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평가원 및 교육청	수열의 극한	문제부터 풀라고? 아니다 요점정리 시작해라!!

2014	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-3 RIGHT )} over {4n ^{2} +5}} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-3 RIGHT )} over {4n ^{2} +5}} `]

[eqn: = lim _{n->inf} {{4n ^{2} -4n-3} over {4n ^{2} +5}}]

[eqn: = lim _{n->inf} {{4- {4} over {n} - {3} over {n ^{2}}} over {4+ {5} over {n ^{2}}}}]

[eqn: = {4} over {4}]

[eqn: =1]

[2점][2014년 3월 서울]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2014	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {2n ^{2} +1} over {3n ^{2} +n}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {2n ^{2} +1} over {3n ^{2} +n}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {2+ {1} over {n ^{2}}} over {3+ {1} over {n}}} `= {2} over {3}]

[2점][2014년 4월 경기]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

2014	교육청(2점)

[eqn: lim _{n-> INF } {{5n ^{2} -4n+3} over {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 4n+1 RIGHT )}}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: lim _{n -> INF } {{5n ^{2} -4n+3} over {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 4n+1 RIGHT )}} = lim _{n-> INF } {{5n ^{2} -4n+3} over {8n ^{2} -2n-1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{5- {4} over {n} + {3} over {n ^{2}}} over {8- {2} over {n} - {1} over {n ^{2}}}} = {5} over {8}]

[2점][2014년 8월 영남권]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

2014	평가원(2점)

[eqn: lim _{`n`-> INF } {} {5`n` ^{3} +1} over {n` ^{3} +3}]의 값은?

정답 ⑤

(준식)[eqn: =][eqn: lim _{`n` -> INF } {} {5`+ {1} over {n` ^{3}}} over {1+ {3} over {n` ^{3}}} = {5} over {1} =5]

[2점 [2014년 09월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2014	교육청(2점)

[eqn: lim _{n->inf} {left( 2n-1right) left( 2n+1right) }over{n^{`2}}`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{`(2n-1)(2n+1)} over {n ^{2}}} `][eqn: =lim _{n -> INF } {{4n ^{2} -1} over {n ^{2}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{4- {1} over {n^{`2}}} over {1}} `][eqn: =4]

[2점][14년 10월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2013	교육청(2점)

[eqn: lim _{n-> inf}{5n^{`2}+3n}over{(2n+1)(2n-1)} `]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 수렴하는 수열의 극한에 관한 성질을 알고, 이를 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5n ^{2} +3n} over {(2n+1)(2n-1)}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5n ^{2} +3n} over {4n ^{2} -1}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5+ {3} over {n} } over {4- {1} over {n ^{2}}}}][eqn: = {5} over {4} `] (∵[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3} over {n }} = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} =0`}])

[2점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

2013	평가원(2점)

[eqn: lim from { n ->inf} { 5 times 7^n+1 + 3 } over { 7^n } `]의 값은?

정답 ⑤

출제의도 : 수열의 극한 – 등비수열의 극한

주어진 식의 분자, 분모를 [eqn: 7 ^{n`}]으로 나누어 주면
(주어진 식)[eqn: =` lim _{n -> INF } {5`` TIMES ``7`+` {3`} over {7^n`}} over 1 = 35]

[2점][2013년 6월 평가원]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

2013	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {2 cdot3 ^{n} -2} over {3 ^{n+1} +1}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무한등비수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{2·3 ^{n} -2} over {3 ^{n+1} +1}} = lim _{n -> INF } {{{2} over {3} - {2} over {3 ^{n+1}}} over {1+ {1} over {3 ^{n+1}}}} = {2} over {3}]

[2점][2013년 04월 교육청]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

2013	평가원2점)

[eqn: lim_n->inf {5 times 7^n+1 +3} over 7^n ``]의 값은?

정답 ⑤

출제의도 : 수열의 극한 – 등비수열의 극한

주어진 식의 분자, 분모를 [eqn: 7 ^{n`}]으로 나누어 주면
(주어진 식)[eqn: =` lim _{n -> INF } {5`` TIMES ``7`+` {3`} over {7^n`}} over 1 = 35]

[2점][2013년 6월 평가원]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

2013	교육청(2점)

[eqn: lim _{n`-> `inf} {} {2n ^{2} +n-3} over {3n ^{2} -1} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한을 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2n ^{2} +n-3} over {3n ^{2} -1} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {2+ {1} over {n} - {3} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}} `][eqn: = {2+0-0} over {3-0} = {2} over {3} `]

[2점][2013년 10월 교육청]

① [eqn: {2} over {3} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {4} over {3} `]
④ [eqn: {5} over {3} `]	⑤ [eqn: 2`]

2013	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> `` INF } {{2n ^{2} +5} over {n ^{2} +2}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +5} over {n ^{2} +2}} ``=` lim _{n -> INF } {{{2n ^{2}} over {n ^{2}} + {5} over {n ^{2}}} over {{n ^{2}} over {n ^{2}} + {2} over {n ^{2}}}```=`2]

[2점][2013년 07월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2008	평가원(2점)

[eqn: lim from {x`->`-inf} {```x+1_`} over {{sqrt {x ^2 +x``}}^` -x}]의 값은?

정답 ②

[eqn: -x =t]로 놓으면

[eqn: x `` rarrow`` - INF]이면 [eqn: t `` rarrow`` INF]

∴ (주어진 식)[eqn: = lim _{ t->inf} { } { -t+1 } over {sqrt {t^2 -t} +t}][eqn: = lim _{ t->inf} { } { -1+ { 1} over {t } } over {sqrt {1- { 1} over {t } } +1}][eqn: = - { 1} over { 2}]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1_`} over {2}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1_`} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

2011	교육청(2점)

[eqn: lim_ {n``-> ``inf} { 3 over {sqrt{n^2 +3n +2} `-n}}`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 2]

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[eqn: lim _{n -> INF } {} {3} over {sqrt {n ^{2} +3n+2} -n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT . {3(sqrt {n ^{2} +3n+2} +n)} over {(sqrt {n ^{2} +3n+2} -n)(sqrt {n ^{2} +3n+2} +n)}]

[eqn: =2]

[2점][2011년 4월 교육청]

2008	평가원(2점)

[eqn: lim from {n`->`inf}][eqn: {2n^2 -7n} over {n ^2 +5}]의 값은?

정답 ②

[eqn: lim _{ n rarrowinf } { } { 2n^2 -7n} over {n^2 +5 }= lim _{ n rarrowinf } { } { 2 - 7 over n} over {1+ {5 } over {n^2 } }=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2006	교육청(2점)

[eqn: lim from { n -> inf }`` {`(`n```+`3`)`(`n```+`4`)```-`n^2`}over {`(`n```+`1`)`(`n```+`2`)```-`n^2`}``]의 값은?

정답 ④

[eqn: lim _{n -> INF } {} {`(n+3)(n+4)`-`n ^{2} `} over {(n+1)(n+2)`-`n ^{2}}][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} {(n ^{2} `+`7n`+12`)-n ^{2}} over {(n ^{2} `+`3n`+2`)-n ^{2}} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} {7n+12} over {3n+2} `=` lim _{n -> INF } {} {7+ {12} over {n}} over {3+ {2} over {n}} `= {7} over {3}]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {`5`} over {2}]
④ [eqn: {`7`} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

2012	평가원(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{3}+2} over {8n ^{3} `+5}}]의 값은?

정답 ①

출제의도 : 수열의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{3} +2} over {8n ^{3} +5} = lim _{n -> INF } {} {1+ {2} over {n ^{3}}} over {8+ {5} over {n ^{3}}}]

[eqn: = 1+0 over8+0]

[eqn: = 1over8]

[2점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

2012	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n} +3} over {2 ^{2n} -1}}]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n} +3} over {2 ^{2n} -1}} = lim _{n` -> ` INF } {{1+ {3} over {4 ^{n}}} over {1- {1} over {4 ^{n}}}} =1]

[2점][2012년 4월 교육청]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

2012	교육청(2점)

[eqn: lim_{n -> inf} {3n-1}over{ sqrt{n^{`2} +1}`]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n-1} over {sqrt {n ^{2} +1}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{3- {1} over {n}} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}}} `][eqn: =3`]

[2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2012	교육청(2점)

[eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한등비수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`][eqn: =][eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{4^n -1}]

[eqn: `=][eqn: lim _{ n->inf} {4 - 1 over 4^n}over{1- 1over 4^n} =4]

[2점] [12년 03월 교육청]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 8]

2008	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n} over {sqrt {4n ^{2} +1} -n}} `]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n-> INF } {{3n} over {sqrt {4n ^{2} +1} -n} = lim _{n-> INF } {{3} over {sqrt {4+ {1} over {n^2}} -1} =3}}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

2005	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {` sqrt {4n-1} ``+`` sqrt {4n+1} ``} over {sqrt {n}} ``]의 값은?

정답 ④

(주어진 식)[eqn: =``lim _{n -> INF } {} {sqrt {4``-`` {1} over {n}} ``+`` sqrt {4``+`` {1} over {n}}} over {1} ``=``4``]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

2005	평가원(2점)

[eqn: lim from { n` -> ` INF } { 2_` } over { sqrt { n^2 `+`2n` } `-` sqrt { n^2 `-`2n` } }^``]의 값은?

정답 ①
[eqn: lim from {n→inf} 2 over {root {n^2 `+`2n} ``-``root{n^2 `-`2n}} ``]
[eqn: =`` lim from {n→inf} {2`(`root{n^2 `+`2n} ``+`` root{n^2 `-`2n} `)} over 4n``]

[eqn: =`` lim from {n→inf} {{2`left(root{{n^2 over n^2 } ``+`` 2n over n^2}} ``+`` root {n^2 over n^2 ``-`` {2n} over {n^2}} right)} over {4n over n}``][eqn: =`` 4 over 4 ``=``1``]

① [eqn: 1``]	② [eqn: sqrt { 2` } ``]	③ [eqn: { 3_` } over { 2` } ``]
④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 2` sqrt { 2 `} ``]

2008	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} over {sqrt {n+1} +sqrt {n-1}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무리식이 포함된 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {2+ 1overn} + sqrt {2- 1 overn}} over {sqrt {1+ 1over n } + sqrt {1- 1overn }} = {2root2 } over 2 = root2]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

2006	교육청(2점)

[eqn: lim from { n -> inf } { SQRT { n^2 +n `}- SQRT { n^2 -n `} ` } over { SQRT { n`} ` } `]의 값은?

정답 ③

주어진 식을 변형하면

[eqn: lim from { n -> inf } { SQRT { n^2 +n `}- SQRT { n^2 -n `} ` } over { SQRT { n`} } TIMES { SQRT { n^2 +n `} + SQRT { n^2 -n `}` } over { SQRT { n^2 +n `}+ SQRT { n^2 -n `} ` }]

[eqn: = lim from { n -> INF } {(n^2 +n )-(n^2 -n)` } over { SQRT { n`}( SQRT { n^2 +n `} + SQRT { n^2 -n `}) ` }]

[eqn: = lim from { n -> inf } { 2`} over { SQRT { n`} LEFT ( SQRT { 1+ { 1`} over {n` }` } + SQRT { 1- { 1`} over {n` }` } ` RIGHT )` }][eqn: =0]

① [eqn: - SQRT { 2`}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: SQRT { 2`}]

2010	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {``` {2n+1} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}}]의 값은?

정답  ①
[eqn: lim from n->inf 2n+1 over {sqrt{ n^2 +1} +n} = lim from n->inf {2+ 1 overn } over{ sqrt {1+ 1overn^2 }+1} = 1]

점][2010년 11월 대전 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2006	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +3n`+`5} -n RIGHT )]의 값은?

정답 ②

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {( sqrt {n ^{2} +3n+5} -n)( sqrt {n ^{2} +3n+5} +n)} over {sqrt {n ^{2} +3n+5} +n}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {3n+5} over {sqrt {n ^{2} +3n+5} +n}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {3+ {5} over {n}} over {sqrt {1+ {3} over {n} + {5} over {n ^{2}}} +1}]

[eqn: = {3} over {2}]

①  [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③  [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤  [eqn: 3]

2007	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {4n ^{2} +2n} -2n` RIGHT )]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

(준식)[eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( sqrt {4n ^{2} +2n} -2n` RIGHT ) left(sqrt {4n ^{2} +2n} +2n` RIGHT )} over { sqrt {4n ^{2} +2n} +2n` }]

[eqn: =lim _{n -> INF } {} {2n} over{sqrt {4n ^{2} +2n} +2n]

[eqn: =lim _{n -> INF } {} {2} over {sqrt {4 + 2 over n} +2} = 1 over 2]

①  [eqn: 1]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 3]
④ [eqn: 1 over 4]	⑤  [eqn: 0]

2009	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {} ``n( sqrt {n ^{2} +1} -n)]의 값은?

정답 ③
[eqn: lim _{n -> INF } {} ``n( sqrt {n ^{2} +1} -n)= lim _{n -> INF } {} {n(n ^{2} +1-n ^{2} )} over {sqrt {n ^{2} +1} +n} = {1} over {2}]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over2]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

2007	교육청(2점)

[eqn: lim _{n ``-> ``INF } {``n LEFT ( sqrt {n ^{2} -n+1} - sqrt {n ^{2} -n-1} RIGHT )} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무리식의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {``n LEFT ( sqrt {n ^{2} -n+1} - sqrt {n ^{2} -n-1} RIGHT )} `]

[eqn: =lim _{n -> INF } {``n LEFT { left(n ^{2} -n+1 right) - left(n ^{2} -n-1 RIGHT ) right} }over { sqrt { n^2 -n +1} + sqrt { n^2 -n -1}]

[eqn: =lim _{n -> INF } { 2n }over { sqrt { n^2 -n +1} + sqrt { n^2 -n -1}]

[eqn: =1]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

2010	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> `INF } {{1} over {sqrt{n^2 +n+1} - sqrt {n^2 -n +1}}}`]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> ` INF } {{1} over {sqrt {n ^{2} +n+1} - sqrt {n ^{2} -n+1}}}]

[eqn: = lim _{n -> ` INF } {{LEFT ( sqrt {n ^{2} +n+1} + sqrt {n ^{2} -n+1} RIGHT )} over {2n}} =1]

[2점][2010년 7월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

2010	평가원(2점)

[eqn: lim _{n->inf} {LEFT ( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n RIGHT )}]의 값은?

정답 ②

[eqn: lim _{n -> INF } {} ( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n)][eqn: = lim _{n -> INF } {} {( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n)( sqrt {n ^{2} +4n+11} +n)} over {sqrt {n ^{2} +4n+11} +n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {4n+11} over {sqrt {n ^{2} +4n+11} +n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {4+ {11} over {n}} over {sqrt {1+ {4} over {n} + {11} over {n ^{2}}} +1}][eqn: = 2]

[2점][2010년 9월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2010	교육청(2점)

[eqn: lim _{ n->inf} {n LEFT ( root{ n^2 +1 } -n RIGHT ) }]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{ n->inf} {n LEFT ( root{ n^2 +1 } -n RIGHT ) }= lim _{ n->inf} {n over { root{ n^2 +1 } +n} = 1 over2 }]

[2점][2010 3월 교육청]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

2010	평가원(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3`․`4 ^{n} -3 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n} +2}}]의 값은?

정답 ③

[eqn: lim _{ n->inf}` { 3cdot4^n`-3^n}over{4^n`+3^n`+2}`=`lim _{ n->inf}` { 3`-`left(3over4`right)^n}over{1`+`left(3over4`right)^n`+`2over{4^n}}`=`3`]

[2점][2010년6월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2008	교육청(2점)

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{2 ^{n+1} +3 ^{-n+1}} over {2 ^{n-1} +3 ^{-n}}}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[eqn: 2 ^{n-1}] 으로 분모와 분자를 나누어 정리하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{4+ LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} over {1+ {1} over {3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} =4}]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

2007	교육청(2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2cdot 3^n - 3 cdot 4^n } over {2^2n + 3^n } ``]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한등비수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2 CDOT 3 ^{n} -3 CDOT 4 ^{n}} over {2 ^{2n} +3 ^{n}} ``][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {2 CDOT LEFT( 3 OVER 4right) ^{n} -3 } over {1 + left( 3 over 4 right) ^{n}} ``][eqn: = {0 -3 } over {1 + 0} ``=-3]

① [eqn: -3 ``]	② [eqn: -2 ``]	③ [eqn: -1``]
④ [eqn: 1 ``]	⑤ [eqn: 2``]

2009	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {}` {2 CDOT 4 ^{n}+3} over {4 ^{n+1} +2 ^{n}} ``]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 무한등비수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {` {2 CDOT 4 ^{n}+3} over {4 ^{n+1} +2 ^{n}} `= {1} over {2}}]

① [eqn: 1 over 2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 3 OVER 2`]
④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 5 over 2`]

2007	교육청(2점)

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 BULLET 3 ^n+1 +5_`} over {3 ^n -1}}]의 값은?

정답 ④

[eqn: lim from { n` -> inf } {6+ {5}_` over 3^n}_` over {1- {1}_` over 3^n}`=`6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

2008	교육청(2점)

[eqn: lim_n->inf { { 2 cdot3^n + 5 } over{ 3^n-1 + 2^n } }]의 값은?

정답 ⑤

(준식) [eqn: = lim _{ n->inf} {{ 2 cdot 3 + 5 cdot left( 1 over 3 right) ^n-1 } over { 1 + 2 cdot left( 2 over 3 right) ^{n-1} }=6]

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 5 over 3]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

2006	평가원(2점)

[eqn: lim _{ n`→`∞} { 4^n-1}_` over {4^n + 3^n} }]의 값은?

정답 ①

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` {4 _{`} ^{n-1}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}]	[eqn: =` lim _{n -> INF } {} `` {{1 _{`}} over {4```} _{`}} over {1`+` LEFT ( {3 _{`}} over {4```} RIGHT ) ^{n}}][eqn: =` {1 _{`}} over {4```}]

① [eqn: { 1_`} over{4`}]	② [eqn: { 1_`} over{2`}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

2007	평가원(2점)

[eqn: lim _{ {n`->inf}``} {{6n^2 + n + 1}_` over {n^2 + 1} ^` }]의 값은?

정답 ④

[eqn: lim from { n` ->` inf } `{6n^2 +n+1}over {n^2 +1}`=` lim from { n` ->` inf } `{6+ 1 over n + 1 over n^2}over {1+ 1 over n^2}`=`6]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

2008	평가원(2점)

[eqn: lim_{n`→`inf} {5^n -2^n}_` over{5^n+1 +3^n+1 }]의 값은?

정답 ②

준 식의 분모, 분자를 [eqn: 5^n `]으로 나누면

[eqn: lim _{n->inf} { matrix { 5^n -2^n} over {5^n+1 +3^n+1 } =lim _{n->inf} { matrix { 1 - left(2 over 5 right)^n} over {5 +3 left(3 over 5 right)^n } = 1 over 5]

① [eqn: {1_`} over {8`}]	② [eqn: {1_`} over {5`}]	③ [eqn: {1_`} over {3`}]
④ [eqn: {3_`} over {8`}]	⑤ [eqn: 1]

2007	교육청(2점)

[eqn: lim _{ n rarrow INF } { {3 ^{ n+2}+2 ^{ 2n-1} } over { 4 ^{ n}-3 ^{ n+1} } }]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n+2} +2 ^{2n-1}} over {4 ^{n} -3 ^{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{9 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} + {1} over {2}} over {1-3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} = {1} over {2}}]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: { 5} over {2 }]

2006	평가원(2점)

[eqn: lim from {n`->` inf} left{ 2 + left( - {1} over {5} right)^n `` right}`]의 값은?

정답 ②

[eqn: lim from { n -> inf }` LEFT { 2+ LEFT ( - 1 over 5 RIGHT )^n `RIGHT } `=`2]

① [eqn: 1]　	② [eqn: 2]　	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2006	교육청(2점)

무한수열 [eqn: 1 over 1 ,``2 over 3 ,`` 3 over 5 ,``4 over 7 ,``cdots,``n over 2n-1 ,``cdots``]의 극한값은?

정답 ⑤

[eqn: lim_{n->inf}``n over 2n-1 =lim_{n->inf}``1 over {2- 1 over n} = 1 over 2``]

① [eqn: 1 over 6``]	② [eqn: 1 over 5``]	③ [eqn: 1 over 4``]
④ [eqn: 1 over 3``]	⑤ [eqn: 1 over 2``]

2006	평가원(2점)

수열 [eqn: "{"`a _{n} "}"`]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여          [eqn: 2n-1`<`n`a _{n} `<`2n+4]를 만족할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ``a _{n} `]의 값은?

정답 ②

각 항을 자연수 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: {2n-1} over {n} `＜`a _{n} `＜` {2n`+`4} over {n}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2n-1} over {n} ` <= ` lim _{n -> INF } {} a _{n} ` <= ` lim _{n -> INF } {} {2n`+`4} over {n}]

[eqn: 2` <= ` lim _{n -> INF } {} a _{n} ` <= `2] 이므로 [eqn: ` lim _{n -> INF } {} a _{n} `=`2]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2005	교육청(2점)

수렴하는 무한수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: lim from { n -> inf } `( `n^2 ``-``1`) `a_n ``=`` 2006``]일 때, [eqn: lim from { n -> inf } ``left( 1 over 2 n^2 ``+``1 right)a_n ``]의 값은?

정답 ③

[eqn: (`n^2 ``-``1 `) `a_n ``=``b_n ``]라 하면 [eqn: a_n ``=`` 1 over { n^2 -1 } `b_n ``]이고 [eqn: lim from { n -> inf } ``b_n ``=`` 2006 ``]이다.

[eqn: lim from { n -> inf } left( 1 over 2 n^2 +1 right)`a_n ``=``lim from { n -> inf } left( 1 over 2 n^2 +1 right) cdot{ b_n} over { n^2 -1 } ``][eqn: =``lim from { n -> inf } ``{ 1 over2 n^2 +1 }over { n^2 -1 } cdot b_n ``= ``lim from { n -> inf } ``{ 1 over2 n^2 +1 }over { n^2 -1 } cdot lim from { n -> inf } `b_n ``]

[eqn: =`` 1 over 2 ``times ``2006 ``=``1003 ``]

① [eqn: 0``]	② [eqn: 1 over 2``]	③ [eqn: 1003``]
④ [eqn: 2006``]	⑤ [eqn: 4012``]

2014	교육청 (3점)

실수 [eqn: a`]에 대하여

정답 [eqn: 4]

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +an} -n+2a RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{n ^{2} +an-(n-2a) ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +an} +n-2a}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5an-4a ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +an} +n-2a}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5a- {4a ^{2}} over {n}} over {sqrt {1+ {a} over {n}} +1- {2a} over {n}}} `]

[eqn: = {5a} over {2}][eqn: =10]

∴ [eqn: a=4]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +an} -n+2a RIGHT ) =10]

일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[3점][2014년 3월 서울]

2014	평가원(3점)

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여

정답 ③

[eqn: a _{n} =3 TIMES 3 ^{n-1} =3 ^{n}]

[eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3 ^{n+1} -7} over {a _{n}}][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3 ^{n+1} -7} over {3 ^{n}}][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3- {7} over {3 ^{n}}} over {1}][eqn: =][eqn: {3-0} over {1} =3]

[eqn: lim from { n`->` inf} { 3^n+1 - 7 } over a_n]의 값은?

[3점][2014년 6월 평가원]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2014	평가원(3점)

[eqn: lim from { n `->` inf} { 3n^2 +5 } over { n^2 + 2n }]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 3]

[eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3n ^{2} +5} over {n ^{2} +2n} `][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3+ {5} over {n ^{2}}} over {1+ {2} over {n}} `= {3+0} over {1+0} =3]

[3점][2014년 6월 평가원]

2014	교육청(3점)

첫째항이 [eqn: 2`]이고 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over{ { a _{n} }` a_{`n+1}}]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 극한의 성질을 이해하여 등차수열의 일반항과 합으로 이루어진 극한값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} `][eqn: =2`], [eqn: d`][eqn: =3`]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n}`][eqn: =3n-1`], [eqn: a _{n+1} `][eqn: =3n+2`]

첫째항부터 제[eqn: n`]항까지 합 [eqn: S _{n}`]은

[eqn: S _{n}`][eqn: = {n left( 2+ 3n-1 right) }over {2} `][eqn: = {3n ^{2} +n} over {2} `]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {a _{n} a _{n+1}}}][eqn: =lim _{n -> INF } {{{3n ^{2} +n} over {2}} over {(3n-1)(3n+2)} `}`]

[eqn: =lim _{n -> INF } {{3+ {1} over {n}} over {18+ {6} over {n} - {4} over {n ^{2}}}} `][eqn: = {1} over {6} `]

[3점][14년 10월 교육청]

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over 6]

2013	평가원(3점)

[eqn: lim_n->inf left(root{n^2 +28n} -n right)``]의 값을 구하시오.

정답 14

[eqn: lim_n->inf left(root{n^2 +28n} -n right)]

[eqn: = lim _{ n->inf } { } {n ^{2} +28n-n ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +28n}+n} = lim _{ n->inf} { } 28n over{sqrt{n^2 +28n}+n}=14]

[3점][2013년 9월 평가원]

2006	교육청(3점)

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 에 대하여

[eqn: {9n ^{2} `+1} over {n ^{2} `+3} `<=` {na _{n}} over {2n+4} `<=` {9n ^{2} `+10} over {n ^{3} `+3}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {} `a _{n}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 18]

[eqn: {(2n+4)(9n ^{2} +1)} over {n(n ^{2} +3)} ` <= `a _{n`} ` <= ` {(2n+4)(9n ^{2} +10)} over {n(n ^{2} +3)}]

[eqn: lim _{n-> INF } {} {(2n+4)(9n ^{2} +1)} over {n(n ^{2} +3)} `= lim _{n-> INF } {} ` {(2n+4)(9n ^{2} +10)} over {n(n ^{2} +3)} `=18]

이므로 [eqn: lim _{n-> INF } {} `a _{n} `=18]정답  [eqn: 18]

[eqn: {(2n+4)(9n ^{2} +1)} over {n(n ^{2} +3)} ` <= `a _{n`} ` <= ` {(2n+4)(9n ^{2} +10)} over {n(n ^{2} +3)}]

[eqn: lim _{n-> INF } {} {(2n+4)(9n ^{2} +1)} over {n(n ^{2} +3)} `= lim _{n-> INF } {} ` {(2n+4)(9n ^{2} +10)} over {n(n ^{2} +3)} `=18]

이므로 [eqn: lim _{n-> INF } {} `a _{n} `=18]

2010	평가원 (3점)

두 등식 [eqn: lim _{n -> INF } {{an+b} over {n}} `=`2`], [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( `an``+`b` RIGHT ) `=60`]을 만족시키는 상수 [eqn: a`,``b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 극한값의 성질을 이해하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a+ {b} over {n} RIGHT )} =a=2], [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( `2n``+`b` RIGHT ) ` & =30+5b=60]

[eqn: THEREFORE`` a+b=2+6=8]

[2010년 11월 전국연합] [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

2012	평가원 (3점)

두 상수 [eqn: a], [eqn: b``]에 대하여 [eqn: lim_n->inf {an^2 +bn+7} over 3n+1 =4``]일 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12``]

[eqn: lim_{n->inf} {an^2 + bn + 7} over {3n + 1} = 4``]에서

[eqn: a = 0,~b = 12``]

∴ [eqn: a + b = 12``]

[3점][2012년 6월 평가원]

2007	교육청(3점)

[eqn: lim _{n -> ` INF } {} {n ^{2} +3n} over {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {4} RIGHT ) ` CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]의 값은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

(분모)[eqn: =left{left (1+ 1 over 2right)left (1+ 1 over 3right) cdotsleft (1+ 1 over n right) right}^2]

[eqn: = LEFT ( {3} over {2} CDOT {4} over {3} CDOT {5} over {4} cdot CDOTS cdot {n+1} over {n} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {n+1} over {2} RIGHT ) ^{2}]

(준식)[eqn: =lim_n->inf}{n^2 +3n} over {left( n+1 over2 right)^2 }][eqn: = lim _{n -> INF } {} {1+ {3} over {n}} over {{1} over {4} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =4]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

2004	평가원(3점)

[eqn: lim from { n -> inf } ` {(`3n``)}^3 over {1^2` +`2^2 `+`3^2 `+`…`+`n^2}`]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 81``]

[출제의도] 수열의 극한을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim from { n -> inf } (3n)^3 over {{n(n+1`)(2n+1`)} over 6}``][eqn: =81``]

수학세상 수학자료실                                            http://www.math114.net

평가원 및 교육청 수1	수열의 극한	복습만이 살길이다!!!! 복습 복습 복습하자!!!

2009	교육청(3점)

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { `a_{`n}` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} `` {``6+2a_{`n}`` } over {``3a_{`n} -1``}= 3 over 2`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} ``a_{`n} ``]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n} `=` alpha }]로 놓으면 [eqn: 12`+`4` alpha `=`9` alpha `-`3`] ∴ [eqn: alpha `=`3``]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]
④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

2007	교육청(3점)

다음과 같이 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다.

[eqn: cases{`a _{1} =2#``a _{n+1} = {3} over {4} a _{n} +4```(n=1,`2,`3,` CDOTS `)}]

[eqn: lim _{n-> ` INF } `{a _{n}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16``]

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 극한값 구하기

[eqn: a _{n} -16 = (a_1 -16)left({3} over {4}right)^n-1]이므로

[eqn: a _{n}= -14 left( 3 over 4 right)^n-1 + 16] 이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} = 0]이므로

[eqn: therefore~~lim _{n -> INF } {}`` a _{n} =16]

2011	평가원 (3점)

수열 [eqn: left{a_n right}``]과 [eqn: left{b_n right}``]이
[eqn: lim_n->inf (n+1)`a_n =2], [eqn: lim_n->inf left(n^2 +1 right)`b_n =7]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {(10n+1)`b_n } over a_n ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a_n ne 0])

정답 [eqn: 35]

[출제의도] 무한수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: lim_n->inf (10n+1)b_n over a_n = lim_n->inf {(n^2 +1)b_n }over (n+1)a_n TIMES { (n+1)(10n+1)} over {n^2 +1 }]

[eqn: = {7} over {2 } lim _{ n->inf} { { 10+ { 11} over {n } + { 1} over {n^2 } } over { 1+{ 1} over {n^2 }} }]              [eqn: = { 7} over { 2} TIMES 10 =35]

[3점][2011년 9월 평가원]

2011	교육청(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n)= {1^{`2} +2^{`2} +3^{`2} +` CDOTS `+n^{`2}} over {3+5+7+` CDOTS `+(2n+1)}`]일 때,
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } { f(n)over n }`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: f(n)= {{n(n+1)(2n+1)} over {6}} over {n ^{2} +2n} ``= {2n ^{`2} +3n+1} over {6n+12}]

따라서 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{f(n)} over {n}} `` = lim _{n`` -> `` INF } {{2n ^{`2} +3n+1} over {6n^{`2}+12n}}][eqn: = 1 over 3]

[3점][2011년 4월 교육청]

①  [eqn: 1 over 4]	②  [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 5 over 12]

④  [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 7 over 12]

2008	교육청(3점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +1}]의 정수부분을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF }`a_n ( sqrt { n^2 +1} ```- a_n `)]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {n ^{2}} < sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {(n+1)^2}]

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} <n+1]

∴ [eqn: a _{n} =n]

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -a _{n} RIGHT ) = lim _{n -> INF } {}` n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}} = lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n^2}} +1}} = {1} over {2}]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: sqrt { 2} over2]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

2010	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }]이 [eqn: 3n -1 < n`a_n < 3n+2]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} {``a_n }]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 무한수열의 극한에 관한 성질을 이해하기

[eqn: 3n-1 < n`a_n < 3n+2]의 양변을 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: 3n-1 over n < a_n < 3n+2 over n]

이다. 따라서, [eqn: lim _{ n`->`inf} {`3n-1 over n }=3], [eqn: lim _{ n`->`inf} {`3n+2 over n }=3]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} {`a_ n }=3] 이다.

[3점][2010년 4월 교육청]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

2010	교육청(3점)

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -2nx+ {1} over {2} n ^{2} +6n+1``` LEFT ( n=1,```2,```3,``cdots RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 [eqn: rmP`it LEFT ( x _{n} ,```y _{n} RIGHT )]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {` {y _{n}} over {x _{n}}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -2nx+ {1} over {2} n ^{2} +6n+1=2 LEFT ( x- {n} over {2} RIGHT ) ^{2} +6n+1]

[eqn: therefore`rmP _{itn} `it LEFT ( {n} over {2} ,```6n+1 RIGHT )]

따라서 [eqn: x _{n} = {n} over {2} ,```y _{n} =6n+1]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {y _{n}} over {x _{n}}} = lim _{n`-> ` INF } {` {6n+1} over {{n} over {2}} =12}]

[3점][2010 3월 교육청]

2010	교육청(3점)

두 행렬 [eqn: A = pmatrix{1&````-2#0&```````````1}], [eqn: B= pmatrix{3&````0#0&````4}]에 대하여
[eqn: A^-1 B^n A = pmatrix{a_n&````b_n#c_n&````d_n}] [eqn: (n=1,~ 2,~ 3,~ cdots )]
이라 하자. [eqn: lim from n->inf { b_n + c_n } over{ a_n + d_n }]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: B``^2`= pmatrix{`3&````0`#`0&````4`}pmatrix{`3&````0`#`0&````4`}=pmatrix{`3^2&```0#`0&```4^2}]

[eqn: B``^3`= pmatrix{`3^2&```0`#`0&```4^2`}pmatrix{`3&````0`#`0&````4`}=pmatrix{`3^3&```0#`0&```4^3}]

…

이므로 [eqn: B``^n`=pmatrix{`3^n&```0#`0&```4^n}]임을 알 수 있다.

∴ [eqn: A ^{-1} B``` ^{n} A][eqn: = pmatrix{1&``2#0&``1} pmatrix{3 ^{n} ``&0#0&``4 ^{n}} pmatrix{1&``-2#0&`````````1}`]
[eqn: = pmatrix{3 ^{n}&``````-2`․`3 ^{n} +2`․`4 ^{n}`#0&``````````````4 ^{n}}]

∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{b _{n} +c _{n}} over {a _{n} +d _{n}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{-2`․`3 ^{n} +2`․`4 ^{n}} over {3 ^{n} +4 ^{n}}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{-2`․` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +2} over {LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +1} =2}]

[3점][2010 3월 교육청]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

2010	교육청(3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `,````` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {2n+3}} =2],   [eqn: lim _{n -> INF } {` {b _{n}} over {3n+1}} =3]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n} b _{n}} over {n ^{2} +4}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 36]

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{n-> INF } {` {a _{n}} over {2n+3} =2,``` lim _{n-> INF } {` {b _{n}} over {3n+1} =3``}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {2n+3} `times` {b _{n}} over {3n+1} ``}]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {` {a _{n}} over {2n+3} `times` lim _{n`-> ` INF } {` {b _{n}} over {3n+1} `=2times3=6`}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n`-> ` INF } {` {a _{n``} b _{n} ^{}} over {n ^{2} +4}}]

[eqn: =` lim _{n` -> INF } { {a _{n``} b _{n}} over {(2n+3)(3n+1)}` TIMES lim _{n` -> ` INF } { {(2n+3)(3n+1)} over {n ^{2} +4}}}]

[eqn: =6times6=36]

[3점][2010년 7월 교육청]

2010	교육청(3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT },~ LEFT { b_n RIGHT }`]이 [eqn: pmatrix { `a_n``& ````b_n`# `0``&````1` }= {pmatrix { `3&````2 `# `0&````1` }}^n `]을 만족시킬 때,
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 여러 가지 수열의 문제해결하기

ㄱ. [eqn: a_2 =9,~b_2 =8`]이므로 [eqn: a_2 +b_2 =17`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: pmatrix { `a_n+1&````b_n+1 ` #`0 &````1` }= {pmatrix { `3&````2 #`0 &````1` }}^n+1 = pmatrix { `a_n&````b_n ` #`0 &````1` } pmatrix { `3&````2 `#`0 &````1` }]
[eqn: =pmatrix { `3a_n&````2a_n +b_n` #`0 &````1` }`]에서 [eqn: a_n+1 =3a_n`]이고
[eqn: a_1 =3`]이므로 [eqn: a_n =3^n`]이다.
이 때, [eqn: b_n+1 =b_n +2 cdot 3^n`]이므로
[eqn: b_n =b_1 +2 sum _{ k=1} ^{ n-1} 3^k =2+3(3^n-1 -1)=3^n -1] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { { b_n} over { a_n} }= lim _{ n->inf} { { 3^n -1} over {3^n } }=1] (거짓)

[3점][2010년 4월 교육청]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a_2 +b_2 =17`]	ㄴ. [eqn: b_n =3^n -1 `]

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { { b_n} over {a_n }=3 }`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2010	교육청(3점)

무한수열 [eqn: LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 2]

[출제의도] 무한수열의 수렴 이해하기

무한수열 [eqn: LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]이 수렴하기 위해서는

(ⅰ) 첫째항이 [eqn: x+2=0`]일 때, [eqn: x=-2]

(ⅱ) 공비가 [eqn: r= x^2 -4x+3`]이므로

[eqn: -1< x^2 -4x+3` le 1`]에서 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 1,~3`]이다.

따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 정수 [eqn: x]는 [eqn: -2,~1,~3`]이므로 모든 정수 [eqn: x`]의 합은 [eqn: 2`]이다.

[3점][2010년 4월 교육청]

2010	교육청(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^2 `]과 직선 [eqn: y=`-x+n`]이 만나서 생기는 두 교점 사이의 거리를 [eqn: l_n `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> INF } {{l _{n} ^{```2}} over {n}}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 극한값의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

[eqn: y=x ^{2} ``]과 [eqn: y=-x+n``]의 교점의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: alpha _{n} ``,``` beta _{`n} ```][eqn: (단,```` alpha _{n} `<` beta _{n} )``]라 하면 교점의 좌표는

[eqn: ( alpha _{n} `,```- alpha _{n} +n)], [eqn: ( beta _{n} `,```- beta _{n} +n)``]이다. … ①

또한 [eqn: alpha _{n} ``,``` beta _{`n} ```]는 [eqn: x ^{2} +x-n=0``]의 두 근이므로  [eqn: alpha _{n} + beta _{n} =`-1], [eqn: alpha _{n``} beta _{n} =-n``]이다.  … ②

①, ② 에 의하여

[eqn: l` _{n} ^{``2} ```=2( alpha _{n} - beta _{n} ) ^{2} ``][eqn: =2 LEFT { ( alpha _{n} + beta _{n} ) ^{2} -4 alpha _{n} beta _{n} ` RIGHT } =8n+2]

[eqn: THEREFORE ````` lim _{n -> INF } {{l` _{n} ^{````2}} over {n}} = lim _{n -> INF } {{8n+2} over {n}} =8]

[[eqn: 3]점][2010년 7월 교육청]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

2007	평가원(3점)

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2}} -n`` RIGHT ) `]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 무리식이 포함된 수열의 극한을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } LEFT ( sqrt {n ^{2} + n over2 } -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2} } -n RIGHT ) LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2} } +n RIGHT )} over { RIGHT . sqrt {n ^{2} + {n} over {2} } +n }]

[eqn: =lim _{n -> INF } { {n ^{2} + n over2 } -n^2 } over {sqrt {n ^{2} + n over2 } + n }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{1} over {2}} over {sqrt {1+ {1} over {2n}} +1}][eqn: = 1over4]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: ROOT2 over 4]
④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: root2 over 2`]

2004	평가원(3점)

극한 [eqn: lim_n->inf ` { SQRT { n^2 -2005`}-n } over { n- SQRT { n^ 2 -2004` } } ^`} `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 극한값을 구할 수 있다.

(주어진 식)

[eqn: = lim from { n -> inf } { -2005(n+ SQRT { { n}^{ 2}-2004 }) } over {2004( SQRT { { n}^{ 2}-2005 } +n) }]

[eqn: = -{2005 } over {2004 }]

① [eqn: -{ 2005} over {2004 } `]	② [eqn: -{ 2004} over {2005 } `]	③ [eqn: -{1002 } over {2005 } `]
④ [eqn: { 2005} over {2004 } `]	⑤ [eqn: { 2004} over {2005 } `]

2011	교육청(3점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 1``]부터 [eqn: 6n``]까지의 자연수의 총합을 [eqn: A _{n}], [eqn: 1``]부터 [eqn: 6n``]까지의 자연수 중에서 [eqn: 3``]의 배수를 제외한 자연수의 총합을 [eqn: B _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {A _{n}} over {B _{n}} `= {q} over {p}}]이다. 이때, 서로소인 자연수 [eqn: p`,~q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 5]

[출제의도] 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A _{n} = {6n(1+6n)} over {2} =3n(6n+1)]

[eqn: B _{n} =A _{n} - sum _{k=1} ^{2n} 3k]

[eqn: =3n(6n+1)-3n LEFT ( 2n+1 RIGHT )][eqn: =12n ^{2}]

이므로

[eqn: lim_{n -> inf}{ { A_n} over {B_n } } = lim_{n -> inf } { { 3n(6n+1)} over {12n^2 } } = { 3} over {2 }]

∴[eqn: p+q=5]

[3점][2011 년 3월 교육청]

2005	교육청(3점)

수열 [eqn: left{ `a_n `right} ``]에 대하여 [eqn: a_n ``=`` 2n ``-``1 ``][eqn: (`n ``=`` 1``,~ 2``,~ 3``, ``․․․``) ``]일 때, [eqn: lim from {n``->``inf} left( `` root{a_2 ``+`` a_4 ``+`` ``cdots`` ``+`` a_2n } ``-`` root{a_1 ``+`` a_ 3 ``+``cdots`` +`` a_2n-1 } `` right) ``]의 값은?

정답 ②

[eqn: (`준식`)`` =`` root{sum from {k`=`1}^` to n left(4k - 1 right)} ``-``root{sum from {k`=`1}^` to n left(4k - 3 right)} ``][eqn: =``lim from n->inf left( `` root{ 2n^2 `+` n ```} - root{ 2n^2 `-` n ```} `` right) ``=`` sqrt 2 over 2 ``]

① [eqn: root2 over 4 ``]	② [eqn: root2 over 2 ``]	③ [eqn: 1``]
④ [eqn: root2``]	⑤ [eqn: 2``]

2005	평가원(3점)

[eqn: lim from { n `->` inf }`left (sqrt{n^2 ``+``15n ``+``13}^` `-``sqrt{n^2 ``-``13n}^` `right )``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 14``]

(주어진 식) [eqn: =``lim_n->inf 28n+13 over{root {n^2 ``+``15n ``+``13 }``+``root{n^2 ``-``13n }}``][eqn: =``lim_n->inf {28``+`` 13 over n} over{root {1 ``+`` 15over n ``+`` 13 over n^2 }``+``root{1 ``-`` 13 over n }}``]

[eqn: =``{28} over{root {1 }``+``root{1}} ``=`` 14``]

2009	교육청(3점)

[eqn: n``]이 자연수일 때, 점 [eqn: \A _{it n } (it n , sqrt 3 n`)``]과 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4n^2 + 3n ``]위의 점 [eqn: rm P``]에 대하여 선분 [eqn: rm PA_{it `n}``]의 길이의 최솟값을 [eqn: a_{`n}``]이라 하자. 이때, [eqn: lim _{ n->inf} { }`` a_{`n}``]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 원의 성질을 이해하고 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {``} a _{n} = lim _{n -> INF } {``} ( sqrt {4n ^{2} +3n} -2n)][eqn: = 3over 4]

① [eqn: 2 over 3`]	② [eqn: 3over 4`]	③ [eqn: {4} over {5} `]
④ [eqn: 5over 4`]	⑤ [eqn: 4 over 3`]

2014	교육청(3점)

[eqn: 1`]부터 [eqn: 2n`]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 2n`]장의 카드가 있다. 이 중 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수가 되도록 뽑는 경우의 수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{3}}} `]의 값은? (단, [eqn: n GEQ 2`]인 자연수이다.)

정답 ②

[출제의도] 경우의 수를 이용하여 수열의 일반항을 구하고 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: 2n`]장의 카드에서 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수인 경우는 세 수 모두 짝수인 경우와 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우가 있다.

ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는 짝수 [eqn: n]개 중 3개를 택하는 경우의 수이므로
[eqn: {} _{n} rm C _{3} = it {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {3!}][eqn: = it {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {6}]

ⅱ) 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우의 수는 홀수 [eqn: n]개 중 [eqn: 2`]개를 택하고 짝수 [eqn: n`]개 중 한 개를 택하는 경우의 수이므로
[eqn: {} _{n} \C _{2} ` TIMES ` _{it n} \C _{1}][eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2!} `times`n][eqn: = {n ^{2} LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

ⅰ), ⅱ)에서

[eqn: a _{n} = {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {6} + {n ^{2} LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2+3n RIGHT )} over {6}]

[eqn: = {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {3}]

∴ [eqn: lim _{n->inf} {{a _{n}} over {n ^{3}}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {3n ^{3}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2- {1} over {n} RIGHT )} over {3}}]

[eqn: = {2} over {3}]

[3점][2014년 3월 서울]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 5over6]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {7} over {6}]

2008	교육청(3점)

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +an+3} - sqrt {n ^{2} +bn+2} RIGHT ) =5}]를 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 극한값 구하기

준식[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{(a-b)n+1} over {sqrt {n ^{2} +an+3} + sqrt {n ^{2} +bn+2}}}]

[eqn: = {a-b} over {2} =5] [eqn: THEREFORE ``][eqn: a-b=10]

①  [eqn: 2]	②  [eqn: 5]	③  [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

2008	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{S _{n}} over {a _{n}}}]의 값이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

ㄱ. [eqn: a_n = 2^n]이므로 [eqn: S_n = 2^n+1 - 2]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}= lim _{ n->inf} { {2^n+1 -2 }over 2^n}=lim _{ n->inf} left ( {2 - 1over 2^n-1}right) = 2]

ㄴ. [eqn: a_n = (-1)^n]  이면

이 짝수이면

이 홀수이면

[eqn: S_n = left{ matrix {n~~~~~~~~~~~~0 #n~~~~~~~~~~-1 }] 이므로

수열 [eqn: LEFT { {S _{n}} over {a _{n}} RIGHT }]은 [eqn: 1]또는 [eqn: 0]으로 진동한다.

ㄷ. [eqn: S_n = 3^n -1]이므로 [eqn: a _{n} =2 CDOT 3 ^{n-1}]

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}= lim _{ n->inf} { {3^n -1 }over {2cdot 3^n-1}= lim _{ n->inf} { 1over2 left( 3 - 1over 3^n-1 right)} = 3over 2]

∴ㄱ, ㄷ의 경우에 [eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}]가 존재한다.

		보 기
ㄱ. [eqn: a _{n} =`2 ^{n}] ㄴ. [eqn: a _{n} =` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}] ㄷ. [eqn: S _{n} =`3 ^{n} -1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2008	교육청(3점)

[eqn: lim_n->inf { {pn^2 + qn -1 } overn+2 } = 3]이 성립하도록 하는 상수 [eqn: p], [eqn: q]가 이차방정식 [eqn: x^2 + ax + b = 0]의 두 근일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하면?

정답 ①

[eqn: p=0], [eqn: q=3]이므로

[eqn: p], [eqn: q]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: (x-0)(x-3) = 0]이다.

[eqn: x^2 - 3x = 0] [eqn: therefore a+b = -3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

2008	교육청(3점)

[eqn: lim _{ n->inf} {2+5+8+…+(3n-1) }over {2n^2 +3}``]의 값은?

정답 ④

(준식)[eqn: =lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } (3k-1) }over {2n^2 +3}= lim _{ n->inf} {3over2 n^2 + 1over2 n }over{2n^2 +3}`` ``]

[eqn: = lim _{ n->inf} {3over3 + 1over 2n }over {2+ 3over n^2 } = 3over4``]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2over3]
④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 5over3]

2008	교육청(3점)

[eqn: lim _{ n->inf} { n+3 over {root{4n^2 +1}}``}]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한 값을 구하는 문제이다.

(준식) [eqn: =lim _{ n->inf} { {1+ 3over n} over { root{4+ 1over n }}][eqn: = 1over 2``]

① [eqn: 1over 6``]	② [eqn: 1over 3`]	③ [eqn: 1over2``]
④ [eqn: 2over3``]	⑤ [eqn: 5 over 6``]

2005	교육청(3점)

[eqn: lim from {n -> inf} {n^2 ``-``2005} over{``n^2 `+` 2005}``]의 극한값은?

정답 ①

분모와 분자를 [eqn: n^2 ``]로 나누면 [eqn: lim from {n -> inf} {n^2 ``-``2005}_` over{``n^2 ``+`` 2005}^` `=`` lim from {n->inf} {1 ``-`` 2005_` over n^2}over{1 ``+`` 2005_` over n^2} ``=`` 1``]

① [eqn: 1 ``]	② [eqn: root2 ``]	③ [eqn: root3 ``]

④ [eqn: 2 ``]	⑤ [eqn: 3 ``]

2005	교육청(3점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여 다항식 [eqn: f``(`x`)``=``2^n x^2 ``+``3^n x``+``1``]을 [eqn: x`-`1``], [eqn: x`-`2``]로 나눈 나머지를 각각 [eqn: a_n``,~b_n``]이라 할 때, [eqn: lim from { n`->` INF } `a_n over b_n``]의 값은?

정답 ④

[eqn: f`(`x`)``]를 [eqn: (`x``-``1`)``]로 나눈 나머지는 [eqn: f`(`1`)``=``2^n ``+``3^n ``+``1 ``=``a_n``]

[eqn: f`(`x`)``]를 [eqn: (`x`-`2`)``]로 나눈 나머지는 [eqn: f`(`2`)``=``4․2^n ``+``2․3^n ``+``1 ``=``b_n``]

[eqn: lim from {n→inf} a_n over b_n ``=``lim from {n→inf} {2^n ``+``3^n ``+``1} over {4․2^n ``+``2․3^n ``+``1}``][eqn: =``lim from {n→inf} {left(2 over 3 right)^n ``+``1``+``1 left(1 over 3 right)^n} over {4․left(2 over 3 right)^n ``+``2․1``+`` left(1 over 3 right)^n}``][eqn: =`` 1 over 2``]

① [eqn: 0``]	② [eqn: {1}over {4`}``]	③ [eqn: {1} over {3`}``]
④ [eqn: {1} over {2`}``]	⑤ [eqn: 1``]

2006	교육청(3점)

다음 무한수열 중에서 수렴하지 않는 것은?

정답 ⑤

① [eqn: 0]에 수렴한다.  ② [eqn: {1} over {2}]에 수렴한다.

③ [eqn: 0]에 수렴한다.  ④ [eqn: -1]에 수렴한다.

⑤ 수렴하지 않는다.

① [eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2n} RIGHT }]         ② [eqn: LEFT { {n} over {2n+1} RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}} over {n+1} RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { {1-3 ^{n}} over {1+3 ^{n}} RIGHT }]        ⑤ [eqn: LEFT { {1} over {log _{2} (n+4)-log _{2} `n} RIGHT }]

2004	평가원(3점)

다음 무한수열 중 수렴하는 것은?

정답 ①

[출제의도] 무한수열의 수렴, 발산을 판별하기

① [eqn: lim from {n ->inf} left( 3 over 5 right)^n = `0]

② [eqn: lim from {n-> inf } ( -2) ^n ⇒-2,~ 4, ~ -8,~ 16,~-32, cdots] 이므로 발산

③  발산

④  [eqn: lim from {n->inf} (100n - n^2 ) = lim from {n ->inf} n(100-n)= - inf]

⑤   [eqn: 0,2,0,2,cdots] 이므로 발산

① [eqn: LEFT { LEFT ( 3 OVER 5 RIGHT )^n `` RIGHT }]	② [eqn: LEFT { (-2)^n ``RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { { { n}^{2 }-1 } over {n } RIGHT }]
④ [eqn: LEFT { 100n- { n}^{2 } ``RIGHT }]     ⑤ [eqn: LEFT { 1+ (-1)^ n ``RIGHT }]

2004	평가원(3점)

무한등비수열 [eqn: left{(2x+1)^n-1`` right}]이 수렴하기 위한 실수 [eqn: x``]의 값의 범위는?

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 수렴조건 알기

[eqn: -1<2x+1≦1~ LRARROW -1<x≦0]

① [eqn: -2``< `x``<``-1]	② [eqn: -1``<`x``≦``0]

③   [eqn: 0``<`x``≦``1]	④  [eqn: 1``<`x``≦``2]

⑤   [eqn: 2``<`x``≦``3]

2013	교육청(3점)

무한등비수열 [eqn: LEFT {` left({ 2x-3 over 5 } right) ^{`n} ` RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 10]

[출제의도] 무한등비수열의 수렴조건을 이해한다.

무한등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-3} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하려면 공비가 [eqn: -1`~]보다 크고 [eqn: 1`]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: -1< {2x-3} over {5} LEQ 1`], [eqn: -5<2x-3 LEQ 5`], [eqn: -2<2x LEQ 8`]

∴ [eqn: -1<x LEQ 4`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: x=0], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이고 그 합은 [eqn: 10`]이다.

[참고]

주어진 무한등비수열은 [eqn: -1<x<4`]일 때 [eqn: 0`]으로 수렴하고, [eqn: x=4`]일 때 [eqn: 1`]로 수렴한다.

[3점][2013년 3월 교육청]

2008	교육청(3점)

무한등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( -sin {k` pi } over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }`]이 수렴하도록 하는 [eqn: 10``]이하의 자연수 [eqn: k``]의 개수는?

정답 ④

[출제의도] 무한등비수열의 수렴　조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 수열이 수렴할 조건은

[eqn: -1 < -sin {k pi } over {4} <= 1], [eqn: -1 <= sin {k pi } over {4} <1]

따라서 [eqn: sin {k pi } over {4} =1``]인 [eqn: 10]이하의 자연수 [eqn: k``]는 [eqn: 2,``10`]이므로 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 8](개)이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

2008	교육청(3점)

함수 [eqn: f(x)`=` lim_{n-> ```inf}``{x^n+2 ``-6x+2} over {x^n ``+1}``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( - 1over 2 RIGHT ) + f(4)``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 21``]

[출제의도] 무한등비수열의 극한값 구하기

[eqn: f LEFT ( - 1over 2 RIGHT )``=` lim _{ n-> ``inf``} { { LEFT ( - 1over 2 RIGHT ) ^n+2 - LEFT ( - 1over 2 RIGHT )+2 } over { LEFT ( - 1over 2 RIGHT )^n +1}`=`5``]

[eqn: f(4)`=` lim _{ n->``inf``} { {4^n+2 - 6``·``4+2} over {4^n +1} }=16``]

[eqn: ∴``f LEFT ( - 1over 2 RIGHT )+ f(4) `=` 5+16`=`21``]

2008	평가원(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: \P_n` (n,~2 ^n `)]에서 [eqn: x`]축,

[eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \Q_n , ```\R_n]이라 하자. 원점 [eqn: \O]와 점 [eqn: \A(0,```1)]에 대하여 사각형 [eqn: \AOQ_n \P_n]의 넓이를 [eqn: S_n`], 삼각형

[eqn: \AP_n` \R_n]의 넓이를 [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n``-> `` INF } {{T _n_`} over {S_n}}]의 값은?

정답 ①

오른쪽 그림에서

[eqn: △ \AP_{it n} R_{it n}]의 넓이

[eqn: \T _{it n}= it { 1} over { 2}(2^n -1) TIMESn]

사각형 [eqn: \AOQ`_{it n} `P_{it n}]의 넓이

[eqn: \S_{it n}= it{ 1+2^n} over {2 } TIMES n]

[eqn: THEREFORE~` lim _{ n rarrowinf } { } { \T_{it n}} over {\S_{it n} }`= lim _{ n rarrowinf } { } { 2^n -1} over {1+2^n }=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3`}_` over {4}]	③ [eqn: {1`}_` over {2}]
④ [eqn: {1`}_` over {4`}]	⑤ [eqn: 0]

2006	평가원(3점)

행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{```1`&`0#````1```&`` {1} over {3}}``` RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: A ^{n} = pmatrix{```eqalign{a _{n} ````````b _{n} `# ````c _{n} ````````d _{n}}```} `]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} `c _{n} `]의 값은?

정답 ①

[eqn: A ^{n} `=` pmatrix{1&`````0``#1`+` {1} over {3} `+`…`+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}&``````` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}}] 이므로

[eqn: `c` _{n} `=`1`+` {1} over {3} `+` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} `+`…`+` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} `]

[eqn: `=` {3} over {2} ` LEFT { 1`-` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]    ∴ [eqn: lim _{n` -> INF } {`c` _{n}} `=` {3} over {2}]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {7} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

2005	교육청(3점)

수열 [eqn: "{" `a_n` \}``]이 [eqn: lim from n->inf `n `a_n``=``3``]을 만족할 때, [eqn: lim from n->inf `{2n^2 ``+`` 3n} over {n^3 a_n}``]의 값은?

정답 ②

[eqn: lim from n->inf `{2n^2 ``+`` 3n} over {n^3 a_n}``=``lim from n->inf `{2n^2 ``+`` 3n} over {n^2}``․``lim from n->inf `{1} over {n^2 a_n}``=`` 2 ․ 1 over 3 ``=`` 2 over 3``]

① [eqn: 1 over 3``]	② [eqn: 2 over 3``]	③ [eqn: 1``]
④ [eqn: 3 over 2``]	⑤ [eqn: 3``]

2006	교육청(3점)

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n ^{k}} LEFT { `` LEFT ( n+ {1} over {n} RIGHT ) ^{10} - {1} over {n ^{10}} RIGHT } `]이 수렴하기 위한 [eqn: k`]의 최소값을 구하시오.

정답 [eqn: 10``]

[출제의도] 수렴하는 수열의 극한에 대한 성질 이해하기

[eqn: ~lim _{n -> INF } {} {1} over {n ^{k}} LEFT { LEFT ( n+ {1} over {n} RIGHT ) ^{10} - {1} over {n ^{10}} RIGHT } `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT { LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT }} over {n ^{k+10}} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {LEFT { LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT }} over {n ^{k+10}} `]가 수렴하기 위해서는 [eqn: k >= 10]

[eqn: ∴``]최솟값은 [eqn: 10]

2004	평가원(3점)

수열 [eqn: \{ it a_ n ``\}]이 [eqn: lim from { n rarrow INF } `{ n `` a_ n `=` 1over 9 } `]을 만족할 때,  [eqn: lim from { n rarrow INF } { { 6n+1 } over { n^{ 2 } `` a_ n } }] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 54``]

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수  있다.

[eqn: lim from { n rarrow INF } { { 6n+1 } over { n^{ 2 } CDOT a_{ n } } = lim from { n rarrow INF } { { 6n+1 } over { n } cdot lim from { n rarrow INF } { { 1 } over { n CDOT a_{ n } } } } } }]

[eqn: =6 CDOT 9=54``]

2007	평가원(3점)

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _n ``RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{2a _n -3} over {a _n +1} = {3_`} over {4`}}]일 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } {a _n}`]의 값은?

정답 ③

[eqn: {2a_n -3} over{a_n +1} `=`b_n `]으로 놓으면

[eqn: lim from { n` ->` inf } b_n`=` {3}_` over {4}], [eqn: a_n`=` {b_n +3} over {2-b_n}]

[eqn: lim from { n` ->` inf } a_n`=lim from { n` ->` inf }`{b_n +3} over {2-b_n}][eqn: =` {{3}_` over {4} + 3}_` over{2- {3}_` over {4}}`=`3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2006	교육청(3점)

행렬 [eqn: A```=` LEFT (` matrix{~2~0#~0~3} `` RIGHT ) ``]에 대하여 [eqn: A ^{n``} ```=` LEFT (`` matrix{a _{n} ~``` 0``#0~``b _{n} } ` RIGHT ) ``]이라 할 때,  [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`3a _{n} ```-`2b _{n}`} over {`2a _{n} ```+`3b _{n}`} ``]의 값은?

정답 ②

[eqn: A ^{2} = LEFT ( matrix{``2&``0``#``0&``3``} RIGHT ) LEFT ( matrix{``2&``0``#``0&``3``} RIGHT ) = LEFT ( matrix{``2 ^{2}&``0``#0&``3 ^{2}} RIGHT )]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= LEFT ( matrix{``2 ^{2}&``0``#``0&``3 ^{2} ``} RIGHT ) LEFT ( matrix{``2&``0``#``0&``3``} RIGHT ) = LEFT ( matrix{``2 ^{3}&``0``#0&``3 ^{3}} RIGHT )], … , [eqn: A ^{n} = LEFT ( matrix{``2 ^{n}&``0``#0&``3 ^{n}} RIGHT )]

이므로 [eqn: a _{n`} =2 ^{n} ```,``b _{n} `=3 ^{n}]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n`` -> ` INF } {} {3a _{n} -2b _{n}} over {2a _{n} +3b _{n}}][eqn: = lim _{n`` -> ` INF } {} {3 CDOT 2 ^{n} -2 CDOT 3 ^{n}} over {2 CDOT 2 ^{n} +3 CDOT 3 ^{n}}][eqn: = lim _{n`` -> ` INF } {} {3 CDOT LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} -2} over {2 CDOT LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} +3}][eqn: =`- {2} over {3}]

① [eqn: - {`3`} over {`2`}``]	② [eqn: - {`2`} over {`3`}``]	③ [eqn: 0``]
④ [eqn: {`2`} over {`3`}``]

⑤ [eqn: {`3`} over {`2`}``]

2006	교육청(3점)

수열 [eqn: left{a _{n}right}]에 대하여 [eqn: {a _{n} -4} over {a _{n} +3} = {1 ^{3} +2 ^{3} + cdots+n ^{3}} over {n ^{4}+1}] 이 성립할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}] 의 값은?

정답 ④

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한 구하기

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} -4} over {a _{n} +3} & = lim _{n -> INF } {} {1 ^{3} +2 ^{3} + LDOTS +n ^{3}} over {n ^{4} +1}# # & = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {n(n+1)} over {2} RIGHT ) ^{2} {1} over {n ^{4} +1} = {1} over {4}]

이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = alpha]라 하면 [eqn: {alpha -4} over {alpha +3} = {1} over {4}]

[eqn: ∴``alpha = {19} over {3}]

① [eqn: {16} over {3}]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: {19} over {3}]	⑤ [eqn: {20} over {3}]

2005	평가원(3점)

수열 [eqn: \{`it a_n` \}``]의 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합 [eqn: S_n``]이 [eqn: S_n ``=`` 2n^2 ``-``n``]일 때, [eqn: lim from { n` ->` INF } { { n``a_n} over { S_n } } ``]의 값은?

정답 ②

[eqn: a_1 ``=``S_1 ``=``1``], [eqn: a_n ``=``S_n ``-``S_n-1 ~(`n``≧``2`)``][eqn: =``(`2n^2 ``-``n`)``-``left{2`(`n`-`1`)^2 ``-``(`n`-`1`)`right}``]

[eqn: =``(`2n^2 ``-``n`)``-``(`2n^2 ``-``5n``+``3`)``][eqn: =``4n``-``3``]

∴ [eqn: a_n ``=``4n``-``3 ``(`n``≧``1`)``]

[eqn: lim from {n→inf} na_n over S_n ``=``lim from {n→inf} {4n^2 `-`3n} over {2n^2 `-`n}``][eqn: =``lim from {n→inf} {4`-` 3 over n} over {2`-` 1 over n}``][eqn: =`` 4 over 2 ``=``2``]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

2007	평가원(3점)

수열 [eqn: left {`a_n ``right }]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n = 2^n + 3^n]일 때, [eqn: lim _{n `->` INF `} {a_n_` over S_n^` }]의 값은?

정답 ④

[eqn: S_n `=`2^n +3^n]이므로

[eqn: a_n `=`S_n -S_n-1]

[eqn: =`(2^n +3^n )`-`(2^n-1 +3^n-1 )]

[eqn: =`2 BULLET 3^n-1 +2^n-1][eqn: (n`≧`2)]

[eqn: lim from { n` -> `inf } a_n over S_n `=` lim from { n` -> `inf } {2 BULLET 3^n-1 +2^n-1} over {2^n +3^n}]

[eqn: =` lim from { n` -> `inf } {2 over 3 + 1 over 2 BULLET LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n}_` over { LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^n +1} `=`2 over 3]

① [eqn: {1_`} over {6`}]	② [eqn: {1_`} over {3`}]	③ [eqn: {1_`} over {2`}]
④ [eqn: {2_`} over {3`}]	⑤ [eqn: {5_`} over {6`}]

2006	교육청(3점)

세 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT } `,~ LEFT { c _{n} RIGHT } `]에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

정답 ②

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {n} ,~b _{n} =n+1`]이라 하면

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} =0,~ lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} b _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {n+1} over {n} =1`]이지만

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 발산한다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { (a _{n} -2b _{n} )+2b _{n} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} (a _{n} -2b _{n} )+2 lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} =0+2=2] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} =n- {1} over {n} ,~b _{n} =n,~c _{n} =n+ {1} over {n} `]이라 하면

[eqn: a _{n} `<`b _{n} `<`c _{n} `]이고, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (c _{n} -a _{n} )= lim _{n` -> ` INF } {} {2} over {n} =0`]이지만

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 발산한다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

		<보 기>
	ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ,~ LEFT { `a _{n}` b _{n} ` RIGHT } ``]이 모두 수렴하면, 수열 [eqn: LEFT { ` b _{n} ` RIGHT } ``]은 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`a _{n} ``-``2b _{n} `)```=`0``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ```=`1``]이면, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ```=`2``]이다. ㄷ. [eqn: a _{n} ``<``b _{n} ``<``c _{n} ``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`c _{n} ``-``a _{n} `)```=`0``]이면, 수열 [eqn: LEFT { ` b _{n} ` RIGHT } ``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

2005	교육청(3점)

무한수열 [eqn: left{a_n `right }``], [eqn: left{b_n `right }``]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, [eqn: alpha``]는 상수)

정답 ⑤

ㄱ. [eqn: lim from { n` ->` inf } ``a_n `b_n ``=`` lim from { n` ->` inf } a_n `cdot `lim from { n` ->` inf } b_n ``=``alpha `cdot `0``=``0``]

ㄴ. [eqn: a_n ``-`` b_n ``=`` c_n ``]이라 놓으면 [eqn: b_n ``=`` a_n ``-``c_n ``]이므로

[eqn: lim from n->inf `b_n ``=`` lim from n->inf `(`a_n ``-``c_n `)``=`` lim from n->inf `a_n ``-`` lim from n->inf ``c_n ``=``alpha ``-``0 ``=``alpha ``]

ㄷ. [eqn: a_n ``-`` b_n ``=`` c_n ``]이라 놓으면 [eqn: b_n ``=`` a_n ``-``c_n ``]이므로 [eqn: lim from n->inf b_n over a_n ``=`` lim from n->inf {a_n -c_n } over a_n ``=`` lim from n->inf left( 1- c_n over a_n right) ``=``1 ``]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim from { n` ->` inf } a_n ``=``alpha ``], [eqn: lim from { n` ->` inf } b_n ``=``0``]이면 [eqn: lim from { n` ->` inf } a_n b_n ``=``0``]이다. ㄴ. [eqn: lim from { n` ->` inf } a_n ``=``alpha``], [eqn: lim from { n` ->` inf } ``(`a_n ``-``b_n `)``=``0``]이면 [eqn: lim from { n` ->` inf } b_n ``=``alpha``]이다. ㄷ. [eqn: lim from { n -> inf } a_n ``=``inf``], [eqn: lim from { n -> inf } `(`a_n ``-``b_n `)``=``alpha``]이면 [eqn: lim from { n ->inf }{ b_n } over { a_n } ``=``1``]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2010	교육청(3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ③

[출제의도] 무한수열의 극한에 관한 기본성질을 이해하고 추론하기

ㄱ. [eqn: - |`b_n `| le b_n le |`b_n `|`]에서 [eqn: lim_n->inf (-|`b_n `|)=lim_n->inf |`b_n `| =0`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} b _{n} =0`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: (3n+1)a _{n} =c _{n} `]라 하면 [eqn: lim _{n -> INF } {} c _{n} =6`]이고 [eqn: a _{n} = {c _{n}} over {3n+1} `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} na _{n} = lim _{n -> INF } {} {nc _{n}} over {3n+1}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {n} over {3n+1} c _{n}]

[eqn: = {1} over {3} TIMES 6=2`]이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} =(-1) ^{n} ,~b _{n} =2(-1) ^{n} `]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} =2](수렴)이지만, 수열 [eqn: "{"a _{n} "}",~"{"b _{n} "}"]은 각각 발산한

다. (거짓)

[3점][2010년 4월 교육청]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | `b _{n} ` RIGHT |} `=0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} `=0]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 3n+1 RIGHT ) a _{n}} `=6]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {na _{n}} `=2]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT },~LEFT { b _{n} RIGHT }]은 각각 수렴한다.

2010	교육청(3점)

두 무한수열 [eqn: left{ a_n right} ,~ left{ b_n right]에 대하여 [eqn: lim from n->inf b_n over a_n = alpha]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: alpha]는 [eqn: 0]이 아닌 실수이다.)

정답 ③

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } ` b _{n} = lim _{n -> INF }`a _{n} ``․`` {b _{n}} over {a _{n}}` =0] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} =n+1], [eqn: b _{n} =n]이면 [eqn: alpha =1]이지만 [eqn: lim _{n` -> INF } {(a _{n} -b _{n}} )=1]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =c _{n}]으로 놓으면 [eqn: b _{n} =a _{n} `c _{n}]
∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {b _{n}} = lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n} `c _{n}} = lim _{n -> INF } {} {1} over {c _{n}} = {1} over {alpha }] (참)

[3점][2010 3월 교육청]

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim from n->inf a_n =0]이면 [eqn: lim from n->inf b_n =0]이다.

ㄴ. [eqn: alpha =1]이면 [eqn: lim from n->inf (a_n -b_n )=0]이다.

ㄷ. [eqn: lim from n->inf a_n over b_n = 1over alpha]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2004	평가원(4점)

[eqn: n`]이 양의 정수일 때, [eqn: 6^n` `]의 양의 약수의 총합은 [eqn: T`(n)]이다. 이 때,[eqn: lim_{n`->`inf} { 6^n } over { T`(n) }]의 값을 구하면?

정답 ②

[출제의도] 무한등비수열의 극한값 구하기

[eqn: 6^n =2^n · 3^n `]이므로

[eqn: T`(n`) = (1+2+cdots +2^n )(1+3+cdots +3^n )]

[eqn: = LEFT ( 2^n+1 -1 RIGHT ) LEFT ( { 3^n+1 -1} over {2 } RIGHT )]

∴[eqn: lim from { n `->` inf } { 6^n } over {T(n`) } = { 2(2^n · 3^n )} over {(2^n+1 -1)(3^n+1 -1) } = { 1} over {3 }]

① [eqn: {1 } over {2 }]	② [eqn: { 1} over {3}]	③ [eqn: { 1} over {6}]
④ [eqn: { 1} over { 12}]	⑤ [eqn: { 1} over { 18}]

[4점]

2012	교육청(3점)

두 수열 [eqn: left{ `a`_n` right}], [eqn: left{ `b`_n `right}`]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf]

(나) [eqn: lim_n->inf `left(`2a`_n -`5b`_n `right)`=3`]

[eqn: lim_n->inf {2a`_n +`3b`_n}over{a`_n +`b`_n} `= q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.)

정답 [eqn: 23]

[출제의도] 수렴하는 수열에 대한 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: c_{it n}=2a_n -5b_n`]이라 하면  [eqn: b _{it n} = {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} = 3]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} over {a _{n}} =`0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3b` _{n}} over {a` _{n} +`b` _{n}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3`·` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} over {a` _{n} +` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16a` _{n} `-3c _{n}} over {7a` _{n} -c _{n} `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16`-3``·`` {c _{n}} over {a _{n}}} over {7- {c _{n}} over {a _{n}} `} `]

[eqn: = {16} over {7}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q`=7`+`16`=`23]

[다른풀이]

[eqn: lim_n->inf (2a_n -5b_n )=3`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} a_n LEFT ( 2-5`` ·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =3]에서

[eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf] 이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2-5` `·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf b_n overa_n = 2over5]

[eqn: lim_n->inf {2a_n +3b_n}over{a_n +b_n} = lim_n->inf {2+3 ``‧``b_n overa_n }over{1+ b_n overa_n }]

[eqn: ={2+3``․`` 2over5}over{1+ 2over5}= 16over7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q``=7`+`16``=`23]

[4점][12년 03월 교육청]

2012	교육청(3점)

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {a _{n} +n} - sqrt {n} RIGHT )} =5`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10``]

[eqn: b_n `=` root{ a_n +n } - rootn]이라 하면,

[eqn: lim_{n `-> ` inf } { b_n `=` 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{(b _{n} + sqrt {n} ) ^{2} -n} over {sqrt {n}}} `]

[eqn: `=`` lim _{`n` -> INF } {{b _{n} ^{2}} over {sqrt {n}} +2 lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`10}]

[4점] [2012년 7월 인천교육청]

2005	교육청(3점)

수렴하는 두 무한수열 [eqn: left{a_n `right }``], [eqn: left{b_n `right }``]에 대하여 [eqn: PMATRIX { { a_n+1} { }# {b_n+1 } { } } ``=`` PMATRIX { { 0.9}& {0.2 ```}# { 0.1}& {0.8```}} PMATRIX { { a_n} { }# {b_n} { } }] ([eqn: n``=``1``,~2``,~3``,~․․․``])으로 정의할 때, [eqn: lim from n->inf `b_n over a_n` `]의 값은?(단 [eqn: a_1 ``=``4``], [eqn: b_1 ``=``6``])

정답 ②

[eqn: a_n+1 ``=`` 0.9`a_n ``+`` 0.2` b_n ``]․․․㉠, [eqn: b_n+1 ``=`` 0.1`a_n ``+`` 0.8` b_n ``]․․․㉡

㉠[eqn: +``]㉡  [eqn: a_n+1 ``+`` b_n+1 ``=``a_n` `+`` b_n ``=`` ․․․``=`` a_1 ``+`` b_1 ``=``10 ``]…㉢

㉠, ㉢에서 [eqn: a_n+1 ``=`` 0.7 a_n ``+`` 2 ``]․․․㉣, ㉡, ㉢에서 [eqn: b_n+1 ``=`` 0.7 b_n ``+`` 1``]․․․㉤

㉣에서 [eqn: a_n ``=`` 20 over 3 ``-`` 8 over 3 left( 7 over 10 right) ^n-1 ``]이므로 ∴ [eqn: lim from n->inf a_n ``=`` 20 over 3 ``]

마찬가지로 ㉤에서 [eqn: lim from n->inf b_n ``=`` 10 over 3 ``]이다.

∴ [eqn: lim from n->inf b_n over a_n ``=`` {lim from n->inf b_n }over {lim from n->inf a_n }``=`` {10 over 3} over {20 over 3} ``=`` 1 over 2 ``]

① [eqn: 1 over 3``]	② [eqn: 1 over 2``]	③ [eqn: 1``]
④ [eqn: 2 over 3``]	⑤ [eqn: 2``]

2005	교육청(3점)

수렴하는 무한수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a_{1} ``=`2``], [eqn: a_{n+1} ``=`` {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} ``-``2`a _{n} ``] ([eqn: n``=``1``,~2``,~3``,~․․․``] )이 성립할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} ``=` `alpha ``]이다. [eqn: 30 alpha ``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15``]

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} ``=`` lim _{n -> INF } {} ` LEFT { {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} ``-``2a _{n} ` RIGHT }``][eqn: =`` lim _{n -> INF } {} ` {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} ``-`` lim _{n -> INF } {} `2a _{n} ``]

그런데 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} ``=`` lim _{n -> INF } {} `a _{n} ``]이므로 [eqn: alpha ``=`` {3} over {2} ``-``2 alpha ``]에서 [eqn: alpha ``=`` {1} over {2} ``]	∴ [eqn: 30 alpha ``=``15``]

<다른풀이>

[eqn: a_{1} ``=``2``], [eqn: a_{2} ``=``1``=`` {3} over {3} ``], [eqn: a_{3} ``=`` {4} over {5} ``], [eqn: a_{4} ``=`` {5} over {7} ``],․․․이므로 [eqn: a_{n} ``=`` {n+1} over {2n-1} ``]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: alpha ``=`` lim _{n -> INF } {} `a _{n} ``=`` lim _{n -> INF } {} ` {n+1} over {2n-1} ``=`` {1} over {2} ``]에서 [eqn: 30 alpha ``=``15``]이다.

2008	교육청(3점)

[eqn: n>=2``]인 자연수 [eqn: n``]에 대하여 다항식 [eqn: (x+1)^n``]을 [eqn: x^2 -3x+2``]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)``]라 할 때, [eqn: lim_n->inf``{R(0)} over {3^n + 2^n }]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 나머지 정리를 활용하여 극한값을 구하기

[eqn: (x+1)^n`=` (x-1) (x-2) Q(x) + ax+b``]러 하면

[eqn: R(x)`=` ax+b``]이다.

[eqn: x`=`1``]을 대입하면 [eqn: 2^n`=` a+b``]

[eqn: x`=`2``]을 대입하면 [eqn: 3^n`=` 2a+b``]

[eqn: ∴```a`=`3^n - 2^n``], [eqn: b`=` -3^n +2^n+1``]

[eqn: R(0)``=`-3^n + 2^n+1`]

[eqn: lim_n->inf``{-3^n + 2^n+1} over {3^n + 2^n} `=`-1``]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 0``]

④ [eqn: -1``]	⑤ [eqn: -2``]

2008	교육청(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: left{k∣1≦k`≦2n,```k]는 자연수[eqn: right}]의

세 원소 [eqn: a,```b,```c``]([eqn: a`＜`b``＜`c`])가 등차수열을 이루는 집합

[eqn: left{a,```b,```c`right}]의 개수를 [eqn: T_n]이라 하자. [eqn: lim_n→∞ {T_n}_` over n^2]의 값은?

정답 ②

집합 {[eqn: k ```|1≦k≦2n ,``k]는 자연수}의 세 원소 [eqn: a,``b,``c] 중 두 수만

결정되면 남은 수는 자동적으로 결정된다.

[eqn: b=2]인 경우 [eqn: a]를 정하는 방법은 1가지

[eqn: b=3]인 경우 [eqn: a]를 정하는 방법은 2가지

……

[eqn: b=n]일 경우 [eqn: a]를 정하는 방법은 [eqn: (n-1)]가지

[eqn: b=n+1]일 경우 [eqn: c]를 정하는 방법은 [eqn: (n-1)]가지

[eqn: b=n+2]일 경우 [eqn: c]를 정하는 방법은 [eqn: (n-2)]가지

……

[eqn: b=2n-1]일 경우 [eqn: c]를 정하는 방법은 1가지

[eqn: THEREFORE] 등차수열을 이루는 집합 [eqn: LEFT {a,``b,``c RIGHT }]의 개수는 [eqn: T_n =n(n-1)]

[eqn: THEREFORE~ lim _{ n rarrowinf } { } { T_n} over { n^2}= lim _{ n rarrowinf } { } { n(n-1)} over { n^2}=1]

[다른풀이] [eqn: 2b=a+c]이고, [eqn: a<b<c]이므로 [eqn: a]와 [eqn: c]를 결정하면 [eqn: b]는 자동적으로 결정된다.

[eqn: a+c]는 짝수이므로 [eqn: (a,``c)]를 만들 수 있는 경우는

짝수 [eqn: n]개 중 2개를 취하는 경우 [eqn: `_n C_2 = { n(n-1)} over { 2}]

홀수 [eqn: n]개 중 2개를 취하는 경우 [eqn: `_n C_2 = { n(n-1)} over { 2}]

[eqn: THEREFORE] 등차수열을 이루는 집합 {[eqn: a,``b,``c]}의 개수는 [eqn: T_n =n(n-1)]

[eqn: THEREFORE~ lim _{ n rarrowinf } { } { T_n} over { n^2}= lim _{ n rarrowinf } { } { n(n-1)} over { n^2}=1]

① [eqn: {1_`}over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3_`} over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5_` }over2]

2007	교육청(3점)

수열의 극한 [eqn: lim _{n -> ` INF } {{r ^{n-1} `-r+2} over {r ^{n} `+1}} ```(r != -1)]에 대한 설명으로 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면?

정답 ④

[출제의도] 무한등비수열의 공비에 따른 극한값 구하기

[eqn: lim_{n->inf} { r^n-1 -r+2} over{ r^n +1} = CASES{ 1 OVER r ~~~`````~(`` |``r`` |>1) # ``1 ~`````~~~``(``r=1)_{}_{}_{}_{}# {}^{}^`````2-r~~(`` |``r`` |<1)]이다.

따라서 ㄴ, ㄷ이 참이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: LEFT | ` r `RIGHT |` >1]일 때, 발산한다. ㄴ. [eqn: r=1]일 때, 극한값은 [eqn: 1]이다. ㄷ. [eqn: LEFT | ` r` RIGHT |`<1]일 때, 극한값은 [eqn: 2-r]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄷ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

2005	교육청(3점)

무한수열 [eqn: 2``+`` 1 over 2 ``,~ 2 ``+`` 1 over {2``+`` 1 over 2} ``,~ 2``+`` 1 over {2 ``+`` 1 over {2``+`` 1 over 2}}``,~․․․``] 은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다.

주어진 수열을 [eqn: \{ `a_n` \}``]이라 하면 [eqn: a_1 ``=``2``+`` 1 over 2 ``]이고

[eqn: a_n+1 ``=`` (~가~) ``+`` 1 over {a_n}``]이다.

이 수열의 극한값을 [eqn: x``]라고 하면 [eqn: lim from n->inf `a_n ``=`` x`` ,~lim from n->inf `a_n+1 ``=`` x``]이므로

[eqn: x``=``(~`가~` ) ``+`` 1 over x``]이다. 따라서, 구하는 극한값은
( 나 )이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ①

[eqn: lim from n->inf `a_n ``=`` x``]라 하면 [eqn: a_n+1 ``=`` 2``+`` 1 over {a_n}``]에서 [eqn: x``=``2 ``+`` 1 over x``][eqn: LRARROW``][eqn: x^2 ``-`` 2x ``-``1 ``=``0``]

근의 공식에 의하여 [eqn: x ``=`` 1``+- ``root 2``], [eqn: x``>``2``]이므로, [eqn: x ``=`` 1``+`` root 2``]

① [eqn: 2 ``,~ 1 ``+`` root 2``]	② [eqn: 2 ``,~ 2 ``+`` root 2``]

③ [eqn: 2 ``,~ 3 ``+`` root 2``]	④ [eqn: 1 ``,~ {root5 `+` 1} over 2``]

⑤ [eqn: 1 ``,~ {root5 `-` 1} over 2``]

2008	교육청(3점)

두 무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n-1)a _{n} =`3}], [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(n ^{2} +3n+2)b _{n} =`2}]일 때,
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 24``]

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[eqn: (2n-1)a_n = c_n]이라 하면  [eqn: a_n = c_n over 2n-1],

[eqn: (n ^{2} +3n+2)b _{n} =d _{n}]라 하면 [eqn: b _{n} = {d _{n}} over {n ^{2} +3n+2}],[eqn: lim _{ n->inf} {c_n = 3 }], [eqn: lim _{n -> INF } {d _{n} =2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{(2n+1) ^{3`}} over {(2n-1)(n ^{2} +3n+2)} `` lim _{n -> INF } {c _{n```}}} lim _{n -> INF } {d _{n}}]

[eqn: =4 TIMES 3 TIMES 2=24]

2011	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]의 계차수열 [eqn: LEFT { ``b _{n} ` RIGHT }]에 대하여
[eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n}} `=`100], [eqn: b _{n} = {4} over {n ^{2} +2n}]
일 때, [eqn: a` _{1}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 97]

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: b _{n} = {4} over {n(n+2)} =2 LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT)]

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k}]

[eqn: = a_1 + sum _{k=1} ^{n-1} 2 LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT )]

[eqn: =a _{1} +2 LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) RIGHT . + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + `CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) right}]

[eqn: =a _{1} +2 LEFT (1+ 1over2 - 1overn - 1 overn+1 right)]

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n->inf} { LEFT { a _{1} +2 LEFT (1+ 1over2 - 1overn - 1 overn+1 right) RIGHT } }]

[eqn: =a _{1} +3=100]

이므로 [eqn: a_1 = 97]이다.

[3점][2011 년 3월 교육청]

2008	교육청(3점)

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{n} +1]([eqn: n=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS]) 위의 점 [eqn: rm P it rm _{n} (2 ^{n} ,````1) _{{} _{{} _{pile{#}}}}]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rmQ}_n]이라 하자. 삼각형 [eqn: { rmOP}_n{rmQ}_n]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{S _{n+1}} over {S _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

정답 ②

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{n} +1]위의 점 [eqn: {rm P it } _{n} (2 ^{n} ,````1)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=-2^n x+4^n +1]이므로 점 [eqn: {rm Q} _{n}}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2 ^{n} `+2 ^{-n} `,`0 RIGHT )]이다. 삼각형[eqn: rm{OP}_{itn} rm{Q}_{itn}]의 넓이 [eqn: S _{n} =`2 ^{n-1} +2 ^{-n-1} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {S _{n+1}} over {S _{n}}][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {` {2 ^{n} +2 ^{-n-2}} over {2 ^{n-1} +2 ^{-n-1}} `}=2]

① [eqn: {3} over {2}]	②  [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

수학세상 수학자료실                                            http://www.math114.net

평가원 및 교육청 수1	수열의 극한	수학은 머리로 푼다? 아니다!! 수학은 손으로 푼다!!!

2013	교육청(3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=n`]이 두 곡선 [eqn: y=2 `^{x} `], [eqn: y=2 ^{`x-1`}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm`A_{`it n}`], [eqn: rm`B_{`it n}`]이라 하자. 또, 점 [eqn: rm`B_{`it n}`]을 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm`C_{`it n}`]이라 하자.

선분 [eqn: rm`A_{`it n} rmC_{it n}`]의 길이를 [eqn: f(n)`], 선분 [eqn: rm`B_{`it n} rmC_{it n}`]의 길이를 [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: lim_{n-> inf} `n` left{ f(n) -g(n) right}`]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm `A _{it`n}`]이 곡선 [eqn: y=2` ^{x} `] 위에 있으므로 [eqn: rm `A _{it`n} ( it `log _{2`} n`,`n)``]이다. 점 [eqn: rm `B _{it`n} `]의 좌표를 [eqn: (b _{n} ,``n)]이라 하면 점 [eqn: rm `B _{it`n} `]이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x-1`}]위의 점이므로 [eqn: 2 ^{`b _{n} -1} =n`]이다.

[eqn: b _{n} -1=log` _{2} n`], [eqn: b _{n} =1+log` _{2} n=log` _{2} 2n`]

∴ [eqn: rm `B _{it`n} ( it `log _{2`} 2n`,``n)``]

또, 점 [eqn: rm `C _{it`n} `]이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]위에 있으므로

[eqn: rm `C _{it`n} ( it `log _{2} `2n`,``2n`)]

따라서 [eqn: bar{rm `A _{it `n rm} B _{it`n}} it =1`], [eqn: bar{rm `B _{it`n} C _{it`n} it} it =2n`-n=n`]이므로

[eqn: bar{rm `A _{it `n rm} C _{it `n rm} it} it = sqrt {n ^{2} +1}]이다.

∴ [eqn: f(n`)= root {{} ^{}} of {n ^{2} +1} `], [eqn: g(n)=n`]

∴ [eqn: lim _{n -> inf} {} n LEFT { f(n)-g(n) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} {n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT ) LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} +n RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} +n RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> inf} {} {n} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}][eqn: = lim _{n -> inf} {} {1} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}} +1}][eqn: = {1} over {2}]

[3점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

2013	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한등비수열의 수렴 이해하기

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하므로 [eqn: -1< {2x-1} over {5} LEQ1]

[eqn: -5<2x-1 LEQ5], [eqn: -2<x LEQ3]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 5]

[3점][2013년 04월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2013	교육청(3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n} =1,~ sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {n} =2`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4n} over {b _{n} +3n-2}]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 무한급수와 수열의 극한 사이의 관계를 이용하여 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {n}`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {n} =0]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4n} over {b _{n} +3n-2}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {{a _{n}} over {n} +4} over {{b _{n}} over {n} +3- {2} over {n}}][eqn: = {1+4} over {0+3-0}][eqn: = {5} over {3}]

[3점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 5 over 3]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

2013	교육청(3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

(가)에서 [eqn: {6 LEFT ( 2n ^{3} +3 RIGHT )} over {n(n+1)(2n+1)} <a _{n} <2b _{n}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6 LEFT ( 2n ^{3} +3 RIGHT )} over {n(n+1)(2n+1)}} =6]이고,
(나)에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}}=3], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {2b _{n}} =6]이므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} =6]

[3점][2013년 04월 교육청]

(가) [eqn: {2n ^{3} +3} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2}} <a _{n} <2b _{n}] [eqn: LEFT ( n=1,~2,~3,~cdots RIGHT )]

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} -3)=2]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

2013	평가원(3점)

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 3n^2 + 2n < a_n < 3n^2 + 3n ``]
을 만족시킬 때, [eqn: lim from { n -> inf} { 5 a_n } over n^2 + 2n } ``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15`]

출제의도 : 수열의 극한 – 극한의 성질

[eqn: 3n^2 + 2n < a_n < 3n^2 +3n`]의 양변에 [eqn: 5 over {n^2 + 2n}`]을 곱하면
[eqn: {15n^2 + 10n} over {n^2 +2n} `<` 5a_n over{ n^2 +2n} < {15n^2 + 15n} over {n^2 + 2n}`]이 되고 Sandwich정리에 의하여
[eqn: lim _{ n->inf} {15n^2 + 10n} over {n^2 +2n} `le`lim _{ n->inf} 5a_n over{ n^2 +2n} `le` lim _{ n->inf} {15n^2 + 15n} over {n^2 + 2n}`]이 된다.
[eqn: lim _{ n->inf} {15n^2 + 15n} over {n^2 + 2n}` = lim _{ n->inf} {15 + 15over n} over {1 + 2over n}`=15]에 의해
[eqn: `lim _{ n->inf} 5a_n over{ n^2 +2n} = 15`]

[3점][2013년 6월 평가원]

2013	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> `` INF } {{a _{n}} over {n+1} =3}]일 때, [eqn: lim _{n` -> `` INF } {{(2n+1)a _{n}} over {3n ^{2}}}]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: {a _{n}} over {n+1} =b _{n}]이라 하면 [eqn: a _{n} =(n+1)b _{n}]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =3}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {{(2n+1)a _{n}} over {3n ^{2}} `=`} lim _{n -> INF } {{(2n+1)(n+1)b _{n}} over {3n ^{2}}}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {{(2n+1)(n+1)} over {3n ^{2}}} TIMES lim _{n -> INF } {b _{n}}]

[eqn: =` {2} over {3} TIMES 3```=`2]

[3점][2013년 07월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2008	교육청(3점)

수렴하는 두 수열 [eqn: left{a_n right},```left{b_n right}``] ([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])의 항들 사이에 [eqn: a_n+1 = {a_n +b_n} over 2 ,```b_n+1 =sqrt{a_n b_n}``]이 성립한다. 다음 <보기>의 설명 중에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<a_1 <b_1])

정답 ⑤

[출제의도] 두 수열을 수학적 귀납법으로 정의하고 두 수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 산술기하평균의 성질 [eqn: a+b over 2 >=sqrtab``]이므로

[eqn: a_n+1 = {a_n +b_n} over 2 >=sqrt{a_n b_n} =b_n+1``](참)

ㄴ. [eqn: a_n+1 over b_n+1 = 2 over sqrt{a_n b_n} =sqrt{{(a_n +b_n )^2} over {4a_n b_n}}``]

[eqn: =sqrt{{a_n^2 +2a_n b_n +b_n^2} over {4a_n b_n}}=sqrt{{2+ a_n over b_n + b_n over a_n } over 4}``]

[eqn: ={sqrt{left(sqrt {a_n over b_n }+sqrt{b_n over a_n}right)^2} over 2}={sqrt{a_n over b_n}+sqrt{b_n over a_n}} over 2``] (참)

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n right},```left{b_n right}``]이 수렴하므로

[eqn: lim_{n->inf}``a_n =lim_{n->inf}``a_n+1 =a,```lim_{n->inf}``b_n =lim_{n->inf}``b_n+1 =b``]

라 하면, [eqn: a_n+1 = {a_n +b_n } over 2``]에서

[eqn: a= a+b over 2 ``cdots``]①

[eqn: b_n+1 =sqrt{a_n b_n}``]에서

[eqn: b=sqrtab ``cdots``]②

①, ②를 연립해서 풀면 [eqn: a=b``]이다.(참)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a_n+1 >b_n+1 ``] ([eqn: n=1,```2,```3,```cdots]) ㄴ. [eqn: a_n+1 over b_n+1 = 1 over 2 left( sqrt{a_n over b_n} + sqrt{b_n over a_n} right)``] ([eqn: n=1,```2,```3,```cdots]) ㄷ. [eqn: lim_{n->inf}``a_n =lim_{n->inf}``b_n``]

① ㄷ	② ㄱ,ㄴ	③ ㄱ,ㄷ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

2011	교육청(3점)

두 무한수열 [eqn: left { a_n right } ``,` left { b_n right }]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ①

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { a_n } ``=`` alpha], [eqn: lim _{ n->inf} { b_n } ``=`` beta], [eqn: a_n ``-`` b_n ``=`` c_n] 이라 하면

[eqn: b_n ``=` a_n ``-`` c_n]

[eqn: therefore ```] [eqn: lim _{ n->inf} {b_n } ``=`` lim _{ n->inf} { ( a_n ``- c_n )} ``=`` lim _{ n->inf} {a_n } `-` lim _{ n->inf} {c_n }]

[eqn: ``=`` alpha `-` beta]

ㄴ. (반례) [eqn: a_n ``=` ` LEFT ( 1 OVER 3 RIGHT )^n] , [eqn: b_n ``=` 2^n] 이면

[eqn: lim _{ n->inf} { a_n `b_n } ``=`` lim _{ n->inf} { left ( 2 over 3 right )^n } ``=`` 0] 이지만

[eqn: therefore ```` lim _{ n->inf} {``b_n } ``=`` lim _{ n->inf} {```2^n } ``=`` inf] 으로 발산한다. (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n ``=`` ( -1)^n `+` 2 ```,` b_n ``=` 4] 이면

[eqn: 0 ``<`` a_n ``<`` b_n] , [eqn: lim _{ n->inf} {b_n } ``=`` 4] (수렴) 이지만

[eqn: a_n] 은 발산한다. (거짓)

[3점][2011년 10월 대전교육청]

[보 기]

ㄱ. 수열 [eqn: left { a_n right }], [eqn: left { a_n `- b_n ` right }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: left { b_n right }]도 수렴

한다.

ㄴ. 수열 [eqn: left { a_n right } ``,`` left { a_n ` b_n right }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: left { b_n right }]도 수렴한다.

ㄷ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 `<`` a_n ``<` b_n] 이고 수열 [eqn: left { b_n right }]이

수렴하면 수열 [eqn: left { a_n right }]도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2008	교육청(3점)

수열 [eqn: LEFT { a` _{`n} RIGHT }`]이 [eqn: a` _{`1} `=`1`], [eqn: a` _{`n} `+`a` _{`n+1} `=`3`] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS `])을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 수열의 극한을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 식을 이용하여 각 항을 차례로 나열하면

[eqn: 1`,``2`,``1`,``2`,``1`,``2`,`` CDOTS `]

ㄱ. [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: a _{n} `=`1`]이므로 [eqn: a _{11} =1]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a` _{2n} `=2`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{2n} =2]이다. (참)

ㄷ. [eqn: n`=`2`m`] ([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{1} over {2m} sum _{k=1} ^{2m} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{3m} over {2m} `=` {3} over {2}}]

[eqn: n`=`2`m`-1`] ([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `= lim _{m -> INF } {{1} over {2m-1} sum _{k=1} ^{2m-1} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{3m-2} over {2m-1} `=` {3} over {2}}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `=` {3} over {2} `] (참)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{`11} =1] ㄴ. [eqn: lim _{n `-> `INF }` a _{`2n} =2] ㄷ. [eqn: lim _{n` -> `INF }{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a _{`k} = {3} over {2}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2008	교육청(3점)

두 무한수열 [eqn: "{"``a_n"}"``,``"{"``b_n"}"``]의 일반항이

[eqn: a_n`=` cos n pi``,`` b_n`=` sin {2n-1}over 2``pi``] 일　때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면?

정답 ③

[출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

[eqn: "{"a_n``"}"``:``-1``,``1``,``-1``,``1``,``cdots``]

[eqn: "{"``b_n``"}"``:``1``,``-1``,``1``,``-1``,``cdots``]이므로

ㄱ. [eqn: lim _{ n-> ``inf``} { a_n over b_n}`=` -1``]

ㄴ. [eqn: lim _{ n-> ``inf``} { a_n + b_n}`=`0``]

ㄷ. [eqn: "{"``a_n``"}"``,``"{"``b_n``"}"``]모두 발산하므로 성립하지 않는다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a_n over b_n RIGHT }``]은 수렴한다. ㄴ. 수열 [eqn: "{"``a_n`+b_n`"}"``]은 수렴한다. ㄷ. [eqn: lim _{ n->``inf``} { (a_n + b_n``)}`=` lim _{ n->``inf``} ``{ a_n }+ lim _{ n-> inf} ```{ b_n``}``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2005	교육청(3점)

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 [eqn: 1``]호 댐과 [eqn: 2``]호 댐이 있다. 강 상류의 [eqn: 1``]호 댐으로부터 [eqn: 2``]호 댐으로 매일 [eqn: 100``]만톤의 물이 유입되고, 정오에 [eqn: 2``]호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 [eqn: 2`%``]를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 [eqn: 2``]호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가?(단, 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.)

정답 ④

[eqn: n``]일 후 정오에 측정한 [eqn: 2``]호 댐의 저수량을 [eqn: x_n``](만톤)이라하면 [eqn: x_n `×` 0.98 ``+`` 100 ``=`` x_n+1``]

[eqn: (`x_n+1 ``-``5000`) ``=`` 0.98 `(`x_n ``-`` 5000`)``]	∴ [eqn: x_n ``-``5000``=``(`x_1 ``-``5000`) ``0.98^{n-1}``]

[eqn: lim from n->inf ``x_n ``=`` 500 ``+`` lim from n->inf `(`x_1 ``-`` 5000`)` 0.98^{n-1}``=``5000``]

따라서 측정되는 저수량은 [eqn: 5000``]만톤에 한없이 가까워진다.

① [eqn: 4400``]톤	② [eqn: 4600``]톤	③ [eqn: 4800``]톤

④ [eqn: 5000``]톤	⑤ [eqn: 5200``]톤

2005	교육청(3점)

그림과 같이 자연수 [eqn: n``]에 대하여 가로의 길이가 [eqn: n``], 세로의 길이가 [eqn: 48``]인 직사각형 [eqn: OAB_n C_n``]이 있다.	대각선 [eqn: AC_n``]과 선분 [eqn: B_1 C_1``]의 교점을 [eqn: D_n``]이라한다. 이때, [eqn: lim from n->inf {bar {AC_n } - bar{OC_n }} over{bar{B_1 D_1}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 24``]

[eqn: {bar {AC_n } - bar{OC_n }} ``=``root{n^2 ``+`` 48^2}``-``n``], [eqn: {bar{B_1 D_1}}``=``48 over n``]이므로

[eqn: lim from n->inf {bar {AC_n } - bar{OC_n }} over{bar{B_1 D_1}}``=``lim from n->inf {root{n^2 + 48^2} ``-``n} over{48 over n}``]

[eqn: =``lim from n->inf {(`root{n^2 + 48^2} ``-``n`)`(`root{n^2 + 48^2} ``+``n`)} over{48 over n (root{n^2 + 48^2} ``+``n)}``][eqn: =``lim from n->inf 48^2 over {48 pmatrix{root{1`+` 48^2 over n^2} ``+``1}}``=``48 over 2 ``=`` 24``]

2007	교육청(3점)

[eqn: 2500``rmL`]의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 [eqn: 1200`` rm L`]의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 [eqn: 12`%`]를 사용한 다음 [eqn: x ``rmL`]의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: n`]번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a_n``rmL`]라 하자. 부등식 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} <= 2000`]이 성립하도록 하는 [eqn: x`]의 최댓값을 구하시오.

정답 240

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n+1} =a _{n} TIMES 0.88+x`]이므로

[eqn: a _{n} =a _{n-1} TIMES 0.88+x`]

[eqn: =a _{n-2} TIMES 0.88 ^{2} +(1+0.88)x`]

[eqn: CDOTS]

[eqn: =1200 TIMES 0.88 ^{n} +(1+0.88+0.88 ^{2} + CDOTS +0.88 ^{n-1} )x``]

[eqn: =1200 TIMES 0.88 ^{n} + {1-0.88 ^{n}} over {1-0.88} x``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( 1200 TIMES 0.88 ^{n} + {1-0.88 ^{n}} over {0.12} x RIGHT )][eqn: = x over 0.12`]

[eqn: lim_n->inf a_n <=2000`]에서 [eqn: x over 0.12 <= 2000`]  ∴ [eqn: x<=240]

따라서 구하는 [eqn: x`]의 최댓값은 [eqn: 240`]이다.

2006	교육청(3점)

그림은 두 변의 길이가 [eqn: 10`]인 직각이등변삼각형이다. 세 변을 [eqn: n`]등분하는 점에서 각 변에 평행한 선분을 그어 만들어지는 가장 작은 직각이등변삼각형 한 개의 넓이를 [eqn: a _{n} `], 선분들의 교점의 총 개수를 [eqn: b _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 25``]

[출제의도] 주어진 도형에서 수열의 극한값 구하기

[eqn: a _{n} = {1} over {2} TIMES {10} over {n} TIMES {10} over {n} = {50} over {n ^{2}}]

[eqn: left{b _{n} right}]  [eqn: 0,````3,````7,````12,`````18,`` CDOTS] 에서

[eqn: b _{n} =0+ sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( k+2 RIGHT ) = { n(n-1)} over { 2}+2(n-1)]

[eqn: ={ n^2 +3n-4} over { 2}]

[eqn: ∴``lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} `=25]

2014	평가원(3점)

행렬 [eqn: {A `= pmatrix { 2 &~ 0 # 0 &~ 4 } }]에 대하여 물음에 답하시오.

정답 ④

[eqn: A ^{n} =][eqn: {pmatrix{`2 ^{n}&~~0`#`0&~~4 ^{n} `}}]이므로 [eqn: {pmatrix{`x _{n}#`y _{n}}} =][eqn: {pmatrix{`2 ^{n}&~~0`#`0&~~4 ^{n} `}}][eqn: {pmatrix{`3`#`1`}}][eqn: =][eqn: {pmatrix{`3`·`2 ^{n} `#`4` ^{n}}}]

∴ [eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {LEFT ( x _{n} RIGHT ) ^{2}} over {y _{n} +1}][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {9`·`4 ^{n}} over {4 ^{n} +1}][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {9} over {1+ {1} over {4 ^{n}}} =9]

두 수열 [eqn: left{ x_n right}], [eqn: left{ y_n right}]에 대하여 [eqn: pmatrix{ x_n # y_n } `=` A^n ` pmatrix{ 3 # 1 }]이 성립할 때, [eqn: lim from { n `->` inf} { left( x_n right) ^2 } over { y_n +1 }]의 값은?

[3점][2014년 6월 평가원]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 1`0]

2007	교육청(3점)

[eqn: 1000rmmL]의 물이 가득 들어있는 용기가 있다. 이 용기에서 담긴 양의 [eqn: { 1} over {2 }]을 덜어내고 물 [eqn: 300rmmL]와 알콜 [eqn: 100rmmL]를 다시 넣는 것을 첫 번째 시행이라 하고, 이 시행 후 용기에 남아 있는 양의 [eqn: { 1} over {2 }]을 덜어내고 물 [eqn: 300rmmL]와 알콜 [eqn: 100rmmL]를 다시 넣는 것을 두 번째 시행이라 하자. 이와 같은 과정을 한 없이 반복한다고 할 때, 용기 안에 알콜의 농도([eqn: %])는?(단, 자연증발 및 기타 유실량은 무시한다.)

정답 ④

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열을 이해하고 이를 실생활문제에 적용시킬 수 있는가를 묻는 문제이다.

한없이 반복하여 남은 물과 알콜의 양에 대한 합은 [eqn: a_{ n+1}= { 1} over { 2} a_{n}+400]이고 극한을 취하면 [eqn: lim _{ n->inf} { }a_{ n+1}=lim _{ n->inf} { } ({ 1} over { 2} a_{n}+400)]   ∴ [eqn: lim _{ n->inf} { }a_{ n}=800].

[eqn: b_{ n}]을 [eqn: n]번 시행으로 남은 알콜의 양으로 정할 때 [eqn: b _{n+1} = {1} over {2} b _{n} +100] 이다. 따라서 극한값을 취하면 [eqn: lim _{ n->inf} { }b_{ n+1}=lim _{ n->inf} { } ({ 1} over { 2} b_{n}+100)] ∴[eqn: lim _{ n->inf} { }b_{ n}=200],  농도= [eqn: { 200} over {800 }×100]= [eqn: 25%]이다.

① [eqn: 10%]	② [eqn: 15%]	③ [eqn: 20%]
④ [eqn: 25%]	⑤ [eqn: 30%]

2012	교육청(3점)

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 변 [eqn: rm BC`]위에 양 끝점이 아닌 한 점 [eqn: rm P_0 `]을 잡는다. 그림과 같이 [eqn: rm P_0 `]을 지나고 변 [eqn: rm AB`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P_1 `], 점 [eqn: rm P_1`]을 지나고 변 [eqn: rm BC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm AB `]와 만나는 점을 [eqn: rm P_2 `], 점 [eqn: rm P_2`]를 지나고 변 [eqn: rm AC`]와 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P_3`]이라 하자.

정답 [eqn: 3]

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 도형에 응용된 극한 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rmCP _{0}]의 길이를 [eqn: a`]([eqn: 0<a<1])이라 하면

[eqn: rmbar{P _{0} P _{1}} = bar{P _{2} P _{3}} `][eqn: rm= bar{P _{4} P _{5}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =a`]

[eqn: rmbar{P _{1} P _{2}} = bar{P _{3} P _{4}} `][eqn: rm= bar{P _{5} P _{6}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =1-`a]

이므로 [eqn: l _{2n} =`n`]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {l` _{2n}} over {2n+1} = lim _{n` -> ` INF }{n} over {2n+1} `][eqn: = {1} over {2} `] ∴ [eqn: a+b=3`]

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 점을 [eqn: rm P_ {it n `}]이라 하고, 점 [eqn: rm P_0`]을 출발하여 점 [eqn: rm P_{it n`}]까지 이동한 거리 [eqn: l`_n`]을

[eqn: l_n `=` bar {rm P_0 P_1}`+`bar {rm P_1 P_2}`+bar {rm P_2 P_3}`+` CDOTS`+bar {rm P_{itn-1} P_{itn}}`] ([eqn: n=1,~2,~3,` CDOTS`])

이라 하자.

[eqn: lim _{n `-> ` INF } `{}{l ` _{2`n}} over {2`n+1} ``= b over a`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

2006	교육청(3점)

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수

[eqn: LEFT ( a _{1} - {2} over {1 ^{2}} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} - {2+4} over {3 ^{2}} RIGHT ) + CDOTS + LEFT { a _{n} - {2+4+6+ CDOTS +2n} over {(2n-1) ^{2}} ` RIGHT } + CDOTS]

이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은?

정답 ③

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `t _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ``t _{n} =0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { a _{n} - {2+4+6+ CDOTS +2n} over {(2n-1) ^{2}} RIGHT } =0]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} - {n ^{2} +n} over {4n ^{2} -4n+1} RIGHT ) =0]  ∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} = {1} over {4}]

①  [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤  [eqn: 1]

2006	평가원(4점)

[eqn: lim from {n`->`inf} { sqrt kn+1}_` over {n (sqrt n+1 - sqrt n-1 )}^` =5]일 때, 상수 [eqn: k``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 25``]

(준식)[eqn: =` lim from { n -> inf } { SQRT { kn+1}( SQRT { n+1}+ SQRT { n-1}) }_` over {n(n+1-n+1) }]

[eqn: =` lim from { n -> inf } { SQRT { kn+1}( SQRT { n+1}+ SQRT { n-1}) }_` over {2n}]

[eqn: =` lim from { n -> inf } { SQRT { k + 1 over n } LEFT ( SQRT { 1+ 1 over n}+ SQRT { 1- 1 over n} RIGHT ) }_` over {2}]

[eqn: =` SQRT { k} `=`5]

[eqn: ∴~k`=`25]

2008	평가원(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 이차함수 [eqn: f`(x)=sum_{k=1^`}^n_` left(x- {k_`} over {n} right)^2]의 최솟값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→`inf} a_n over n]의 값은?

정답 ①

[eqn: f(x)= sum_k=1^n left( x- k over n right)^2 = sum_k=1^n left( x^2 - 2x over n k+ 1 over n^2 k^2 right)]

[eqn: =nx^2 -(n+1)x+ {(n+1)(2n+1)} over 6n `]

[eqn: =n left(x- n+1 over 2n right)^2 - {(n+1)^2} over 4n + {(n+1)(2n+1)} over 6n `]

이므로

최솟값 [eqn: a_n =- {(n+1)^2} over 4n + {(n+1)(2n+1)} over 6n `]

[eqn: THEREFORE lim_n->inf a_n over n = lim_n->inf left{`- {(n+1)^2} over 4n^2 + {(n+1)(2n+1)} over 6n^2 right} `]

[eqn: = - 1 over 4 + 1 over 3 = 1 over 12 `]

① [eqn: {1_`}over{12}]	② [eqn: {1_`}over{6`}]	③ [eqn: {1_`}over{3`}]
④ [eqn: {1_`}over{2`}]	⑤ [eqn: 1]

2014	교육청(4점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

정답 ③

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다.

조건 (가)에서 양변을 [eqn: 4^n`]으로 나누면

[eqn: 1< {a _{n}} over {4 ^{n}} <1+ {1} over {4 ^{n}} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {``1}][eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT ( 1+ {1} over {4 ^{n}} RIGHT ) `} =1`]이므로

[eqn: lim_n->inf a_n over4^n =1] … ㉠

조건 (나)에서

[eqn: 2+2^2 +2^3 +`cdots`+2^n = {2(2^n -1)}over2-1]

[eqn: = 2^n+1 -2]

[eqn: 2^n+1 -2 < b_n < 2^n+1`]에서 양면을 [eqn: 2^n `]으로 나누면

[eqn: 2- 2over2^n < b_n over2^n < 2]

[eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( 2- {2} over {2 ^{n}} RIGHT )} `][eqn: = lim _{n -> INF } {`2`} =2`]이므로

[eqn: lim_n->inf b_n over2^n =2] … ㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: lim_n->inf {4`a_n +b_n}over{2`a_n + 2^n `b_n}]

[eqn: =lim_n->inf {{4`a_n +b_n}over4^n }over{{2a_n + 2^n ` b_n}over4^n}}]

[eqn: =lim_n->inf {4times a_n over4^n + b_n over2^n times 1over2^n}over{2times a_n over4^n + b^n over2^n}]

[eqn: = 4 over2+2 =1]

(가) [eqn: 4 ^{n} <a _{n} <4 ^{n} +1]

(나) [eqn: 2+2 ^{2} +2 ^{3} +` CDOTS `+`2 ^{n} <b _{n} <2 ^{n+1} `]

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {{4a _{n} +b _{n}} over {2a _{n} +2 ^{n} b _{n}}} `]의 값은?

[4점][2014년 3월 서울]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

2014	교육청(4점)

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n]을 [eqn: C _{`n}]이라 하고, 직선 [eqn: y= sqrt {3} x] 위의 점 중에서 원점 [eqn: rmO]로부터 거리가 [eqn: n+2]인 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 점 [eqn: rm P _{it n rm}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it n rm}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OQ _{it n rm}]의 내부와 원 [eqn: C _{`n}]의 외부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{`n}]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {`S _{`n}}} `=`a]일 때, [eqn: 3a ^{2}]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmP _{itn}]은 제[eqn: `1`]사분면 위의 점이다.)

정답 [eqn: 64]

[출제의도] 무한수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

직각삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} rm OQ _{it n rm}]에서

[eqn: rm ANGLE P _{it n rm} OQ _{it n rm} = {pi} over {3}]이고 [eqn: rm {bar{OP _{itn}}} `=itn+2]이므로

[eqn: rm {bar{OQ _{it n rm}}} `= it {1} over {2} ` LEFT ( n+2 RIGHT )], [eqn: rm {bar{P _{itn} Q _{it n rm}}} `= it {sqrt {3}} over {2} ` LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm} rm OQ _{it n rm} = {1} over {2} ` TIMES ` {bar{rm O _{it rm} rm Q _{it n rm} it rm}} ` TIMES ` {bar{rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} it rm}} `= it {sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8}]

[eqn: S _{`n}]은 [eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm} rm OQ _{itn rm}]의 넓이에서 원 [eqn: C _{`n}]의 넓이의 [eqn: {1} over {6}]을 빼면 된다.

[eqn: therefore] [eqn: S _{`n} = {sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8} `-` {n pi } over {6}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {S _{`n}}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {{sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8} `-` {n pi } over {6}} `= {8} over {sqrt {3}}} `=a]

따라서 [eqn: 3a ^{2} =64]

[4점][2014년 4월 경기]

2004	평가원(4점)

[eqn: a_1 = 1`], [eqn: a_2 = 9`], [eqn: 3a_n+2 -2 a_n+1 -a_n =0`]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3],[eqn: cdots])으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }`]에 대하여 [eqn: lim from { n` ->` inf } a_n`]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 여러 가지 수열의 극한값 구하기

[eqn: a_{n+2} - { 2} over { 3} a_{n+1} - { 1} over { 3} a_{n} =0]

[eqn: a_n+2 -a_n+1 = -{ 1} over { 3} (a_n+1 -a_n `)]

∴[eqn: a_n = a_1 +{ {(a_2 - a_1 ) LEFT { 1- LEFT ( - { 1} over { 3}RIGHT ) }^n-1 RIGHT } } over {1- LEFT ( - { 1} over { 3}RIGHT ) }]

[eqn: lim from { n `->` inf } a_n = lim from {n` ->` inf } LEFT [ 1+ { 3} over {4 }·8 LEFT { 1-(- { 1} over {3 })^n-1 RIGHT } RIGHT ] =7]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

2007	평가원(4점)

[eqn: 0<x<16``]일 때, 수열 [eqn: LEFT { LEFT ( sqrt {2} `sin {pi } over {8} x RIGHT ) ^{n} RIGHT } ``]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: x``]의 개수는?

정답 ②

[출제의도] 무한등비수열이 수렴할 조건을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 무한수열이 수렴할 조건은

[eqn: -1< root2 `sin pi over 8 x ≦1``], [eqn: - root2 over 2 < sin pi over 8 x ≦ root2 over 2``]

이때 [eqn: 0<x <16``]일 때, [eqn: 0< {pi } over {8} x<2 pi ``]이므로 위의 부등식의 해는

[eqn: 0< pi over 8 x ≦ pi over 4``], [eqn: 3 over 4 pi ≦ pi over 8 x < 5 over 4 pi ``], [eqn: 7 over 4 pi < pi over 8 x ``< 2pi``]

따라서 구하는 자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 1,``2,``6,``7,``8,``9,``15``]의 [eqn: 7``]개이다.

① [eqn: \5``]	② [eqn: 7``]	③ [eqn: 9``]
④ [eqn: 11``]	⑤ [eqn: 13``]

2007	평가원(4점)

등차수열 [eqn: \{ita_n \}``]에서 [eqn: a_1 =4], [eqn: a_1 -a_2 +a_3 -a_4 +a_5 =28] 일 때, [eqn: lim from { n` ->` inf } { a_n} over {n }]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12``]

[eqn: {a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}}]

[eqn: =`a_1 +(a_3 -a_2 )+(a_5 -a_4 )]

[eqn: =`a_1 `+`2d`=`4+2d`=`28]  [eqn: THEREFORE ~d`=`12]

[eqn: THEREFORE ~a_n `=`12n -8]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n -> inf } {a_n} over {n}`=`{12n-8} over {n}`=`12]

2012	평가원(4점)

첫째항이 [eqn: 10]인 수열 [eqn: left{`a _{n} ` right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

정답 [eqn: 12]

출제의도 : 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해하고 수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k+1} -a _{k} RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n}} RIGHT )]에서

[eqn: (a _{n+1} -a _{n} ) ^{2} = sum _{k=1} ^{n} (a _{k+1} -a _{k} ) ^{2} - sum _{k=1} ^{n-1} (a _{k+1} -a _{k} ) ^{2}]

[eqn: =2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n}} RIGHT ) -2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n-1}} RIGHT )]

[eqn: = {16} over {9 ^{n}}][eqn: (n` GEQ 2)]

이때, [eqn: n=1]이면

[eqn: (a _{2} -a _{1} ) ^{2} =2(1- {1} over {9} )= {16} over {9}]

이므로

[eqn: (a _{n+1} -a _{n} ) ^{2} = {16} over {9 ^{n}}] ([eqn: n GEQ 1])

한편, [eqn: a _{n+1} >a _{n}]이므로

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = {4} over {3 ^{n}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n+1} =a _{n} + {4} over {3 ^{n}}]

이때,  [eqn: a _{1} =10]이므로

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} {4} over {3 ^{k}}]

[eqn: =10+ {{4} over {3} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }} over {1- {1} over {3}}]

[eqn: =10+2 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]([eqn: n GEQ 2])

따라서,

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =12]

[eqn: a _{n} <a _{n+1}],  [eqn: sum _{k=1} ^{n}(a_{k+1} - a_k )^2 = 2 left( 1- 1 over 9^n right)]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n->inf} `{a_n }]의 값을 구하시오.

2012	평가원(4점)

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `-2,```5` RIGHT ] ``]에서 정의된 함수 [eqn: y`=`f LEFT ( x RIGHT ) ``]의 그래프가 그림과 같다.

정답 ②

(i) [eqn: f(a) > 0``]일 때

충분히 큰 양수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: nf(a) -1 > 0``]

[eqn: lim_{n->inf} {|`n f(a) - 1`| - n f(a)} over {2n + 3} = lim_{n->inf} -1 over {2n + 3} = 0 ne 1``]

이므로 주어진 조건을 만족하는 상수 [eqn: a``]는 존재하지 않는다.

(ii) [eqn: f(a) = 0``]일 때

[eqn: lim_{n->inf} {left|`nf(a) - 1`right| - n f(a)} over {2n + 3} = lim_{n->inf} 1 over {2n + 3} = 0 ne 1``]

이므로 주어진 조건을 만족하는 상수 [eqn: a``]는 존재하지 않는다.

(iii) [eqn: f(a) < 0``]일 때 [eqn: nf(a) - 1 < 0``]이다.

[eqn: lim_{n->inf} {left|`nf(a) - 1`right| - n f(a)} over {2n + 3} = lim_{n->inf} {1 - 2n f(a)} over {2n + 3} = -f(a) = 1``]

이므로 [eqn: f(a) = -1``]

주어진 그래프에서 [eqn: f(a) = -1``]을 만족하는 [eqn: a``]가 [eqn: 2``]개 있다.

[eqn: lim _{n`->`inf} {` {LEFT | `nf LEFT ( a RIGHT ) `-`1` RIGHT | `-`nf LEFT ( a RIGHT )} over {2n+3} `} =`1``]을 만족시키는 상수 [eqn: a``]의 개수는?

[4점][2012년 6월 평가원]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

2013	교육청(4점)

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k} =n ^{3}]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {a_2n-1 + a_2n}overn]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: -a _{1} =1]이므로 [eqn: a _{1} =-1]이다.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k}]라 하면

[eqn: (-1) ^{n} a _{n}]

[eqn: =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} (-1) ^{k} a _{k}]

[eqn: =n ^{3} -(n-1) ^{3}][eqn: =3n ^{2} -3n+1] ([eqn: n GEQ 2])

따라서

[eqn: a _{2n} =12n ^{2} -6n+1]

[eqn: a _{2n-1} =-12n ^{2} +18n-7]

이므로

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n} =12n-6]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{2n-1} +a _{2n}} over {n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {12n-6} over {n} =12]

[4점][2013년 3월 교육청]

2010	평가원(4점)

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: P _{n}]이 [eqn: x]축 위의 점일 때, 점 [eqn: P _{n+1}]을  다음 규칙에 따라 정한다.

㈎ 점 [eqn: P _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `a _{1} `,`0` RIGHT )] ([eqn: 0<a _{1} <2])이다.

㈏ ⑴ 점 [eqn: P _{n}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 직선   [eqn: y=`-x+2]와 만나는 점을 [eqn: A _{n}]이라 한다.

⑵ 점 [eqn: A _{n}]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선  [eqn: y=4x+4]와 만나는 점을 [eqn: B _{n}]이라 한다.

⑶ 점 [eqn: B _{n}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과   만나는 점을 [eqn: C _{n}]이라 한다.

⑷ 점 [eqn: C _{n}]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: P _{n+1}]이라 한다.

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* 작성자 *

점 [eqn: P _{n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: P_n`]의 좌표를 [eqn: P_n`(a_n`,~0)`]이라 하면, [eqn: A_n`(a_n`,~2-a_n`)`], [eqn: B_n`left(-{a_n`+2}over4`,~2-a_n`right)`]이므로

[eqn: P_n+1`left({a_n`+2}over4`,~0`right)`]

[eqn: a_n+1`=`{a_n`+2}over4`]이므로 [eqn: lim _{n ->inf }` {a_n }`]은 수렴한다.

[eqn: lim _{n ->inf }` {a_n }`=`k`]라 하면 [eqn: k`=`{k+2}over4`]

[eqn: therefore~k`=`2over3`]

[4점][2010년6월 평가원]

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]
④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

2010	교육청(4점)

수렴하는 무한수열만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

정답 ⑤

[출제의도] 무한수열의 수렴과 발산을 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { } left( - 1 over2 right)^n = 0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} { } { 5^n+1 -3^n } over {5^n +4^n }= lim _{ n->inf} { } { 5- left( 3 over 5 right)^n } over {1+ left( 4 over 5 right)^n } =5] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { }{root{n^2 +n } -n } over n = lim _{ n->inf} { }{1 } over {root{n^2 +n } +n } = 0] (참)

[4점][2010년 4월 교육청]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: left{ left( - 1 over 2 right)^n right}]  ㄴ. [eqn: left{ { 5^n+1 -3^n } over {5^n +4^n } right}]  ㄷ. [eqn: left{ {root{n^2 +n } -n } over { n } right}]

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2010	교육청(4점)

좌표평면에서 직선 [eqn: y=1] 위의 점 [eqn: {rm P}_n (n,````1)]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]을 다음과 같이 정의한다.
[eqn: a_n =](선분 [eqn: {rm OP}_n]의 길이) [eqn: (n=1,````2,````3,````cdots)]

[eqn: lim _{ n->inf} { LEFT [ a_1 RIGHT ]+ LEFT [ a_2 RIGHT ]+ LEFT [ a_3 RIGHT ]+`cdots`+ LEFT [ a_n RIGHT ]}over n^2]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서 [eqn: a_n = sqrt { n^2 +1}]이다.

[eqn: n< sqrt { n^2 +1}< sqrt { n^2 +2n+1}=n+1]이므로 [eqn: LEFT [ a_n RIGHT ]=n]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} { LEFT [ a_1 RIGHT ]+ LEFT [ a_2 RIGHT ]+ LEFT [ a_3 RIGHT ]+`cdots`+ LEFT [ a_n RIGHT ]}overn^2]

[eqn: = lim _{ n->inf} {1+2+3+`cdots`+n}over n^2 = lim _{ n->inf} {{n(n+1)}over2}overn^2]

[eqn: = lim _{ n->inf} {n(n+1)}over{2n^2}= 1over2]

(단, [eqn: rm O]는 원점이고, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[4점][2010 3월 교육청]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

2010	교육청(4점)

[그림 [eqn: 1]]은 길이가 [eqn: 1 rm m]인 철근 [eqn: 4`]개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다.
[그림 [eqn: 2]]는 길이가 [eqn: 1 rm m]인 철근 [eqn: 13`]개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다.

이와 같이 길이가 [eqn: 1 rm m]인 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 [eqn: n`]번째 조형물에 사용된 [eqn: 1 rm m]인 모든 철근의 수를 [eqn: a _{n} `], 용접한 모든 지점의 수를 [eqn: b _{n} `]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{2} =13,``b _{2} =10`]이다. 이때, [eqn: lim from {n`rarrow`inf} {a_2n +b_2n} over a_n `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 6``]

[출제의도] 수열의 규칙성을 파악하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
[eqn: "{"a_n"}"``:``4,``13,``26,``43,``cdots``]
[eqn: "{"b_n"}"`: ``4,``10,``18,``28,``cdots``]이므로
[eqn: a_n`=` 2n^2 +3n-1``,``b_n`=` n^2 +3n``]이다.
[eqn: THEREFORE``` lim _{ n->inf} { a_2n + b_2n} over a_n``=`` lim _{ n->inf} { 12n^2 +12n -1 } over { 2n^2 +3n-1} `=` 6``]

[4점] [2010년 11월 대전교육청]

2010	평가원(4점)

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]에 접할 때, 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: P _{n}], [eqn: Q _{n}]이라 하자. [eqn: l _{n} =bar{P _{n} Q _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf} {{l _{n}} over {2n ^{2}}}]의 값은?

정답 ④

원 [eqn: x^2 + y^2 = n^2]에 접하고 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선의 방정식은

[eqn: y=nx+n sqrt {n ^{2} +1}]

따라서

[eqn: P _{n} (- sqrt {n ^{2} +1} ,0)], [eqn: Q _{n} (0,n sqrt {n ^{2} +1} )]

이므로

[eqn: l _{n} = bar{P _{n} Q _{n}}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1)+n ^{2} (n ^{2} +1)}]

[eqn: = sqrt {n ^{4} +2n ^{2} +1}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1) ^{2}} =n ^{2} +1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { l_n} over 2n^2][eqn: = lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +1} over {2n ^{2}} = {1} over {2}]

[4점][2010년 9월 평가원]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

2011	평가원(4점)

첫째항이 [eqn: 12``]이고 공비가 [eqn: 1 over 3 ``]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}``]에 대하여 수열 [eqn: left{b_n right}``]을 다음 규칙에 따라 정한다.

정답 [eqn: 19]

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가?

[eqn: a_n = 12times left( 1over 3 right)^n-1] ([eqn: n =1,2,3,cdots])

점 [eqn: P_n]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y-b_n ^2 = a_n (x+b_n )] 즉, [eqn: y= a_n x + a_n b_n +b_n ^2]

이 직선과 곡선 [eqn: y=x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표는 방정식

[eqn: a_n x + a_n b_n + b_n ^2 = x^2] 즉,

[eqn: (x+b_n ) (x-a_n -b_n ) =0]의 실근이다.

∴ [eqn: b_n+1 = a_n +b_n] (∵[eqn: b_n+1 != - b_n])

이때, [eqn: b_n+1 - b_n = a_n]이므로 수열 {[eqn: b_n]}의 계차수열이 {[eqn: a_n]}이다.

∴ [eqn: b_n = b_1 + sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^n-1 a_k]

∴ [eqn: lim_n->inf b_n = 1+ lim_n->inf sum_k=1^n-1 a_k][eqn: = 1+ sum_k=1^inf 12 left( 1over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1+ 12 over { 1- 1over3} = 1+ 18 = 19]

[eqn: lim_n->inf b_n ``]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: b_1 =1]

(나) [eqn: n>=1``]일 때, [eqn: b_n+1 ``]은 점 [eqn: P_n ``left(-b_n `,```b_n`^2 right)``]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n ``]인 직선과 곡선 [eqn: y=x^2 ``]의 교점 중에서 [eqn: P_n ``]이 아닌 점의 [eqn: x``]좌표이다.

[4점][2011년 9월 평가원]

2010	교육청(4점)

연립부등식 [eqn: cases{ LEFT | `x`RIGHT | + 2 LEFT | `y`RIGHT |le 4 # 2^n (`y-x`)+y ge 1 }`]의 해 [eqn: (`x,````y`)`]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf}`S_n`]의 값은?(단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

정답 ①

[출제 의도] 무한수열의 극한을 이해하고 이를 이용하여 극한값 구하기

[eqn: 2^n`(`y-x`)+y=1`]을 [eqn: y`]에 관하여 정리하면,

[eqn: y= 2^n over {2^n +1}`x+ 1over {2^n +1}`]이고 [eqn: lim _{ n->inf}` 2^n over {2^n +1} =1,`]

[eqn: lim _{ n->inf}` 1over {2^n +1}=0`]이므로 아래 그림과 같이 [eqn: lim _{ n->inf}`S_n`]은 연립부등식 [eqn: cases{ ``LEFT | `x`RIGHT |+2 LEFT | `y`RIGHT | le 4 #`` y ge x }`]의 영역과 같다.

따라서, [eqn: lim _{ n->inf}`S_n = 16 TIMES 1over2 =8`]이다.

[4점][2010년 4월 교육청]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 12`]

④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 16`]

2011	교육청(4점)

[eqn: n`]차 정사각행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`i,``j`)] 성분 [eqn: a _{ij}``]를
[eqn: a _{ij} `=(`i-1`)`n+j] (단, [eqn: 1 LEQ i LEQ n], [eqn: 1 LEQ j LEQ n])
이라 하자. [eqn: n``]이하의 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f(`k`)`]를 행렬 [eqn: A``]의 [eqn: (`k`,``n-k+1`)]
성분이라 할 때, [eqn: 12 `lim _{n -> ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} f(`k`)} over {n ^{3}}}] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 6]

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(k)= LEFT ( k-1 RIGHT ) n+n-k+1]

[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) k+1]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} f(k)`=` sum _{k=1} ^{n} LEFT { (n-1)k+1 RIGHT }]

[eqn: =`(n-1) {n(n+1)} over {2} +n]

[eqn: = {1} over {2} n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: lim _{n -> INF } {{12 sum _{k=1} ^{n} f(k)} over {n ^{3}}} = lim _{n -> INF } {{6n LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )} over {n ^{3}}} =6]

(단, [eqn: n``]은 자연수이다.)

[4점][2011 년 3월 교육청]

2011	교육청(4점)

자연수 [eqn: `n`]에 대하여 다음과 같이 제[eqn: `n`]행에 [eqn: 0``]과 [eqn: 1``]사이의 유리수 중에서 분모는 [eqn: 2` ^{n} ``]이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다.

정답 ①

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n``]행에 있는 유리수들은

[eqn: 1 over 2^n], [eqn: {3} over {2 ^{n}}], [eqn: {5} over {2 ^{n}}], [eqn: cdots], [eqn: {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}]

이고, 분자를 나열한 수열이 첫째항이 [eqn: 1``]이고 공차가 [eqn: 2``]인 등차수열이므로 [eqn: n``]행의 총 항수를 [eqn: k``]라 하면 [eqn: 2k`-`1`=`2 ^{n} `-`1`]에서 [eqn: k`=`2 ^{n-1} ``]이다.

∴ [eqn: a _{n} `=` {2 ^{n} `-`1`} over {2 ^{n} ``}]

∴ [eqn: b_{n}`=` {1} over {2 ^{n}} ` TIMES ` {2 ^{n-1} ` LEFT { 1`+`(2 ^{n} `-`1`) RIGHT }} over {2} `][eqn: `=` {2 ^{n}} over {4} `]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {(2 ^{n} +1)a _{n}}}`]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{2 ^{n}} over {4}} over {(2 ^{n} +1) {2 ^{n} -1} over {2 ^{n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{2 ^{n} TIMES `2 ^{n}} over {4(2 ^{n} +1)(2 ^{n} -1)}]

[eqn: = lim _{n -> INF }{4 ^{n}} over {4(4 ^{n} -1)} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1} over {4` LEFT { 1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} = {1} over {4}]

제[eqn: `1`]행	[eqn: {1}over{2}`]

제[eqn: `2`]행	[eqn: {1}over{4}`], [eqn: {3}over{4}``]

제[eqn: `3`]행	[eqn: {1}over{8}`], [eqn: {3}over{8}`], [eqn: {5}over{8}`], [eqn: {7}over{8}``]

⋮　　　　　　	⋮

제[eqn: `n`]행의 마지막 수를 [eqn: a` _{n} `], 제[eqn: `n`]행의 모든 수의 합을 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {LEFT ( `2` ^{n} +1` RIGHT ) `a _{n}}}]의 값은?

[4점][2011 년 3월 교육청]

①　[eqn: 1over4]	②　[eqn: 1over2]	③　[eqn: 1]
④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 4]

2010	평가원(4점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여,

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} k(`k+1`)], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} (`n+k`)(`n+k+1`)]

일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} `]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 7``]

[출제의도] [eqn: sum _{} ^{}]의 성질을 이해하고 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k` RIGHT ) = {n(n+1)(n+2)} over {3}]

[eqn: T _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k ^{2} +(2n+1)k+n ^{2} +n RIGHT }][eqn: = {n(n+1)(7n+2)} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} = 7]

[2010년 11월 전국연합] [4점]

2011	평가원(4점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여 두 직선 [eqn: 2x+y =4^n], [eqn: x-2y=2^n ``]이 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a_n `,```b_n )``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {b_n } over {a_n } =p``]이다. [eqn: 60`p``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[eqn: 2x +y=4^n] ……①

[eqn: x-2y=2^n] ……②

① - ②×2 에서

[eqn: y=b_n = { 4^n -2^n+1} over {5 }]

①×2 - ② 에서

[eqn: x= a_n = { 2 BULLET 4^n +2^n } over { 5 }]

[eqn: lim _{ n->inf} { { b_n} over {a_n } }]

[eqn: =lim _{ n->inf} { {{ 4^n -2^n+1} over {5 } } over { { 2 BULLET 4^n +2^n } over { 5 }} }][eqn: ={ { 1} over { 5} } over { { 2} over {5 } }]

[eqn: ={ 1} over { 2}]

[4점][2011년 6월 평가원]

2004	평가원(4점)

두 수열 [eqn: "{" a_n "}"},~ "{"b_n "}" `]의 극한에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ①

[출제의도] 극한값의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: `a_n `<` b_n ` `]이므로  [eqn: lim_n->inf a_n =inf `]이면

[eqn: lim_n->inf b_n =inf `]이 성립한다. ∴ 참

ㄴ. 반례 [eqn: a_n = 1 over n ``, b_n = 2 over n `]이면

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n `<` b_n `]이지만

[eqn: lim_n->inf a_n = lim_n->inf b_n ``]  ∴ 거짓

ㄷ. 반례 수열 [eqn: left{a_n`right}``]이 [eqn: 1`,``0`,``1`,``0`,``1`,`…``]

수열 [eqn: left{b_n`right}``]이 [eqn: 0`,``1`,``0`,``1`,``0`,`…``]

이면[eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`b_n`=0``]이지만

[eqn: lim_{n``->``inf}``a_n`!=`0``], [eqn: lim_{n``->``inf}``b_n`!=`0``]이다. ∴ 거짓

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: `a_n `< `b_n ` `]이고 [eqn: lim_n->inf a_n `=` inf`] 이면 [eqn: lim_n->inf b_n `=` inf `]이다. ㄴ. 두 수열 [eqn: "{"a_n"}"``,``"{"b_n"}"``]이 수렴할 때 [eqn: a_n `<` b_n `]이면 [eqn: lim_n->inf `a_n `< `lim_n->inf `b_n `]이다. ㄷ. [eqn: lim_n->inf `a_n`b_n` = `0 `]이면 [eqn: lim_n→∞`a_n` = `0`] 또는 [eqn: lim_n→∞`b_n`=`0`]이다.

①  ㄱ	②  ㄴ	③  ㄷ
④   ㄱ, ㄴ	⑤  ㄱ, ㄷ

2006	평가원(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 원점 [eqn: \O]와 점[eqn: (n,`` 0)]을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 [eqn: h_n`]인 삼각형의 넓이를 [eqn: a_n`]이라 하자. 수열 [eqn: left { a_n `right }]은 첫째항이 [eqn: {1_`}over {2`}]인 등비수열일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ⑤

ㄱ. 삼각형의 넓이를 [eqn: a _{n} `=` {1 _{`}} over {2```} ․n․h _{n} `=` {1 _{`}} over {2```}]이므로  [eqn: h _{n} `=` {1 _{`}} over {n```}]

∴ 참

ㄴ. 수열 [eqn: ` LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: a _{n} `=` {1 _{`}} over {2```} r ^{n-1} `=` {1 _{`}} over {2```} ․n․h _{n}]  …… ①

[eqn: n`=`2], [eqn: h _{2} `=` {1 _{`}} over {4```}]이면 [eqn: {1 _{`}} over {2```} r`=` {1 _{`}} over {2```} ․2․ {1 _{`}} over {4```}]

[eqn: THEREFORE `r`=` {1 _{`}} over {2```}]

[eqn: a _{n} `=` {1 _{`}} over {2```} ․ LEFT ( {1 _{`}} over {2```} RIGHT ) ^{n-1} `=` LEFT ( {1 _{`}} over {2```} RIGHT ) ^{n}]	∴ 참

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서

[eqn: a _{2} `=` {1 _{`}} over {2```} r`＜` {1 _{`}} over {2```} ~~ THEREFORE ~0`＜`r`＜`1]

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} `=` lim _{n -> INF } {} {1 _{`}} over {2```} ․r ^{n-1} `=`0]이므로

①에서 [eqn: lim _{n -> INF } {} {1 _{`}} over {2```} nh _{n} `=`0]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {} n․h _{n} `=`0]	∴ 참

		<보 기>
	ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n = {1_`} over {2`}]이면 [eqn: h_n = {1_`} over {n` }]이다. ㄴ. [eqn: h_2 = {1_`} over {4 ` }]이면 [eqn: a_n = left ( {{1_`} over {2`}} right )^n]이다. ㄷ. [eqn: h_2 ＜ {1_`} over {2`}]이면 [eqn: lim from { n -> inf }````n`h_n =0] 이다.

① ㄱ	②ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2008	평가원(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 세 점 [eqn: \A_n ( it x_n ,``0)],

[eqn: \B_n it (0,``x_n )], [eqn: \C_n (it x_n ,``x_n )]을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형

[eqn: T_n`]을 다음 조건에 따라 그린다.

정답 [eqn: 12]

[eqn: 2]

[eqn: 2^2]

[eqn: 2]

[eqn: 2^2]

위 그림에서 [eqn: T_n]의 한 변의 길이는 [eqn: 2^n-1]이므로

[eqn: a_n = 1 over 2 cdot (2^n-1 )^2 = 2 cdot 4^n-1]

[eqn: T_n]에서 세 개의 꼭지점을 제외한 각 변에 존재하는 격자점의 개수는 모두 [eqn: 2^n-1 -1]개이므로

[eqn: b_n = 3( 2^n-1 -1) + 3 = 3 times 2^n-1]

[eqn: therefore] (준식)[eqn: = lim_{n-> inf} {2^n times 3 cdot 2^n-1 } over { 1 over 2 cdot 4^n-1 + 2^n }]

[eqn: = lim_{n-> inf} {6 } over { 1 over 2 + 1 over 2^n-2 }][eqn: = 12]

(참고) [eqn: T_n] 위에 일일이 격자점을 그려서 세어 보면

[eqn: b_1 = 3], [eqn: b_2 = 6], [eqn: b_3 = 12], [eqn: b_4 = 24], [eqn: cdots]

가 되어, 수열 [eqn: left{ b_n right}]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열임을 알 수 있다.

(가) [eqn: x_1 =1]이다.

(나) 변 [eqn: \A_n+1 \B_n+1]의 중점이 [eqn: \C_n]이다. [eqn: (n`=1,`2,`3,`⋯)]

삼각형 [eqn: T_n]의 넓이를 [eqn: a_n], 삼각형 [eqn: T_n]의 세 변 위에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n` -> `inf} {2^n b_n} over {a_n +2^n}]의 값을 구하시오.

2010	교육청(4점)

그림과 같이 원점 [eqn: O]에서 두 점 [eqn: A( sqrt {3} `,`0)`,`B(0,`1)]을 이은 선분 [eqn: AB] 에 내린 수선의 발을 [eqn: P _{1}] 이라 하자. 점 [eqn: P` _{1}] 에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: Q _{1}], 점 [eqn: Q _{1}] 을 지나고 선분 [eqn: AB] 와 평행한 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: R _{1}] , 점 [eqn: R _{1}] 에서 선분 [eqn: AB] 에 내린 수선의 발을 [eqn: P _{2}] 라 하자. 점 [eqn: P _{2}] 에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: Q _{2}] , 점 [eqn: Q _{2}] 를 지나고 선분 [eqn: AB] 와 평행한 직선의 [eqn: y]절편을 [eqn: R _{2}], 점 [eqn: R _{2}]에서 선분 [eqn: AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: P _{3}] 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: Q _{n,`} R _{n} ,`P _{n+1}] 을 정하여 나갈 때, 점 [eqn: Q _{n}] 의 [eqn: x]좌표 [eqn: x _{n}] 에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {x _{n} `=`a}]이다. [eqn: 100a ^{2}] 의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 12]

[출제의도] 수열의 점화식을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: Q _{1}] 의 좌표는 [eqn: LEFT ( {sqrt {3}} over {4} ,`0 RIGHT )] 이므로 [eqn: x _{1} = {sqrt {3}} over {4}]

점 [eqn: Q _{n}] 의 좌표는 [eqn: (x _{n} ,`0)] 이므로, 점 [eqn: Q _{n}]을 지나고 [eqn: bar{AB}]에 평행한 직선의 방정식은

[eqn: y=`- {1} over {sqrt {3}} x+ {1} over {sqrt {3}} x _{n}]

따라서 점 [eqn: R _{n}] 의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,` {1} over {sqrt {3}} x _{n} RIGHT )] 이므로 점 [eqn: R _{n}] 을 지나고

[eqn: bar{AB}] 에 수직인 직선의 방정식은 [eqn: y= sqrt {3} x+ {1} over {sqrt {3}} x _{n}]이고,

이 직선과 [eqn: bar{AB}] 의 교점 [eqn: P _{n+1}]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x _{n+1}]이므로

[eqn: x _{n+1} =`- {1} over {4} x _{n} + {sqrt {3}} over {4}] , [eqn: x _{n} = {sqrt {3}} over {5} + {sqrt {3}} over {20} LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]이다.

[eqn: therefore`` lim _{n` -> ` INF `} {} x _{n} = {sqrt {3}} over {5}]이므로 [eqn: 100a ^{2} =100`times` {3} over {25} =12]

[4점][2010년 11월 대전교육청]

2011	교육청(4점)

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A _{1} ` LEFT ( `1`,`` sqrt {3} ` RIGHT ) ``]과 점 [eqn: rm B it rm _{1} ` LEFT ( `2`,``0` RIGHT ) ``]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 직선 [eqn: y`=` sqrt {3} x``] 위의 점 [eqn: rm A _{it n} ``]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm B _{it n rm} ``]이 다음 식을 만족시킨다.

정답 ④

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾고 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = bar { {rm OA}_n}], [eqn: b_n = bar { {rm OB}_n}]이라 하면

[eqn: a_n = 1+ LEFT ( n-1 RIGHT )a], [eqn: b_n = 1+ LEFT ( n-1 RIGHT )b]이므로

[eqn: S _{n} = {1} over {2} a _{n} b _{n} sin {pi} over {3}= { sqrt { 3} } over {4 } LEFT ( an+1-a RIGHT ) LEFT ( bn+1-b RIGHT )]

이다. 그런데

[eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {n ^{2}}} = lim _{n -> INF } {{sqrt {3}} over {4} LEFT ( a+ {1-a} over {n} RIGHT ) LEFT ( b+ {1-b} over {n} RIGHT )}]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4}ab=5 sqrt { 3}]

이므로 [eqn: ab=20]이다. 따라서 양의 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a`, ``b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 6]이다.

[eqn: bar{rm OA _{it n+1}} `=` bar{rm OA _{it n}} `+`a``], [eqn: bar{rm OB _{it n+1}} `=` bar{rm OB _{it n}} `+`b``]

삼각형 [eqn: rm OA _{it n rm} B _{it n rm} ``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{`S _{n} `} over {n ^{2}} `=5 sqrt {3}}]이 되도록 하는 양의 정수 [eqn: a`,``b``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)]의 개수는? (단, [eqn: \O``]는 원점이다.)

[4점][2011 년 3월 교육청]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

2014	교육청(4점)

좌표평면 위에 직선 [eqn: y= sqrt {3} `x`]가 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]축 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: n]인 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 직선 [eqn: y= sqrt {3} `x`] 위의 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {1} over {n} `]인 점을 [eqn: rm Q _{it n} `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n} `]의 내접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리를 [eqn: a _{n} `], 삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n} `]의 외접원의 중심에서 [eqn: `x`]축까지의 거리를 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} `b _{n} `} =`L``]이다. [eqn: 100L``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

정답 [eqn: 25]

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 극한에 관한 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm Q _{it n}]은 직선 [eqn: y= sqrt { 3}x`] 위의 점이므로 [eqn: rm Q _{it n}][eqn: LEFT ( {1} over {n} ,`` {sqrt {3}} over {n} RIGHT )]이다.

[eqn: rm {bar{OP _{it n}}}][eqn: =p _{n}], [eqn: rm {bar{OQ _{it n}}}][eqn: =q _{n}], [eqn: rm {bar{P _{it n} rm Q _{it n}}}][eqn: =r _{n}]이라 하면

[eqn: p _{n}][eqn: =n]

[eqn: q _{n}][eqn: = sqrt {LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}} = {{2} over {n}}]

[eqn: r _{n}][eqn: = sqrt {LEFT ( n- {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0- {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}} over {n}]

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하면

[eqn: S _{n}][eqn: = {1} over {2} ` TIMES `n` TIMES ` {sqrt {3}} over {n} `][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 내접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리 [eqn: a _{n}]은 내접원의 반지름의 길이와 같다.

[eqn: S _{n} = {1} over {2} LEFT ( p _{n} +q _{n} +r _{n} RIGHT ) ` TIMES it a _{n}]에서

[eqn: a _{n} = {2S _{n}} over {p _{n} +q _{n} +r _{n}}]

[eqn: = {2`times` {sqrt {3}} over {2}} over {n+ {2} over {n} + {root {{} ^{}} of {n ^{4} -2n ^{2} +4}} over {n}}]

[eqn: = {sqrt {3} n} over {n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}}] … ㉠

삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n}]의 외접원의 중심을 [eqn: rm C _{it`n}][eqn: LEFT ( x _{n} ,``y _{n} RIGHT )]이라 하면 점 [eqn: rm C _{it`n}]은 선분 [eqn: rm OP _{it n}]의 수직이등분선 위에 있으므로 [eqn: x _{n} = {n} over {2}]이다.

[eqn: rm {bar{OC _{it n}}} = {bar{rm Q _{it n} rm C _{it n}}}]에서 [eqn: rm {bar{OC _{it n rm}}} ` ^{2} = {bar{rm Q _{it n rm} rm C _{it n rm}}} ` ^{2}]이므로

[eqn: LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{2} +y _{n} ` ^{2} = LEFT ( {n} over {2} - {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y _{n} - {sqrt {3}} over {n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {n ^{2}} over {4} +y _{n} ` ^{2} = {n ^{2}} over {4} -1+ {1} over {n ^{2}} +y _{n} ` ^{2} - {2 sqrt {3}} over {n} y _{n} + {3} over {n ^{2}}]

∴ [eqn: y _{n} = {4-n ^{2}} over {2 sqrt {3} n}]

[eqn: b _{n} = LEFT | y _{n} RIGHT |]이므로 [eqn: n` GEQ `2`]일 때

[eqn: b _{n} = {n ^{2} -4} over {2 sqrt {3} n}] … ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: L=][eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} b _{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT ( {sqrt {3} n} over {n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4}} ` TIMES {n ^{2} -4} over {2 sqrt {3} n} RIGHT )}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {` {n ^{2} -4} over {2 LEFT ( n ^{2} +2+ sqrt {n ^{4} -2n ^{2} +4} RIGHT )}}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {` {1- {4} over {n ^{2}}} over {2 LEFT ( 1+ {2} over {n ^{2}} + sqrt {1- {2} over {n ^{2}} + {4} over {n ^{4}}} RIGHT )}}]

[eqn: = {1} over {4}]

∴ [eqn: 100L=100`times {1} over {4} =25]

[4점][2014년 3월 서울]

2014	교육청(4점)

그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `], [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P _{it n rm} `], [eqn: rm Q _{it n rm} `]이라 하자.
사다리꼴 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} ` rm Q _{it n+1 rm} P _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: A _{n} `]이라 할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{A _{n}} over {2 ^{n-1}} `}]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 무한수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

사다리꼴 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} rm Q _{it n rm +1} P _{it n+1 rm} rm]의 꼭짓점의 좌표는

[eqn: rm P _{it n rm} ( it n,~2 ^{n} )], [eqn: rm Q _{it n rm} LEFT ( it n,~ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT )],[eqn: rm Q _{it n+1 rm} LEFT ( itn+1,~ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n+1} RIGHT ) `],  [eqn: rm P _{it n+1 rm} ( it n+1,~2 ^{n+1} )]

이므로 사다리꼴 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} rm Q _{it n rm +1} P _{it n+1 rm} rm]의 넓이 [eqn: A _{n} = {1} over {2} ·1· LEFT { LEFT ( 2 ^{n} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{n+1} - LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n+1} RIGHT ) RIGHT }]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{A _{n}} over {2 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {LEFT { 1- LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n} +2- {1} over {3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n} RIGHT } =3}}]

[3점][2014년 4월 인천]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmP _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: rm P _{itn+1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm Q _{2}]

[eqn: rm Q _{itn}]

[eqn: rm Q _{itn+1}]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: itn]

[eqn: n+1]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y=2 ^{x}]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

2014	평가원(4점)

자연수 [eqn: n]에 대하여 점[eqn: (3n,~ 4n )]을 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원□[eqn: O`_n]이 있다. 원□[eqn: O`_n] 위를 움직이는 점과 점 [eqn: (0,~-1)] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: a_n], 최솟값을 [eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { }a_ n over b_n]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 4]

자연수 [eqn: n] 대하여 점 [eqn: (3n,~ 4 n )]을 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원 [eqn: O_n`]의 방정식은

[eqn: (x-3n )^2 + (y - 4n )^2 = (3n)^2]

이다.

점 [eqn: (3n,~ 4 n )]과 점 [eqn: (0,~-1)]□사이의 거리는

[eqn: root {(3n)^2 +(4n+1)^2 }= root { 25 n^2 +8n +1 }]

이므로

[eqn: a_n = root { 25 n^2 +8n +1 } +3n]

[eqn: b_n = root { 25 n^2 +8n +1 } -3n]

[eqn: therefore``` lim _{ n->inf } { } a_n over b_n = {root { 25 n^2 +8n +1 } +3n } over {root { 25 n^2 +8n +1 } -3n}]

[eqn: = {root { 25 + 8 over n + 1 over n^2 } +3 } over {root { 25 + 8 over n + 1 over n^2 } -3} = 5+3 over 5-3 = 4]

[4점][2014년 09월 평가원]

2014	교육청(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 [eqn: x]축 위에 있고 반지름의 길이가 [eqn: r _{n}]인 원 [eqn: C _{it n rm} `]을 다음과 같은 규칙으로 그린다.
원 [eqn: C _{it n rm}]의 중심을 [eqn: LEFT ( a _{n} `,~0` RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {r _{n}}} it `]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 도형과 무한수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: C _{1 rm}]: [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: C _{2 rm}]: [eqn: (x-2) ^{2} +y ^{2} =2 ^{2}]

[eqn: C _{3}]: [eqn: LEFT { x- LEFT ( 2+2 ^{2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} +y ^{2} = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: C _{itn rm}]: [eqn: LEFT { x- LEFT ( 2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} RIGHT ) RIGHT } ^{2} +y ^{2} = LEFT ( 2 ^{n-1} RIGHT ) ^{2}]

원 [eqn: C _{itn} `]의 중심의 [eqn: x`]좌표 [eqn: a _{n} =2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n-1} =2 ^{n} -2] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]

원 [eqn: C _{itn} `]의 반지름의 길이 [eqn: r _{n} =2 ^{n-1} `]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` {`a _{n}} over {r _{n}}} it = lim _{n` -> ` INF } {`` {2 ^{n} -2} over {2 ^{n-1}}} =2`]

(가) 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C _{it 1 rm } `]을 그린다.

(나) 원 [eqn: C _{it n-1 rm}]의 중심을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2r _{n-1}]만큼 평행이동시킨

점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2r _{n-1}]인 원 [eqn: C _{it n} `]을 그린

다. ([eqn: n`=2``], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: cdots`])

[4점][2014년 4월 인천]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: C _{1}]

[eqn: C _{2}]

[eqn: C _{3}]

① [eqn: { 1} over { 2}``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: { 3} over { 2}``]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: { 5} over { 2}``]

2011	교육청(4점)

그림과 같이 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=x + 1 over n `]과 원 [eqn: x^{`2} +y^{`2} =1]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P _{it n}`], [eqn: rmQ _{it`n}]이라 하자.
삼각형 [eqn: rm OP _{itn} Q _{it`n}`]의 넓이를 [eqn: A_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {`n`․`A _{`n}}`]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

정답 ①

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

원점 [eqn: rmO]에서  직선 [eqn: y=x + 1 over n]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH_{itn}]이라 하면

(삼각형 [eqn: rm O P_{itn} Q_{itn}]의 높이)[eqn: = bar{rm OH it _{`it n}} = {sqrt {2}} over {2n} `],

(삼각형 [eqn: rm O P_{itn} Q_{itn}]의 밑변의 길이)

[eqn: =2` TIMES bar{rm P it rm _{n} rm H it rm _{n} it} =2 sqrt {1- rm bar{OH} it rm _{n} ^{2} it}][eqn: = {sqrt {4n ^{2} -2}} over {n}]

[eqn: therefore A _{n} = {sqrt {2n ^{2} -1}} over {2n ^{2}}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {`n `․` A _{n}} = {sqrt {2}} over {2}]

[4점][2011년 4월 교육청]

① [eqn: root2 over 2]	② [eqn: root3 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: root 2]	⑤ [eqn: sqrt3]

2013	평가원(3점)

수학세상 수학자료실                                           http://www.math114.net

평가원 및 교육청 미적분과 통계기본	1. 함수의 극한	오답은 노트에!!! 쓰자!! 쓰는 놈이 이긴다.

[eqn: f(x) = cases{ ` x+2 ~```` ( x Le 0 ) # ` - 1 over 2 x ~ ( x `>` 0 ) }``]
의 그래프가 그림과 같다.

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_1 = 1]이고 [eqn: a_n+1 = f left( f left( a_n right) right)``] ([eqn: n Ge 1 ``])을 만족시킬 때, [eqn: lim from { n -> inf} a_n `]의 값은?

정답 ④
출제의도 : 수열의 극한 – 점화식으로 주어진 수열의 극한

[eqn: a_n]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: a_n+1]

[eqn: f(a_n )`]

[eqn: f(f(a_n ))`]

[eqn: f(a_n )`]

[eqn: y=x]

위의 그래프에서 [eqn: a_n >0`]이면 항상 [eqn: a_n+1 >0`]이므로
[eqn: f(a_n ) =- 1over2 a_n `<0`]이므로
[eqn: a_n+1 = f (f(a_n )) = f left( - 1over2 a_n right) = - 1over2 a_n +2`]가 성립한다.
[eqn: a_n+1 - 4over3 = - 1over2 left( a_n - 4over3 right)`]
[eqn: therefore~ a_n - 4over3 = 1 cdot left( - 1over2 right)^n-1`]
[eqn: therefore~ a_n = 4over3 + left( - 1over2 right)^n-1`]
[eqn: therefore lim _{ n->inf} { } a_n = 4over3]

[4점][2013년 6월 평가원]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

2011	평가원(4점)

자연수 [eqn: n``]에 대하여 직선 [eqn: x=n``]이 두 곡선 [eqn: y=2^x ,```y=3^x ``]과 만나는 점을 각각 [eqn: P_n ,```Q_n ``]이라 하자. 삼각형 [eqn: P_n Q_n P_n-1 ``]의 넓이를 [eqn: S_n ``]이라 하고, [eqn: T_n =sum from k=1 to n S_k ``]라 할 때, [eqn: lim_n->inf T_n over 3^n ``]의 값은?

정답 ③

[eqn: P_n (n,``2^n )], [eqn: Q_n (n,`3^n )], [eqn: P_n-1 (n-1,``2^n-1 )]

[eqn: S _{n} =P_n Q_n P_n-1 = { 1} over { 2} (3^n -2^n )]

[eqn: T_n = sum _{ k=1} ^{n } S_k = sum _{ k=1} ^{n } { 1} over {2 } (3^k -2^k )]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{n } { 3^k} over {2 } - sum _{ k=1} ^{ n} { 2^k} over {2 }]

[eqn: = { 1} over {2 } { 3(3^n -1 )} over {3-1 } - { 1} over { 2} { 2(2^n -1 )} over {2-1 }]

[eqn: ={ 3^n+1 } over { 4} -2^n + { 1} over { 4}]

[eqn: lim _{ n->inf} { { T_n } over { 3^n} }][eqn: =lim _{ n->inf} { { { 3^n+1 } over {4 } -2^n + { 1} over {4 } } over {3^n } }]

[eqn: ={ 3} over { 4}]

(단, 점 [eqn: P_0 ``]의 좌표는 [eqn: (0,```1)``]이다.)

[[eqn: 4]점][2011년 6월 평가원]

	①	[eqn: 5 over 8]	②	[eqn: 11 over 16]	③	[eqn: 3 over 4]
	④	[eqn: 13 over 16]	⑤	[eqn: 7 over 8]

2007	평가원(4점)

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형과 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: \ABC]가 있다. [그림 [eqn: 1]]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 [eqn: \ABC]를 회전시킨다. 정삼각형 [eqn: \ABC]가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 [eqn: n`]바퀴 도는 동안, 변 [eqn: \BC]가 정사각형의 변  위에 놓이는 횟수를 [eqn: a _n`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: n=1]일 때, [그림 [eqn: 2]]와 같이 변 [eqn: \BC]가 [eqn: 2]회 놓이므로 [eqn: a_1 =2]이다. 이때,[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _3n-2} over n}]의 값은?

정답 ①

정삼각형 [eqn: \ABC]가 한 바퀴 도는 동안 정삼각형의 변은 정사각형의 변 위에 [eqn: 8]번 놓인다.  따라서, 정삼각형 [eqn: \ABC]가 세 바퀴 도는 동안 정삼각형의 변은 정사각형의 변 위에 [eqn: 24]번 놓인다. 이 때, 변 [eqn: \BC]는 [eqn: 8]번이 놓이게 되므로 [eqn: 3]바퀴 더 돌면 [eqn: 8]번 더 놓인다.

[eqn: THEREFORE ~a_{n+3}`=`a_n +8]

[eqn: a_{3n-2}`=`a_{1+3(n-1)}`]

[eqn: =`a_{1}+8(n-1) `=`8n-6]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n `->` inf } {a_{3n-2}} over {n}`=`lim from { n `->` inf } {8n-6} over {n}`=`8]

[그림 [eqn: 1]]            [그림 [eqn: 2]]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

2010	평가원(4점)

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: (-1`,`1)], [eqn: (`0`,`0)], [eqn: (1`,`1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 [eqn: A it _{1}]이라 하자.

곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: (-2`,`4)], [eqn: (-1`,`1)], [eqn: (`0`,`0)], [eqn: (1`,`1)], [eqn: (2`,`4)]를 꼭짓점으로 하는 오각형을 [eqn: A it _{2}]라 하자.

곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: (-3`,`9)], [eqn: (-2`,`4)], [eqn: (-1`,`1)], [eqn: (`0`,`0)], [eqn: (1`,`1)], [eqn: (2`,`4)], [eqn: (3`,`9)]를 꼭짓점으로 하는 칠각형을 [eqn: A it _{3}]이라 하자.

이와 같은 방법으로 [eqn: n`]번째 얻은 다각형 [eqn: A it _{n}]은 곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: left(-n`,``n ^{2} right)], [eqn: LEFT ( -n+1`,``(n-1) ^{2} RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: (-1`,``1`)], [eqn: (`0`,``0)], [eqn: (1`,``1)], [eqn: cdots], [eqn: left(`n-1`,``(n-1) ^{2} right)], [eqn: LEFT ( `n`,``n ^{2} ` RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 다각형이다. 다각형 [eqn: A it _{n}]의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{`a it _{n} `} over {n ^{3}}}]의 값은?

정답 ③

[출제의도] 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =(2n+1) ^{2}]

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (2k+1) ^{2}]

[eqn: ={4n ^{3} -n} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n ^{3}}} = 4over3]

[2010년 11월 전국연합] [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {4} over {3}]
④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

2008	교육청(3점)

좌표평면에서 직선 [eqn: y`=`2x``]위의 점들 중 제 [eqn: 1``]사분면에 있는 격자점을 원점 [eqn: rm O``]에 가까운 쪽부터 [eqn: rm A_1,``A_2,``A_3,``cdots``]라 하고 [eqn: y`=` 1over 2 x``]위의 점들 중 제 [eqn: 1`]사분면에 있는 격자점을 [eqn: rm O``]에 가까운 쪽부터 [eqn: rm B_1,``B_2,``B_3,``cdots``]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OA_{itk} B_{it k}``]의 넓이를 [eqn: S_k``]([eqn: k`=1,``2,``3,``cdots``])라 하고, [eqn: alpha = lim _{ n->inf} { {S_1 + S_2 + S_3 + cdots S_ n} over n^3``}]일 때, [eqn: 60 alpha``]의 값을 구하시오. (단, 격자점이란 [eqn: x``]좌표 [eqn: y``]좌표가 모두 정수인 점을 뜻한다.)

정답 [eqn: 30``]

[출제의도] 좌표평면상에서 삼각형의 넓이를 활용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A_k`( k,``2k)`, B_k (2k,``k)``] (단, [eqn: k``]는 정수) 라 하면

[eqn: barOB_k `=` root{4k^2 + k^2 }`=` root 5 k``]

[eqn: A_k`(k,``2k)``]에서 직선 [eqn: y`=` 1over 2 x``]까지의 거리는 [eqn: h`=` {|``k- 4k``|``} over root5`=` {|``3k``|``} over root5``]이다.

따라서 삼각형의 넓이 [eqn: S_k`=` 3over 2 k^2``]이다.

[eqn: alpha`=` lim _{ n->inf} { {sum_k=1^n S_k } over n^3``}]

[eqn: = lim _{ n->inf} { { 1over4 n(n+1)(2n+1) } over n^3 }=`` 1over 2``]

[eqn: ∴``60alpha`=` 30``]

수학세상 수학자료실                                            http://www.math114.net

평가원 및 교육청 수1	수열의 극한	선생님이 풀어주면 다 아는거 같지? ㅋㅋ 너네도 너네 손으로 직접 풀어라.

2013	교육청(4점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^{`2}] 위의 점 [eqn: {rm P}_ n (n,~n^{`2})`]을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원을 [eqn: C_{` it n}`]이라 하자. 원점을 지나고 원 [eqn: C_{` it n}`]에 접하는 직선 중에서 [eqn: y`]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: a_{`n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n -> inf} { `a_{`n}}over n `]의 값은?

정답 ①

[출제의도] 이차함수와 원의 접선을 이용하여 수열의 극한값을 구한다.

원 [eqn: C _{` it `n rm } `]의 중심이 [eqn: rm P _{it n rm} it left(n,``n ^{2} right )`]이고 [eqn: y`]축에 접하므로, 반지름의 길이는 [eqn: n`]이다. 또 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a _{n} `]인 직선의 방정식은 [eqn: y=a _{n} `x] 즉, [eqn: a _{n} x-y=0`]이다.

원 [eqn: C _{` it `n rm } `]과 직선 [eqn: a _{n} x-y=0`]이 접하므로 원의 중심 [eqn: rm P _{it n rm} it left(n,~n ^{`2} right )`]에서 직선 [eqn: a _{n} x-y=0`]에 이르는 거리가 [eqn: n`]이다.

∴ [eqn: {LEFT | n`a _{n} -n ^{`2} RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{2} +1}} =n`]

[eqn: {LEFT | `a _{n} -n RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ^{2} +1}} =1`]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a _{n} ^{2} -2`n a _{`n} `+n ^{`2} =a _{`n} ^{`2} +1`]

∴ [eqn: a _{`n} = {n ^{`2} -1} over {2n}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n} ```= `lim _{n -> INF } {} {n ^{`2} -1} over {2n ^{2}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {1- {1} over {n ^{2}}} over {2}][eqn: = {1} over {2}]

[다른 풀이]

원의 방정식은

[eqn: (x-n) ^{2} +(y-n ^{2} ) ^{2} =n ^{2} `]

[eqn: y=a _{n} `x]를 대입하면

[eqn: (x-n) ^{2} +(a _{n} x-n ^{2} ) ^{2} =n ^{2} `]

[eqn: x ^{2} -2nx+n ^{2} +a _{n} ^{2} x ^{2} -2n ^{2} a _{n} x+n ^{4} =n ^{2} `][eqn: (1+a _{n} ^{2} )x ^{2} -2(n+n ^{2} a _{n} )x+n ^{4} =0`]

직선과 원이 접하므로 판별식

[eqn: D over 4 = LEFT ( n+n ^{`2} a _{n} RIGHT ) ^{2} -n ^{`4} (1+a _{n} ^{`2} )=0`]이다.

[eqn: 2n^{`3}` a _{`n} = n^{`4}- n^{`2} `]

∴ [eqn: a _{`n} = {n ^{`2} -1} over {2n}]	∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n}][eqn: = {1} over {2}]

[4점][2013년 3월 교육청]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

2007	평가원(4점)

다음과 같이 좌표평면 위에 단계별로 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 음이 아닌 정수인 점을 표시한다.
[[eqn: 1]단계]에서는 원점과 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표의 합이 [eqn: 1]인 점들을 표시하고,

[[eqn: 2]단계]에서는 [[eqn: 1]단계]의 점에 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표의 합이 [eqn: 2]인 점들을 추가로 표시한다.

이와 같은 방법으로 [[eqn: n]단계]에서는 [[eqn: n-1]단계]의 점에 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표의 합이 [eqn: n][eqn: ``(n=2,``3,``4, `CDOTS )]인 점들을 추가로 표시한다. 이때, [[eqn: n]단계]에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: a _{n}], [[eqn: n]단계]에 있는 점들을 꼭지점으로 하는 정사각형 중에서 원점을 한 꼭지점으로 하고 넓이가 최대인 정사각형의 내부 및 둘레에 있는 모든 점의  개수를 [eqn: b _{n}`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a` _{4} =`15,``b` _{4} =`9``]이다. [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n}} over {b _{2n}}} ``]의 값은?

정답 ②

[출제의도] 수열의 일반항을 구하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =1+2+3+4+ CDOTS +(n+1)= {(n+1)(n+2)} over {2}]

[eqn: a _{2n} = {(2n+1)(2n+2)} over {2} =(2n+1)(n +1)]

[eqn: b_2n = b_2n+1 =(n+1)^2]

∴[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n over b_2n }= lim _{ n->inf} { {(2n+1)(n+1)}over{(n+1)^2}}=2]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 1]

2013	평가원(4점)

그림은 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= 1 over 4 x^2 ``]과 꼭짓점의 좌표가 [eqn: \O`(0,```0)], [eqn: {\A} (n,```0)], [eqn: {\B} left(n,```n^2 right)], [eqn: {\C} left(0,```n^2 right)]인 직사각형 [eqn: \OABC]를 나타낸 것이다.
(단, [eqn: n``]은 자연수이다.)

자연수 [eqn: n``]에 대하여, [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 모두 정수인 점 중에서 직사각형 [eqn: \OABC] 또는 그 내부에 있고 부등식 [eqn: y ge x^2]을 만족시키는 모든 점의 개수를 [eqn: a_n ``]이라 하자. [eqn: lim_n->inf a_n over n^3 ``]의 값은?

정답 ③

위의 그림에서 직사각형 속의 격자점에서 [eqn: y={1}over{4}x^{2}]밑에 있는 격자점을 빼면 되므로

[eqn: a _{n`} =(n+1)(n ^{2} +1)- sum _{k=1} ^{n} k ^{2}``]

[eqn: =(n+1)(n ^{2} +1)- {n(n+1)(2n+1)} over {6``]

[eqn: therefore ````lim_n->inf{a_n overn^3 = 2over3``]

직사각형 [eqn: \OABC] 또는 그 내부에 있고 부등식 [eqn: y ge x^2]을 만족하는 점의 개수를 점의 [eqn: x]좌표에 따라 구분하여 구하면 다음과 같다.

[eqn: x]좌표가 [eqn: 0]일 때, [eqn: n^2 -0^2 +1]개

[eqn: x]좌표가 [eqn: 1]일 때, [eqn: n^2 -1^2 +1]개

[eqn: x]좌표가 [eqn: 2]일 때, [eqn: n^2 -2^2 +1]개

[eqn: vdots]

[eqn: x]좌표가 [eqn: n]일 때, [eqn: n^2 -n^2 +1]개

[eqn: therefore ~ a_n = sum _{ k=0} ^{n } (n^2 - k^2 + 1 )][eqn: = n^2 + 1 + sum _{ k=1} ^{n } (n^2 - k^2 + 1 )]

[eqn: = n^2 +1 + n (n^2 + 1) - {n(n+1)(2n+1)} over 6]

[eqn: = {4n^3 + 3n^2 +5n +6} over 6]

[eqn: therefore ````lim_n->inf{a_n overn^3 = lim _{ n->inf } { } {4n^3 + 3n^2 +5n +6} over 6n^3 = 2over3``]

[4점][2013년 9월 평가원]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 7 over 12]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 5 over 6]

2015학년	수능 (2점)

[eqn: lim_n->inf { 4n^2 +6} over { n^2 +3n}]의 값은?

정답 ④

[출제의도] 수열의 극한

[eqn: lim_n->inf { 4n^2 +6} over { n^2 +3n}`=`lim_n->inf {4+ 6over n^2}over{1+ 3overn}`=`4over1`=`4]

[2점][15학년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2008	수능 (2점)

[eqn: lim _{n `->` INF } {n_`}over {sqrt {4n^2 +1`}+sqrt {n^2 +2`}}^`]의 값은?

정답 ③

[eqn: lim _{ n-> INF } {1} over {root {4+ {1} over n^2}+root {1+ {2} over n^2}} = {1} over {root 4 + root 1}] [eqn: = {1 over 3}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1_`}over {2`}]	③ [eqn: {1_`}over {3`}]
④ [eqn: {1_`}over {4`}]	⑤ [eqn: {1_`}over {5`}]

2013학년	수능 (2점)

[eqn: lim _{n-> INF } {{5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1}}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1} = lim _{n` -> ` INF } {} {5+ {1} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}}][eqn: = {5} over {3}]

[2점][2013학년도 수능]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

2010	수능 (2점)

[eqn: lim_n->inf { ( n+1) (3n -1 ) } over {2n^2 +1] 의 값은 ?

정답 ①

[eqn: lim from n->inf {(n+1)(3n-1)} over {2n^2 +1} = lim from n->inf {3n^2 +2n -1} over {2n^2 +1 }]

[eqn: = lim from n->inf {3+ 2 over n - 1 over n^2} over{2 + 1 over n^2 }][eqn: = 3 over 2]

① [eqn: 3 over 2`]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over 2]

2005	수능 (3점)

[eqn: lim_{n->infty} left (root {n^2 + 6n+4} -n right)]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +6n+4} -n RIGHT )]

[eqn: =lim_{n->inf}{{(root{n^2 +6n+4}-n})(root{n^2 +6n+4}+n)}over{root{n^2 +6n+4}+n}]

[eqn: =lim_{n->inf}{(n^2 +6n+4)-n^2} over {root{n^2 +6n+4 }+n}][eqn: =lim_{n->inf}{6n+4}over {root{n^2 +6n+4}+n]

[eqn: = lim_{n->inf}{6+ 4 over n} over {root {1+ 6 over n + 4 over n^2}+1}][eqn: ={6+0}over {root{1+0+0}+1]

[eqn: = 6over2 =3]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

2014학년도	수능 (3점)

[eqn: lim _{n-> INF } {{2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n}}}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: lim _{n-> INF } {{2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n}}} = lim _{n-> INF } {LEFT { 2 TIMES 3+5 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} =6]

[2점][2014학년도 수능]

① [eqn: 10]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

2007	수능 (2점)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {3+ LEFT ( {1 _{`}} over {3`} RIGHT ) _{`} ^{n}} over {2+ LEFT ( {1 _{`}} over {2`} RIGHT ) ^{n}} `]의 값은?

정답 ②

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} =0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {3+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {2+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} `][eqn: = {3+0} over {2+0} = {3} over {2} `]

①  [eqn: 1]	② [eqn: {3 _{`}} over {2}]	③  [eqn: 2]

④ [eqn: {5 _{`}} over {2}]	⑤  [eqn: 3]

2012학년	수능 (2점)

[eqn: lim_n->inf {5^n+1 +2} over {5^n +3^n}``]의 값은?

정답 ④
(주어진 식)[eqn: `=lim_n->inf {5 + 2 over 5^n } over {1+ left( 3 over 5 right)^n } = 5+0 over 1+0 =5]

[2점][2012학년도 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

2006	수능 (3점)

[eqn: lim _{n -> INF } {{5 CDOT 3 ^{n+1} -2 ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 15]

분모, 분자를 [eqn: 3 ^{n}]으로 나누면

[eqn: lim _{n -> INF } {} {5 CDOT 3-2 CDOT LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} =15]

2011	수능 (3점)

[eqn: lim _{ n->inf} { { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} } `=` 4] 일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

정답 ③

[eqn: lim _{ n->inf} { { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} } `=` lim _{ n->inf} { { a times 6 - left ( 5 over 6 right )^n } over { 1 + left ( 5 over 6 right )^n} }][eqn: ``=``` 6a ``=` 4]

[eqn: therefore ```````` a `=` 2 over 3]

[[eqn: 3]점][2010년 11월 수능]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 2]

2008	수능 (3점)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: \P_n-1], [eqn: \P_n]이 함수 [eqn: y=x^2]의 그래프 위의 점일 때, 점 [eqn: \P_n+1]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 두 점 [eqn: \P_0 `], [eqn: \P_1 `]의 좌표는 각각 [eqn: (0, ``0)], [eqn: (1, ``1)]이다.

(나) 점 [eqn: \P_n+1]은 점 [eqn: \P_n]을 지나고 직선 [eqn: \P_n-1` \P_n]에 수직인 직선과 함수 [eqn: y=x^2]의 그래프의 교점이다.

(단, [eqn: \P_n`]과 [eqn: \P_n+1]은 서로 다른 점이다.)

[eqn: l_n` = bar{\P_n-1 ` \P_n} `]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→∞} l_n over n]의 값은?

정답 ②

직선[eqn: rm P_0 P_1`]의 기울기가 1이므로

직선[eqn: rm P_1 P_2`]의 기울기는 -1이다.

점[eqn: rmP_1 (1,1)`]을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-1 = -(x-1)`] 즉, [eqn: y= -x+2`]이므로

점[eqn: rm P_2`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+2`]에서 [eqn: x^2 +x-2=0`]

[eqn: (x+2)(x-1)=0`~]

[eqn: x<0`~]이므로 [eqn: x=-2`]

∴ [eqn: rm P_2 (-2,`4)`]

점[eqn: rm P_2 (-2,`4)`]를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 [eqn: y-4 = x+2`] 즉, [eqn: y= x+6`]이므로

점[eqn: rm P_3`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = x+6`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0`]

[eqn: (x+2)(x-3)=0`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=3`]

∴ [eqn: rmP_3 (3,9)`]

점[eqn: rmP_3 (3,9)`]를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-9 = -(x-3)`] 즉, [eqn: y= -x+12`]이므로

점[eqn: rmP_4`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+12`]에서 [eqn: x^2 + x-12=0`]

[eqn: (x+4)(x-3)=0`]

[eqn: x<0`]이므로 [eqn: x=-4`]

∴ [eqn: rmP_4 (-4 , 16 )`]

이와 같은 방법으로 [eqn: rmP_n`]의 좌표를 구하면

[eqn: rm P_2m-1 left( 2m-1 , `4m^2 -4m+1 )`]

[eqn: rm P_2m ``( -2m ,``4m^2 `)`]

[eqn: n= 2m`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m = bar { rm P_2m-1 P_2m } `]

[eqn: = bar {rm P_2m-1 P_2m }]

[eqn: = root{ (4m-1)^2 + (4m-1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m-1)`]

[eqn: = root2 (2n-1 )`]

[eqn: n= 2m+1`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m+1 = bar{ rm P_2m P_2m+1}`]

[eqn: = root{ (4m+1)^2 + (4m+1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m+1)`]

[eqn: = root2 (2n-1 )`]

∴ [eqn: lim_n->inf``l_n over n = lim_n->inf``{root2 (2n-1)} over n``]

[eqn: = 2root2`]

① [eqn: 2root{3`}]	② [eqn: 2root{2`}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: root{3`}]	⑤ [eqn: root{2`}]

2005	수능 (3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: {rmS} _{n}]이 [eqn: {rmS} _{n} =2n+ {1} over {2 ^{n}}]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: a _{n}]과 [eqn: {rm S} it _{n}]과의 관계 [eqn: {rm S} it _{n} =2n+ {1} over {2 ^{n}}]이므로

[eqn: a _{n} `= {rm S} it _{n} `- {rm S} {it _{n-1} `=2n+ {1} over {2 ^{n}} -2n+2- {1} over {2 ^{n-1}}}][eqn: =2- {1} over {2 ^{n}} ~``(n >= 2)]

[eqn: THEREFORE `~` lim _{n -> INF } {} a _{n} = lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2- {1} over {2 ^{n}} RIGHT ) =2]

①  [eqn: 0]	② [eqn: {1 } over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④  [eqn: 1]	⑤  [eqn: 2]

2006	수능 (3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n＜a _{n} ＜n+1]을 만족시킬

때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {n _{`} ^{2}} over {a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n}}]의 값은?

정답 ②

[eqn: n<a _{n} <n+1]에서  [eqn: sum _{k=1} ^{n} k< sum _{k=1} ^{n} a _{k} < sum _{k=1} ^{n} (k+1)]

[eqn: THEREFORE ``` {n(n+1)} over {2} < sum _{k=1} ^{n} a _{k} < {n(n+1)} over {2} +n]

[eqn: THEREFORE~`` {2n ^{2}} over {n ^{2} +3n} < {n ^{2}} over {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} < {2n ^{2}} over {n(n+1)}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2n ^{2}} over {n ^{2} +3n} = lim _{n -> INF } {} {2n ^{2}} over {n ^{2} +n} =2]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2005	수능 (4점)

이차함수 [eqn: f(x)=3x^2]의 그래프 위의 두 점 [eqn: {rmP} (n,~ f(n) )]과

[eqn: {rmQ} (n+1,~f(n+1) )]사이의 거리를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_{n->infty} {a_n} over {n}]의 값은?

(단, [eqn: n]은 자연수이다.)

정답 ②

[eqn: a _{n} = bar{rm PQ it} = sqrt {1+(6n+3) ^{2}} = sqrt {9(2n+1) ^{2} +1}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n} = lim _{n -> INF } {} {sqrt {9(2n+1) ^{2} +1}} over {n}][eqn: =root{36}=6]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

2015학년	수능 (4점)

자연수 [eqn: k]에 대하여

정답 [eqn: 33]

[출제의도] 수열의 극한

[eqn: a_k = lim_n->inf { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n +1 }~(k`=`1,~2,~3,`cdots`)]에서

ⅰ) [eqn: k`<`6`]일 때, [eqn: 6overk`>`1`]이므로 분모, 분자를 [eqn: LEFT ( 6overk RIGHT )^n`]으로 나누면

[eqn: a_k = lim_n->inf { 6 overk } over {1+ LEFT ( k over6 RIGHT )^n }`=`6overk`~ LEFT ( BECAUSE~0`<`k over6`<`1` RIGHT )]

ⅱ) [eqn: k`=`6]일 때, [eqn: a_k`=`1over 1+1`=`1over2]

ⅲ) [eqn: k`>`6`]일 때, [eqn: 0`<`6overk`<`1`]이므로

[eqn: a_k`=`0over 0+1`=`0`]

[eqn: THEREFORE~ sum_k=1^10 k a_k`=`sum from k=1to5 LEFT ( k`times 6overk RIGHT )`+`sum fromk=6to6 LEFT ( k times 1over2 RIGHT ) `+`sum from k=7to10 (k times0)]

[eqn: =6times5+6times 1over2`=`33]

[eqn: a_k = lim_n->inf { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n +1 }]

이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 k a_k]의 값을 구하시오.

[4점][15학년 수능]

2010	수능 (4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: A]와 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: B]는 변이 서로 평행하고, [eqn: A]의 두 대각선의 교점과 [eqn: B]의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여있다. [eqn: A]와 [eqn: A]의 내부에서 [eqn: B]의 내부를 제외한 영역을 [eqn: R]라 하자.
[eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {n}]인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 [eqn: R]에 그린다.

이와 같은 규칙에 따라 [eqn: R]에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 [eqn: {1} over {n}]인 작은 정사각형의 최대 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{2} =12,`a _{3} =20]이다. [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{2n+1} -a _{2n}} over {a _{2n} -a _{2n-1}} `=`c}]라 할 때, [eqn: 100c]의 값을 구하시오.

(가) 작은 정사각형의 한 변은 [eqn: A]의 한 변에 평행하다.

(나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

정답 [eqn: 50]

[그림1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

⋱

⋱

⋰

⋰

[가로 방향으로 [eqn: 4n]개의  정사각형을 그린 경우]

[그림1]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2n]인 작은 정사각형을 어두운 부분에 넣는 경우 가로 방향과 세로 방향에 각각 최대 [eqn: 4n](개)의 정사각형이 들어가므로

[eqn: a_2n = (4n)^2 - (2n)^2 = 12n^2]

[그림2]

([eqn: 2n+2])개의 정사각형

[가로 방향으로 ([eqn: 4n+2])개의  정사각형을 그린 경우]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

⋱

⋱

⋰

⋰

[eqn: n]개의 정사각형

[그림2]와 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2n+1]인 작은 정사각형을 어두운 부분에 넣는 경우 가로 방향과 세로 방향에 각각 최대 ([eqn: 4n+2])(개)의 정사각형이 들어가므로

[eqn: a_2n+1 = n times (4n+2) times 2 + (2n+2 ) times n times 2]

[eqn: = 2n(4n+2 + 2n +2 )]

[eqn: = 2n(6n+4)= 4n( 3n+2)]

따라서

[eqn: a_2n+1 - a_2n = 4n(3n+2)- 12n^2 = 8n]

이고

[eqn: a_2n - a_2n-1 = 12n^2 - 4(n-1)left{3(n-1)+2 right}]

[eqn: =12n^2 - 4(n-1)(3n-1)]

[eqn: = 12n^2 -4(3n^2 -4n +1) = 16n -4]

∴ [eqn: lim from n->inf {a_2n+1 -a_2n} over{a_2n - a_2n-1} = lim from n->inf 8n over 16n-4 = 1 over 2 =c]

따라서 [eqn: 100c = 100 times 1 over 2 =50]

[다른 풀이]

다른 풀이

[eqn: a_2n+1 =(4n+2) ^2 - (2n+2 )^2]

[eqn: = (16n^2 + 16n + 4) -(4n^2 + 8n + 4)]

[eqn: = 12n^2 + 8n]

이므로

[eqn: a_2n+1 - a_2n =(12n^2 + 8n )- 12n^2 = 8n]

이고,

[eqn: a_2n - a_2n-1 = 12n^2 - 12(n-1)^2 -8(n-1)]

[eqn: =12n^2 -(12n^2 -24n+12)-(8n-8)]

[eqn: = 16n -4]

2011	수능 (4점)

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 직선 [eqn: y= {1} over {n} x]와 [eqn: x=n]이 만나는 점을 [eqn: A _{n}], 직선 [eqn: x=n]과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: B _{n}]이라 하자. 삼각형 [eqn: A _{n}OB_n]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: C_n]이라 하고, 삼각형 [eqn: A _{n} OC _{n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {n}}]의 값은?

정답 ③

삼각형 [eqn: A_n OB_n]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면 [eqn: C_n]의 좌표

는 [eqn: C_n LEFT ( n-r_n ,~r_n RIGHT )]

점 [eqn: C_n]에서 직선 [eqn: x-ny=0]까지의 거리가 [eqn: r_n]이므로

[eqn: {LEFT | n-r _{n} -nr _{n} RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -n RIGHT ) ^{2}}} =r _{n}]

[eqn: LEFT | n- LEFT ( n+1 RIGHT ) r _{n} RIGHT |= sqrt { n^2 +1} TIMESr_n]

그런데 [eqn: bar{A _{n}B_n}=1]에서 [eqn: r _{n} < {1} over {2}]이므로

[eqn: n- LEFT ( n+1 RIGHT ) r _{n} >0 LEFT ( BECAUSE ~r _{n} < {n} over {n+1} RIGHT )]

따라서 [eqn: n- LEFT ( n+1 RIGHT )r_n = sqrt { n^2 +1} TIMESr_n]이므로

[eqn: r _{n} = {n} over {n+1 sqrt {n ^{2} +1}}]

[eqn: THEREFORE `S _{n} = {1} over {2} TIMES bar{OA _{n}} TIMES r_n]

[eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {n ^{2} +1} TIMES {n} over {n+1+ sqrt {n ^{2} +1}}]

[eqn: = {n sqrt {n ^{2} +1}} over {2 LEFT ( n+1+ sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {n} = lim _{n-> INF } {{n sqrt {n ^{2} +1}} over {2n LEFT ( n+1+ sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )}}}]

[eqn: = lim _{n-> INF } {{sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}} over {2 LEFT ( 1+ {1} over {n} + sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}} RIGHT )}}]

[eqn: = {1} over {4}]

[[eqn: 4]점][2010년 11월 수능]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

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평가원 및 교육청	수열의 극한	정답 및 풀이

정답 ①

정답 ②

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ④

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 ②

정답 [eqn: 2]

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 ③

정답 ③

정답 ④

정답 ⑤

정답 ④

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답  ①

정답 ②

정답 ②

정답 ③

정답 ①

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ③

정답 ④

정답 ①

정답 ①

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ④

정답 ②

정답 ①

정답 ②

정답 ⑤

정답 ②

정답 ③

정답 [eqn: 4]

정답 ③

정답 [eqn: 3]

정답 ⑤

정답 14

정답 [eqn: 18]

정답 ④

정답 [eqn: 12``]

정답 ⑤

정답 [eqn: 81``]

정답 ③

정답 [eqn: 16``]

정답 [eqn: 35]

정답 ②

정답 ②

정답 ④

정답 [eqn: 12]

정답 ⑤

정답 [eqn: 36]

정답 ③

정답 [eqn: 2]

정답 ④

정답 ②

정답 ①

정답 [eqn: 5]

정답 ②

정답 [eqn: 14``]

정답 ②

정답 ②

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답 ④

정답 ⑤

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 10]

정답 ④

정답 [eqn: 21``]

정답 ①

정답 ①

정답 ②

정답 [eqn: 10``]

정답 [eqn: 54``]

정답 ③

정답 ②

정답 ④

정답 ②

정답 ④

정답 ②

정답 ⑤

정답 ③

정답 ③

정답 ②

정답 [eqn: 23]

정답 [eqn: 10``]

정답 ②

정답 [eqn: 15``]

정답 ④

정답 ②

정답 ④

정답 ①

정답 [eqn: 24``]

정답 [eqn: 97]

정답 ②

정답 ④

정답 ⑤

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 15`]

정답 ②

정답 ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ③

정답 ④

정답 [eqn: 24``]

정답 240

정답 [eqn: 25``]

정답 ④

정답 ④

정답 [eqn: 3]

정답 ③

정답 [eqn: 25``]

정답 ①

정답 ③

정답 [eqn: 64]

정답 ②

정답 ②

정답 [eqn: 12``]

정답 [eqn: 12]

정답 ②

정답 [eqn: 12]

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ②

정답 [eqn: 6``]

정답 ④

정답 [eqn: 19]

정답 ①

정답 [eqn: 6]

정답 ①

정답 [eqn: 7``]

정답 [eqn: 30]

정답 ①

정답 ⑤

정답 [eqn: 12]

정답 [eqn: 12]

정답 ④

정답 [eqn: 25]

정답 ③

정답 [eqn: 4]

정답 ④

정답 ①

정답 ④

정답 ③

정답 ①

정답 ③

정답 [eqn: 30``]

정답 ①

정답 ②

정답 ③

정답 ④

정답 ③

정답 ⑤

정답 ①

정답 ⑤

정답 ⑤

정답 ②

정답 ④

정답 [eqn: 15]

정답 ③

정답 ②

정답 ⑤

정답 ②

정답 ②

정답 [eqn: 33]

187. 정답 [eqn: 50]

188. 정답 ③

정답 및 풀이