원의 방정식                                                                                                  Math Shin

Theme #7. 원의 방정식

Theme Math

Remark) 원은 그 방정식이 [eqn: x,```y]에 대한 이차식으로 표현되는 이차곡선 중 하나이다.(기하로 연결)

이미 중학교에서 원에 대한 기본적인 내용들은 학습이 된 상태이고 이를 바탕으로 평면 위의 방정식으로서의 원을 살펴보도록 하자.

Def 7.1) 원의 정의

원 : 평면 위의 한 정점(원의 중심)으로부터 일정한 거리(원의 반지름)에 있는 점들의 집합

Thm 7.1) 원의 방정식(표준형)

중심이 [eqn: C(a,```b)]이고 반지름의 길이가 [eqn: r(r>0)]인 원의 방정식은

[eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} =r ^{2}]이다.

Pf) By Definition & 자취

cf) 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원의 방정식 :

Thm 7.2) 원의 방정식(일반형)

[eqn: x,```y]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +Ax+By+C=0(A ^{2} +B ^{2} -4C>0)]은 원을 나타낸다.

Pf)

[eqn: RARROW] 관찰결과 : [eqn: x,```y]에 대한 이차식 & [eqn: xy]항이 존재하지 않음!!

ex #1) 원 [eqn: x^{2}+y^{2}-8x-10y=0]에 내접하는 직사각형 [eqn: rmOABC]에 대하여 직선 [eqn: rmOB]의 기울기는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

ex #2) 원 [eqn: x^2 +y^2 +2(a-1)x-4ay+6a^2 -4=0]의 넓이가 최대일 때의 이 원의 중심의 좌표는? (단, [eqn: a]는 상수)

ex #3)  두 직선 [eqn: l_1 : 2x +y+2=0], [eqn: l_2 :x-2y-4=0]의 교점을 [eqn: rmA], 두 직선 [eqn: l_1,``l_2]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. 제 [eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원 위의 점 [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rmQ]는 삼각형 [eqn: rmPBC]의 무게중심이다.

(나) 삼각형 [eqn: rmPBC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 [eqn: 3]배이다.

[보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

[보기]

ㄱ. 두 직선 [eqn: l_1,``l_2]는 서로 수직이다.

ㄴ. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 [eqn: 10]이다.

ex #4)  중심이 [eqn: y = -x + 1]위에 있고, 점 [eqn: rmC( - 3,~ 2 )]를 지나는 원이 [eqn: x]축과 접한다. 이러한 원 중 큰 것의 넓이는?

ex #5) 곡선 [eqn: y=x^2 -x-1] 위의 점 중 제 [eqn: 2]사분면에 있는 점을 중심으로 하고, [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 동시에 접하는 원의 방정식은 [eqn: x^2 +y^2 +ax +by +c=0]이다. [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,``b,``c]는 상수이다.)

Note) 외부의 한 점에서 원 위의 점까지의 거리

[eqn: RARROW] 원의 중심을 통과하는 직선과 주어진 원의 교점에서 최대와 최소가 나타난다.

ex #6) 원 밖의 점 [eqn: rmA(-4, ``2)]와 원 [eqn: x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmAP]의 길이의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

ex #7) 원 [eqn: x^{2}+y^{2}-8x-6y+21=0] 위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: x^{2}+y^{2}+2x-4y+4=0] 위의 점 [eqn: rmQ]가 있다. 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 최댓값은?

ex #8) 세 점 [eqn: {rm A } (a,~ b), ~ rm B( 2,~ 1),~C(3,~ 2 )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmA]가 반지름의 길이가 3이고 중심의 좌표가 (4, 6)인 원 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 G가 그리는 도형의 방정식을 구하시오.

ex #9) 좌표평면 위의 두 점 A(5, 12), B([eqn: a], [eqn: b])에 대하여 선분 AB의 길이가 3일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 최댓값을 구하시오.

ex #10) 양수 [eqn: k]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm{A}it(k,~ 0),~ rm{B}it(0,~ k)]가 있다. 삼각형 [eqn: rm{OAB}it]의 내부에 있으며 [eqn: ANGLE rm{AOP}it=ANGLE rm{BAP}it]를 만족시키는 점 [eqn: rm{P}it]에 대하여 점 [eqn: rm{P}it]의 [eqn: y]좌표의 최댓값을 [eqn: M(k)]라 하자.

다음은 [eqn: M(k)]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: rm{O}it]는 원점이고, [eqn: ANGLE rm{AOP}it<180^{CIRC},~ ANGLE rm{BAP}it<180^{CIRC}]이다.)

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.

그러므로 점 [eqn: rm{O}it]를 지나고 직선 [eqn: rm{AB}it]와 점 [eqn: rm{A}it]에서 접하는 원을 [eqn: C]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm{OAB}it]의 내부에 있으며 [eqn: ANGLE rm{AOP}it=ANGLE rm{BAP}it]를 만족시키는 점 [eqn: rm{P}it]는 원 [eqn: C] 위의 점이다.

원 [eqn: C]의 중심을 [eqn: rm{C}it]라 하면 [eqn: ANGLE rm{OAC}it=45^{CIRC}]이므로

점 [eqn: rm{C}it]의 좌표는 [eqn: LEFT ({k} over {2} ,```box{`` (가)``}``RIGHT)]이고 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는 [eqn: {BOX{``~`(나)~~}}]이다.

점 [eqn: rm{P}it]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: ANGLE rm{PCO}it=45^{CIRC}]일 때 최대이므로

[eqn: M(k)=(`` box{~~~ (다)~~~}``) TIMES k]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),~ g(k)]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f(p)+g LEFT ({1} over {2} RIGHT )]의 값은?

Theme #8. 원과 직선의 위치관계

Review) 원과 직선의 위치관계(중학교)

원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: r], 원의 중심에서 직선 [eqn: l]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면,

(1) 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 서로 다른 두 점에서 만난다. [eqn: LRARROW] [eqn: d<r] (할선)

(2) 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 한 점에서 만난다. (접한다) [eqn: LRARROW] [eqn: d=r] (접선)

(3) 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 만나지 않는다. [eqn: LRARROW] [eqn: d>r]

Thm 8.1) 원과 직선의 위치관계(고등학교)

주어진 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면,

(1) 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 서로 다른 두 점에서 만난다. [eqn: LRARROW] [eqn: D>0]

(2) 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 한 점에서 만난다. (접한다) [eqn: LRARROW] [eqn: D=0]

(3) 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 만나지 않는다. [eqn: LRARROW] [eqn: D<0]

Pf) easy!!

[eqn: RARROW] 따라서 원과 직선의 위치관계의 기본적인 풀이 option은 두 방향의 흐름을 갖는다.

ex #11) [eqn: x^ 2 + y^ 2 = 4 x]와 직선 [eqn: y = m( x+1)]이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: m]의 값의 범위를 [eqn: a<m<b]라 하자. 이때, [eqn: 5 ab]의 값은?

ex #12) 그림과 같이 원의 중심 [eqn: {rmC}(a,``b)]가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 [eqn: r]이며 원점 O를 지나는 원이 있다. 원과 [eqn: x]축, [eqn: y]축이 만나는 점 중 O가 아닌 점을 각각 [eqn: rmA,``B]라 하자. 네 점 [eqn: rm O,``A,``B,``C]가 다음 조건을 만족시킬 때 [eqn: a+b+r ^{2}]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: rm{bar{OB}} - {bar{OA}} =4]

(나) 두 점 [eqn: rm O,``C]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=3x]이다.

ex #13)  좌표평면 위에 원 [eqn: C``:``x ^{2} +y ^{2} =r ^{2} ``(r>0)]과 직선 [eqn: l``:``2x-2y+ sqrt {6} `r=0]이 있다. 원 [eqn: C]와 직선 [eqn: l]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA,``B]라 할 때, 호 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmAB]로 둘러싸인 부분 중에서 원점 O를 포함하지 않는 부분의 넓이를 [eqn: S(r)]라 하자. 다음은 [eqn: S(r)]를 구하는 과정이다.

점 O에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 H라 하면 선분 OH의 길이는 점 O와 직선 [eqn: l] 사이의 거리이므로 [eqn: {RMbar{OH}} = {BOX{``(가)``}}]

삼각형 OAB에서 [eqn: rm {bar{OA}} it =r]이므로 삼각형 OAB의 넓이는 [eqn: {BOX{``(나)``}}]이다.

[eqn: S(r)]는 부채꼴 OAB의 넓이와 삼각형 OAB의 넓이의 차이므로

[eqn: S(r)= pi r ^{2} TIMES ( {BOX{``(다)``}} )- {BOX{``(나)``}}]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( r RIGHT ) ,``g LEFT ( r RIGHT )]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때,  [eqn: f LEFT ( {1} over {k} RIGHT ) TIMES g LEFT ( {1} over {k} RIGHT )]의 값은?

ex #14) 그림과 같이 중심이 제1사분면 위에 있고 [eqn: x]축과 점 P에서 접하며 [eqn: y]축과 두 점 [eqn: RMQ,``R]에서 만나는 원이 있다. 점 P를 지나고 기울기가 2인 직선이 원과 만나는 점 중 P가 아닌 점을 S라 할 때, [eqn: RM{bar{QR}} = {bar{PS}} =4]를 만족시킨다. 원점 O와 원의 중심 사이의 거리는?

ex #15) 그림과 같이 원[eqn: (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} =1] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]와 두 점 [eqn: rm A(4,0),~B(0,-3)]으로 이루어지는 [eqn: rm TRIANGLE ABP]의 넓이의 최댓값과 최솟값의 합은?

ex #16) 원 [eqn: x^{2}+y^{2}-8x-7=0] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 두 정점 [eqn: rmA(-2,~5)], [eqn: rmB(-2,~2)]에 대하여 [eqn: rmtrianglePAB]의 최대 넓이를 [eqn: S_1], 최소넓이를 [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 +S_2]의 값을 구하시오.

ex #17) 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA(0,``root3 )], [eqn: rmB(1,``0)]과 원 [eqn: C: (x-1)^2 +(y-10)^2 =9]가 있다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 자연수가 되도록 하는 모든 점 [eqn: rmP]의 개수는?

Theme #9. 원과 직선의 위치관계(접선의 방정식)

Remark) 원과 직선의 위치관계에서 주어진 원과 관계를 맺는 직선은 할선, 접선, 만나지 않는 직선의 세 가지로 구분된다는 것을 학습했다. 이제 이 직선의 방정식을 구해내는 것이 목표가 되고 이 때, 할선과 만나지 않는 직선의 경우는 그 직선이 유일하게 결정되지 않으므로 큰 의미가 없다. 따라서 이제 주어진 원에 접하는 직선의 방정식을 찾아야 하는 것이 우리의 목표가 된다. 또한 실제로 이 접선은 수학적 ․ 물리적 의미가 매우 큰 개념이 되므로 앞으로 학습하는 모든 도형 및 함수에 대한 접선을 연구하게 될 것이다.

Remark) 접선 역시 직선에 불과하기 때문에 직선의 방정식을 구하기 위한 조건을 확보하는데 목표를 두면 ok!!

Thm 9.1) 접선의 방정식(기울기를 주는 경우)

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2} (r>0)]에 접하고 기울기가 [eqn: m]인 접선의 방정식

[eqn: y=mx±r sqrt {m ^{2} +1}] (실제로 접선의 방정식은 두 개가 나타남!)

Pf) M1. [eqn: d]와 [eqn: r]사이의 관계

M2. 이차방정식의 판별식 [eqn: D]

ex) 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=9]에 접하고, 기울기가 [eqn: 2]인 접선의 방정식은?

ex)  원 [eqn: x^{2}+y^{2}=12]에 접하고 기울기가 1 또는 -1인 직선은 모두 4개가 존재한다. 이때, 이 직선들의 교점으로 만들어지는 사각형의 넓이를 구하시오.

Thm 9.2) 접선의 방정식(접점을 주는 경우)

(1) 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2} (r>0)] 위의 한 점 [eqn: P(x _{1} ,```y _{1} )]에서의 접선의 방정식

[eqn: x _{1} x+y _{1} y=r ^{2}]

(2) 원 [eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} =r ^{2} (r>0)] 위의 한 점 [eqn: P(x _{1} ,```y _{1} )]에서의 접선의 방정식

[eqn: (x _{1} -a)(x-a)+(y _{1} -b)(y-b)=r ^{2}]

Pf)

ex) 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =10] 위의 점 [eqn: (3,``1)]에서의 접선이 점 [eqn: (1,`` a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

ex) 좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 점  [eqn: (0,~3)]을 지날 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는?

ex) 원 [eqn: x^ 2 + y^ 2 =20] 위의 두 점 [eqn: RM A (-2,~ 4 ) ,~`` B(4,~ -2)]에서의 접선을 각각 [eqn: l_1 ,~l_2]라 하고 두 직선 [eqn: l_1 ,~l_2]의 교점을 [eqn: rm C]라 할 때, 사각형 [eqn: RM OACB]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점)

cf) 접선의 방정식(접점, 즉 원 위의 한 점을 주지 않고 원 외부의 한 점을 주는 경우)

ex) [eqn: A(2,```0)]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

Def 9.1) 공통접선

두 원에 동시에 접하는 직선을 공통접선이라 한다.

(1) 공통외접선 : 두 원이 공통접선에 대하여 같은 쪽에 있는 접선

(2) 공통내접선 : 두 원이 공통접선에 대하여 반대 쪽에 있는 접선

ex) 그림과 같이 두 원 [eqn: (x+1)^2 +(y+1)^2 =1], [eqn: (x-4)^2 +(y+2)^2 =9]에 동시에 접하는 접선을 그을 때, 두 접점 [eqn: rmA,~B] 사이의 거리를 구하시오.

ex) 그림과 같이 두 원 [eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 =16,``(x-3)^2 +(y+5)^2 =4]에 동시에 접하는 접선을 긋고 접점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 할 때, [eqn: rm barAB]의 길이는?

ex) 그림과 같이 두 원 [eqn: x^2 +y^2 =9,``(x-4)^2 +(y-5)^2 =r^2]에 동시에 접하는 접선을 긋고 접점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. [eqn: rmbarAB =4root2]일 때, 상수 [eqn: r]의 값을 구하시오. (단, [eqn: r>3])

ex #18) 직선 [eqn: y=x] 위의 점을 중심으로 하고, [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 동시에 접하는 원 중에서 직선 [eqn: 3x-4y+12=0]과 접하는 원의 개수는 2이다. 두 원의 중심을 각각 A, B라 할 때, [eqn: rmbar{AB}` ^{2}]의 값을 구하시오.

ex #19) 원 밖의 한 점 [eqn: RM P(3,1)]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +4x-2y-4=0]에 접선을 그었을 때의 두 접점을 [eqn: rmA,``B]라 할 때, [eqn: RM OVERLINE AB]의 길이는?

ex #20) 원 [eqn: (x+3)^2 + (y+5)^2 =4] 위를 움직이는 점 [eqn: { rm P }( x ,~ y)]에 대하여 [eqn: y over x]의 최댓값을 [eqn: M],  최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M + m]의 값은?

ex #21) 원 [eqn: C] : [eqn: x ^{2} +y ^{2} -5x=0] 위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rmbar{OP}=3]

(나) 점 P는 제1사분면 위의 점이다.

원 [eqn: C] 위의 점 P에서의 접선의 기울기가 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

ex #22) 이차함수 [eqn: y =x^2]의 그래프 위의 점을 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원 중에서 직선 [eqn: y= sqrt { 3}x-2]와 접하는 원은 2개이다. 두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a,``b]라 할 때, [eqn: 100ab]의 값을 구하시오.

ex #23) 좌표평면에 원 [eqn: C _{1}] : [eqn: (x+7) ^{2} +(y-2) ^{2} =20]이 있다. 그림과 같이 점 P([eqn: a], 0)에서 원 [eqn: C _{1}]에 그은 두 접선을 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]라 하자. 두 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]가 원 [eqn: C _{2}] : [eqn: x ^{2} +(y-b) ^{2} =5]에 모두 접할 때, 두 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]의 기울기의 곱을 [eqn: c]라 하자. [eqn: 11(a+b+c)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양의 상수이다.)

ex #24) 그림과 같이 좌표평면에 원 [eqn: C``:``x ^{2} +y ^{2} =4]와 점 A(-2, 0)이 있다. 원 [eqn: C] 위의 제1사분면 위의 점 P에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 B, 점 P에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 H라 하자. [eqn: 2 RM{bar{AH}} = {bar{HB}}]일 때, 삼각형 PAB의 넓이는?

ex #25) 좌표평면 위의 점 ([eqn: 2,``-4])에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2]에 그은 두 접선의 방정식이 각각 [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: (0,`a),`(0,`b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

Theme #10. 두 원의 위치관계

Review) 두 원의 위치관계

중심이 각각 [eqn: O,```O`` prime]이고 반지름의 길이가 각각 [eqn: r,```r` prime]( [eqn: r>``r` prime])인 두 원 [eqn: C,```C`` prime]의 위치관계는

(1) 한 원이 다른 원의 외부에 존재

(2) 외접

(3) 두 점에서 만나는 경우

(4) 내접

(5) 한 원이 다른 원의 내부에 존재

(6) 중심이 일치(동심원)

Review) 서로 만나는 두 직선 [eqn: l``:`ax+by+c=0,```l` prime `:`a prime x+b prime y+c prime =0]에 대하여 방정식 [eqn: ax+by+c+k(`a prime x+b prime y+c prime )=0] (단, [eqn: k]는 임의의 상수)는 두 직선 [eqn: l,```l prime]의 교점을 지나는 직선이다.

Thm 10.1) 두 원의 교점을 지나는 도형 (원 또는 직선)의 방정식

서로 다른 두 점에서 만나는 두 원

[eqn: C``:`x ^{2} +y ^{2} +ax+by+c=0,````C`` prime `:`x ^{2} +y ^{2} +a prime x+b prime y+c prime =0]에 대하여

방정식  [eqn: x ^{2} +y ^{2} +ax+by+c+k(`x ^{2} +y ^{2} +a prime x+b prime y+c prime )=0](단, [eqn: k]는 임의의 상수)는

(1) [eqn: k != -1]일 때, 두 원 [eqn: C,```C`` prime]의 두 교점을 지나는 원의 방정식이다.

(2) [eqn: k=1]일 때, 두 원 [eqn: C,```C`` prime]의 두 교점을 지나는 직선의 방정식이다. (공통현의 방정식)

Pf)

ex #26) 점 [eqn: rm P(2,~1)]에서  원 [eqn: { x}^{2 }+{ y}^{2 }=4]에 그은 두 접선의 접점을 [eqn: rm A,~B]라 할 때, 직선 [eqn: rm AB]의 방정식을 구하시오.

ex #27) 두 원 [eqn: (x-3) ^2 + (y-2)^2 =49]와 [eqn: ( x - a )^2 + (y+1) ^2 = 64]가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 공통인 현의 길이가 최대가 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 곱을 구하시오.

ex #28)  오른쪽 그림과 같이 원 [eqn: x^2 +y^2 =36]을 선분 [eqn: {rmPQ}]를 접는 선으로 하여 접어서 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: {(`2,~0`)}]에서 접하도록 하였다. 직선 [eqn: {rmPQ}]의 방정식을 [eqn: {x+ay+b=0}]이라고 할 때, 상수 [eqn: {a,~b}]에 대하여 [eqn: {a+b}]의 값을 구하시오.