1학년 논술 문제 모음

1. <사고력 평가, 수학적 귀납법, 점화식>

<2012 이화여대 모의> 논제 1번 [15점]

어떤 공장에서 생산된 생산품 A의 불량품의 개수를 매년 조사한 결과, 그 해 발생한 불량품의 개수는 이전 두 해에 각각 발생한 개수들의 평균과 일치함을 알 수 있었다. 조사를 실시한 첫 번째 해에 발생한 불량품의 개수가 1,000이고 두 번째 해에 발생한 불량품의 개수가 1,500이라고 할 때, [eqn: n]번째 해에 발생한 불량품의 개수를 결정하시오. (단, [eqn: n]은 2보다 큰 자연수이다.)

<2012 이화여대 모의> 논제 1번

[eqn: n]번째 해에 발생하는 불량품의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하면 주어진 조건에서 수열 [eqn: a _{n}]은 [eqn: a _{n} = {1} over {2} (a _{n-1} +a _{n-2} )]를 만족한다. 점화식 [eqn: a _{n} = {1} over {2} (a _{n-1} +a _{n-2} )]을 변형하면

[eqn: 2a _{n} =a _{n-1} +a _{n-2} =2a _{n-1} +a _{n-2} -a _{n-1}]

에서

[eqn: 2a _{n} +a _{n-1} =2a _{n-1} +a _{n-2} =2a _{2} +a _{1} =4000]

을 얻을 수 있다. 그런데 [eqn: a _{n} =- {1} over {2} a _{n-1} +2000]로 바꿀 수 있으므로, 이 점화식을 [eqn: a _{n} - alpha =p(a _{n-1} -alpha)]의 형태로 변형시키면 [eqn: a _{n} - {4000} over {3} = LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( a _{n-1} - {4000} over {3} RIGHT )]가 된다. 새로 얻은 수열 [eqn: b _{n} =a _{n} - {4000} over {3}]은 첫째항이 [eqn: - {4000} over {3}]이고 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이므로 그 일반항은 [eqn: b _{n} =- {1000} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} = {2000} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n}]으로 주어진다.

따라서, [eqn: a _{n} = {2000} over {3} LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} + {4000} over {3}]을 찾을 수 있다.

1. <사고력 평가, 수학적 귀납법, 점화식>

2. <사고력 평가, 함수>

3. <수리논술, 함수>

4. <기하>   (논제 1-3은 제2코사인법칙 이용, 1,2는 고1 지식으로 해결가능)

5. <사고력평가, 연립방정식>

6. <사고력평가, 점화식, 수열의 합>

7. <수리논술, 일차함수>

8. <수리논술, 분석>

9. 정다면체 문제

10. <수리논술, 부정방정식>

11. <수리논술, 프렉탈>

12. <수리논술, 비둘기집의 원리>

13. <수리논술, 정다면체, 복소수>

14. <수리논술, 황금비>

15. <수리논술, 피사의 사탑>

16. <수리논술, 무게중심, 지렛대의 원리>

17. <수리논술, 왜 지구는 둥근가? 효율적 배치>

18. <수리논술, 몬티홀 문제>

19. <수리논술, 지수의 확장>

2. <사고력 평가, 함수>

<2013 이화여대> 논제 2번

정의역과 공역이 모두 양의 실수인 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: ` {p} over {r} = {s} over {q}]를 충족하는 모든 양수 [eqn: p,`q,`r,`s]에 대하여, [eqn: {(f(p)) ^{2} +(f(q)) ^{2}} over {f(r ^{2} )+f(s ^{2} )} = {2(p ^{2} +q ^{2} )} over {r ^{2} +s ^{2}}]

를 만족한다.

이러한 조건을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]와 함숫값이 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 모두 구하시오.

<2013 이화여대 기출> 논제 2번

[eqn: p=q=r=s=1]이라 하면 [eqn: {(f(1)) ^{2} +(f(1)) ^{2}} over {f(1 ^{2} )+f(1 ^{2} )} = {2(1 ^{2} +1 ^{2} )} over {1 ^{2} +1 ^{1}}]에서 [eqn: (f(1)) ^{2} =2f(1)]이 성립하고,

[eqn: f(1) != 0] (조건에서 공역이 양의 실수)이므로 [eqn: f(1)=2]이다.

이제 함수 [eqn: f(x)]를 구하기 위해 [eqn: p=x`,`q=1`,`r=s=` sqrt {x}]를 대입하자.

[eqn: {(f(x)) ^{2} +(f(1)) ^{2}} over {f(x)+f(x)} = {2(x ^{2} +1)} over {x+x}]에서 [eqn: {(f(x)) ^{2} +4} over {2f(x)} = {x ^{2} +1} over {x}]이고

[eqn: x(f(x)) ^{2} -2(x ^{2} +1)f(x)+4x=0] 이므로 [eqn: LEFT { xf(x)-2 RIGHT } LEFT { f(x)-2x RIGHT } =0] 따라서 모든 [eqn: x>0]에

대해서 [eqn: f(x)=2x`] 또는 [eqn: f(x)= {2} over {x}]이다.

함수 [eqn: f(x)=2x] 또는 [eqn: f(x)= {2} over {x}]이 주어진 조건식을 만족하는지 확인해보자.

(ⅰ) [eqn: f(x)=2x]를 주어진 조건식에 대입하면

[eqn: {(f(p)) ^{2} +(f(q)) ^{2}} over {f(r ^{2} )+f(s ^{2} )} = {(2p) ^{2} +(2q) ^{2}} over {2r ^{2} +2s ^{2}} = {2(p ^{2} +q ^{2} )} over {r ^{2} +s ^{2}}] 이므로 [eqn: f(x)=2x]는 주어진 조건식을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: f(x)= {2} over {x}]를 주어진 조건식에 대입하면

[eqn: {(f(p)) ^{2} +(f(q)) ^{2}} over {f(r ^{2} )+f(s ^{2} )} = {( {2} over {p} ) ^{2} +( {2} over {q} ) ^{2}} over {{2} over {r ^{2}} + {2} over {s ^{2}}} = {{4(q ^{2} +p ^{2} )} over {p ^{2} q ^{2}}} over {{2(s ^{2} +r ^{2} )} over {r ^{2} s ^{2}}} = {2(p ^{2} +q ^{2} )} over {r ^{2} +s ^{2}}] ([eqn: BECAUSE pq`=`rs])이므로 [eqn: f(x)= {2} over {x}]는 주어진 조건식을 만족한다.

따라서 [eqn: f(x)=2x] 또는 [eqn: f(x)= {2} over {x}]이므로 [eqn: f(2)=1] 또는 [eqn: f(2)`=`4]이다.

3. <수리논술, 함수>

제시문을 읽고 논제에 답하시오.

[해답 1-1]

(1) 점 [eqn: (x,y)]가 [eqn: S]의 임의의 점이면 등식

[eqn: y=f(x)] … ①

가 성립한다. 점 [eqn: (p,q)]에 대한 [eqn: (x,y)]의 대칭점을 [eqn: (s,t)]라 하면, [eqn: s=2p-x,```t=2q-y]이다. [eqn: S]가 [eqn: (p,q)]에 대해 대칭이면 [eqn: (s,t)]가 [eqn: S]에 속하는 점이 되므로 등식 [eqn: t=f(s)]가 성립한다. 따라서,

[eqn: 2q-y=f(2p-x)] … ②

가 성립하고, ①과 ②로부터 [eqn: 2q-f(x)=f(2p-x)]가 성립한다.

(2) [eqn: S]의 임의의 점을 [eqn: (x,y)]라 하고, [eqn: ELL]에 대한 대칭점을 [eqn: (s,t)]라 하면,

[eqn: cases{{t+y} over {2} =m CDOT {s+x} over {2} +k&#{t-y} over {s-x} =- {1} over {m}&}]

이 성립한다. 이를 [eqn: s]와 [eqn: t]에 대해 풀면,

[eqn: s= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2my-2mk RIGHT ) ,]

[eqn: t= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) y+2k RIGHT )]

이다. [eqn: (x,y)]와 [eqn: (s,t)]가 [eqn: S]에 속하는 점이므로 [eqn: y=f(x)]이고 [eqn: t=f(s)]이다. 따라서 구하는 조건은

[eqn: y=f(x),]

[eqn: {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) y+2k RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2my-2mk RIGHT ) RIGHT )]

또는

[eqn: {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) f(x)+2k RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2mf(x)-2mk RIGHT ) RIGHT )]

이다.

[해답 1-2]

[eqn: f(x)=ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]라 두자. 모든 [eqn: x]에 대해 [eqn: f(2p-x)+f(x)-2q=0]이되는 [eqn: p]와 [eqn: q]가 존재함을 보이면 된다.

[eqn: f(2p-x)+f(x)-2q=(6ap+2b)x ^{2} -(12ap ^{2} +4bp)x+8ap ^{3} +4bp ^{2} +2cp+2d-2q]

이므로

[eqn: 6ap+2b=0,`12ap ^{2} +4bp=0,~8ap ^{3} +4bp ^{2} +2cp+2d-2q=0]

을 동시에 만족하는 [eqn: p]와 [eqn: q]가

[eqn: p=- {b} over {3a} ,~~q= {27a ^{2} d-9abc+2b ^{3}} over {27a ^{2}}]

으로 존재하므로 3차함수의 그래프는 항상 점대칭이다.

[해답 1-3]

(1) [eqn: x]-축 상에 한 점 [eqn: A]를 잡고 [eqn: A]를 지나 [eqn: x]-축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y=x], 직선 [eqn: ELL]과 만나는 점을 각각 [eqn: B], [eqn: C]라 하자.

[eqn: O]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: ELL]

[eqn: y=x]

그러면, 원점을 [eqn: O]라 할 때, [eqn: ANGLE ABO= ANGLE BOC+ ANGLE BCO]이고 [eqn: ANGLE ABO= {pi } over {4}], [eqn: ANGLE BOC= {pi } over {8}]이므로 [eqn: ANGLE BCO= {pi } over {8} = ANGLE BOC]이다. 따라서 [eqn: TRIANGLE OBC]는 이등변 삼각형이고 [eqn: OB=BC]이다. 이제, [eqn: AB=OA], [eqn: OB= sqrt {2} `OA]이므로, 직선 [eqn: ELL]의 기울기 [eqn: m]은

[eqn: m= {AC} over {OA} = {AB+BC} over {OA} = {OA+OB} over {OA} = {OA+ sqrt {2} `OA} over {OA} =1+ sqrt {2}]

이다. 그러므로 [eqn: ELL]의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) x]이다.

(2) [eqn: S]에 속하는 임의의 점을 [eqn: (x,y)]라 하고, 이 점의 [eqn: ELL]에 대한 대칭점을 [eqn: (s,t)]라 하자. 그러면, [eqn: y=f(x)=x+ {1} over {x}]이고, 앞 문제의 풀이에 의해

[eqn: s= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( LEFT ( 1-m ^{2} RIGHT ) x+2my-2mk RIGHT )# `````= {1} over {4+2 sqrt {2}} LEFT ( LEFT ( -2-2 sqrt {2} RIGHT ) x+2 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {sqrt {2} x} ,]

[eqn: t= {1} over {1+m ^{2}} LEFT ( 2mx+ LEFT ( m ^{2} -1 RIGHT ) y+2k RIGHT )# `````= {1} over {4+2 sqrt {2}} LEFT ( 2 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) x+ LEFT ( 2+2 sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) = sqrt {2} x+ {1} over {sqrt {2} x}]

이다. 따라서 [eqn: t=f(s)]가 성립하므로 [eqn: (s,t)]는 [eqn: S]에 속한다. 그러므로 [eqn: S]는 [eqn: ELL]에 대해 대칭이다.

(가) 도형의 대칭성에 대해 알아보자. 평면도형의 대칭성은 점대칭과 선대칭의 두 가지로 나눌 수 있다.

도형 [eqn: S]가 점대칭이라는 것은, 특정한 점 [eqn: P]가 존재하여 이 점 [eqn: P]를 중심으로 도형 [eqn: S]를 180도 회전시키면 회전된 도형이 원래 도형에 겹쳐진다는 것을 뜻한다. 이 때 점 [eqn: P]를 도형 [eqn: S]의 대칭의 중심이라 한다. 도형 [eqn: S]를 둘러싸는 원이 존재할 때 [eqn: S]를 유계도형이라 하는데, 도형 [eqn: S]가 유계도형이고 점대칭이면 대칭의 중심은 유일하다.

평행사변형은 점대칭도형의 한 예이다.  두 대각선의 교점이 평행사변형의 대칭의 중심이다. 싸인함수의 그래프는 점대칭도형의 또 다른 예이다. 싸인함수의 그래프는 유계도형이 아니며, 대칭의 중심도 무수히 많다.

다음으로, 도형 [eqn: S]가 선대칭이라는 것은, 특정한 직선 [eqn: ELL]이 존재하여 도형 [eqn: S]를 직선 [eqn: ELL]을 따라 접으면 도형의 두 부분이 완전하게 포개진다는 것을 뜻한다. 이 때 직선 [eqn: ELL]을 대칭축이라 하며, 대칭축은 여러 개 있을 수 있다.

이등변삼각형은 선대칭도형의 예이다. 등변이 아닌 변의 수직이등분선이 이등변삼각형의 대칭축이다. 정사각형도 선대칭이며, 정사각형의 대칭축은 4개나 된다. 일반적으로 정[eqn: n]각형은 대칭축이 [eqn: n]개인 선대칭도형이다.

(나) 도형 [eqn: S]가 점 [eqn: P]에 대해 점대칭이기 위해서는, 도형 [eqn: S]의 임의의 점 [eqn: A]의 대칭의 중심 [eqn: P]에 대한 대칭점 [eqn: A']이 도형 [eqn: S]에 포함되어 있으면 된다. 이 때 세 점 [eqn: A,`A',`P]는  점 [eqn: P]가 선분 [eqn: AA']의 중점이 된다는 관계를 만족한다.

[그림 1-1]

[eqn: P]

[eqn: A]

[eqn: A']

•

〃

〃

•

•

같은 식으로, 도형 [eqn: S]가 직선 [eqn: ELL]에 대해 선대칭이기 위해서는, 도형 [eqn: S]의 임의의 점 [eqn: A]의 대칭축 [eqn: ELL]에 대한 대칭점 [eqn: A']이 도형 [eqn: S]에 포함되어 있으면 된다. 이 때 두 점 [eqn: A,`A']과 직선 [eqn: ELL]은 직선 [eqn: ELL]이 선분 [eqn: AA']의 수직이등분선이 된다는 관계를 만족한다.

[그림 1-2]

[eqn: ELL]

[eqn: A]

[eqn: A']

•

•

˝

┑

˝

[문제 1-1] 도형 [eqn: S]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프일 때 다음에 답하라.

(1) (5 점) 도형 [eqn: S]가 좌표가 [eqn: (p,q)]인 점 [eqn: P]에 대하여 점대칭일 조건을 함수 [eqn: f]에 관한 식으로 나타내어라.

(2) (15 점) 도형 [eqn: S]가 방정식 [eqn: y=mx+k](단, [eqn: m != 0])로 주어진 직선 [eqn: ELL]에 대하여 대칭일 조건을 함수 [eqn: f]에 관한 식으로 나타내어라.

[문제 1-2] (10 점)  3차함수 [eqn: y=ax ^{3`} +bx ^{2} +cx+d````(a != 0)]의 그래프는 점대칭임을 보여라.

[문제 1-3] 함수 [eqn: f(x)=x+ {1} over {x}]의 그래프를 [eqn: S]라 하자.

(1) (10 점) [eqn: S]의 두 점근선인 직선 [eqn: y=x]와 [eqn: y]-축이 이루는 예각을 2등분하는 직선 [eqn: ELL]의 방정식을 구하라.

(2) (10 점) [eqn: S]가 [eqn: ELL]에 대해 선대칭임을 보여라.

4. <기하>   (논제 1-3은 제2코사인법칙 이용, 1,2는 고1 지식으로 해결가능)

5. <사고력평가, 연립방정식>

[문제 1] 다음 방정식이 실근 [eqn: x,`y]를 갖는 실수 [eqn: z]의 범위를 구하시오.

답안) 주어진 식으로부터 [eqn: x+2y=6-2z], [eqn: xy= 8over z^2] 임을 알 수 있다. 주어진 방정식이 실근 [eqn: x,`y]를 가진다면 [eqn: t ^{2`} -(6-2z)t + 16 over z^2 =0] 은 [eqn: x]와 [eqn: 2y]를 실근으로 가지는 이차방정식이다. 그러므로 실근을 가지기 위한 조건은 [eqn: D= (3-z)^2 - 16 over z^2 ge0] 이고 동치조건으로 [eqn: (3-z)z ge 4] 또는 [eqn: (3-z)z le -4] 를 얻게 된다. 정리하면 [eqn: z^2 -3z+4 le 0] 또는 [eqn: z ^{2} -3z-4 ge 0] 얻는다. [eqn: z^2 -3z+4 le 0] 의 경우는 만족하는 [eqn: z]이 존재하지 않으며 [eqn: z ^{2} -3z-4 ge 0] 경우는 [eqn: (z-4)(z+1)ge 0]으로 인수분해 되므로 [eqn: z ge 4] 또는 [eqn: z le -1]이 된다.

[eqn: {cases{```x+2y+2z=6#``xyz ^{2`} =`8}}]

6. <사고력평가, 점화식, 수열의 합>

[문제 2] 함수 [eqn: f_{n} (x)]가 다음과 같은 점화식으로 정의되어 있다.

[eqn: f _{1} (x)=(x+1) ^{2011} ,````````````f_{n}(x) =(f_{n-1}(x)-2)^{2},````````n ge 2]

수열 [eqn: a_{n}]과 [eqn: b_{n}]을 각각 [eqn: f_{n}(x)]의 상수항과 일차항의 계수라고 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{2011} a_{n}] 과 [eqn: sum_{n=1}^{2011} b_{n}]을 구하시오.

답안) [eqn: a _{1} =1,```b_{1}=2011]이다. [eqn: f_{n-1}(x)=a_{n-1}+b_{n-1}x+...]일 때, [eqn: f _{n} (x)=(a _{n-1} -2+b _{n-1} x+...) ^{2}]이므로,

[eqn: a_{n}=(a_{n-1} -2)^{2}, `````b_{n}=2 (a_{n-1} -2)b_{n-1}] 의 점화식을 만족한다. 그러므로, [eqn: a_{n}=1]이다. 그러므로

[eqn: b_{n}=-2b_{n-1}]이고 [eqn: sum_{n=1}^{2011} a_{n}=2011,]  [eqn: sum_{n=1}^{2011} b_{n}={2011 (1-(-2)^{2011})}over{1+2}={2011(1+2^{2011})}over{3}]

7. <수리논술, 일차함수>

문제 : 최선의 대안을 찾는 의사결정

서로 경쟁하는 회사 A와 회사 B가 있고, 각자 갑지역 또는 을지역 어느 쪽인가에 매일 반드시 한번 제품을 출하한다. 회사 A가 갑지역에 제품을 출하하는 일수의 합계는 전체 출하일수에 대해 𝑥(0≦𝑥≦1)의 비율이고, 또 회사 B가 갑지역에 제품을 출하하는 일수의 비율은 𝑦(0≦𝑦≦1)라고 한다. 이 때 어떤 Consulting회사 C의 조사에 의하면 회사 A, B 각자의 하루의 이익 𝛼, 𝛽는 아래 표와 같다고 한다.

이익 [eqn: alpha]                                        이익 [eqn: beta]

회사 A의 하루 이익의 기대치를 𝑝, 회사 B의 하루 이익의 기대치를 𝑞로 할 때, 다음 물음에 답하라.

전형적인 게임 이론 문제이다. 각 문제들은 예시문의 여러 가지 상황들을 한 가지씩 가정했다고 생각할 수 있으며, 결국 비협조적 게임의 전형인 4번이 가장 중요한 목표가 된다. 물론 서로가 협조적으로 전략을 세워 가는 3번의 경우도 중요하다. 통합 논술에서 가장 많이 출제된 주제가 바로 게임 이론이므로 풀이에 대한 지식과 답안 작성 과정을 잘 살펴보아야 한다. 제품을 출하하는 일수의 합계는 전체 일수에 대해 각각 𝑥,𝑦의 비율이므로 이를 이용하여 각 경우에 대한 표를 만들어야 한다. 대부분의 학생이 표를 제대로 작성하지 못하여 문제의 핵심에 접근조차하지 못한다. 세워진 표를 이용하여 𝑝,𝑞에 대한 방정식을 세우면 모든 것이 쉽게 해결된다. 수리 논술 자체가 복잡한 상황에서 초기값과 원인을 분석하여 패턴을 발견하고 이를 간략한 식으로 표현하여 적절한 해결책을 제시하는 수험생의 능력을 알아 보는 것이 목적이므로 답안 작성은 간단한 수식으로 작성하는 것이 좋다. 구술이나 논술에서의 서술형 답안들도 결국은 여기에 몇 가지 부연 설명이 덧붙여지는 것에 불과하다.

	B가 갑에 출하	B가 을에 출하
A가 갑에 출하	[eqn: xy]	[eqn: x(1-y)]
A가 을에 출하	[eqn: (1-x)y]	[eqn: (1-x)(1-y)]

[문제1]

A, B가 출하 지역을 선택하는 비율은 표와 같이 되므로, 𝑝,𝑞는

[eqn: p=3xy+4x(1-y)+5(1-x)y+2(1-x)(1-y)]

[eqn: = bold{-4xy+2x+3y+2}]

[eqn: q=xy+4x(1-y)+3(1-x)y+2(1-x)(1-y)]

[eqn: = bold{-4xy+2x+y+2}]

[문제2]

[eqn: p+q=-8xy+4x+4y+4에서 x=y일 때,]

[eqn: p+q=-8x ^{2} +8x+4=-8(x- {1} over {2} ) ^{2}+6이다.]

[eqn: 이때, 0 <= x <= 1이므로, p+q는x= {1} over {2}일 때, 최대값 6이 된다.]

[문제3]

[eqn: p+q=-8xy+4x+4y+4]

[eqn: = -2(4xy-2x-2y)+4]

[eqn: = -2(2x-1)(2y-1)+6 이 때, 0<=x<=1, 0<=y<=1에 의해]

[eqn: 2x-1, 2y-1은 각각 -1<=2x-1<=1, -1<=2y-1<=1이다.]

[eqn: THEREFORE -1<=(2x-1)(2y-1)<=1]

[eqn: ⇔ -2<=-2(2x-1)(2y-1)<=2]

[eqn: ⇔ 4<=-2(2x-1)(2y-1)+6<=8]

[eqn: THEREFORE bold{4<= p+q <= 8}]

따라서, [eqn: p+q는 (2x-1, 2y-1)= +-(1, -1)]

즉, (𝑥, 𝑦)=(1, 0), (0, 1)일 때, 최대값 8을 가지게 된다.

그리고 이것은 𝑥=1, 𝑦=0인 경우는 A가 갑 지역, B가 을 지역을 독과점한다는 뜻이고, 반대로 𝑥=0, 𝑦=1인 경우는 A가 을 지역, B가 갑 r지역을 독과점한다는 뜻이므로 소비자의 입장에서는 별로 좋은 경우가 아니다.

[문제4]

동시에 𝑥, 𝑦의 두 변수를 생각하기 어려우므로 그래프를 그려 생각하는 것이 유리하다.

답안을 작성할 때, 그래프나 그림, 표 등을 제시할 수 있는 경우에는 이것을 이용하는 답안이 점수를 좋게 받을 수 있다. 일단 답안이 간결하고 정확하게 되기 때문이다.

이 문제는 비협조적 게임문제의 가장 대표적인 문제이다.

대개의 경우 초기에는 회사 간의 경쟁이 이같은 양상을 많이 띠게 된다.

[eqn: p=(3-4x)y+2x+2] 이므로 [eqn: x]를 고정하여 [eqn: y]를 움직인다. 즉, [eqn: y]의 함수로 바꾸어 생각해 보자.

회사 A가 불리하다고 했으므로 이익의 최소임을 의미한다.

따라서 [eqn: y]에 대한 [eqn: p]의 최소값을 구하는 것과 같다.

기울기가 양수, 0, 음수 모두 가능하므로 경우를 나누어 생각해 보자.

[eqn: p]의 최소값을 [eqn: m]으로 하면

(i) [eqn: 0 <= x <= {3} over {4}]일 때, [eqn: 3-4x]가 양이므로 B는 무조건 [eqn: y=0]으로 해야만 [eqn: m]이 최소가 된다.

그러므로 [eqn: m=(3-4x) BULLET 0+2x+2=2x+2]

(ii) [eqn: {3} over {4}<=x<=1]일 때, (i)과 마찬가지 방법에 의해 [eqn: y]=1이어야 한다.

[eqn: m=(3-4x) BULLET1+2x+2=5-2x]

[eqn: x]와 [eqn: m]의 관계는 오른쪽 그림과 같이 되므로,

구하는 [eqn: x]와 [eqn: p]는 [eqn: bold{x= {3} over {4} ,p= {7} over {2}}]

[문제1]

회사 A와 회사 B가 독자적으로 의사결정을 하여 출하지역을 결정할 때, 𝑝, 𝑞를 각각 [eqn: x,``y]로 나타내어라.

[문제2]

회사 C의 조사에 의하면 𝑥=𝑦이라고 한다. 회사 C는 𝑝+𝑞의 값이 최대가 되도록 회사 A에 정보 𝑥를 제공하고자 한다. 이 𝑥의 값을 구하라. 또, 그 때의 𝑝+𝑞의 값을 구하라. 단, 회사 A, B는 서로 독자적으로 의사결정을 한다고 한다.

[문제3]

회사 A와 회사 B가 서로 담합하여 𝑝+𝑞의 값을 최대로 하려면, 𝑥및 𝑦의 값을 각기 어떻게 하면 좋은가? 또, 그 때의 𝑝+𝑞의 값을 구하라.

[문제4]

회사 A, B는 서로 독자적으로 의사결정을 한다. 어떤 기간에 있어서 회사 B가 회사 A에게 가장 불리하도록 𝑦를 결정해도 회사 A는 자기 회사의 이익의 기대값 𝑝를 최대가 되도록 하고 싶다. 이 때, 𝑥의 값 및 [eqn: p]의 값을 구하라.

8. <수리논술, 분석>

문제

출산율은 한 여성이 임신하여 출산할 수 있는 기간인 15세에서 49세까지 35년 동안 낳은 평균 자녀의 수를 말한다. 2004년 우리나라의 출산율은 1.16으로 현재의 인구 수준을 유지하기 위한 출산율(대체출산율) 2.1과 큰 격차를 보임은 물론 OECD 국가 평균출산율인 1.6보다도 훨씬 낮은 수준이고 세계를 통틀어 가장 출산율이 낮은 10개국 중 하나이다. 저출산이 지속되면 장기적으로는 노동공급이 감소하여 성장 잠재력이 약화될 수 있다. 또한 연금적자 확대로 국가 재정이 악화되고, 젊은 세대의 부담이 가중되는 등 사회 전체에 부작용을 초래할 것으로 예상된다.

저출산의 주요 요인으로 자녀양육비 증가, 소득에 대한 불확실성, 여성에 책임부담 과중, 자기만족 위주의 가치관 변화 등 여러 가지가 혼재되어 있다. 따라서 2010년까지 OECD 국가 평균인 1.6을 목표로 출산율 재고 정책을 추진하고 있지만 매우 힘든 과제라 할 수 있다.

[문제1]

아래는 2005년 우리나라의 인구 변동에 관한 통계청 자료 중에서 일부를 발췌한 것이다.

연령구간	0~14세	15~64세	65세 이상
2005년초 인구구성비(%)	19	72	9
2005년 사망률(%)	0.04	0.46	5.10

2005년 출산율 1.18

2005년 인구증가율 0.44%

위의 자료를 통하여 2005년 우리나라의 전체 인구에 대한 가임 여성(임신하여 출산할 수 있는 기간인 15세에서 49세까지의 여성)의 비율을 산출할 수 있다. 그 산출과정을 설명하여라.

현재 우리나라가 당면한 저출산 문제는 심각하다. 따라서 저출산과 사회의 고령화에 대한 논제는 꼭 정리해 둘 필요가 있다.

주어진 도표와 자료를 세밀하게 분석하여 수리적인 판단을 해야 한다. 이때 주어진 자료가 자세하지 않더라도 추론 능력을 발휘하여 미비한 부분을 채워서 전체적으로 합리적인 판단이 되도록 해야 한다.

본 문제에서는 가임 여성이 가임 기간인 35년 동안 낳은 평균 자녀의 수인 출산율의 의미를 잘 해석하여, 특정한 해에 낳은 신생아의 수를 추정해 내는 것이 핵심이다.

[문제1]

주어진 자료에는 2005년 연령 구간별 인구구성비와 사망률이 주어져 있기 때문에 전체인구에 대한 사망자 수의 비율을 구할 수 있다. 이것은 2005년에 인구가 감소한 비율이다. 그런데 실제로 2005년 인구는 0.44% 증가하였으므로 그 차이만큼 신생아가 태어난 것으로 볼 수 있다.

2005년 초 총인구를 T라 하고 2005년 태어난 신생아의 수를 구해 보면,

0~14세 사망자는 0.000076T (0.19T × 0.04%)

15~64세 사망자는 0.003312T (0.72 × 0.46%)

65세 이상 사망자는 0.001890T (0.09T × 2.10%)

2005년 증가한 인구는 0.004400T이므로 2005년 새로 출생한 인구는 0.009678T이다.

총 인구에서 가임 여성의 비율을 [eqn: x]%라 하면 T × [eqn: {x} over {100}]가 전체 가임 여성의 수이고, 출산율 1.18의 의미는 가임 여성 1명이 35년 동안 낳은 평균 자녀의 수가 1.18명이라는 것이므로 그 자녀를 특히 2005년에 낳을 확률이 [eqn: {1} over {35}]이라 볼 수 있다.

따라서 전체 가임 여성이 2005년에 낳은 평균 자녀의 수는 T × [eqn: {x} over {100}] × [eqn: {1.18} over {35}]이다.

이것이 위에서 구한 2005년의 신생아 수 0.009678T와 같아야 하므로

T × [eqn: {x} over {100}] × [eqn: {1.18} over {35}] = 0.009678T

이고, 이를 풀면 [eqn: x=28.71](%)이다.

따라서 총인구에서 가임 여성이 차지하는 비율은 28.71%라 할 수 있다.

9. 정다면체 문제

얼마 전 헬륨 가스 안에서 흑연에 강력한 레이저 빔을 쏘아 기화시킴으로써 새로운 탄소분자를 만들어냈다. 이렇게 탄소만으로 이루어진 물체는 당시만 해도 다이아몬드와 흑연뿐이었다. 다이아몬드는 4개의 탄소원자가 정사면체 형태로 결합하고 있고, 흑연은 6개의 탄소원자가 6각형으로 배열돼 있다. 그런데 새롭게 만들어낸 이 물질은, 질량분석계로 측정한 결과 60개의 탄소로 이루어진 것이 확인됐다.

이 새로운 물질을 발견한 과학자는 리처드 E. 스몰리이며, 그가 발견한 물질은 풀러렌이다. 스몰리는 플러렌이 탄소원자 간에 결합된 형태를 찾던 중 언뜻 축구공을 떠올리게 되었다. 정육각형과 정오각형으로 이루어진 32면체인 축구공의 꼭지점이 바로 60개임을 깨달은 것이다. 플러렌은 훗날 그의 추측대로 정말 축구공 모양임이 확인됐다.

그것은 바로 미국의 건축가이자 수학자인 리처드 벅민스터 풀러가 1940년대에 고안한 구조물인 지오데식 돔과도 같은 구조였다. 풀러는 정이십면체의 각 꼭지점에서 일정한 부분을 잘라 버리고 남은 넓이의 합을 줄여 가는 방법으로 지오데식 돔을 개발했다.

필요하면 다음의 내용을 참고하여 아래의 각 물음에 답하여라.

- 오일러의 정리에 의하면 임의의 다면체에서 꼭지점의 수 [eqn: V], 면의 수 [eqn: F], 모서리의 수 [eqn: E]사이에 항상 [eqn: V+F-E=2]가 성립한다.

- 정이십면체의 한 꼭지점에는 정삼각형이 5개씩 모여 있다.

정다면체에는, 정삼각형으로 이뤄진 정사면체. 정사각형으로 이뤄진 정육면체, 정삼각형으로 이뤄진 정팔면체. 정오각형으로 이뤄진 정십이면체, 정삼각형으로 이뤄진 정이십면체. 이렇게 모두 5가지가 있다. 정다면체가 5개라는 사실은 이미 2500백 년 전 그리스 시대에도 알고 있었다.

이들 정다면체들은 서로서로 끝없이 순환하는 성질이 있다. 그 중 어느 하나의 각 꼭지점에서 일정한 부분을 잘라 버리면 다른 정다면체가 만들어진다. 즉, 정십이면체에서 정육면체. 정육면체에서 정사면체, 정사면체에서 정팔면체, 정팔면체에서 정이십면체, 정이십면체에서 다시 정십이면체가 만들어진다.

그리고 정다면체들의 각 꼭지점에서, 위와 다른 방법으로 적당히 잘라 버리면, 정다면체는 아니지만 우리가 일상생활에서 가끔 목격하는 공 모양의 다른 입체가 만들어지기도 한다. 예를 들어 정팔면체의 각 꼭지점에서 각 모서리의 중점을 지나도록 정사각뿔 6개를 잘라 버리면 정사각형 6개와 정삼각형 8개로 이루어진 입체가 남는다. 만일 이때 각 모서리의 3등분 점을 지나도록 정사각뿔 6개를 잘라 버리면 정사각형 6개와 정육각형 8개로 이루어진 입체가 남는다.

본 문제의 접근 방법은 두 가지다. 오일러의 정리를 이용하는 방법과, 위와 같이 정다면체에서 시작하여 각 꼭지점에서 일정 부분을 잘라 나가는 방법이다.

[문제1]

다면체에서 꼭지점의 수를 [eqn: V], 면의 수를 [eqn: F,] 모서리의 수를 [eqn: E]라 할 때,

정다면체에서 한 꼭지점에 모인 정 [eqn: m]각형의 개수가 [eqn: k]개이면 [eqn: kV=mF=2E]가 성립한다.

(참고로 [eqn: kV=mF=2E]는 정다면체의 모든 면을 따로 따로 분리시켜 분해했을 때, 꼭지점의 총 개수이자 변의 총 개수이다.)

그런데 정이십면체의 한 꼭지점에는 정삼각형이 5개씩 모여 있으므로

[eqn: 5V=3 TIMES 20=2E]에서 [eqn: V=12]이고 [eqn: E=30]이다. 참고로 오각형이 포함된 다면체에는 모양에 상관없이 반드시 12개의 오각형이 있어야 한다.)

원래의 정이십면체의 모든 꼭지점을 중심으로 그림과 같이 정오각뿔을 잘라내는데 한 모서리의 길이가 원래의 모서리 길이의 [eqn: {1} over {3}]이 되게 한다.

그러면 그림과 같이 원래의 꼭지점 A가 사라지고 P와 같은 새로운 꼭지점이 생긴다. 이 새로운 꼭지점에는 각 꼭지점마다 정오각형이 하나, 정육각형이 2개씩 모여 있음을 알 수 있다.

아래는 정이십면체를 깎아서 피버노바 축구공을 만드는 과정을 그린 것이다.

[문제2]

이런 유형의 문제는 정이십면체의 각 꼭지점에서 일정 부분을 잘라 나가는 방법으로 풀 수도 있고, 오일러의 정리를 이용하여 풀 수도 있다.

각 꼭지점에서 일정 부분을 잘라 나가는 방법은 1)의 풀이 과정에서 설명하였으므로 여기서는 오일러의 정리를 이용하여 풀어 보기로 한다.

오일러의 정리에 의하면, 임의의 다면체에서 꼭지점의 수 [eqn: V,] 면의 수 [eqn: F,] 모서리의 수 [eqn: E]사이에 항상 [eqn: V+F-E=2]가 성립한다.

풀러렌의 경우는 본문에 주어진 대로 [eqn: V=60,] [eqn: F=32]이므로 [eqn: E=90]이다.

풀러렌의 32개 면 중에 한 꼭지점에 모여 있는 정오각형과 정육각형의 개수를 각각 [eqn: k]개, [eqn: l]개라 하면

[eqn: {60k} over {5} + {60l} over {6} =32,]  [eqn: 60(k+1)=2 TIMES 90]  … ①

이 성립한다.

(참고로, 위의 식에서 [eqn: {60k} over {5} ,] [eqn: {60l} over {6}]은 각각 정오각형과 정육각형의 개수이고, [eqn: 60k,] [eqn: 60l]은 다면체의 모든 면을 따로 따로 분리시켜 분해했을 때, 각각 정오각형과 정육각형의 꼭지점의 총 개수이자 변의 총 개수이다.

①을 연립해서 풀면 [eqn: k=1,] [eqn: l=2]이고, [eqn: {60k} over {5} ,] [eqn: {60l} over {6}]은 각각 12, 20이다.

따라서 정오각형의 개수는 12개이고 정육각형의 개수는 20개이다.

[문제3]

아래의 그림은 정다면체의 한 순환 과정을 보여 주고 있다. 왼쪽 그림부터 차례로 설명하기로 한다.

첫 번째 그림은 정이십면체에서, 한번에 꼭지점 두 개가 없어지도록 잘라 나간 것이다. 그러면 단면이 정사각형이 되는데 이 정사각형의 한 변의 길이는 원래 정오각형의 대각선 길이와 같아진다. 이렇게 6번을 자르면 정사각형 면이 6개가 생기면서 정육면체가 만들어진다.

두 번째 그림은 정육면체의 각 꼭지점에서 정삼각뿔을 하나씩 잘라 내는 그림이다. 그러면 단면이 정삼각형이 되는데 이 정삼각형의 한 변의 길이는 원래 정사각형의 대각선 길이와 같다. 이렇게 4번을 하고 나면 그 속에 정사면체가 만들어진다.

세 번째 그림은 정사면체의 각 꼭지점에서 모서리의 길이가 원래의 반이 되는 작은 정사면체를 잘라 내는 그림이다. 그러면 정삼각형 면이 8개 생기는데 그 한 변의 길이는 원래 한 변의 길이의 절반이다. 이렇게 만들어진 것이 정팔면체이다.

네 번째 그림은 좀 복잡하다. 정팔면체의 각 모서리를 삼등분하여, 자른 금이 오른쪽 그림의 경계선과 같이 되도록 8개의 면에서 꼭 같은 방식으로 자르면 정삼각형 면이 20개 있는 정이십면체가 만들어지는데, 이 20개의 면 중 8개는 원래의 정팔면체 면에서 오른쪽 그림의 가운데 부분과 같이 남은 것들이고, 나머지 12개는 이런 절단 과정에서 새롭게 만들어지는 것들이다.

다섯 번째 그림은 정이십면체에서 정십이면체가 만들어지는 그림이다. 정이십면체의 각 면은 모두 정삼각형들인데 이 정삼각형들의 무게 중심 20개를 잡는다. 이 20개의 무게중심이 정십이면체의 꼭지점이 되도록 자르는 방법이다. 즉, 한 꼭지점에 모인 5개의 정삼각형의 무게 중심들은 모두 한 평면 위에 있으므로, 그 평면이 절단면이 되도록 자르면 된다. 그림은 복잡함을 피하기 위하여 그 과정의 일부를 보여 주고 있다.

[문제1]

풀러는 정이십면체를 어떤 식으로 분할하여 풀러렌 모양의 지오데식 돔을 만들었는지 설명하여라.

[문제2]

플러렌의 32개의 면 중에 정오각형과 정육각형이 각각 몇 개씩 있는가?

[문제3]

정다면체에는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5종류가 있다. 이들 5종류의 정다면체는 어느 하나의 정다면체에서 시작하여 각 꼭지점에서 일정한 부분을 잘라버리는 방법으로 계속해서 다른 정다면체를 만들어 나갈 수 있다. 정십이면체에서 정육면체, 정육면체에서 정사면체, 정사면체에서 정팔면체, 정팔면체에서 정이십면체, 정이십면체에서 다시 정십이면체가 만들어진다. 이러한 순환과정을 설명하여라.

10. <수리논술, 부정방정식>

존 맥티어넌 감독의 영화 <다이하드 3>(Die Hard with a Vengeance, 1995년작)는 테러리스트 사이먼(제레미 아이언스)이 뉴욕 시 곳곳에 폭탄을 숨겨 놓고 자신의 동생(1편 마지막에 빌딩에서 떨어져 죽은 테러리스트 지휘자)을 죽인 존 맥클레인 형사(브루스 윌리스)에게 폭탄을 찾도록 하는 ‘가라사대 게임’을 하는 것이 기본 줄거리다.

영화 중간에 맥클레인 형사와 우연히 사건에 휘말려든 흑인 제우스(새뮤얼 잭슨)는 사이먼의 지시에 따라 어떤 분수대로 가게 된다. 여기에는 시한폭탄을 설치해 놓았는데, 5갤런들이 물통과 3갤런들이 물통을 써서 5분 이내에 저울에 정확히 4갤런의 물을 달면 타이머가 정지하지만 그렇지 못하고 5분이 지나거나 물통을 올렸을 때 4갤런에서 1온스라도 어긋나면 폭탄이 터진다. 영화에서는 우연히 맥클레인과 제우스가 말다툼을 벌이다. 1분도 안 남은 상황에서 5갤런들이 물통에 4갤런을 채워서 저울에 달고 폭발을 막는다.

이때 맥클레인이 행한 과정을 쓰면 다음과 같다.

(1) 5갤런 물통에 물을 채운다. (5갤런 : 5, 3갤런 : 0)

(2) 5갤런 물통의 물을 3갤런 물통에 옮겨 붓는다. (5갤런 : 2, 3갤런 :３）

(3) 3갤런 물통의 물을 비운다. (5갤런 : 2, 3갤런 :０）

(4) 5갤런 물통의 물을 3갤런 물통에 옮겨 붓는다. (5갤런 : 0, 3갤런 : 2)

(5) 5갤런 물통에 물을 채운다. (5갤런 : 5, 3갤런 : 2)

(6) 5갤런 물통의 물을 3갤런 물통에 옮겨 붓는다. (5갤런 : 4, 3갤런 : 3)

이렇게 하여 여섯 번 만에 4갤런을 만들어서 저울에 달 수 있었다. 이 과정을 수식으로 쓴다면, 5갤런 물통에 물을 두 번 뜨고 이를 3갤런 물통이 두 번 꽉 차도록 옮겨 부음으로써 4갤런을 만들었으므로 [eqn: 5 TIMES 2+3 TIMES (-2)=4]가 된다.

5와 3의 정수배를 합해 4가 되는 것은 위의 답만이 유일한 것은 아니다. 예를 들어 [eqn: 3 TIMES 3-5=4]가 있다. 이 식에 해당하는 물통 채우기 과정은 여덟 번이 소요되고(먼저 3갤런 물통에 물을 채운 뒤 5갤런 물통에 옮겨 붓는 것으로 시작한다.) 나머지 경우는 더욱 횟수가 많아진다. 최소 횟수는 영화에서 맥클레인이 행한 여섯 번이다.

부피가 자연수 [eqn: a,``b]로 서로 다른 두 물통이 주어졌을 때 어떤 자연수 부피 [eqn: c]의 물을 담을 수 있는가 하는 문제는 다음 부정방정식을 만족하는 정수 [eqn: x,``y]가 존재하는가 하는 문제와도 같다.

[eqn: ax+by=c]

이는 바꿔 말한다면

[eqn: ax+by=1]을 만들 수 있는가 하는 문제와도 같다. 그 이유는 1을 만들 수 있으면 양변에 정수배를 함으로써 얼마든지 1보다 큰 정수도 만들 수 있기 때문이다.

이 문제의 답은 “두 자연수 [eqn: a]와 [eqn: b]가 서로소일 때는 두 자연수의 정수배의 합으로 어떤 정수 [eqn: c]라도 만들 수 있다.”는 것이다. 이 정리를 증명하는 데는 집합 {0, 1, …, [eqn: b-1]}에서 두 수의 합을 [eqn: b]로 나눈 나머지로 정의한 연산, 예를 들어 집합 {0, 1, 2, 3, 4}에서 2+4=1, 3+4=2와 같은 연산을 이용한다. 위에서 본보기로 든 3과 5는 3을 계속 더해감으로써 확인할 수 있을 텐데, 일반적인 증명은 순환군(cyclic group), 생성원(generator) 개념을 알아야 하므로 여기서는 생략하기로 한다.

그러나 서로소가 아닐 때는 1을 만들 수가 없다. 예를 들어 영화 속 문제에서 숫자에 모두 1을 더해서 “6갤런과 4갤런들이 물통으로 5갤런의 물을 담아라.”라고 문제를 바꾼다면 결코 5갤런은 만들 수 없다. 6갤런과 4갤런 물통으로 아무리 물을 뜨고, 비우고, 옮겨 붓고를 반복해도 짝수 갤런만큼의 물만 모을 수 있을 뿐이다.

<큐브>와 <다이하드 3>에서 시사해주는 것이 있다. 수학이란 학문은 구체적인 사물 속에서 추상적 ․ 일반적인 패턴을 찾아내는 사고와 밀접한 관련이 있기 때문에 현실에서 중요한 문제를 해결하는 데 도움이 된다는 것이다.

<제시문 분석하기>

제시문에 나오는 모든 문자는 정수다.

옛날부터 전해오는 이야기 중에 다음과 같은 문제가 있다.

“상자 속에 딱정벌레와 거미가 들어 있는데 그들의 다리를 다 합치니 46개였다. 딱정벌레와 거미는 각각 몇 마리인가?”

딱정벌레와 거미의 수를 각각 [eqn: x]와 [eqn: y]라고 두면 [eqn: 6x+8y=46]이다.

이 방정식은 무수히 많은 해를 가진다. 예를 들면 다음과 같은 수들이 그 해다.

[eqn: x]	-1	0	6	[eqn: 4 sqrt {2}]
[eqn: y]	[eqn: {52} over {8}]	[eqn: {46} over {8}]	[eqn: {10} over {8}]	[eqn: {46} over {8} -3 sqrt {2}]

그러나 이중에서 문제의 뜻에 맞는 것은 [eqn: x,```y]가 자연수일 때이므로 유한개의 해를 구할 수 dLT을 것이다.

이처럼 해에 제한된 조건(자연수, 음의 정수, 유리수 등)을 준 방정식을 디오판토스 방정식(Diophantine equation)이라고 한다.

디오판토스는 서기 250년경에 활동했던 그리스 수학자인데, 정수 또는 유리수의 범위에서 이런 방정식의 해를 구하는 논리적인 방법을 최초로 시도했다고 한다.

나중에 우리가 다루게 될 디오판토스 방정식은 정수의 범위에서 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =z ^{2} ,```x ^{2} -2y ^{2} =1,```x ^{4} +y ^{4} =z ^{4}]과 같은 것들이다.

참고로, 앞의 두 방정식은 무수히 많은 정수해를 갖지만 마지막 방정식은 정수해를 가지지 않는다.

이 단원에서 우리가 다룰 디오판토스 방정식은 앞의 벌레 문제처럼 가장 간단한 모양의 일차방정식 [eqn: ax+by=c]다.

여기서 모든 문자는 정수이고 [eqn: a]와 [eqn: b]는 0이 아닌 경우다.

만약 유리수(또는 실수)의 범위라면 임의의 유리수 [eqn: t]에 대해 [eqn: x=t,````y= {c-at} over {b}]는 해가 되므로 무수히 많은 해를 가진다.

그러나 정수의 범위에서는 한 개의 특수해를 구할 수 있으면, 이를 이용해 일반해도 구할 수 있음이 알려져 있다.

특히 계수 [eqn: a,```b]가 상당히 큰 수이면 유클리드 호제법과 이에 의한 역순의 알고리즘을 통해서 특수해를 구할 수 있음이 알려져 있다.

하지만 이런 모양의 방정식은 [eqn: 2x+4y=5]처럼 해를 갖지 않는 경우도 생긴다.

성질 ([eqn: a,```b]) = [eqn: d]이면 [eqn: ax+by=d]를 만족하는 정수 [eqn: x,```y]가 존재한다.

<출제의도 및 논제해설>

일상생활에서 발생할 수 있는 문제점을 수학적 접근으로 논리적으로 해결해 보면서 실생활과 수학은 별개의 것이 아님을 터득하고자 한다.

특히, 실생활에서 쉽게 접근되는 정수 조건이나 자연수 조건에 대해서 어떻게 접근하고, 문제를 모델링 해서 해를 구하는 과정을 구체적으로 알아보고, 일반화해보고자 한다.

[문제1]

부정방정식의 해가 주어졌을 때 실생활에서 직접 어떻게 이용할 수 있는 지 연구해본다.

[문제2]

이번에는 실제 어떤 상황이 주어졌을 때, 수학적으로 접근해서 문제를 모델링하고, 직접 해를 구해 문제를 해결해본다.

[문제1]

[eqn: 5 TIMES (-1)+3 TIMES 3=4] 이므로 3갤런을 세 번 담고 5갤런을 한 번 버린다고 생각하고 스케줄을 짠다.

(1) 3갤런 물통에 물을 채운다. (5갤런 : 0, 3갤런 : 3)

(2) 3갤런 물통의 물을 5갤런 물통에 옮겨 붓는다. (5갤런 : 3, 3개런 : 0)

(3) 3갤런 물통에 물을 채운다. (5갤런 : 3, 3갤런 : 3)

(4) 3갤런 물통의 물을 5갤런 물통에 옮겨 채운다. (5갤런 : 5, 3갤런 : 1)

(5) 5갤런 물통의 물을 비운다. (5갤런 : 0, 3갤런 :１）

(6) 3갤런 물통의 물을 5갤런 물통에 옮겨 붓는다. (5갤런 : 1, 3갤런 : 0)

(7) 3갤런 물통에 물을 채운다. (5갤런 : 1. 3갤런 : 3)

(8) 3갤런 물통의 물을 5갤런 물통에 옮겨 채운다. (5갤런 : 4, 3갤런 : 0)

[문제2]

[eqn: 5x+7y=11]의 해를 먼저 구한다.

직접 직관적으로 해를 구할 수도 있지만 다음과 같이 구해보자.

[eqn: 7y=11-5x]에서 좌변이 7의 배수이므로 우변도 7의 배수여야 하고, 11에 5의 배수를 더해서 7의 배수가 되려면 10을 더하면 된다.

따라서 [eqn: x=-2]이고 [eqn: y=3]이다.

이를 근거로 스케줄을 세울 때, 7분은 세 번 담고, 5분은 두 번 버린다는 생각을 한다.

두 모래시계를 동시에 시작한다.

5분 후에 5분짜리 모래시계에는 모래가 다 떨어지고 7분짜리에는 2분만큼의 모래가 남는다.

그럼 5분짜리 모래시계를 뒤집는다.

그럼 7분짜리 모래시계에 남아 있던 2분만큼의 모래가 다 떨어지면 5분짜리 모래시계에는 3분만큼의 모래가 남는다.

그리고 7분짜리 모래시계를 뒤집는다.

그러면 5분짜리 모래시계에 남아있던 3분 만큼의 모래가 떨어지면 7분짜리 모래시계에 4분만큼의 모래가 남는다.

이때부터 시간재기를 시작한다. 4분만큼의 모래가 다 떨어지면 7분짜리 모래시계를 시작한다.

그러면 4분+7분=11분이 된다.

[문제1]

제시문에 [eqn: 3 TIMES 3-5=4]인 해가 있다. 이 식에 해당하는 물통 채우기 과정은 여덟 번이 소요된다고 하는데 어떤 과정인지 서술하시오.

[문제2]

5분짜리 모래시계와 7분짜리 모래시계가 있다. 이 2개의 모래시계로 11분을 어떻게 잴 수 있을지 제시문의 내용을 이용해 문제를 해결해보시오.

11. <수리논술, 프렉탈>

문제

(가) 1960년대 프랑스의 수학자 만델브로트 박사는 [eqn: {} ^{(1)}]프랑스 해안선의 길이가 얼마인지 궁금해 바위를 단계적으로 확대해 들여다봤다. 그리고는 마치 나뭇가지처럼 비슷한 모양이 계속 반복된다는 사실을 발견했다. 프랙탈이란 단순한 구조가 계속 반복되면서 복잡한 전체 구조를 이루고 있는 형태다. 만델브로트 박사는 이런 구조를 ‘쪼개다’란 뜻의 그리스어 ‘프랙투스’에서 따와 프랙탈이라 불렀다. 그러나 40여 년이 지난 얼마 전까지만 해도 해안선이 왜 프랙탈 구조를 갖는지는 의문이었으나 최근 연구를 통해 해안선의 프랙탈 구조는 파도의 풍화작용에 강하다는 성질이 밝혀진 바 있다. 즉, 자연으로부터 프랙탈 구조는 파도의 풍화작용에 강하다는 성질이 밝혀진 바 있다. 즉, 자연으로부터 프랙탈 구조라는 선택을 강요당한 셈이다. 프랙탈 구조는 자기 유사성(self-similarity)과 순환성(recursiveness)이라는 속성으로 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 이룬다. 자연현상에서 발견할 수 있는 프랙탈 구조에는 해안선의 모양 외에도 [그림 1]의 나뭇잎이나 눈(snow) 결정 모양 등 수 없이 많은 예가 있다.

[그림 1] 나뭇잎에 나타나는 자기유사성

(나) 프랙탈 구조를 기하학적 측면에서 처음 제안한 코흐는 정삼각형에 간단한 규칙을 적용하여 아래 [그림 2]의 코흐 눈송이(Koch snowflake)를 만들었다. 규칙은 다음과 같다.

첫째, 정삼각형을 그린다. (①)

둘째, 각 변을 3등분해서, 한 변의 길이가 이 3등분의 길이와 같은 정삼각형을 붙인다. (②)

셋째, 계속 두 번째 과정을 반복한다. (③과 ④)

(다) 물질의 성질을 가진 가장 작은 입자를 분자라고 한다. 분자는 고유한 특성을 가지고 하나의 단위로 작용할 수 있는 원자들의 결합체다. 결과적으로 분자는 일정한 질량 ‧ 구조 ‧ 원자조성을 가진다. 원자는 분자를 이루는 기본단위이며, 분자는 순수한 화합물에서 그 특징적인 조성과 화학적 성질을 유지시키는 가장 작은 입자이다. 분자의 크기를 결정하는 원자의 크기는 가장 작은 수소 원자의 반지름 [eqn: 0.3 TIMES 10 ^{-10} m]다. 분자는 수나 종류의 변화 없이 물리적 변화를 할 수도 있으나(예를 들어 물이 고체 ‧ 액체 ‧ 기체로 상태 변화함) 화학반응을 통해 변형될 수도 있다. 분자의 총괄적인 화학작용은 분자를 이루는 원자들과 그들 사이의 화학결합의 특성에 의해 결정된다. 전자가 둘 이상의 원자핵의 인력을 동시에 받아 생기는 결합은 원자핵 간 거리를 가깝게 한다. 결합이 생기거나 끊어지는 모든 화학반응은 원자의 전자구조상 변화로 설명될 수 있다.

(라) 프랙탈에 대한 연구는 많은 학자들이 무질서에 대한 법칙을 찾아내기 위한 노력의 한 부분이다. 이들은 서로 다른 종류의 불규칙성 가운데서 그 연관성을 찾아왔다. 돌연사의 주요 원인인 심장활동의 불규칙성을 조사하던 중 거기에서 놀라운 질서를 발견했다. 경제학자들은 과거의 주가 변동 자료를 조사해 새로운 분석을 시도했다. 여기서 얻은 통찰력은 구름의 모양, 번갯불의 경로, 혈관의 미세한 뒤얽힘, 은하의 성단 등 자연의 세계에 직접적으로 적용된다.

<카오스 이론>

원리적으로는 확정되어 있으나 장래 예측이 불가능한 현상. 그리스어 khaos에서 유래하였다. 혼돈을 뜻하며 매우 불안정한 현상을 가리킨다. 카오스의 연구목적은 무질서하고 예측 불가능한 현상 속에 숨어 있는 정연한 질서를 끄집어내어 새로운 사고방식이나 이해방법을 제시하는 것이다. 지금까지의 과학이 어떤 하나의 법칙에서 하나의 결과를 이끌어내는 데 비하여 카오스는 몇 가지 효과가 서로 작용하여 질서나 무질서 상태가 된다는 점을 다룬다. 난류는 가장 뚜렷한 카오스의 예로, 물을 처음 가열할 때는 매우 질서 있게 움직이다가 가열이 심해지면 대류의 흐트러짐이 생기고 차츰 무질서한 상태가 된다. 해류의 흐름이나 대기의 흐름 등 자연계의 흐름 대부분이 난류이며, 이곳에서 카오스가 발생하낟. 이밖에 나뭇잎의 낙하운동, 조혈작용 등의 생체현상, 전력의 흔들림, 지진발생 메커니즘 등과 우주에 대해서는 시공의 구조와 블랙홀 부근의 별의 운동 등에서 카오스적인 현상이 발생한다. 이와 같이 카오스 연구는 수학 ‧ 물리학 ‧ 기상학 ‧ 생물학 ‧ 의학 ‧ 천문학 ‧ 경제학 등에 걸쳐 진행되고 있다.

<비선형성>

선형관계에 있어서 주어진 원인은 단지 하나의 결과를 갖는다. 주어진 행동은 단지 하나의 결과를 갖는다. 그러나 비선형관계에 있어서는 주어진 원인이나 행동은 여러 가지 다른 영향이나 결과를 초래할 수도 있다. 다시 말해 선형방정식은 단지 하나의 해를 갖고 쉽게 해를 구할 수 있지만 비선형바정식은 하나 이상의 해를 가지며 일반적으로 해를 구하는 방법이 존재하지 않는다. 또한 선형체제는 부분의 합이 곧 총합이라는 점에서 부가적 특징을 갖는다. 선형체제는 부분 구성요소로 쪼개질 수 있고, 각 부분 구성요소를 연구하고 설명한 후 이를 다시 결합하면 전체에 대한 설명을 할 수 있다는 논리다. 비선형체제는 부분의 합이 총합보다 크기 때문에 시너지 효과를 보인다. 따라서 부분으로 쪼개고 이를 다시 결합하는 환원주의적 방법에 의해 비선형체제를 완전히 이해할 수 없다. 그 대신에 전체로서의 체제가 나타내는 행태의 패턴을 이해하려면 전체적 혹은 체계적 접근법을 택해야만 한다.

<제시문에서 핵심 한 줄 찾기 답안>

◇ 프랙탈 구조는 자기유사성(self-similarity)과 순환성(recursiveness)이라는 속성으로 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 이룬다.

◇ 분자는 순수한 화합물에서 그 특징적인 조성과 화학적 성질을 유지시키는 가장 작은 입자이다.

[문제1]

코흐 규칙을 3번 시행할 경우 삼각형의 원래 둘레 길이는 다음과 같이 구한다. 규칙을 한 번 시행할 때마다 총 변의 수는 이전 도형에 비해 4배로 늘어나고 한 변의 길이는 원래 변의 [eqn: {1} over {3}]로 줄어든다. 그러므로 코흐 규칙을 세 번 시행하면 총 둘레의 길이는

[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{3} TIMES 3= {64} over {27} TIMES 3= {64} over {9}](mm)가 된다. 면적은 원래 삼각형의 면적을 [eqn: S _{0}]라 하면 코흐 규칙을 3번 시행한 후 도형의 면적 [eqn: S=S _{0} +3 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) S _{0} +12 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{2} S _{0} +48 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{3} S _{0} = {1128} over {729} S _{0}]다.

즉, [eqn: {1128} over {729} TIMES {sqrt {3}} over {4} TIMES 1 ^{2} = {282} over {729} sqrt {3}](mm[eqn: {} ^{2}])이다.

[문제2]

프랙탈 이론에 의하면 해안선의 길이는 무한하다. 그러나 해안선을 구성하는 물질이 분자 크기 이하로 작을 수는 없으므로 모양의 반복이 무한하지는 않게 된다. 결국 [문제 1]의 코흐 눈송이의 경우와 마찬가지로 유한 번의 횟수로 모양이 반복되는 경우여서 실제 해안선의 길이는 유한한 값이므로 구할 수 있다. 해안선의 길이를 정확히 구하려면 해안선 모양이 반복되는 유형을 알아내야 한다. 그리고 거시세계의 크기에서 가장 작은 단위 모양으로 되는 데 몇 번의 반복이 있는지를 계산하면 해안선의 길이를 알아낼 수 있다.

[문제1]

한 변의 길이가 1mm인 정삼각형에 세 번의 규칙을 적용해 만든 코흐 눈송이의 둘레의 길이와 면적이 얼마인지 설명하시오.

[문제2]

제시문 (나)와 (라)의 사실을 바탕으로 제시문 (가)의 밑줄 친 (1)에 답하시오.

12. <수리논술, 비둘기집의 원리>

오른쪽 그림과 같이 교실에 [eqn: n TIMES n]개의 책상이 있고, 모든 자리에 [eqn: n ^{2}]의 학생들이 빼곡히 앉아 있다. 그런데 담임선생님이 수업 시간에 기침을 하셨고, 그로 인해 바이러스가 전파되어 [eqn: k]명의 학생이 감염되었다. 학생들은 자신의 자리에서 앞 ‧ 뒤 ‧ 좌 ‧ 우의 학생 중 2명 이상이 감염되면 1시간 후에는 자신도 감염된다고 한다. (단, 선생님이 기침을 하셨을 때, 학생들이 바이러스에 감염되는 것은 선생님과 학생들 사이의 위치와는 관계없는 것으로 가정한다.)

비둘기집의 원리 : 비둘기가 비둘기집보다 더 많을 때, 이들 비둘기가 비둘기 집에 모두 들어갔다면 2마리 이상의 비둘기가 같이 있는 비둘기집이 적어도 하나 있다. 좀 더 구체적으로 이야기하면 : [eqn: (n+1)]마리 이상의 비둘기가 [eqn: n]개의 비둘기 집에 들어갔다면 적어도 한 집에는 2마리 이상의 비둘기가 있다.

확장된 비둘기집의 원리1 : 비둘기가 비둘기집의 수의 [eqn: k]배보다 더 많으면, [eqn: k+1]마리 이상의 비둘기가 함께 사는 비둘기집이 적어도 하나 있다. 즉, 비둘기가 [eqn: kn+1]이상 있고, 비둘기집이 [eqn: n]개 있으면, [eqn: k+1]마리의 비둘기가 한 집에 있는 경우가 반드시 있다.

확장된 비둘기집의 원리2 : 음이 아닌 정수 [eqn: q _{1} ,q _{2} ,`…`,`q _{n}]에 대하여 [eqn: (q _{1} +q _{2} +…+q _{n} )][eqn: +1]마리 이상의 비둘기가 1부터 [eqn: n]번까지 번호가 매겨진 [eqn: n]개의 집에 나뉘어져 들어갔다면 적어도 하나의 [eqn: i(1 LEQ i LEQ n)]에 대하여, 번호 [eqn: i]가 매겨진 집에 [eqn: (q _{i} +1)]마리 이상의 비둘기가 있다.

[문제1]

만약 [eqn: n]명의 학생이 감염되었는데, 그 배열이 가장 긴 대각선이라면 [eqn: n-1]시간 후 전원이 감염되게 된다. 왜냐하면 가장 긴 대각선 바로 위나 바로 아래 대각선의 경우 오른쪽과 아래 혹은 왼쪽과 위 학생이 감염되었기 때문에 1시간 후 자신도 감염되고 그 감염경로가 계속 이어지기 때문이다.

반면, 처음에 [eqn: n-1]명 혹은 그 이하의 학생이 감염되었다면 충분한 시간이 흘러도 모두 감염될 수 없다. [eqn: n-1]명이 감염된 책상의 둘레를 생각해 보면 최대 [eqn: 4n-4]밖에 되지 않는다. 그런데 시간이 지나 감염된 학생이 늘어나도 이 둘레는 줄어들 수 는 있지만 늘어나지는 않는다. 왜냐하면 사방 중 두 명 이상이 감염되어야만 추가로 감염되기 때문에 그 추가로 감염된 학생이 둘레 2를 줄이고 둘레 2를 늘리거나, 둘레 3을 줄이고 둘레 1을 늘리거나, 둘레 4를 줄이고 둘레를 늘리지 않을 수밖에 없기 때문이다. 그래서 [eqn: n-1]명이 감염되면 그 감염이 전염되어도 결국 [eqn: 4n-4]를 넘는 둘레는 가질 수 없는데, 최종적으로 모두가 감염되려면 그 때의 둘레가 [eqn: 4n]이 되어야하므로 이루어질 수 없다. 따라서 교실의 대각선으로 앉은 [eqn: n]명이 최소라는 [eqn: k]라는 것을 알 수 있다.

[문제2]

만약 세로나 가로 가장 끝 한 줄을 제외한 모든 학생이 감염되면 바이러스는 모두에게 전파되지 않는다. 가장 끝 줄 학생들은 전파시킬 수 있는 사람들이 상하, 좌우 중 한 쪽 혹은 좌우와 상하 중 한쪽인데 그 중 한 명만 감염된 상태이어야 하기 때문이다. 즉[eqn: n(n-1)]명의 경우 모두에게 전파되지 않을 수 있다.

그런데 [eqn: n(n-1)+1]명 이상이 감염될 경우 반대로 [eqn: n-1]명 이하가 감염되었다는 뜻이기 때문에 비둘기집의 원리에 의하여 모두 감염된 가로줄이 하나 이상 존재한다. 그리고 모두 감염된 세로줄도 하나 이상 존재한다. 즉, 그 둘을 합쳐 십자가를 하나 만들 수 있다는 뜻인데, 이 경우 시간이 충분히 흐르면 그 십자가의 중심이 점점 확대되면서 모두 전염되게 된다.

[문제1]

충분한 시간만 흐르면 그 반의 학생 전부를 감열시킬 수 있는 [eqn: k]값 중 최소를 구하고, 그 이유를 설명하시오.

[문제2]

아무리 오랜 시간이 흘러도 전체를 감염시킬 수 없는 [eqn: k]값 중 최대를 구하고, 그 이유를 설명하시오.

13. <수리논술, 정다면체, 복소수>

문제

(가) 수학에서 다루는 중요한 주제 중 하나가 도형인데, 도형의 성질을 연구하는 수학 분야를 기하학이라고 한다. 평면도형인 다각형 중에는 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 정다각형이 있고, 입체도형인 다면체 중에는 각 면이 모두 합동인 정다각형이며 각 꼭짓점에 모인 면의 수가 모두 같은 정다면체가 있다. 그런데 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형 등과 같이 무한히 많지만, 정다면체는 겨우 다섯 가지(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)만 존재한다.

정다면체가 정확하게 다섯 가지만 존재한다는 이 놀라운 사실은 2500년 전 그리스 사람들도 이미 알고 있었다. 당시 기하학은 가장 잘 발달된 수학 분야로, 완성된 모습을 갖춘 정다면체 이론은 기하학에서 최상의 위치를 차지하고 있었다. 그래서인지 많은 사람들은 이 정다면체 이론을 어딘가에 써먹고 싶어 안달이 났던 것으로 보인다.

플라톤은 정다면체에 매우 특이한 의미를 부여했다. 엠페도클레스가 주장한 대로 플라톤은 이 세상이 네 가시 원소, 즉 물 ‧ 불 ‧ 흙 ‧ 공기로 이루어졌다고 생각했다. 그는 한 걸음 더 나아가 '티마이오스(Timaios)'라는 책에서 이 네 가지 원소는 모두 작은 입체들의 집합체이며, 세계는 완벽한 입체만으로 만들어질 수 있기 때문에 이 원소들도 반드시 정다면체 꼴이어야 한다고 주장했다. 가장 가볍고 날카로운 원소인 불은 정사면체, 가장 안정된 원소인 흙은 정육면체, 가장 활동적이고 유동적인 원소인 물은 가장 쉽게 구를 수 있는 정이십면체여야 한다고 주장했다. 그리고 정팔면체는 엄지손가락과 집게손가락으로 마주보는 꼭짓점을 가볍게 잡고 입으로 바람을 불어 쉽게 돌릴 수 있을 것으로 보이므로 공기의 불안정성을 나타낸다고 했다. 그리고 정십이면체는 우주 전체의 형태를 나타낸다고 주장했다. 플라톤의 이런 주장 때문에 정다면체는 ‘플라톤의 입체도형’이라는 별명을 갖게 됐다. 플라톤의 이론은 현대적인 시각에서 보면 기묘하고 공상적으로 보이지만, 서구 세계는 17세기까지 진지하게 받아들여졌다.

정다면체는 행성의 운동을 설명하는 도구로 이용되기도 했다. 케플러 시대에는 수성 ‧ 금성 ‧ 지구 ‧ 화성 ‧ 목성 ‧ 토성 등 여섯 개의 행성만이 알려져 있었다. 행성이 태양 주위를 공전한다는 코페르니쿠스의 이론을 믿은 케플러는 정확하게 여섯 개의 행성이 존재하는 것과 그것들이 태양으로부터 특정한 거리에 위치하는 이유를 찾으려고 노력했다. 그는 인접한 두 행성 사이의 거리가 다섯 가지 정다면체 중 어떤 특정한 다면체와 관련되기 때문에 정확하게 여섯 개의 행성이 존재한다고 추론했다. 이 행성 이론은 행성이 원운동을 하고 있다는 가정에서 출발했다. 정다면체는 제 각기 다른 정다면체 속에 들어갈 수 있는데, 케플러는 이와 같은 관계를 가진 정다면체가 태양으로부터 행성까지의 거리를 결정한다고 생각했다. 즉, 여섯 행성의 궤도가 다섯 개의 기하학적 입방체를 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 지구는 정십이면체에 외접하며 동시에 정이십면체에 내접하는 공에 붙어 있다는 것이다. 케플러는 이 ‘놀라운’발견을 설명하기 위해 그린 그림을 1596년에 출판한 책 ‘신비의 우주’에 실었다.

오늘날의 시각으로 보면 플라톤과 케플러 같은 학자가 이런 괴짜 이론을 주장했다는 사실이 믿기지 않을 것이다. 그러나 이론적으로 맞지 않는다고 해서 진리를 탐구하고자 했던 그들의 노력마저 무시해서는 안 될 것이다. 오늘날의 수학과 과학은 이러한 시행착오 끝에 이루어진 것이기 때문이다.

(허민, 『날카로운 불은 정사면체, 안정된 흙은 정육면체)

(나) 우리가 현재 사용하는 수의 개념은 어떻게 해서 확장되어 왔을까? 이를 위해 그리스 시절부터 가장 궁금해 했던 질문 두 가지를 중심으로 기하학적 수의 확장부터 이야기하고 대수적 수와 초월적 수에 대해 이야기해 보자.

첫 번째 ‘임의의 길이가 주어졌을 때, 어떤 기준이 되는 눈금 없는 자에 의해 잴 수 있을까?’ 하는 의문을 가졌고 그것이 가능하다고 믿었다. 이 의문은 임의의 길이가 기준 자의 몇 배인가로 나타내어질 수 있느냐와 같은 말이다. 다시 말해 ‘임의의 수는 비례로 표현될 수 있는 수, 즉 유리수인가’의 의문이다. 그러나 이 환상은 깨짐으로써 유리수가 아닌 무리수가 존재함을 알게 되었다.

두 번째는 ‘어떤 한 원과 같은 면적을 갖는 다각형을 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 가지고 작도할 수 있느냐?’하는 의문이었다. 1882년에 독일 수학자 린데만이 마침내 자와 컴퍼스만을 사용한 원의 구적(求積)이 불가능하다는 사실을 증명함으로써 이 문제는 종말을 고했다.

린데만의 증명은 데카르트의 좌표 기하학을 사용하여 순수하게 대수적인 방법으로 다음과 같이 진행했다. 자와 컴퍼스만을 사용해서 임의의 길이를 작도한다는 말은 정수로부터 시작해서 일련의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 풀이를 사용하여 계산할 수 있다는 말과 같다. 그러므로 고전적인, 그리스의 도구를 사용할 수 있는 임의의 길이는 반드시 대수적(algebraic) 수가 된다. 즉 그런 길이는 가감승제(加減乘除)의 반복 작업에 의해 표현된 대수적 방정식의 해로 얻을 수 있다. 유리수 모두는 방정식의 해가 될 수 있기에 대수적인 수가 된다.

그런데 대수적이 아닌 실수를 초월적(transcendental) 수라 한다. 1882년에 린데만은 원주율 [eqn: pi]라는 수가 초월적 수라는 사실을 증명했다. [eqn: pi]가 초월적 수라는 사실은 원의 구적이 불가능하다는 뜻을 함축하고 있다. 이유는 다음과 같다. 반지름이 1인 단위원을 생각하자. 단위원의 넓이는 [eqn: pi TIMES r ^{2} = pi TIMES 1 ^{2} = pi]이다. 그런데 단위원과 똑같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도할 수 있을까? 정사각형 변의 길이를 [eqn: x]라 한다면 정사각형 면적은 [eqn: x ^{2} = pi]가 된다. 그런데 [eqn: x]는 무리수일 수밖에 없으니 작도가 불가능함을 알게 되었던 것이다.

세 번째 의문이 있다. 정육면체의 2배인 체적을 지닌 정육면체를 만들 수 있을까 하는 의문이 그것이다. 이에 얽힌 다음과 같은 이야기가 있다. B.C. 4세기경 에게해의 데로스라는 작은 섬에 전염병이 유행하여 사망하는 사람이 많았다. 그래서 섬 사람들은 그 섬에 있는 아폴로 신에게 신탁의 기도를 드렸더니, 아폴로 신이 이르기를 ‘내 앞에 있는 정육면체의 제단이 너무 좁으니 제단을 2배의 부피로 만들어 달라. 그러면 병을 없애 주겠다.’ 라고 하였다. 그래서 백성들은 석공을 시켜서 2배의 부피가 되는 정육면체를 만들려고 1변의 길이를 2배로 하여 만들어 바쳤으나 질병은 그치지 않았다. 왜냐하면 입체는 세제곱으로 늘어나므로 처음 그것의 부피가 1이면 새것의 부피는 무려 8이 되어 신이 요구하는 바대로 제단을 제작할 수 없었기 때문이다.

초월적 수는 무리수임이 당연하다. 그러나 어떤 진술의 역(逆)이 참이 아닌 경우가 있듯이 이 진술의 역, 즉 ‘무리수는 초월적 수이다.’는 것은 참이 아니다. 예를 들면 2의 제곱근 [eqn: sqrt {2}]는 무리수이지만 이것은 방정식의 해가 되므로 분명히 초월적 수가 아니다. 그러나 아쉽게도 어떤 수가 초월수인지 아닌지 판정하는 수학적 기준은 아직까지 명확히 밝혀진 바는 없다.

이상으로 기하학적 입장에서 도형의 성질이나 선의 길이의 작도, 더 나아가 면적이 같은 서로 다른 도형의 작도 문제로부터 새로운 수의 존재를 알고 확장해 온 하나이 줄기를 짚어 보았다. 뒤 이어 대수적 입장에서 계산의 과정을 거친 후 종국에는 방정식의 풀이와 해의 문제로부터 필요한 수들을 만들며 확장해 온 또 하나의 줄기를 살펴보았다. 이 두 가지 방법론을 통해 수의 개념은 점점 확장되어 왔다. 이와 같은 수의 개념의 확장은 수학을 체계적이고 논리적인 학문으로 발전시켜 놓는 데 중요한 사유의 일차적인 토대가 되었다.

[문제1]

(i) 각 면이 정삼각형인 정다면체 : 정사면체, 정팔면체, 정이십면체

한 꼭지점에 모이는 정삼각형이 3개([eqn: 180 DEG])이면 정사면체, 4개[eqn: (240 DEG )]이면 정팔면체, 5개[eqn: (300 DEG )]이면 정이십면체이다. 그러나 6개 이상이 모이면, [eqn: 360 DEG]이상이 되어서 입체를 만들 수 없다.

(ii) 각 면이 정사각형인 정다면체 : 정육면체

한 꼭지점에 모이는 정사각형이 3개[eqn: (270 DEG )]이면 정육면체가 되고, 4개 이상이면 [eqn: 360 DEG]이상이 되어서 입체를 만들 수가 없다.

(iii) 각 면이 정오각형인 정다면체 : 정십이면체

한 꼭지점에 모이는 정오각형이 3개[eqn: (324 DEG )]이면 정십이면체가 되고, 4개 이상이면 [eqn: 360 DEG]이상이 되어서 입체를 만들 수가 없다.

이상에서 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체만 존재한다.

[문제2]

(실수)[eqn: {} ^{2}]≧0이지만 제곱하여 음이 되는 수, 즉 음수의 제곱근을 생각할 수 있다.

[eqn: x ^{2} =-1]에서 [eqn: i= sqrt {-1}]을 약속하여 [eqn: i]를 포함하는 복소수를 생각할 수 있다. 또한, 허수의 특징은 다음과 같다.

① (실수)[eqn: {} ^{2}]≧0이지만 [eqn: i ^{2} =-1<0]이 되어 제곱하여 음이 되는 경우가 있다.

② 실수와 달리 허수는 대소의 구별이 없다. 예를 들면 [eqn: 5i>2i]와 같이 부등호를 사용할 수 없다.

③ [eqn: i= sqrt {-1}], [eqn: i ^{2} =-1], [eqn: i ^{3} =-i], [eqn: i ^{4} =1]이 되어 [eqn: i ^{4n} =1], [eqn: i ^{4n+1} =i], [eqn: i ^{4n+2} =-1], [eqn: i ^{4n+3} =-i]와 같이 [eqn: i ^{n}]은 (주기)=4인 주기성을 갖는다. (단, [eqn: n]은 정수)

(신기영, 『수(數) 개념의 확장』)

[문제1]

제시문 (가)에서 정다면체가 다섯 가지만 존재한다는 이유를 다음 내용을 참고로 하여 설명하시오.

각 면이 오각형인 정다면체는 정십이면체밖에 없는데, 그 이유는 한 꼭지점에 모이는 정오각형이 3개[eqn: (108 DEG TIMES 3=324 DEG )]이면 정십이면체가 되고, 4개 이상이면 [eqn: 360 DEG]이상이 되어서 입체를 만들 수 없다.

[문제2]

제시문 (나)에서의 내용과 같은 원리로 복소수로의 확장을 설명하고, 허수의 특징을 아닌 대로 쓰시오. (고려대 2006년 수시1응용)

14. <수리논술, 황금비>

이성의 영역이자 논리적, 체계적으로 엄밀하게 조직된 학문에 속하는 수학과, 감성의 영역으로 여겨 온 예술을 연관 지어 생각하기란 쉽지 않다. 예술을 상상력의 소산이거나 인간의 이성으로는 성명할 수 없는 영감이나 직관 같은 초인간적인 힘에 의존하여 생성된 결과물이라고 생각하는 경우에는 더더욱 그렇다. 그러나 이 두 개의 개별 영역은 서로 밀접한 연관을 맺고 있다. 아름다움의 기준이 시대마다 문화마다 달랐음에도 불구하고 모든 아름다운 사물에는 공통점이 있다. 그것은 감각이 아니라 수학적 원리로만 파악되는 아름다움으로 바로 ‘비례’이다. 빙 둘러 촘촘하게 박혀 있는 해바라기 씨의 배열에서 아름다움을 느낀 적이 있는가? 덕수궁 중화전의 처마 선을 바라보다 그 늘씬함에 아찔함을 느낀 적은 없는가? 그것들이 아름다운 까닭은 비례, 그 중에서도 ‘황금 분할’ 때문이다.

황금 분할이란, 간단히 말해서 선분 AB를 가장 아름답게 느끼도록 점 C를 잡아 나누는 방법이다. 황금 분할을 수학적으로 좀 더 자세히 풀어보면 선분 AB를 [eqn: a], [eqn: b]가 되도록 점 C로 나눌 때 [eqn: b`:a=a:(a+b)]가 되는 비율로, 정확하게는 [eqn: 2:1+ sqrt {5} ,`1: {1+ sqrt {5}} over {2}]이며 근사값으로 [eqn: 1:1.618]이다.

다시 말해 누가 봐도 아름다움을 느끼며 탄성을 지를 만한 대상에는 어떤 공통된 객관적인 미의 기준이 있는데, 그것은 다름 아닌 황금비에 따른 ‘황금 분할’ 이며 이것에 의한 비례와 조화야말로 대상을 아름답게 하는 객관적인 속성이라는 것이다.

황금 분할은 생물의 생장이나 자연 변화의 법칙에서 쉽게 발견할 수 있다. 가령 나무의 큰 줄기에 붙어 있는 가지와 가지 사이의 길이의 비, 꽃의 줄기에 붙어 있는 잎과 잎 사이의 길이의 비 등이 그렇다. 그 뿐이 아니다. 인체에도 황금 분할의 향연이다. 머리 부분과 상반신, 상체와 하체, 가슴과 몸 전체의 비율에서, 심지어는 미인의 달걀형 얼굴에서도 황금 분할을 찾을 수 있다.

고대 그리스에서 발견된 것으로 추정되는 황금 분할의 원리는 그리스 철학자 피타고라스 이후 줄 곧 연구되어 오다가 형태를 아름답게 하는 방법 중 가장 완전한 것으로 받아들여지면서 이집트의 피라미드나 그리스 파르테논 신전과 같은 건축과 더불어 조각, 회화, 공예 등의 시각적인 조형 예술 분야에 의식적으로 활용되었다. 지금 당장 우리들이 사용하고 있는 교과서나 엽서, 액자나 창문 등을 세밀히 관찰해 보라. 황금 분할의 도구가 내재되어 있는 직사각형임을 알 수 있다. 참 보기 좋다고 생각했던 조상들의 예술 작품들, 예를 들면 조선 시대 수공업자가 만든 목공가구 중 이층장에도 황금 분할이 적용되었다고 한다.

예술이나 건축뿐 아니라 실생활에서도 황금 분할이 사용되고 있으니 수학은 예술적인 상상력을 한 차원 높이는데 기여하고 있지 않은가.

[문제1]

위의 그림과 같이 정오각형 [eqn: ABCDE]의 두 대각선 [eqn: AD]와 [eqn: BD]의 교점을 [eqn: F]라 하면

[eqn: TRIANGLE FAE]∽[eqn: TRIANGLE ABE] (AA닮음)이다.

[eqn: bar{BF} : bar{FE} =a:b]라 하면 [eqn: bar{FE} : bar{AE} = bar{AE} : bar{BE} 에서`b:a=a:(a+b)]

[eqn: a ^{2} =b(a+b)], [eqn: a ^{2} -ab-b ^{2} =0]

이 때, 양변을 [eqn: b ^{2}]으로 나누면

[eqn: LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{2} - {a} over {b} -1=0]  [eqn: THEREFORE {a} over {b} = {1+ sqrt {5}} over {2} image 1.618]

따라서, [eqn: b:a=1:1.618]이므로 이것은 황금 비율을 나타내고 있다.

(정치봉, ⌜황금 분할과 피보나치 수열⌟)

[문제1]

제시문의 내용을 이용하여 정오각형의 내부에서 만나는 두 대각선에서 나타나는 황금 비율의 현상을 설명하시오.

15. <수리논술, 피사의 사탑>

[문제1]

이탈리아 피사에 있는 피사의 사탑은 기울어져 있다는 특징이 있다. 이 기울어진 것을 이용하여 갈릴레이가 자유낙하실험을 한 유명한 역사적인 사실이 있다. 이 탑은 매년 1mm씩 기울어지고 있어 그대로 투면 이 탑이 쓰러지게 되어 이탈리아 정부는 1990년부터 보수공사를 한 바 있다. 현재 이 탑은 높이가 약 56m, 지름이 16m인 원기둥 모양의 8층 건물이며, 수직선 상에서 약 [eqn: 5 DEG 30 prime] 정도 기울어져 있다고 한다. 물리학의 이론으로 볼 때 세워져 있는 어떤 물체의 무게중심이 밑면의 경계선을 벗어나면 그 물체는 쓰러지게 된다고 할 때, 피사의 사탑을 지면에 올려놓은 원기둥으로 생각하여 이 탑이 쓰러지지 않게 되는 옆면의 모서리의 기울기를 구하는 방법을 논술하시오.

피사의 사탑(斜塔)

피사(Pisa)는 이탈리아 중부 토스카나주의 아르노강 하구에 있는 고도(古都)이다. 피사에는 고딕과 로마네스크 양식으로 지어진 교회가 많은데 피사의 사탑은 피사에 있는 두오모 대성당 (Duomo di Pisa)의 부속 건물의 하나인 종탑이다.

이것은 중세 도시국가 피사가 팔레르모 해전에서 사라센 함대에 대승한 것을 기념하기 위하여 세워진 종탑이다. 로마네스크 양식의 8층 건물로서, 높이 55.8m, 지름 16m의 흰 대리석으로 마감된 원형의 종탑이다.

탑 내부는 294개의 나선형 계단을 통하여 종루에 올라갈 수 있고 종루에는 각각 다른 음계를 가진 7개의 종이 걸려있다. 여기에서 갈릴레오 갈릴레이가 무게가 다른 두 개의 공을 떨어뜨려 낙하실험을 하였다.

1174년에 착공된 이 탑은 3층까지 지었을 때 남쪽의 지반이 가라앉기 시작하였다. 이에 기울어진 모양을 보정하기 위하여 새로 층을 올릴 때 기울어져 짧아진 쪽을 더 높게 만들었으나, 추가 된 석재의 무게로 건물은 더욱 가라앉게 되었고 결국 1350년에 맨 꼭대기층이 1.4m 기울어진 채 완성되었다.

그런데 1년에 1mm 정도 기울어지는 미세한 자연현상이 누적되어 이탈리아 정부는 지난 1990년 사탑의 기운 정도가 한계치에 가까운 4.5m를 넘으면서 붕괴 위험에 처하자 기울어진 탑의 반대편 북쪽의 흙을 긁어내는 보수공사를 하여 기운 정도를 4.1m로 줄이는데 성공하였다.

현재 높이는 55.8m, 북쪽이 179피트이고, 남쪽은 177피트이고, 기울어진 각도는 [eqn: 5 DEG 30 prime]이다. 현재는 탑의 기울기가 멈춘 상태로 최근 영국 런던 대학교의 토질 기계학과 존 부를랜드 교수는 “피사의 사탑은 이제 기우는 것은 멈추었다.”라고 말했다.

사탑이 이처럼 위태로운 상태에서도 수백 년 동안 무너지지 않은 이유를 과학적으로 설명하기는 힘들다고 한다.

[문제1]

피사의 사탑의 무게중심 [eqn: G]가 [eqn: y]축위에 오도록 다음 그림과 같이 [eqn: x]축, [eqn: y]축을 잡으면 [eqn: TRIANGLE OAB PROPTO TRIANGLE GBO]이므로 [eqn: bar{AB`} `:` bar{OA} `=` bar{BO} `:` bar{GB}]이다.

이때, [eqn: bar{GB} =8(m)], [eqn: bar{OB} =28(m)]이므로, 원기둥 옆면의 모서리의 기울기는 다음과 같다.

[eqn: {bar{BO}} over {bar{GB}} = {bar{AB}} over {bar{OA}} = {28} over {8} =3.5]

따라서, 탑이 쓰러지지 않으려면 지면에 대하여 탑의 기울기가 3.5보다 커야 한다.

16. <수리논술, 무게중심, 지렛대의 원리>

자동차나 철도와 같은 육상교통수단과 달리 선박이나 항공기는 전체의 균형이 매우 중요하다. 마치 나룻배에 한쪽으로 사람과 짐이 몰리면 안심하고 배를 띄울 수 없는 것처럼 말이다.

항공기의 전체 무게는 항공기 자체의 무게 외에 승객 ‧ 승무원 ‧ 화물 ‧ 수하물 ‧ 연료 ‧ 기내식 및 기내용품 등을 모두 합한 것이다. 앞뒤 길이만도 70미터가 넘는 기내에서 이러한 무게들이 어느 한쪽 방향으로 치우치지 않고 균형을 이루기 위해서는 무게중심을 적정한 위치에 오도록 하는 것이 대단히 중요하다.

적절한 무게중심 유지를 위해 승객들을 지정된 좌석에 배정하고, 항공기 내부에 좌석 여유가 생기는 경우에는 일부 특정 구역의 좌석을 빈자리로 두기도 한다.

또한 항공기의 여객칸 밑에 있는 화물칸에서는 화물 컨테이너의 위치를 조절하거나 경우에 따라 금속뭉치를 배치해 무게중심을 맞추고 있으며, 이러한 업무는 컴퓨터를 통해 자동으로 관리되고 있고, 만약 무게중심이 운항에 적절치 못할 때에는 출발이 지연될 수도 있다.

[문제1]

임의의 모양을 가진 얇고 평편한 양철판이 있다고 하자. 이것의 무게중심을 찾는 방법에는 다음의 것들이 있다.

첫째, 일정한 점을 손가락 끝으로 받쳐서 지탱하는 점을 찾으면 하나의 방법이 될 것이다.

둘째, 두 직선을 이용하여 점을 찾는 방법을 생각해보자.

긴 직선으로 된 자 위에 좌우가 균형을 이루게끔 양철판을 올려놓고 직선을 따라 선을 그린다. 그리곤 방향을 바꾸어 다시 한 번 자 위에 좌우가 균형이 되게끔 양철판을 올려놓으면 먼저 그려놓은 직선과의 교점이 반드시 생기는데 이 교점이 이 양철판의 무게중심이라 할 수 있다.

셋째, 두 직선을 이용한 다른 방법으로 중력을 이용해볼 수도 있을 것이다. 철판의 가장자리에 구멍을 뚫어 두 개의 실을 매달고 그 중 하나를 천장에 매달자. 다른 하나의 실에다가는 추를 묶어서 늘어뜨려 놓으면 추의 무게에 의해 실이 양철판을 지나간다. 양철판 위를 지나가는 실이 이루는 직선을 그어놓고, 이번에는 다른 편 가장자리에 역시 구멍을 뚫어 앞의 방법을 반복하면 역시 직선과 새로운 구멍에 의한 실이 만나는 점이 생긴다. 이 점이 바로 무게중심이 된다.

[문제2]

지레의 원리를 이용하여 벽돌이 무너지지 않고 책상 바깥으로 나갈 수 있는지 알 수 있다. 먼저 지레의 원리는 아래의 그림과 같다.

이러한 ‘지레의 원리’와 더불어 ‘무게중심은 벽돌을 벗어날 수 없다’는 사실을 이용한다면 다음의 단계를 통해 각 벽돌의 위치를 알 수 있다.

먼저 <그림 1>처럼 가장 위의 벽돌부터 1~4번의 번호를 매겨 벽돌의 길이를 [eqn: a], 높이를 [eqn: l]이라고 하자.

1단계 <그림2>처럼 1번을 가장 오른쪽으로 옮길 수 있다. 이때 1번의 무게중심은 2번의 모서리를 벗어날 수 없다. 만약 벗어난다면 벽돌은 떨어질 것이다. 따라서 2번의 오른쪽 모서리에서 최대 [eqn: {a} over {2}]만큼 튀어나오게 된다.

2단계 이어 1, 2번 벽돌을 묶어서 생각하면 새로운 무게중심은 1, 2번의 질량이 같으므로 1번과 2번의 중심에 위치한다. 이 무게중심이 3번을 벗어나면 떨어지므로 3번의 모서리에서 최대 [eqn: {a} over {2} + {a} over {4}]만큼 튀어나오게 된다.

3단계 1, 2, 3번의 벽돌을 묶어서 생각하면 1과 2번 벽돌의 질량은 3번보다 2배이므로 3번 벽돌의 중심에서 1, 2번 벽돌의 무게중심까지의 거리를 2 : 1로 내분하는 점이 1, 2, 3번을 묶은 벽돌의 무게중심이 된다. 그 위치는 4번 벽돌의 오른쪽 모서리에서 최대 [eqn: {a} over {2} + {a} over {4} + {a} over {6}]만큼 튀어나오게 된다.

4단계 1, 2, 3, 4번의 벽돌을 묶어서 생각하면 1, 2, 3번을 묶은 벽돌의 질량은 4번의 3배이므로 4번 벽돌의 중심에서 1, 2, 3번 벽돌의 무게중심까지의 거리를 3 : 1로 내분하는 점이 1, 2, 3, 4번을 묶은 벽돌의 무게중심이 되고 이 무게중심이 책상을 벗어나면 안 되므로 책상의 오른쪽 끝에서 최대 [eqn: {a} over {2} + {a} over {4} + {a} over {6} + {a} over {8} = {25a} over {24}]만큼 튀어나오고 [eqn: {25a} over {24}]는 [eqn: a]보다 크므로 첫 번째 벽돌이 완전히 책상 밖으로 벗어날 수 있다는 것을 의미한다.

별해

책상 위에 [eqn: n]개의 벽돌이 놓여 있을 때, 책상 끝에서 제일 위에 있는 벽돌의 끝 지점까지 수평거리, 혹은 제일 위에 있는 벽돌의 끝 지점에서 [eqn: n]개 전체 벽돌의 무게중심까지의 수평거리를 [eqn: G _{n}]이라 두자.

그러면 [eqn: G _{1} = {a} over {2}]이 된다. 따라서

[eqn: G _{n+1} = {nG _{n} + LEFT ( G _{n} + {a} over {2} RIGHT )} over {n+1} =G _{n} + {a} over {2(n+1)}]

[eqn: RARROW G _{n+1} -G _{n} = {a} over {2(n+1)}]

그러므로 [eqn: G _{n}]은 다음과 같다.

[eqn: G _{n} = {a} over {2} + {a} over {2} sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {k+1} = {a} over {2} sum _{k=1} ^{n} {1} over {k}]

만약 4개의 벽돌을 쌓아 올린다면, [eqn: G _{4} = {a} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) = {25} over {24} a]이다.

또한, 벽돌의 개수가 무수히 많아지면 책상 끝에서 제일 위에 있는 벽돌의 끝 지점까지 수평거리는 무한대로 발산함을 알 수 있다.

[문제1]

정삼각형의 무게중심은 쉽게 찾을 수 있으나 모양이 일정하지 않는 것들의 무게중심은 쉽게 찾기가 힘들다. 이런 것들은 어떻게 무게중심을 찾을 수 있을까? 임의의 모양을 가진 얇은 판의 무게중심을 찾는 방법을 예로 들어 설명하시오.

[문제2]

책상 위에 그림처럼 두께가 동일한 4개의 벽돌이 있다. 이 벽돌들을 테이블 위에서 가능한 한 오른쪽으로 옮겼을 때 각각의 위치는 어떻게 될지, 꼭대기의 벽돌이 테이블의 모서리를 넘어서 위치하여도 벽돌더미가 무너지지 않을지 등을 논리적으로 설명하시오.

17. <수리논술, 왜 지구는 둥근가? 효율적 배치>

(가) 크기가 같은 원, 예컨대 10 원짜리 동전을 탁자 위에 이리저리 배열해 보면 가장 밀도가 높게 동전을 배열하는 방법(최대한 평면을 가득 채우는 방법)은 각 동전들을 6개의 다른 동전들이 둘러싸도록 하는 것이라는 사실을 곧 알 수 있을 것이다. 즉, 최적 배열의 형태가 정육각형이 됨을 어렵지 않게 알 수 있다. <중략>

이로부터 평면의 90.7%가 채워진다는 사실을 알 수 있다. 비교를 위해 동전을 정사각형 형태로 배열했을 때의 밀도를 알아보도록 하자. 이 경우에는 동전이 평면을 채우는 비율이 78%를 조금 넘는다. 따라서, 2차원에서는 정사각형 형태의 배열이 정육각형 형태의 배열에 비해 매우 비효율적이다.

그러나 평면이 무한평면이 아닐 때에는 정육각형 형태의 배열이 반드시 정사각형 형태의 배열보다 효율적이라는 보장은 없다.

[케플러의 추측]

케플러의 추측 : 과일 가게에서 과일을 진열할 때, 보통 피라미드 모양으로 쌓아올린다. 우선 제일 아래층의 과일은 가로와 세로로 열을 맞추어 계속 배열한다. 그 다음 층의 과일은 아래층에 있는 과일들 사이에 생긴 틈(dimple)에 배열하고 이런 방식으로 계속 쌓아 올린다. 케플러는 동일한 크기의 공을 쌓을 때, 과일 가게의 방법보다 더 촘촘하게 쌓는 방법은 없다는 가설을 내세웠는데, 이것이 바로 390년 가까이 미제로 남아있던 ‘케플러의 추측’이다. ‘케플러의 추측’은 결국 1998년 미시간 대학교의 토마스 헤일스가 10년간의 연구 끝에 증명해냈다.

(나) 다음은 어느 교실에서 일어난 상황이다.

선생님 : 자!! 여러분 앞에 정사각형 모양의 한지가 있어요. 그럼 이제부터 각자 원하는 원의 크기를 정하고 한지 안에 이 원과 같은 크기의 원을 여러 개 그려서 오려낸 후, 그 원으로 포장을 꾸밀 겁니다. 되도록 한지의 버려지는 부분이 적도록 만들어 보세요.

철  수 : 난 귀찮으니까 크게 한 개만 그릴래. 한지에 내접되게 그리면 되잖아.

영  희 : 철수야! 그렇게 하면 한지를 많이 낭비하게 되잖아. 나처럼 적어도 4개는 그려 넣어야지.

희  정 : 무슨 소리! 케플러의 덮기 문제도 모르니. 원을 정육각형 형태로 배열해서 그려야 낭비가 적어지지. 난 정육각형 형태의 배열로 그릴거야.

지구와 비누거품은 왜 둥근가?

우주에서 지구가 처음으로 만들어질 때, 왜 하필이면 구의 모양이 되었을까? 어릴 적 한 번쯤은 비눗방울 놀이를 해 보았을 것이다. 이 때, 비눗방울은 늘 구 모양이 된다. 지구의 모양과 비눗방울의 모양은 서로 관계가 있는 것일까? 수학과 관련된 개념이 숨어 있는 것은 아닐까?

자연계를 이루는 대부분의 것들은 외부로부터 영향을 적게 받으려고 한다. 즉, 일정한 부피를 가진 물체는 늘 겉넓이를 최소화 하려고 한다. 바로 이것이 표면장력인 것이다. 비눗방울의 막은 표면장력에 의하여 결정되는데 이 표면장력은 가능한 표면의 넓이를 감소시키려고 한다. 이처럼 표면의 넓이를 최소화하려면 어떤 모양이 되어야 할까? 바로 구의 모양이 되어야 한다. 결과적으로 비눗방울은 표면의 넓이를 최소화하면서 일정한 양의 공기를 품게 되는 것이다. 또, 지구가 탄생할 때도 마찬가지인 것이다.

위의 내용을 2차원의 경우로 생각해 보면 어떻게 될까? 구를 원으로, 겉넓이를 둘레로 바꾸면 될 것이다. 즉, ‘일정한 넓이를 갖는 도형 중 둘레가 최소인 것은 원이다.’ 라는 가설을 세울 수 있다. 다음은 컴퓨터로 측정하여 얻은 자료이다.

위의 표에서 정다각형들과 원의 넓이는 모두 같지만 둘레의 길이는

(정삼각형)[eqn: >](정사각형)[eqn: >](정오각형)[eqn: >](정육각형)[eqn: >](정팔각형)[eqn: >](정17각형)[eqn: >](원)

이 되어 정다각형의 꼭지점의 수가 많아질수록 그 둘레의 길이는 점점 원의 둘레에 가까워질 것이라는 추론을 할 수 있다. 즉, 일정한 넓이를 갖는 도형 중 둘레가 최소인 것은 원이라는 것을 알 수 있다.

캔 하나 더 넣기!

왼쪽 상자에는 [eqn: 5 TIMES 8=40](개), 오른쪽 상자에는 [eqn: (5 TIMES 5)+(4 TIMES 4)=41](개)의 캔이 들어있다.

만약 왼쪽 상자만 보여주고 “캔 한 개를 더 넣어보세요”라고 한다면 불가능하게 생각할 수도 있다. 그러나 실제로는 가능하다. 왼쪽 상자는 8줄이지만, 오른쪽 상자는 9줄로 쌓았기 때문이다.

동일한 원판으로 평면을 채우는 두 가지 방법 중에서 첫 번째를 “직사각형 쌓기”라 부르고, 두 번째를 “육각형 쌓기”라고 부른다. 언뜻 보아도 육각형 쌓기가 빈 공간이 적으므로, 두 쌓기 중에서 더 효율적이라는 사실을 알 수 있다.

[문제1]

제시된 <그림1>과 <그림2>에서 한지(정사각형)의 한 변의 길이를 1이라고 하면 <그림1>의 원의 반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2}]이므로 원의 넓이는 [eqn: {pi } over {4}]이다. <그림2>에서는 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {4}]인 원이 4개이므로 원의 총 넓이의 합은 [eqn: 4 TIMES {pi } over {16} = {pi } over {4}]가 된다.

즉, 두 그림 모두 원의 총 넓이가 [eqn: {pi } over {4}]이므로 [eqn: {(원의`총`넓이)} over {(한지의`넓이)}]에 의해 구해지는 한지의 효율은 [eqn: {pi } over {4}]로 똑같다.

[문제2]

(가)에서 제시한 정사각형 형태의 배열의 효율은 78%를 조금 넘는다. 이 때, 철수와 영희의 한지의 효율이 [eqn: {pi } over {4} image 0.785], 즉 78%를 조금 넘으므로 다른 크기의 원을 한지에 배열할 때도 철수, 영희와 같은 방법으로 배열해야만 이 비율과 같게 유지할 수 있다. 즉, 한지의 네 모퉁이에 정확하게 접해야 하므로 그려 넣는 원의 크기는 한지의 한 변의 길이의 [eqn: {1} over {n}]이어야 한다. 따라서, 정사각형 형태의 배열로 한 변의 길이가 1인 한지에 크기가 [eqn: {1} over {n}]인 원을 그려 넣으면 가장자리의 원이 한지에 내접하게 그려지고, 이 때 원의 개수는 [eqn: n ^{2}]개이므로 원의 총 넓이는 [eqn: n ^{2} TIMES pi TIMES LEFT ( {1} over {2n} RIGHT ) ^{2} = {pi } over {4}]가 되어 한지의 효율은 [eqn: {pi } over {4}]로 유지된다.

[문제3]

1. 정사각형 모양의 한지의 한 변의 길이를 1이라 하면 희정이가 그린 원의 반지름의 길이는 [eqn: {1} over {10}]이 된다. 이때, 오른쪽 그림과 같이 한 줄을 그릴 때, 필요한 세로의 길이는 [eqn: {1} over {10} + {1} over {10} = {1} over {5}]이 되고 한 줄을 더 그릴 때마다 [eqn: {sqrt {3}} over {10}]만큼씩 더 필요하다. 6줄을 그리려고 하면 [eqn: {1} over {5} +5 BULLET {sqrt {3}} over {10} image 1.07]만큼의 길이가 필요하게 되고 이것은 정사각형 모양의 한지의 한 변의 길이인 1보다 크므로 5줄밖에 그릴 수 없게 된다. 이 때, 그릴 수 있는 원의 개수는 [eqn: 5+4+5+4+5=23](개)이고 이것은 크기가 [eqn: {1} over {5}]인 원을 정사각형 형태의 배열로 그릴 때의 원의 개수(25개)보다 적다. 그러므로 희정이의 방법이 철수의 방법보다 효율이 낮다.

2. 원의 크기가 철수가 그린 원의 [eqn: {1} over {10}]이므로 원의 반지름의 길이는 [eqn: {1} over {20}]이다. 이 때, 10줄밖에 그리지 못하면 정사각형 형태의 배열에 비해 효율이 떨어지므로 11줄을 그릴 수 있는지 계산해보자. 11줄을 그릴 때 필요한 세로의 총 길이는 [eqn: {1} over {10} +10 BULLET {sqrt {3}} over {20} image 0.97]이 되고 이것은 정사각형 모양의 한지의 한 변의 길이인 1보다 작으므로 11줄을 그릴 수 있다. 따라서, 그릴 수 있는 원의 개수는 [eqn: 10 TIMES 6+9 TIMES 5=105](개)가 되어 같은 크기의 원을 정사각형 형태의 배열로 그릴 때의 원의 개수(100개)보다 많다. 그러므로 희정이의 방법이 철수의 방법보다 효율이 높다.

[문제4]

정사각형 형태의 배열로 그릴 때는 각 세로줄마다 그릴 수 있는 원의 개수가 모두 똑같다. 예를 들어, 첫줄에 여백 없이 외접하게 10개를 그릴 수 있으면 그 다음 줄에도 똑같이 10개를 그릴 수 있다. 그러나 정육각형 형태의 배열은 첫줄에 여백 없이 외접하게 [eqn: n]개가 그려지면 그 다음 줄에는 1개 적게 그려진다. 즉 , 적어도 한 줄 더 그려질 만큼의 공간이 생기지 않으면 정사각형 형태의 배열에 비해 오히려 그 효율이 떨어지게 되는 것이다. 따라서, 원의 크기가 적당히 작아져야만 세로로 한 줄을 더 그릴 수 있는 공간이 생기게 되는데 문제 (3)의 결과에서 보면 원의 크기가 <그림1>의 [eqn: {1} over {5}]일 때는 생기지 않고, 크기가 [eqn: {1} over {10}]일 때는 한 줄 더 들어갈 공간이 생기므로 [eqn: {1} over {5}]과 [eqn: {1} over {10}]크기 사이에 있는 어떤 원보다 작은 크기의 원부터는 정육각형 형태의 배열이 정사각형 형태의 배열보다 효율이 좋아진다고 말할 수 있다.

▶참고자료 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형에 정육각형 형태의 배열로 원을 그릴 때, 세로줄의 수를 [eqn: k]라 하면 필요한 세로의 총길이는 정사각형의 한 변의 길이 [eqn: a]를 넘지 않아야 하므로 다음의 식이 성립한다. [eqn: LEFT ( 단,` {1} over {n} 은`원의`크기(지름) RIGHT )]

[eqn: {a} over {n} +(k-1) {sqrt {3} a} over {2n}]≦[eqn: a]	[eqn: THEREFORE k]≦[eqn: {2 sqrt {3}} over {3} (n-1)+1]

따라서, [eqn: n]값의 따른 [eqn: k]의 최대값을 표로 정리를 해보면 다음과 같다.

즉, 원의 크기가 <그림1>의 [eqn: {1} over {8}]일 때부터는 정육강형 형태의 배열이 더 효율이 높다.

[문제1]

오른쪽 <그림 1>, <그림2>는 각각 철수와 영희가 한지 위에 그린 그림이다. 한지의 효율을 [eqn: {(원의`총`넓이)} over {(한지의`넓이)}]라고 정의할 때, 각 그림에서 한지의 효율을 구하고 누가 더 효율적으로 한지를 사용했는지 서술하시오.

[문제2]

[문제1]에서 철수와 영희의 한지의 효율을 구해 보았다. 정사각형 형태의 배열로 한지에 원을 그릴 때, 한지의 효율이 제시문 (가)에서 제시한 비율과 같게 유지되려면 그려지는 원의 크기(지름)는 어떠해야 하는지 추측하시오.

[문제3]

희정이는 제시문 (가)의 그림에 제시된 정육각형 형태의 배열로 원을 그렸다.

1. 희정이가 그린 원의 크기(지름)가 철수가 그린 원의 [eqn: {1} over {5}]이었을 때, 정사각형 형태의 배열과 정육각형 형태의 배열 중 어느 것이 한지를 더 효율적으로 사용하는지 서술하시오.

2. 희정이가 그린 원의 크기(지름)가 철수가 그린 원의 [eqn: {1} over {10}]이었을 때, 정사각형 형태의 배열과 정육각형 형태의 배열 중 어느 것이 한지를 더 효율적으로 사용하는지 서술하시오.

[문제4]

[문제3]에서 나온 결과를 제시문 (가)의 밑줄 친 부분에 비추어 해석하시오.

18. <수리논술, 몬티홀 문제>

문 3개가 있다. 그 문들 뒤에는 고급 자동차 1대와 염소 2마리가 하나씩 들어 있다. 이 때 어느 문 뒤에 무엇이 들어 있는지 모르는 한 사람이 게임에 참여하고, 한 번의 선택으로 고급 자동차가 있는 문을 선택하면 그 상품을 가질 수 있다. 그런데 한 참여자가 문을 선택했을 때, 문 뒤에 무슨 상품이 있는지를 확실히 알고 있는 사회자가 참여자가 선택한 문을 제외하고 염소가 있는 문을 하나 열어서 보여 준다. 그리고는 지금 선택한 문을 바꾸겠냐고 묻는다. 이때 게임 참여자는 선택한 문을 그대로 지키느냐, 아니면 다른 하나의 문으로 선택을 바꾸느냐의 또 다른 선택의 길목에 놓이게 되는 것이다. 과연 어느 쪽의 선택이 고급 자동차를 갖는 데 확률적으로 유리할까?

이는 ‘몬티 홀 딜레마’라는 유명한 문제이다. 이 경우, 선택한 문을 번복하고 다른 문을 열었을 경우의 확률은 [eqn: {2} over {3}]로, 처음 선택한 문을 열게 되면 고급 자동차를 얻을 확률인 [eqn: {1} over {3}]보다 크기 때문에 선택을 바꾸는 것이 유리하다고 한다.

[문제1]

내가 갖고 있는 복권이 당첨 복권일 확률은 1000장 중 하나였기 때문에 [eqn: {1} over {1000}]이었는데, 한 명의 복권은 당첨 복권이 아님을 확인했으므로 999장 중 하나로 좁혀졌다. 따라서 당첨 확률은 [eqn: {1} over {1000}]에서 [eqn: {1} over {999}]로 높아졌다.

[문제2]

이젠 다른 사람들의 복권이 모두 아님이 밝혀졌기 때문에 나와 옆 사람 단 둘 중 한 명이 당첨 복권을 갖고 있는 것이다.

따라서 둘 다 [eqn: {1} over {2}]의 확률을 갖게 되고, 이 경우 복권을 바꾸어도 유리하거나 불리해지지 않는다. 그런데 몬티 홀 딜레마에서는 두 문 중 하나였던 것은 같으나, 내가 선택한 문과 나머지 다른 문은 뒤에 고급 자동차가 있을 확률이 다르다. 복권에서는 어떤 복권이 당첨될지 모르는 사람이 당첨을 확인해 본 것이지만, 몬티 홀 딜레마에서는 어느 문 뒤에 염소와 고급 자동차가 있는지를 정확히 아는 사회자가, 그리고 나 역시 내가 선택하지 않은 두 문 중 한 문에는 염소가 있을 거라는 사실을 아는 상황에서, 문을 열어 염소를 보여준 것이기 때문이다.

[문제1]

나를 포함한 1,000명의 사람들에게 복권이 하나씩 주어졌다. 그 중 하나의 복권만이 당첨복권이고, 당첨자는 무려 10억 원의 상금을 받게 된다. 그런데 어떤 한 사람이 사회자에게 자신의 복권이 당첨 복권이냐고 물었고, 사회자는 아니라고 확인해 주었다. 이때 내가 가진 복권이 당첨 복권일 확률에 변동이 생기는지 아닌지(확률이 올라가는지 아니면, 그대로인지) 밝히고, 그 이유를 설명하시오.

[문제2]

나와 내 옆 사람을 제외한 모든 사람들이 하나씩 복권을 확인해 갔고, 전부 아님이 판명되었다. 그리고 나는 내 옆 사람과 복권을 바꿀 수 있는 기회가 생겼다. 이 때 나는 복권을 바꾸는 것이 유리한지 아닌지 위 제시문의 ‘몬티 홀 딜레마’와 유사성 또는 차별성과 관련지어 설명하시오.

19. <수리논술, 지수의 확장>

피타고라스의 음정 이론에 따라 음계를 정하는 방법을 순정률(pure temperament)이라고 한다. 현을 퉁겼을 때, 현의 길이가 짧을수록 진동수는 커지고, 현의 진동수가 클수록 높은 음이 나온다. 즉, 음의 높이는 현의 길이에 반비례하고 진동수에 비례한다.

피타고라스는 장력과 재질이 서로 같은 두 현을 퉁겼을 때 나오는 두 음은, 진동수의 비가 2 : 1이면 8도, 3 : 2이면, 5도, 4 : 3이면 4도의 음정차이가 난다는 사실을 발견했다. 즉, 오른쪽 그림과 같이 파의 진동수는 도의 진동수의 [eqn: {4} over {3}]배이고, 솔의 진동수는 도의 진동수의 [eqn: {3} over {2}]배이고, 1옥타브 높은 도의 진동수는 낮은 도의 진동수의 2배이다. 계속해서 피타고라스는 우리에게 가장 익숙한 화음인 도-미-솔의 진동수의 비는 4 : 5 : 6이고, 도-파-라의 진동수의 비는 3 : 4 : 5가 됨도 발견했다.

지수의 확장

중등 교육과정에서 로그보다 지수를 먼저 배우는 것으로 정해놓았지만 역사적으로는 로그가 지수보다 약 20년 정도 먼저 만들어졌다. 그리고 지수법칙을 실수까지 확장하려면 로그함수를 이용하여 지수함수를 정상적으로 잘 정의해야 한다. 그러나 그 내용은 지금 다룰 수 있는 내용이 아니므로 훗날을 기약하기로 한다.

다만 한가지 꼭 집고 넘어가야 할 것은 우리가 알고 있는 지수법칙

[eqn: a ^{m} BULLET a ^{n} =a ^{m+n} ,`` {a ^{m}} over {a ^{n}} =a ^{m-n} ,`` CDOTS]

등이 지수 [eqn: m,`n]이 정수에서 유리수와 실수로 확장됨에 따라 그 범위가 축소된다는 것이다. 즉, 지수가 정수일 때에는 밑의 범위가 0이 아닌 실수이고, 지수가 유리수와 실수로 확장될 때에는 밑의 범위가 양수로 축소된다.

[문제1]

음의 높이는 현의 길이에 반비례하고 진동수에 비례하므로 현의 길이와 진동수는 서로 반비례한다. 따라서 현의 길이가 반이 되면 진동수는 2배가 된다.

본문의 그림에서 보면 도의 현의 길이가 1일 때, 현의 길이가 [eqn: {3} over {4}]인 음은 파이다. 현의 길이 [eqn: {3} over {8}]은 [eqn: {3} over {4}]의 반이므로 진동수는 2배이다. 그런데 진동수가 2배가 되면 1옥타브 높은 음이 되므로 현의 길이 [eqn: {3} over {8}]인 음은 [eqn: {3} over {4}]인 음과 같은 파로서 1옥타브 높은 파가 된다.

[문제2]

순정률에서 도와 솔의 진동수의 비는 2 : 3이고, 도와 라의 진동수의 비는 3 : 5이므로 도-솔-라의 진동수의 비는 6 : 9 : 10이다. 즉, 솔과 라의 진동수의 비는 9 : 10이다.

따라서 라의 진동수가 440헤르츠이므로, 순정률에서 솔의 진동수는 [eqn: 440 TIMES {9} over {10} =396]헤르츠이다.

[문제1]

위의 그림과 같이 도의 현의 길이를 1이라 할 때, 현의 길이가 도의 현의 길이의 [eqn: {3} over {8}]인 음은 무슨 음인가?

[문제2]

피아노 건반의 가장 가운데 있는 라의 진동수는 국제 표준으로 440헤르츠(Hz)로 정해져 있다. 이때, 그 보다 한 음이 낮은 솔의 진동수를 순정률의 이론에 따라 구하여라.

답안 자료