Chap 2. 방정식과 부등식

Theme Math

Theme #10. 복소수의 정의와 상등

1. 허수단위 [eqn: i]의 도입과정

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} =2]의 해를 정수범위 // 실수범위에서 각각 구하시오

2. 복소수 학습의 흐름

Def 10.1) 복소수 (complex number)

임의의 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a+bi]의 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 한다.

이 때, [eqn: a]를 복소수의 실수 부분, [eqn: b]를 허수 부분이라 한다.

[eqn: C=]{[eqn: a+bi``□`a,``b IN R]}

특히 [eqn: a=0] 이고 [eqn: b != 0]이면, [eqn: 0+bi]의 형태로 순허수라 부른다.

[eqn: a != 0] 이고 [eqn: b=0]이면, 이는 실수집합을 뜻한다. ∴ 실수집합 [eqn: SUBSET] 복소수집합

Def 10.2) 켤레복소수 (complex conjugate)

두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 복소수 [eqn: a+bi]에서 허수부분 [eqn: b]의 부호를 바꾼 복소수 [eqn: a-bi]를 [eqn: a+bi]의 켤레복소수라고

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하고, 이를 [eqn: bar{a+bi}]로 나타낸다.

[eqn: bar{a+bi} =a-bi]

Def 10.3) 복소수의 상등

두 복소수의 실수 부분과 허수 부분이 각각 서로 같을 경우에 두 복소수는 서로 같다 라고 한다.

즉, [eqn: a,```b,```c,```d]가 실수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]일 때,

[eqn: a+bi=c+di``` LRARROW ``a=c,```b=d]

cf) 무리수의 상등

[eqn: a,```b,```c,```d]가 유리수이고, [eqn: sqrt {m}]이 무리수 일 때,

[eqn: a+b sqrt {m} =c+d sqrt {m} ``` LRARROW ``a=c,```b=d]

Theme #11. 복소수의 사칙연산

Def 11.1) 복소수의 사칙연산

① 덧셈 : [eqn: (a+bi)+(c+di)=]

② 뺄셈 : [eqn: (a+bi)-(c+di)=]

③ 곱셈 : [eqn: (a+bi)(c+di)=]

④ 나눗셈 : [eqn: {a+bi} over {c+di} =]

ex) [eqn: x= {1+3i} over {1+i}]일 때, [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +4x+1]의 값은?

ex) [eqn: x= {-1+ sqrt {1995} i} over {2}]일 때, [eqn: x ^{4} +x ^{3} +501x ^{2} +2x+1]의 값은?

ex) [eqn: alpha =-2+i,``` beta =1-2i] 일 때, [eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta }]의 값은?

ex) 임의의 두 복소수 [eqn: alpha`,`beta``]에 대하여 [eqn: P`=alpha`baralpha +beta`barbeta``], [eqn: Q`=alpha`barbeta +baralpha`beta``]일 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오?
(단, [eqn: barz``]는 [eqn: z``]의 켤레복소수이다.)

ㄱ. [eqn: P`≧`0`]	ㄴ. [eqn: Q`≧`0`]	ㄷ. [eqn: P`≧`Q``]

ex) [eqn: ( {2} over {-1+ sqrt {3} i} ) ^{5} =a+bi]를 만족하는 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

ex) [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: f(a,```b)= {a+bi} over {a-bi}]라 할 때, [eqn: f(1,```2)+f(2,```4)+f(3,```6)+ BULLET BULLET BULLET +f(10,```20)]의 값은?

Theme #12. [eqn: i] 의 거듭제곱의 주기성

Note) 문제를 접하다 보면 우리가 다루기 힘들 정도로 큰 수에 대한 고민을 해야 할 때가 있다.

이런 류의 문제는 거의 대부분 적당한 조사를 통해 규칙성이 발견되는 경우가 많고 이 규칙성이 주기의 형태를

갖게 된다.

1. [eqn: i] 의 주기성

2. [eqn: -i] 의 주기성

ex) [eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} + BULLET BULLET BULLET BULLET +9i ^{9} +10i ^{10} =a+bi] 일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하면?

ex) [eqn: LEFT [ n,```x RIGHT ] =(1+x) ^{n}]이라 정의할 때, [eqn: {LEFT [ 1997,```i RIGHT ]} over {LEFT [ 1998,```-i RIGHT ]}]의 값은?

ex) 방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0]의 한 허근을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: 1+a+a ^{2} + BULLET BULLET BULLET BULLET +a ^{28}]을 간단히 하면?

ex) 임의의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f`(n`)`=i-i`^2 +i`^3 -i`^4 +i`^5 -`cdots`+(-1)^n+1`i`^n``]일 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오

ㄱ. [eqn: f`(4)`=0`]

ㄴ. 임의의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f`(n`)`=f`(n+4)`]이다.

ㄷ. [eqn: n``]이 자연수 일 때 [eqn: f`(n^2`)`=f`(n`)`]이면 [eqn: f`(n`)=i``], 또는 [eqn: f`(n`)`=0`]이다.

ex) [eqn: z`=1+i``]일 때, 임의의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f`(n`)`=z^n``], [eqn: g`(n`)`=(barz`)^n``]이라 하자. 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 임의의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f`(n`)+g`(n`)`=bar{f`(n)+g`(n)`}`]이다.

ㄴ. [eqn: n`=4k-2`]이면 [eqn: f`(n`)+g`(n`)`=0`]이다.([eqn: k``]는 자연수)

ㄷ. [eqn: n`=4k``]이면 [eqn: f`(n`)`=g`(n`)`]이다.([eqn: k``]는 자연수)

ex) 복소수 [eqn: z`=` {3`+`root{2}`i}over{root{2}`-`3`i}`]에 대하여	[eqn: omega`=`{z`(1`-`bar{z}`)}over{root{2}}`] 라 할 때, [eqn: omega ^{``n} `=`1`]을 만족시키는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n``]의 개수는?(단, [eqn: i`=`root{-1}`]이고, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z``]의 켤레복소수이다.)

Theme #13. 켤레복소수와 성질

Thm 13.1) 켤레복소수의 성질

두 복소수 [eqn: z _{1} ,````z _{2}] 에 대하여

① [eqn: bar{( bar{z _{1}} )} =z _{1}]

② [eqn: bar{z _{1} ±z _{2}} = bar{z _{1}} ± bar{z _{2}}]

③ [eqn: bar{z _{1} z _{2}} = bar{z _{1}} BULLET bar{z _{2}}]

④ [eqn: bar{( {z _{1}} over {z _{2}} )} = {bar{z _{1}}} over {bar{z _{2}}}]

Pf)

Thm 13.2) 복소수의 다양한 동치관계

① [eqn: z=a+bi] : 실수 [eqn: LRARROW `][eqn: b=0] [eqn: LRARROW `] [eqn: z= bar{z}]

② [eqn: z=a+bi] : 순허수 [eqn: LRARROW `] [eqn: a=0`,````b != 0] [eqn: LRARROW `][eqn: z=- bar{z}]

③ [eqn: z ^{2} =(a+bi) ^{2}] : 양의 실수 [eqn: LRARROW `] [eqn: a != 0,```b=0]

④ [eqn: z ^{2} =(a+bi) ^{2}] : 음의 실수 [eqn: LRARROW `] [eqn: a=0,```b != 0]

⑤ [eqn: z ^{2} =(a+bi) ^{2}] : 순허수 [eqn: LRARROW `] [eqn: a=±b]

⑥ [eqn: z {bar{z}} =a ^{2} +b ^{2} =](실수)

Pf)

ex) [eqn: sqrt {-(x ^{2} -1) ^{2} (x ^{2}} +x+1)x ^{2}] 이 실수가 되는 실수 [eqn: x]의 개수는?

ex) 실수 [eqn: x`]에 대하여 복소수 [eqn: (1+i)x^2 -(1+3i)x - (2-2i )`]가 순허수가 되도록 하는 [eqn: x`]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: z=x(1-i)+2(-3+i)] 에 대하여 [eqn: z ^{2}]이 음의 실수가 된다고 할 때, 실수 [eqn: x]의 값은?

ex) [eqn: bar z = -z`]를 만족하는 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: w= z-1 over z+1 `]이라 할 때, [eqn: w bar w`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: bar z``]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

ex) [eqn: (z-1) ^{2}]이 실수가 되는 복소수 [eqn: z] 전체의 집합을 [eqn: A]라고 할 때, 보기 중 옳은 것을 모두 고르면?

a. [eqn: z IN A] 이면 [eqn: z-1]은 순허수이다.

b. [eqn: z IN A] 이면 [eqn: bar{z} IN A]이다.

c. [eqn: z _{1} IN A] 이고 [eqn: z _{2} IN A] 이면 [eqn: z _{1} z _{2} IN A]이다.

Theme #14. 음수의 제곱근

Def 14.1) 음수의 제곱근

음의 실수 [eqn: -a][eqn: (a>0)]에 대하여 [eqn: sqrt {-a} = sqrt {a} i]로 정의한다.

이로 인해, 음의 실수 [eqn: -a][eqn: (a>0)]의 제곱근은 [eqn: ± sqrt {a} i]이다.

Thm 14.1) 음수의 제곱근의 성질

① [eqn: a<0,```b<0] 일 때, [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}]

② [eqn: a>0,```b<0] 일 때, [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}}]

이 두 가지의 경우를 제외하면 [eqn: a,`````b]의 부호에 관계없이 중학교에서 배운 대로 연산이 가능하다.

Pf)

ex) 실수[eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: rootb-1 over roota+1 =- root{ b-1 over a+1}`]이 성립할 때, [eqn: vert a+1 vert + root{(b-1)^2}]을 간단히 하면?

ex) 등식 [eqn: (3+2i)x+(1-i)y=3+7i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,```y]에 대하여 [eqn: sqrt {6x} sqrt {y} + {sqrt {6x}} over {sqrt {y}}]의 값을 구하시오.

ex) 다음 조건을 모두 만족시키는 정수 [eqn: a,```b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수를 구하시오.(단, [eqn: a != 1,```a != 3,```b != 2)]

(가) [eqn: sqrt {-a+1} sqrt {a-3} =- sqrt {(-a+1)(a-3)}]

(나) [eqn: sqrt {{b+2} over {b-2}} =- sqrt {{b+2} over {b-2}}]

Theme #15. 방정식

1. 방정식을 바라보는 시각 (출제 point 파악)

- 방정식은 문자를 포함한 등식을 참으로 만드는 값을 구하고자 하는 것이 목적이다. 그리고 방정식을 만족시키는 값을 그 방정식의 해(solution) 또는 근(root)이라 부르는데 이 방정식의 해를 바라보는 관점은 이렇게 분류된다.

① 해의 존재성 : 주어진 방정식의 해가 존재하는가? (ex. 실근//허근)

② 해의 개수 : 해가 존재한다면 몇 개가 존재하는가? (ex. 중근)

③ 관계성 : 존재하는 해들 사이의 관계는 있는가? (ex. 근과 계수의 관계 / 켤레근 정리)

④ 해의 위치 : 존재하는 해의 위치는 어디인가? (함수로 연결)

⑤ 해 구하기 : 존재하는 해는 무엇인가? (방정식의 해법)

위의 나열된 주제들은 방정식의 모양을 달리하더라도 항상 연구해야하는 개념들이다. 따라서, 방정식 part의 출제는 동일한 개념을 방정식의 종류만 다르게 하여 적용하는 것에 불과 하기 때문에 위의 다섯 가지 개념을 이해하는 것이 매우 중요하다는 것은 자명하다.

2. 방정식 학습의 대 전제

“ [eqn: n]차 방정식의 해는 항상 [eqn: n]개 존재한다.”

Theme #16. 일차방정식

Review) 등식의 성질

수 또는 식 [eqn: a,```b,```c]에 대하여

(1) [eqn: a=b``` LRARROW ```b=a]             (2) [eqn: a=b]이고 [eqn: b=c] [eqn: RARROW] [eqn: a=c]

(3) [eqn: a=b``` LRARROW ```a±c=b±c]       (4) [eqn: a=b``` LRARROW ```a TIMES c=b TIMES c][eqn: (단,```c != 0)]

(5) [eqn: a=b``` LRARROW ``` {a} over {c} = {b} over {c} (단,```b != 0)]

Thm 16.1) 일차방정식의 해법 (주어진 방정식이 일차방정식이 아닐 수도 있음을 항상 체크할 것!!!!!)

방정식 [eqn: ax=b]의 해

(1) [eqn: a != 0]일 때, [eqn: ax=b]는 [eqn: x]에 대한 일차방정식이므로 [eqn: x= {b} over {a}]이다.

(2) [eqn: a=0]일 때, [eqn: b != 0]이면 [eqn: 0 TIMES x=b( != 0)]이므로 어떠한 [eqn: x]를 대입해도 거짓(불능)

[eqn: b=0]이면 [eqn: 0 TIMES x=0]이므로 모든 [eqn: x]에 대하여 성립(부정)

pf) easy

ex) [eqn: a(ax-1)=-ax+1]을 풀어라.

ex) 집합 [eqn: S= LEFT { x```□```(a-3)x+5=x+b RIGHT }]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: S= EMPTYSET]일 때, 상수 [eqn: a,```b]의 조건을 구하여라.

(2) [eqn: S=R]일 때, 상수 [eqn: a,```b]의 조건을 구하여라.

Theme #17. 함수와 방정식사이의 관계

Note) 방정식, 부등식과 함수의 개념은 개념상 매우 유기적인 관계를 맺는다. 실제로 함수는 방정식의 해를 해석하는 도구가 되어준다. 따라서, 고득점을 올리기 위해서는 반드시 개념간의 연관성을 충분히 파악해야만 한다.

ex) Thm 16.1을 함수의 관점에서 해석!!

ex) 실수 전체의 집합 [eqn: R]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { x``□```a ^{2} x+6x+2=a(5x+1) RIGHT }]을 상수 [eqn: a]의 값에 따라 간단히 나타내어라.

결론 : 방정식을 함수로 해석하는 것은 방정식의 해의 존재성, 개수, 위치 등에 대한 정보를 준다!!

Theme #18. 절댓값이 포함된 방정식

Def 18.1) 절대값의 정의

[eqn: LEFT | a RIGHT | ```:``]수직선의 원점에서 좌표 [eqn: a]까지의 거리

Thm 18.1) 절대값의 성질

(1) [eqn: LEFT | A RIGHT | = cases{A&(A GEQ 0)#-A&(A<0)}]

(2) [eqn: LEFT | x RIGHT | =a``` LRARROW ```x=±a](단, [eqn: a GEQ 0])

(3) [eqn: LEFT | x RIGHT | = LEFT | y RIGHT | ``` LRARROW ````x=±y]

(3) [eqn: LEFT | x RIGHT | LEQ a``` LRARROW ```-a LEQ x LEQ a],  [eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ a```` LRARROW ```x GEQ a```or```x LEQ -a``]

pf) easy

Note) 절대값이 포함되어 있는 방정식을 푸는 경우 범위를 가정한 상태에서 해를 구하는 것이 보통이다.

이 때, 도출된 결과가 가정을 만족시키지 못하면 그 해는 의미를 상실한다.

ex) [eqn: LEFT | x ^{2} -4 RIGHT | =3x]의 해를 구하여라.

ex) [eqn: LEFT | x RIGHT | + LEFT | x-1 RIGHT | + LEFT | x-2 RIGHT | =6]의 해를 구하여라.

ex) [eqn: LEFT | LEFT | LEFT | x RIGHT | -5 RIGHT | -3 RIGHT | =1]의 해를 구하여라.

ex) 이차방정식 [eqn: LEFT | x-3 RIGHT | ^{2} +3 LEFT | x-3 RIGHT | -10=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT |]의 값을 구하여라.

Theme #19. 가우스가 포함된 방정식

Def 19.1) 가우스

[eqn: LEFT [ x RIGHT ] =n```` LRARROW ````n LEQ x<n+1] ([eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수)

Note) 가우스와 절대값은 범위에 따라 다른 값을 갖는 함수라는 공통점이 있다. 이 공통적인 속성이 방정식을 풀어내는 핵심!! 즉, 절대값 기호가 포함된 방정식의 풀이가 가능했다면 가우스가 포함된 방정식은 이미 아무 문제가 되지 않는다. 따라서 결코 가우스기호에 대한 거부감을 갖을 필요가 없고 자신 있게 문제를 대하도록 하자.

ex) [eqn: 2x ^{2} =x+3 LEFT [ x RIGHT ] (0 LEQ x<2)]를 풀어라.(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수)

ex) [eqn: LEFT [ x RIGHT ] ^{2} -3 LEFT [ x RIGHT ] -10=0]을 풀어라.(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수)

ex) [eqn: 3 LEFT [ x RIGHT ] ^{2} -8 LEFT [ x RIGHT ] +a=0]가 실근을 가질 때, 실수 [eqn: a]의 최대값을 구하여라.(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수)

ex) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT [ 2x RIGHT ] ^{2} -2 LEFT [ x RIGHT ] -7=0]을 만족하는 실수 [eqn: x]의 값의 범위를 구하시오.(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수)

ex) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT [ x ^{2} RIGHT ] =ax+1]이 서로 다른 다섯 개의 실근을 가질 때, 음수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수)

Theme #20. 이차방정식의 해법

Review) 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0][eqn: (a != 0)]의 풀이

M1. 인수분해를 이용한 풀이

M2. 근의 공식을 이용한 풀이(근의 공식은 어떠한 경우라도 사용가능!! 즉, 계수가 복소수인 상황에서도 ok!!)

Note) 근의 공식은 단순히 이차방정식의 해를 구하는 의미만 있는 것이 아니다. 근의 공식을 바탕으로 이차방정식의 해의 속성들을 파악할 수 있다. (판별식(근의 개수), 근과 계수의 관계, 켤레근)

Note) 방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]와 관련된 문제에서 이차방정식이라는 단어가 보이지 않는다면 이 식을 이차방정식이라 단정하면 안된다.

ex) [eqn: LEFT { x RIGHT } =x ^{2} +2x,```` LEFT < x RIGHT > =x ^{2} -x]라 정의할 때, 방정식 [eqn: LEFT { x RIGHT } ^{2} -2 LEFT { x RIGHT } BULLET LEFT < x RIGHT > -3 LEFT < x RIGHT > ^{2} =0]의 실근을 모두 구하면?

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(k+1)x+k=0]의 두 근의 비가 2:3 일 때, 상수 [eqn: k]값들의 합을 구하면?

ex) 이차방정식 [eqn: (1+i)x ^{2} -2(1-i)x-(1+i)=0]의 해를 구하시오.

ex) 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -(2k+5)x+3=0]의 두 근 중 한 근을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: alpha + {1} over {alpha } =k ^{2}]이 성립한다. 이 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

Theme #21. 이차방정식의 근 이론

1. 근의 판별(근의 존재성 및 개수)

Thm 21.1) 근의 판별

실 계수(!!)의 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]에서 판별식 [eqn: D]를 [eqn: D=b ^{2} -4ac]라 할 때,

(1) [eqn: D>0```` LRARROW ````]서로 다른 두 실근

(2) [eqn: D=0```` LRARROW ````] 중근 (같은 두 근으로 볼 것!!)

(3) [eqn: D<0```` LRARROW ````]서로 다른 두 허근

Pf) Use 근의 공식!!(대수적 접근)

Note) 근의 공식은 이차방정식의 해를 직접 구하는 방법이고 판별식은 [eqn: D]의 부호를 체크하여 근의 존재성 및 개수를 판단하고자 하는 방법이다. 이 때, [eqn: D]의 부호를 결정하는 것은 0과의 대소비교가 되어야 함을 의미하는데 이차방정식의 계수가 복소수라면 대소비교가 곤란한 상황이 벌어질 수도 있음. 따라서 판별식은 반드시 실 계수 이차방정식에 적용되어야 할 것임. (판별식의 한계) - 그러나 실제로 복소수 계수 이차방정식은 주 관심대상이 아님.!!!!

Note) 이차방정식의 근의 판별에 대한 함수적 해석

ex) [eqn: 2x ^{2} +4x+9=0]

ex) [eqn: x ^{2} -4x+4=0]

ex) [eqn: x ^{2} -2x-3=0]

ex) 두 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+k=0], [eqn: x ^{2} +2x+k=0] 중 오직 한 이차방정식만 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(a+2k)x+k ^{2} +2k+b=0]이 임의의 실수 [eqn: k]에 대하여 중근을 가지게 하는 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

ex) 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +2x-4y+5=0]을 만족시키는 실수 [eqn: x,```y]의 값을 구하시오.

ex) 이차방정식 [eqn: 5x^2 +2y^2 -2xy +10x -2y +5=0]을 만족하는 실수 [eqn: x,~y]의 합 [eqn: x+y]의 값을 구하시오.

ex) 이차식 [eqn: kx ^{2} +2x+k]가 [eqn: x]에 대한 완전제곱식일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: x,```y]에 대한 이차식 [eqn: 2x ^{2} -3xy+my ^{2} -3x+y+1]을 두 일차식의 곱으로 인수분해 할 수 있도록 실수 [eqn: m]의 값을 정하시오.

2. 관계성

Thm 21.2) 근과 계수의 관계

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,```` beta]라 하면

(1) 두 근의 합 : [eqn: alpha + beta =```- {b} over {a}]

(2) 두 근의 곱 : [eqn: alpha beta =` {c} over {a}]

Pf) M1) use 근의 공식

M2) 인수정리

Thm 21.3) 근과 계수의 관계의 역(이차방정식의 작성)

[eqn: alpha + beta =```- {b} over {a}], [eqn: alpha beta =` {c} over {a}]이면 [eqn: alpha ,```` beta]는 이차방정식  [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 두 근이다.

Pf)

[eqn: RARROW]임의의 두 수가 존재할 때, 그 두 수를 근으로 갖는 이차방정식을 작성할 수 있다.

ex) 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta =6]이 성립한다. 이 때, 방정식 [eqn: f(5x-7)=0]의 두 근의 합은?

ex) 이차방정식 [eqn: (x-2) ^{2} -3(x-2)-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: ( alpha -2)( beta -2)]의 값은?

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x-1=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,```` beta]이고, 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]의 두 근이 [eqn: alpha ^{2} beta ,```` beta ^{2} alpha]일 때, 상수 [eqn: a,```b]의 값을 구하여라.

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라고 할 때, [eqn: ( sqrt {alpha } + sqrt {beta } ) ^{2}]의 값을 구하면?

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} - {1} over {3} x+ {2} over {3} =0]의 두 근을 [eqn: {1} over {alpha } ,```` {1} over {beta }]이라 할 때, [eqn: alpha ,```` beta]를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - (m-2)x +am+ b-5 = 0]이 실수 [eqn: m]의 값에 관계없이 [eqn: 1]을 근으로 가질 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: 2a - b]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -px+q=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,``` beta]이고, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3px+4(q-1)=0]의 두 근이 [eqn: alpha ^{2} ,``` beta ^{2}]일 때, [eqn: p]의 값은?

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]의 두 근이 연속한 두 자연수가 되도록 상수 [eqn: a,```b]의 값을 정할 때, 옳은 것을 보기에서 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a]는 홀수이고 [eqn: b]는 짝수이다.

ㄴ. [eqn: a ^{2} -4b=1]

ㄷ. [eqn: b-a>0]

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. [eqn: alpha + beta =`-1]

ㄴ. [eqn: {beta } over {alpha } + {alpha } over {beta } =-3]

ㄷ. [eqn: alpha ^{5} + beta ^{5} + alpha ^{4} + beta ^{4} = alpha ^{3} + beta ^{3}]

Thm 21.4) 이차방정식의 켤레근 정리 (한 근의 정보를 주면 나머지 근을 찾을 수 있으므로 두 근을 확보하게 된다)

(1) 모든 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 [eqn: a+b sqrt {m} `(a,```b IN Q,``` sqrt {m} IN I)]이면 [eqn: a-b sqrt {m}]도 근이다.

(2) 모든 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 [eqn: a+bi`(a,```b IN R,```i= sqrt {-1} )]이면 [eqn: a-bi]도 근이다.

Pf) (2)

ex)  [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c=0]의 한 근이 [eqn: 1+ root 3]일 때, 두 이차방정식 [eqn: bx^2 + cx+a=0], [eqn: cx^2 + ax+b=0]의 근을 모두 구하시오. (단, [eqn: a, b,c]는 유리수이다.)

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: {2} over {1-i}]일 때, 실수 [eqn: a,````b]에 대하여 [eqn: a+b]를 구하여라.

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax-2=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: alpha =p+qi]일 때, [eqn: alpha +1]은 [eqn: x ^{2} -bx+a=0]의 근이다. 이 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,```b,```p,```q]는 실수, [eqn: q != 0])

ex) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0]의 한 근을 [eqn: omega]라 하고 [eqn: z= {omega +1} over {2 omega +1}]이라고 할 때, [eqn: z {bar{z}}]의 값을 구하면?

ex) 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 [eqn: circ]을 [eqn: a circb = 2ab +a +1]로 정의 한다. 방정식 [eqn: (x circx) + a (x circ2 ) +b = 0]의 한 근이 [eqn: 1-2i]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

Theme #22. 이차방정식의 실근의 부호

Thm 22.1) 이차방정식의 실근의 부호(이차방정식의 실근의 위치) : 이차함수에서 다시 공부할거임~

실수 계수의 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 두 실근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때,

(1) 두 실근 [eqn: alpha ,``` beta]가 모두 양수 [eqn: LRARROW] [eqn: D GEQ 0,``` alpha + beta >0,``` alpha beta >0]

(2) 두 실근 [eqn: alpha ,``` beta]가 모두 음수 [eqn: LRARROW] [eqn: D GEQ 0,``` alpha + beta <0,``` alpha beta >0]

(3) 두 실근 [eqn: alpha ,``` beta]가 서로 다른 부호 [eqn: LRARROW] [eqn: alpha beta <0]

Pf)

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k+1)x-k+5=0]의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 실수 [eqn: k]값의 범위는?

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: (m^2 + 1) x^2 +4(m+1)x +4 = 0]의 두 근이 음수가 되는 실수 [eqn: m]의 값의 범위는?

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 + (m-7)x -m+4 = 0]이 서로 다른 부호의 실근을 갖고, 양 근의 절대값이 음 근의 절대값보다 크기 위한 정수 [eqn: m]값들의 합을 구하시오.

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(a ^{2} -2a-3)x-a+1=0]의 두 실근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: LEFT | alpha RIGHT | = LEFT | beta RIGHT | ,``` alpha beta <0]을 만족하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

Theme #23. 이차함수와 이차방정식의 관계

Note) 앞서 우리는 방정식과 함수가 매우 강력한 관계를 갖고 있다는 것을 배웠다. 수학적으로 매우 중요한 내용이므로 다시 한 번 강조해도 지나침이 없다.

Review) 이차함수의 그래프

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c``]의 그래프

(1) [eqn: y=ax^2`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: - b over 2a], [eqn: y``]축 방향으로 [eqn: - {b^2 -4ac}over 4a]만큼 평행이동한 그래프

(2) 꼭지점 : [eqn: LEFT ( - b over2a ,~ - {b^2 -4ac}over4a RIGHT )]

(3) 대칭축 : [eqn: x= - b over 2a]

(4) [eqn: |``a`|``]가 크면 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.

(5) [eqn: a>0``]이면 아래로 볼록 [eqn: x`=` - 1over 2a`]일 때 최솟값 [eqn: - {b^2 -4ac} over 4a``]를 갖는다.

[eqn: a<0``]이면 위로 볼록 [eqn: x`=` - 1over 2a`]일 때 최댓값 [eqn: - {b^2 -4ac} over 4a``]를 갖는다.

Thm 23.1) 이차함수의 최대 / 최소

1. [eqn: f``(x)=a(x-p)^2 +q`]의 최대, 최소 :

1) [eqn: a`>`0`]일 때 : [eqn: x=p`]에서 최솟값 [eqn: q`]를 갖는다.

2) [eqn: a`<`0`]일 때, [eqn: x=p`]에서 최댓값 [eqn: q`]를 갖는다.

2. [eqn: m`≦`x`≦`n`]일 때 [eqn: f``(x)=a(x-p)^2 +q`] 의 최대, 최소 :

1) [eqn: m`<`p`<`n]일 때  : [eqn: f``(m),] [eqn: f``(n),] [eqn: f``(p)] 중 가장 큰 값이 최대, 가장 작은 값이 최소이다.

2) [eqn: p`<`m`<`n`] 또는 [eqn: m`<`n`<`p`]일 때 : [eqn: f``(m),] [eqn: f``(n)] 중 큰 값이 최대, 작은 값이 최소이다.

Thm 23.2) 이차함수와 이차방정식의 관계

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c``]의 그래프와 [eqn: x``]축([eqn: y=0])과의 교점의 [eqn: x]좌표 [eqn: LRARROW] 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c``=0]의 실근

[eqn: a`>`0`]일 때	[eqn: D`>`0]	[eqn: D=0]	[eqn: D`<`0]
[eqn: y=ax ^{2} +bx+c(a != 0)]의 그래프와 [eqn: x]축의 위치관계
[eqn: x``]축과의 교점의 개수	2개	1개(접한다)	없음

이를 일반화 하면,

이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c=mx+n``], [eqn: ax^2 +(b-m)x +c-n=0``]의 판별식을 [eqn: D``]라 할 때,

(1) [eqn: D>0`]이면 이차함수와 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) [eqn: D=0`]이면 이차함수와 직선은 한 점에서 만난다. 즉, 접한다.

(3) [eqn: D<0`]이면 이차함수와 직선은 만나지 않는다.

ex) 이차함수 [eqn: y=x^2 +kx+2k+1 ``]의 그래프에 의하여 잘려지는 [eqn: x``]축의 길이가 [eqn: 4``]가 되는 모든 상수 [eqn: k``]값의 곱을 구하시오.

ex) 이차함수 [eqn: y=x^2 -2(k+a)x +k^2 b +a``]의 그래프가 상수 [eqn: k``]의 값에 관계없이 [eqn: x``]축과 한 점에서 만날 때, 상수 [eqn: a,``][eqn: b``]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2``]의 값을 구하시오.

ex) 직선 [eqn: y=2mx]는 이차함수 [eqn: y=x^2 +2x+1]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=x^2 -2x+1]의 그래프와는 만나지 않는다. 이 때, 정수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

ex) 이차함수 [eqn: y=x^2 -ax+b``]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-3``]의 두 교점 중 한 교점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2-sqrt5``]일 때, 유리수 [eqn: a,``b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

ex) 이차함수 [eqn: y=x^2 +5x-2``]의 그래프 위의 점 중에서 직선 [eqn: y=x+4``]에 이르는 거리가 최소인 점의 좌표를 [eqn: (a,``b`)``]라 할 때, 상수 [eqn: a,``b``]의 곱 [eqn: a timesb``]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: x]에 관한 방정식 [eqn: |x^2 -1 | - x - k =0]이 서로 다른 [eqn: 4``]개의 실근을 가질 때, [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 직선 [eqn: y=x+k]와 [eqn: LEFT | y RIGHT | =x ^{2} -3 LEFT | x RIGHT | +2]의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: N(k)]라 할 때, [eqn: N(1)+N(2)+N(3)]의 값은?

ex) 두 함수 [eqn: f(x) = x^2 - 2ax + b``], [eqn: g(x) = -x^2 + 4x + a + b``]에 대하여 [eqn: f(x)``]의 최솟값은 [eqn: -1], [eqn: g(x)``]의 최댓값은 [eqn: 9``]이다. 이 때, 상수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0``])

ex) 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2mx+4m+1``]의 최솟값을 [eqn: {rm{g} }{(m)}]이라 할 때, [eqn: m`=`p``]일 때,  [eqn: {rm{g} }{(m)}]은 최댓값 [eqn: q``]를 갖는다. 이때, [eqn: pq``]의 값을 구하시오.

ex) 이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c``(a<0)]에 대하여 [eqn: f(-3)=f(2)] 가 성립할 때, [eqn: f(x)]는 [eqn: x= alpha]에서 최댓값을 갖는다. 이 때, [eqn: alpha]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: -1<=x<=2]에서 함수 [eqn: y= (x^2 -2x+3 )^2 - 6(x^2 -2x+3 )+3]의 최댓값을 구하시오.

ex) [eqn: x+y= 1]을 만족하는 음이 아닌 두 실수 [eqn: x, y]에 대하여 [eqn: 2x^2 +3y^2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

ex) 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]가 [eqn: x^2 + 3y^2 -x = 2`]를 만족할 때, 함수 [eqn: f(x) = 6y^2 + 3 `|`x`|` - 1`]의 최댓값을 구하시오.

ex) 오른쪽 그림과 같이 포물선 [eqn: y=-x^2 +16x``]에 접하고 한 변이 [eqn: x``]축 위에 놓여 있는 직사각형 [eqn: ABCD``]의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오.

Theme #24. 이차함수의 근의 분리

Remark) 이차함수의 근의 분리란 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0``]를 함수로 해석하여 근의 위치를 잡아내는 과정을 의미한다. 즉, 주어진 이차방정식의 해는 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c] 와 [eqn: x]축과의 교점으로 해석할 수 있고, 그 교점의 위치에 대한 조건을 준 상태에서 완성되지 않은 이차함수의 모양을 결정하는 것을 목적으로 한다.

Thm 24.1) 이차함수의 근의 분리

이차함수[eqn: f(x)=ax^2 +bx+c=0``,``(a>0)``] 에 대하여

(1) 두 근이 모두 [eqn: p``]보다 크다 : [eqn: D≧0,``f(p)>0,``p< - b over 2a``]

(2) 두 근이 모두 [eqn: p``]보다 작다 : [eqn: D≧0,``f(p)>0,``p> - b over 2a``]

(3) 두 근 사이에 [eqn: p``]가 있다 : [eqn: `f(p)<0]

(4) 두 근이 모두 [eqn: p,``q``][eqn: (p<q)``]사이에 있다. : [eqn: D≧0,``f(p)>0,``f(q)>0,``p< - b over 2a <q````]

Pf) 우선 조건을 만족시키는 그래프를 그린 후, 판별식과 함수값, 그리고 대칭축을 조사하면 ok!!!!

ex) 이차방정식 [eqn: x^2 + a x + 2a - 3 =0]의 두 근이 [eqn: -2, ```1```]사이에 있을 때, 모든 정수 [eqn: a]값의 합을 구하시오.

ex) 이차방정식 [eqn: x^2 + 2mx - m + 2 =0]의 두 근이 모두 [eqn: 2]보다 작을 때, 자연수 [eqn: m]의 최솟값을 구하시오.

ex) 이차방정식 [eqn: x^2 -(k+1)x +k^2 =0``]의 두 실근을 [eqn: alpha,~beta``]라고 할 때, [eqn: 0< alpha <1 <beta``]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k``]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 이차방정식 [eqn: ax^2 -(a+1)x-4=0``]의 한 근이 [eqn: -1``]과 [eqn: 0``]사이에 있고, 다른 한 근이 [eqn: 1``]과 [eqn: 2``]사이에 있을 때, 실수 [eqn: a``]의 값의 범위를 구하시오.

Theme #25. 고차방정식의 해법

Note) 고차방정식의 풀이는 일 ․ 이차방정식의 경우처럼 간단하지가 않다. 일 ․ 이차방정식의 경우 일반적인 풀이방법이 알려져 있으나 고차방정식(3차이상)의 경우 일반적 해법이 존재하긴 하나 그 내용이 고등수준을 넘어서기 때문에 다루기 힘들고 따라서 고차방정식의 풀이는 인수분해(조립제법 & 인수정리)와 치환을 이용하는 능력을 평가하게 된다. (결국 유형에 따른 해법을 눈에 익히는 것이 관건)

✔ 조립제법 & 인수분해 ([eqn: AB=0``` LRARROW ```A=0```or```B=0])

ex) (normal) [eqn: x ^{4} -3x ^{3} -2x ^{2} +12x-8=0]

ex) (복이차식 : 짝수 차수 항으로만 구성되어 있는 사차방정식) - [eqn: x ^{2} =t]로 치환한 후 [eqn: t]에 대한 이차방정식으로 해석)

[eqn: x ^{4} +5x ^{2} +6=0]

[eqn: (x ^{2} +5x+4)(x ^{2} +5x+6)-24=0]

ex) (상반방정식 : 계수가 가운데 항을 중심으로 좌우대칭의 모양인 짝수 차수 방정식)

- 가운데 항의 문자로 묶은 뒤 관계있는 항끼리 연산!!

[eqn: x ^{4} +5x ^{3} -4x ^{2} +5x+1=0] (홀수개의 항)

[eqn: x ^{5} +2x ^{4} +3x ^{3} +3x ^{2} +2x+1=0] (짝수개의 항)

Theme #26. 삼차방정식의 근 이론

Note) “[eqn: n]차 방정식의 근은 [eqn: n]개 존재한다” 따라서 삼차방정식의 근은 반드시 존재하고 근의 개수는 3개임이 자명하다. 단, 이차방정식의 경우 판별식을 이용하여 근의 존재성 및 개수를 판단했으나 삼차방정식의 경우 판별식이 존재하지 않기 때문에 실근과 허근을 구별할 방법이 현재로선 없다. 그러나, 그래프를 활용하면 삼차방정식의 근은 이런 유형으로 분류된다.

(1) 서로 다른 세 실근

(2) 한 개의 중근과 한 개의 실근

(3) 한 개의 실근과 두 개의 허근

[eqn: RARROW] 삼차방정식은 적어도 하나의 실근을 갖는다.

실제로 삼차방정식의 세 근에 대한 정체를 밝히기 위해서는 인수분해를 이용하여 실근 하나를 찾고 나머지 두      개의 근은 이차방정식의 두 근으로 해석할 수 있다.

ex) [eqn: x ``]에 대한 사차방정식 [eqn: x^4 + 2x ^2 +p -6 =0 `]의 네 근이 모두 허근이 되도록 하는 [eqn: p ``]값의 범위는?

ex) [eqn: x ``]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 + 2x ^2 + (k+1) x + k=0 `]의 근이 모두 실근이 되도록 하는 실수 [eqn: k ``]의 값의 범위는?

ex) [eqn: x ``]에 대한 삼차방정식 [eqn: (x-1)( x^2 - ax +2a )=0 `]이 중근을 가질 때, 모든 실수 [eqn: a ``]의 값의 합을 구하시오.

ex) [eqn: x ``]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 + ( 1-2a ) x^2 + a(a-2) x + a^2 =0 `]의 근이 오직 하나 뿐일 때, 실수 [eqn: a ``]의 값을 구하시오.

Thm 26.1) 삼차방정식의 근과 계수의 관계

삼차방정식 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d=0]의 세 근이 [eqn: alpha ,``` beta `,``` gamma]이면

(1) [eqn: alpha + beta + gamma =``- {b} over {a}]

(2) [eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha = {c} over {a}]

(3) [eqn: alpha beta gamma =``- {d} over {a}]

Pf) By 인수정리

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x-1=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,``` beta `,``` gamma]라 할때, [eqn: alpha ^{2} beta ^{2} + beta ^{2} gamma ^{2} + gamma ^{2} alpha ^{2}]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +kx+6=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,``` beta `,``` gamma]라 할 때, [eqn: ( alpha + beta )( beta + gamma )( gamma + alpha )=`-4]를 만족하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

ex) 삼차방정식 [eqn: 3x^3 - x^2 + x +3 =0 `]의 세 근을 [eqn: alpha, `` beta , `` gamma ``]라고 할 때, [eqn: alpha+beta+gamma , `` alpha beta + beta gamma + gamma alpha , `` alpha beta gamma ``]를 세 근으로 하는 [eqn: x ``]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 + ax^2 + bx + c=0 `]에서 상수 [eqn: a+b+c ``]의 값을 구하시오.

ex) 방정식 [eqn: x ^{100} -10x+1=0]의 근 [eqn: alpha _{1} ,``` alpha _{2} ,``` alpha _{3} ,``` BULLET BULLET BULLET ,` alpha _{100}]에 대하여 [eqn: alpha _{1} ^{100} + alpha _{2} ^{100} + alpha _{3} ^{100} + BULLET BULLET BULLET + alpha _{100} ^{```````````100}]의 값을 구하시오.

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +kx+3=0]의 세 근이 모두 정수일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

ex) 사차방정식 [eqn: x ^{4} +a ^{2} x ^{2} +a+2=0]이 다음 조건을 모두 만족할 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

(가) 서로 다른 두 실근고 서로 다른 두 허근을 갖는다.

(나) 서로 다른 두 실근의 곱을 [eqn: p], 서로 다른 두 허근의 곱을 [eqn: q]라 하면 [eqn: p+q=9]이다.

Thm 26.2) 삼차방정식의 근과 계수의 관계의 역 (삼차방정식의 구성)

[eqn: alpha + beta + gamma =``- {b} over {a}], [eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha = {c} over {a}], [eqn: alpha beta gamma =``- {d} over {a}]이면 [eqn: alpha ,``` beta `,``` gamma]는 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d=0]의 세 근이다.

Pf) 이차방정식의 경우와 유사

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x-2=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,``` beta `,``` gamma]라 할 때, [eqn: alpha +` beta ,``` beta + gamma ,``` gamma + alpha]를 세 근으로 하고 삼차항의 계수가 1인 [eqn: x]에 대한 삼차방정식을 구하여라.

ex) 어떤 직육면체의 부피가 24, 겉넓이가 52, 대각선의 길이가 [eqn: sqrt {29}]일 때, 이 직육면체의 세 모서리의 길이를 세 근으로 갖고 삼차항의 계수가 1인 삼차방정식을 구하여라.

Thm 26.3) 켤레근 정리

(1) 유리수 계수의 다항방정식이 무리수 근을 가지면, 그 켤레무리수도 근으로 갖는다.

(2) 실수 계수의 다항방정식이 복소수 근을 가지면, 그 켤레복소수도 근으로 갖는다.

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +kx+6=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하고, 다른 두 근을 구하여라.

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: -1+ sqrt {2}]일 때, 유리수 [eqn: a,```b]의 값을 구하여라.

Theme #27. [eqn: x ^{3} =1]의 허근 [eqn: omega]

Thm 27.1) [eqn: x ^{3} =1]의 허근 [eqn: omega]의 성질

(1) [eqn: omega ^{3} =1] : 방정식의 근의 정의

(2) [eqn: omega ^{2} + omega +1=0] : 방정식의 근의 정의

(3) [eqn: omega + {1} over {omega `} =`-1] : (2)의 변형

(4) [eqn: omega + bar{omega } =`-1,``` omega bar{omega } =1] : 근과 계수의 관계

(5) [eqn: bar{omega } = omega ^{2}] : 순환

Pf)

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때,

(1) [eqn: ( omega ^{2} +1) ^{4} +( omega +1) ^{4}]

(2) [eqn: bar{omega } + {1} over {bar{omega }}]

(3) [eqn: omega ^{10} + omega ^{5} +1]

(4) [eqn: 1+ {1} over {omega ^{5}} + {1} over {omega ^{10}}]

ex) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} =`-1]의 한 허근이 [eqn: omega]일 때, [eqn: {omega ^{2}} over {1- omega } + {omega } over {omega ^{2} +1}]의 값은?

ex)  [eqn: x= {1+ sqrt {3} i} over {2}]일 때, [eqn: x ^{10} -x ^{5} +3]의 값은?

ex) 방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근 [eqn: omega]에 대하여 복소수 [eqn: z= {omega +1} over {2 omega +1}]이라 할 때, [eqn: z {bar{z}}]의 값은?

ex) 방정식 [eqn: x ^{3} -1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: omega ^{4n} +( omega +1) ^{4n} +1=0]을 만족시키는 30이하의 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

ex) 방정식 [eqn: x^3 =1 `]의 한 허근을 [eqn: omega ``]라 할 때, 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: bar omega ``]는 [eqn: omega ``]의 켤레복소수이다.)

< 보 기 >

ㄱ. [eqn: omega ^2005 + omega ^2004 + omega ^2003 = -1 `]

ㄴ. [eqn: omega ^10 + 1 over omega ^10 = -1 `]

ㄷ. [eqn: (1+omega )( 1+ bar omega ) =1 `]

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helpmemath

* 작성자 *

ex) 방정식 [eqn: x^3 =1 `]의 한 허근을 [eqn: omega ``]라 할 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(n)= {omega ^{2n}} over {omega ^{n} +1}]이라 정의하자.

[eqn: f(1)+f(2)+ BULLET BULLET BULLET +f(10)]의 값을 구하면?

Theme #28. 연립방정식

Note) 연립방정식의 풀이는 방정식을 구성하는 미지수의 개수를 줄여나가는 방법을 익히는 것이 핵심이다. 이때 사용 가능한 방법은 대입법, 가감법, 등치법 등이 있다. (연습이 관건!!)

Thm 28.1) 연립일차방정식의 부정//불능

[eqn: x,```y]에 대한 연립일차방정식 [eqn: cases{ax+by+c=0&#a prime ^{`} x+b prime y+c prime =0&}]([eqn: a prime != 0,```b prime != 0,```c prime != 0])에 대하여

(1) [eqn: {a} over {a prime } = {b} over {b prime } = {c} over {c prime } ``` LRARROW] 해가 무수히 많다.(부정)

(2) [eqn: {a} over {a prime } = {b} over {b prime } != {c} over {c prime } ``` LRARROW] 해가 없다.(불능)

Note) 일반적으로 이원일차연립방정식의 경우 한 쌍의 해를 갖는다.

ex) [eqn: cases{2x-y=1&#x ^{2} -y ^{2} =`-5&}]

ex) [eqn: cases{x ^{2} -3xy+2y ^{2} =0&#x ^{2} +y ^{2} +3x+1=0&}]

ex) [eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} +x+y=2&#x ^{2} +xy+y ^{2} =1&}]

ex) [eqn: cases{x+y=1&#x-y=3&}]

ex) [eqn: cases{3x ^{2} -2x+5y=8&#x ^{2} -x+2y=2&}]

ex) 연립방정식 [eqn: {cases{-x+y=a&#2x ^{2} +y ^{2} =6&}}]이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 값은?

ex) [eqn: x, ``y``]에 대한 연립방정식 [eqn: cases { kx + y=-3 # 2x +(k-1) y=6 ``]의 해가 무수히 많을 때의 [eqn: k ``]의 값을 [eqn: alpha ``], 해가 없을 때의 [eqn: k ``]의 값을 [eqn: beta ``]라 하면 [eqn: alpha + beta ``]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: x, ``y``]에 대한 연립방정식 [eqn: cases { ax-y =1 # x+y=5] 의 해가 [eqn: cases { x-y =b # x^2 + y^2 =13 ``]을 만족할 때, 양수 [eqn: a, ``b``]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: x, ``y``]에 대한 연립방정식 [eqn: cases { x^2 + x -2y =0 # x+y=a]	가 실근을 갖지 않을 때, 실수 [eqn: a ``]의 값의 범위는?

ex) [eqn: x, ``y``]에 대한 연립방정식 [eqn: cases { x+y = a+2 # xy = { a^2 +1 } over 4] 이 실근을 가질 때, 실수 [eqn: a ``]의 값의 범위를 구하시오.

ex) 실수 [eqn: x,```y]에 대하여 [eqn: LEFT < x,```y RIGHT > = cases{x&(x GEQ y)#-y&(x<y)}]로 정의하자.

연립방정식 [eqn: cases{2x-4y ^{2} = LEFT < x,```y RIGHT >&#x-y+5= LEFT < x,```y RIGHT >&}]의 해를 구하시오.

Theme #29. 부정방정식

Def 29.1) 부정방정식

부정방정식 : 해가 무수히 많은 방정식 or 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 방정식

ex) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =0] (단, [eqn: x,```y]는 실수)

ex) [eqn: LEFT | x RIGHT | + LEFT | y RIGHT | =0] (단, [eqn: x,```y]는 실수)

ex) [eqn: a+bi=0] (단, [eqn: a,```b]는 실수)

ex) [eqn: a+b sqrt {3} =0] (단, [eqn: a,```b]는 유리수)

Note) 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 경우 해가 유일하게 결정되지 않는다. 이 때, 의심해 볼 상황은 크게 두 가지로 구분된다.

- 찾으려 하는 미지수들을 하나의 문자로 통일하는 경우

- 정수조건 또는 실수조건이 식 하나의 역할을 하는 경우

case #1) 정수 조건이 있는 부정방정식

ex) [eqn: xy-3x+4y+3=0]를 만족하는 양의 정수 [eqn: x,```y]를 구하여라.

M1) 약수의 성질

M2) 유리식

case #2) 실수 조건이 있는 부정방정식

ex) [eqn: x ^{2} +2xy+2y ^{2} -2y+1=0]를 만족하는 실수 [eqn: x,```y]를 구하여라.

M1) 완전제곱식

M2) 판별식

ex) [eqn: m,```n]이 자연수일 때, [eqn: sqrt {n ^{2} +77} =m]을 만족하는 모든 [eqn: n]의 합을 구하시오.

ex) 다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: l,```m,```n]의 순서쌍 [eqn: (l,```m,```n)]의 개수는?

(가) [eqn: m-l=n-m=2]

(나) [eqn: l+m+n<200]

(다) [eqn: sqrt {l+m+n}]은 자연수이다.

ex) [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2(x+y+z)=14]를 만족하는 자연수 [eqn: x,```y,```z]에 대하여 [eqn: x+y+z]의 값은?

Theme #30. 일차부등식

Review) 부등식의 성질

(1) [eqn: a>b]이고 [eqn: b>c]이면 [eqn: a>c]이다.

(2) [eqn: a>b]이면 [eqn: a±c>b±c]이다.

(3) [eqn: a>b]이고 [eqn: c>0]이면 [eqn: ac>bc]이다.

(4) [eqn: a>b]이고 [eqn: c<0]이면 [eqn: ac<bc]이다. (나눗셈 동일)

Thm 30.1) 부등식 [eqn: ax>b]의 해

(1) [eqn: a>0]일 때, [eqn: x> {b} over {a}]

(2) [eqn: a<0]일 때, [eqn: x< {b} over {a}]

(3) [eqn: a=0]이고 [eqn: b<0]이면 해는 무수히 많다.(모든실수)

(4) [eqn: a=0]이고 [eqn: b=0]이면 해는 존재하지 않는다.

(5) [eqn: a=0]이고 [eqn: b>0]이면 해는 존재하지 않는다.

위의 모든 사항을 [eqn: ax GEQ b]에 대해서 적용해 볼 것!!

Pf) easy

Note) Thm 30.1에 대한 함수적 해석

ex) 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: (a-1)x>b+3]를 풀어라.

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: a ^{2} x-1<x+2a]가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: ax<2a+bx]의 해가 [eqn: x>1]일 때, 부등식 [eqn: (a-b)x+3a+b>0]의 해를 구하여라.

ex) 음이 아닌 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 보기에서 항상 옳은 것만을 고르시오

a. [eqn: sqrt {a} - sqrt {b} LEQ sqrt {a+b}]

b. [eqn: sqrt {a+b} LEQ sqrt {a} + sqrt {b}]

c. [eqn: sqrt {a} + sqrt {b} LEQ sqrt {2(a+b)}]

Thm 30.2) 절대값이 포함된 부등식(구간을 나누어 해결하는 것은 기본이 되어야 함을 잊지 말자!!)

(1) [eqn: LEFT | x RIGHT | <a```` LRARROW ````-a<x<a]

(2) [eqn: LEFT | x RIGHT | >a```` LRARROW ````x>a````or````x<-a]

(3) [eqn: a< LEFT | x RIGHT | <b```` LRARROW ````-b<x<-a````or````a<x<b] (단, [eqn: 0<a<b])

Pf) By Definition!!

ex) [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: LEFT | 9- {x} over {n} RIGHT | LEQ 1]을 만족하는 정수 [eqn: x]가 7개일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: -1<x<0]을 만족하는 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | x-a RIGHT | <1]이 항상 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

ex) 부등식 [eqn: LEFT | 7-x RIGHT | + LEFT | x-9 RIGHT | <20]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 최대값을 [eqn: a], 최솟값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: ab]의 값은?

ex) [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: LEFT | x-a RIGHT | <b]의 해가 [eqn: x ^{2} -3 LEFT | x RIGHT | -10<0]의 해와 같을 때, [eqn: ab]의 값은?

ex) [eqn: f(x)=x ^{2} -2x-3]이 [eqn: f(x)+ LEFT | f(x) RIGHT | =0]를 만족할 때, 정수 [eqn: x]의 개수를 구하여라.

ex) [eqn: x]에 대한 일차부등식 [eqn: LEFT | x-a LEFT [ a RIGHT ] RIGHT | <b LEFT [ b RIGHT ]]의 해가 [eqn: 8<x<30]이다. 이를 만족하는 양수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: 8a+9b]의 값을 구하시오.

ex) 부등식 [eqn: LEFT | x-1 RIGHT | + LEFT | x-2 RIGHT | <a]를 만족시키는 실수 [eqn: x]가 존재하지 않도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

Theme #31. 이차부등식

Note) 일차부등식에 관한 내용을 공부하면서 부등식의 기본은 방정식이 된다는 사실을 느꼈을 것이다. 이차부등식도 마찬가지이다. 이차방정식에 대한 이해가 충분히 되어 있고 약간의 부등식의 개념만 더해지면 이차부등식은 크게 어려워 할 만한 개념이 아니다.

Thm 31.1) 이차부등식의 풀이

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0(a>0)]의 두 근을 [eqn: alpha ,```` beta]([eqn: alpha LEQ beta])라 하면,

	[eqn: D>0]	[eqn: D=0]	[eqn: D<0]
[eqn: ax ^{2} +bx+c>0]
[eqn: ax ^{2} +bx+c GEQ 0]
[eqn: ax ^{2} +bx+c<0]
[eqn: ax ^{2} +bx+c LEQ 0]

Pf #1) 대수적 풀이([eqn: ab>0```` LRARROW ``a,```b]는 서로 같은 부호 // [eqn: ab<0```` LRARROW ````a,```b]는 서로 다른 부호)

Pf #2) 함수적 해석(권장)

Thm 31.2) 이차부등식의 작성

이차부등식의 해가 주어지면 이차항의 계수가 1인 이차부등식을 세울 수 있다.

(1) 해가 [eqn: alpha <x< beta]의 꼴로 주어질 때, [eqn: (x- alpha )(x- beta )<0]

(2) 해가 [eqn: x< alpha ```또는```x> beta]의 꼴로 주어질 때, [eqn: (x- alpha )(x- beta )>0] (단, [eqn: alpha < beta])

Pf)

Thm 31.3) 이차인 절대부등식

(1) 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0] [eqn: ``` LRARROW]  [eqn: a>0,```D<0]

(2) 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c GEQ 0] [eqn: ``` LRARROW]  [eqn: a>0,```D LEQ 0]

Pf) by function!!

ex)  부등식 [eqn: 3x ^{2} -13x+4>0], [eqn: x ^{2} -(a+3)x+3a<0]을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: x]가 오직 하나만 존재할 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

ex) [eqn: n]이 정수일 때, [eqn: n- {1} over {2} LEQ x<n+ {1} over {2}]를 만족하는 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT { x RIGHT } =n]이라 하자.

부등식 [eqn: LEFT { x RIGHT } ^{2} +2 LEFT { x RIGHT } -3 LEQ 0]의 해가 [eqn: a LEQ x<b]일 때, [eqn: a-b]의 값은?

ex) 부등식 [eqn: LEFT [ x RIGHT ]^2 >= LEFT [ x+2 RIGHT ]]를 푸시오.  (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

ex) 두 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: x ^{2} -ax+b<0]의 해가 [eqn: -1<x<2]일 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라.

ex) 이차부등식 [eqn: 2x ^{2} -x+a LEQ 0]의 해가 [eqn: x= {1} over {4}]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

ex) 연립부등식 [eqn: {cases{LEFT | x-2 RIGHT | <k&#x ^{2} -2x-3 LEQ 0&}}]를 만족시키는 정수 [eqn: x]가 세 개 존재할 때, 양수 [eqn: k]의 최댓값은?

ex) 이차부등식 [eqn: 2x^2 -(k+3)x +2k<=0]의 해가 단 한 개일때, 모든 실수 [eqn: k]의 곱을 구하시오.

ex) 부등식 [eqn: (a+1)x^2 -2(a+1)x+3>0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]값의 범위를 구하시오.

ex) 부등식 [eqn: ax^2 + (a+1)x +a>=0]을 만족하는 실수 [eqn: x]가 존재하기 위한 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt { kx^2 + 2kx + 2 }]가 허수가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값의 개수를 구하시오.

ex) 임의의 실수 [eqn: x, y]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 +y^2 - xy+ay+3 >0]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

수고하셨습니다~~^^