Chap 1. 다항식

Theme Math

Theme #1. 다항식 용어정리

※ 다항식 학습의 흐름

Def 1.1) 기본용어정리

① 단항식 : 수와 문자 간의 곱셈만을 이용하여 나타낼 수 있는 식

② 다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 표현할 수 있는 식

③ 항 : 다항식을 이루고 있는 각 다항식

④ 상수항 : 주목하는 문자를 포함하지 않는 항

⑤ 특정 항의 계수 : 특정 항에서 주목하는 문자를 제외한 나머지 부분

⑥ 특정 항의 차수 : 특정 항에 곱해져 있는 주목하는 문자의 개수

Theme Math                                                                                                                      Math Shin

⑦ 다항식의 차수 : 다항식을 정리했을 때 각 항의 차수 중 가장 큰 차수

⑧ 내림차순 : 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 다항식의 각 항을 나열

⑨ 오름차순 : 차수가 낮은 항부터 높은 항 순서로 다항식의 각 항을 나열

ex) [eqn: 3x ^{2} +2xy-3y ^{3} +4x+2y+1]

	내림차순으로 정리	항	항의 개수
[eqn: x]에 주목
[eqn: y]에 주목
[eqn: x,```y]에 주목

Note) 다항식은 이 후의 방정식, 부등식, 함수 등을 표현하는 주된 방법이므로 문제 상황을 다항식으로 표현할 수 있어야 하고 더불어 주어진 다항식을 읽어낼 수 있어야 한다. 또한 식의 형태를 갖는 수학적 개념 중 가장 쉬운 형태로 이 후 다항함수를 이용한 미분 적분까지 활용되므로 기초가 중요하다.

Theme #2. 다항식의 연산

Note) 기본적인 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 정도는 중학교에서 이미 학습한 내용이다. 따라서 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 연산법칙을 확인하는 수준에서 마무리 하고 새롭게 소개되는 나눗셈에 집중할 필요가 있다. 실제로 다항식 부분의 대부분의 문제는 나눗셈에서 출제된다.

※ 연산법칙을 정의하기 위해서 주어진 집합을 분명히 할 필요가 있다. 이제부터 우리가 다룰 집합은

[eqn: P=]{[eqn: P(x _{1,`} `x _{2} ,` BULLET BULLET BULLET BULLET ,`x _{n} )`□`P(x _{1,`} `x _{2} ,` BULLET BULLET BULLET BULLET ,`x _{n} ):n변수`다항식]}이다.

실제로 고등수준에서는 주로 1변수를 다룬다.

[eqn: P(x)=a _{n} x ^{n} _{} +a _{n-1} x ^{n-1} +a _{n-2} x ^{n-2} + BULLET BULLET BULLET +a _{1} x+a _{0}],  [eqn: a _{0} ,```a _{1} ,```a _{2} ,`` BULLET BULLET BULLET ,`a _{n} IN R] ([eqn: x]에 대한 다항식)

Def 2.1) 다항식의 덧셈과 뺄셈 // 곱셈 (속도와 정확성 측정)

① 다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 정리하여 계산한다. (덧셈과 뺄셈의 정의)

② 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개한 수 동류항끼리 묶어 정리한다. (곱셈의 정의)

③ <[eqn: P,``+]>와 <[eqn: P,`` BULLET]>에 대한 연산법칙

	덧셈	곱셈
교환법칙
결합법칙
분배법칙

※ 곱셈을 자유롭게 하기 위해서는 지수법칙이 확인된 상태이어야 함.

다항식의 곱셈은 지수법칙과 분배법칙의 조합!!

Review) 지수법칙

[eqn: a,```b]가 복소수 또는 다항식이고, [eqn: m,```n]이 양의 정수일때,

⑴ [eqn: a ^{m} a ^{n} =a ^{m+n}]

⑵ [eqn: (a ^{m} ) ^{n} =a ^{mn}]

⑶ [eqn: (ab) ^{n} =a ^{n} b ^{n}]

⑷ [eqn: ( {a} over {b} ) ^{n} = {a ^{n}} over {b ^{n}}](단, [eqn: b != 0])

⑸ [eqn: a ^{m} ÷a ^{n} =a ^{m-n}]

ex) [eqn: (x ^{3} -2x ^{2} +3x-4)(3x ^{4} +2x ^{3} -x ^{2} -6x-8)]을 전개한 식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수를 구하여라.

Theme #3. 곱셈공식

Thm 3.1) 곱셈공식(다항식의 곱셈에서의 소요되는 시간을 줄일 수 있음) - 증명 후 암기 할 것!!!

⑴ [eqn: (a±b) ^{2} =a ^{2} ±2ab+b ^{2}]

⑵ [eqn: (a+b)(a-b)=a ^{2} -b ^{2}]

⑶ [eqn: (a+b) ^{3} =a ^{3} +3a ^{2} b+3ab ^{2} +b ^{3}]

⑷ [eqn: (a-b) ^{3} =a ^{3} -3a ^{2} b+3ab ^{2} -b ^{3}]

⑸ [eqn: (a+b)(a ^{2} -ab+b ^{2} )=a ^{3} +b ^{3}]

⑹ [eqn: (a-b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )=a ^{3} -b ^{3}]

⑺ [eqn: (a+b+c) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2(ab+bc+ca)]

⑻ [eqn: (a+b+c)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)=a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc]

⑼ [eqn: (a ^{2} +ab+b ^{2} )(a ^{2} -ab+b ^{2} )=a ^{4} +a ^{2} b ^{2} +b ^{4}]

Thm 3.2) 곱셈공식의 변형(공식을 암기하고 있으면 좋다. 그러나 곱셈공식의 변형을 이용하는 문제를 다룰 때, 문제에서 주어진 조건과 찾으려는 목표를 확인하고 조건과 목표를 연결시킬 수 있는 곱셈공식을 떠올리는 것도 좋은 방법이다.)

⑴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab=(a-b) ^{2} +2ab]

⑵ [eqn: (a-b) ^{2} =(a+b) ^{2} -4ab]

⑶ [eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)]

⑷ [eqn: a ^{3} -b ^{3} =(a-b) ^{3} +3ab(a-b)]

⑸ [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)]

ex) [eqn: (a-3)(a+3)(a ^{2} +9)(a ^{4} +81)]

ex) [eqn: (x+2) ^{2} (x ^{2} -2x+4) ^{2}]

ex) [eqn: (xy+x-y)(xy-x+y)]

ex) [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]

ex) [eqn: a ^{2} -b ^{2} =1]일때, [eqn: LEFT { (a+b) ^{n} +(a-b) ^{n} RIGHT } ^{2} - LEFT { (a+b) ^{n} -(a-b) ^{n} RIGHT } ^{2}]의 값은?

ex) [eqn: a-b+c=4,```ab+bc-ca=-2]일때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은?

ex) 세 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: a-b=2+ sqrt {3} ,```b-c=2- sqrt {3}]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca]의 값은?

ex) 모든 모서리의 길이의 합이 88이고 대각선의 길이가 14인 직육면체의 겉넓이는?

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x-1=0]일 때, [eqn: x ^{3} - {1} over {x ^{3}}]의 값은?

ex) 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} + {4} over {x ^{2}} =4]일 때, [eqn: x ^{3} + {8} over {x ^{3}}]의 값은?

ex) [eqn: a+b=ab], [eqn: b+c=2bc,```c+a=5ca] 일때, [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} + {1} over {c}]의 값은?

ex) 삼각형 [eqn: ABC]의 세 변의 길이 [eqn: a,``b,``c]사이에 [eqn: (c-a-b)(a-b+c)=(a-b-c)(a+b+c)]인 관계가 성립할 때,

이 삼각형은 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형        ② [eqn: b=c]인 이등변삼각형      ③ [eqn: a]를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형

④ [eqn: b]를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형        ⑤ [eqn: c]를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형

ex) [eqn: (3+1)(3 ^{2} +1)(3 ^{4} +1)]을 간단히 하면?

ex) [eqn: x+ {1} over {x} =-1]일 때, 양의 정수 [eqn: n]에 대햐여 [eqn: P(n)]을 [eqn: P(n)=(x ^{2} +x) ^{n} +(x ^{2} +1) ^{n} +(x+1) ^{n}]으로 정의하자.

이 때, [eqn: P(1)+P(2)+P(3)+ BULLET BULLET BULLET BULLET +P(2013)]의 값은?

ex) 세 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: a+b+c= sqrt {3} ,````a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =1]일 때, [eqn: abc]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: (x ^{2} +x+1) ^{3}]의 전개식에서 [eqn: x ^{5}]의 계수를 [eqn: a], [eqn: x ^{2}]의 계수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: ab]의 값은?

ex)  [eqn: x+y=2], [eqn: x^2 +y^2 =6```]을 만족하는 두 실수 [eqn: x,``y```]에 대하여  [eqn: x^7 +y^7```]의 값은?

ex)  두 다항식 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: left<A,`B right>`]를

[eqn: LEFT < A,`B RIGHT > = A ^{2} +AB+B ^{2}]

으로 정의할 때, 다항식 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT > `]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는?

ex) 세 실수 [eqn: x,``y,``z]에 대하여 [eqn: ≪ x,``y,``z≫ = xy + yz +zx]라고 정의하자.
[eqn: ≪x,``x,``x≫ + ≪y,``y,``y≫+≪z,``z,``z≫ = 90]이고,
[eqn: ≪x,``1,``1≫ + ≪y,``1,``1≫+≪z,``1,``1≫ = 19]일 때,
[eqn: ≪ x,``y,``z≫]의 값을 구하시오.

Theme #4. 항등식의 정의

Note) 항등식의 개념은 이전에 학습한 많은 부분에서 이미 활용되었고 이 후의 학습에도 끊임없이 활용되는 개념이다 (모든 경우에 대하여 항상 성립하는 등식이 항등식이므로 다양한 수학적 개념에 명제적 요소가 첨가되는 형태). 항등식의 개념은 수능에 빈번하게 출제되므로 그 개념을 분명히 학습할 필요가 있고 그 개념은 Text의 형태로 주어지지 않는다.(항등식의 의미는 미정계수법에 의해 가려져있음.)

Def 4.1) 항등식의 정의

임의의 값을 대입하더라도 항상 성립하는 등식을 항등식이라 한다.

※ 항등식의 정의로 비추어 볼때, 항등식 개념이 포함되어 있는 문제에는 보통 “임의의 [eqn: x]에 대하여” = “모든 [eqn: x]에      대하여” = “[eqn: x]의 값에 관계없이” 등의 표현이 따라온다.

※ 항등식의 정의에 대한 이해정도가 항등식과 관련된 문제의 90%이상을 차지한다고 해도 과언이 아님.

★ 항등식의 정의에 대한 올바른 이해(생각의 흐름을 반드시 기억할 것)

step #1.

임의의 [eqn: x]에 대하여 항상 성립해야 함을 check

임의의 [eqn: x]에 대하여 항상 성립하지 않음 check

임의의 [eqn: x]에 대하여 어떠한 부등식이 만족되거나 만족되지 않음을 check

step #2.

고려해야 하는 임의의 [eqn: x]가 처리 가능한 유한개라면 굳이 항등식의 개념을 활용할 필요는 없다.

그러나 [eqn: x]가 처리 불가능한 수준의 유한개이거나 무한개의 경우 임의의 [eqn: x]에 대한 생각은 단연코 불가능하다.

step #3.

따라서 불가능한 작업을 계속하는 것은 어리석은 짓이고 [eqn: x]에 대한 고려가 불가능하다면 그 생각을 하지 않을 수 있는 방법을 찾는 것이 너무나 자연스럽다.

step #4. (방법)

모든 경우를 고려해야하는 문자가 포함되어 있는 항과 포함되어 있지 않은 항의 곱으로 표현하여 포함되어있지 않은 항을 0으로 보내는 방법을 택한다. 그러면 더 이상 그 문자에 대한 모든 경우를 생각할 필요가 없어진다.

ex) 일차함수 [eqn: ax _{} +y-a+7=0]이 항상 지나는 점의 좌표를 구하시오.

ex) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(k+1)x+(k+2)a+b+1=0]이 임의의 [eqn: k]에 대하여 항상 1을 근으로 가질 때, 상수

[eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

ex) 모든 실수 [eqn: x]애 대하여 [eqn: a ^{2} x-3a>4x-4]가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

Theme #5. 미정계수법

Thm 5.1) 항등식의 성질

① [eqn: ax+b=0] : [eqn: x]에 대한 항등식 [eqn: LRARROW] [eqn: a=b=0]

② [eqn: ax+b=cx+d] : [eqn: x]에 대한 항등식 [eqn: LRARROW] [eqn: a=c,```b=d]

Pf) 항등식의 정의 이용

Thm 5.2) 미정계수법 (선택의 문제)

① 수치대입법 : 항등식의 정의가 임의의 값을 대입하더라도 항상 성립하는 식이므로 몇 개의 값을 대입하여

얻은 식을 연립하여 미정계수를 구하는 방법은 의미가 있음.

② 계수비교법 : by Thm 5.1

ex) [eqn: {1} over {(x-1)(x-2)(x-3)} = {a} over {x-1} + {b} over {x-2} + {c} over {x-3}]이 항등식 일때, [eqn: a,```b,```c]의 값을 구하시오

ex) 등식 [eqn: (k ^{2} -3k-2)x+3ky+z=2k ^{2} -3]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: x,```y,```z]의 곱 [eqn: xyz]의 값을 구하여라.

ex) 등식 [eqn: (p+1)x+(q-3r)y=(r-4)(x-1)]이 모든 [eqn: x,```y]에 대해 성립하도록 하는 [eqn: p,```q,```r]의 값을 구하여라.

ex) 다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 등식 [eqn: (x-1)(x ^{3} -2)f(x)=x ^{6} -(a+b)x ^{3} +ab]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립한다.

이 때, 실수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a ^{3} +b ^{3}]의 값은?

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: x ^{2010} +1=a _{0} +a _{1} (x+3)+a _{2} (x+3) ^{2} + BULLET BULLET BULLET +a _{2010} (x+3) ^{2010}]이 성립할 때,

[eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} + BULLET BULLET BULLET +a _{2010}]의 값은?

ex) [eqn: x,```y]의 값에 관계없이 [eqn: {ax+by-12} over {2x-y+4}]의 값이 항상 일정할 때, 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a+2b]의 값은?

ex) 다항식 [eqn: f it `(x)`=x ^{3} +9x ^{2} +4x-45`]에 대하여 등식 [eqn: f`(x+a)=x ^{3} +bx-3]이 [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

ex) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: x ^{2009} =a _{0} +a _{1} (x+1)+a _{2} (x+1) ^{2} + CDOTS +a _{2009} (x+1) ^{2009}] 이 성립할 때, [eqn: a _{0} +a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{2008}]의 값은?

ex)  삼차다항식 [eqn: f`(x)`=x ^{3}+px ^{2} +qx+r`]가 있다. [eqn: 0`]이 아닌 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` LEFT ( x-2+ {1} over {x} RIGHT ) =x ^{3} -2+ {1} over {x ^{3}} `]이 성립할 때, [eqn: p`q`+`r`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q,~r`]는 상수이다.)

Theme #6. 다항식의 나눗셈

Note) 다항식의 나눗셈은 고등과정에서 처음으로 등장하는 내용이고 이 개념은 인수분해, 나머지정리, 조립제법, 인수정리 등을 이해하는데 기본이 되는 내용이므로 그만큼 출제빈도가 높은 영역이다.

Thm 6.1) 다항식의 나눗셈 정리(Division Algorithm)

다항식 [eqn: f(x)]를 다항식 [eqn: g(x)(g(x) != 0)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라 하면

[eqn: f(x)=g(x)Q(x)+R(x)] (단, ([eqn: R(x)]의 차수) < ([eqn: g(x)]의 차수) )

Pf) 정수의 나눗셈과의 비교

ex) 다항식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} +3x ^{2} +x+5]를 다항식 [eqn: x ^{2} -2x+4]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때,

[eqn: Q(3)+R(4)]의 값은?

ex) [eqn: (2x ^{3} +3x ^{2} -2x+3)÷(x-3)]의 몫과 나머지를 구하여라.

Thm 6.2) 조립제법 (이후 고차다항식의 인수분해 시 인수정리와 결합하여 빠른 인수분해를 가능케 함)

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x]에 대한 일차식으로 나눌 때, 나눗셈을 직접하지 않고 계수만을 사용하여 몫과 나머지를 구하는 방법 (빠른 계산에 효과적) : 일차식으로 나누는 경우에만 사용할 수 있음!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Q) 다항식에서의 일차식이란?

A) 어떤 다항식이 인수분해가 되는 경우 가장 세분화 될 때가 일차식들의 곱으로 나타날 때이다.

즉, 일차식은 정수에서의 소수의 역할을 하는 아주 특별한 의미를 갖는다.

ex) [eqn: (2x ^{3} +3x ^{2} -2x+3)÷(x-3)]

※ 어떤 다항식을 나누는 일차식이 [eqn: (x-a)]의 꼴이 아닌 [eqn: (ax-b)]의 형태일 때, 조립제법을 사용하는 경우 약간의  주의가 필요하다.

ex) [eqn: (2x ^{3} +3x ^{2} -2x+3)÷(x-3)]                vs              [eqn: (2x ^{3} +3x ^{2} -2x+3)÷(2x-6)]

Thm 6.3)

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x- {b} over {a} )]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라 할때, [eqn: f(x)]를 [eqn: (ax-b)]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: {1} over {a} Q(x)]이고 나머지는 [eqn: R]이다.

Pf)

ex) 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q(x)], 나머지는 [eqn: R]이다. 이 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: 2x-10]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 차례로 구하시오.

Review) 지금까지 다항식의 나눗셈에 대한 개념을 살펴보았다. 이를 정리하면 다음과 같다.

다항식의 나눗셈의 Goal : 몫과 나머지

M1) 직접 나누기

M2) 조립제법

이제 이 나눗셈의 개념을 인수분해로 연결해야 하고 인수분해는 몇 개의 다항식의 곱으로만 나타내어져야 하므로

나머지가 0인 경우로 한정된다. 따라서 이제부터 우리의 관심은 자연히 나머지에 맞춰져야 하고 다음 단원에서 나눗셈에서의 나머지를 연구해보자. (나머지정리)

ex) [eqn: x ^{3} +x ^{2} +x+1=(x+1) ^{3} +a(x+1) ^{2} +b(x+1) ^{} +c] 을 만족하는 상수 [eqn: a,```b,```c]를 결정하시오.

ex) 상수가 아닌 두 다항식 [eqn: f(x),````g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라 할때, 보기에서 항상 옳은 것만을 모두 고른것은? (단, [eqn: f(x)]의 차수는 [eqn: g(x)]보다 작지 않다.)

ㄱ. [eqn: f(x)-R(x)]는 [eqn: g(x)]로 나누어 떨어진다.

ㄴ. [eqn: f(x)+g(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: R(x)]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)]를 [eqn: Q(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: R(x)]이다.

① ㄴ       ② ㄱ, ㄴ       ③ ㄴ, ㄷ       ④ ㄱ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ex) 삼차다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]는 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나누어 떨어지고, [eqn: f(x)+12]는 [eqn: x ^{2} +2]로 나누어 떨어진다.

[eqn: f(0)=4]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

ex) [eqn: (x-1)(x ^{99} +x ^{98} +x ^{97} + BULLET BULLET BULLET +x+1)]의 결과를 추론해보고 이를 조립제법을 사용하여 확인하시오.

Theme #7. 나머지정리

Note) 이제부터 우리의 목표는 인수분해가 되고 인수분해는 전 단원에서 학습한 다항식의 나눗셈의 도움을 받을 수 있다. 따라서 이제부터 소개되는 각각의 개념 자체를 이해하는 것은 물론이고 이 관계성을 바탕으로 하나의 식을 다양한 방법으로 해석할 수 있는 연습을 충분히 해야 한다.

Thm 7.1) 나머지 정리(Remainder theorem) - 몫에는 관심을 두지 않고 나머지만 빠르게 찾는 원리.

① 다항식 [eqn: f(x)]를 일차식 [eqn: x-a]로 나눌 때의 나머지를 [eqn: R _{1}]이라 하면 [eqn: R _{1} =f(a)]이다.

② 다항식 [eqn: f(x)]를 일차식 [eqn: ax-b]로 나눌 때의 나머지를 [eqn: R _{2}]라 하면 [eqn: R _{2} =f( {b} over {a} )]이다.

Pf) Use 다항식의 나눗셈 정리 & 항등식

※ 나머지 정리는 굳이 일차식으로 나누는 경우에만 성립하는 성질은 아니다.

정리에 소개되어 있는 기본내용을 이차이상의 다항식으로 나누는 경우에도 적용시킬 수 있다.

결국 나누는 식의 차수에 의해 결정되는 나머지의 차수에 관한 문제가 되므로 나눗셈 정리를 이용하여 검산식을

setting 하는 것이 핵심!!

※ 나머지 정리와 관련되어 있는 문제는 결국 나눗셈정리를 이용한 검산식 setting 이후에 항등식의                   정의(수치대입법)를 적용하는 것이 관건이 되고 이 때, setting한 나머지의 미정계수의 개수에 따라 투입해야        하는 수의 개수가 나타난다.(normal한 형태)

따라서 이 Part에서 가장 곤란을 겪을 수 있는 상황은 미지수의 개수보다 식의 개수가 부족할 때이고 이 부분에     대한 학습이 충분히 이루어 져야 한다.

ex) (normal한 형태) - 나누는 식이 1차식인 경우

다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]를 [eqn: x-1]로 나누면 나머지가 10이고, [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 2, [eqn: x+2]로 나누면 나머지가    -2이다. 이때, [eqn: x-2]로 나눈 나머지를 구하여라.

ex) (나누는 식이 2차식인 경우 #1)

다항식 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 각각 2, 3이고, [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지는 각각

1과 -2이다. 이때, [eqn: f(x)g(x)]를 [eqn: x ^{2} -2x-3]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

ex) (나누는 식이 2차식이 경우 #2)

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} -4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x+3]일 때, [eqn: xf(x+1)]을 [eqn: x ^{2} +2x-3]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

Note) 나머지정리를 공부하면서 느낄 수 있는 아~~~~~주 짜증나는 상황!!

#1 : 나누는 식이 완전제곱식의 형태로 대입할 수 있는 수가 1개밖에 없는 경우

ex) [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +x+b]가 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나누어 떨어질 때, [eqn: a-b]의 값은?

solution #1)

solution #2)

#2 : 나누는 식이 인수분해가 되지 않아 대입할 수가 없는 경우

ex) 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} +1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x+2]이고, [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 3이다. 이 다항식

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x ^{2} +1)(x+1)]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

solution)

ex) 다항식 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +3x]를 [eqn: x ^{2} +1]로 나눈 나머지는?

solution)

ex) [eqn: 2x ^{10} +x ^{8} +x ^{5} +3x+2]을 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: ax+b]이다. 이 때, [eqn: a+b]의 값은?

solution)

ex) [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x+2]이고, [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 3이다. 이 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{2} (x-2)]로 나누었을 때의 나머지는?

ex) 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 4, [eqn: x ^{2} +x+1]로 나눈 나머지가 [eqn: 2x+1]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x ^{2} +x+1)]로 나눌 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(2)]의 값을 구하여라.

ex) 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫을 [eqn: g(x)]라 하고, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 한다.

[eqn: f(1)=3,````g(1)=-2] 일 때, [eqn: R(-1)]의 값을 구하여라.

ex) [eqn: P(x)= {1} over {2} (x-1)]일 때, [eqn: LEFT { P(x) RIGHT } ^{1000}]을 [eqn: P(x ^{2} )]으로 나누었을 때의 나머지는?

ex) [eqn: x+1]로 나누면 -1이 남고, [eqn: x ^{2} +1]로 나누면 1이 남는 다항식 중에서 차수가 가장 낮은 것을 [eqn: f(x)]라 할 때,

[eqn: f(1)]의 값을 구하여라.

ex) 다항식 [eqn: x ^{24}]을 [eqn: x-2]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-4]로 나눈 나머지를 구하시오.

ex) [eqn: 2009 ^{10} +1]를 2008, 2010으로 나눈 나머지를 각각 [eqn: a,````b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

Theme #8. 인수정리

Thm 8.1) 인수정리(Factor theorem) - 나머지 정리의 특수한 Case!! ([eqn: R=0])

다항식 [eqn: f(x)]가 일차식 [eqn: x-a]로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은 [eqn: f(a)=0]이다.

즉, [eqn: f(a)=0``` LRARROW ```f(x)`가`x-a로`나누어`떨어진다.# ```````````````# ``````````````````````````````` LRARROW `f(x)=(x-a)Q(x)# # ``````````````````````````````` LRARROW `f(x)는``(x-a)를`인수로`갖는다.]

Pf)

✔ 결국 어떤 고차다항식의 인수분해에 인수정리는 결정적인 단서를 제공한다. 그런데 이때, 인수정리를 활용하기 위해서는 주어진 다항식 [eqn: f(x)]를 0으로 만들어주는 [eqn: x]를 찾아야 하는것이 관건이 되고 이는 대학과정에 소개되는 내용을 바탕으로 한다.

Thm 8.2) 다항식의 유리수 해 정리(거의 쓸일은 없음 : 실제로 -1, 0, 1에서 거의 해결되고 [eqn: ±2,````± {1} over {2}]정도임)

최고차항의 계수가 [eqn: A], 상수항이 [eqn: B]인 정수 계수의 다항식 [eqn: f(x)]에서 [eqn: f(a)=0]를 만족하는 [eqn: a]는 집합

[eqn: LEFT { x``□``x=± {B의`약수} over {A의`약수} RIGHT }]의 원소이다.

ex) 다항식 [eqn: f(x)-2]가 [eqn: x ^{2} -5x+6]으로 나누어 떨어질 때, [eqn: f(x+2)]를 [eqn: x ^{2} -x]로 나눈 나머지는?

ex) 4차의 다항식 [eqn: f(x)~]가 [eqn: f(0)=0,````f(1)= {1} over {2} ,```f(2)= {2} over {3} ,```f(3)= {3} over {4} ,```f(4)= {4} over {5}]를 만족할 때, [eqn: f(5)]의 값은?

ex) 다항식 [eqn: x ^{n} (x ^{2} +ax+b)]를 [eqn: (x-3) ^{n}]으로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 3 ^{n} (x-3)]이 되도록 실수 [eqn: a,```b]의 값을 정하라.

ex) 10차 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1,```x-2,```` BULLET BULLET BULLET ,``x-10]으로 나눈 나머지가 차례로 [eqn: 1,```2,``` BULLET BULLET BULLET ,```10]이고 [eqn: f(0)=1]이라 한다. 이 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-11]로 나눈 나머지를 구하여라.

ex) 최고차항의 계수가 2인 [eqn: x]에 대한 이차다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(1)=P(2)=0]이 성립할 때, [eqn: P(3)]의 값은?

ex) 최고차항의 계수가 1인 [eqn: x]에 대한 삼차다항식 [eqn: P(x)]가 서로 다른 세 자연수 [eqn: a,```b,```c]에 대하여 [eqn: P(a)=P(b)=P(c)=0], [eqn: P(0)=-6]을 만족할 때, 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-6]으로 나눈 나머지는?

Theme #9. 인수분해

Thm 9.1) 인수분해 공식 (곱셈공식의 역과정) - 실제로 인수분해의 기본은 공통부분을 찾아 묶어내기!!!!

⑴ [eqn: a ^{2} ±2ab+b ^{2} =(a±b) ^{2}]

⑵ [eqn: a ^{2} -b ^{2} =(a+b)(a-b)]

⑶ [eqn: a ^{3} +3a ^{2} b+3ab ^{2} +b ^{3} =(a+b) ^{3}]

⑷ [eqn: a ^{3} -3a ^{2} b+3ab ^{2} -b ^{3} =(a-b) ^{3}]

⑸ [eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b)(a ^{2} -ab+b ^{2} )]

⑹ [eqn: a ^{3} -b ^{3} =(a-b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )]

⑺ [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2(ab+bc+ca)=(a+b+c) ^{2}]

⑻ [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc=(a+b+c)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)]

⑼ [eqn: a ^{4} +a ^{2} b ^{2} +b ^{4} =(a ^{2} +ab+b ^{2} )(a ^{2} -ab+b ^{2} )]

Note) 인수분해와 곱셍공식에 의한 전개는 반대의 성격이 강하다. 그러나 곱셈공식을 이용하여 다항식을 전개하는 경우에 비해 인수분해는 그 난이도가 높다. (곱셈공식의 경우 아이디어가 떠오르지 않으면 직접 전개가 가능할 수 있으나 인수분해의 경우 아이디어 없이 노가다가 불가능!!!

Note) 인수분해의 기본 Algorithm

#1. 공통인수 파악이후 묶어내기

#2. 인수분해 공식 이용

#3. 인수정리 이용 (한 문자에 관한 고차식인 경우)

ex) [eqn: x ^{2} -y ^{2} -x+y]

ex) [eqn: x ^{2} +4y ^{2} +9z ^{2} +4xy-12yz-6xz]

ex) [eqn: x ^{4} -x ^{2} -2]을 유리수, 실수, 복소수 범위에서 인수분해 하시오.(인수분해의 유일성)

Note) 복잡한 다항식의 인수분해

#1. 반복되는 부분식을 한 문자로 치환하여 해결

#2. 여러문자가 섞여 있는 경우 한문자에 대해 내림차순 정리후 해결

ex) [eqn: (x ^{2} -x) ^{2} -3x ^{2} +3x-18]

ex) [eqn: x ^{4} +x ^{2} +1]

ex) [eqn: 16x ^{4} +36x ^{2} y ^{2} +81y ^{4}] (복이차식)

ex) [eqn: (x-1)(x-3)(x+4)(x+2)+24]

ex) [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+k]가 [eqn: x]에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되기 위한 상수 [eqn: k]의 값은?

ex) [eqn: (x ^{2} +6x _{} +8)(x ^{2} -18x+72)+15x ^{2}]

ex) [eqn: a ^{2} (b-c)+b ^{2} (c-a)+c ^{2} (a-b)]

ex) [eqn: {2009 ^{3} -1} over {2009 TIMES 2010+1}]

ex) [eqn: {31 ^{4} +31 ^{2} +1} over {31 ^{2} +31+1}]

ex) [eqn: sqrt {100 TIMES 101 TIMES 102 TIMES 103+1}]

ex) 세변의 길이가 [eqn: a,``b,``c]인 삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: ab-bc+b ^{2} -ac=0]가 성립할 때, 삼각형 [eqn: ABC]는 어떤 삼각형인가?

ex) [eqn: 2 ^{16} -1]은 1과 10사이의 어떤 두 수로 나누어 떨어진다. 이 때, 이 두 수의 합은?

ex) [eqn: x ^{4} -3x ^{3} +3x ^{2} +x-6]

ex) [eqn: 3x ^{4} +x ^{3} -6x ^{2} +6x-4]

Level up!!

1. 자연수 [eqn: N] 이 다음과 같이 [eqn: N= {10 ^{9} -1} over {10 ^{3} -1}]로 나타내어질 때, [eqn: N]은 몇자리의 수인가?

2. 100개의 다항식 [eqn: x ^{2} -x-1,```x ^{2} -x-2,``x ^{2} -x-3,``` BULLET BULLET BULLET ,```x ^{2} -x-100] 중에서 자연수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: (x+a)(x-b)]의 꼴로 인수분해 되는 것의 개수는?

3. [eqn: LEFT [ a,``b,``c RIGHT ] =a ^{3} (b-c)]라 할 때, [eqn: LEFT [ a,``b,``c RIGHT ] - LEFT [ b,``a,``c RIGHT ] + LEFT [ c,``a,``b RIGHT ]]의 값을 구하시오.

4. 서로 다른 세 실수 [eqn: a,``b,``c]가 다음 식 [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc=0]를 만족할 때, [eqn: {2ab+2bc+2ca} over {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}}]의 값을 구하시오.

5. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(3+x)=f(3-x)]를 만족하는 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을 때의 나머지가 4이다.

이 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-5)]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

6. [eqn: x ^{7} -1]을 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(0)]의 값을 구하여라.

7. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x`^2 `-`8x `+`12`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2x+1`]이고, [eqn: (x ` ^{2} +1)``f(x+3)`]을 [eqn: x `^{2} `-`2x`-`3`]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: R`(`x`)`]일 때, [eqn: R`(`1`)`]의 값을 구하시오.

8.  자연수 [eqn: n ^{4} +n ^{2} -2 `]가 [eqn: left(n-1 right) left(n-2 right) `]의 배수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최댓값을 구하시오.

9. 다항식 [eqn: P`(`x`)= {1} over {2} `(`x-1)`]에 대하여 다항식 [eqn: LEFT { `P`(`x`) RIGHT } ^{2008`} `]을 [eqn: P`(`x` ^{2} `)`]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R`(`x`)`]라고 할 때, [eqn: R`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

10. 다항식 [eqn: f`(x)=x^3 -px^2 +17x-10]에 대하여 [eqn: f`(a)=f`(b)=f`(c)=0]이라고 하자. 이 때, 다항식 [eqn: f`(x)]를 [eqn: x-p]로 나눈 나머지를 구하시오.(단, [eqn: a,~b,~c]는 자연수)

11. [eqn: 2x-y=1]을 만족하는 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 등식 [eqn: ax^2`+by^2`+2x+3y+c=0]이 항상 성립하도록 실수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정할 때, [eqn: a^2`+b^2`+c^2]의 값을 구하시오.

12. 두 집합 [eqn: A = left { x vert x^3 + ax^2 +bx +c =0 right }}],
[eqn: B= left {x vert x^2 + x- 2 = 0 right }]에 대하여 [eqn: A = B]가 성립한다.
다항식 [eqn: x^3 + ax^2 + bx + c]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(100)]의 값을 구하시오.   (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이고, [eqn: c>0]이다.)