqn: =x ^{2} +x+1]

이어야 한다. 따라서 [eqn: Q(x)= BOX{` {1} over {2} x+ {1} over {2} `} `]이다.

그러므로 구하고자 하는 다항식

[eqn: P(x)= BOX{` {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} `} `]이다.

[eqn: f(x)=2x,``g(x)= {1} over {2} x+ {1} over {2} ,``h(x)= {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2}]이므로 [eqn: f(1)+g(3)+h(5)=17]

① [eqn: 16]       ② [eqn: 17]       ③ [eqn: 18]       ④ [eqn: 19]        ⑤ [eqn: 20]

▶2012년 3월 부산시교육청[4점]

삼차다항식 [eqn: f`(x)`=x ^{3}+px ^{2} +qx+r`]가 있다. [eqn: 0`]이 아닌 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) =x ^{3} -2+ {1} over {x ^{3}} `]이 성립할 때, [eqn: p`q`+`r`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q,~r`]는 상수이다.)

정답 54

[eqn: f` LEFT ( `x-2+ {1} over {x} RIGHT ) =x ^{3} -2+ {1} over {x ^{3}}]

[eqn: = LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{3} -3 LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) -2]

[eqn: = LEFT { LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) +2 RIGHT } ^{3} -3 LEFT { LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) +2 RIGHT } -2`]에서

[eqn: f`(x)`=`(`x+2) ^{3} `-`3`(`x+2)`-2]

[eqn: =`x ^{3``} `+6x ^{2} ``+`9x`]가 된다. 따라서

[eqn: p`=`6,~q`=`9,~r``=`0`]이므로 [eqn: p`q`+`r`=`54`]이다.

▶2007년 09월 서울교육청[4점]

두 다항식 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]에 대하여 [eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지가 [eqn: 10`]이고 [eqn: LEFT { `f`(`x`)` RIGHT } ^{2} `+` LEFT { `g`(`x`)` RIGHT } ^{2} ``]을 [eqn: x`-`2`]로 나눈 나머지가 [eqn: 58`]일 때, [eqn: f`(`x`)`g`(`x`)`]를 [eqn: x`-`2`]로 나눈 나머지를 구하시오.

정답 [eqn: 21``]

[eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)`]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 10]에서

[eqn: f(2)`+g(2)=10]

[eqn: LEFT { `f`(`x`)` RIGHT } ^{2} `+` LEFT { `g`(`x`)` RIGHT } ^{2} ``]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 58`]에서

[eqn: LEFT { f(2) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(2) RIGHT } ^{2} `=58]

[eqn: LEFT { f(2) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(2) RIGHT } ^{2} `= LEFT { f(2)+g(2) RIGHT } ^{2} -2f(2)g(2)]이므로

[eqn: 58`=`10^2 - 2 f(2)g(2)]

∴ [eqn: f(2)`g(2)`=21]

▶2014년 03월 서울교육청[4점]

다항식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +7x+4]를 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 서로 다른 두 이차식 [eqn: A(x)], [eqn: B`(x)]로 나눈 나머지가 모두 [eqn: 2x+6]이다. 다항식 [eqn: A(x)+B`(x)]를 [eqn: x-4]로 나눈 나머지는?

정답 ⑤

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.

다항식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +7x+4]를 두 이차식 [eqn: A(x)], [eqn: B(x)]로 나눈 나머지가 [eqn: 2x+6]으로 같으므로 [eqn: A(x)], [eqn: B(x)]는 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +7x+4 -(2x+6)]의 인수이다.

[eqn: x ^{3} -4x ^{2} +7x+4 -(2x+6)][eqn: =x^3 -4x^2 +5x-2]

[eqn: =(x-1)^2 (x-2)] …… ㉠

두 이차식 [eqn: A(x)], [eqn: B(x)]는 ㉠의 서로 다른 인수이므로

[eqn: A(x)=(x-1) ^{2}], [eqn: B(x)=(x-1)(x-2)]

또는 [eqn: A(x)=(x-1)(x-2)], [eqn: B(x)=(x-1) ^{2}]

∴ [eqn: A(x)+B(x)][eqn: =(x-1) ^{2} +(x-1)(x-2)]

다항식 [eqn: A(x)+B(x)]를 [eqn: x-4]로 나눈 나머지는 다항식 [eqn: A(x)+B(x)]의 [eqn: x]에 [eqn: 4]를 대입한 값과 같다.

∴ [eqn: A(4)+B(4)][eqn: =3 ^{2} +3times2][eqn: =15]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

▶2014년 09월 인천교육청[4점]

서로소인 두 자연수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 세 모서리의 길이가 각각 [eqn: a+b`,~a+b`,~a+2b`]인 직육면체가 있다. 이 직육면체를 그림과 같이 각 모서리의 길이가 [eqn: a] 또는 [eqn: b`]가 되도록 [eqn: 12`]개의 작은 직육면체로 나누었을 때, 부피가 [eqn: 150`]인 직육면체는 [eqn: 5`]개다.

정답 [eqn: 16``]

[출제의도] 다항식의 연산을 활용한 수학 외적 문제 해결하기

직육면체의 부피는

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} LEFT ( a+2b RIGHT ) =a ^{3} +4a ^{2} b+5ab ^{2} +2b ^{3}]

부피가 [eqn: a ^{3} `]인 직육면체 : [eqn: 1]개

부피가 [eqn: a ^{2} b`]인 직육면체 : [eqn: 4]개

부피가 [eqn: ab ^{2} `]인 직육면체 : [eqn: 5]개

부피가 [eqn: b ^{3} `]인 직육면체 : [eqn: 2]개

[eqn: ab ^{2} =150=6 TIMES 5 ^{2} `]

서로소인 두 자연수 [eqn: a=6`], [eqn: b=5`]

따라서 [eqn: a+2b=16]

[eqn: a+2b`]의 값을 구하시오.

[[eqn: 3]점][2014년 9월 인천]

인 수 분 해

▶2014년 9월 인천교육청[3점]

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -x ^{2} -kx-6`]이 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 9]

[출제의도] 나머지정리를 활용하여 계산하기

다항식 [eqn: P(x)`]가 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지려면

[eqn: P(-2) & =(-2) ^{3} -(-2) ^{2} -k(-2)-6`=0]

[eqn: 2k-18=0`]

따라서 [eqn: k=9`]

▶2014년 6월 평가원[3점]

다항식 [eqn: (`x ^{2} `+`2x`)(`x ^{2} `+`2x`-`3`)`+`2`]를 인수분해하면

정답 ③

해설

[출제의도] 치환을 이용한 사차방정식의 인수분해 이해하기

[eqn: x ^{2} +2x=X``]라 하면

주어진 식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) +2]는

[eqn: X LEFT ( X-3 RIGHT ) +2=X ^{2} -3X+2]

[eqn: = LEFT ( X-1 RIGHT ) LEFT ( X-2 RIGHT )]

이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) +2= LEFT ( x ^{2} +2x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-2 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: a=2,~b=`-1]이므로 [eqn: a+b=`1]이다.

[다른풀이]

등식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) +2= LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-2 RIGHT )]

는 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: 2=`-2b]이다.

그러므로 [eqn: b=`-1]이다.

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 2= 1+a+b]이고 [eqn: b=`-1]이므로 [eqn: a=2]이다.

따라서 [eqn: a+b=`1]이다.

[eqn: (`x ^{2} `+`ax`+`b`)(`x ^{2} `+`2x`-`2`)`]일 때, [eqn: a`+`b`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.)

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

▶2005년 6월 경기교육청

다음은 다항식 [eqn: x^4 `+ 2x^2 ` +9]를 인수분해 하는 과정이다.

정답 ④

[eqn: x^4 +2x^2 +9 `= `(x^4 + 6x^2 +9) - 4x^2]

[eqn: = (x^2 + 3)^2 - 4x^2`]

[eqn: = (x^2 + 3)^2 - (2x)^2]

[eqn: = (x^2 + 3+2x`)`(x^2 +3-2x)]

[eqn: = (x^2 +2x+ 3`)`(x^2 -2x+3)]

[eqn: x^4 + 2x^2 +9][eqn: =x^4 + 6x^2 +9 -``BOX{``(가)``}```][eqn: x^2]

[eqn: =(x^2 + 3)^2 -``BOX{``(가)``}``][eqn: x^2]

[eqn: =(x^2 + 3)^2 -(````][eqn: BOX{``(나)``}``x)^2]

[eqn: =(x^2 +``BOX{``(나)``}][eqn: x+3)(x^2 -2x+3)]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 수를 바르게 짝지은 것은?

(가)	(나)

① [eqn: -4]	[eqn: -2]

② [eqn: -4]	[eqn: 2]

③ [eqn: -4]	[eqn: 4]

④    [eqn: 4]             [eqn: 2]

⑤    [eqn: 4]	[eqn: -4]

▶2005년 6월 인천교육청[[eqn: 3]점]

[eqn: { a}^{3}`-` { a}^{2} c`-`a { b}^{2} ` +` { b}^{2 }c]  의 인수인 것은?

정답 ②

[eqn: a ^{3} -a ^{2} c-ab ^{2} +b ^{2} c]

[eqn: =a ^{2} (a-c)-b ^{2} (a-c)]

[eqn: =(a-c)(a ^{2} -b ^{2} `)]

[eqn: =(a-c)(a+b)(a-b)]

① [eqn: a`+`c]	② [eqn: a`-`c]	③ [eqn: b`+`c]

④ [eqn: b`-`c]	⑤ [eqn: a ^{2} `+`b ^{2}]

▶2008년 05월 경기도교육청(고1)[[eqn: 3]점]

다항식 [eqn: x^3 - 5x^2 +8x -4]가 [eqn: (x+a)(x+b)^2]으로 인수분해 될 때, 상수 [eqn: a,~ b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

정답 ①
[eqn: x^3 - 5x^2 + 8x -4 = (x-1)(x-2)^2]이므로
[eqn: a=-1,~ b=-2]
[eqn: therefore a+b = -3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

▶2010년 03월 교육청[3점]

다음의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[출제의도] 곱셈공식을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {2010 ^{2} -2002 TIMES 2018} over {2011 ^{2} -2009 TIMES 2013}][eqn: = {2010 ^{2} - LEFT ( 2010-8 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2010+8 RIGHT )} over {2011 ^{2} - LEFT ( 2011-2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2011+2 RIGHT )}]

[eqn: = {2010 ^{2} -2010 ^{2} +64} over {2011 ^{2} -2011 ^{2} +4}]

[eqn: = 64 over 4]

[eqn: =16]

[다른 풀이]

[eqn: 2010=x`,~2011=y`]라 하면

[eqn: {2010 ^{2} -2002 TIMES 2018} over {2011 ^{2} -2009 TIMES 2013}][eqn: = {x ^{2} - LEFT ( x-8 RIGHT ) TIMES LEFT ( x+8 RIGHT )} over {y ^{2} - LEFT ( y-2 RIGHT ) TIMES LEFT (y+2 RIGHT )}]

[eqn: = {x ^{2} -x ^{2} +64} over {y ^{2} -y ^{2} +4}]

[eqn: = 64 over 4]

[eqn: =16]

[eqn: {``2010` ^{2} ``-`2002`` TIMES `2018``} over {2011 ^{`2} ``-`2009`` TIMES `2013}]

▶2013년 6월 교육청[3점]

다음 중에서 다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-1 RIGHT ) -2`]의 약수인 것은?

정답 ①

[eqn: x ^{2} -x=A`]로 놓으면

[eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-1 RIGHT ) -2`=A LEFT ( A-1 RIGHT ) -2]

[eqn: =A ^{2} -A-2`]

[eqn: = LEFT ( A-2 RIGHT ) LEFT ( A+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) ( x ^{2} -x+1 )]

따라서 [eqn: x-2`]는 주어진 식의 약수이다.

① [eqn: x-2`]	② [eqn: x-1`]	③ [eqn: x`]

④ [eqn: x ^{2} +1`]	⑤ [eqn: x ^{2} +x+1`]

▶년 00월 인천교육청[3점]

부피가 [eqn: (x^3 +x^2 -5x +3) pi] 인 직원기둥이 있다. 이 직원기둥의 높이와 밑면의 반지름의 길이가 각각 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식으로 나타내어 질 때, 이 직원기둥의 겉넓이는? (단, [eqn: x>1])

정답 ②

[출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적문제 해결하기

원기둥의 반지름의 길이를 [eqn: r], 높이를 [eqn: h]라 하면

(부피) [eqn: = pi r ^{2} h]

[eqn: = LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -5x+3 RIGHT ) pi]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+3 RIGHT ) pi] 이므로

[eqn: r=x-1], [eqn: h=x+3]

(겉넓이) [eqn: =2 pi r ^{2} +2 pi rh]

[eqn: =2r(r+h) pi]

[eqn: =2(x-1)(2x+2) pi]

[eqn: =4(x ^{2} -1) pi]

① [eqn: 4(x^2 -x)pi]          ② [eqn: 4(x^2 -1)pi]          ③ [eqn: 4 `x^2` pi]

④ [eqn: 4(x^2 +1)pi]          ⑤ [eqn: 4(x^2 +x)pi]

▶2012년 6월 서울교육청[3점]

다항식 [eqn: x ^{`4} -8`x ^{`2} +16`]을 인수분해하면 [eqn: LEFT ( `x+a` RIGHT ) ^{2} LEFT ( `x+b` RIGHT ) ^{2} `]이다.
[eqn: {`2012`} over {a-b} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>b`]이다.)

정답 503

[출제의도] 특수한 사차다항식의 인수분해를 한다.

[eqn: x ^{4} -8x ^{2} +16 & = LEFT ( `x ^{2} ` RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( `x ^{2} ` RIGHT ) +16][eqn: & = LEFT ( `x ^{2} -4` RIGHT ) ^{2}][eqn: & = LEFT ( `x+2` RIGHT ) ^{2} LEFT ( `x-2` RIGHT ) ^{2}]

이때 [eqn: a>b``]이므로 [eqn: a=2,```b=-2]

[eqn: {`2012`} over {a-b} = {2012} over {2-(-2)} `=503]

[다른 풀이1] 치환을 이용한 방법

[eqn: x ^{2} =t``]로 놓으면

[eqn: x ^{4} -8x ^{2} +16 & = t ^{2} -8 t +16] [eqn: & = LEFT ( `t-4` RIGHT ) ^{2}] [eqn: & = LEFT ( `x ^{2} -4` RIGHT ) ^{2}]

[eqn: & = LEFT ( `x+2` RIGHT ) ^{2} LEFT ( `x-2` RIGHT ) ^{2}]

이때 [eqn: a>b`]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=`-2]

[eqn: {`2012`} over {a-b} = {2012} over {2-(-2)} =503]

[다른 풀이2] 항등식의 성질을 이용한 방법

[eqn: x ^{4} -8x ^{2} +16 & = LEFT ( `x+a` RIGHT ) ^{2} LEFT ( `x+b` RIGHT ) ^{2}]

는 [eqn: x`]에 관한 항등식이므로

양변에 [eqn: x=`-a`]를 대입하면

[eqn: a ^{4} -8a ^{2} +16=0]

[eqn: LEFT ( `a ^{2} -4` RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: a^2 =4]   [eqn: THEREFORE ``a=`±2]

같은 방법으로 양변에 [eqn: x=`-b`]를 대입하면

[eqn: b ^{`2} =4]   [eqn: THEREFORE ``b=`±2]

문제의 조건 [eqn: a>b`]에 의하여

[eqn: a=2], [eqn: b=`-2]

따라서 [eqn: {`2012`} over {a-b} = {2012} over {2-(-2)} =503]

▶2007년 10월 국가수준[3점]

다항식 [eqn: f`(x)=2x ^{4} -ax ^{3} +x-2`]가 [eqn: x+1`]을 인수로 가질 때, 다음 중 [eqn: f`(x)`]의 인수인 것은? (단, [eqn: a`]는 상수)

정답 ③

[eqn: f(x)`]는 [eqn: (x+1)`]을 인수로 가지므로

[eqn: f(-1)=2+a-1-2=0`], [eqn: a=1`]

[eqn: `f(x)=2x ^{4} -x ^{3} +x-2`][eqn: =2(x ^{4} -1)-x(x ^{2} -1)`]

[eqn: =(x ^{2} -1)left{2(x ^{2} +1)-x right}=(x-1)(x+1)(2x ^{2} -x+2)`]

[eqn: THEREFORE~~ f(x)`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다.

① [eqn: x-3`]	② [eqn: x-2`]	③ [eqn: x-1`]

④ [eqn: x+2`]	⑤ [eqn: x+3`]

▶2007년10월 교육청[3점]

[eqn: bar{rm AB it} =c`,~ bar{rm BC it} =a`,~ bar{rm CA it} =b`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]에서
[eqn: a ^{3} +a ^{2} b+a(b ^{2} -c ^{2} )+b ^{3} -bc ^{2} =0`]이 성립할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]는 어떤 삼각형인가?

정답 ⑤

[출제의도] 다항식의 인수분해 활용하기

[eqn: a^3 +a^2 b+a(b^2 -c^2 )+b^3 -bc^2 =0]

[eqn: a^2 (a+b)+b^2 (a+b)-c^2 (a+b)=0]

[eqn: (a+b)(a^2 +b^2 -c^2 )=0]

[eqn: a^2 +b^2 -c^2 =0]

[eqn: c^2 =a^2 +b^2]

따라서, [eqn: C = 90DEG]인 직각삼각형이다.

① 정삼각형	② [eqn: a=c`]인 이등변삼각형
③ [eqn: b=c`]인 이등변삼각형	④ [eqn: A=90 DEG]인 직각삼각형
⑤ [eqn: C=90 DEG]인 직각삼각형

▶2009년 09월 부산교육청[3점]

삼각형의 세 변의 길이가 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]이고,
[eqn: a ` ^{3} +``c `^{3`} +a `^{2} `c`+ac `^{2} `-ab ` ^{2} ``-b ` ^{2} `c`=0`]
을 만족할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가?

정답 ⑤

[출제의도] 인수분해를 이용한 삼각형 모양 구하기

[eqn: a ^{3} +``c ^{3`} +a ^{2} `c`+ac ^{2} `-ab ^{2} ``-b ^{2} `c`]                          [eqn: =`(a `+c )(a^2`-ac+c^2`) `+ac(a+c)-b ^{2} (a+c)]

[eqn: =(a+c)(a ^{2} `+c ^{2} `-b ^{2} `)`=`0]

[eqn: ` THEREFORE ```a ^{2} `+c ^{2} `=b ^{2}] [eqn: ( BECAUSE `a+c != 0)]

따라서, [eqn: b`]가 빗변인 직각삼각형

① 정삼각형	② [eqn: a=b`]인 이등변삼각형

③ [eqn: b=c`]인 이등변삼각형	④ [eqn: a`]가 빗변인 직각삼각형

⑤ [eqn: b`]가 빗변인 직각삼각형

▶2007년10월 교육청[3점]

다항식 [eqn: 2x ^{3} -7x ^{2} +(3k+1)x-2`]가 서로 다른 [eqn: 3`]개의 일차식을 인수로 가지고, 그 중 [eqn: 2`]개의 일차식이 다항식 [eqn: x ^{2} -3x+k`]의 인수일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 다항식의 인수분해 활용하기

[eqn: 2x^3 -7x^2 +(3k+1)x-2=(x^2 -3x+k)(ax-b)]

이므로 [eqn: a=2,`b= 2 over k`]이다.

[eqn: -7x ^{2} = - left ({2} over {k} +6 right)x ^{2}`]이므로 [eqn: k=2]

<별해> [eqn: 2x^3 -7x^2 +(3k+1)x-2=0]의

세 근을 [eqn: alpha,`beta,`gamma`]라 하면,

[eqn: x^2 -3x+k=0] 의 두 근을 [eqn: alpha,`beta`]로 둘 수 있다.

근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha+beta+gamma `=`7 over 2], [eqn: alpha `+ beta``=3] 이므로 [eqn: gamma ``= { 1} over {2 }]

[eqn: alphabetagamma=1], [eqn: alpha beta =k] 이므로 [eqn: k=2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

▶2006년 6월 교육청[3점]

[eqn: x ^{2} -xy-6y ^{2} -x+8y-2] 가 [eqn: LEFT ( x+ay-2 RIGHT ) ` LEFT ( x+by+1 RIGHT )] 으로 인수분해될 때, [eqn: a ^{} +b ^{}] 의 값은?

정답 ②

[eqn: x ^{2} -xy-6y ^{2} -x+8y-2]

[eqn: =(x+2y-2)(x-3y+1)]

∴[eqn: a=2,````b=-3]  즉, [eqn: ``a+b=-1]

① [eqn: -5]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

▶2006년 6월 교육청

[eqn: x+1] 이 다항식 [eqn: ax ^{4} +bx ^{3} +cx-a] 의 인수일 때, 임의의 실수 [eqn: a,``b,``c] 에 대하여 주어진 다항식의 인수가 반드시 될 수 있는 것은?

정답 ③

다항식 [eqn: f(x)=ax ^{4} +bx ^{3} +cx-a]라 하면

[eqn: x+1`]이 [eqn: f(x)]의  인수이므로

[eqn: f(-1)=a-b-c-a=0], 즉 [eqn: b+c=0]

[eqn: f(1)=a+b+c-a=0]

∴[eqn: x-1`]은 반드시 [eqn: f(x)]의 인수이다.

① [eqn: x+2]	② [eqn: x]	③ [eqn: x-1]

④ [eqn: x-2]	⑤ [eqn: x-3]

▶2010년 6월 부산교육청[3점]

다항식 [eqn: P`(x)=x ^{2} -4x-6] 에 대하여 서로 다른 두 실수 [eqn: a`,~b] 가 [eqn: P`(a)=0`], [eqn: P`(b)=0] 을 만족시킬 때, [eqn: P`(a+b)] 의 값은?

정답 ①

[출제의도] 인수정리 이해하기

[eqn: P`(a)=0`], [eqn: P`(b)=0]이므로 인수정리에 의해

[eqn: P(x)=x ^{2} -4x-6=(x-a)(x-b)=x ^{2} -(a+b)x+ab]

일차항의 계수를 비교하면 [eqn: a+b=4]

[eqn: THEREFORE~P(4)=`-6]

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

▶2006년 6월 교육청 [[eqn: 3`]점]

다항식 [eqn: a ^{6}` -`b ^{6}] 의 약수를 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ④

[eqn: a ^{6} -b ^{6} =(a+b)(a-b)(a^2 -ab+b^2 )(a^2 +ab +b^2 )]

따라서 <보기> 중 약수는 [eqn: a +b ,~a^3 +b^3]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a `+`b]        ㄴ. [eqn: a ^{2} `+`b ^{2}]       ㄷ. [eqn: a ^{3} `+`b ^{3}]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

▶2013년 6월 교육청[4점]

자연수 [eqn: n ^{4} +n ^{2} -2 `]가 [eqn: left(n-1 right) left(n-2 right) `]의 배수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최댓값을 구하시오.

정답 [eqn: 20``]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=(n^2 -1)(n^2 +2)]

[eqn: =(n-1)(n+1)(n ^{2} +2)]

[eqn: =(n-1)(n ^{3} +n ^{2} +2n+2)]

[eqn: =(n-1) LEFT { (n-2)(n ^{2} +3n+8)`+18 RIGHT } ``]

[eqn: =(n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)`+18(n-1)`` CDOTS] ㉠

[eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)`]이 [eqn: (n-1) (n-2)]의 배수이므로 ㉠이 [eqn: (n-1) (n-2)`]의 배수가 되기 위해서는  [eqn: 18(n-1)]이 [eqn: (n-1) (n-2)]의 배수가 되어야 한다.

즉, [eqn: 18(n-1)=(n-1)(n-2)k`] (단, [eqn: k`]는 자연수)

[eqn: 18=(n-2)k`]이고, [eqn: k]가 최솟값을 가질 때 [eqn: n`]이 최댓값을 가지므로 [eqn: k=1]일 때 [eqn: n]이 최대이다.

따라서 [eqn: n=20]

[다른 풀이]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2]를 조립제법을 사용하여 [eqn: (n-1)(n-2)]로 나누면 다음과 같다.

	[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 1]	[eqn: 0`]		[eqn: -2`]
[eqn: 1`]		[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2``]		[eqn: 2``]
	[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2``]	[eqn: 2``]			[eqn: 0`]
[eqn: 2``]		[eqn: 2``]	[eqn: 6`]	[eqn: 16`]
	[eqn: 1`]	[eqn: 3`]	[eqn: 8`]		[eqn: 18`]

[eqn: n ^{4} `+n ^{2} `-2`]를 [eqn: n-1`]로 나눈 몫은 [eqn: n^3 +n^2 +2n+2], 나머지는 [eqn: 0]이므로

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=(n-1)(n ^{3} +n ^{2} +2n+2)]

[eqn: n^3 +n^2 +2n+2]를 [eqn: n-2]로 나눈 몫은 [eqn: n^2 +3n+8`], 나머지는 [eqn: 18`]이다.

그러므로 식을 정리하면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)+18(n-1)]

문제의 조건에서 [eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)+18(n-1)`]은 [eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수이다.

그런데 [eqn: (n-1)(n-2)(n ^{2} +3n+8)]이 [eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수이므로 [eqn: 18(n-1)`]도 [eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수가 되어야 한다.

[eqn: 18(n-1)=(n-1)(n-2)k`] (단, [eqn: k`]는 자연수)

[eqn: 18=(n-2)k`]

[eqn: k]가 최솟값을 가질 때 [eqn: n`]이 최댓값을 가지므로 [eqn: k=1]일 때 [eqn: n]이 최대이다.

따라서 [eqn: n=20]

[참고]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`]를 [eqn: (n-1)(n-2)`]로 나누면

			[eqn: n ^{2}]	[eqn: +3n]	[eqn: +8]
[eqn: n^2 -3n+2]			[eqn: n ^{4}]		[eqn: +n ^{2}]		[eqn: -2]
			[eqn: n ^{4}]	[eqn: -3n ^{3}]	[eqn: +2n ^{2}]
				[eqn: 3n ^{3}]	[eqn: -n ^{2}]
				[eqn: 3n ^{3}]	[eqn: -9n ^{2}]	[eqn: 6n]
					[eqn: 8n ^{2}]	[eqn: -6n]
					[eqn: 8n ^{2}]	[eqn: -24n]	[eqn: 16]
						[eqn: 18n]	[eqn: -18]

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`= LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2) LEFT ( n ^{2} +3n+8` RIGHT ) +18n-18]이다.

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2) LEFT ( n ^{2} +3n+8` RIGHT )]은 [eqn: (n-1)(n-2)]의 배수이므로

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`]가 [eqn: (n-1)(n-2)]의 배수가 되기 위해서는

[eqn: 18n-18]이 [eqn: (n-1)(n-2)]의 배수이어야 한다.

따라서

[eqn: 18n-18=18(n-1)][eqn: =k(n-1)(n-2)] (단, [eqn: k]는 자연수)

라고 할 수 있다.

양변을 [eqn: n-1]로 나누면

[eqn: 18=k(n-2)]

[eqn: n-2=1,``2,``3,``6,``9,``18]이고

[eqn: n=3,``4,``5,``8,``11,``20]이다.

(ⅰ) [eqn: n=3]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 88], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 2]이고 [eqn: 88]은 [eqn: 2]의 배수

([eqn: 88=2 TIMES 44])

(ⅱ) [eqn: n=4]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 270], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 6]이고 [eqn: 270]은 [eqn: 6]의 배수 ([eqn: 270=6 TIMES 45])

(ⅲ) [eqn: n=5]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 648], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 12]이고 [eqn: 648]은 [eqn: 12]의 배수 ([eqn: 648=12 TIMES 54])

(ⅳ) [eqn: n=8]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 4158], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 42]이고 [eqn: 4158]은 [eqn: 42]의 배수 ([eqn: 4158=42 TIMES 99])

(ⅴ) [eqn: n=11]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 14760], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 90]이고 [eqn: 14760]은 [eqn: 90]의 배수 ([eqn: 14760=90 TIMES 164])

(ⅵ) [eqn: n=20]이면

[eqn: n ^{4} +n ^{2} -2=][eqn: 160398], [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) (n-2)=][eqn: 342]이고 [eqn: 160398]은 [eqn: 342]의 배수 ([eqn: 160398=342 TIMES 469])

∴ [eqn: n=3,``4,``5,``8,``11,``20]일 때 [eqn: n ^{4} +n ^{2} -2`]는

[eqn: (n-1)(n-2)`]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=20]

▶2009년 05월 경기교육청[4점]

다항식 [eqn: (x ^{2} -x-9)(x ^{2} -x+1)+21]을 인수분해하면 [eqn: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)]이다. 이 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18]

[eqn: x ^{2} -x=t]라 하면

(준 식)[eqn: =(t-9)(t+1)+21][eqn: =t ^{2} -8t+12=(t-2)(t-6)]
[eqn: =(x ^{2} -x-2)(x ^{2} -x-6)][eqn: =(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2} =4+1+9+4=18]이다.

▶2007년 05월 교육청[4점]

자연수 [eqn: m, ``n```]에 대하여 두 수 [eqn: root 24m ,`` root 45n```]의 곱이 자연수가 될 때, [eqn: m+n```]의 최솟값을 구하시오.

정답 [eqn: 11``]

[출제의도]약수와 배수의 성질을 이용하여 약수 구하기

[eqn: sqrt24m sqrt45n = sqrt{2^3 times 3^3 times 5 times m times n}] 이 자연수이기 위해서는

[eqn: 3^3 times 3^3 times 5 times m times n] 이 완전제곱수이므로

[eqn: mn= 2 times 3 times 5 times k^2] 의 꼴에서 [eqn: k=1]일 때, 최소값을 갖는다.

그러므로, [eqn: mn=30]인 자연수의 순서쌍 [eqn: (m,``n)]은

[eqn: (1, 3), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1)``]

따라서, [eqn: m+n]의 최소값은 11

▶2012년 6월 서울시교육청[4점]

다음은 어떤 네 자리 자연수가 [eqn: 11`]의 배수이기 위한 필요충분조건을 구하는 과정의 일부이다.

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 숫자가 각각

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]인 네 자리 자연수 [eqn: N``]에 대하여

[eqn: f`(`x`)=ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d``]

로 놓으면

[eqn: N```=]

(가)

한편, [eqn: f`(`x`)``]를 [eqn: x+1``]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(`x`)``]라 하면

[eqn: f`(`x`)=(`x+1`)Q`(`x`)``+]

(나)

[eqn: vdots]

따라서

(나)

가 [eqn: 11`]의 배수인 것은 네 자리 자연수 [eqn: N``]이
[eqn: 11`]의 배수이기 위한 필요충분조건이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ④

[출제의도] 나머지 정리를 이용하여 추론 문제를 해결한다.

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 숫자가 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]인 네 자리 자연수 [eqn: N`]에 대하여

[eqn: f`(`x`)=ax ^{3} +b`x ^{2} +c`x+d``]

로 놓으면

[eqn: N```=]

[eqn: f`(`10`)]

다항식 [eqn: f`(`x`)]를 [eqn: x+1`]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(`x`)`], 나머지를 [eqn: R`]라 하면

[eqn: f`(`x`)=(`x+1`)Q`(`x`)+R`]

이고, 나머지 정리에 의하여

[eqn: R```=f`(`-1`)=`]

[eqn: -a+b-c+d]

따라서

[eqn: N```=f`(`10`)=11Q``(`10`)+(`-a+b-c+d`)``]

이므로 가 [eqn: 11`]의 배수인 것은 네 자리 자연수 [eqn: N``]이 [eqn: 11`]의 배수이기 위한 필요충분조건이다.

[eqn: -a+b-c+d]

따라서 (가)는 [eqn: f`(`10`)]이고 (나)는 [eqn: -a+b-c+d]이다.

[참고]

문제에서 구한 [eqn: 11`]의 배수가 되기 위한 필요충분조건은 네 자리 자연수뿐 아니라 모든 자연수에 대하여 성립한다.

(예1) 자연수 [eqn: 7183`]은

[eqn: LEFT ( `7+8` RIGHT ) - LEFT ( `1+3` RIGHT ) `][eqn: =15-4][eqn: =11]

이므로 [eqn: 11`]의 배수 판정법에 의하여 [eqn: 11`]의 배수가 된다. 실제로 [eqn: 7183=11 TIMES 653`]으로 자연수 [eqn: 7183`]은 [eqn: 11`]의 배수이다.

(예2) 자연수 [eqn: 135795]는

[eqn: LEFT ( `1+5+9` RIGHT ) - LEFT ( `3+7+5` RIGHT )][eqn: =15-15][eqn: =0]

이므로 [eqn: 11`]의 배수 판정법에 의하여 [eqn: 11`]의 배수가 된다. 실제로 [eqn: 135795=11 TIMES 12345`]로 자연수 [eqn: 135795`]는 [eqn: 11`]의 배수이다.

(가)	(나)

①	[eqn: f`(`-1`)]	[eqn: a+b+c+d]

②	[eqn: f`(`-1`)]	[eqn: -a+b-c+d]

③	[eqn: f`(`1`)]	[eqn: a+b+c+d]

④	[eqn: f`(`10`)]	[eqn: -a+b-c+d]

⑤	[eqn: f`(`10`)]	[eqn: a+b+c+d]

▶2007년 05월 교육청[4점]

[eqn: {2007^4 - 2 times 2007^2 -3 times 2007 -2 } over {2007^3 -2007^2 -2009 }```]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 2007`=`a] 라 하면

(주어진 식) [eqn: =`{a^4 -2 a^3 -3a -2} over{ a^3 -a^2 -a -2}]

[eqn: =`{(a+1)(a-2)(a^2 +a +1)} over {(a-2)(a^2 +a+1)}]

[eqn: =`a+1`=` 2008]

① [eqn: 2004]	② [eqn: 2005]	③ [eqn: 2006]
④ [eqn: 2007]	⑤ [eqn: 2008]

▶2007년 11월 교육청[4점]

[eqn: (x ^{2} -x)(x ^{2} +3x+2)-3`]을 인수분해하면       [eqn: (x ^{2} +ax+b)(x ^{2} +cx+d)`]이다. 이 때, [eqn: a+b+c+d`]의 값은?       (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]는 상수이다.)

정답 ③

[출제의도] 인수분해하기

[eqn: (x ^{2} -x)(x ^{2} +3x+2)-3`]

[eqn: =x(x-1)(x+1)(x+2)-3]

[eqn: =(x^2 +x)(x^2 +x -2)-3]

[eqn: x ^{2} +x`=A]로 치환하면

(준식)[eqn: =A(A-2)-3=(A+1)(A-3)]

[eqn: =(x^2 +x+1)(x^2 +x -3)]

따라서 [eqn: a+b +c+d=0]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 0``]
④  [eqn: 1]	⑤  [eqn: 2]

▶2007년 05월 교육청 [4점]

다음은 자연수 [eqn: n```]에 대하여 [eqn: n^3 +11```]이 [eqn: n+1```]로 나누어 떨어질 때, [eqn: n```]의 최대값을 구하는 과정이다.

[eqn: n^3 +11]을 [eqn: n+1]로 나누면

[eqn: n^3 +11][eqn: =(n+1)( ~~~~~~~~~) +]

(가)

(나)

이 때, [eqn: n^3 +11]이 [eqn: n+1]로 나누어 떨어지려면

(나)

[eqn: n+1 ```]은         의 약수이어야 한다.

(다)

따라서, [eqn: n]의 최대값은         이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[출제의도]나머지 정리를 이용하여 몫과 나머지 구하기

[eqn: n^3 +11]을 [eqn: n+1]로 나누면

[eqn: n^3 +11 = ( n+1 )( `````n^2 -n+1 ````) +~`10]

이 때, [eqn: n^3 +11]이 [eqn: n+1]로 나누어 떨어지려면

10

[eqn: n+1]은        의 약수이어야 한다.

9

따라서, [eqn: n]의 최대값은      이다.

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: n^2 -n+2]	[eqn: 9]	[eqn: 8]
②	[eqn: n^2 -n+2]	[eqn: 9]	[eqn: 9]
③	[eqn: n^2 -n+2]	[eqn: 10]	[eqn: 8]
④	[eqn: n^2 -n+1]	[eqn: 10]	[eqn: 8]
⑤	[eqn: n^2 -n+1]	[eqn: 10]	[eqn: 9]

▶2010년 06월 교육청[4점]

[eqn: 1] 이 아닌 두 자연수 [eqn: a`,~b] 에 대하여
[eqn: 3587 = 15^3 +15^2 -15+2 = a TIMESb]
로 나타낼 때, [eqn: a+b] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 228]

[출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: A=15]라 하면

[eqn: 3587=15 ^{3} +15 ^{2} -15+2]

[eqn: =A ^{3} +A ^{2} -A+2=(A+2)(A ^{2} -A+1)]

[eqn: =(15+2)(15 ^{2} -15+1)=17 TIMES 211]

[eqn: THEREFORE~a+b = 228]

▶2006년 9월 교육청[4점]

한 모서리의 길이가 [eqn: x``]인 정육면체 모양의 나무토막이 있다. [그림 1]과 같이 이 나무토막의 윗면의 중앙에서 한 변의 길이가 [eqn: y``]인 정사각형모양으로 아랫면의 중앙까지 구멍을 뚫었다. 구멍은 정사각기둥 모양이고, 각 모서리는 처음 정육면체의 모서리와 평행하다. 이와 같은 방법으로 각 면에서 구멍을 뚫어 [그림 2]와 같은 입체를 얻었다.

[그림 1]                    [그림 2]

이때, [그림 2]의 입체의 부피를 [eqn: x``], [eqn: y``]로 나타낸 것은?

정답 ①

구하는 입체의 부피는 원래의 정육면체의 부피에서 구멍 부분의 부피를 빼면 된다.

구멍 부분의 부피는 밑면이 한 변의 길이가 [eqn: y``]인 정사각형이고 높이가 [eqn: x``]인 정사각기둥 [eqn: 3``]개의 부피에서 중복된 부분인 한 모서리의 길이가 [eqn: y``]인 정육면체의 부피를 두 번 빼면 된다.

따라서 구멍 부분의 부피가 [eqn: 3xy^2 -2y^3 ``]이므로

구하는 입체의 부피는 [eqn: x^3 - (3 xy^2 -2 y^3 )``][eqn: =x^3 - 3 xy^2 +2 y^3 ``]이다.

[eqn: x=y``]일 때 이 식의 값이 [eqn: 0``]이 되므로 [eqn: x-y``]가 인수이다.

조립제법에 의하여 인수분해하면

[eqn: 1``]	[eqn: 1``]	[eqn: 0``]	[eqn: -3``]	[eqn: 2``]
		[eqn: 1``]	[eqn: 1``]	[eqn: -2``]
	[eqn: 1``]	[eqn: 1``]	[eqn: -2``]	[eqn: 0``]

∴ [eqn: x^3 - 3 xy^2 +2 y^3 ``][eqn: =(x-y)(x^2 +xy-2y^2 )``]
[eqn: =(x-y)^2 (x+2y)``]

① [eqn: (x-y) ^{2} `(x+2y)``]

② [eqn: (x-y)` (x+2y)^2``]

③ [eqn: (x+y)^2 `(x-2y)``]

④ [eqn: (x+y) `(x-2y)^2``]

⑤ [eqn: (x+y)^2 `(x+2y)``]

▶2009년 05월 경기교육청[4점]

그림과 같이 높이가 [eqn: x+2]이고 부피가 [eqn: x ^{3} +ax-6]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 모든 모서리의 길이가 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식으로 나타내어질 때, 모든 모서리의 길이의 합은?(단, [eqn: x>3])

정답 ②

부피는 가로, 세로, 높이의 곱이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax-6]라 하면
[eqn: f(x)]는 [eqn: x+2]를 인수로 갖는다. 이때, 인수정리에 의해 [eqn: f(-2)=0]이므로 [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) ^{3} -2a-6=0]에서 [eqn: a=-7]이다.
그러므로 [eqn: f(x)=x ^{3} -7x-6]을 인수분해하면
[eqn: f(x)=(x+2)(x-3)(x+1)]이다.
따라서 모든 모서리의 길이의 합은 [eqn: 12x]이다.

① [eqn: 12-4]	② [eqn: 12x]	③ [eqn: 12x+4]
④ [eqn: 12x+8]	⑤ [eqn: 12x+12]

▶2007년 03월 교육청[4점]

자연수를 이진법으로 나타내었을 때, 각 자리의 숫자 중 [eqn: 1`]이 두 개만 있는 수를 다음과 같은 규칙으로 나열하였다.
(규칙1) [eqn: n`]행에는 [eqn: 0`]이 [eqn: n`-`1`]개 있는 수를 모두 나열한다.	([eqn: n=1,`2,`3,`` CDOTS ``])
(규칙2) 각 행에서는 작은 수부터 차례대로 나열한다.

[eqn: 10`]행의 수 중 왼쪽에서 [eqn: 8`]번째에 있는 수를 십진법으로 나타내면 [eqn: a` TIMES `2` ^{7}`]과 같다. [eqn: a`]의 값은?

[eqn: 1]행  [eqn: 11_(2)]

[eqn: 2]행  [eqn: 101_(2)], [eqn: 110_(2)]

[eqn: 3]행  [eqn: 1001 _{(2)}], [eqn: 1010_(2)], [eqn: 1100_(2)]

[eqn: 4]행  [eqn: 10001_(2)], [eqn: 10010_(2)], [eqn: 10100_(2)], [eqn: 11000_(2)]

[eqn: CDOTS]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

정답 ③

[출제의도] 이진법으로 나타낸 수의 성질을 이용하여 규칙을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10`]행의 왼쪽에서 [eqn: 8`]번째 수는 [eqn: `10010000000` _(2) `]이므로 십진법으로 나타내면

[eqn: `10010000000 ` _{(2)} ``=][eqn: 2 ^{10} `+`2 ^{7}]

[eqn: ``=2 ^{3} TIMES 2 ^{7} +`2 ^{7} ``]

[eqn: ``=(2 ^{3} +1) TIMES 2 ^{7} `]

[eqn: ``=9 TIMES 2 ^{7} `]

∴[eqn: a=9`]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

▶2007년 06월 인천교육청[4점]

자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1]이 어떤 자연수의 제곱이 되는 [eqn: x]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

[eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1`=`y ^{2}] ([eqn: y]는 자연수)라 하자.

[eqn: 4x ^{4} +4x ^{3} +4x ^{2} +4x+4=(2y) ^{2}]

[eqn: +(3x ^{2} +4x+4)=(2y) ^{2}] [eqn: CDOTS] ㉠

(가)

[eqn: (]         [eqn: ) ^{2}]

[eqn: (2x ^{2} +x+1) ^{2} -(x-3)(x+1)=(2y) ^{2}] [eqn: CDOTS] ㉡

[eqn: (x-3)(x+1)>0]이면

㉡에서 [eqn: 2x ^{2} +x+1>2y]이고

㉠에서 이므로

(가)

[eqn: <``2y]

만족하는 자연수 [eqn: y]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: (x-3)(x+1) <= 0]이므로 [eqn: -1 <= x <= 3]이다.

그러므로 [eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1]을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 [eqn: x]의 개수는     개이다.

(나)

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

정답 ③
[출제의도] 식을 변형하는 과정 추론하기

[eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1=y ^{2}]([eqn: y] 는 자연수) 라 하자.

[eqn: 4x ^{4} +4x ^{3} +4x ^{2} +4x+4=(2y) ^{2}]

[eqn: +(3x ^{2} +4x+4)=(2y) ^{2}] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: (]           [eqn: ) ^{2}]

[eqn: 2x ^{2} +x]

[eqn: (2x ^{2} +x+1) ^{2} -(x-3)(x+1)=(2y) ^{2}] [eqn: CDOTS] ㉡

[eqn: (x-3)(x+1)>0] 이면

㉡ 에서 [eqn: 2x ^{2} +x+1>2y] 이고

㉠ 에서 이므로

[eqn: 2x ^{2} +x]

[eqn: <2y]

만족하는 자연수 [eqn: y] 는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: (x-3)(x+1) <= 0] 이므로

[eqn: -1 <= x <= 3] 이다.

그러므로 [eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1] 을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 [eqn: x] 의 개수는  개이다.

[eqn: 1]

(가)                    (나)

① [eqn: 2x ^{2} +1]                    [eqn: 1]

② [eqn: 2x ^{2} +2x]                   [eqn: 1]

③ [eqn: 2x ^{2} +x]	[eqn: 1]

④ [eqn: 2x ^{2} +2x]	[eqn: 2]

⑤ [eqn: 2x ^{2} +x]	[eqn: 2]

▶2005년 6월 인천시[4점]

그림은 체육관을 공동으로 사용하는 [eqn: A,``B] 두 고등학교의 평면도이다. 두 고등학교는 체육관을 포함하여 한 변의 길이가 각각 [eqn: a`+`x,````a`+`y`]인 정사각형 모양이고, 체육관은 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: x,~y]인 직사각형 모양일 때, 체육관을 제외한 두 고등학교 넓이의 차는? (단, [eqn: A] 고등학교가 [eqn: B] 고등학교 보다 넓다. )

정답 ③

[eqn: B] 고등학교

[eqn: A] 고등학교

체육관

[eqn: x]

[eqn: a]

[eqn: y]

[eqn: a]

체육관을 제외한 [eqn: A] 고등학교의 넓이는[eqn: (a+x) ^{2} `-xy] 이고,

[eqn: B] 고등학교의 넓이는 [eqn: (a+y) ^{2} `-xy] 이다.

따라서 두 학교의 넓이의 차는

[eqn: LEFT { (a+x) ^{2} `-xy RIGHT } - LEFT { (a+y) ^{2} -xy`` RIGHT }]

[eqn: =(a+x) ^{2} -(a+y) ^{2}]

[eqn: =(a+x+a+y)(a+x-a-y)]

[eqn: =(2a+x+y)(x-y)]

A 고등학교

B 고등학교

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: a ^{2}(x-y)]	② [eqn: 2a(x-y )]

③ [eqn: (2a+x+y)(x-y)]	④ [eqn: (2a+x-y)(x+y)]

⑤ [eqn: LEFT ( a-x+y RIGHT ) (a+x-y)]

▶20년 월 인천교육청[4점]

그림과 같이 여덟 개의 정삼각형으로 이루어진 정팔면체가 있다. 여섯 개의 꼭짓점에는 자연수를 적고 여덟 개의 정삼각형의 면에는 각각의 삼각형의 꼭짓점에 적힌 세 수의 곱을 적는다. 여덟 개의 면에 적힌 수들의 합이 [eqn: 105] 일 때, 여섯 개의 꼭짓점에 적힌 수들의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

[출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적문제 해결하기

각 꼭짓점에 적힌 숫자를 [eqn: a,b,c,d,e,f] 라고 하자. 이 때 면에 적힌 수는 각각 [eqn: abe], [eqn: ade], [eqn: acd], [eqn: abc], [eqn: bef], [eqn: d`ef], [eqn: cdf], [eqn: bcf]이다.

[eqn: abe+ade+acd+abc+bef+itdef+cdf+bcf]

[eqn: =(b+d)(a+f)(c+e)]

[eqn: =105]

[eqn: 105=3 TIMES 5 TIMES 7]이므로

[eqn: a+b+c+d+e+f=3+5+7=15]

▶2006년 10월 교육청[4점]

연도를 나타낼 때, “십간십이지(十干十二支)”를 사용할 수 있다. 십간은 [eqn: 10``]년에 한 번씩, 십이지는 [eqn: 12``]년에 한 번씩 되돌아온다.

[eqn: 2006``]년은 병술년이고 [eqn: 2007``]년은 정해년일 때, <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

현재를 기준으로 미래는 오른쪽으로 이동하고 과거는 왼쪽으로 이동한다.

ㄱ. [eqn: 2014=2006+8`]이므로 십간은 “병”에서 [eqn: 8`]칸 오른쪽으로 이동한 “갑”이고, 십이지는 “술”에서 [eqn: 8`]칸 오른쪽으로 이동한 “오”이다.

ㄴ. [eqn: 2006-1988=18=10+8=12+6`]이므로

십간은 “병”보다 왼쪽으로 [eqn: 8`]칸 이동한 “무”이고 십이지는 “술”보다 왼쪽으로 [eqn: 6`]칸 이동한 “진”이다.

ㄷ. [eqn: 2006-1945=61=60+1`]이므로 십간은 “병”에서 [eqn: 1`]칸 왼쪽으로 이동한 “을”이고, 십이지는 “술”에서 [eqn: 1`]칸 왼쪽으로 이동한 “유”이다.

∴ ㄱ, ㄴ, ㄷ

		<보기>
	ㄱ. 인천에서 유치하려는 아시안 게임의 개최 연도 [eqn: 2014``]년은 갑오년이다. ㄴ. 서울 올림픽이 개최되었던 [eqn: 1988``]년은 무진년이다. ㄷ. 대한민국이 광복한 [eqn: 1945``]년은 을유년이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 및 풀이